沪科版八年级数学下册四边形辅助线常用做法

四边形常用的辅助线做法1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1 如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.求证:OE与AD互相平分.2．利用两组对边平行构造平行四边形例2 如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC. 分析:要证明ED+FG=AC,因为DE//AC,可以经过点E作EH//CD交AC于H得平行四边形,得ED=HC,然后根据三角形全等,证明FG=AH.3．利用对角线互相平分构造平行四边形例3 如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.二、和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.例4 如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF//BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形.例5 如图6，四边形ABCD 是菱形，E 为边AB 上一个定点，F 是AC 上一个动点，求证EF+BF 的最小值等于DE 长.图6说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线. 与矩形有辅助线作法和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.例6 如图7，已知矩形ABCD 内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD 的长.图7说明：本题主要是借助矩形的四个角都是直角，通过作平行线构造四个小矩形，然后根据对角线得到直角三角形，利用勾股定理找到PD 与PA 、PB 、PC 之间的关系，进而求到PD 的长.四、与正方形有关辅助线的作法正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.例7如图8，过正方形ABCD 的顶点B 作BE//AC ，且AE=AC ，又CF//AE.求证：∠BCF=21∠AEB.解：过A作AG⊥BE于G，AC，BD交于O，则AGBO是正方形，AG=AO==，又AG⊥GE，所以，∠AEG=30°．∠CFB=∠AEG=30°，∠FBC=∠FBA+∠ABC=135°，∠BCF=180°-∠CFB-∠FBC=15°，∠BCF=∠AEB．说明：本题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质.通过连接正方形的对角线构造正方形AHBO，进一步得到菱形，借助菱形的性质解决问题.四边形中常用的辅助线四边形中添辅助线的目的一般都是造就线段平行或垂直，构造全等三角形、直角三角形、平行四边形等，把难以解决的问题转化成常见的三角形、平行四边形等问题处理，其常用方法有以下几种：(1)连结对角线或平移对角线．(2)把图形中的一部分旋转，构造全等三角形．(3)涉及面积问题的，常构造直角三角形．(4)已有一组平行线或对角线互相平分的，常构造平行四边形．(5)涉及线段中点或平行四边形对角线交点的，常构造三角形的中位线．(第1题)1．如图，在四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点．E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD 上从点C向点D移动而点R不动时，下列结论成立的是(C)A. 线段EF的长逐渐增大B. 线段EF的长逐渐减少C. 线段EF的长不变D. 线段EF的长与点P的位置有关【解】连结AR.∵AR 的长度不变，根据中位线定理可知，EF ＝12AR ，∴当点P 在CD 上从点C 向点D 移动而点R 不动时，线段EF 的长不变．(第2题)2．如图，四边形ABCD 放在一组距离相等的平行线中，已知BD ＝6 cm ，四边形ABCD 的面积为24 cm 2，则两条平行线间的距离为(A )A. 2 cmB. 3 cmC. 4 cmD. 1 cm【解】 过点A 作AE ⊥BD 于点E ，过点C 作CF ⊥BD 于点F ，则S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12AE ·BD ＋12CF ·BD ＝12BD (AE ＋CF )．∵BD ＝6 cm ，四边形ABCD 的面积为24 cm 2， ∴AE ＋CF ＝8 cm ，∴两条平行线间的距离为2 cm.3．(淄博中考)如图，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A ，B ，E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG ，PC .若∠ABC ＝∠BEF ＝60°，则PGPC等于(B ),(第3题))A. 2B. 3C. 22D. 33【解】 延长GP 交DC 于点H .∵四边形ABCD 和四边形BEFG 都是菱形， ∴BC ＝DC ，BG ＝FG .∵P 是线段DF 的中点，∴FP ＝DP .由题意可知DC ∥FG ，∴∠GFP ＝∠HDP . 又∵∠GPF ＝∠HPD ， ∴△GFP ≌△HDP (ASA )， ∴GP ＝HP ，FG ＝DH ， ∴BG ＝DH ，∴BC －BG ＝DC －DH ，即CG ＝CH ， ∴△HCP ≌△GCP (SSS )，∴∠GCP ＝∠HCP ＝12∠BCD ，∠HPC ＝∠GPC ＝90°.∵DC ∥AB ，∠ABC ＝60°，∴∠BCD ＝120°， ∴∠GCP ＝60°，∴易得PGPC＝ 3.4．已知P 是正方形ABCD 内一点，PB ＝2，PC ＝1，∠BPC ＝135°，则AP 的长为5．(第4题解)【解】 如解图，把△ABP 绕点B 顺时针旋转90°，到达△CBQ 的位置，连结PQ . 由旋转的性质，得PB ＝BQ ，∠PBQ ＝90°，AP ＝CQ ， ∴△BPQ 是等腰直角三角形，∴PQ ＝PB 2＋BQ 2＝（2）2＋（2）2＝2，∠BPQ ＝45°， ∴∠CPQ ＝135°－45°＝90°， ∴△PCQ 是直角三角形，∴AP ＝CQ ＝PC 2＋PQ 2＝12＋22＝ 5.(第5题)5．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，连结AC ，BD 相交于点O ，CE 平分∠ACD ，交BD 于点E ，则DE 的长为2－1．【解】 过点E 作EF ⊥DC 于点F . ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ODC ＝45°，AC ⊥BD . ∵CE 平分∠ACD ，EF ⊥DC ，∴CO ＝CF ，∠DEF ＝45°＝∠ODC ，∴EF ＝DF . ∵正方形ABCD 的边长为1，∴AC ＝2，∴CO ＝12AC ＝22，∴CF ＝CO ＝22，∴EF ＝DF ＝DC －CF ＝1－22，∴DE ＝EF 2＋DF 2＝2－1.(第6题)6．如图，P 为▱ABCD 内一点，△PAB ，△PCD 的面积分别记为S 1，S 2，▱ABCD 的面积记为S ，试探究S 1＋S 2与S 之间的关系．(第6题解)【解】 如解图，过点P 作EF ∥AB ，交AD 于点E ，交BC 于点F . ∵AB ∥CD ，∴EF ∥AB ∥CD ，∴四边形ABFE ，四边形EFCD 都是平行四边形，∴S 1＝12S ▱ABFE ，S 2＝12S ▱EFCD .∵S ▱ABFE ＋S ▱EFCD ＝S ，∴S 1＋S 2＝12S .(第7题)7．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠A ∶∠C ＝1∶2，AB ＝2，CD ＝1.求： (1)∠A ，∠C 的度数． (2)AD ，BC 的长度．(3)四边形ABCD 的面积．【解】 (1)∵∠A ＋∠C ＝360°－∠B －∠D ＝360°－90°－90°＝180°，∠A ∶∠C ＝1∶2， ∴∠A ＝60°，∠C ＝120°.(2)分别延长BC ，AD 相交于点E .在Rt △ABE 中，∵∠A ＝60°，∴∠E ＝30°， ∴AE ＝2AB ＝4，∴BE ＝2 3.在Rt △EDC 中，易得EC ＝2CD ＝2，ED ＝3， ∴AD ＝AE －ED ＝4－3，BC ＝BE －EC ＝23－2.(3)S 四边形ABCD ＝S △ABE －S △EDC ＝12×23×2－12×3×1＝323.(第8题)8．如图，在四边形ABCD 中，BE ＝DF ，AC 和EF 互相平分于点O ，∠B ＝90°.求证：四边形ABCD 是矩形．【解】 连结AF ，CE . ∵AC 和EF 互相平分，∴四边形AECF 是平行四边形， ∴AE ＝CF ，AE ∥CF . 又∵BE ＝DF ， ∴AB ＝CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形． 又∵∠B ＝90°， ∴▱ABCD 是矩形．9．如图①，在正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，E 是AB 延长线上的一点，MN ⊥DM 且交∠CBE 的平分线于点N .,(第10题))(1)求证：MD ＝MN .(2)若将上述条件中的“M 是AB 的中点”改为“M 是AB 上的任意一点”，其余条件不变(如图②)，则结论“MD ＝MN ”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．【解】 (1)如解图①，取AD 的中点F ，连结FM . ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠A ＝∠ABC ＝90°. 又∵M ，F 分别是AB ，AD 的中点，∴AM ＝MB ＝12AB ＝12AD ＝DF ＝AF .又∵∠A ＝90°，∴∠AFM ＝45°，∴∠DFM ＝135°. ∵BN 平分∠CBE ，∴∠MBN ＝90°＋45°＝135°， ∴∠DFM ＝∠MBN .∵MN ⊥DM ，∴∠NMB ＋∠DMA ＝90°. 又∵∠FDM ＋∠DMA ＝90°， ∴∠FDM ＝∠NMB ，∴△DFM ≌△MBN (ASA )，∴MD ＝MN .(第10题解)(2)成立．证明如下：如解图②，在AD 上取一点F ，使得AF ＝AM . 同理于(1)的证明过程，可得∠FDM ＝∠BMN ， ∠DFM ＝∠MBN ＝135°.∵AD ＝AB ，AF ＝AM ，∴DF ＝MB ， ∴△DFM ≌△MBN (ASA )，∴MD ＝MN .1、已知：如图，正方形ABCD 中，∠ACE=30°，ED ∥AC ；求证：AE=AF连接AC 过E 作EG 垂直于AC 于G ，证AC=AE ，得角AEC=角AFE=75度，既得AE=AF2、如图，在正方形ABCD 中，∠EAF=45°，AH ⊥EF ，垂足为H ，求证：AH=AB.将三角形ADF 绕点A 顺时针旋转90度，使AD 与AB 重合，得三角形ABC ，则三角形ADF 全等于三角形ABC,即可得AH=AB3、已知：如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、DA 的中点，BE 与CF 交于P 点。