全国卷Ⅲ高考压轴卷 数学(理)含解析
全国卷Ⅲ2020年高考数学压轴卷理含解析
b
[90，105）
一等品
a
0.4
[105，120）
特等品
20
0.2
合计
n
1
（1）求 a，b，n；
（2）从质量指标值在[90，120）的产品中，按照等级分层抽样抽取 6 件，再从这 6 件
中随机抽取 2 件，求至少有 1 件特等品被抽到的概率．
18．（12 分） ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，设
故选 B.
12【答案】D
【解析】构造函数 f (m) f (1 2m) ≥ 3m 1 f (m) m f (1 2m) (1 2m) ，所以
构造函数 F( x) f ( x) x ， f (2 x) f (x) 2x 2 f (2 x) (2 x) f ( x) x ，
（全国卷Ⅲ）2020 年高考数学压轴卷 理（含解析）
注意事项： 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
0) 与椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 有相同的焦点 F
， P 是两
PF 5 p
曲线的公共点，若
6 ，则此椭圆的离心率为_________.
16、已知正三棱锥
，点 、 、 、 都在半径为 的 球面上，若 、 、 两两相
互垂直，则球心到截面 的距离为__________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
高考数学(理)原创终极押题卷(新课标Ⅲ卷)(解析版)
秘密★启用前2019年全国普通高等学校招生考试终极押题卷（全国新课标Ⅲ）理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知i 为虚数单位,复数1z i =+,则1z z -的实部与虚部之差为( )A ． 1B ．0C1 D【答案】:D【解析】：复数1z i =+，∴111111,,--1222i z z i z i z +==-∴-=-，虚部，实部虚部,故选D.2.如图所示的Venn 图中，,A B 是非空集合，定义集合A B ⊗为阴影部分表示的集合．若x y ∈R ，，{A x y ==，30{|}x B y y x >＝＝，，则A B ⊗为()A ．{}2|0x x <<B ．{}2|1x x <≤C ．1{|0}2x x x ≤≤≥或D ．1{|0}2x x x ≤≤>或【答案】:D 【解析】：{}{}{}{}02,1,0,12,()A B A x x B y y AB x x AB x x A BC AB =≤≤=>∴=≥=<≤∴⊗=={}012x x x ≤≤>或，故选D.3.某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该学期的电费开支占总开支的百分比为（ ）A.B.C.D.【答案】B【分析】结合图表，通过计算可得：该学期的电费开支占总开支的百分比为 ×20%=11.25%，得解．【详解】由图1，图2可知：该学期的电费开支占总开支的百分比为×20%=11.25%，故选：B ．【点睛】本题考查了识图能力及进行简单的合情推理，属简单题． 4. 已知向量(1,3),(6,)a b m =-=,若a b⊥,则2a b -等于( ) A ． 80B ． 160C ．D ．【答案】C【解析】因为a b ⊥，所以630m -=，解得C ．5. 程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果1320，则判断框中应填入（ ）A ．12k ≤B ．11k ≤C ．10k ≤D ．9k ≤【答案】D【解析】初始值，12,1k s ==；执行框图如下：12,11s k ==；不能满足条件，进入循环；132,10s k ==；不能满足条件，进入循环；1320,9s k ==；此时要输出，因此要满足条件，∴．故选D 6. 若等差数列{}n a 满足递推关系1n n a a n +=-+，则5a =（ ）A ．92B ．94C ．114 D ．134【答案】B【解析】令4n =，得544a a +=；令5n =，得655a a +=，两式相加，得54629a a a ++=，所以594a =，故选B ．7. 已知函数()sin f x x x =，且()()124f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为（ ） A ．π3 B ．π2C ．2π3D ．3π4【答案】C【解析】∵()1πsin 2sin 2sin 23f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又()()124f x f x ⋅=-，即12ππ2sin 2sin 433x x ⎛⎫⎛⎫-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴12ππ2sin sin 233x x ⎛⎫⎛⎫-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴12ππsin sin 133x x ⎛⎫⎛⎫-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴1πsin 13x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭且2πsin 13x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭或2πsin 13x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭且1πsin 13x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．∴11ππ2π32x k -=+，22ππ2π32x k -=-，或21ππ2π32x k -=+，12ππ2π32x k -=-，k ∈Z ． ∴()()12122π2π3x x k k k +=++∈Z ，显然，当120k k +=时，12x x +的最小值为2π3，故选C ．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，（单位：cm ），则该几何体的表面积为( )A ．5πB ．52π+C ．4πD ．42π+【答案】B【解析】根据三视图，该几何体为一个圆柱在上半部分的正面截去14圆柱所得，它的表面积为2221112111125222ππππππ⨯⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯++=+。
【新课改-全国通用】2018最新高考总复习数学高考冲刺压轴卷(理卷三)及答案解析
2018年高考冲刺压轴卷·全国卷数学（理卷三）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0．5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0．5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：①体积公式：1=,=3V S h V S h ⋅⋅柱体锥体，其中V S h ，，分别是体积，底面积和高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2015·广东省揭阳市二模·1）已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，则下列表示正确的是（ ）A.1A -∉B.11A -∈C.32k A +∉D.231k A -∈2．（2015·广东省茂名市二模·2）复数311(i i -为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标是（ ）．A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)--3．（2015·广东省深圳市二模·3）下列四个函数中，在闭区间]1,1[-上单调递增的函数是（ ）A ．2x y =B ．x y 2=C ．x y 2log =D ．x y 2sin =4．（2015·广东省湛江市二模·3）随机变量ξ服从正态分布)4,3(N ，若)2()32(+>=-<a P a P ξξ，则a 的值为（ ）．A ．37B ．34 C ．3 D ．45．（2015·广东省汕头市二模·5）6．（2015·广东省佛山市二模·5）已知双曲线)0, 0( 12222>>=-b a by a x 的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（）A ．02=±y xB ．02=±y xC ．034=±y xD ．043=±y x7．（2015·广东省肇庆市三模·6）设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若0852=+a a ，则下列式子中数值不能确定的是（ ） A ．35a a B ．35S S C ．nn a a 1+ D ．nn S S 1+ 8．（2015·广东省广州市二模·6）如图，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（ ）A ．13B ．7C ．433D ．332二、填空题：本大题共7小题，考生作答6题，每小题5分，满分30分，其中第13题第一问2分，第二问3分．（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．（2015·广东省揭阳市二模·10）61(2)x x-展开式中的常数项为 ． 10．（2015·广东省茂名市二模·11）如图所示的流程图，若输入x 的值为2，则输出x 的值为 ．11．（2015·广东省深圳市二模·9）不等式|1||2|5x x ++-≤的解集为 ． 12．（2015·广东省汕头市二模·12）13．（2015·广东省广州市二模·13）在边长为1的正方形ABCD 中，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a ，2a ，3a ；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c ，2c ，3c ．若m 为()()i j s t +∙+a a c c 的最小值，其中{}{},1,2,3i j ⊆，{}{},1,2,3s t ⊆，则m = ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分．14．（2015·广东省惠州市二模·14）（极坐标与参数方程选做题）若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线244x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数）上，则PF 等于______．15．（2015·广东省揭阳市二模·15）（几何证明选讲选做题）如图，点P 在圆O 的直径AB的延长线上，且PB=OB=3,PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD 的长为 ．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共80分）16．（2015·广东省茂名市二模·16）（本小题满分12分）已知函数)0,0)(6sin()(>>+=ωπωA x A x f 图象的一部分如图所示．（1）求函数)(x f 的解析式； （2）设]0,2[,πβα-∈，1310)3(=+παf , 56)253(=+πβf ,求sin()αβ-的值．17．（2015·广东省深圳市二模·17）（本小题满分12分）深圳市于2014年12月29日起实施小汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半．政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示：申请意向年龄摇号竞价（人数）合计电动小汽车（人数）非电动小汽车（人数）30岁以下（含30岁）50 100 50 20030至50岁（含50岁）50 150 300 50050岁以上100 150 50 300 合计200 400 400 1000 （1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．18．（2015·广东省湛江市二模·18）（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，045BCD 1AD AB 2CD ,,//AB ABCD =∠===⊥⊥，，且，平面DC AD DC PD ．（1）若点M 是PD 的中点，证明：PBC AM//平面;（2）若PBC ∆得面积为2，求二面角D -PC -B 的余弦值．19．（2015·广东省汕头市二模·19）．20．（2015·广东省佛山市二模·20）（本小题满分14分）已知椭圆E ：)0( 12222>>=+b a b y a x 过点（0, －2），且离心率为35． （1）求椭圆E 的方程；（2）如图3，ABD 是椭圆E 的顶点，M 是椭圆E 上除顶点外的任意一点，直线DM 交x 轴于点Q ，直线AD 交BM 于点P ，设BM 的斜率为k ，PQ 的斜率为m ，求动点N （m , k ）轨迹方程．21．（2015·广东省肇庆市三模·21）（本小题满分14分）已知函数xx m mx x f 2ln )2()(-+-=（R m ∈），x x x g )1l n ()(+=．（1）讨论)(x f 的单调区间；（2）是否存在0<m 时，对于任意的]2,1[,21∈x x ，都有1)()(21≤-x g x f 恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．数学（理卷三） 参考答案与解析1．D【命题立意】考查元素与集合的关系，容易题.【解析】 31,x k k Z =-∈，由113-=-k ，则0=k ，∴A ∈-1； 由1113-=-k ，则4=k ，∴A ∈-11； 由1323-=+k k ，12-=不成立；由13132-=-k k ，解得0=k 或1=k ，满足条件，2．B【命题立意】考查复数的几何意义，复数的运算．容易题． 【解析】 i ii -=+=-111113，∴复数311(i i -为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标是)1,1(-． 3．B【命题立意】本题考查了函数的单调性,要求熟练掌握常见函数的单调性．【解析】2x y =在闭区间]1,1[-上为非单调函数，∴A 错误，x y 2=是]1,1[-上单调递增的函数． x y 2log =在[1,0]-无定义域，所以C 错误，x y 2sin =在闭区间]1,1[-上为非单调函数．故选B ． 4．A【命题立意】本题考查随机变量服从正态分布的概率算法．【解析】因为)4,3(N ，)2()32(+>=-<a P a P ξξ，所以6232=++-a a ，因此37=a ． 5．C【命题立意】本题考查的知识点是线性规划．【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC ）．由z=y-ax 得y=ax+z ，即直线的截距最大，z 也最大．若a=0，此时y=z ，此时，目标函数只在A 处取得最大值，不满足条件，若a ＞0，目标函数y=ax+z 的斜率k=a ＞0，要使z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一， 则直线y=ax+z 与直线2x-y+2=0平行，此时a=2，若a ＜0，目标函数y=ax+z 的斜率k=a ＜0，要使z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一， 则直线y=ax+z 与直线x+y-2=0，平行，此时a=-1， 综上a=-1或a=2，故选C 6．C【命题立意】本题旨在考查双曲线的几何性质．【解析】可用筛选法．双曲线的右焦点到左顶点的距离为a ＋c ，右焦点到渐近线b y x a=±距离为b ，所以有：a ＋c ＝2b ，由430x y ±=得43y x =±，取a ＝3，b ＝4，则c ＝5，满足a ＋c ＝2b ． 故选：C 7．D【命题立意】此题考查等比数列的性质，运用等比数列的通项公式及前n 项和公式化简求值．【解析】由258a +a =0，得到352a =q =-8a ，故选项A 正确；解得：q=-2，则n+1na =q =-2a ，故选项C 正确； 则515313a [1-(-2)]S 111+2==a [1-(-2)]S 31+2，故选项B 正确； 而n+11n+1n+1n n1n a [1-(-2)]S 1-(-2)1+2==a [1-(-2)]S 1-(-2)1+2，所以数值不能确定的是选项D ．故选D 8．B【命题立意】考查圆锥的性质，最值，中等题.【解析】由题意，圆锥侧面展开图为如图的扇形，半径为3，圆心角为3π， 在VAC ∆中，因为1=VC ，=VA 32π，3=VA ，由余弦定理得7)21(13213222=⨯⨯⨯-+=AC.9．160-【命题立意】考查二项式定理，容易题. 【解析】依题意，r r rr r rrrr x C xx C T ---+⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅-=3666612)1()1()2()1(，令03=-r ，3=∴r ，∴展开式中的常数项为1602)1(3633-=⋅⋅-C . 10．7【命题立意】考查程序框图，直到型循环，容易题． 【解析】当2=x ，执行1322=-=x ，321=+=x ；当2=x ，执行5323=-=x ，725=+=x ，终止循环，故输出的值为 7．11．[]2,3-【命题立意】本题考查了绝对值不等式的解法． 【解析】令x+1=0，得x=-1,令x-2=0，得x=2，则当x ≥2时，不等式等价为125x x ++-≤，即26x ≤，解得3x ≤，此时23x ≤≤． 当12x -<<时，不等式等价为125x x +-+≤，即35≤，此时12x -<<． 当1x ≤-时，不等式等价为(1)(2)5x x -+--≤，即2x ≥-，此时21x -≤≤-． 综上23x -≤≤,故答案为:[]2,3-． 12．1314【命题立意】本题旨在考查余弦定理，两角和差的正余弦公式． 【解析】在△ABC中，∵cos ∠ADC=17，2214843sin 1cos 17497ADC ADC ⎛⎫∴∠=-∠=-== ⎪⎝⎭，则cos ∠BAD=cos （∠ADC-∠B ）=cos ∠ADC •cosB+sin ∠ADC •sinB=1143313727214=⨯+⨯=． 故答案为1314． 13．5-【命题立意】考查向量的数量积，平面向量的坐标运算，中等题.【解析】由题意知，以A 为起点，其余顶点为终点的向量1a ，2a ，3a 分别为AB ，AC ，AD ，以C 为起点，其余顶点为终点的向量1c ，2c ，3c 分别为CD ，CA ，CB ，建立如图的直角坐标系， ①当1=i ，2=j ，1=s ，2=t 时，5)]1,1()0,1[()]1,1()0,1[()()(-=--+-∙+=+∙+t s j i a a a a ；②当1=i ，2=j ，1=s ，3=t 时，3)]1,0()0,1[()]1,1()0,1[()()(-=-+-∙+=+∙+t s j i a a a a ；③当1=i ，2=j ，2=s ，3=t 时，4)]1,0()1,1[()]1,1()0,1[()()(-=-+--∙+=+∙+t s j i a a a a ；④当1=i ，3=j ，1=s ，2=t 时，3)]1,1()0,1[()]1,0()0,1[()()(-=--+-∙+=+∙+t s j i a a a a ；同理，当t s j i ,,,取其它值时，5)()(-=+∙+t s j i a a a a 或4-或3-，所以)()(t s j i a a a a +∙+的最小值为5-.14．4【命题立意】本题考查参数方程化普通方程及抛物线的性质．【解析】抛物线为24y x =，PF 为(3,)P m 到准线1x =-的距离，即距离为4． 15．332【命题立意】考查切割线定理，三角形相似，中等题.【解析】依题意，3==OB PB ，PC 切圆O 于C ，30=∠∴，由切割线定理得27333)2(222=⨯==+⋅=OB OB PB PB PC ，即33=PC ，AB CD ⊥ ，233=∴CD ． 16．（1）)631sin(2)(π+=x x f （２）6533-【命题立意】考查函数)sin(ϕω+=x A y 的图象性质，根据图象求解析式，三角恒等变换，中等题．【解析】（1）由图象可知2=A ，,2921143πππ=-=T ωππ26==∴T 31=∴ω． )631sin(2)(π+=∴x x f ．（2）∵10(3)2sin()2cos ,213f παπαα+=+==∴5cos 13α=， 又∵56sin 2)sin(2)253(=-=+=+βπβπβf ∴53sin -=β， ∵]0,2[,πβα-∈，,1312)135(1cos 1sin 22-=--=--=∴αα 54)53(1sin 1cos 22=--=-=ββ．∴sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-.6533)53(13554)1312(-=-⨯-⨯-=17．(1)1,3,6;(2)37 ;(3) 45E ξ= 【命题立意】本题主要考查分层抽样，排列组合，古典概型，二项分布等知识，考查学生读取图表，数据处理的能力．【解析】（1）∵30至50岁的人中有意向参与摇号电动小汽车，非电动小汽车和竞价的人数占总数的比例分别为：50150010=，150350010=，300650010=， 则抽取10人中摇号电动小汽车，非电动小汽车和竞价的人数分别为110110⨯=，310310⨯=，610610⨯=． （2）由题意知，在上述10人中有竞价申请意向的人数为300106500⨯=人， ∴4人中恰有2人有竞价申请意向的概率为226441037C C C =． （3）n=4，则ξ的取值可能为0,1,2,3,4．∵用样本估计总体，任取1人，其摇号电动小汽车意向的概率200110005P ==, ∴ξ服从二项分布，即1(4)5B ξ，．则04414256(0)()()55625P C ξ===,113414256(1)()()55625P C ξ===, 22241496(2)()()55625P C ξ===,3341416(3)()()55625P C ξ===,44411(4)()5625P C ξ===,则ξ的分布列为：ξ 01 2 3 4P 256625 256625 96625 16625 1625ξ的数学期望为：14455E np ξ==⨯=．18．（1）略，（2）21【命题立意】本题考查线面位置关系，及面面夹角问题．【解析】（1）证明：取PC 的中点N ，连结MN ，NB ，在PDC ∆中，MN 是中位线，所以MN//DC ，且MN=21DC ，由题意AB=1，CD=2可得AB=21CD ，且AB//DC ， 所以AB//MN,所以四边形ABNM 是平行四边形，所以AM//BN ， 又AM ⊄平面PBC ，BN ⊂平面PBC ，所以AM//平面PBC ；（2）连结BD ，由题意可知∆BAD 为等腰三角形，所以,450=∠BDC 有题设045=∠BCD ，所以CB ⊥BD ，又PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥BC ，又PD BD=D ，所以BC ⊥平面PBD ，所以BC ⊥PB ，所以∆ PBC 是直角三角形，且BC=BD=2，221=⋅=∆PB BC S PBC ，所以PB=2，PD=2，建立如图空间直角坐标系D-xyz ， 则B （1,1,0），C （0,2,0），)2,0,0(P ，)2,2,0(),2,1,1(-=-=PC PB ，设平面PBC的法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PC n PB n ，即⎩⎨⎧=-=-+02202z yz y x ，令1=y 则,2,1==z x ，所以平面PBC 的一个法向量为)2,1,1(=n ，又平面PDC 的一个法向量为：)0,0,1(=DA ，则21,cos >=<n DA ，显然二面角B-PC-D 为锐角，故所求的余弦值为21．19．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【命题立意】本题考查了累乘发球数列的通项公式及数学归纳法证明有关数列的不等式．【解析】20．（1）22194x y+=;（2）6320x y--=【命题立意】本题旨在考查椭圆方程的求法以及动点的轨迹方程．【解析】21．（1）当0≤m 时，)(x f 的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）； 当20<<m 时，)(x f 的单调增区间为（0，1）与（m 2，+∞），单调减区间为（1，m2）； 当2=m 时，)(x f 的单调增区间为（0，+∞）； 当2>m 时，)(x f 的单调增区间为（0，m 2）与（1，+∞），单调减区间为（m2，1）． （2）（-∞，0）．【命题立意】本题考查的是利用导数求函数的单调区间以及恒成立问题，考查了分类讨论思想．【解析】（1）函数xx m mx x f 2ln )2()(-+-=的定义域为（0，+∞）．22)1)(2(22)(xx mx x x m m x f --=++-='， （1分） ①当0=m 时，令0)(='x f ，解得1=x ．当10<<x 时，0)(>'x f ；当1>x 时，0)(<'x f ；所以)(x f 的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）； （2分） ②当0≠m 时，令0)(='x f ，解得mx 21=，12=x ． 当0<m 时，当10<<x 时，0)(>'x f ；当1>x 时，0)(<'x f ；所以)(x f 的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）； （3分） 当20<<m 时，当10<<x 时，0)(>'x f ；当m x 21<<时，0)(<'x f ；当m x 2>时，0)(>'x f ；所以)(x f 的单调增区间为（0，1）与（m 2，+∞），单调减区间为（1，m2）；（4分）当2=m 时，0)1(2)(2≥-='x x x f ，所以)(x f 的单调增区间为（0，+∞）；（5分） 当2>m 时，当m x 20<<时，0)(>'x f ；当12<<x m时，0)(<'x f ；当1>x 时，0)(>'x f ；所以)(x f 的单调增区间为（0，m 2）与（1，+∞），单调减区间为（m2，1）．（6分）综上，当0≤m 时，)(x f 的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）； 当20<<m 时，)(x f 的单调增区间为（0，1）与（m 2，+∞），单调减区间为（1，m2）； 当2=m 时，)(x f 的单调增区间为（0，+∞）； 当2>m 时，)(x f 的单调增区间为（0，m 2）与（1，+∞），单调减区间为（m2，1）．（7分）（2）对于任意的]2,1[,21∈x x ，都有1)()(21≤-x g x f 恒成立，等价于]2,1[∈x 时，max min ()()1f x g x ≤+成立． （9分）由（1）得当0<m 时，)(x f 在（1，+∞）上单调递减，所以当]2,1[∈x 时，2)1()(max -==m f x f ． （10分）22)1ln(111)1ln(1)(xx x x x x x x g +-+-=+-+='， 令)1ln(111)(+-+-=x x x h ，而2211()(1)1(1)x h x x x x '=-=-+++ 所以)1ln(111)(+-+-=x x x h 在（0，+∞）上单调递减． 在[1，2]上，2ln ln 2ln 212ln 211)1(-=-=--=e h ，因为22<e ，所以0)1(<h ；所以在[1，2]上，0)(<x h ，0)(<'x g ；所以)(x g 在[1，2]上单调递减，所以当]2,1[∈x 时，23ln )2()(min ==g x g ． （12分） 故ln 3212m -≤+，即23ln 3+≤m ， （13分） 因为0<m ，所以存在0<m 时，对于任意的]2,1[,21∈x x ，都有1)()(21≤-x g x f 恒成立，且m 的取值范围是（-∞，0）． （14分）。
KS5U2024高考压轴卷——数学(理)(全国甲卷) 含解析
KS5U2024高考压轴卷全国甲卷数学试卷（理工农医类）说明：1．本试卷分第1卷和第11卷，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．2.本试卷满分150分，120分钟完卷．第1卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．l已知集合A={x l-1釭<s},B ={xE Nly= I o g3(x-2)}，则矿B=（）A.{-1,2,3,4}B.{3,4}C.{3,4,5}D.{2,3}2欧拉公式矿＝cos0+isin0把自然对数的底数e'虚数单位i,cos0和sin0联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数z满足(e;•+ i) · z = I + i,则正确的是()A.z的共辄复数为－i C.z的虏部为IB.z的实部为l D.z的模为13在(l+x)3+（l+x)4+(l+x)5的展开式中，含x2项的系数是（） A.16 B.19 C.214已知角a的终边经过点p[A.5－沉B.41而2a＇），则2cos—+sin a= ()4 4 2－而－5C. 5＋而4 4D.24D.扣－545.执行下面的程序框图，输出的s = (I I25 A —B.—1224c.－D .l6已知向量OA=(l,0),08=(1,1),0力坐标原占，6点P(x ,y)满足约束条件{°三OP O A 三1，则O::;;OP-OB::;;2z=x-2y 的最大值为() A.-2B.2C.一3D. 37.2023年7月28日至8月8日，第31届世界夏季大学生运动会在成都市举行，组委会将5名大学生分配到A,B, C 三个路口进行引导工作，每个路口至少分配一人，每人只能去一个路口若甲、乙要求去同一个路口，则不同的分配方案共有()A. 18种B. 24种C. 36种D.48种8.Cl., 13, y为不同的平面，m,n, I为不同的直线，则m..L0的一个充分条件是A.nJ_a,nJ_/J ，mJ_a c.aJ_y,fJJ_y,mJ_aB.a nr =m ,a .Lr ,fJ.Lr D.a.LfJ,anf]=l,m.Ll9如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y-(单位：小时）与储藏温度x（单位：．C）满足函数关系y = e•x+b (a, b.为常数），若该果蔬在7°C的保鲜时间为288小时，在21·c的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程中果蔬的储藏温度（假设物流过程中恒温）最高不能超过()A.l4'CB.l5'Cc.l3.cD.l6'CJO “阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为J5，则该多而体外接球的表面积为（A. 8兀C.2兀B. 4亢4D.-nx 2v2II.设凡，F 2是双曲线C—--S,=l(a>O,b >O )的左、右焦点，0是坐标原点，点P 是C上异千实轴a 2 b2 端点的任意一点，若I PF; II PF 21-1 OPl 2= 2a 2，则C的离心率为（）A.石B.五C.3D.212已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,且（x-2)[f'(x)-f(x)]>0,/(4-x)=f(x)e七2入．，则不等式e 3/(I n x )＜寸(3)的解集是（）A.(0,e 3)B.(l,e 3)C.(e 心）D.(e3，叫第11卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上．13.已知f(x)=x 2+1为偶函数，则a=(3x+2)(x-a)14已知丛ABC 的三边长AB =4cm, BC = 2cm ,A C = 3cm ,则丛ABC 的面积为cm 215.已知两点M(-1,0),N(l,0),若臼线x-y+m=O 上存在唯一点P 满足PM -PN=O ,则实数m 的值为16已知F为抛物线C:x2=4y的焦点，过点F的直线／与抛物线C相交千不同的两点A、B,若抛物线C4的最小值为在A、B两点处的切线相交千点P,则IPFl2＋了了三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17已知S,，为各项均为正数的数列{a,，｝的前n项和lZi E (0, 2), a: + 3a,, + 2 = 6S,,(l)求{a,,}的通项公式；(2)设九＝，数列｛丸｝的前，i项和为兀，若对VnEN.，区4T,，恒成立，求实数t的最大值a,,a,i+118某公司为了确定下季度的前期广告投入计划，收渠并整理了近6个月广告投入量x（单位：万元）和收益}{单位：万元）的数据如表（其中有些数据污损不清）：月份I23456广告投入侵 2 7 8 lO收益20 30 34 37他们分别用两种模型＠y = b x+ a, ® y = ae 1,'进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值．8 6 4残差残差图｀2 -－ － i -－一疗3 _ ｀、,4-－ － 5-－ － －6 -－ － －。
2020全国卷Ⅲ高考理科数学压轴卷(理科数学)
绝密★启封前2020全国卷Ⅲ高考压轴卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．设集合M={2|230,x x x x Z --<∈}，则集合M 的真子集个数为 A ．8 B ．7 C ． 4 D ．32.若复数z 满足i iz 21+=，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点的坐标为（） A.)1,2(- B.)1,2(- C.)1,2( D )1,2(--3.若错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
DA 错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
4．在长为3m 的线段AB 上任取一点P ，则点P 与线段AB 两端点的距离都大于1m 的概率等（） A ．13 B.23 C ．12 D ．145．已知点A （1，2），B （3，4），C （—2，0），D （—3，3），则向量AB 在向量CD 上的投影为（）A ．5102 B ．5102- C ．510- D ．5106.函数2()(1)cos 1xf x x e=-+图象的大致形状是( )7．设12,F F 是双曲线22:19x y C m-=的两个焦点，点P 在C 上，且120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，若抛物线216y x =的准线经过双曲线C 的一个焦点，则12||||PF PF ⋅u u u r u u u u r的值等于（）A ．2B ．6C ．14D ．168．若[]x 表示不超过x 的最大整数，则下面的程序框图运行之后输出的结果为（） A ．48920 B ．49660C ．49800D ．518679. 定义在R 上的函数()f x 满足()2log (4),0(1)(2),0x x f x f x f x x -≤⎧=⎨--->⎩，则()3f 的值为( )A.-1B. -2C.1D. 2（10）榫卯（sŭn măo ）是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式．我国的北京紫禁城、山西悬空寺、福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构．如图所示是一种榫卯构件中卯的三视图，其体积为 （A ）21 （B ）22.5 （C ）23.5 （D ）2511.已知抛物线22y x =上有两点1122(,),(,)A x y B x y 关于直线x y m +=对称，且1212y y =-，则m 的值等于（） A ．34 B ．54 C. 74 D ．9412．设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（）()A 1ln2-()B ln 2)-()C 1ln2+()D ln 2)+第Ⅱ卷注意事项：须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。
2023高考压轴卷——数学(理)(全国乙卷)含解析
KS5U2023全国乙卷高考压轴卷数学试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合1282x A x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭∣，{}1,0,1,2B =-，则A B = （）A.{}2 B.{}1,0- C.{}0,1,2 D.{}1,0,1,2-2.设命题:p x ∀∈R ，e 1x x ≥+，则p ⌝是（）A.x ∀∈R ，e 1≤+x x B.x ∀∈R ，e 1x x <+C.x ∃∈R ，e 1≤+x x D.x ∃∈R ，e 1x x <+3.已知复数z 满足()1i 2i z -=-，则复数z 的虚部为（）A.12B.1i 2C.32D.3i 24.已知△ABC 中，D 为BC 边上一点，且13BD BC =，则AD =（）A.1233AC AB +B.2133AC AB +C.1344AC AB +D.3144AC AB +5.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（）A.6B.3π3C.D.π36.如图为甲，乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图，已知两位同学的平均成绩相等，则甲同学成绩的方差为（）A.4B.2C.D.7.已知30,10,0,0,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩则x ＋2y 的最大值为（）A.2B.3C.5D.68.函数()4ee x xf x +-=-（e 是自然对数的底数）的图象关于（）A.直线e x =-对称B.点(e,0)-对称C.直线2x =-对称D.点(2,0)-对称9.已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，若()*5,p q p q +=∈N ，则p q a a =（）A.8B.16C.32D.6410.已知点(),P x y 到点()1F 和点)2F 的距离之和为4，则xy （）A.有最大值1B.有最大值4C.有最小值1D.有最小值4-11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则下述结论中正确的个数为（）①MN ∥平面ABCD ；②平面1A ND ⊥平面1D MB ；③直线MN 与11B D 所成的角为45︒；④直线1D B 与平面1A ND 所成的角为45︒．A.1B.2C.3D.412.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数()()e ln xf x x a x =-为“不动点”函数，则实数a 的取值范围是（）A.(],0-∞ B.1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.(],1-∞ D.(],e -∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数()()2sin 0,08f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，其最小正周期为T ，且322T ππ<<，则ω的值为______．14.已知点()1,0A ，()2,2B ，C 为y 轴上一点，若π4BAC ∠=，则⋅= AB AC ______．15.3D 打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为3D 线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6cm ，下底直径为9cm ，高为9cm ，则喉部（最细处）的直径为______cm ．16.在数列{}n a 中，11a =，()()*212nn n a a n ++-=∈N ．记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则4n S =______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()sin 2cos cos 02B C B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，（1）求证：B C =；（2）若3cos 5A =，ABC ∆的外接圆面积为254π，求ABC ∆的周长．18.研究表明，温度的突然变化会引起机体产生呼吸道上皮组织的生理不良反应，从而导致呼吸系统疾病的发生或恶化．某中学数学建模社团成员欲研究昼夜温差大小与该校高三学生患感冒人数多少之间的关系，他们记录了某周连续六天的温差，并到校医务室查阅了这六天中每天高三学生新增患感冒而就诊的人数，得到资料如下：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天昼夜温差x（℃）47891412新增就诊人数y（位）1y2y3y4y5y6y参考数据：6213160iiy==∑，()216256iiy y=-=∑．（1）已知第一天新增患感冒而就诊的学生中有7位女生，从第一天新增的患感冒而就诊的学生中随机抽取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率为1724，求1y的值；（2）已知两个变量x与y之间的样本相关系数1516r=，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程ˆˆˆy bx a=+，据此估计昼夜温差为15℃时，该校新增患感冒的学生数（结果保留整数）．参考公式：()()()121ni iiniix x y ybx x==--=-∑∑，()()ni ix x y yr--=∑．19.如图，△ABC是正三角形，在等腰梯形ABEF中，//AB EF，12AF EF BE AB===．平面ABC⊥平面ABEF，M，N分别是AF，CE的中点，4CE=．（1）证明：//MN平面ABC；（2）求二面角--M AB N的余弦值．20.已知函数()ln e 2e e xf x a x x a =+-+．（1）当e a =时，求曲线() y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若a 为整数，当1x ≥时，()0f x ≥，求a 的最小值．21.已知椭圆()2222:10+x y C a b a b=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12，M 为椭圆C 上一动点，FAM△面积的最大值为332．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点M 的直线:1l y kx =+与椭圆C 的另一个交点为N ，P 为线段MN 的中点，射线OP 与椭圆交于点D ．点Q 为直线OP 上一动点，且2OP OQ OD ⋅=，求证：点Q 在定直线上．（二）选考题：共10分．请考生在22~23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．［选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222x pty pt=⎧⎨=⎩（t 为参数），()2,4为曲线C 上一点的坐标．（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程；（2）过点O 任意作两条相互垂直的射线分别与曲线C 交于点A ，B ，以直线OA 的斜率k 为参数，求线段AB 的中点M 的轨迹的参数方程，并化为普通方程．［选修4—5：不等式选讲]（10分）23.已知函数()21f x x a x =++-．（1）当1a =时，求()f x 的最小值；（2）若0a >，0b >时，对任意[]1,2x ∈使得不等式()21f x x b >-+恒成立，证明：2211222a b ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【KS5U 答案1】C【分析】由指数函数的单调性得{}13A x x =-<<，后由交集定义可得KS5U 答案.【KS5U 解析】13128222132x x x -<<⇔<<⇔<-<<，则{}13A x x =-<<，又{}1,0,1,2B =-，则A B = {}0,1,2.故选：C【KS5U 答案2】D【分析】先仔细审题，抓住题目中的关键信息之后再动，原题让我们选择一个全称命题的否定，任意和存在是一对，要注意互相变化，大于等于的否定是小于.【KS5U 解析】x ∀∈R ，e 1x x ≥+的否定是x ∃∈R ，e 1x x <+.故选：D 【KS5U 答案3】A【分析】根据复数的除法运算可求得31i 22z =+，即可求得结果.【KS5U 解析】由()1i 2i z -=-可得()()()()222i 1i 2i 22i i i 31i 1i 1i 1i 1i 22z -+-+--====+--+-，所以复数z 的虚部为12.故选：A 【KS5U 答案4】A【分析】利用向量的线性运算即可求得.【KS5U 解析】在△ABC 中，BC AC AB=-.因为13BD BC =，所以()1133B AC AB D BC ==- .所以()112333AD AB BD AB A A C AB C AB =++-==+.故选：A 【KS5U 答案5】B【分析】由侧面展开图求得母线长后求得圆锥的高，再由体积公式计算．【KS5U 解析】设圆锥母线长为l ，高为h ，底面半径为1r =，则由2π1πl ⨯=得2l =，所以h ==所以2211ππ1π333V r h ==⨯=．故选：B ．【KS5U 答案6】B【分析】由平均数相等求出m ，再求方差.【KS5U 解析】由80290392180290329189055m ⨯+⨯++++⨯+⨯++++==可得，8m =，即甲同学成绩的方差为()22221211225+++=,故选：B 【KS5U 答案7】C【分析】作出可行域，根据简单线性规划求解即可．【KS5U 解析】作出可行域如图：由2z x y =+可得：122zy x =-+，平移直线12y x =-经过点A 时，z 有最大值，由3010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得(1,2)A ，max 145z =+=．故选：C【KS5U 答案8】D【分析】根据对称性进行检验．【KS5U 解析】由题意()()2e 2e 42e 42e 2e eee e x x x xf x -----+--++--=-=-，它与()f x 之间没有恒等关系，相加也不为0，AB 均错，而44(4)4(4)e e e e ()x x x x f x f x --+----+--=-=-=-，所以()f x 的图象关于点(2,0)-对称．故选：D ．【KS5U 答案9】C【分析】当1n =时，由122n n S +=-可得1a ，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，验证1a 是否适合可得通项公式，代入通项公式求解可得结果.【KS5U 解析】解：当1n =时，211222a S ==-=，当2n ≥时，()1122222n n n n n n a S S +-=-=---=，12a = ，符合上式，∴数列{}n a 的通项公式为：2n n a =,5222232p q q p q p a a +=⋅===，故选：C.【KS5U 答案10】A【分析】根据题意，求出点P 的轨迹方程，利用三角换元法即可求解.【KS5U 解析】因为点(),P x y 到点()1F 和点)2F 的距离之和为4，所以点P 的轨迹是以()1F ，)2F 为焦点的椭圆，且长轴长24a =，焦距21c b ==，所以点P 的轨迹方程为2214x y +=，设(2cos ,sin ),(02π)P θθθ≤≤，则[]2cos sin sin21,1xy θθθ==∈-，所以xy 有最大值1，故选：A.【KS5U 答案11】C【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量的性质，结合空间向量夹角公式逐一判断即可.【KS5U 解析】建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为2，111(0,0,0),(2,0,2),(2,2,0),(0,0,2),(2,2,2),(1,0,1),(1,1,1)D A B D B M N ，由正方体的性质可知：1D D ⊥平面ABCD ，则平面ABCD 的法向量为1(0,0,2)DD =，(0,1,0)MN =，因为10D D MN ⋅= ，所以1D D MN ⊥ ，而MN ⊄平面ABCD ，因此MN ∥平面ABCD ，故①对；设平面1A ND 的法向量为(,,)m x y z = ，(1,1,1)DN =，1(2,0,2)DA = ，所以有1100(1,0,1)2200m DN m DN x y z m x z m DA m DA ⎧⎧⊥⋅=++=⎧⎪⎪⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨+=⊥⋅=⎩⎪⎪⎩⎩，同理可求出平面1D MB 的法向量(1,0,1)n =，因为110m n ⋅=-= ，所以m n ⊥，因此平面1A ND ⊥平面1D MB ，故②正确；因为(0,1,0)MN =，11(2,2,0)B D =-- ，所以11cos ,2MN B D 〈〉=-，因为异面直线所成的角范围为(0,90] ，所以直线MN 与11B D 所成的角为45︒，故③正确；设直线1D B 与平面1A ND 所成的角为θ，因为1(2,2,2)D B =- ，平面1A ND 的法向量为(1,0,1)m =-，所以11162sin cos ,32D B m D B m D B mθ⋅=〈〉===≠⋅ ，所以直线1D B 与平面1A ND 所成的角不是45︒，因此④错误，一共有3个结论正确，故选：C 【KS5U 答案12】B【分析】根据题意列出关于0x 和a 的等式，然后分离参数，转化为两个函数有交点.【KS5U 解析】由题意得若函数()()e ln xf x x a x =-为不动点函数则满足()()00000e ln x f x x a x x =-=，即00ln 1x ae x =+，即00ln 1x x a e +=设()ln 1xx g x e+=，()()()()()21ln 1ln 1ln 1x x xx x x e e x x g x e e ''--+⋅-+'==设()()2111ln 1,0h x x h x x x x'=--=--<,所以()h x 在()0+∞，单调递减，且()10h =()0,1x ∈，()()0,0h x g x '>>所以()g x 在()01，上单调递增，()()()1,,0,0x h x g x ∞+<'∈<，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，所以()1max ln111g x e e+==当()10,,ln 10,0,xx x e e ⎛⎫∈+<> ⎪⎝⎭则()0g x <,当()1,,ln 10,0,xx x e e⎛⎫∈+∞+>> ⎪⎝⎭则()0g x >所以()g x的图像为：要想00ln 1x x a e +=成立，则y a =与()g x 有交点，所以()max1a g x e≤=,故选：B 【KS5U 答案13】54【KS5U 解析】根据题意，()2sin cos 28242A A f x A x x ππωω⎛⎫⎛⎫=+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，分析可得22A =，所以4A =()2cos 224f x x πω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，()2242k k πππωπ⨯+=+∈Z ，所以()14k k ω=+∈Z ，又因为最小正周期为T ，且322T ππ<<，所以可得23222πππω<<，则223ω<<，所以ω的值为1．【KS5U 答案14】5【分析】设(0,)C y ，利用余弦定理求C 点坐标，然后利用数量积的坐标表示求解即可.【KS5U 解析】设(0,)C y，所以AB ==AC ==，BC ==，因为π4BAC ∠=，所以由余弦定理得222π2cos 4BC AB AC AB AC =+-，即224851y y y -+=++3y =，所以(0,3)C ，所以(1,2)AB =，(1,3)AC =- ，所以1(1)235AB AC ⋅=⨯-+⨯= ，故KS5U 答案为：5【KS5U 答案15】【分析】由已知，根据题意，以最细处所在的直线为x 轴，其垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设出双曲线方程，并根据离心率表示出,a b 之间的关系，由题意底直径为6cm ，所以双曲线过点()3,m ，下底直径为9cm ，高为9cm ，所以双曲线过点9,92m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入双曲线方程即可求解方程从而得到喉部（最细处）的直径.【KS5U 解析】由已知，以最细处所在的直线为x 轴，其垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设双曲线方程为()222210,0x y a b a b -=>>，由已知可得，c e a ==，且222c a b =+，所以224a b =，所以双曲线方程为222214x y a a-=，底直径为6cm ，所以双曲线过点()3,m ，下底直径为9cm ，高为9cm ，所以双曲线过点9,92m ⎛⎫-⎪⎝⎭，代入双曲线方程得：()222222914819414m a a m aa ⎧-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，解得：2m a =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以喉部（最细处）的直径为cm.故KS5U答案为：【KS5U 答案16】242n n+【分析】根据当n 为奇数时，22n n a a +-=，当n 为偶数时，22n n a a ++=，分组求和即可.【KS5U 解析】由题知，11a =，2(1)2nn n a a ++-=,当n 为奇数时，22n n a a +-=，所以奇数项构成等差数列，首项为1，公差为2，当n 为偶数时，22n n a a ++=，所以2468......2a a a a =++==,所以4135412464(......)(......)n n n S a a a a a a a a -=+++++++++22(21)1222422n n n n n n -=⨯+⨯+⨯=+故KS5U 答案为：242n n+【KS5U 答案17】(1)见证明；(2)4.【分析】（1）由()sin 2cos cos 02B C B C π⎛⎫+++=⎪⎝⎭，利用诱导公式、两角和与差的正弦公式化简可得sin()0B C -=，从而可得结论；（2）利用圆的面积公式可求得三角形外接圆半径52R =，利用同角三角函数的关系与正弦定理可得2sin 4a R A ==，结合（1），利用余弦定理列方程求得b c ==，从而可得结果.【KS5U 解析】（1）∵sin()2cos cos 02B C B C π⎛⎫+++=⎪⎝⎭，∴sin()2sin cos 0B C B C +-=，∴sin cos cos sin 2sin cos 0B C B C B C +-=，∴cos sin sin cos 0B C B C -=，∴sin()0B C -=.∴在ABC ∆中，B C =，（2）设ABC ∆的外接圆半径为R ，由已知得2254R ππ=，∴52R =，∵3cos 5A =，0A π<<，∴4sin 5A =，∴2sin 4a R A ==，∵BC =，∴b c =，由2222cos a b c bc A =+-⋅得2261625b b =-，解得b =，∴4a b c ++=，∴ABC ∆的周长为4.【KS5U 答案18】（1）110y =,（2）33人【分析】（1）根据题意由1373C 1C y -求解；（2）根据样本相关系数1516r =，求得()()61i i i x x y y =--∑，再利用公式求得ˆˆ,b a 即可.【小问1KS5U 解析】解：∵1373C 171C 24y -=，∴()()11176571224y y y ⨯⨯=--，∴()()111127201098y y y --==⨯⨯，∴110y =．【小问2KS5U 解析】∵6154i i x ==∑，∴9=x ，∴()62164i i x x =-=∑．∵()()()()6611581616iiiii x x y y x x y y r =----==⨯∑∑，∴()()61815i i i x x y y =--=⨯∑，∴()()()12181515ˆ648niii ni i x x y y bx x ==--⨯===-∑∑．又∵()6666222221111266256iii i i i i i y y yy y y y y ====-=-⋅+=-=∑∑∑∑，解得22y =．∴1541ˆˆ22988ay bx =-=-⨯=，∴4115ˆ88yx =+，当15x =时，4115ˆ153388y=+⨯≈，∴可以估计，昼夜温差为15℃时，该校新增患感冒的学生数为33人．【KS5U 答案19】【分析】（1）取CF 的中点D ，连接DM ，DN ，证明平面//MND 平面ABC ，原题即得证；（2）取AB 的中点O ，连接OC ，OE ．求出122AF EF EB AB ====，取EF 的中点P ，连接OP ，以O 为原点，OP ，OB ，OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立直角坐标系如图所示．利用向量法求解.【小问1KS5U 解析】解：取CF 的中点D ，连接DM ，DN ，∵M ，N 分别是AF ，CE 的中点，∴//DM AC ，//DN EF ，又∵DM ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴//DM 平面ABC ．又//EF AB ，∴//DN AB ，同理可得，//DN 平面ABC ．∵DM ⊂平面MND ，DN ⊂平面MND ，DM DN D = ，∴平面//MND 平面ABC ．∵MN ⊂平面MND ，∴//MN 平面ABC．【小问2KS5U 解析】取AB 的中点O ，连接OC ，OE ．由已知得//,OA EF OA EF =，∴OAFE 是平行四边形，∴//,//OE AF OE AF ．∵△ABC 是正三角形，∴OC AB ⊥，∵平面ABC⊥平面ABEF ，平面ABC ⋂平面ABEF AB =，∴OC ⊥平面ABEF ，又OE ⊂平面ABEF ，∴OC OE ⊥．设12AF EF EB AB a ====，OC =．在Rt COE 中，由222OC OE CE +=，解得2a =，即122AF EF EB AB ====，取EF 的中点P ，连接OP ，则OP AB ⊥，以O 为原点，OP ，OB ，OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立直角坐标系如图所示．则()0,2,0A -，(0,0,C，)E，31,22N ⎛ ⎝，()0,2,0OA =-，1,22ON ⎛= ⎝ ，由已知易得，平面ABM的一个法向量为(0,0,OC = ，设平面ABN 的法向量为(),,n x y z = ，则0,0,OA n ON n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即20,310,22y x y z -=⎧+=⎩取2x =，则平面ABN 的一个法向量为()2,0,1n =-,∴cos ,5OC n OC n OC n ⋅==-，∵二面角--M AB N 为锐角，∴二面角--M AB N 的余弦值为55．【KS5U 答案20】（1）2e e y =-,（2）2【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率及切点即可求解KS5U 答案；（2）根据导函数分子部分的最小值与零比较分类讨论，分别分e a ≥、2a =、1a ≤讨论即可.【小问1KS5U 解析】当e a =时，()2eln e 2e e xf x x =+-+，所以2(1)e e f =-，又因为()ee 2e xf x x=+-，其中0x >，则在点(1,(1))f 处的切线斜率(1)0k f '==，所以切线方程为2e e y =-【小问2KS5U 解析】由题知(e 2e)()x a x f x x+-'=，其中1x ≥，设()(e 2e)x g x a x =+-，则()(1)e 2e x g x x '=+-，可知()g x '为[1,)+∞上的增函数，则()(1)0g x g ''≥=，所以()g x 为[1,)+∞上的增函数，则min ()(1)e g x g a ==-.①当e 0a -≥，即e a ≥时，()0g x ≥，即()0f x '≥，所以()f x 为[1,)+∞上的增函数，则()(1)e e>0f x f a ≥=-，由于a 为整数，可知3a ≥时，()0f x ≥恒成立，符合题意.②当2a =时，()2ln e 2e 2e xf x x x =+-+，()2(e 2e)xg x x =+-，则()g x 的最小值为min ()(1)2e<0g x g ==-，又2(2)22(e 2e)>0g =+-，由于()g x 为[1,)+∞上的增函数，则存在0(1,2)x ∈使得0()0g x =（即02e 2e x x =-），当01x x <<时，()0g x <，即()0f x '<，()f x 为减函数；当0x x >时，()0g x >，即()0f x '>，()f x 为增函数，则00000001()()2ln e 2e 2e=2(ln e 2e)x f x f x x x x x x ==+-+--+极小值，其中0(1,2)x ∈，令1()ln e 2e(1<<2)u x x x x x =--+，则22211e 1()e=<2)x x u x x x x x-++'=+-，当12x <<时，()0u x '<，()u x 在(1,2)上单调递减，则1()(2)ln 202u x u >=->，即0()()0f x f x =>极小值.所以2a =也符合题意.③当1a ≤时，min ()(1)e<0g x g a ==-，由于()g x 为(1,)+∞上的增函数，则存在实数1m >，且(1,)x m ∈，使得()0g x <，即()0f x '<，故()f x 为(1,)m 上的减函数，则当(1,)x m ∈时，()(1)(1)e 0f x f a <=-≤，故1a ≤不符合题意，舍去.综上所述，a 的最小值为2.【KS5U 答案21】【分析】(1)按照题目所给的条件即可求解；(2)作图，联立方程，将M ，N ，P ，Q ，D 的坐标用斜率k 表示出来，(3)按照向量数量积的运算规则即可.【小问1KS5U 解析】设椭圆的半焦距为c ，由椭圆的几何性质知，当点M 位于椭圆的短轴端点时，FAM △的面积取得最大值，此时1()2FAMSa cb =+，1()22a cb ∴+=，()a c b ∴+=．由离心率12c a =得2a c =，b ∴=，解得1c =，2a =，b =，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；【小问2KS5U解析】由题意作下图：设()11,M x y ，()22,N x y ．由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234880k x kx ++-=．∵点(0,1)在这个椭圆内部，所以0∆>，122843k x x k +=-+，122843x x k =-+，()212122286224343k y y k x x k k ∴+=++=-+=++，∴点P 的坐标为2243,4343k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭当0k ≠时，直线OP 的斜率为34k -，∴直线OP 的方程为34y x k =-，即43kx y =-，将直线OP 的方程代入椭圆方程得22943Dy k =+，2221643D k x k =+，设点4,3k Q y y ⎛⎫-⎪⎝⎭，由2OP OQ OD ⋅= 得22222443169433434343k kk y y k k k k ⎛⎫-⋅-+⋅=+ ⎪++++⎝⎭，化简得()222216916943343k k y k k ++⋅=++，化简得3y =，∴点Q 在直线3y =上，当直线l 的斜率0k =时，此时(0,1)P，D ，由2OP OQ OD ⋅=得(0,3)Q ，也满足条件，∴点Q 在直线3y =上；综上，椭圆C 的标准方程为22143x y +=，点Q 在直线3y =上.【KS5U 答案22】（1）2x y =,（2）221x y =-【分析】（1）根据曲线C 的参数方程为222x pty pt=⎧⎨=⎩（t 为参数），消去参数t 求解；（2）设OA 的斜率为k ，方程为y kx =，则OB 的方程为：1=-y x k，分别与抛物线方程联立，求得A ，B 的坐标，再利用中点坐标求解.【小问1KS5U 解析】解：因为曲线C 的参数方程为222x pt y pt =⎧⎨=⎩（t 为参数），消去参数t 可得：22x py =，将点()2,4代入可得12p =，所以曲线C 的普通方程为：2x y =；【小问2KS5U 解析】由已知得：OA ，OB 的斜率存在且不为0，设OA 的斜率为k ，方程为y kx =，则OB 的方程为：1=-y x k ，联立方程2,,y kx x y =⎧⎨=⎩可得：()2,A k k ，同理可得：211,B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设(),M x y ，所以2211,211,2x k k y k k ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩所以22214222x k y k=+-=-，所以221x y =-即为点M 轨迹的普通方程．【KS5U 答案23】【分析】（1）分段求解()f x 的最小值和范围，即可求得结果；（2）转化()21f x x b >-+为233a b x x +>-+，结合二次函数在区间上的最值，利用不等式，即可证明.【小问1KS5U 解析】当1a =时，()121f x x x =++-，当1x ≤-，()31f x x =-+，()min ()14f x f =-=；当11x -<<，()3f x x =-+，()()2,4f x ∈；当1x ≥，()31f x x =-，()min ()12f x f ==；∴当1a =时，()f x 的最小值为2．【小问2KS5U 解析】0a >，0b >，当12x ≤≤时，2211x a x x b ++->-+可化为233a b x x +>-+，令()233h x x x =-+，[]1,2x ∈，()()()max 121h x h h ===，∴1a b +>∴22222111()122222a b a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+++=++++≥+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当a b =时取得等号；又当1a b +>时，2()122a b a b ++++2>，故2211222a b ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。
2020年全国高考数学-全国Ⅲ卷三卷理科解析(Word域、极致精编版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试——全国Ⅲ理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案：C解析：由题意，A ∩B 中的元素满足⎩⎨⎧y ≥x ，x ＋y ＝8，且x ，y ∈N *，由x ＋y ＝8≥2x ，得x ≤4．所以满足要求的元素有(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)，故A ∩B 中元素的个数为4．2．复数11－3i的虚部是( )A ．－310B ．－110C ．110D ．310答案：D解析：因为z ＝11－3i ＝1＋3i (1－3i )(1＋3i )＝110＋310i ，所以复数z ＝11－3i 的虚部为310．3．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p 1，p 2，p 3，p 4，且∑4i ＝1p i ＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( )A ．p 1＝p 4＝0.1，p 2＝p 3＝0.4B ．p 1＝p 4＝0.4，p 2＝p 3＝0.1C ．p 1＝p 4＝0.2，p 2＝p 3＝0.3D ．p 1＝p 4＝0.3，p 2＝p 3＝0.2答案：B解析：易知四种情形中平均数均为x －＝∑4i ＝1x i p i ＝2.5．对于A ，方差s 2A ＝(1－2.5)2×0.1＋(2－2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝0.65； 对于B ，方差s 2B ＝(1－2.5)2×0.4＋(2－2.5)2×0.1＋(3－2.5)2×0.1＋(4－2.5)2×0.4＝1.85； 对于C ，方差s 2C ＝(1－2.5)2×0.2＋(2－2.5)2×0.3＋(3－2.5)2×0.3＋(4－2.5)2×0.2＝1.05； 对于D ，方差s 2D ＝(1－2.5)2×0.3＋(2－2.5)2×0.2＋(3－2.5)2×0.2＋(4－2.5)2×0.3＝1.45．因此，B 选项这一组标准差最大．法二：样本数据距离平均数越大，且概率越大时，方差和标准差可能越大．4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K 1＋e －0.23(t －53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为( )(ln19≈3)A ．60B ．63C ．66D ．69答案：C解析：当I (t *)＝K 1＋e－0.23(t *－53)＝0.95K ，则e 0.23(t *－53)＝19，所以0.23(t *－53)＝ln19≈3，解得t *≈30.23＋53≈66．5．设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( )A ．(14，0)B ．(12，0)C ．(1，0)D ．(2，0)答案：B解析：因为直线x ＝2与抛物线y 2＝2px (p ＞0)交于D ，E 两点，且OD ⊥OE ，所以∠DOx ＝∠EOx ＝π4，所以D (2，2)，代入抛物线方程得4＝4p ，即p ＝1，所以抛物线的焦点坐标为(12，0)．6．已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos ＜a ，a ＋b ＞＝( )A ．－3135B ．－1935C ．1735D ．1935答案：D解析：易得a ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b ＝52－6＝19，|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－2×6＋36＝7．因此，cos ＜a ，a ＋b ＞＝a ·(a ＋b )|a |·|a ＋b |＝195×7＝1935．7．在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cos B ＝( )A ．19B ．13C ．12D ．23答案：A解析：由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9，即AB ＝3．于是cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋9－162×3×3＝19．8．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A ．6＋42B ．4＋42C ．6＋23D ．4＋2 3 答案：C解析：根据三视图，在正方体中截取出符合题意的立体图形．在立体图形中，易得S △ABC ＝S △ADC ＝S △CDB ＝12×2×2＝2．易得AB ＝AD ＝DB ＝22，故S △ADB ＝12AB ·AD ·sin60º＝34(22)2＝23．所以，该几何体的表面积是3×2＋23＝6＋23．9．已知2tan θ－tan(θ＋π4)＝7，则tan θ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案：D解析：因为2tan θ－tan(θ＋π4)＝7，所以2tan θ－tan θ＋11－tan θ＝7，解得tan θ＝2．10．若直线l 与曲线y ＝x 和x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x ＋12C ．y ＝12x ＋1D ．y ＝12x ＋12答案：D解析：设直线l 与曲线y ＝x 的切点为(x 0，x 0)，x 0＞0，因函数y ＝x 的导数为y'＝12x ，所以直线l 的方程为y －x 0＝12x 0(x －x 0)，即x －2x 0y ＋x 0＝0．由于直线l 与圆x 2＋y 2＝15相切，则d ＝x 01＋4x 0＝r ＝15，整理得5x 20－4x 0－1＝0，解得x 0＝1或x 0＝－15(舍)．所以，直线l 的方程为x －2y ＋1＝0，即y ＝12x ＋12．11．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案：A解析：因为离心率e ＝ca＝5，所以c ＝5a ．因为F 1P ⊥F 2P ，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2． S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝4，即|PF 1|·|PF 2|＝8．又由双曲线的定义可得||PF 1|－|PF 2||＝2a ．因为(|PF 1|－|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|，即4a 2＝4c 2－16，又c ＝5a ，所以16a 2＝16，解得a ＝1．12．已知55＜84，134＜85．设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b答案：A解析：由题意可知a ，b ，c ∈(0，1)．a b ＝log 53log 85＝lg3lg5·lg8lg5＜1(lg5)2·(lg3＋lg82)2＝(lg3＋lg82lg5)2＝(lg24lg25)2＜1，所以a ＜b ； 由b ＝log 85，得8b ＝5，因为55＜84，得85b ＜84，所以5b ＜4，得b ＜45；由c ＝log 138，得13c ＝8，因为134＜85，得134＜135c ，所以5c ＞4，得c ＞45．综上所述，a ＜b ＜c ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，2x －y ≥0，x ≤1，则z ＝3x ＋2y 的最大值为_________．答案：714．(x 2＋2x )6的展开式中常数项是__________(用数字作答)．答案：240解析：(x 2＋2x )6的二项展开式通项为T r ＋1＝C r 6·(x 2)6－r ·(2x )r ＝C r6(2)r ·x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4，所以(x 2＋2x )6的展开式中常数项是C 46·24＝240．15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________． 答案：23π 解析：法一：圆锥内半径最大的球应该是该圆锥的内切球，如图．由底面半径为1，母线长为3，易得高SC ＝22．不妨设该内切球与母线BS 切于点D ，令OD ＝OC ＝r ，由△SOD ∽△SBC ，可得ODOS ＝BC BS ，即r 22－r ＝13，解得r ＝22． 此时V ＝43πr 3＝23π．法二：易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中BC ＝2，AB ＝AC ＝3，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ．设内切圆半径为r ，则12×2×22＝S △ABC ＝S △AOB ＋S △BOC ＋S △AOC ＝12×AB ×r ＋12×BC ×r ＋12×AC ×r ＝12×(3＋3＋2)×r ，解得r ＝22，故体积V ＝43πr 3＝23π．16．关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x有如下四个命题：①f (x )的图像关于y 轴对称．②f (x )的图像关于原点对称． ③f (x )的图像关于直线x ＝π2对称．④f (x )的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 答案：②③解析：函数f (x )的定义域为{x |x ≠kπ，k ∈Z }，定义域关于0对称，易得f (－x )＝sin(－x )＋1sin(－x )＝－sin x －1sin x ＝－(sin x ＋1sin x )＝－f (x )，所以f (x )是非零的奇函数，因此图象关于原点对称，故命题①错误，命题②正确；对于命题③，因为f (π2－x )＝sin(π2－x )＋1sin(π2－x )＝cos x ＋1cos x ，f (π2＋x )＝sin(π2＋x )＋1sin(π2＋x )＝cos x ＋1cos x ，则f (π2－x )＝f (π2＋x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，命题③正确；对于命题④，当－π＜x ＜0时，sin x ＜0，则f (x )＝sin x ＋1sin x＜0＜2，命题④错误．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分．17．设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n ．(1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； (2)求数列{2n a n }的前n 项和S n ．解析：(1)由题意，a 2＝3a 1－4＝9－4＝5，a 3＝3a 2－8＝3×5－8＝7．猜想数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列，故a n ＝2n ＋1． 证明：①当n ＝1时，a 1＝3＝2＋1；②假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即a k ＝2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝3a k －4k ＝3(2k ＋1)－4k ＝2k ＋3＝2(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，命题也成立．综上，由数学归纳法知，对任意的n ∈N *，都有a n ＝2n ＋1． (2)由(1)可知，2n a n ＝(2n ＋1)·2n ，则S n ＝3×2＋5×22＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n ，① 2S n ＝3×22＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1，② ①－②得，－S n＝6＋2×(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1＝6＋2×22×(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝(1－2n )·2n ＋1－2，所以S n ＝(2n －1)·2n ＋1＋2．18．某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：(1)(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?人次≤400 人次＞400空气质量好 空气质量不好附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，P (K 2≥k ) 0.050 0.0100.001k3.841 6.635 10.828解析：(1)由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为2＋16＋25100＝0.43，等级为2的概率为5＋10＋12100＝0.27，等级为3的概率为6＋7＋8100＝0.21，等级为4的概率为7＋2＋0100＝0.09．(2)由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100×20＋300×35＋500×45100＝350．(3)2×2列联表如下：人次≤400 人次＞400空气质量不好 33 37 空气质量好228 K 2＝100×(33×8－37×22)55×45×70×30≈5.820＞3.841，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．19．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在棱DD 1，BB 1上，且2DE ＝ED 1，BF ＝2FB 1．(1)证明：点C 1在平面AEF 内；(2)若AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，求二面角A －EF －A 1的正弦值．解析：(1)在棱CC 1上取点G ，使得CG ＝2C 1G ，连接DG 、FG 、C 1E 、C 1F ．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，易得CG ＝23CC 1＝23BB 1＝BF 且CG ∥BF ，所以四边形BCGF 为平行四边形，因此BC _∥FG ． 又BC _∥AD ，所以FG _∥AD ，因此四边形ADGF 为平行四边形，所以AF _∥DG ． 易得C 1G _∥DE ，所以四边形DEC 1G 为平行四边形，因此C 1E _∥DG ． 所以C 1E _∥AF ，则四边形AEC 1F 为平行四边形，因此点C 1在平面AEF 内．(2)以点C 1为坐标原点，C 1D 1、C 1B 1、C 1C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C 1－xyz ．易得A (2，1，3)，A 1(2，1，0)，E (2，0，2)，F (0，1，1)，故AE →＝(0，－1，－1)，AF →＝(－2，0，－2)，A 1E →＝(0，－1，2)，A 1F →＝(－2，0，1)．设平面AEF 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AF →＝0，得⎩⎨⎧－y 1－z 1＝0，－2x 1－2z 1＝0，取z 1＝－1，得x 1＝y 1＝1，则m ＝(1，1，－1)．设平面A 1EF 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1E →＝0，n ·A 1F →＝0，得⎩⎨⎧－y 2＋2z 2＝0，－2x 2＋z 2＝0，取z 2＝2，得x 2＝1，y 2＝4，则n ＝(1，4，2)．于是cos ＜m ，n ＞＝m ·n |m |·|n |＝33×21＝77．设二面角A －EF －A 1的平面角为θ，则|cos θ|＝77，所以sin θ＝1－cos 2θ＝427，因此，二面角A －EF －A 1的正弦值为427．20．已知椭圆C ：x 225＋y 2m 2＝1(0＜m ＜5)的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．(1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线x ＝6上，且|BP |＝|BQ |，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积．解析：(1)因为椭圆C ：x 225＋y 2m2＝1(0＜m ＜5)，所以a ＝5，b ＝m ．e ＝c a＝1－(b a)2＝1－(m 5)2＝154，解得m ＝54，所以C ：x 225＋y 2(54)2＝1，即x 225＋16y 225＝1．(2)不妨设P ，Q 在x 轴上方，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设x ＝6与x 轴交点为N ．因为BP ⊥BQ ，所以∠PBM ＋∠QBN ＝90º，又∠BQN ＋∠QBN ＝90º，所以∠PBM ＝∠BQN ．又|BP |＝|BQ |，所以△PMB ≌△BNQ ．因为椭圆C ：x 225＋16y 225＝1，所以B (5，0)，所以|PM |＝|BN |＝6－5＝1，即y P ＝1，将其代入x 225＋16y 225＝1，可得x P ＝3或－3，所以P 点为(3，1)或(－3，1)．①当P 点为(3，1)时，|MB |＝5－3＝2＝|NQ |，故Q 点为(6，2)． 因为A (－5，0)，可求得直线AQ 的直线方程为2x －11y ＋10＝0，故点P 到直线AQ 的距离为d ＝|2×3－11×1＋10|22＋112＝|5|125＝55，又|AQ |＝(6＋5)2＋(2－0)2＝55，所以△APQ 面积为12×55×55＝52． ②当P 点为(－3，1)时，|MB |＝5＋3＝8＝|NQ |，故Q 点为(6，8)．因为A (－5，0)，可求得直线AQ 的直线方程为8x －11y ＋40＝0，故点P 到直线AQ 的距离为d ＝|8×(－3)－11×1＋40|82＋112＝|5|185＝5185，又|AQ |＝(6＋5)2＋(8－0)2＝185，所以△APQ 面积为12×185×5185＝52． 综上所述，△APQ 的面积为52．21．设函数f (x )＝x 3＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直．(1)求b ．(2)若f (x )有一个绝对值不大于1的零点，证明：f (x )所有零点的绝对值都不大于1．解：(1)因为f'(x )＝3x 2＋b ，由题意得f'(12)＝0，即3×(12)2＋b ＝0，则b ＝－34．(2)由(1)得f (x )＝x 3－34x ＋c ，故f'(x )＝3x 2－34＝3(x ＋12)(x －12)．令f'(x )＞0，得x ＞12或x ＜－12；令f'(x )＜0，得－12＜x ＜12．所以f (x )在(－12，12)上递减，在(－∞，－12)，(12，＋∞)上递增．且f (－1)＝f (12)＝c －14，f (－12)＝f (1)＝c ＋14．若f (x )有一个绝对值不大于1的零点，则f (x )在[－1，1]上有零点，则c －14≤0≤c ＋14，得－14≤c ≤14．当c ＝－14时，易知f (x )的零点为－12和1，满足所有零点的绝对值都不大于1．当c ＝14时，易知f (x )的零点为－1和12，满足所有零点的绝对值都不大于1．当－14＜c ＜14时，f (－1)＝f (12)＝c －14＜0，f (－12)＝f (1)＝c ＋14＞0，所以f (x )的零点x 1∈(－1，－12)，x 2∈(－12，12)，x 3∈(12，1)，满足所有零点的绝对值都不大于1．综上，f (x )所有零点的绝对值都不大于1．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4—4：坐标系与参数方程](10分)22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－t －t 2，y ＝2－3t ＋t 2(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A 、B 两点．(1)求|AB |；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．解析：(1)令x ＝0，则2－t －t 2＝0，解得t ＝－2或1(舍)，则y ＝2－3t ＋t 2＝12，故A (0，12)．令y ＝0，则2－3t ＋t 2＝0，解得t ＝2或1(舍)，则x ＝2－t －t 2＝－4，故B (－4，0)． |AB |＝42＋122＝410．(2)由(1)可知k AB ＝3，则直线AB 的方程为y ＝3(x ＋4)，即3x －y ＋12＝0．所以，直线AB 的极坐标方程为3ρcos θ－ρsin θ＋12＝0．[选修4—5：不等式选讲](10分)(2020全国Ⅲ理23文23)设a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1．(1)证明：ab ＋bc ＋ca ＜0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c }≥34．解析：(1)因为(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，所以ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)．因为abc ＝1，所以a ，b ，c 均不为0，所以ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)＜0．(2)不妨设max{a ，b ，c }＝a ．由a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1，可知a ＞0，b ＜0，c ＜0．易得a ＝－b －c ，a ＝1bc ，所以a 2＝(b ＋c )2≥4bc ＝4a ，即a 3≥4，所以a ≥34．即证得max{a ，b ，c }≥34．。
直线与圆-高考理科数学压轴题分析详解
重点增分专题十 直线与圆[全国卷3年考情分析](1)圆的方程近几年成为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查．(2)直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上．考点一 直线的方程 保分考点·练后讲评 1.[两直线平行]已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与直线l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2解析：选C 当k ＝4时，直线l 1的斜率不存在，直线l 2的斜率存在，所以两直线不平行；当k ≠4时，两直线平行的一个必要条件是3－k4－k ＝k －3，解得k ＝3或k ＝5，但必须满足1k －4≠32(截距不等)才是充要条件，经检验知满足这个条件． 2．[两直线垂直]已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为P (1，p )，则m －n ＋p 的值是( )A ．24B ．20C ．0D ．－4解析：选B ∵直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直， ∴m －4×25＝－1，∴m ＝10. 直线mx ＋4y －2＝0，即5x ＋2y －1＝0， 将垂足(1，p )代入，得5＋2p －1＝0，∴p ＝－2. 把P (1，－2)代入2x －5y ＋n ＝0，得n ＝－12， ∴m －n ＋p ＝20，故选B.3.[对称问题]坐标原点(0,0)关于直线x －2y ＋2＝0对称的点的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫－45，85 B.⎝⎛⎭⎫－45，－85 C.⎝⎛⎭⎫45，－85 D.⎝⎛⎭⎫45，85解析：选A 直线x －2y ＋2＝0的斜率k ＝12，设坐标原点(0,0)关于直线x －2y ＋2＝0对称的点的坐标是(x 0，y 0)，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x 02－2×y 02＋2＝0，y 0＝－2x 0，解得⎩⎨⎧x 0＝－45，y 0＝85，即所求点的坐标是⎝⎛⎭⎫－45，85. 4.[两直线的交点与距离]已知直线l 过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P (0,4)到直线l 的距离为2，则直线l 的方程为_________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以直线l 1与l 2的交点为(1,2)．显然直线x ＝1不符合，即所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，因为P (0,4)到直线l 的距离为2，所以|－4＋2－k |1＋k 2＝2，所以k ＝0或k ＝43.所以直线l的方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.答案：y ＝2或4x －3y ＋2＝0[解题方略]1．两直线的位置关系问题的解题策略求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断．2．轴对称问题的两种类型及求解方法考点二 圆的方程 保分考点·练后讲评 [大稳定——常规角度考双基]1.[由圆的方程求参数范围]若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2) B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C ．(－2,0)D.⎝⎛⎭⎫－2，23 解析：选D 若方程表示圆，则a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，化简得3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.2.[求圆的标准方程]已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的标准方程为________． 解析：设C (a,0)(a >0)，由题意知|2a |5＝455，解得a ＝2，所以r ＝22＋(5)2＝3，故圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝9.答案：(x －2)2＋y 2＝9[解题方略] 求圆的方程的2种方法几何法 通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程 代数法 用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程[小创新——变换角度考迁移]1.[与平面向量交汇]已知圆M ：x 2＋y 2－2x ＋a ＝0，若AB 为圆M 的任意一条直径，且OA ―→·OB ―→＝－6(其中O 为坐标原点)，则圆M 的半径为( )A. 5B. 6C.7D ．2 2解析：选C 圆M 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1－a (a <1)，圆心M (1,0)，则|OM |＝1，圆的半径r ＝1－a ，因为AB 为圆M 的任意一条直径，所以MA ―→＝－MB ―→，且|MA ―→|＝|MB ―→|＝r ，则OA ―→·OB ―→＝(OM ―→＋MA ―→)·(OM ―→＋MB ―→)＝(OM ―→－MB ―→)·(OM ―→＋MB ―→)＝OM ―→2－MB ―→2＝1－r 2＝－6，所以r 2＝7，得r ＝7，所以圆的半径为7，故选C.2.[与概率的交汇]向圆(x －2)2＋(y －3)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率为________．解析：如图，连接CA ，CB ，依题意，圆心C 到x 轴的距离为3，所以弦AB 的长为2.又圆的半径为2，所以弓形ADB 的面积为12×23π×2－12×2×3＝23π－3，所以向圆(x －2)2＋(y －3)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率P ＝23π－34π＝16－34π.答案：16－34π考点三 直线与圆的位置关系 增分考点·广度拓展 [分点研究]题型一 圆的切线问题[例1] (1)(2019届高三·苏州高三调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知过点M (1,1)的直线l 与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5相切，且与直线ax ＋y －1＝0垂直，则实数a ＝________.(2)设点M (x 0，y 0)为直线3x ＋4y ＝25上一动点，过点M 作圆x 2＋y 2＝2的两条切线，切点为B ，C ，则四边形OBMC 面积的最小值为________．[解析] (1)由题意得，直线l 的斜率存在，设过点M (1,1)的直线l 的方程为y －1＝k (x－1)，即kx －y ＋1－k ＝0.因为直线l 与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5相切，所以圆心(－1,2)到直线l 的距离d ＝|－k －2＋1－k |k 2＋1＝5，整理得k 2－4k ＋4＝0，解得k ＝2.又直线l 与直线ax ＋y－1＝0垂直，所以－2a ＝－1，解得a ＝12.(2)圆心O 到直线3x ＋4y ＝25的距离d ＝259＋16＝5， 则|OM |≥d ＝5， 所以切线长|MB |＝|OM |2－2≥d 2－2＝23，所以S 四边形OBMC ＝2S △OBM ≥2×12×23×2＝46.[答案] (1)12(2)46[变式1] 本例(2)变为：过点A (1,3)，作圆x 2＋y 2＝2的两条切线，切点为B ，C ，则四边形OBAC 的面积为________．解析：由相切可得S 四边形OBAC ＝2S △OBA ，因为△OAB 为直角三角形，且|OA |＝10，|OB |＝2， 所以|AB |＝22，即S △OBA ＝12×22×2＝2，所以S 四边形OBAC ＝2S △OBA ＝4. 答案：4[变式2] 本例(2)变为：设点M (x 0，y 0)为直线3x ＋4y ＝25上一动点，过点M 作圆x 2＋y 2＝2的两条切线l 1，l 2，则l 1与l 2的最大夹角的正切值是________．解析：设一个切点为B ，圆心O 到直线3x ＋4y ＝25的距离为d ＝259＋16＝5， 则tan ∠OMB ＝|OB ||MB |≤223，所以tan 2∠OAB ＝2tan ∠OAB1－tan 2∠OAB＝21tan ∠OAB－tan ∠OAB≤24621.故所求最大夹角的正切值为24621. 答案：24621[解题方略] 直线与圆相切问题的解题策略直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．题型二 圆的弦长问题[例2] 已知圆C 经过点A (－2,0)，B (0,2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P ，Q 两点．(1)求圆C 的方程；(2)过点(0,1)作直线l 1与l 垂直，且直线l 1与圆C 交于M ，N 两点，求四边形PM Q N 面积的最大值．[解] (1)设圆心C (a ，a )，半径为r ，因为圆C 经过点A (－2,0)，B (0,2)，所以|AC |＝|BC |＝r ，即(a ＋2)2＋(a －0)2＝(a －0)2＋(a －2)2＝r ，解得a ＝0，r ＝2，故所求圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)设圆心C 到直线l ，l 1的距离分别为d ，d 1，四边形PM Q N 的面积为S . 因为直线l ，l 1都经过点(0,1)，且l 1⊥l ，根据勾股定理，有d 21＋d 2＝1.又|P Q |＝2×4－d 2，|MN |＝2×4－d 21，所以S ＝12|P Q |·|MN |，即S ＝12×2×4－d 2×2×4－d 21＝216－4(d 21＋d 2)＋d 21d 2＝212＋d 21d 2≤212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫d 21＋d 222＝212＋14＝7，当且仅当d 1＝d 时，等号成立， 所以四边形PM Q N 面积的最大值为7. [解题方略] 求解圆的弦长的3种方法[多练强化]1．(2018·全国卷Ⅰ)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：由x 2＋y 2＋2y －3＝0，得x 2＋(y ＋1)2＝4.∴圆心C (0，－1)，半径r ＝2.圆心C (0，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1＋1|2＝2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.答案：2 22．已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点，若|MN |＝255，则直线l 的方程为________． 解析：直线l 的方程为y ＝kx ＋1，圆心C (2,3)到直线l 的距离d ＝|2k －3＋1|k 2＋1＝|2k －2|k 2＋1，由R 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫|MN |22，得1＝(2k －2)2k 2＋1＋15，解得k ＝2或12，故所求直线l 的方程为y ＝2x ＋1或y ＝12x ＋1.答案：y ＝2x ＋1或y ＝12x ＋13．已知从圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，则当|PM |取最小值时点P 的坐标为________．解析：如图所示，连接CM ，CP .由题意知圆心C (－1,2)，半径r ＝ 2.因为|PM |＝|PO |，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x 21＋y 21＋2＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2，即2x 1－4y 1＋3＝0.要使|PM |的值最小，只需|PO |的值最小即可．当PO 垂直于直线2x －4y ＋3＝0时，即PO所在直线的方程为2x ＋y ＝0时，|PM |的值最小，此时点P 为两直线的交点，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －4y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－310，y ＝35，故当|PM |取最小值时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35. 答案：⎝⎛⎭⎫－310，35数学建模——直线与圆最值问题的求解[典例] 已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2,1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，则当△OP Q 的面积最大时，直线l 的方程为( )A ．x －y －3＝0或7x －y －15＝0B ．x ＋y ＋3＝0或7x ＋y －15＝0C ．x ＋y －3＝0或7x －y ＋15＝0D ．x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0[解析] 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，则P (2，5)，Q (2，－5)，所以S △OP Q ＝12×2×25＝25，当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)⎝⎛⎭⎫k ≠12，则圆心到直线l 的距离d ＝|1－2k |1＋k 2，所以|P Q |＝29－d 2，S △OP Q ＝12×|P Q |×d ＝12×29－d 2×d＝ (9－d 2)d 2≤9－d 2＋d 22＝92，当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OP Q 取得最大值92，因为25＜92，所以S △OP Q 的最大值为92，此时4k 2－4k ＋1k 2＋1＝92，解得k ＝－1或k ＝－7，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0，故选D.[答案] D [素养通路]本题考查了直线与圆的最值问题，结合题目的条件，设元、列式、建立恰当的函数，利用基本不等式模型解决相关的最值问题．考查了数学建模这一核心素养．[专题过关检测]A 组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1．“ab ＝4”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为两直线平行，所以斜率相等，即－2a ＝－b 2，可得ab ＝4，又当a ＝1，b ＝4时，满足ab ＝4，但是两直线重合，故选C.2．已知直线l 1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2,0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A ．(3，3)B ．(2，3)C ．(1，3)D.⎝⎛⎭⎫1，32 解析：选C 直线l 1的斜率k 1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以直线l 2的斜率k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33(x ＋2)，y ＝－3(x －2)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)．3．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：选B 圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)可化为x 2＋(y －a )2＝a 2，由题意，M (0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2，所以a 2＝a 22＋2，解得a ＝2.所以圆M ：x 2＋(y －2)2＝4，所以两圆的圆心距为2，半径和为3，半径差为1，故两圆相交．4．(2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]解析：选A 设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ，则圆心C (2,0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|2＋2|2＝22，可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2. 由已知条件可得|AB |＝22，所以△ABP 面积的最大值为12|AB |·d max ＝6，△ABP 面积的最小值为12|AB |·d min ＝2.综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]．5．已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则实数a 的取值范围为( )A ．(－32，32)B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C ．(－22，22)D ．[－32，3 2 ]解析：选A 由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为2.因为圆O 上到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d <r ＋1＝2＋1，即d ＝|－a |12＋12＝|a |2<3，解得a ∈(－32，32)．6．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线x －ky ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，若点M 在圆C 上，则实数k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：选C 法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －ky ＋1＝0，x 2＋y 2＝4得(k 2＋1)y 2－2ky －3＝0，则Δ＝4k 2＋12(k 2＋1)>0，y 1＋y 2＝2k k 2＋1，x 1＋x 2＝k (y 1＋y 2)－2＝－2k 2＋1，因为OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，故M ⎝⎛⎭⎪⎫－2k 2＋1，2k k 2＋1，又点M 在圆C 上，故4(k 2＋1)2＋4k 2(k 2＋1)2＝4，解得k ＝0. 法二：由直线与圆相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，且点M 在圆C 上，得圆心C (0,0)到直线x －ky ＋1＝0的距离为半径的一半，为1，即d ＝11＋k 2＝1，解得k ＝0.二、填空题7．已知直线l ：x ＋my －3＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相切，则m ＝________.解析：因为圆C ：x 2＋y 2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，直线l ：x ＋my －3＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相切，所以2＝31＋m 2，解得m ＝±52 .答案：±528．过点C (3,4)作圆x 2＋y 2＝5的两条切线，切点分别为A ，B ，则点C 到直线AB 的距离为________．解析：以OC 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －2)2＝⎝⎛⎭⎫522，AB 为圆C 与圆O ：x 2＋y 2＝5的公共弦，所以AB 的方程为x 2＋y 2－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －2)2＝5－254，化简得3x ＋4y －5＝0，所以C 到直线AB 的距离d ＝|3×3＋4×4－5|32＋42＝4.答案：49．(2018·贵阳适应性考试)已知直线l ：ax －3y ＋12＝0与圆M ：x 2＋y 2－4y ＝0相交于A ，B 两点，且∠AMB ＝π3，则实数a ＝________.解析：直线l 的方程可变形为y ＝13ax ＋4，所以直线l 过定点(0,4)，且该点在圆M 上．圆的方程可变形为x 2＋(y －2)2＝4，所以圆心为M (0，2)，半径为2.如图，因为∠AMB ＝π3，所以△AMB 是等边三角形，且边长为2，高为3，即圆心M 到直线l 的距离为3，所以|－6＋12|a 2＋9＝3，解得a ＝±3.答案：±3 三、解答题10．已知圆(x －1)2＋y 2＝25，直线ax －y ＋5＝0与圆相交于不同的两点A ，B . (1)求实数a 的取值范围；(2)若弦AB 的垂直平分线l 过点P (－2,4)，求实数a 的值． 解：(1)把直线ax －y ＋5＝0代入圆的方程， 消去y 整理，得(a 2＋1)x 2＋2(5a －1)x ＋1＝0， 由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点， 故Δ＝4(5a －1)2－4(a 2＋1)>0， 即12a 2－5a >0，解得a >512或a <0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫512，＋∞. (2)由于直线l 为弦AB 的垂直平分线，且直线AB 的斜率为a ， 则直线l 的斜率为－1a，所以直线l 的方程为y ＝－1a (x ＋2)＋4，即x ＋ay ＋2－4a ＝0，由于l 垂直平分弦AB ， 故圆心M (1,0)必在l 上，所以1＋0＋2－4a ＝0， 解得a ＝34，由于34∈⎝⎛⎭⎫512，＋∞， 所以a ＝34.11．已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点．(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程． 解：(1)设圆A 的半径为R .因为圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，所以R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.所以圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意； 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.由于|MN |＝219，于是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|－k －2＋2k |k 2＋12＋(19)2＝20，解得k ＝34， 此时，直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.所以所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.12．在平面直角坐标系xOy 中，直线x －y ＋1＝0截以原点O 为圆心的圆所得的弦长为6.(1)求圆O 的方程；(2)若直线l 与圆O 相切于第一象限，且直线l 与坐标轴交于点D ，E ，当线段DE 的长度最小时，求直线l 的方程．解：(1)因为点O 到直线x －y ＋1＝0的距离为12， 所以圆O 的半径为⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫622＝2， 故圆O 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，即bx ＋ay －ab ＝0， 由直线l 与圆O 相切，得|－ab |b 2＋a2＝2，即1a 2＋1b 2＝12，则|DE |2＝a 2＋b 2＝2(a 2＋b 2)⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＝4＋2b 2a 2＋2a 2b2≥8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.B 组——大题专攻补短练1．已知点M (－1,0)，N (1,0)，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 的距离的3倍．(1)求曲线E 的方程；(2)已知m ≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝0交曲线E 于B ，D 两点．当CD 的斜率为－1时，求直线CD 的方程．解：(1)设曲线E 上任意一点的坐标为(x ，y )， 由题意得(x ＋1)2＋y 2＝3·(x －1)2＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＋1＝0，即(x －2)2＋y 2＝3为所求． (2)由题意知l 1⊥l 2，且两条直线均恒过点N (1，0)．设曲线E 的圆心为E ，则E (2,0)，设线段CD 的中点为P ，连接EP ，ED ，NP ，则直线EP ：y ＝x －2.设直线CD ：y ＝－x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－x ＋t ，解得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22，t －22， 由圆的几何性质，知|NP |＝12|CD |＝|ED |2－|EP |2，而|NP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222，|ED |2＝3， |EP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，所以⎝⎛⎭⎫t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222＝3－(t －2)22，整理得t 2－3t ＝0， 解得t ＝0或t ＝3，所以直线CD 的方程为y ＝－x 或y ＝－x ＋3.2．在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 解：(1)因为圆心在直线l ：y ＝2x －4上，也在直线y ＝x －1上，所以解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y ＝x －1，得圆心C (3,2)，又因为圆的半径为1，所以圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝1，又因为点A (0,3)，显然过点A ，圆C 的切线的斜率存在， 设所求的切线方程为y ＝kx ＋3，即kx －y ＋3＝0， 所以|3k －2＋3|k 2＋12＝1，解得k ＝0或k ＝－34，所以所求切线方程为y ＝3或y ＝－34x ＋3，即y －3＝0或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆C 的圆心在直线l ：y ＝2x －4上， 所以设圆心C 为(a,2a －4)， 又因为圆C 的半径为1，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －2a ＋4)2＝1. 设M (x ，y )，又因为|MA |＝2|MO |，则有 x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，整理得x 2＋(y ＋1)2＝4，其表示圆心为(0，－1)，半径为2的圆，设为圆D ， 所以点M 既在圆C 上，又在圆D 上，即圆C 与圆D 有交点， 所以2－1≤a 2＋(2a －4＋1)2≤2＋1，解得0≤a ≤125，所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，125. 3．在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下： 设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2. 又C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：由(1)知BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 22，12， 可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎨⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22，x 22＋mx 2－2＝0可得⎩⎨⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92. 故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝⎛⎭⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．4．(2018·广州高中综合测试)已知定点M (1,0)和N (2,0)，动点P 满足|PN |＝2|PM |. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若A ，B 为(1)中轨迹C 上两个不同的点，O 为坐标原点．设直线OA ，OB ，AB 的斜率分别为k 1，k 2，k .当k 1k 2＝3时，求k 的取值范围．解：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )， 因为M (1,0)，N (2,0)，|PN |＝2|PM |， 所以(x －2)2＋y 2＝2·(x －1)2＋y 2.整理得，x 2＋y 2＝2.所以动点P 的轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2，y ＝kx ＋b消去y ，整理得(1＋k 2)x 2＋2bkx ＋b 2－2＝0.(*) 由Δ＝(2bk )2－4(1＋k 2)(b 2－2)>0，得b 2<2＋2k 2.① 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2bk 1＋k 2，x 1x 2＝b 2－21＋k 2.②由k 1·k 2＝y 1x 1·y 2x 2＝kx 1＋b x 1·kx 2＋bx 2＝3，得(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝3x 1x 2， 即(k 2－3)x 1x 2＋bk (x 1＋x 2)＋b 2＝0.③ 将②代入③，整理得b 2＝3－k 2.④由④得b 2＝3－k 2≥0，解得－3≤k ≤ 3.⑤ 由①和④，解得k <－33或k >33.⑥ 要使k 1，k 2，k 有意义，则x 1≠0，x 2≠0， 所以0不是方程(*)的根，所以b 2－2≠0，即k ≠1且k ≠－1.⑦ 由⑤⑥⑦，得k 的取值范围为 [－3，－1)∪⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1∪(1， 3 ]．。
【数学】2021全国卷Ⅲ高考压轴卷(理)(解析版)
故选：B
2．【答案】D
【解析】因为由 推不出 ，由 也推不出 ，故A不满足题意
因为 ， ，所以B、C不满足题意
因为由 可以推出 ，由 推不出
所以 是 的充分不必要条件
故选：D
3．【答案】B
【解析】因为 为纯虚数，
所以 ， ，解得 .
故选：B.
4．【答案】C
【解析】如图1，作出平面区域可知： 的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方加1，
分数段
[0,7)
[7,8)
[8,9)
[9,10]
食堂个数
1
3
8
4
（1）现从16个大学食堂中随机抽取3个，求至多有1个大学食堂的评分不低于9分的概率；
（2）以这16个大学食堂的评分数据评估全国的大学食堂的评分情况，若从全国的大学食堂中任选3个，记X表示抽到评分不低于9分的食堂个数，求X的分布列及数学期望.
B．若 ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ， ，则
8．祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行且相距为 的平面截该几何体，则截面面积为（）
15．已知圆 的圆心坐标是 ，若直线 与圆 相切于点 ，则圆C的标准方程为___________.
16．在四棱锥 中， ， ， ， ，则三棱锥 外接球的表面积为______.
三、解答题（共70分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.地17-21为必做题，每个试题都必须作答.第22、23题为选做题，考生按要求作答）
2019-2020全国高考专题全国卷Ⅲ(理)数学试卷
2019-2020全国高考专题全国卷Ⅲ（理）数学试卷一、选择题1. 已知集合A ={(x,y )|x,y ∈N ∗，y ≥x}，B ={(x,y )|x +y =8}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A.4 B.2 C.6 D.32. 复数11−3i的虚部是( )A.110B.−310C.310D.−1103. 在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p 1，p 2，p 3，p 4，且∑p i 4i=1=1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( ) A.p 1=p 4=0.2，p 2=p 3=0.3 B.p 1=p 4=0.1，p 2=p 3=0.4 C.p 1=p 4=0.3，p 2=p 3=0.2 D.p 1=p 4=0.4，p 2=p 3=0.14. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )（t 的单位：天）的Logistic 模型：I (t )=K1+e −0.23(t−53)，其中K 为最大确诊病例数.当I (t ∗)=0.95K 时，标志已初步遏制疫情，则t ∗约为( )(ln 19≈3) A.66 B.60 C.69 D.635. 设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C:y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( ) A.(1,0) B.(14,0) C.(2,0)D.(12,0)6. 已知向量a →，b →满足|a →|=5 ，|b →|=6，a →⋅b →=−6，则cos <a →,a →+b →>=（ ） A.1735B.−3135C.1935D.−19357. 在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =( ) A.12B.19C.23D.138. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A.6+2√3B.6+4√2C.4+2√3D.4+4√29. 已知2tan θ−tan (θ+π4)=7，则tan θ=( ) A.1 B.−2 C.2 D.−110. 若直线l 与曲线y =√x 和圆x 2+y 2=15相切，则l 的方程为( ) A.y =12x +1 B.y =2x +1C.y =12x +12D.y =2x +1211. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0，b >0)的左右焦点F 1，F 2，离心率为√5．P 是C 上的一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =( ) A.4 B.1C.8D.212. 已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138， 则( ) A.b <c <a B. a <b <cC.c <a <bD.b <a <c二、填空题13. 若x ，y 满足约束条件{x +y ≥0,2x −y ≥0,x ≤1,则z =3x +2y 的最大值是________.14. (x2+2x )6的展开式中常数项是________（用数字作答）.15. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________.16. 关于函数f(x)=sin x+1sin x.①f(x)的图像关于y轴对称；②f(x)的图像关于原点对称；③f(x)的图像关于x=π2对称；④f(x)的最小值为2．其中所有真命题的序号是________.三、解答题17. 设数列{a n}满足a1=3，a n+1=3a n−4n.(1)计算a2，a3，猜想{a n}的通项公式并加以证明；(2)求数列{2n a n}的前n项和S n.18. 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下列的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，19. 如图，长方形ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE=ED1，BF=2FB1.(1)证明：点C1在平面AEF内；(2)若AB=2，AD=1，AA1=3，求二面角A−EF−A1的正弦值．20. 已知椭圆C:x225+y2m2=1(0<m<5)的离心率为√154，A，B分别为C的左、右顶点．(1)求C的方程；(2)若点P在C上，点Q在直线x=6上，且|BP|=|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．21. 设f(x)=x3+bx+c，x∈R，曲线f(x)在点(12,f(12))处的切线与y轴垂直.(1)求b；(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)的所有零点的绝对值都不大于1.22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=2−t−t2，y=2−3t+t2，（t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A，B两点．(1)求|AB|；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．23. 设a，b，c∈R，a+b+c=0，abc=1.(1)证明：ab+bc+ca<0；(2)用max{a,b,c}表示a，b，c的最大值，证明：max{a,b,c}≥√43.参考答案与试题解析2019-2020全国高考专题全国卷Ⅲ（理）数学试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】不等式明概推与应用交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】复验热数术式工乘除运算复数三最本概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】离散来随机兴苯的期钱与方差【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】指数式与表镜式的互化函使的以值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】抛物使之性质抛物线正算准方程两条直因垂直滤倾斜汉措斜率的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】数量来表示冷个向让又夹角平面常量么量积向使的之【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】余于视理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】由三视于求表械积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】两角和与表型正切公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】圆的水射方程点到直使的距离之式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】双曲表的烧用双曲线根标准方仅【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】对数值于小的侧较指数式与表镜式的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题13.【答案】此题暂无答案【考点】求线性目于函数虫最值简单因性规斯【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】此题暂无答案【考点】二项式射理的应题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】此题暂无答案【考点】球的体都连表面积旋转验（圆柱立圆锥碳藏台）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答16.【答案】此题暂无答案【考点】函数因对称湾函根的萄送木其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题17.【答案】此题暂无答案【考点】数使的种和数于术推式数水表纳法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答18.【答案】此题暂无答案【考点】生活都读率应用用频较估计夏率众数、中正数、平均测独根性冬验【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】此题暂无答案【考点】用空根冬条求才面间的夹角用向明证养平行空间点、常簧面的位置空间明角钙标系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.【答案】此题暂无答案【考点】椭圆水明心率三角形射面积公放椭明的钾用椭圆较标准划程平面常量么量积点到直使的距离之式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答21.【答案】此题暂无答案【考点】利用导于研究轨函数成点有近的问题利用三数定究曲纵上迹点切线方程利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答22.【答案】此题暂无答案【考点】直线的都连标方程参数较严与普码方脂的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答23.【答案】此题暂无答案【考点】不等较的证夏反证法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
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普通高等学校招生全国统一考试理科数学● 注意事项：● 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
● 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}(1)(4)0A x x x =+-≤，{}2log 2B x x =≤，则A B ⋂=（ ） A. []4,2-B. [)1,+∞C. (]0,4D.[)2,-+∞2.若复数z 满足2(1)z i i -=（i 是虚数单位），则z 为（ ）A.13 B. 12C. 14D. 15 3.已知123a =，2log 3b =，9log 2c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D.c b a >>4.在的二项展开式中，若第四项的系数为-7，则（ ）A.B.C.D.5．已知x •log 32＝1，则4x ＝（ ） A ．4B ．6C ．4D ．96．在△ABC 中，若sinB ＝2sinAcosC ，那么△ABC 一定是（ ） A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形7.宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦﹝九韶﹞、李﹝冶﹞、杨﹝辉﹞、朱﹝世杰﹞四大家”，朱世杰就是其中之一．朱世杰是一位平民数学家和数学教育家．朱世杰平生勤力研习《九章算术》，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家．他全面继承了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的《算学启蒙》，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的,a b 分别为3，1，则输出的n =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 58.函数3()e 1=+x x f x 的图象大致是（ ）A. B.C. D.9.设函数2()ln f x a x bx =+(0,0)a b >>，若函数()f x 的图象在1x =处的切线与直线20x y e --=平行，则11a b+的最小值为（ ） A. 1 B.12C. 322-D. 322+10．已知函数f （x ）＝sin （ωx+φ）（ω＞0，）的最小正周期为π，且关于中心对称，则下列结论正确的是（ ）A ．f （1）＜f （0）＜f （2）B ．f （0）＜f （2）＜f （1）C ．f （2）＜f （0）＜f （1）D ．f （2）＜f （1）＜f （0）11.函数()()2sin 4cos 1f x x x =⋅-的最小正周期是（ ）A.3πB. 23π C. π D. 2π 12. 定义在R 上的可导函数()f x 满足(2)()22f x f x x -=-+，记()f x 的导函数为()f x '，当1x ≤时恒有()1f x '<．若()(12)31f m f m m ---≥，则m 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．1(,1]3-C ．[1,)-+∞D ．1[1,]3-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数则__________．14．已知x ，y 满足042 1.x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，≥≥≤若2x y +的最小值为_________．15.已知抛物线22(0)y px p =>与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>有相同的焦点F ，P 是两曲线的公共点，若56PF p =，则此椭圆的离心率为_________. 16、已知正三棱锥，点、、、都在半径为球面上，若、、两两相互垂直，则球心到截面的距离为__________．三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检n 件，并按质量指标值进行统计分析，得到表格如表：质量指标值 等级 频数 频率 [60，75） 三等品 10 0.1 [75，90） 二等品 30 b [90，105） 一等品 a 0.4 [105，120）特等品20 0.2 合计n1（1）求a ，b ，n ；（2）从质量指标值在[90，120）的产品中，按照等级分层抽样抽取6件，再从这6件中随机抽取2件，求至少有1件特等品被抽到的概率．18．（12分）ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设23sin()cos 22BA C +=. （Ⅰ）求sinB ；（Ⅱ）若ABC V 的周长为8，求ABC V 的面积的取值范围.19．(12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是PC 的中点.（I ）求证：//PA 平面BDE ；（II ）若直线BD 与平面PBC 所成角为30°，求二面角C PB D --的大小.20．（12分）设函数()ln (1)()f x x a x a R =--∈.（I ）讨论函数()f x 的单调性；（II ）当函数()f x 有最大值且最大值大于3a -时，求a 的取值范围.21．（12分）中心在原点的椭圆E 的一个焦点与抛物线2:4C x y =的焦点关于直线y x =对称，且椭圆E 与坐标轴的一个交点坐标为()2,0. （I ）求椭圆E 的标准方程；（II ）过点()0,2-的直线l （直线的斜率k 存在且不为0）交E 于A ，B 两点，交x 轴于点P 点A 关于x 轴的对称点为D ，直线BD 交x 轴于点Q .试探究||||OP OQ ⋅是否为定值？请说明理由.（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），以原点O为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为2241sin ρθ=+.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设P （0，-1），直线l 与C 的交点为M ，N ，线段MN 的中点为Q ，求-u u u r u u u rOP OQ .23.已知函数()2f x x =-． （1）解不等式：()4(1)f x f x <-+（2）若函数()4)g x x =≥与函数()2(2)y m f x f x =---的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．普通高等学校招生全国统一考试理科数学·参考答案1、【答案】C【解析】算出集合,A B 后可求B A I .【详解】{}[](1)(4)01,4A x x x =+-≤=-，{}(]2log 20,4B x x =≤=， 故(]0,4A B ⋂=，故选C. 2、【答案】B【解析】利用复数的除法运算求得12z =-，问题得解. 【详解】由2(1)z i i -=可得：221(1)122i i z i i i ===---+所以12z =故选：B 3、【答案】A【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 与1和12的大小关系，从而可得出实数a 、b 、c 的大小关系.【详解】由于指数函数3xy =是增函数，则102331a =>=； 对数函数2log y x =是增函数，则222log 2log 3log 2<<，即112b <<； 对数函数9log y x =是增函数，则991log 2log 32c =<=. 因此，a b c >>. 故选：A. 4、【答案】B 【解析】，， ，解得：，故选B.5、D【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．解：∵x•log32＝1，∴x＝log23，∴4x＝＝＝9，故选：D．6、B解：∵sinB＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝2sinAcosC，∴cosAsinC﹣sinAcosC＝sin（C﹣A）＝0，即C﹣A＝0，C＝A，∴a＝c，即△ABC为等腰三角形．故选：B．7、【答案】C【解析】按流程图逐一执行即可.【详解】输入的,a b分别为3，1时，依次执行程序框图可得：1933a=+⨯=22b=⨯=212a b<不成立n=+=11291927a=+⨯=2224b=⨯=224<不成立a b213n=+=2712781a=+⨯=4248b=⨯=248<不成立a bn=+=31481181243a=+⨯=82816b=⨯=2816输出4n =故选：C 8、【答案】D【分析】利用特殊值及函数的导数判断函数的单调性进行排除，即可得到函数的图象． 【详解】当x<0时，f （x ）<0．排除AC ，f ′（x ）()()()32222333(1)11x xx xxxx e xe x e x e ee+-+-==++，令33x x e xe +-=g (x )g ′（x ）()()312xxxe x e x e =-+=-，当x ∈（0，2），g ′（x ）＞0，函数g (x )是增函数，当x ∈（2，+∞），g ′（x ）＜0，函数g (x )是减函数，g (0)= 60>，g (3)=3>0， g (4)=4 3e -<0， 存在()03,4x ∈，使得g (0x )=0，且当x ∈（0，0x ），g (x )>0，即f ′（x ）＞0，函数f （x ）是增函数， 当x ∈（0x ，+∞），g (x )<0，即f ′（x ）＜0，函数f （x ）是减函数， ∴B 不正确， 故选D ． 9、【答案】D【解析】由2()ln f x a x bx =+可得：()2af x bx x'=+， 又函数()f x 的图象在1x =处的切线与直线20x y e --=平行， 所以(1)21f a b '=+=所以()11111112a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21233b a a b =+++≥+=+当且仅当1,12a b =-=-时，等号成立 所以11a b+的最小值为3+10 D 【分析】根据条件求出函数的解析式，结合函数的单调性的性质进行转化判断即可． 解：∵函数的最小周期是π，∴＝π，得ω＝2，则f （x ）＝sin （2x+φ）， ∵f （x ）关于中心对称，∴2×（﹣）+φ＝k π，k ∈Z ， 即φ＝k π+，k ∈Z ， ∵，∴当k ＝0时，φ＝， 即f （x ）＝sin （2x+）， 则函数在[﹣，]上递增，在[，]上递减，f （0）＝f （），∵＜1＜2，∴f （）＞f （1）＞f （2），即f （2）＜f （1）＜f （0）， 故选：D ．11、【答案】B【分析】利用二倍角公式和辅助角公式将()f x 化简为y=sin x+A ωϕ（）的形式，再利用周期函数求出其最小正周期，可得答案.【详解】解：()()()2sin 2cos cos 2sin 2cos cos cos 2f x x x x x x x x =+=⋅+sin 2cos sin cos2sin3x x x x x =+=，可得其最小正周期为23π， 故选B.12【答案】D【解析】构造函数()(12)31f m f m m ---≥)21()21()(m m f m m f --->-⇒，所以构造函数x x f x F -=)()( ，(2)()22f x f x x -=-+⇒x x f x x f -=---)()2()2(，)()2(x F x F =- 所以)(x F 的对称轴为1=x ，1)(')('-=x f x F所以，[)())(,',,1x F x F x >+∞∈是增函数；(]())(,0',1-x F x F x <∞∈ 是减函数。