(完整版)第6讲和差倍分问题
第六讲 和倍与差
第六讲 和倍问题姓名：一、复习旧知——画线段图请帮助呆瓜兄弟用线段图闯关吧！第1关：老师买了很多巧克力分给呆瓜兄弟，阿瓜分到的是阿呆的3倍。
第2关：阿呆和阿瓜比积分，阿瓜的积分卡比阿呆的2倍多3分。
第3关：阿呆和阿瓜比赛跑步，阿瓜比阿呆的99倍多2米。
第4关：阿呆和阿瓜比赛画画，阿瓜比阿呆的3倍少2张。
二、新知引入 知识点1：和倍问题 情景引入：功夫熊猫阿宝的故事：拜师傅——吃包子——练功夫——学拳法 拜师傅：故事发生在很久以前的古代中国，而且要从一只喜欢滚来滚去、滚来滚去的大熊猫身上说起。
话说熊猫阿宝是一家面条店的学徒，虽然笨手笨脚，也勉强算是谋到了一份职业，可是阿宝天天百无禁忌地做着白日梦，梦想着自己有一天能够在功夫的世界里与明星级的大人物进行一场巅峰之战。
别看阿宝所在的“和平谷”一派欣欣向荣的安详景象，其实是一个卧虎藏龙的风水宝地，先不说五大功夫高手皆坐镇于此，更有一大师级别的宗师在这里隐居，可是在一场特殊的比武大会上胜出的人要代表“和平谷”将邪恶的大龙永久地驱除出去，啥都不会的阿宝却在经历了一系列阴差阳错之后屏雀中选，让所有人都大跌眼镜...... 吃包子：师傅买回来60个包子，阿宝和师傅抢着吃，但是师傅功夫特别好，抢到的是阿宝的5倍，阿宝吃了几个包子？练功夫：师傅让阿宝做俯卧撑，阿宝两天才做了30个。
第二天比第一天的2倍还多3个。
那么阿宝第一天和第二天分别做了几个？学拳法：师傅教阿宝拳法，两个月共学了54招。
第二个月学会的招数比第一个月的19倍少6招。
那么阿宝第一个月和第二个月分别学到了几招？和倍问题笔记：和倍问题解题顺序疯狂练习：八戒和悟空比赛吃西瓜，一共吃掉了60个。
（1）如果八戒是悟空的3倍，问两个人各吃了几个？（2）如果八戒是悟空的3倍还多4个，问两人各吃多少个？（3）如果八戒是悟空的3倍少4个，问两个各吃多少个？课本讲解：例1 纺织厂有职工480人，其中女职工人数是男职工人数的3倍，请问：男、女职工各有多少人？练1 某小学有学生1500名，其中男生人数是女生的2倍，请问男生、女生各有多少人？例2 交警一个月共开出78张罚单。
和差倍分问题
和差倍分问题基础知识：一、掌握利用线段图解和差倍分应用题的方法；二、掌握好设单位1，设份数的方法：可以直接将题目中的某些量设成为“1”份或者是多份；三、解题时需要注意认真审题，多注意观察题目中的隐含条件，特别是对于题目中的不变量，要十分注意。
根据倍数关系将不变量设为多份往往可以大大简化解题的过程；四、对于涉及到3个以上的对象并且给出了部分对象之和的题目，通常利用将条件累加或者对条件进行比较的方法来解题。
基本类型：1. 和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的这种关系，以便于找到解题的途径。
和÷（倍数＋1）＝小数（1倍数）小数×倍数＝大数和－小数＝大数2.“差倍问题”就是已知两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。
差倍问题的解题思路与和倍问题一样，先要在题目中找到1倍量，再画图确定解题方法。
被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量，然后求出另一个数，最后再写出验算和答题。
差÷（倍数－1）＝小数（1倍数）小数×倍数＝大数小数＋差＝大数例1.爸爸和小明一起搬砖，爸爸所搬的砖头是小明的6倍。
后来父子二人每个人又搬了18块砖头，于是爸爸所搬的砖头变成了小明的4倍。
那么最终爸爸和小明共搬了多少块砖？[答疑编号0518430101]【答案】225【解答】分析：“图解法”是解决这类问题最经典的方法。
注意到原来和后来父子二人所搬砖头数的差是一个“不变量”，可以利用这个特点来解题。
原来爸爸所搬的砖头是小明的6倍，因此两个人的差应为5的倍数；后来爸爸所搬的砖头变成了小明的4倍，因此两个人的差又应该是3的倍数。
综合起来看这两个条件，差既是5的倍数又是3的倍数，因此这个差应该是15的倍数，它可能是15、30、45、60……。
所以可以假设爸爸和小明的差为“15”份。
解法1：如图，画出线段图表示题目条件的含义。
小明原来搬了“1”，后来又搬了18块。
人教版六年级下册数学和差倍问题(课件)
3、四年级棒球联赛，决赛时四（5）班和四（10） 班共获得34分，其中四（10）班比四（5）班的 1.5倍多4分，两个班分别得了多少分？
4、五年级10班在决赛前累计得分38分，17班累 计得分52分，10班比17班少多少分，17班的得分 刚好是10班的2倍？
5、为准备体育联赛，体育室买来75个球，其中 篮球是足球的2倍，排球比足球多3个，这三种球 各多少个？
解决和倍问题的基本方法：
一倍量=和÷（倍数+1） 多倍量=一倍量 × 倍数 多倍量=和 — 一倍量
题型二：差倍问题
1、五年级进行篮球联赛，五（3）班进球个数是 五（7）班的3倍，3班比7班多进了6个球。两个 班各进球多少个？
2、六年级足球联赛，六（7）班和六（11）班原 来准备的助威道具数量一样多，7班丢失了4个， 11班少了10个，7班剩余的是11班的3倍，原来 两个班有多少个助威道具？
3、两个数的和是264，把其中一个数的小数点向 右移动一位，则两个数一样大。这两个数分别是 多少？
解决和差问题的基本方法：（和＋差）÷来自＝多倍量 （和－差）÷2＝一倍量
解决此类题型的三个关键点：
1、画线段图 2、找“和”“差”的对应份数 3、求出“1”份数（也就是较小的数）
拓展
1、甲、乙两数的差是0.99，甲数的小数点向右 移动一位与乙数相等，甲数是多少？乙数是多少 ？
2、一个数的小数点向左移动一位后比原来小36， 这个数原来是多少？
和倍问题、差倍问题、和差问题
学校的体育节活动真丰富！好精彩 啊！
除了全校的运动会还有各年级的体 育联赛，我们一起来看一看吧！
题型一：和倍问题
1、一二年级的小朋友都是跳绳联赛，一年级的 小西和二年级的东东共跳绳300个，东东跳绳个 数是小西的2倍，小西和东东各跳绳多少个？ 一倍量 小西：300÷（2＋1）=100（个）
第6讲 和倍、差倍问题
第6讲 和倍、差倍问题 讲 和倍、
-----六年级数学 六年级数学
公式回忆
---------和倍、差倍 和倍、 和倍
1 2 3 4
和÷倍数和=1倍数（小数） 倍数（小数）
1倍数×倍数=几倍数（大数） 倍数× 几倍数（大数） 或：和—小数=大数
差÷（倍数—1）=小数（1倍数） 小数（ 倍数） 小数×倍数=大数（几倍数） 小数× 大数（几倍数） 或：小数+差=大数
例3： ：
• 两数相除商 余2，已知被除数、除数、商和余 两数相除商3余2，已知被除数、除数、 数的和是115，被除数是多少？ 数的和是 ，被除数是多少？
• 分析： 分析： • 被除数： 被除数： • 除数： 除数： • 解答： 解答： • • • 115－3－2=110 － － 27×3+2=83 × ……被除数与除数的和 被除数与除数的和 ……除数 除数 ……被除数 被除数 （110 －2）÷（3+1）=27 ） ）
• 解答： 解答： • • • （11+7）÷（3—1）=9（只） ） ） （ 9+11=20（只） （ 20+7=27（只） （ ……排球 排球 ……足球 足球 ……篮球 篮球 11 7
？
• 答：足球27只，排球 只，篮球 只。 足球 只 排球20只 篮球9只
和倍、差倍问题PPT课件
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13
例2、甲、乙两个粮仓各存粮若干吨，甲仓存 粮的吨数是乙的3倍。如果甲仓中取出260吨， 乙仓中取出60吨，则甲、乙两个粮仓存粮的 吨数相等。甲、乙两个粮仓各存粮多少吨？
想一想：甲仓存粮的吨数比乙仓多 多少吨？甲仓存粮的吨数比乙仓多 多少倍？ （1）甲仓比乙仓多存粮多少吨？ （2）甲仓比乙仓多存粮多少倍？ （3）乙仓存粮多少吨？ （4）甲仓存粮多少吨？
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8
例1、小红买的兰花比月季多12朵，已知兰花的朵 数是月季的3倍。小红买了兰花和月季各多少朵？
想一想：兰花比月季多几倍？ 兰花比月季多的12朵就是月季的几倍？
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9
推导差倍公式
从例1可以发现，解答差倍问题的关键是，运 用线段图帮助我们分析，找出两个数的差以 及与它相对应的倍数，从而先求出1倍数，再 求出其他数。
从例1可以发现解答差倍问题的关键是运用线段图帮助我们分析找出两个数的差以及与它相对应的倍数从而先求出1倍数再求出其他数
和倍问题
认识倍数
白猫抓了3条鱼，花猫抓了6条鱼。花猫 抓的是白猫抓的几倍？
如何画图
白猫： 花猫：
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2
和倍问题
和倍问题是已知大小两个数的和与它们 的倍数关系，求大小两个数的应用题.
常采用画线段图的方法来表示两种量间 的这种关系，以便于找到解题的途径。
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3
例1 、甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本 数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？
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4
推导和倍公式
• 和倍问题的特点： • 1、两个或两个以上的数量比较 • 2、有数量和 • 3、有倍数
和倍公式为： 和÷ （倍+1）=一倍或一份 和÷ 倍数和=一倍或一份
和、差、倍、分问题
1. 和、差、倍、分问题：（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。
（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。
例、甲乙两个数,甲数比乙数的2倍多1,乙数比甲数小4,求这两个数2. 劳力调配问题：这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：（1）既有调入又有调出；（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。
例、甲组有37人,乙组有23人,现在需要从甲、乙两组调出相同数量的人去做其他工作，若使甲组剩下的人数为乙组剩下的人数的2倍，则需要从甲、乙两组各调出多少人？机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？3.利润赢亏问题（1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等（2）有关关系式：商品利润=商品售价—商品进价商品利润=商品进价×商品利润率商品售价=商品标价×折扣率例、某商品进价为每件2000元，按标价的8折出售，每件利润将减少60%，则该商品的标价是______________元。
某种商品的价格为a元,降价10%后又降价10%,销售一下子上升了,商场决定再提价20%,提价后这种商品的价格为———4.（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间。
（2）基本类型有①相遇问题；②追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。
（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。
并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。
5、数字问题（1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。
三年级数学思维训练第六讲差倍问题
第六讲差倍问题（一）公式差÷(倍数-1)=小数;小数+差或小数×倍数=大数。
例题1、两根电线的长相差30米，长的那根的长是短的那根的长的4倍。
这两根电线各长多少米?2、甲、乙二工程队，甲队有56人，乙队有34人。
两队调走同样多人后，甲队人数是乙队人数的3倍。
问:调动后两队各有多少人?3、甲、乙两桶油重量相等。
甲桶取走26千克油，乙桶加入14千克油，这时，乙桶油的重量是甲桶油的重量的3倍。
两桶油原来各有多少千克?4、小云比小雨少20本书，后来小云丢了5本书，小雨新买了11本书，这时小雨的书比小云的书多2倍。
问:原来两人各有多少本书?5、李师傅生产的零件个数是徒弟的6倍，如果两个人各再生产20个，那么李师傅生产零件的个数是徒弟的4倍，两人原来各生产零件多少个?6、某班买来单价为0.5元的练习本若干，如果将这些练习本只给女生，平均每人可得15本;如果将这些练习本只给男生，平均每人可得10本。
那么，将这些练习本平均分给全班同学，每人应付多少钱?1、小明去市场买水果，他买的苹果个数是梨的3倍，苹果比梨多18个，小明买苹果和梨各多少个？2、学校合唱组的女同学人数是男同学的4倍，女同学比男同学多42人，合唱组各有男同学、女同学多少人？3、被除数比除数大252，商是7，被除数、除数各是多少？4、被除数比除数大168，商是22，被除数、除数各是多少？5、水果店有两筐橘子，第一筐橘子的重量是第二筐的5倍，如果从第一筐中取出300个橘子放入第二筐，那么第一筐橘子还比第二筐多60个，原来两筐橘子各多少个？6、同学们助残捐款，六年级捐款钱数是三年级的3倍，如果从六年级捐款钱数中取出160元放入三年级，那么六年级的捐款钱数还比三年级多40元，两个年级分别捐款多少元？7、两个书架所存书的本数相等，如果从第一个书架里取出200本书，而第二个书架再放入40本书，那么第二个书架的本书是第一个书架的3倍，问两个书架原来各存书多少本？8、两个仓库所存粮食重量相等，如果从第一个仓库里取出2000千克，而第二个仓库再存入400千克，那么第二个仓库的粮食重量是第一个仓库的7倍。
三年级和差倍问题精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版三年级和差倍问题第一篇：三年级和差倍问题优学教育——为学生创造奇绩！三年级整合训练优学教育——为学生创造奇绩！三年级整合训练优学教育三年级和差倍问题专题讲解和、差、倍是两个数之间最基本的数量关系，这三个关系中只要知道任意两个，我们都可以求出相应的两个数。
知道“和”与“差”是和差问题，知道“和”与“倍”是和倍问题，知道“和”与“差”是和差问题，都有相应的公式。
和差倍问题是三年级的难点和重点。
注：在很多题目中，往往不直接告诉我们和、差，这就需要我们自己观察。
而在和差倍问题中，往往需要我们找到“一倍数”（或一倍量）。
那如何找到一倍数呢？我们的方法是：“是”、“比”、“等于”后面的我们看作一倍数，如果在题目中我们通过这种方法找到两个一倍数，那么一般把较小的看作一倍数。
一、和差问题和差问题是指知道两个数的“和”与“差”，要求这两个数。
和差问题基本公式如下：大数=（和+差）÷2 小数=（和-差）÷2（或者：小数=大数-差，小数=和-大数）【例】：张明在期末考试时，语文、数学两门课的平均得分是95分，数学比语文多得8分，张明这两门功课的成绩各是多少分？【分析】：通过第一条条件“平均分是95分”可以算出“和”是95×2=190分，第二个条件又告诉了我们“差”是8，解答过程如下：和：95×2=190（分）数学（大数）：（190+8）÷2=99（分）语文（小数）：（190-8）÷2=91（分）或者：99-8=91（分）190-99=91（分）【例】：甲、乙两筐苹果共重75千克，从甲筐取出5千克苹果放入乙筐里，甲筐苹果还比乙筐多7千克。
甲、乙两筐原来各有苹果多少千克？【分析】：通过第一个条件可知“和”是75，那差是多少呢，题目中并没直接告诉我们，通过画图，示意图如下：从图上可以看出，甲、乙两筐原来的差为5+7+5=17千克，差：5+7+5=17（千克）甲（大数）：（75+17）÷2=46（千克）乙（小数）：（75-17）÷2=29（千克）或者：46-17=29（千克）75-46=29（千克）二、和倍问题和倍问题是指知道两个数的“和”与“倍”，要求这两个数，是常见的典型应用题。
人教版小学六年级数学上册《和倍差倍问题》名师课件
美术小组的人数是 航模小组的 4 。
5
25－5＝20（人）
答：航模小组有25人，美术小组有20人。
3.五爱小学三、四年级共有学生473名学生，四年
级的学生人数比三年级的
4 5
多23人。三、四年级各
有多少名学生？
解：设三年级有x名学生。
x＋
4 5
x＋23＝473
9 5
x＝450
x＝250
473－250＝223（名）
六年级 上册
第三单元
“和倍”“差倍”问题
根据线段图，列出方程。
x 甲
54
乙
2x 3x 54或54 2x 3x
甲
x
54
乙
x 2 x 54或54 x 2 x
3
3
想一想：线段图相同，列出的方程为什么不同？
❀ 阅读与理解
独立思考： 从图中你获得了哪些信息？
根据已有的信息，你能 提出哪些数学问题？
1．甲、乙两桶油共重40千克，甲桶油的重量是
乙桶油的
3 5
。两桶油各重多少千克？（用两种方
法解答）
方法一：解：设乙桶油重x千克。 方法二：
x＋
3 5
x＝40
8 5
x＝40 x＝40÷
8 5
x＝25
40÷（1＋
3 5
）＝25（千克）
25×
3 5
＝15（千克）
25× 3 ＝15（千克）
5
答：乙桶油重25千克，甲桶油重15千克。
2. 美术小组和航模小组各多少人？
美术小组比航模小组 多5人。
和倍问题 差倍问题
美术小组的人数是 航模小组的 4 。
5
和前面的解决问题相 比,这道题有什么不同？
分数除法__例6《“和倍”“差倍”问题》教学课件 (3)
小明看一本故事书,第
页,这本书一共有多少页?
一个等腰三角形，它的顶角的度
1 数是其中一个底角的 ，它的顶角 4
和底角分别是多少度？
某单位四、五月份一
共用电1680千瓦时，已
知四月份的用电量是五
月份的 3 ，五月份用
电多少千瓦时？
5
1 一件商品，先提价 ，又降 10 1 价 ，现价是198元。这件商品原 10
4 5 1 4 7 15
六（1）班参加篮球比赛，全场得分为42分，
下半场得分只有上半场的一半。六（1）班
上半场和下半场各得多少分？
美术小组比航模小组 少15人
美术小组的人数是 航模小组的
2 5
美术小组和航模小组各多少人？
（1）用含有字母的式子表示： 果园里有苹果树X棵，梨树的
3 。梨树有 4
小时打完。三人合打份书稿，需要几
小时打完？
一项工作，甲单独做要12天完成， 乙单独做要15天完成。二人同时工作，
中途甲有事离开，剩下的由乙完成，
从工作开始到工作结束共用10天。甲
比乙少干了几天？
价是多少元？
刘梅和王红都喜欢收集邮票，
她们一共收集了40枚邮票，如果刘
1 梅拿自己邮票的 给王红，两人 5
的邮票就一样多。刘海、王红原来
各有多少枚邮票？
某地区2015年4月份有三种天气， 即晴天、阴天、雨天，且雨天是晴天
1 2 的 ，阴天是晴天的 3 3
。这个地
区的4月份中，晴天、阴天、雨天各
几天？
巩固练习
1、文艺书和科技书共25本，文艺书 2 是科技书的 3 ，求科技书的方程是 （ ④ ）。文艺书比科技书少25本， 2 文艺书是科技书的 ，求科技书的 3 方程是（ ② ）。
一元一次方程——和差倍分问题
一元一次方程应用题——和、差、倍、分问题一、学习重点：这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。
仔细读题，找出表示和、差、倍、分关系的关键字，例如：“大，小，多，少，增加，减少……”，并据题意设出未知数，利用这些关键字表示出含有未知数的量，最后利用题目中的量与量之间的关系列出方程。
1、倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几……”来体现。
2、多少关系：通过关键词语“多、少、和、差……”来体现。
增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量一般设未知数要找跟所有关系联系最紧密的那个量。
二、基础练习题：1、a比b多5，则a=______；a比b少3，则a=______；a是b的2倍，则a=____；a增加3倍，则a=_____；a增加到3倍，则a=_____；将a增加b，则a=_____；将a增加到b，则a=_____。
2、已知甲数比乙数小12，甲乙两数的和为50，甲数为_____；乙数为_____。
3、已知甲数比乙数的3倍多12，甲乙两数的和是60，甲数为_____；乙数为_____。
4、已知甲数是10，增加40%后甲数为______；在此基础上减少50%后甲数为_______。
5、已知甲数的3倍是乙数与-2的和的2倍，甲数与乙数的差为5，甲数为_____；乙数为_____。
6、三个连续偶数的和是360，中间的偶数为_____。
7、三个连续奇数的和为361，中间的奇数为_____。
8、甲班有a人，乙班的人数是甲班人数的2倍少b人，则乙班的人数为_________。
9、某校共有学生1049人，女生占男生的40%，则男生的人数为__________。
例题1:禽养场养鸡和鸭共4600只，养的鸡比鸭的4倍还多100只，禽养场的鸡鸭各多少只？练习:足球的表面是由一些呈多边形的黑白皮块缝合而成的，共计有32块，已知黑色皮块数比白色皮块数的一半多2，问两种皮块各有多少？做题：10、11例题2：一根电线长240米，把它截成三段，使第一段比第二段长20米，第三段长是第一段的2倍。
第六章和倍、差倍问题
第六讲和倍、差倍问题问题特点：已知两数的和与两数的倍数关系，求这两个数各是多少，就是和倍问题。
已知两数的差与两数的倍数关系，求这个数各是多少，就是差倍问题。
解答和倍、差倍问题的关键是先确定标准量，一般是以较小的数作为比较的标准，看和是它的几倍，或差是它的几倍，由此先求出较小的数，然后再求较大的数。
解决方法：理解和倍、差倍问题的数量关系，准确确定标准量，弄清和或差是它的几倍，熟练地用线段图表示已知条件和问题。
1、和倍问题：例甲、乙两数的和是48，甲数是乙数的2倍，甲、乙两数各是多少？如图：？千克 1乙数和是48 甲数？乙数：48÷（2+1）=16 甲数：16х2=322、差倍问题例某工厂一车间人数是二车间的3倍，一车间比二车间多120人，两个车间各有多少人？线段图：1二车间多120人一车间？二车间：120÷（3-1）=60人一车间：60х3=180人练习：1、果园里新栽李树和桃树共380棵，李树是桃树的3倍，求李树和桃数各有多少？2、两块小麦试验田共收小麦7500千克，已知第二块地比第一块地的产量多3倍，求这两块地各收小麦多少千克？3、农具厂第二季度生产的农具是第一季度的4倍少3000套。
已知第二季度比第一季度多生产农具24000套，求第一季度、第二季度各生产农具多少套？这是差倍问题：线段图：第一季度：多240003000第二季度：？4、四、五、六年级共植树480棵，六年级植树的棵数是四年级的3倍，四年级比五年级少30棵，，求每个年级各植树多少棵？这是较复杂的各倍问题：线段图：四年级：五年级：共480棵六年级：5、火树银花楼七层，层层红灯倍加增，共有红灯三八一，试问四层几红灯？设第一层红灯的数目为“1”分析出其他层的红灯数，求出第一层的“1”表示多少？再求第四层！！实战训练：一、选择题：1、花店卖出月季花和玫瑰花共1500棵，月季花是玫瑰花的5倍，卖出月季是（）棵A、250B、1250C、3002、甲、乙两堆货物有75吨。
(完整版)三年级和差倍问题
优学教育三年级和差倍问题专题讲解和、差、倍是两个数之间最基本的数量关系，这三个关系中只要知道任意两个，我们都可以求出相应的两个数。
知道“和”与“差”是和差问题，知道“和”与“倍”是和倍问题，知道“和”与“差”是和差问题，都有相应的公式。
和差倍问题是三年级的难点和重点。
注：在很多题目中，往往不直接告诉我们和、差，这就需要我们自己观察。
而在和差倍问题中，往往需要我们找到“一倍数”（或一倍量）。
那如何找到一倍数呢？我们的方法是：“是”、“比”、“等于”后面的我们看作一倍数，如果在题目中我们通过这种方法找到两个一倍数，那么一般把较小的看作一倍数。
一、和差问题和差问题是指知道两个数的“和”与“差”，要求这两个数。
和差问题基本公式如下：大数=（和+差）÷2小数=（和-差）÷2 （或者：小数=大数-差，小数=和-大数）【例】：张明在期末考试时，语文、数学两门课的平均得分是95分，数学比语文多得8分，张明这两门功课的成绩各是多少分？【分析】：通过第一条条件“平均分是95分”可以算出“和”是95×2=190分，第二个条件又告诉了我们“差”是8，解答过程如下：和：95×2=190（分）数学（大数）：（190+8）÷2=99（分）语文（小数）：（190-8）÷2=91（分）或者：99-8=91（分）190-99=91（分）【例】：甲、乙两筐苹果共重75千克，从甲筐取出5千克苹果放入乙筐里，甲筐苹果还比乙筐多7千克。
甲、乙两筐原来各有苹果多少千克？【分析】：通过第一个条件可知“和”是75，那差是多少呢，题目中并没直接告诉我们，通过画图，示意图如下：从图上可以看出，甲、乙两筐原来的差为5+7+5=17千克，差：5+7+5=17（千克）甲（大数）：（75+17）÷2=46（千克）乙（小数）：（75-17）÷2=29（千克）或者：46-17=29（千克）75-46=29（千克）二、和倍问题和倍问题是指知道两个数的“和”与“倍”，要求这两个数，是常见的典型应用题。
和差倍分问题——一元一次方程实际问题全篇
年龄问题
例5、孙子问爷爷：“您今年多 大年龄了啊？”爷爷说：“如 果我再活现在岁数的三分之一， 加上4岁，正好是100岁。”问 爷爷现在多少岁？
2、王丹同学今年12岁，她爸爸 今年36岁，几年后爸爸的年龄 是王丹年龄的2倍
数字问题
例6、一个两位数,十位数字比 个位数字的2倍多1，将这两 个数字对调,所得的数比与原 来小27,求原来的两位数.
依题意得
1 2
x
4.5
8
解之得
x=7
则桶重为 8－x=1
答 ：原有煤油7公斤，桶重为1公斤。
思考题：
一个大人一餐能吃四个面包， 四个小孩一餐只吃一个面包， 现有大人和小孩共100人， 一餐刚好吃100个面包， 问其中大人和小孩各有多少？
例8.根据2001年3月28日新华 社公布的第五次人口普查统计 数据，截止到2000年11月1日0 时，全国每10万人中具有小学 文化程度的人口为35701人， 比1990年7月1日减少了3.66% ，1990年6月底每10万人中约 有多少人具有小学文化程度？
比例分配问题
例3. 三个正整数的比为1：2：4 ，它们的和是84，那么这三个数 中最大的数是几？
这类问题的一般思路为：设其中一份为x，利 用已知的比，写出相应的代数式。 常用等量关系：各部分之和＝总量。
比值问题
例4、洗衣厂今年计划生产洗衣 机25500台,其中Ⅰ型,Ⅱ,Ⅲ 型三种洗衣机的数量之比 1:2:14,这三种洗衣机计划各生 产多少台?
数字问题
练习：一个三位数的个位数字是 1，如果把这个1移到最左边的 位置上，那么所得的新三位数 的2倍比原数多15，求原来的 三位数。
例7 ：一桶煤油连桶重8公斤，用
去一半煤油后，连桶重4.5公斤，
(完整版)第6讲和差倍分问题
第6讲 和差倍分问题内容概述在和差倍问题中引入“分数倍”酌概念，并理解其含义．解题中应合理选取单位“1”，题目中隐藏的不变量或公共量往往是关键．典型问题兴趣篇1．运输连要将450枚弹药送到前线，其中炮弹占了95其余都是手榴弹．由于遇上敌军伏击，炮弹损失了52，而手榴弹只剩下83，送到时还剩多少枚弹药？2．学校举行新年自助餐会，一共准备了1000瓶饮料，其中一部分是可乐，剩下的全是果汁，一个小时后，果汁已经减少了51，但可乐的数量却没有改变．如果此时饮料还剩872瓶，那么可乐的数量是多少瓶？3．口袋里装着红、黄、绿三种颜色的球，其中红球占总球数的31，黄球占总球数的41，绿球比黄球多50个．口袋里一共有几个球？4．游戏公司计划生产一批限量版的游戏机．现在已完成计划的125，如果再生产340台，总产量就超过计划的81，原计划生产多少台？ 5．一个工人加工一批机器零件，第一天完成了任务的51，第二天完成了剩下部分的31，前两天一共完成了56个．请问：这批零件共有几个？6．红星机械厂有三个车间，第一车间的人数是第二、三车间人数和的21，第二车间的人数是第一、三车间人数和的31，第三车间有105人．求该厂工人的总数．7．甲桶中的水比乙桶中的多51，丙桶中的水比甲桶中的少51．请问：乙、丙两桶哪桶水多？如果把三桶水倒人一个大缸里，甲桶中的水占其中的几分之几？8．图6-1是某市的园林规划图，其中草地占正方形的43，竹林占圆形的75，正方形和圆形的公共部分是水池．已知竹林的面积比草地的面积少450平方米，问：水池的面积是多少平方米？9．阿奇和小悦都有很多科普书，阿奇的科普书数量是小悦的83．后来小悦送给阿奇l l 本书后，阿奇的科普书数量就变成了小悦的74．原来阿奇比小悦少多少本书？10．课间同学们都在操场上活动，其中女生占总人数的92，后来又来了12个女生，使得女生人数达到男生人数的73．操场上现在有多少名同学？拓展篇1．等候公共汽车的人整齐地排成一列，阿奇也在其中，他数了一下人数，发现排在他前面的人数占总人数的32，排在他后面的人数占总人数的41．从前往后数，阿奇排在第几个？2．五年级原来有学生325人，新学期男生增加25人，女生减少了201，结果总人数增加了16人．请问：现有男生多少人？3．冬冬、阿奇两人玩电子游戏，通过第一关后，冬冬得了120分，阿奇得了200分．接下来，他们俩在第二关得到了相同的分数，累加两关总得分，冬冬的得分是阿奇的43．两人在第二关各得了多少分？4．有一堆砖，搬走总数的41后又运来306块．这时这堆砖比最开始还多了51．这堆砖原来有多少块？5．用一批纸装订一种练习本．第一天装订了120本，还剩全部纸张的52；第二天又装订了65本，还剩下1350张纸．这批纸原来一共有多少张？6．刚打完篮球，冬冬觉得非常渴，就拿起一大瓶矿泉水狂喝．他第一口就喝了整瓶水的一半，第二口又喝了剩下的31，第三口则喝了剩下的41，第四口再喝剩下的51，第五口喝了剩下的61．此时瓶子里还剩0.5升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？7．现有苹果、桔子、梨、菠萝四种水果各若干个，苹果的数目是其他三种水果总数的61，桔子的数目是其他三种水果总数的165，梨的数目是其他三种水果总数的52，菠萝有56个，这些水果一共有多少个？8．2008年5月，某爱心慈善组织向四川大地震中受灾严重的汶川地区捐赠帐篷，他们第一次向汶川运来了全部帐篷的83，第二次运了50顶帐篷．这时，已运来的帐篷数恰好是没运来的75，请问：还有多少顶帐篷没有运来？9．如图6-2，甲、乙、丙三根木棒插在水池中，它们的长度之和是360厘米．甲木棒有43露在水面上，乙木棒有74露在水面上外，丙木棒有52露在水面上．请问：水深是多少厘米？10．阿奇和冬冬一起玩游戏牌，开始时阿奇手里的牌数是冬冬手里牌数的53；玩了若干局后，阿奇赢了冬冬的20张牌，此时阿奇手里的牌数反而是冬冬手里牌数的57．请问：阿奇此时一共有多少张牌？11．口袋里有若干个球，其中红球占了总球数的125．后来又放了8个红球，这时红球占了总球数的21，现在口袋里有多少个球？12．水池中立着长短两根木桩．长木桩露出水面部分比短木桩露出部分长52，当水面升高11厘米后，短木桩露出水面的部分比长木桩露出部分短53．如果水面再升高多少厘米，短木桩露出水面长度将是长木桩露出水面长度的121?超越篇1．装订车间的工人要将一批书打包后送往邮局，每包中装的书一样多．第一次，他们领来这批书的127，结果打了14个包还多35本．第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次多出的零头一起，刚好又打了11包．请问：这批书共有多少本？ 2．劳动小学五年级选出女生总人数的111和22名男生参加数学竞赛，剩下的女生人数是剩下男生人数的2倍，如果女生的总人数比男生的总人数多2人，那么劳动小学五年级共有多少人？3．有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子，已知第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的52．把这三堆棋子集中在一起，白子占全部棋子的几分之几？4．某工厂有A 、B 、C 、D 、E 五个车间，人数各不相等．由于工作需要，把B 车间工人的21调入A 车间，C 车间工人的31调入B 车间，D 车间工人的41调入C 车间，E 车间工人的61调入D 车间，现在五个车间都是30人．原来每个车间各有多少人？5．从飞机的窗口向外望去，阿奇看见部分海岛、部分白云以及不大的一片海域．其中白云占去了窗口画面的一半，它遮住了全部海岛的41，因此海岛只占窗口画面的41，请问：被白云遮住的那部分海洋占窗口画面的几分之几？6．有A 、B 、C 、D 四根材料相同的蜡烛，其中A 和B 一样粗，C 和D 一样粗，A 和C 一样长，B 和D 一样长．把四根蜡烛同时点燃，过了6小时，D 首先烧完，此时B 所剩长度是C 的2倍；再过l 小时40分钟，C 正好烧完．请问：A 、B 还可以再燃烧多久？7．如图6-3所示，两根粗细相同、材质相同但长度不同的蜡烛竖直地漂在水面上．一开始，长蜡烛露出水面的部分是短蜡烛总长度的一半；将两根蜡烛同时点燃1小时后，长蜡烛露出水面的部分与短蜡烛总长度相等，已知蜡烛漂在水面上时，露出水面的长度始终等于蜡烛在水下长度的91，那么短蜡烛还可再烧多久，长蜡烛还可再烧多久？8．甲、乙、丙三个好朋友去超市买了100元的商品．如果甲付钱，那么甲剩下的钱将是乙、丙剩下钱的132；如果乙付钱，那么乙剩下的钱将是甲、丙剩下钱的169；如果丙付钱，丙用他的会员卡就可以享受9折优惠，只需付90元，那么丙剩下的钱将是甲、乙剩下钱的31，问：甲、乙、丙开始时一共带了多少钱？。
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第6讲 和差倍分问题
内容概述
在和差倍问题中引入“分数倍”酌概念，并理解其含义．解题中应合理选取单位“1”，题目中隐藏的不变量或公共量往往是关键．
典型问题
兴趣篇
1．运输连要将450枚弹药送到前线，其中炮弹占了9
5
其余都是手榴弹．由于遇上敌军伏击，炮弹损失了
52，而手榴弹只剩下8
3
，送到时还剩多少枚弹药？
2．学校举行新年自助餐会，一共准备了1000瓶饮料，其中一部分是可乐，剩下的全是果汁，一个小时后，果汁已经减少了5
1
，但可乐的数量却没有改变．如果此时饮料还剩872瓶，那么可乐的数量是多少瓶？
3．口袋里装着红、黄、绿三种颜色的球，其中红球占总球数的31，黄球占总球数的4
1，绿球比黄球多50个．口袋里一共有几个球？
4．游戏公司计划生产一批限量版的游戏机．现在已完成计划的12
5
，如果再生产340台，总产量就超过计划的
8
1
，原计划生产多少台？ 5．一个工人加工一批机器零件，第一天完成了任务的51，第二天完成了剩下部分的3
1，前两天一共完成了56个．请问：这批零件共有几个？
6．红星机械厂有三个车间，第一车间的人数是第二、三车间人数和的2
1
，第二车间的人数是第一、三车间人数和的3
1
，第三车间有105人．求该厂工人的总数．
7．甲桶中的水比乙桶中的多
51，丙桶中的水比甲桶中的少5
1
．请问：乙、丙两桶哪桶水多？如果把三桶水倒人一个大缸里，甲桶中的水占其中的几分之几？
8．图6-1是某市的园林规划图，其中草地占正方形的
43，竹林占圆形的7
5
，正方形和圆形的公共部分是水池．已知竹林的面积比草地的面积少450平方米，问：水池的面积是多
少平方米？
9．阿奇和小悦都有很多科普书，阿奇的科普书数量是小悦的8
3
．后来小悦送给阿奇l l 本书后，阿奇的科普书数量就变成了小悦的7
4
．原来阿奇比小悦少多少本书？
10．课间同学们都在操场上活动，其中女生占总人数的9
2
，后来又来了12个女生，使得女生人数达到男生人数的
7
3
．操场上现在有多少名同学？
拓展篇
1．等候公共汽车的人整齐地排成一列，阿奇也在其中，他数了一下人数，发现排在他前面的人数占总人数的32，排在他后面的人数占总人数的4
1
．从前往后数，阿奇排在第几个？
2．五年级原来有学生325人，新学期男生增加25人，女生减少了
20
1
，结果总人数增加了16人．请问：现有男生多少人？
3．冬冬、阿奇两人玩电子游戏，通过第一关后，冬冬得了120分，阿奇得了200分．接下来，他们俩在第二关得到了相同的分数，累加两关总得分，冬冬的得分是阿奇的4
3
．两人在第二关各得了多少分？
4．有一堆砖，搬走总数的41后又运来306块．这时这堆砖比最开始还多了5
1
．这堆砖原来有多少块？
5．用一批纸装订一种练习本．第一天装订了120本，还剩全部纸张的
5
2
；第二天又装订了65本，还剩下1350张纸．这批纸原来一共有多少张？
6．刚打完篮球，冬冬觉得非常渴，就拿起一大瓶矿泉水狂喝．他第一口就喝了整瓶水的一半，第二口又喝了剩下的31，第三口则喝了剩下的41，第四口再喝剩下的5
1
，第五口喝了剩下的6
1
．此时瓶子里还剩0.5升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？
7．现有苹果、桔子、梨、菠萝四种水果各若干个，苹果的数目是其他三种水果总数的6
1，桔子的数目是其他三种水果总数的
165，梨的数目是其他三种水果总数的5
2
，菠萝有56个，这些水果一共有多少个？
8．2008年5月，某爱心慈善组织向四川大地震中受灾严重的汶川地区捐赠帐篷，他们第一次向汶川运来了全部帐篷的8
3
，第二次运了50顶帐篷．这时，已运来的帐篷数恰好是没运来的7
5
，请问：还有多少顶帐篷没有运来？
9．如图6-2，甲、乙、丙三根木棒插在水池中，它们的长度之和是360厘米．甲木棒有4
3露在水面上，乙木棒有74露在水面上外，丙木棒有5
2
露在水面上．请问：水深是多少厘米？
10．阿奇和冬冬一起玩游戏牌，开始时阿奇手里的牌数是冬冬手里牌数的53
；玩了若干局后，阿奇赢了冬冬的20张牌，此时阿奇手里的牌数反而是冬冬手里牌数的5
7
．请问：阿
奇此时一共有多少张牌？
11．口袋里有若干个球，其中红球占了总球数的
12
5
．后来又放了8个红球，这时红球占了
总球数的2
1
，现在口袋里有多少个球？
12．水池中立着长短两根木桩．长木桩露出水面部分比短木桩露出部分长5
2
，当水面升高11厘米后，短木桩露出水面的部分比长木桩露出部分短5
3
．如果水面再升高多少厘米，短木桩露出水面长度将是长木桩露出水面长度的
12
1?
超越篇
1．装订车间的工人要将一批书打包后送往邮局，每包中装的书一样多．第一次，他们领来这批书的
12
7
，结果打了14个包还多35本．第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次多出的零头一起，刚好又打了11包．请问：这批书共有多少本？ 2．劳动小学五年级选出女生总人数的
11
1
和22名男生参加数学竞赛，剩下的女生人数是剩下男生人数的2倍，如果女生的总人数比男生的总人数多2人，那么劳动小学五年级共有多少人？
3．有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子，已知第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的
5
2
．把这三堆棋子集中在一起，白子占全部棋子的几分之几？
4．某工厂有A 、B 、C 、D 、E 五个车间，人数各不相等．由于工作需要，把B 车间工人的
21调入A 车间，C 车间工人的31调入B 车间，D 车间工人的41
调入C 车间，E 车间工人的6
1
调入D 车间，现在五个车间都是30人．原来每个车间各有多少人？
5．从飞机的窗口向外望去，阿奇看见部分海岛、部分白云以及不大的一片海域．其中白云占去了窗口画面的一半，它遮住了全部海岛的
41，因此海岛只占窗口画面的4
1
，请问：被白云遮住的那部分海洋占窗口画面的几分之几？
6．有A 、B 、C 、D 四根材料相同的蜡烛，其中A 和B 一样粗，C 和D 一样粗，A 和C 一样长，B 和D 一样长．把四根蜡烛同时点燃，过了6小时，D 首先烧完，此时B 所剩长度
是C 的2倍；再过l 小时40分钟，C 正好烧完．请问：A 、B 还可以再燃烧多久？
7．如图6-3所示，两根粗细相同、材质相同但长度不同的蜡烛竖直地漂在水面上．一开始，长蜡烛露出水面的部分是短蜡烛总长度的一半；将两根蜡烛同时点燃1小时后，长蜡烛露出水面的部分与短蜡烛总长度相等，已知蜡烛漂在水面上时，露出水面的长度始终等于蜡烛在水下长度的
9
1
，那么短蜡烛还可再烧多久，长蜡烛还可再烧多久？
8．甲、乙、丙三个好朋友去超市买了100元的商品．如果甲付钱，那么甲剩下的钱将是乙、
丙剩下钱的
132；如果乙付钱，那么乙剩下的钱将是甲、丙剩下钱的16
9；如果丙付钱，丙用他的会员卡就可以享受9折优惠，只需付90元，那么丙剩下的钱将是甲、乙剩下钱的3
1
，
问：甲、乙、丙开始时一共带了多少钱？。