全国卷Ⅲ高考压轴卷 数学(理)含解析

普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

● 注意事项：

● 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

● 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.已知集合{}

(1)(4)0A x x x =+-≤，{}

2log 2B x x =≤，则A B ⋂=（ ） A. []4,2-

B. [)1,+∞

C. (]0,4

D.[)2,-+∞

2.若复数z 满足2

(1)z i i -=（i 是虚数单位），则z 为（ ）

A.

13 B. 12

C. 14

D. 1

5 3.已知1

23a =，2log 3b =，9log 2c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A. a b c >>

B. a c b >>

C. b a c >>

D.

c b a >>

4.在的二项展开式中，若第四项的系数为-7，则

（ ）

A.

B.

C.

D.

5．已知x •log 32＝1，则4x ＝（ ） A ．4

B ．6

C ．4

D ．9

6．在△ABC 中，若sinB ＝2sinAcosC ，那么△ABC 一定是（ ） A ．等腰直角三角形

B ．等腰三角形

C ．直角三角形

D ．等边三角形

7.宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦﹝九韶﹞、李﹝冶﹞、杨﹝辉﹞、朱﹝世杰﹞四大家”，朱世杰就是其中之一．朱世杰是一位平民数学家和数学教育家．朱世杰平生勤力研习《九章算术》，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家．他全面继承了前人

数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的《算学启蒙》，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的,a b 分别为3，1，则输出的n =（ ）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

8.函数3()e 1

=+x x f x 的图象大致是（ ）

A. B.

C. D.

9.设函数2

()ln f x a x bx =+(0,0)a b >>，若函数()f x 的图象在1x =处的切线与直线

20x y e --=平行，则

11

a b

+的最小值为（ ） A. 1 B.

1

2

C. 322-

D. 322+

10．已知函数f （x ）＝sin （ωx+φ）（ω＞0，

）的最小正周期为π，且关于

中心对称，则下列结论正确的是（ ）

A ．f （1）＜f （0）＜f （2）

B ．f （0）＜f （2）＜f （1）

C ．f （2）＜f （0）＜f （1）

D ．f （2）＜f （1）＜f （0）

11.函数()()

2

sin 4cos 1f x x x =⋅-的最小正周期是（ ）

A.

3π

B. 23

π C. π D. 2π 12. 定义在R 上的可导函数()f x 满足(2)()22f x f x x -=-+，记()f x 的导函数为()f x '，当

1x ≤时恒有()1f x '<．若()(12)31f m f m m ---≥，则m 的取值范围是

A ．(,1]-∞-

B ．1(,1]3

-

C ．[1,)-+∞

D ．1

[1,]3

-

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.函数

则

__________．

14．已知x ，y 满足042 1.x x y x y ⎧⎪

+⎨⎪-⎩

，，≥≥≤若2x y +的最小值为_________．

15.已知抛物线2

2(0)y px p =>与椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>有相同的焦点F ，P 是两曲

线的公共点，若5

6

PF p =，则此椭圆的离心率为_________. 16、已知正三棱锥，点、、、都在半径为球面上，若

、

、

两两相

互垂直，则球心到截面

的距离为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。

17．（12分）质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检n 件，并按质量指标值进行统计分析，得到表格如表：

质量指标值 等级 频数 频率 [60，75） 三等品 10 0.1 [75，90） 二等品 30 b [90，105） 一等品 a 0.4 [105，120）

特等品

20 0.2 合计

n

1

（1）求a ，b ，n ；

（2）从质量指标值在[90，120）的产品中，按照等级分层抽样抽取6件，再从这6件中随机抽取2件，求至少有1件特等品被抽到的概率．

18．（12分）ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设23sin()cos 22

B

A C +=. （Ⅰ）求sin

B ；

（Ⅱ）若ABC V 的周长为8，求ABC V 的面积的取值范围.

19．(12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，

PD DC =，点E 是PC 的中点.

（I ）求证：//PA 平面BDE ；

（II ）若直线BD 与平面PBC 所成角为30°，求二面角C PB D --的大小.

20．（12分）设函数()ln (1)()f x x a x a R =--∈.