高三数学集合概念
高三数学知识点总结(3篇)
高三数学知识点总结第一章:集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性:(1)元素的确定性如:世界上的山(2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}注意:常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集)记作:N正整数集:N-或N+整数集:Z有理数集:Q实数集:R1)列举法:{a,b,c……}3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}4)Venn图:4、集合的分类:(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2.“相等”关系:A=B(5≥5,且5≤5,则5=5)实即:①任何一个集合是它本身的子集。
AíA②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)③如果AíB,BíC,那么AíC④如果AíB同时BíA那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
4.子集个数:有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集,含有2n-1个非空子集,含有2n-1个非空真子集三、集合的运算运算类型交集并集补集第二章:基本初等函数一、指数函数(一)指数与指数幂的运算1.根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根(nthroot),其中>1,且∈-.当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数.此时,的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical),这里叫做根指数(radicalexponent),叫做被开方数(radicand).当是偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数的正的次方根用符号表示,负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0).由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作。
高中数学第一章_集合与常用逻辑用语
第一章⎪⎪⎪集合与常用逻辑用语第一节集__合1.集合的相关概念(1)集合元素的三个特性:确定性、无序性、互异性. (2)元素与集合的两种关系:属于,记为∈;不属于,记为∉. (3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法. (4)五个特定的集合:集合 自然数集正整数集 整数集 有理数集实数集 符号NN *或N +ZQR2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言 记法基本关系子集集合A 的元素都是集合B 的元素x ∈A ⇒x ∈B A ⊆B 或B ⊇A真子集集合A 是集合B 的子集,且集合B 中至少有一个元素不属于AA ⊆B ,且存在x 0∈B ,x 0∉A A B 或B A相等 集合A ,B 的元素完全相同 A ⊆B ,B ⊆A A =B 空集不含任何元素的集合.空集是任何集合A 的子集任意的x ,x ∉∅,∅⊆A∅3.集合的基本运算表示 运算 文字语言符号语言 图形语言 记法交集属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合{x |x ∈A ,且x ∈B }A ∩B并集属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合{x |x ∈A ,或x ∈B }A ∪B补集全集U 中不属于集合A 的元{x |x ∈U ,且x ∉A }∁U A素组成的集合4.集合问题中的几个基本结论 (1)集合A 是其本身的子集,即A ⊆A ;(2)子集关系的传递性,即A ⊆B ,B ⊆C ⇒A ⊆C ;(3)A ∪A =A ∩A =A ,A ∪∅=A ,A ∩∅=∅,∁U U =∅,∁U ∅=U . (4)A ∩B =A ⇒A ⊆B ,A ∪B =B ⇒A ⊆B . [小题体验]1.已知集合A ={1,2},B ={x |0<x <5,x ∈N },则满足A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4答案:D2.已知集合A ={1,2,3},B ={2,4,5},则集合A ∪B 中元素的个数为________. 答案:53.(2018·江苏高考)已知集合A ={0,1,2,8},B ={-1,1,6,8},那么A ∩B =________. 解析:A ∩B ={0,1,2,8}∩{-1,1,6,8}={1,8}. 答案:{1,8}1.认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件. 2.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系. 3.易忘空集的特殊性,在写集合的子集时不要忘了空集和它本身. 4.运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心.5.在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.[小题纠偏]1.(2019·浙江名校联考)已知∁R M ={x |ln|x |>1},N =⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y =1x ,x >0,则M ∪N =( ) A .(0,e] B .[-e ,+∞) C .(-∞,-e]∪(0,+∞)D .[-e ,e]解析:选B 由ln|x |>1得|x |>e ,∴M =[-e ,e].N =(0,+∞),∴M ∪N =[-e ,+∞).故选B. 2.若集合A ={x |-2≤x ≤5},B ={x |m +1≤x ≤2m -1},且B ⊆A ,则由m 的可能取值组成的集合为________.解析:当m +1>2m -1,即m <2时,B =∅,满足B ⊆A ;若B ≠∅,且满足B ⊆A ,如图所示,则⎩⎪⎨⎪⎧m +1≤2m -1,m +1≥-2,2m -1≤5,即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2,m ≥-3,m ≤3,所以2≤m ≤3.故m <2或2≤m ≤3,即所求集合为{m |m ≤3}.答案:{m |m ≤3}3.已知集合A ={0, x +1,x 2-5x },若-4∈A ,则实数x 的值为________. 解析:∵-4∈A ,∴x +1=-4或x 2-5x =-4. ∴x =-5或x =1或x =4.若x =1,则A ={0, 2,-4},满足条件; 若x =4,则A ={0, 5,-4},满足条件; 若x =-5,则A ={0,-4,50},满足条件. 所以x =1或x =4或-5. 答案:1或4或-5考点一 集合的基本概念(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.下列命题正确的有( ) ①很小的实数可以构成集合;②(易错题)集合{}y |y =x 2-1与集合{(x ,y )|y =x 2-1}是同一个集合; ③1,32,64,⎪⎪⎪⎪-12,0.5这些数组成的集合有5个元素; ④集合{(x ,y )|xy ≤0,x ,y ∈R }是指第二和第四象限内的点集. A .0个 B .1个 C .2个D .3个解析:选A 由题意得,①不满足集合的确定性,故错误;②两个集合,一个是数集,一个是点集,故错误;③中⎪⎪⎪⎪-12=0.5,出现了重复,不满足集合的互异性,故错误;④不仅仅表示的是第二、四象限的点,还可表示原点,故错误.综上,没有正确命题,故选A.2.已知a >0,b ∈R ,若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ,4,b a ={a -b,0,a 2},则a 2+b 2的值为( )A .2B .4C .6D .8解析:选B 由已知得a ≠0,则ba =0,所以b =0,于是a 2=4,即a =2或a =-2,因为a >0,所以a =2,故a 2+b 2=22+02=4.3.若集合A ={x ∈R |ax 2-3x +2=0}中只有一个元素,则a 等于( ) A.92 B.98C .0D .0或98解析:选D 若集合A 中只有一个元素,则方程ax 2-3x +2=0只有一个实根或有两个相等实根.当a =0时,x =23,符合题意.当a ≠0时,由Δ=(-3)2-8a =0,得a =98,所以a 的值为0或98.4.(易错题)(2019·江西重点中学协作体联考)设集合A ={1,2,3},B ={2,3,4} ,M ={x |x =ab ,a ∈A ,b ∈B },则M 中的元素个数为________.解析:结合题意列表计算M 中所有可能的值如下:观察可得:M ={2,3,4,6,8,9,12},据此可知M 中的元素个数为7. 答案:7[谨记通法]与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么,即集合是数集还是点集. (2)看这些元素满足什么限制条件.(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性. 考点二 集合间的基本关系(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1.已知集合M ={1,2,3,4},则集合P ={x |x ∈M 且2x ∉M }的子集有( ) A .8个 B .4个 C .3个D .2个解析:选B 由题意,得P ={3,4},所以集合P 的子集有22=4个. 2.已知集合A ={x |x 2+x -2=0},B ={x |ax =1},若B ⊆A ,则a =( ) A .-12或1B .2或-1C .-2或1或0D .-12或1或0解析:选D 集合A ={x |x 2+x -2=0}={-2,1}.当x =-2时,-2a =1,解得a =-12;当x =1时,a =1;又因为B 是空集时也符合题意,这时a =0,故选D.[由题悟法]集合间基本关系的两种判定方法和一个关键[即时应用]1.集合{a ,b ,c ,d ,e }的真子集的个数为( ) A .32 B .31 C .30D .29解析:选B 因为集合有5个元素,所以其子集的个数为25=32个,其真子集的个数为25-1=31个. 2.已知集合A ={x |-1<x <3},B ={x |-m <x <m },若B ⊆A ,则m 的取值范围为________. 解析:当m ≤0时,B =∅,显然B ⊆A . 当m >0时, ∵A ={x |-1<x <3}.当B ⊆A 时,在数轴上标出两集合,如图,∴⎩⎪⎨⎪⎧-m ≥-1,m ≤3,-m <m .∴0<m ≤1.综上所述m 的取值范围为(-∞,1]. 答案:(-∞,1]考点三 集合的基本运算(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系,考查对集合的理解及不等式的有关知识;有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题,考查学生的灵活处理问题的能力.常见的命题角度有: (1)集合的运算;(2)利用集合运算求参数; (3)新定义集合问题.[题点全练]角度一:集合的运算1.(2018·北京高考)已知集合A ={x ||x |<2},B ={-2,0,1,2},则A ∩B =( ) A .{0,1} B .{-1,0,1} C .{-2,0,1,2}D .{-1,0,1,2}解析:选A ∵A ={x ||x |<2}={x |-2<x <2},B={-2,0,1,2},∴A∩B={0,1}.故选A.2.(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁R A=()A.{x|-1<x<2} B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x<-1}∪{x|x>2} D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}解析:选B∵x2-x-2>0,∴(x-2)(x+1)>0,∴x>2或x<-1,即A={x|x>2或x<-1}.则∁R A={x|-1≤x≤2}.故选B.角度二:利用集合运算求参数3.(2019·浙江联盟校联考)已知集合P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<a},若P∪Q={x|-1<x<2},则实数a的值为()A.1 B.2C.12D.32解析:选B因为P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<a},所以当a≤1时,P∪Q={x|-1<x<1},不符合题意;当a>1时,P∪Q={x|-1<x<a},结合P∪Q={x|-1<x<2},可得a=2.角度三:新定义集合问题4.如果集合A,B,同时满足A∪B={1,2,3,4},A∩B={1},A≠{1},B≠{1},就称有序集对(A,B)为“好集对”.这里有序集对(A,B)是指当A≠B时,(A,B)和(B,A)是不同的集对,那么“好集对”一共有()个()A.5个B.6个C.7个D.8个解析:选B因为A∪B={1,2,3,4},A∩B={1},A≠{1},B≠{1},所以当A={1,2}时,B={1,3,4};当A={1,3}时,B={1,2,4};当A={1,4}时,B={1,2,3};当A={1,2,3}时,B={1,4};当A={1,2,4}时,B={1,3};当A={1,3,4}时,B={1,2}.所以满足条件的“好集对”一共有6个,故选B.[通法在握]解集合运算问题4个技巧[演练冲关]1.(2019·浙江十校联盟适考)已知集合A={x|1<x<4},B={x∈Z|x2-6x<0},则(∁R A)∩B=() A.{1,4} B.{4,5}C.{1,4,5} D.{2,3}解析:选C法一:由x2-6x<0可得0<x<6,所以B={1,2,3,4,5},又∁R A={x|x≤1或x≥4},所以(∁R A)∩B={1,4,5}.法二:因为求的是(∁R A)∩B,故排除D,又1,5∈∁R A,1,5∈B,故选C.2.(2019·长沙模拟)已知集合A={1,2,3},B={x|x2-3x+a=0,a∈A},若A∩B≠∅,则a的值为() A.1 B.2C.3 D.1或2解析:选B当a=1时,x2-3x+1=0,无整数解,则A∩B=∅;当a=2时,B={1,2},A∩B={1,2}≠∅;当a=3时,B=∅,A∩B=∅.因此实数a=2.3.(2019·杭州高三四校联考)设集合A={x|(x-3)(x-a)=0,a∈R},B={x|(x-1)(x-4)=0},则A∪B 的子集个数最多为()A.2 B.4C.8 D.16解析:选D由题意可知,要使A∪B的子集个数最多,则需A∪B中的元素个数最多,此时a≠1,a≠3,且a≠4,即集合A={3,a},B={1,4},A∪B={1,3,4,a},故A∪B的子集最多有24=16个.4.如图所示的Venn图中,A,B是非空集合,定义集合A B为阴影部分表示的集合.若x,y∈R,A={x|y=2x-x2},B={y|y=3x,x>0},则A B为()A.{x|0<x<2} B.{x|1<x≤2}C.{x|0≤x≤1或x≥2} D.{x|0≤x≤1或x>2}解析:选D因为A={x|0≤x≤2},B={y|y>1},A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1<x≤2},所以A B =∁A∪B(A∩B)={x|0≤x≤1或x>2},故选D.一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.(2019·浙江考前热身联考)已知集合M={x|y=2x-x2},N={x|-1<x<1},则M∪N=() A.[0,1)B.(-1,2)C.(-1,2] D.(-∞,0]∪(1,+∞)解析:选C法一:易知M={x|0≤x≤2},又N={x|-1<x<1},所以M∪N=(-1,2].故选C.法二:取x=2,则2∈M,所以2∈M∪N,排除A、B;取x=3,则3∉M,3∉N,所以3∉M∪N,排除D,故选C.2.(2019·浙江三地联考)已知集合P={x|||x<2},Q={x|-1≤x≤3},则P∩Q=()A.[-1,2) B.(-2,2)C.(-2,3] D.[-1,3]解析:选A由|x|<2,可得-2<x<2,所以P={x|-2<x<2},所以P∩Q=[-1,2).3.(2018·嘉兴期末测试)已知集合P={x|x<1},Q={x|x>0},则()A.P⊆Q B.Q⊆PC.P⊆∁R Q D.∁R P⊆Q解析:选D由已知可得∁R P=[1,+∞),所以∁R P⊆Q.故选D.4.(2018·浙江吴越联盟第二次联考)已知集合M={0,1,2,3,4},N={2,4,6},P=M∩N,则P的子集有________个.解析:集合M={0,1,2,3,4},N={2,4,6},P=M∩N={2,4},则P的子集有∅,{2},{4},{2,4},共4个.答案:45.已知集合A={x|x≥3},B={x|x≥m},且A∪B=A,则实数m的取值范围是________.解析:因为集合A={x|x≥3},B={x|x≥m},且A∪B=A,所以B⊆A,如图所示,所以m≥3.答案:[3,+∞)二保高考,全练题型做到高考达标1.(2019·杭州七校联考)已知集合A={x|x2>1},B={x|(x2-1)(x2-4)=0},则集合A∩B中的元素个数为()A.1 B.2C.3 D.4解析:选B A={x|x<-1或x>1},B={-2,-1,1,2},A∩B={-2,2},故选B.2.(2019·浙江六校联考)已知集合U={x|y=3x},A={x|y=log9x},B={y|y=-2x}则A∩(∁U B)=()A.∅B.RC.{x|x>0} D.{0}解析:选C由题意得,U=R,A={x|x>0},因为y=-2x<0,所以B={y|y<0},所以∁U B={x|x≥0},故A∩(∁U B)={x|x>0}.故选C.3.(2019·永康模拟)设集合M={x|x2-2x-3≥0},N={x|-3<x<3},则()A.M⊆N B.N⊆MC.M∪N=R D.M∩N=∅解析:选C由x2-2x-3≥0,解得x≥3或x≤-1,所以M={x|x≤-1或x≥3},所以M∪N=R.4.(2019·宁波六校联考)已知集合A={x|x2-3x<0},B={1,a},且A∩B有4个子集,则实数a的取值范围是()A.(0,3) B.(0,1)∪(1,3)C.(0,1) D.(-∞,1)∪(3,+∞)解析:选B∵A∩B有4个子集,∴A∩B中有2个不同的元素,∴a∈A,∴a2-3a<0,解得0<a <3且a≠1,即实数a的取值范围是(0,1)∪(1,3),故选B.5.(2018·镇海中学期中)若集合M =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪y =lg2-xx ,N ={x |x <1},则M ∪N =( ) A .(0,1) B .(0,2) C .(-∞,2)D .(0,+∞)解析:选C 集合M =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪y =lg2-xx ={x |0<x <2},N ={x |x <1}.M ∪N ={x |x <2}=(-∞,2).故选C.6.设集合A ={x |x 2-x -2≤0},B ={x |x <1,且x ∈Z },则A ∩B =________.解析:依题意得A ={x |(x +1)(x -2)≤0}={x |-1≤x ≤2},因此A ∩B ={x |-1≤x <1,x ∈Z }={-1,0}. 答案:{-1,0}7.(2018·嘉兴二模)已知集合A ={x |-1≤x ≤2},B ={x |x 2-4x ≤0},则A ∪B =________,A ∩(∁R B )=________.解析:因为B ={x |x 2-4x ≤0}={x |0≤x ≤4},所以A ∪B ={x |-1≤x ≤4};因为∁R B ={x |x <0或x >4},所以A ∩(∁R B )={x |-1≤x <0}.答案:{x |-1≤x ≤4} {x |-1≤x <0}8.设集合A ={(x ,y )|y ≥|x -2|,x ≥0},B ={(x ,y )|y ≤-x +b },A ∩B ≠∅. (1)b 的取值范围是________;(2)若(x ,y )∈A ∩B ,且x +2y 的最大值为9,则b 的值是________. 解析:由图可知,当y =-x 往右移动到阴影区域时,才满足条件,所以b ≥2;要使z =x +2y 取得最大值,则过点(0,b ),有0+2b =9⇒b =92.答案:(1)[2,+∞) (2)929.已知集合A ={x |4≤2x ≤16},B =[a ,b ],若A ⊆B ,则实数a -b 的取值范围是________. 解析:集合A ={x |4≤2x ≤16}={x |22≤2x ≤24}={x |2≤x ≤4}=[2,4],因为A ⊆B ,所以a ≤2,b ≥4,所以a -b ≤2-4=-2,即实数a -b 的取值范围是(-∞,-2].答案:(-∞,-2]10.已知集合A ={x |(x +2m )(x -m +4)<0},其中m ∈R ,集合B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1-x x +2>0. (1)若B ⊆A ,求实数m 的取值范围; (2)若A ∩B =∅,求实数m 的取值范围. 解:(1)集合B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1-x x +2>0={x |-2<x <1}.当A =∅时,m =43,不符合题意.当A ≠∅时,m ≠43.①当-2m <m -4,即m >43时,A ={x |-2m <x <m -4},又因为B ⊆A ,所以⎩⎪⎨⎪⎧ m >43,-2m ≤-2,m -4≥1,即⎩⎪⎨⎪⎧m >43,m ≥1,m ≥5,所以m ≥5.②当-2m >m -4,即m <43时,A ={x |m -4<x <-2m },又因为B ⊆A ,所以⎩⎪⎨⎪⎧m <43,-2m ≥1,m -4≤-2,即⎩⎪⎨⎪⎧m <43,m ≤-12,m ≤2,所以m ≤-12.综上所述,实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤-∞,-12∪[5,+∞). (2)由(1)知,B ={x |-2<x <1}. 当A =∅时,m =43,符合题意.当A ≠∅时,m ≠43.①当-2m <m -4,即m >43时,A ={x |-2m <x <m -4},又因为A ∩B =∅,所以-2m ≥1或者m -4≤-2, 即m ≤-12或者m ≤2,所以43<m ≤2.②当-2m >m -4,即m <43时,A ={x |m -4<x <-2m },又因为A ∩B =∅,所以m -4≥1或者-2m ≤-2, 即m ≥5或者m ≥1,所以1≤m <43.综上所述,实数m 的取值范围为[1,2]. 三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.对于复数a ,b ,c ,d ,若集合S ={a ,b ,c ,d }具有性质“对任意x ,y ∈S ,必有xy ∈S ”,则当⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b 2=1,c 2=b 时,b +c +d 等于( )A .1B .-1C .0D .i解析:选B ∵S ={a ,b ,c ,d },由集合中元素的互异性可知当a =1时,b =-1,c 2=-1,∴c =±i ,由“对任意x ,y ∈S ,必有xy ∈S ”知±i ∈S ,∴c =i ,d =-i 或c =-i ,d =i ,∴b +c +d =(-1)+0=-1.2.对于集合M ,N ,定义M -N ={x |x ∈M ,且x ∉N },M ⊕N =(M -N )∪(N -M ),设A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥-94,x ∈R ,B ={x |x <0,x ∈R },则A ⊕B =( )A.⎝⎛⎭⎫-94,0B.⎣⎡⎭⎫-94,0 C.⎝⎛⎭⎫-∞,-94∪[0,+∞) D.⎝⎛⎦⎤-∞,-94∪(0,+∞) 解析:选C 依题意得A -B ={x |x ≥0,x ∈R },B -A =⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <-94,x ∈R ,故A ⊕B =⎝⎛⎭⎫-∞,-94∪[0,+∞).故选C.3.已知函数f (x )=x -3-17-x的定义域为集合A ,且B ={x ∈Z |2<x <10},C ={x ∈R |x <a 或x >a +1}.(1)求:A 和(∁R A )∩B ;(2)若A ∪C =R ,求实数a 的取值范围. 解:(1)要使函数f (x )=x -3-17-x, 应满足x -3≥0,且7-x >0,解得3≤x <7, 则A ={x |3≤x <7}, 得到∁R A ={x |x <3或x ≥7},而B ={x ∈Z |2<x <10}={3,4,5,6,7,8,9}, 所以(∁R A )∩B ={7,8,9}.(2)C ={x ∈R |x <a 或x >a +1},要使A ∪C =R , 则有a ≥3,且a +1<7,解得3≤a <6. 故实数a 的取值范围为[3,6).第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1.命题概念 使用语言、符号或者式子表达的,可以判断真假的陈述句特点 (1)能判断真假;(2)陈述句分类真命题、假命题2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系:(2)四种命题中真假性的等价关系:原命题等价于逆否命题,原命题的否命题等价于逆命题.在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3.充要条件若p ⇒q ,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件p 成立的对象的集合为A ,q 成立的对象的集合为B p 是q 的充分不必要条件 p ⇒q 且q ⇒/p A 是B 的真子集 集合与充要条件p 是q 的必要不充分条件p ⇒/ q 且q ⇒pB 是A 的真子集p 是q 的充要条件 p ⇔q A =B p 是q 的既不充分也不必要条件 p ⇒/ q 且q ⇒/pA ,B 互不包含[小题体验]1.下列命题是真命题的是( )A .若log 2a >0,则函数f (x )=log a x (a >0,a ≠1)在其定义域上是减函数B .命题“若xy =0,则x =0”的否命题C .“m =3”是“直线(m +3)x +my -2=0与mx -6y +5=0垂直”的充要条件D .命题“若cos x =cos y ,则x =y ”的逆否命题 答案:B2.(2019·温州高考适应性测试)已知α,β∈R ,则“α>β”是“cos α>cos β ”的( ) A .充要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件解析:选D α>β ⇒/ cos α>cos β,如α=π3,β=π6,π3>π6,而cos π3<cos π6;cos α>cos β ⇒/ α>β,如α=π6,β=π3,cos π6>cos π3,而π6<π3.故选D.3.设a ,b 是向量,则命题“若a =-b ,则|a |=| b |”的逆否命题为:________. 答案:若|a |≠|b |,则a ≠-b1.易混淆否命题与命题的否定:否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是只否定命题的结论.2.易忽视A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B ⇒/A )与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A ⇒/B )两者的不同.[小题纠偏]1.(2019·杭州模拟)“x<0”是“ln(x+1)<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:B2.“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B都是锐角”的否命题为:________________.解析:原命题的条件:在△ABC中,∠C=90°,结论:∠A,∠B都是锐角.否命题是否定条件和结论.即“在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角”.答案:在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角考点一四种命题及其相互关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.命题“若a2>b2,则a>b”的否命题是()A.若a2>b2,则a≤b B.若a2≤b2,则a≤bC.若a≤b,则a2>b2D.若a≤b,则a2≤b2解析:选B根据命题的四种形式可知,命题“若p,则q”的否命题是“若綈p,则綈q”.该题中,p为a2>b2,q为a>b,故綈p为a2≤b2,綈q为a≤b.所以原命题的否命题为:若a2≤b2,则a≤b.2.命题“若x2-3x-4=0,则x=4”的逆否命题及其真假性为()A.“若x=4,则x2-3x-4=0”为真命题B.“若x≠4,则x2-3x-4≠0”为真命题C.“若x≠4,则x2-3x-4≠0”为假命题D.“若x=4,则x2-3x-4=0”为假命题解析:选C根据逆否命题的定义可以排除A,D,因为x2-3x-4=0,所以x=4或-1,故原命题为假命题,即逆否命题为假命题.3.给出以下四个命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;②(易错题)“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q≤-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题;④若ab是正整数,则a,b都是正整数.其中真命题是________.(写出所有真命题的序号)解析:①命题“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,显然①为真命题;②不全等的三角形的面积也可能相等,故②为假命题;③原命题正确,所以它的逆否命题也正确,故③为真命题;④若ab是正整数,但a,b不一定都是正整数,例如a=-1,b=-3,故④为假命题.答案:①③[谨记通法]1.写一个命题的其他三种命题时的2个注意点(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;(2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.2.命题真假的2种判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断.(2)利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题的等价关系进行判断.考点二充分必要条件的判定(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1.(2019·杭州高三四校联考)“a>-1”是“x2+ax+14>0(x∈R)”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A若x2+ax+14>0(x∈R),则a2-1<0,即-1<a<1,所以“a>-1”是“x2+ax+14>0(x∈R)”的必要不充分条件.故选A.2.(2019·杭州高三质检)设数列{a n}的通项公式为a n=kn+2(n∈N*),则“k>2”是“数列{a n}为单调递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A法一:因为a n=kn+2(n∈N*),所以当k>2时,a n+1-a n=k>2,则数列{a n}为单调递增数列.若数列{a n}为单调递增数列,则a n+1-a n=k>0即可,所以“k>2”是“数列{a n}为单调递增数列”的充分不必要条件,故选A.法二:根据一次函数y=kx+b的单调性知,“数列{a n}为单调递增数列”的充要条件是“k>0”,所以“k>2”是“数列{a n}为单调递增数列”的充分不必要条件,故选A.[由题悟法]充要条件的3种判断方法(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断;(2)集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断;(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的某种条件,即可转化为判断“x =1且y =1”是“xy =1”的某种条件.[即时应用]1.设a >0,b >0,则“a 2+b 2≥1”是“a +b ≥ab +1”成立的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选B 因为a >0,b >0,所以a +b >0,ab +1>0,故不等式a +b ≥ab +1成立的充要条件是(ab +1)2≤(a +b )2,即a 2+b 2≥a 2b 2+1.显然,若a 2+b 2≥a 2b 2+1,则必有a 2+b 2≥1,反之则不成立,所以a 2+b 2≥1是a 2+b 2≥a 2b 2+1成立的必要不充分条件,即a 2+b 2≥1是a +b ≥ab +1成立的必要不充分条件.2.(2019·浙江期初联考)若a ,b ∈R ,使|a |+|b |>4成立的一个充分不必要条件是( ) A .|a +b |≥4 B .|a |≥4 C .|a |≥2且|b |≥2D .b <-4解析:选D 对选项A ,若a =b =2,则|a |+|b |=2+2≥4,不能推出|a |+|b |>4;对选项B ,若a =4≥4,b =0,此时不能推出|a |+|b |>4;对选项C ,若a =2≥2,b =2≥2,此时不能推出|a |+|b |>4;对选项D ,由b <-4可得|a |+|b |>4,但由|a |+|b |>4得不到b <-4.故选D.3.(2019·宁波模拟)已知四边形ABCD 为梯形,AB ∥CD ,l 为空间一直线,则“l 垂直于两腰AD ,BC ”是“l 垂直于两底AB ,DC ”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 因为四边形ABCD 是梯形,且AB ∥CD ,所以腰AD ,BC 是交线,由直线与平面垂直的判定定理可知,当l 垂直于两腰AD ,BC 时,l 垂直于ABCD 所在平面,所以l 垂直于两底AB ,CD ,所以是充分条件;当l 垂直于两底AB ,CD ,由于AB ∥CD ,所以l 不一定垂直于ABCD 所在平面,所以l 不一定垂直于两腰AD ,BC ,所以不是必要条件.所以是充分不必要条件.考点三 充分必要条件的应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]若不等式x -m +1x -2m<0成立的一个充分不必要条件是13<x <12,则实数m 的取值范围是______________.解析:令A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x -m +1x -2m <0,B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12. 因为不等式x -m +1x -2m <0成立的充分不必要条件是13<x <12,所以B ⊆A .①当m -1<2m ,即m >-1时,A ={x |m -1<x <2m }.由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧ m -1≤13,2m ≥12,m >-1,解得14≤m ≤43;②当m -1=2m ,即m =-1时,A =∅,不满足B ⊆A ; ③当m -1>2m ,即m <-1时,A ={x |2m <x <m -1}. 由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧2m ≤13,m -1≥12,m <-1,此时m 无解.综上,m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤14,43. 答案:⎣⎡⎦⎤14,43[由题悟法]根据充要条件求参数的值或取值范围的关键点(1)先合理转化条件,常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等,得到关于参数的方程或不等式(组),再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围.(2)求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.[即时应用]1.(2019·杭州名校大联考)已知条件p :|x +1|>2,条件q :x >a ,且綈p 是綈q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是( )A .[1,+∞)B .(-∞,1]C .[-3,+∞)D .(-∞,-3]解析:选A 由|x +1|>2,可得x >1或x <-3,所以綈p :-3≤x ≤1;又綈q :x ≤a .因为綈p 是綈q 的充分不必要条件,所以a ≥1.2.已知“命题p :(x -m )2>3(x -m )”是“命题q :x 2+3x -4<0”成立的必要不充分条件,则实数m 的取值范围为________________.解析:命题p :x >m +3或x <m , 命题q :-4<x <1.因为p 是q 成立的必要不充分条件, 所以m +3≤-4或m ≥1, 故m ≤-7或m ≥1.答案:(-∞,-7]∪[1,+∞)一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1.“(2x -1)x =0”是“x =0”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选B 若(2x -1)x =0,则x =12或x =0,即不一定是x =0;若x =0,则一定能推出(2x -1)x =0.故“(2x -1)x =0”是“x =0”的必要不充分条件.2.设a ,b ∈R ,则“a 3>b 3且ab <0”是“1a >1b ”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 由a 3>b 3,知a >b ,由ab <0,知a >0>b ,所以此时有1a >1b ,故充分性成立;当1a >1b 时,若a ,b 同号,则a <b ,若a ,b 异号,则a >b ,所以必要性不成立.故选A. 3.设φ∈R ,则“φ=0”是“f (x )=cos(x +φ)(x ∈R )为偶函数”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 若φ=0,则f (x )=cos x 为偶函数;若f (x )=cos(x +φ)(x ∈R )为偶函数,则φ=k π(k ∈Z ).故“φ=0”是“f (x )=cos(x +φ)(x ∈R )为偶函数”的充分不必要条件.4.命题p :“若x 2<1,则x <1”的逆命题为q ,则p 与q 的真假性为( ) A .p 真q 真 B .p 真q 假 C .p 假q 真D .p 假q 假解析:选B q :若x <1,则x 2<1. ∵p :x 2<1,则-1<x <1.∴p 真,当x <1时,x 2<1不一定成立,∴q 假,故选B.5.若x >5是x >a 的充分条件,则实数a 的取值范围为( ) A .(5,+∞) B .[5,+∞) C .(-∞,5)D .(-∞,5] 解析:选D 由x >5是x >a 的充分条件知,{x |x >5}⊆{x |x >a },∴a ≤5,故选D. 二保高考,全练题型做到高考达标1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( ) A .“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B .“若一个数的平方是正数,则它是负数” C .“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D .“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”解析:选B 依题意得,原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数,则它是负数”.2.命题“对任意实数x ∈[1,2],关于x 的不等式x 2-a ≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是( )A .a ≥4B .a ≤4C .a ≥3D .a ≤3解析:选C 即由“对任意实数x ∈[1,2],关于x 的不等式x 2-a ≤0恒成立”可推出选项,但由选项推不出“对任意实数x ∈[1,2],关于x 的不等式x 2-a ≤0恒成立”.因为x ∈[1,2],所以x 2∈[1,4],x 2-a ≤0恒成立,即x 2≤a ,因此a ≥4;反之亦然.故选C.3.有下列命题:①“若x +y >0,则x >0且y >0”的否命题; ②“矩形的对角线相等”的否命题;③“若m ≥1,则mx 2-2(m +1)x +m +3>0的解集是R ”的逆命题; ④“若a +7是无理数,则a 是无理数”的逆否命题. 其中正确的是( ) A .①②③ B .②③④ C .①③④D .①④解析:选C ①的逆命题为“若x >0且y >0,则x +y >0”为真,故否命题为真; ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”,为假命题; ③的逆命题为,若mx 2-2(m +1)x +m +3>0的解集为R ,则m ≥1. ∵当m =0时,解集不是R ,∴应有⎩⎪⎨⎪⎧m >0,Δ<0, 即m >1.∴③是真命题;④原命题为真,逆否命题也为真.4.(2019·浙江名校联考信息卷)已知直线l 的斜率为k ,倾斜角为θ,则“0<θ≤π4”是“k ≤1”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 当0<θ≤π4时,0<k ≤1;反之,当k ≤1时,0≤θ≤π4或π2<θ<π.故“0<θ≤π4”是“k ≤1”的充分不必要条件,故选A.5.命题“对任意x ∈[1,2),x 2-a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A .a ≥4 B .a >4 C .a ≥1D .a >1解析:选B 要使“对任意x ∈[1,2),x 2-a ≤0”为真命题,只需要a ≥4,∴a >4是命题为真的充分不必要条件.6.命题“若a >b ,则ac 2>bc 2(a ,b ∈R )”,否命题的真假性为________.解析:命题的否命题为“若a ≤b ,则ac 2≤bc 2”. 若c =0,结论成立.若c ≠0,不等式ac 2≤bc 2也成立. 故否命题为真命题. 答案:真 7.下列命题:①“a >b ”是“a 2>b 2”的必要条件;②“|a |>|b |”是“a 2>b 2”的充要条件;③“a >b ”是“a +c >b +c ”的充要条件.其中是真命题的是________(填序号).解析:①a >b ⇒/ a 2>b 2,且a 2>b 2⇒/ a >b ,故①不正确; ②a 2>b 2⇔|a |>|b |,故②正确;③a >b ⇒a +c >b +c ,且a +c >b +c ⇒a >b ,故③正确. 答案:②③8.已知α,β∈(0,π),则“sin α+sin β<13”是“sin(α+β)<13”的________条件.解析:因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β<sin α+sin β,所以若sin α+sin β<13,则有sin(α+β)<13,故充分性成立;当α=β=π2时,有sin(α+β)=sin π=0<13,而sin α+sin β=1+1=2,不满足sin α+sin β<13,故必要性不成立.所以“sin α+sin β<13”是“sin(α+β)<13”的充分不必要条件.答案:充分不必要 9.已知p :实数m 满足m 2+12a 2<7am (a >0),q :方程x 2m -1+y 22-m=1表示焦点在y 轴上的椭圆.若p 是q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是________.解析:由a >0,m 2-7am +12a 2<0,得3a <m <4a ,即p :3a <m <4a ,a >0.由方程x 2m -1+y 22-m=1表示焦点在y 轴上的椭圆,可得2-m >m -1>0,解得1<m <32,即q :1<m <32.因为p 是q 的充分不必要条件,所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a >1,4a ≤32或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1,4a <32,解得13≤a ≤38,所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13,38. 答案:⎣⎡⎦⎤13,3810.已知集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y =x 2-32x +1,x ∈⎣⎡⎦⎤34,2,B ={x |x +m 2≥1}.若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件,求实数m 的取值范围.解:y =x 2-32x +1=⎝⎛⎭⎫x -342+716,∵x ∈⎣⎡⎦⎤34,2, ∴716≤y ≤2, ∴A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x +m 2≥1,得x ≥1-m 2, ∴B ={x |x ≥1-m 2}.∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件, ∴A ⊆B ,∴1-m 2≤716, 解得m ≥34或m ≤-34,故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤-∞,-34∪⎣⎡⎭⎫34,+∞. 三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1.已知p :x ≥k ,q :3x +1<1,如果p 是q 的充分不必要条件,则实数k 的取值范围是( ) A .[2,+∞) B .(2,+∞) C .[1,+∞)D .(-∞,-1]解析:选B 由3x +1<1得,3x +1-1=2-x x +1<0,即(x -2)(x +1)>0,解得x <-1或x >2,由p 是q的充分不必要条件知,k >2,故选B.2.在整数集Z 中,被4除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”,记为[k ]={4n +k |n ∈Z },k =0,1,2,3,则下列结论正确的为________(填序号).①2 018∈[2];②-1∈[3];③Z =[0]∪[1]∪[2]∪[3];④命题“整数a ,b 满足a ∈[1],b ∈[2],则a +b ∈[3]”的原命题与逆命题都正确;⑤“整数a ,b 属于同一类”的充要条件是“a -b ∈[0]”.解析:由“类”的定义[k ]={4n +k |n ∈Z },k =0,1,2,3,可知,只要整数m =4n +k ,n ∈Z ,k =0,1,2,3,则m ∈[k ],对于①中,2 018=4×504+2,所以2 018∈[2],所以符合题意;对于②中,-1=4×(-1)+3,所以符合题意;对于③中,所有的整数按被4除所得的余数分为四类,即余数分别为0,1,2,3的整数,即四“类”[0],[1],[2],[3],所以Z =[0]∪[1]∪[2]∪[3],所以符合题意;对于④中,原命题成立,但逆命题不成立,因为若a +b ∈[3],不妨设a =0,b =3,则此时a ∉[1]且b ∉[2],所以逆命题不成立,所以不符合题意;对于⑤中,因为“整数a ,b 属于同一类”,不妨设a =4m +k ,b =4n +k ,m ,n ∈Z ,且k =0,1,2,3,则a -b =4(m -n )+0,所以a -b ∈[0];反之,不妨设a =4m +k 1,b =4n +k 2,m ,n ∈Z ,k 1=0,1,2,3,k 2=0,1,2,3,则a -b =4(m -n )+(k 1-k 2),若a -b ∈[0],则k 1-k 2=0,即k 1=k 2,所以整数a ,b 属于同一类,故“整数a ,b 属于同一类”的充要条件是“a -b ∈[0]”,所以符合题意.答案:①②③⑤3.已知全集U =R ,非空集合A =⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x -2x -(3a +1)<0,B ={x |(x -a )(x -a 2-2)<0,命题p :x ∈A ,命题q :x ∈B .(1)当a =12时,若p 真q 假,求x 的取值范围; (2)若q 是p 的必要条件,求实数a 的取值范围.解:(1)当a =12时,A ={x |2<x <37},B ={x |12<x <146},因为p 真q 假. 所以(∁U B )∩A ={x |2<x ≤12}, 所以x 的取值范围为(2,12].(2)若q 是p 的必要条件,即p ⇒q ,可知A ⊆B . 因为a 2+2>a ,所以B ={x |a <x <a 2+2}. 当3a +1>2,即a >13时,A ={x |2<x <3a +1},应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2,a 2+2≥3a +1,解得13<a ≤3-52;当3a +1=2,即a =13时,A =∅,不符合题意;当3a +1<2,即a <13时,A ={x |3a +1<x <2},应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a +1,a 2+2≥2解得-12≤a <13;综上所述,实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫-12,13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13,3-52.命题点一 集合及其运算1.(2018·浙江高考)已知全集U ={1,2,3,4,5},A ={1,3},则∁U A =( ) A .∅ B .{1,3} C .{2,4,5}D .{1,2,3,4,5}解析:选C ∵U ={1,2,3,4,5},A ={1,3}, ∴∁U A ={2,4,5}.2.(2018·天津高考)设全集为R ,集合A ={x |0<x <2},B ={x |x ≥1},则A ∩(∁R B )=( ) A .{x |0<x ≤1} B .{x |0<x <1} C .{x |1≤x <2}D .{x |0<x <2}解析:选B ∵全集为R ,B ={x |x ≥1}, ∴∁R B ={x |x <1}. ∵集合A ={x |0<x <2}, ∴A ∩(∁R B )={x |0<x <1}.3.(2017·浙江高考)已知集合P ={x |-1<x <1},Q ={x |0<x <2},那么P ∪Q =( ) A .(-1,2) B .(0,1) C .(-1,0)D .(1,2)解析:选A 根据集合的并集的定义,得P ∪Q =(-1,2).4.(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A ={x |x -1≥0},B ={0,1,2},则A ∩B =( ) A .{0} B .{1} C .{1,2}D .{0,1,2}解析:选C ∵A ={x |x -1≥0}={x |x ≥1},B ={0,1,2},∴A ∩B ={1,2}.5.(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ={(x ,y )|x 2+y 2≤3,x ∈Z ,y ∈Z },则A 中元素的个数为( ) A .9 B .8 C .5D .4解析:选A 将满足x 2+y 2≤3的整数x ,y 全部列举出来,即(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共有9个.故选A.6.(2017·江苏高考)已知集合A ={1,2},B ={a ,a 2+3}.若A ∩B ={1},则实数a 的值为________. 解析:因为a 2+3≥3,所以由A ∩B ={1}得a =1,即实数a 的值为1. 答案:1命题点二 充要条件1.(2016·浙江高考)已知函数f (x )=x 2+bx ,则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 解析:选A∵f (x )=x 2+bx =⎝⎛⎭⎫x +b 22-b 24,当x =-b 2时,f (x )min =-b 24,又f (f (x ))=(f (x ))2+bf (x )=⎝⎛⎭⎫f (x )+b 22-b 24,当f (x )=-b 2时,f (f (x ))min =-b 24,当-b 2≥-b 24时,f (f (x ))可以取到最小值-b 24,即b 2-2b ≥0,解得b ≤0或b ≥2,故“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件.选A.2.(2017·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,则“d >0”是“S 4+S 6>2S 5”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析:选C 因为{a n }为等差数列,所以S 4+S 6=4a 1+6d +6a 1+15d =10a 1+21d,2S 5=10a 1+20d ,S 4+S 6-2S 5=d ,所以d >0⇔S 4+S 6>2S 5.3.(2015·浙江高考)设a ,b 是实数,则“a +b >0”是“ab >0”的( ) A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析:选D 特值法:当a =10,b =-1时,a +b >0,ab <0,故a +b >0⇒/ ab >0; 当a =-2,b =-1时,ab >0,但a +b <0, 所以ab >0⇒/ a +b >0.故“a +b >0”是“ab >0”的既不充分也不必要条件.4.(2018·天津高考)设x ∈R ,则“⎪⎪⎪⎪x -12<12”是“x 3<1”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 由⎪⎪⎪⎪x -12<12,得0<x <1, 则0<x 3<1,即“⎪⎪⎪⎪x -12<12”⇒“x 3<1”; 由x 3<1,得x <1,当x ≤0时,⎪⎪⎪⎪x -12≥12, 即“x 3<1”⇒ / “⎪⎪⎪⎪x -12<12”. 所以“⎪⎪⎪⎪x -12<12”是“x 3<1”的充分而不必要条件. 5.(2017·天津高考)设θ∈R ,则“⎪⎪⎪⎪θ-π12<π12”是“sin θ<12”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 法一:由⎪⎪⎪⎪θ-π12<π12,得0<θ<π6, 故sin θ<12.由sin θ<12,得-7π6+2k π<θ<π6+2k π,k ∈Z ,推不出“⎪⎪⎪⎪θ-π12<π12”. 故“⎪⎪⎪⎪θ-π12<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件. 法二:⎪⎪⎪⎪θ-π12<π12⇒0<θ<π6⇒sin θ<12,而当sin θ<12时,取θ=-π6,⎪⎪⎪⎪-π6-π12=π4>π12. 故“⎪⎪⎪⎪θ-π12<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件. 6.(2018·北京高考)设a ,b 均为单位向量,则“|a -3b |=|3a +b |”是“a ⊥b ”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析:选C 由|a -3b |=|3a +b |,得(a -3b )2=(3a +b )2, 即a 2+9b 2-6a ·b =9a 2+b 2+6a ·b . 又a ,b 均为单位向量,所以a 2=b 2=1,所以a ·b =0,能推出a ⊥b .由a ⊥b ,得|a -3b |=10,|3a +b |=10, 能推出|a -3b |=|3a +b |,所以“|a -3b |=|3a +b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件. 命题点三 四种命题及其关系1.(2015·山东高考)设m ∈R ,命题“若m >0,则方程x 2+x -m =0有实根”的逆否命题是( ) A .若方程x 2+x -m =0有实根,则m >0 B .若方程x 2+x -m =0有实根,则m ≤0 C .若方程x 2+x -m =0没有实根,则m >0 D .若方程x 2+x -m =0没有实根,则m ≤0解析:选D 根据逆否命题的定义,命题“若m >0,则方程x 2+x -m =0有实根”的逆否命题是“若方程x 2+x -m =0没有实根,则m ≤0”.2.(2018·北京高考)能说明“若a >b ,则1a <1b ”为假命题的一组a ,b 的值依次为________. 解析:只要保证a 为正b 为负即可满足要求. 当a >0>b 时,1a >0>1b .答案:1,-1(答案不唯一)3.(2017·北京高考)能够说明“设a ,b ,c 是任意实数.若a >b >c ,则a +b >c ”是假命题的一组整数a ,b ,c 的值依次为________.解析:因为“设a ,b ,c 是任意实数.若a >b >c ,则a +b >c ”是假命题, 则它的否定“设存在实数a ,b ,c .若a >b >c ,则a +b ≤c ”是真命题. 由于a >b >c ,所以a +b >2c ,又a +b ≤c ,所以c <0. 因此a ,b ,c 依次可取整数-1,-2,-3,满足a +b ≤c . 答案:-1,-2,-3(答案不唯一)。
(新人教A)高三数学集合的概念
§1.集合的概念【知识要点】1. 集合:一组对象的全体形成一个集合.集合里的各个对象叫做这个集合的元素.元素与集合的关系用∈或∉表示.2. 集合的表示法:列举法、描述法、图示法、区间法.3. 集合的特性:集合中的元素具有确定性、互异性、无序性.4. 子集、交集、并集、补集(1) 对于两个集合A 与B ,如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,那么集合A叫做集合B 的子集,记作B A ⊆(或A B ⊇),显然.A A ⊆规定空集是任何集合的子集,即A ⊆Φ.如果A 是B 的子集,并且B 中至少有一个元素不属于A ,那么集合A 叫做集合B 的真子集,记作)(A B B A ⊃⊂或.(2) 集合相等:若,A B B A ⊆⊆且则B A =.(3) 交集:由所有属于集合A ,且属于集B 的元素组成的集合,叫做A 、B 的交集,记作B A I ,即B A I ={x |A x ∈且B x ∈}.(4) 并集:由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合,叫做A 、B 的并集,记作B A Y ,即B A Y ={x |A x ∈或B x ∈}.(5) 补集:集合A 是集合S 的子集,由S 中所有不属于A 的元素组成的集合,叫做S中子集A 的补集,记作A C S , 即A C S ={x |A x S x ∉∈且,}.【高考要求】理解集合、子集、交集、并集、补集的概念.了解空集和全集的意义,了解属于、包含、相等关系的意义,能掌握有关的述语和符号,能正确地表示一些较简单的集合.【课前训练题】一、 选择题1.集合A 与集合B 表示同一个集合的是( )(A ) A={(2,1)} B={(1,2)}(B ) A=Φ B={0}(C ) A={y |R x x y ∈=,2} B={(y x ,)|R x x y ∈=,2}(D) A={x |R t t x ∈+=,12} B={y |R s s y ∈+-=,1)1(2}2.设集合A={(y x ,)|Z y x y x ∈≤+,,122},则集合A 的非空真子集数为( )(A ) 14个 (B ) 15个 (C ) 30个 (D ) 31个 3. 已知集合M={x │Z k k x ∈+=,412},N={x │Z k k x ∈+=,214},则( ) (A ) M=N (B ) N M ⊃ (C ) N M ⊂ (D ) Φ=N M I4.已知P={x |021≥--x x },Q={x |0)2)(1(≥--x x },S={x |12)2)(1(≤--x x },则下面结论正确的是( )(A ) S Q P == (B ) S Q P ⊂⊂(C ) Q S P ⊂⊆ (D ) Q S P =⊂二、 填空题5. 由实数αα22cos sin ,1,1,,+--xx x x 组成的集合用列举法表示为 6. 已知集合,,C A B A ⊆⊆若B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},则满足条件的集合A的子集最多有 个.7. 若集合A 是单元素集,且,11,A aa A a ∈+-∈则=A 【例题分析】例1 用适当方法表示下列集合:(1) 两对角线分别在坐标轴上,且边长为1的正方形的所有顶点;(2) 所有第四象限角的集合;(3) 直角坐标系中,不在坐标轴上的点的集合;(4) 函数)12(log 2-≤≤-=x x y 的值域.例2 已知集合)}lg(,,{xy xy x M =,},,0{y x N =,且N M =,求y x ,的值.例3 设b a ,是整数,集合),{(y x E =|}63)1(2y b x ≤+-,点(2,1)E ∈,但点(1,0)E E ∉∉)2,3(,,求b a ,的值.例4 已知集合x A {=|0122=++x ax }(1) 若Φ=A ,求a ; (2)若A 中只有一个元素,求a 的值; (3)若A 中至多只有一个元素,求a 的值.【小结归纳】1. 对集合的认识,主要看清集合的元素是什么,元素所具有的性质是什么,特别不要将点集和数集混淆.2. 利用相等集合的定义解题,要注意集合中元素的三大特性,特别要注意集合中元素的互异性,对计算的结果要加以检验.3. 含有n 个元素的集合,其子集个数为n 2,非空子集个数为12-n 个,非空真子集个数为 22-n .4. 注意空集Φ的特殊性.在解题时,若未指明集合非空时,要考虑到为空集的可能性.5. 要注意数学思想方法在解题中的运用.如化归与转化、分类讨论、数形结合的思想方法在解题中的应用.【巩固训练题】一、选择题1. 满足{1,2}⊆⊂X {1,2,3,4,5}的集合X 的个数为( )(A ) 4个 (B ) 6个 ( C ) 7个 (D ) 8个2. 下面有四个命题:(1)集合N 中最小的元素是1;(2)若N a N a ∈∉-则,;(3)若∈a ,,N b N ∈则b a +的最小值是2;(4)x x 442=+方程的解集可表示为{2,2}.其中正确命题的个数是( )(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) 33. 已知x A {=|Z n n x ∈=,3cosπ},x B {=|Z m m x ∈-=,632sin π},那么B A 和的关系是( )(A ) B A ⊂ (B ) B A ⊃ (C ) B A = (D ) B A ≠4. 同时满足(1)}5,4,3,2,1{⊆M ,(2)若M a ∈,则M a ∈-6的非空集合M 有( )(A ) 32个 (B ) 15个 (C ) 7个 (D ) 6个5. 对于非空集合M 和N ,把所有属于M 但不属于N 的元素形成的集合称为M 与N 的差集,记作M-N ,那么M-(M-N )总等于( )(A ) N (B ) M (C ) M I N (D ) M Y N二、填空题6. 设M={),(y x |}4=+ny mx ,且{(2,1),(-2,5)}⊂M ,则=m ,=n .7. 集合),{(y x A =|}422=+y x ,),{(y x B =|})4()3(222r y x =-+-,其中0>r ,若B A I 中有且仅有一个元素,则r 的值是8. 若全集)(),(,x g x f R I =均为二次函数,x P {=|}0)(<x f ,x Q {=|}0)(≥x g ,则不等式组{0)(0)(<<x g x f 的解集可用P 、Q 表示为 三、解答题8. 已知集合x A {=|}12+=x y ,y B {=|}12+=x y ,),{(y x C =|}12+=x y ,试讨论集合A 、B 、C 三者之间的关系.10. 设非空集合x A {=|}01)2(2=++++b x b x (R b ∈),求集合A 中所有元素的和.。
高三集合复数知识点总结
高三集合复数知识点总结集合与复数是高中数学中的重要内容,它们在解决实际问题和理解数学概念中扮演着关键角色。
本文将对高三阶段所涉及的集合与复数的知识点进行总结,以帮助学生更好地理解和掌握这些概念。
一、集合的概念及运算集合是由具有某种特定性质的事物或对象组成的整体。
在数学中,我们通常用大写字母来表示集合,如集合A、集合B等。
集合中的元素可以是数字、字母、图形等。
1. 集合的表示方法集合通常用大括号表示,元素之间用逗号分隔。
例如,集合A = {1, 2, 3} 表示集合A包含元素1、2和3。
2. 集合的分类集合可以分为有限集和无限集。
有限集是元素数量有限的集合,而无限集是元素数量无限的集合。
此外,还有空集,即不包含任何元素的集合。
3. 集合间的关系集合间的关系主要包括子集、真子集、相等和并集等。
子集是指一个集合的所有元素都是另一个集合的元素;真子集是指一个集合不仅是另一个集合的子集,而且还有自己独有的元素;两个集合相等是指它们包含完全相同的元素;并集是指将两个集合的所有元素合并在一起构成的新集合。
4. 集合的运算集合的运算主要包括并集、交集和补集。
并集运算用符号∪表示,交集运算用符号∩表示,补集运算用符号'或{ }^c表示。
例如,集合A 和集合B的并集是A∪B,交集是A∩B,集合A在全集U中的补集是A'或U^c。
二、复数的概念及运算复数是实数的扩展,它由实部和虚部组成,一般形式为a+bi,其中a 和b是实数,i是虚数单位,满足i^2=-1。
1. 复数的表示复数可以在平面上表示为一个点或一个向量。
实部对应于横坐标,虚部对应于纵坐标。
这种表示方法称为复平面。
2. 复数的分类复数可以根据实部和虚部的符号进行分类,包括实数、纯虚数、正实数、负实数等。
3. 复数的运算复数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
复数的加法和减法运算类似于向量的加法和减法,即将对应的实部和虚部分别相加或相减。
复数的乘法运算需要使用分配律和虚数单位i的幂运算规则。
中职对口升学-高三数学第一轮复习:集合的概念及表示
典例解析
例2 已知集合A={x,y x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z} 元素的个数为( ).
A.9 B.8 C.5 D.4
则以
,
所以A中元素的个数为9.
技巧 点拨
对于求解集合中元素个数的题目,首先求出集合,然后 根据集合中元素的互异性求出集合中的元素,或利用数 形结合的方法求出集合中的元素.
解析
(1)“我国著名的数学家”不是一个明确的标准,不能构成一个集 合;(3)“高个子学生”这一标准也不确定,无法判定某人是高还 是矮,也不能构成集合;(2)(4)的对象是确定的;(5)的对象 虽然有无限个,但它是确定的.因此选C.
技巧 点拨
判断某组对象能否构成集合,关键看对象是否为整体的和 确定的.标准一定要是明确的,不能模糊,否则无法判断.
(2)按元素的特征分类:数集、点集等.
知识点一 集合的概念
5.常用的集合 常用的集合有正整数集(Z+或N*)、自然数集(N)、整数集(Z)、有理数集 (Q)、实数集(R).
(1)正整数集.所有正整数组成的集合叫作正整数集,记作Z+或N*. (2)自然数集.所有自然数组成的集合叫作自然数集,记作N. (3)整数集.所有整数组成的集合叫作整数集,记作Z. (4)有理数集.所有有理数组成的集合叫作有理数集,记作Q. (5)实数集.所有实数组成的集合叫作实数集,记作R.
知识点二 集合的表示法
2.描述法 用集合所含元素的共同特征表示 集合的方法称为描述法.
描述法表示集合的一般形式是 {x| p(x)},其中“x”是集合中元素 的代表形式,“p(x)”是集合中元 素的共同特征,两者之间的竖线 不可省略.
注意:用描述法表示集合时,要注意以下几点: (1)写清楚集合中元素的代表形式(一般用小写字母表示). (2)写明集合中元素的特征或性质. (3)用于描述元素特征的语句要力求简明、准确,不产生歧义; 多层描述时,应当准确使用“且”“或”等关联词. (4)所有描述的内容都要写在大括号内. (5)在不引起混淆的情况下,用描述法表示集合时有时也可以 省去竖线和竖线左边的部分.例如,正整数的集合可简记为{正整 数},但是,集合{x|x>1}就不能省略竖线及其左边的“x”.
高三数学高考集合知识点梳理
高三数学高考集合知识点梳理集合是数学中一个重要的概念,广泛应用于各个数学分支。
在高考数学中,集合也是一个重要的考点。
本文将对高三数学高考集合知识点进行梳理,以帮助同学们更好地掌握和应用这些知识。
一、集合的定义与表示方法集合是由一些特定对象组成的整体,这些对象被称为集合的元素。
常用的表示方法主要有以下几种:1. 列举法:直接列举出集合的所有元素,用大括号{}表示。
2. 描述法:通过给出元素满足的条件来描述集合,用大括号{}表示,并用逗号分隔元素。
二、集合间的关系与运算1. 子集关系:若集合A的所有元素同时也是集合B的元素,则称A是B的子集,记作A⊆B。
特别地,一个集合是其本身的子集。
2. 并集运算:将两个集合中的所有元素放在一起组成一个集合,记作A∪B。
3. 交集运算:两个集合中相同的元素组成的集合,记作A∩B。
4. 差集运算:从一个集合中去掉与另一个集合相同的元素后得到的集合,记作A-B或者A\B。
5. 互斥集:两个集合没有相同的元素,记作A∩B=∅,称为互斥集。
6. 补集运算:对于给定的全集U,集合A的补集是指所有不属于集合A的元素组成的集合,记作A'或者Ā。
三、集合的性质与定理1. 幂集性质:集合A的幂集是指以A的所有子集为元素的集合,记作P(A)。
对于一个有n个元素的集合来说,它的幂集将有2^n个元素。
2. 交换律、结合律、分配律等:并集和交集运算满足交换律、结合律、分配律等基本的运算性质。
3. 德摩根律:对于给定的全集U、集合A和集合B,德摩根律表示为以下两个公式:(A∪B)' = A'∩B'(A∩B)' = A'∪B'四、集合的应用集合在数学中有着广泛的应用,它不仅在高考数学中出现,还涉及到概率、统计、逻辑等许多领域。
1. 概率:在概率计算中,集合用于描述事件的样本空间以及事件的发生情况,通过集合的交并运算和概率的定义,可以计算出事件发生的概率。
数学高三集合知识点归纳
数学高三集合知识点归纳数学作为一门基础学科,有着广泛的应用领域和丰富的知识体系。
在高中阶段,学生们掌握了许多数学的基础知识,其中之一就是集合论。
集合论是数学的一个重要分支,研究的是元素的集合以及它们之间的关系。
在高三阶段,学生们需要进一步深入理解和应用集合论的基本概念和定理。
本文将对高三阶段的集合知识点进行归纳和总结。
一、集合的定义和表示方法集合是指具有某种特定性质的对象的总体。
我们可以用描述法、列举法和图示法来表示集合。
描述法是通过描述集合中元素的特性来表示集合,例如“所有的奇数”;列举法是通过列举集合中的元素来表示集合,例如{1, 3, 5};图示法是通过绘制图形来表示集合,例如用Venn图表示子集关系。
二、集合的基本运算集合的基本运算包括并集、交集、差集和补集。
并集是指两个或多个集合中的所有元素构成的集合;交集是指两个或多个集合中共有的元素构成的集合;差集是指一个集合中除去与另一个集合相同的元素后,剩余的元素所构成的集合;补集是指某个集合中不属于另一个集合的元素构成的集合。
三、集合的关系集合的关系是指集合之间的包含关系和相等关系。
包含关系分为真包含和非真包含,真包含是指一个集合是另一个集合的子集,并且两个集合不相等;非真包含是指一个集合是另一个集合的子集,但两个集合可以相等。
相等关系是指两个集合有相同的元素。
四、集合的判定集合的判定是指判断某个元素是否属于某个集合。
判定的方法可以通过元素满足特定条件,或者通过判断该元素是否在给定集合中。
五、集合的常见问题集合的常见问题包括用Venn图解决集合问题、求解集合的交集、并集和差集、求解集合的补集、求解集合的幂集等。
这些问题需要运用集合的基本概念和运算法则,进行逻辑推理和计算。
高三阶段的集合知识点相比初中阶段更加深入和复杂。
学生们需要建立起良好的数学思维和逻辑推理能力,运用集合的基本概念和运算法则解决实际问题。
同时,集合与其他数学分支有着紧密的联系,例如在概率论、数理统计等领域都需要运用集合的相关概念和方法。
高三集合的知识点
高三集合的知识点高三数学中的集合是一个重要的知识点,它是其他数学章节的基础和桥梁。
本文将从集合的定义与表示、集合间的关系和运算三个方面进行讨论,帮助同学们全面理解和掌握高三集合的知识。
一、集合的定义与表示在数学中,集合是由一些特定对象组成的整体。
集合的基本定义是指明这个整体中的每个对象,为了表示出这个整体的范围,我们常常使用大括号{}来表示集合。
例如,集合A可以表示为A={a, b, c, ...},其中a, b, c为集合A中的元素,...表示还有其他元素未列出。
除了列举元素的方式外,还可以通过条件来描述集合。
比如,我们可以表示集合B为B={x | x > 0},这表示B中的元素满足x大于0的条件。
二、集合间的关系在高三数学中,我们常常需要判断集合之间的关系。
这些关系包括子集、相等集合和互斥集合。
1. 子集:对于集合A和集合B,如果A中的所有元素都属于B,那么我们称A是B的子集,记作A⊆B。
例如,若A={1, 2, 3},B={1, 2, 3, 4},则A是B的子集。
2. 相等集合:对于集合A和集合B,如果A是B的子集,且B 是A的子集,那么我们称A和B是相等集合,记作A=B。
例如,若A={1, 2, 3},B={1, 2, 3},则A和B是相等集合。
3. 互斥集合:对于集合A和集合B,如果A和B没有共同的元素,即A∩B=∅,那么我们称A和B是互斥集合。
例如,若A={1, 2},B={3, 4},则A和B是互斥集合。
三、集合间的运算在高三数学中,我们常常需要对集合进行运算,以便获得特定的结果。
这些集合运算包括并集、交集、差集和补集。
1. 并集:对于集合A和集合B,我们定义它们的并集为包含A和B中所有元素的集合,记作A∪B。
例如,若A={1, 2},B={2, 3},则A∪B={1, 2, 3}。
2. 交集:对于集合A和集合B,我们定义它们的交集为同时属于A和B的元素组成的集合,记作A∩B。
高三数学集合知识点总结归纳图片
高三数学集合知识点总结归纳图片在高三数学学习中,集合是一个重要的概念,涉及到集合的定义、运算、性质等方面。
下面通过归纳总结的方式来介绍高三数学集合知识点,并附上相应的图片。
一、集合的基本概念集合是数学中的一个基本概念,可以理解为由确定的事物组成的整体。
记作A、B、C等大写字母。
集合中的元素用小写字母表示,比如a、b、c等。
1. 集合的表示方法集合的表示方法有两种常用方式:枚举法和描述法。
- 枚举法(列举法):通过列举集合中的元素来表示集合。
例如,集合A={1, 2, 3, 4}表示A中的元素是1、2、3、4。
- 描述法:通过描述元素的特征来表示集合。
例如,集合B={x|x是整数,0<x<5}表示B中的元素是介于0和5之间的整数。
2. 集合间的关系在集合中,常常需要研究集合之间的关系,包括子集、相等集合和空集等。
- 子集:如果一个集合A的所有元素都是集合B的元素,那么A是B的子集,记作A⊆B。
例如,集合A={1, 2}是集合B={1, 2, 3, 4}的子集。
- 相等集合:如果两个集合A和B互为子集,则它们是相等的,记作A=B。
- 空集:不包含任何元素的集合称为空集,记作∅。
二、集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集和补集等操作,用于研究集合之间的元素关系。
1. 并集并集表示由两个或多个集合的所有元素组成的集合。
记作A∪B,读作A并B。
并集的元素包含在原来集合的元素中,不重复计算。
2. 交集交集表示两个集合中共有的元素构成的集合。
记作A∩B,读作A交B。
交集的元素只包含同时属于两个集合的元素。
3. 差集差集表示一个集合中除去与另一个集合相同的元素得到的集合。
记作A-B,读作A减B。
差集的元素包括在前一个集合中,但不在后一个集合中。
4. 补集补集表示相对于某个全集而言,除去一个集合中的元素所得到的集合。
记作A'或A^c。
补集的元素属于全集而不属于集合A。
三、集合的性质集合有一些基本的性质,有助于我们理解集合的运算和关系。
高三数学集合知识点归纳
高三数学集合知识点归纳数学是一门需要系统性学习和总结的学科,而数学中的集合理论是其中的一门重要和基础的内容。
高三数学中的集合知识点涵盖了集合的基本定义、运算规则、集合的表示方法和集合间的关系等多个方面。
下面将对高三数学集合知识点进行归纳和总结。
一、集合的基本定义在数学中,集合是由一些确定的元素组成的整体。
集合内的元素是无序的,即元素的位置不影响集合的本质。
集合的基本符号是大写字母,例如A、B等,集合中的元素用小写字母表示,例如a、b等。
集合的基本定义包括空集、单集、全集和非空有限集等。
1. 空集:不包含任何元素的集合,用符号∅表示。
2. 单集:只包含一个元素的集合,用符号{a}表示。
3. 全集:包含所有可能元素的集合,用符号U表示。
4. 非空有限集:由有限个元素构成的集合。
二、集合的运算规则在数学中,集合可以进行并、交、差、补等运算。
1. 并运算:将两个或多个集合中的所有元素放在一起构成的新集合,用符号∪表示。
2. 交运算:包含两个或多个集合中共有的元素所构成的新集合,用符号∩表示。
3. 差运算:从一个集合中去除与另一个集合中相同的元素所构成的新集合,用符号/或\表示。
4. 补运算:一个集合相对于全集中的元素而言的补集,用符号'表示。
三、集合的表示方法在数学中,集合可以通过列举法、描述法和解释法来表示。
1. 列举法:直接列举集合中的元素,用大括号括起来。
例如:A = {1, 2, 3, 4, 5}表示集合A包含元素1、2、3、4和5。
2. 描述法:通过描述元素的性质和条件来表示集合。
例如:B = {x | x是正整数,且x < 6}表示集合B包含小于6的正整数。
3. 解释法:通过文字解释来说明集合的含义。
例如:C = {人}表示集合C包含所有人的集合。
四、集合间的关系在数学中,集合之间可以有包含关系、相等关系和互斥关系。
1. 包含关系:一个集合包含另一个集合的所有元素。
例如:A = {1, 2, 3},B = {2, 3},则B是A的子集,记作B⊆A。
高三数学集合知识点总结大全
高三数学集合知识点总结大全集合是数学中非常基础且重要的一个概念,它在高中数学中占据着重要的地位。
在高三数学中,我们需要深入理解和掌握集合的相关知识点,以应对考试和解决实际问题。
下面是高三数学集合知识点的总结。
1. 集合的基本概念集合是由一些确定的事物组成的,这些事物叫作集合的元素。
通常用大写字母A、B、C等表示集合,用小写字母a、b、c等表示集合的元素。
集合中的元素可以是数、字母、词语等。
2. 集合的表示方法(1)列举法:将集合的元素一一列举出来。
例如:A = {1, 2, 3, 4, 5}(2)描述法:利用一些性质描述集合的元素。
例如:B = {x | x 是自然数,且 0 < x < 6}3. 集合间的关系(1)相等关系:两个集合的元素完全相同。
例如:A = {1, 2, 3},B = {3, 2, 1},则 A = B(2)子集关系:A的所有元素都是B的元素。
例如:A = {1, 2},B = {1, 2, 3},则 A ⊆ B(3)真子集关系:A是B的子集且A不等于B。
例如:A = {1, 2},B = {1, 2, 3},则 A ⊂ B4. 集合的运算(1)并集:包含所有属于集合A或集合B的元素。
例如:A = {1, 2},B = {3, 4},则 A ∪ B = {1, 2, 3, 4}(2)交集:包含同时属于集合A和集合B的元素。
例如:A = {1, 2},B = {2, 3},则A ∩ B = {2}(3)差集:属于集合A但不属于集合B的元素。
例如:A = {1, 2, 3},B = {2, 3, 4},则 A - B = {1}(4)补集:相对于全集的差集。
例如:A = {1, 2},全集U = {1, 2, 3, 4},则 A' = {3, 4} 5. 集合的运算定律(1)交换律:A ∪ B = B ∪ A,A ∩ B = B ∩ A(2)结合律:(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)(3)分配律:A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),A ∩ (B ∪C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)(4)德摩根定律:(A ∪ B)' = A' ∩ B',(A ∩ B)' = A' ∪ B'6. 集合的应用(1)概率:集合可以用来描述随机试验的样本空间和事件,从而导出概率公式。
集合专题讲义-高三数学一轮复习
集合一、知识点1、集合的定义:把某些能够确切指定的对象看做一个整体,这个整体就叫做集合,简称集,通常用大写字母A,B,C,D……来表示集合,集合中的各个对象叫做这个集合的元素,通常用小写字母a,b,c,d.……来表示元素。
如果说a是A中的元素,就说a属于A,记为a∈A;如果b不是B中的元素,就说b不属于B,记为b∉B。
2.集合中元素的特征(1)确定性(2)互异性(3)无序性(1)列举法(2)描述法{x∣x具有性质p}(3)韦恩图(文氏图)(1)有限集(2)无限集5.空集:不含任何元素的集合叫做空集,记为φ(1)自然数集N(正整数集N+或N*)(2)整数集Z(正整数集Z+,负整数集Z)(3)有理数集Q(无理数集C R Q)(4)实数集R (5)复数集C7、区间的概念:通常把介于两个实数a,b(a<b)之间的实数集合称之为区间,并规定(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间,表示[a,b];(2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间,表示﹙a,b﹚;(3)满足不等式a≤x<b,或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间,表示[a,b﹚,﹙a,b].(4)满足不等式x>a或x<a的实数x的集合叫做无限区间,表示(a,+∞),(∞,a)(5)(+∞,∞)=R(实数集合)(1)子集:如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(任意a∈A则a∈B),那么集合A称为集合B的子集,记为A⊆B或 B⊇A,读作“集合A包含于集合B”或集合B包含集合A”。
(2)真子集:如果集合A是B的子集,且A≠B,即B中至少有一个元素不属于A,那么A就是B的真子集,可记作:A⊊B。
(3)子集、真子集的一些性质:①规定空集φ是任何集合的子集;②对于含n个元素的集合,它的子集个数为2n,真子集有2n1个,非空真子集有2n2个。
9.集合的运算(1)交集:由集合A和集合B的公共元素组成的集合,叫做集合A和集合B的交集,记作A∩B,读作A交B。
集合数学知识点高三
集合数学知识点高三集合是数学中的一个基本概念,它是由一些确定的元素所组成的。
在高三的数学学习中,我们将会接触到一些与集合相关的重要知识点。
本文将对高三数学中涉及的集合知识进行详细介绍,包括集合的表示、运算、关系、特殊集合等。
一、集合的基本表示方法在数学中,我们用大写字母A、B、C等表示集合,集合中的元素用小写字母a、b、c等表示。
集合可以通过列举法、描述法和区间法进行表示。
(1)列举法:直接将集合中的元素列举出来,用大括号{}括起来。
例如集合A={1,2,3,4,5}。
(2)描述法:通过给出满足特定条件的元素的描述来表示集合。
例如集合B={x|x是偶数},表示B中的元素是所有偶数。
(3)区间法:当集合的元素是连续的数字时,可以使用区间法进行表示。
例如集合C=[1,5],表示C中的元素是1到5之间的所有数字。
二、集合的运算在集合中,我们可以进行交集、并集、差集和补集等运算,用以描述集合之间的关系。
(1)交集:两个集合A和B的交集,表示为A∩B,表示A和B共有的元素构成的集合。
例如集合A={1,2,3},集合B={2,3,4},则A∩B={2,3}。
(2)并集:两个集合A和B的并集,表示为A∪B,表示A和B的所有元素组成的集合。
例如集合A={1,2,3},集合B={2,3,4},则A∪B={1,2,3,4}。
(3)差集:集合A减去集合B,表示为A-B,表示属于A但不属于B的元素组成的集合。
例如集合A={1,2,3},集合B={2,3,4},则A-B={1}。
(4)补集:集合A对于全集Ω而言的补集,表示为A',表示所有不属于A的元素组成的集合。
例如集合A={1,2,3},全集Ω={1,2,3,4,5},则A'={4,5}。
三、集合的关系在集合中,我们还可以了解到集合的包含关系、相等关系以及互不相交等关系。
(1)包含关系:如果一个集合A的所有元素都属于集合B,则称集合A是集合B的子集,表示为A⊆B。
高三数学第一轮复习知识点
高三数学第一轮复习知识点高三数学第一轮复习集合知识点一、集合有关概念1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性:1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示:{}如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1.用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2.集合的表示方法:列举法与描述法。
注意啊:常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集)记作:N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R关于属于的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A记作aA,相反,a不属于集合A记作a?A 列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。
描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法:例:不等式x-32的解集是{x?R|x-32}或{x|x-32}4、集合的分类:1.有限集含有有限个元素的集合2.无限集含有无限个元素的集合3.空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}二、集合间的基本关系1.包含关系子集注意:有两种可能(1)A是B的`一部分,;(2)A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2.相等关系(55,且55,则5=5)实例:设A={x|x2-1=0}B={-1,1}元素相同结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B三、集合的运算1.交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作A交B),即AB={x|xA,且xB}.2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。
高三的数学知识点大全
高三的数学知识点大全一、集合论集合的概念:集合是指具有某种特定性质的对象的总体或者一定范围内的元素的集合。
集合的表示方法:列举法、描述法、符号法等。
常见集合运算:并集、交集、补集、差集等。
二、数与代数实数的性质:实数的四则运算、实数的比较、实数的性质等。
代数式的展开和因式分解:根据代数式的性质进行展开和因式分解。
一次函数与二次函数:一次函数与二次函数的性质、图像、方程等。
三、平面几何平面几何中的基本概念:点、线、面、角等。
平面图形的性质:三角形、四边形、多边形等的性质。
平面几何的证明方法:直接证明、间接证明、反证法等。
四、空间几何空间几何中的基本概念:点、直线、平面、曲线等。
空间图形的性质:球、圆柱、圆锥等的性质与计算。
空间几何的运算与计算:体积、表面积的计算,运用解析几何解决问题。
五、数列和数列的极限数列的概念:数列的定义、常见数列的特点与性质。
数列的极限:数列的极限定理、数列极限的性质与计算。
六、函数与导数函数的概念:函数的定义、函数的性质与四则运算。
基本初等函数:常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
导数的概念与计算:导数的定义、导数的四则运算、使用导数解决问题。
七、概率论与数理统计随机事件与概率:随机事件的基本概念、概率的定义与计算。
概率分布与统计:离散型随机变量、连续型随机变量的概率分布。
统计的基本概念与方法:样本、总体、抽样与统计量的计算与应用。
八、三角函数与三角恒等式三角函数的基本概念:正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三角恒等式与三角方程:基本恒等式的运用、解三角方程的方法。
九、解析几何向量的基本概念:向量的定义、向量的加法、数量积与向量积。
空间中的直线与平面:点线面的位置关系、直线与平面之间的关系。
空间解析几何的计算问题:点到直线的距离、直线的方程、平面的方程等。
以上是高三数学的知识点大全,通过掌握这些知识点,可以帮助同学们更好地备战高考,并取得优异的成绩。
希望同学们能够认真学习,坚持练习,相信自己的能力,相信一切都会有收获。
高三数学集合知识点归纳总结
高三数学集合知识点归纳总结数学是一门总结归纳的学科,集合论就是数学中重要的一个分支。
在高三数学学习中,集合知识点是必不可少的一部分。
为了帮助同学们更好地掌握集合知识,下面对高三数学集合知识点进行归纳总结。
一、集合的概念与表示方法集合是由确定的、具有某种特定性质的对象组成的整体。
表示方法主要有朴素方法、列举法和描述法。
在表示集合时,需要注意元素的顺序不重要、元素的个数可以是有限个或无限个、元素不重复等特点。
二、集合间的关系与运算1. 集合间的关系包含关系、相等关系、互斥关系等是集合之间的基本关系。
例如,若集合A包含于集合B,则称A为B的子集,记作A⊆B。
2. 集合的运算交集、并集、差集和补集是集合运算的基本操作。
交集表示同时属于两个集合的元素组成的集合,记作$A \cap B$;并集表示两个集合的所有元素组成的集合,记作$A \cup B$;差集表示属于一个集合而不属于另一个集合的元素组成的集合,记作$A - B$;补集表示在全集中不属于某个集合的元素组成的集合,记作$\bar{A}$。
三、集合的性质1. 互补律对于任何集合A,有$A \cup \bar{A} = U$,$A \cap \bar{A} =\emptyset$。
2. 幂集与子集关系集合A的幂集是指A的所有子集组成的集合。
对于元素个数为n的集合A,A的幂集共有$2^n$个元素。
3. 数集与集合数集是由数组成的集合,包括自然数集、整数集、有理数集和实数集等。
数集是集合的一个特殊实例。
四、集合的应用1. Venn图Venn图是以圆或矩形等几何图形来表示集合之间的关系,方便同学们直观地理解和比较集合的运算和关系。
2. 集合的应用问题集合论在实际问题中有着广泛的应用,例如在调查统计中进行数据分析、在概率论中确定事件的集合等等。
五、题目解析与示例1. 题目解析通过解析一些典型题目,帮助同学们更好地理解和掌握集合知识点。
2. 示例(1)已知集合A = {1, 2, 3},集合B = {2, 3, 4},求$A \cup B$和$A \cap B$。
高三数学集合知识点归纳总结
高三数学集合知识点归纳总结在高三数学学习的过程中,集合是一个非常重要的概念。
集合是数学中研究对象的一个基础概念,对于解决问题和理解其他数学知识都扮演着重要的角色。
因此,我们需要对集合的相关知识点进行归纳总结,以便更好地掌握和应用。
1. 集合的基本概念集合是由一些特定对象组成的整体。
其中,组成集合的对象称为元素,记作"a∈A"。
如果元素a属于集合A,我们可以说a是A 的元素,反之亦然。
另外,如果一个集合不包含任何元素,我们称其为空集,记作"∅"。
2. 集合的表示方法集合可以通过列举元素的方式表示,也可以通过描述元素的特性表示。
例如,集合A={1, 2, 3}表示A是由元素1、2、3组成的集合;集合B={x|x是正整数}表示B是由所有正整数组成的集合。
3. 常见集合在数学中,有一些常见的集合,如自然数集合N、整数集合Z、有理数集合Q和实数集合R等。
这些集合在解决数学问题时经常被使用。
4. 集合的运算4.1 并集两个集合A和B的并集,记作A∪B,表示由所有属于A或属于B的元素组成的集合。
例如,若A={1, 2, 3},B={2, 3, 4},则A∪B={1, 2, 3, 4}。
4.2 交集两个集合A和B的交集,记作A∩B,表示由既属于A又属于B的元素组成的集合。
例如,若A={1, 2, 3},B={2, 3, 4},则A∩B={2, 3}。
4.3 差集两个集合A和B的差集,记作A-B,表示由属于A但不属于B 的元素组成的集合。
例如,若A={1, 2, 3},B={2, 3, 4},则A-B={1}。
4.4 互斥集合如果两个集合A和B的交集为空集,即A∩B=∅,则称A和B互斥。
4.5 包含关系若集合A的所有元素都属于集合B,即A的任意元素都是B的元素,则称B包含A,记作A⊆B。
5. 集合的性质5.1 交换律集合的并集和交集操作满足交换律,即A∪B=B∪A,A∩B=B∩A。
高考文科数学集合知识点
高考文科数学集合知识点集合是高考数学中的基础概念之一,对于文科生来说,熟练掌握集合的知识点是非常重要的。
本文将介绍高考文科数学中的集合知识点,帮助同学们更好地应对数学考试。
一、集合的基本概念集合是由一些确定的、互不相同的对象构成的整体。
常用大写字母A、B、C等表示集合,小写字母a、b、c等表示集合中的元素。
如果元素a属于集合A,我们可以表示为a∈A;如果元素b不属于集合B,则可以表示为b∉B。
二、集合的表示方法1. 列举法:直接列举出集合中的元素。
例如,集合A={1, 2, 3, 4}表示A是由1、2、3、4这四个元素组成的集合。
2. 描述法:通过描述集合元素的特性来表示集合。
例如,集合B={x|x是正整数,x<5}表示B是由小于5的正整数组成的集合。
三、集合间的关系1. 相等关系:集合A和集合B的元素完全相同,即A=B。
2. 包含关系:如果集合A的所有元素都属于集合B,表示为A⊆B;如果集合A既包含集合B的元素,又包含其他元素,表示为A⊂B。
3. 交集:集合A和集合B的交集,表示为A∩B,是包含同时属于A和B的元素的集合。
4. 并集:集合A和集合B的并集,表示为A∪B,是包含属于A或B的元素的集合。
5. 差集:集合A减去集合B,表示为A-B,是包含属于A但不属于B的元素的集合。
6. 互斥事件:两个事件A和B的交集为空集,即A∩B=∅。
四、集合的运算1. 交换律:A∪B=B∪A,A∩B=B∩A2. 结合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C)3. 分配律:A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C),A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)4. 对偶律:(A∪B)’=A’∩B’,(A∩B)’=A’∪B’5. 德摩根定律:(A∪B)’=A’∩B’,(A∩B)’=A’∪B’五、集合的应用高考数学中,集合的知识点常常涉及到概率、排列组合等题型。
我们还可以通过集合的知识来解决实际问题,比如利用集合来表示某些条件,进行逻辑推理等。
高三集合知识点总结
高三集合知识点总结集合是数学中一个基础而重要的概念,尤其在高中数学教学中占有举足轻重的地位。
高三学生在复习集合相关知识时,需要系统地整理和总结集合的基本概念、性质以及运算规则。
本文旨在帮助高三学生回顾和巩固集合的知识点,以便在高考中能够熟练运用集合知识解决问题。
首先,我们需要明确集合的基本定义。
集合是由一些明确的、互不相同的元素所构成的整体。
这些元素可以是数字、字母、人、物体等任何事物。
集合中的元素具有无序性和互异性,即元素在集合中的位置无关紧要,且集合中的元素不会有重复。
接下来,我们来了解集合的表示方法。
通常,集合可以用大写字母表示,如A、B、C等,集合中的元素则用小写字母表示。
集合可以用列举法表示,即将所有元素一一列出,如A = {1, 2, 3};也可以用描述法表示,即用数学符号和语言描述元素的性质,如B = {x | x 是质数}。
在集合论中,还有一些特殊的集合符号和概念。
例如,空集用符号∅表示,它是不包含任何元素的集合。
全集用符号U表示,它是包含所有可能元素的集合。
子集用符号⊆表示,如果集合A的所有元素都是集合B的元素,则称A是B的子集。
集合间的运算是集合论的核心内容之一。
最基本的集合运算有并集、交集和补集。
并集用符号∪表示,指的是将两个集合中所有的元素合并在一起组成的新集合。
交集用符号∩表示,指的是两个集合中共有的元素组成的集合。
补集用符号C表示,指的是全集中不属于某个集合的所有元素组成的集合。
除了上述基本运算,还有一些其他的集合运算,如差集、对称差集等。
差集用符号-表示,指的是一个集合中去掉另一个集合的元素后剩下的元素组成的集合。
对称差集用符号Δ表示,指的是两个集合中不相交的部分的并集。
在解决实际问题时,集合的知识往往与其他数学知识点相结合。
例如,在解决函数问题时,我们可能会用到集合的映射概念;在解决概率问题时,我们可能会用到集合的计数原理。
因此,掌握集合知识对于理解其他数学概念和解决综合问题具有重要意义。
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注意:解出a后要检验,看是
否满足元素的互异性。
• 变1:已知集合A={x∈R|ax2+2x+1=0,a∈R}。 • ⑴若A中只有一个元素,求a的值; • ⑵若A中至多1个元素,求实数a的取值范围。
注意:含参方程要注意方程的“身份”
变2:已知集合A={1,3,x},B={1,x2},且 A∪B={1,3,x},这样的x的值_________
2010届高考数学复习 强化双基系列课件
01《集合概念》
基础知识
• 一、集合的有关概念(描述性的) • 1、集合中元素的特性 • 确定性*、互异性*(检验)、无序性 • 2、集合的表示法 • 列举法、描述法、图示法(文氏图法)、区间 • 3、集合的分类(元素个数):有限集、无限集 • 4、常用数集的符号:N、 Z、 Q、 R、 N+(N*) • 空集:指不含任何元素的集合,用Φ 表示。
例题3:已知集合M={x|x=3n,n∈Z}, N={x|x=3n+1,n∈Z},P={x|x=3n-1,n∈Z} 且a∈M,b∈N,c∈P,设d=a-b+c,则( ) A、d∈M B、d∈N C、d∈P D、以上都不对 变1:M={x|x=4n+3,n∈Z},N={x|x=2n+1,n∈Z}
则M与N的关系。 变2:M={x|x=K/2+1/4,k∈Z},N={x|x=k/4+1/2 k∈Z},则M与N的关系。
3、相等关系: A
BA,,BA
A(非空)
AB
4、不包含关系( ):
A中的元素有些不在B中,且B中的元素有些
也不在A中。
三、集合的运算
1、交集:x∈A且x∈B x ∈A∩B
AB
A∩B
2、并集: x∈A或x∈B x ∈A∪B
AB
A∪B
3、补集:①全集:若集合U含有我们所研究 的各个集合的全部元素,则U叫做全集。
x ∈∪且x A x∈CUA
UA
CUA
U是全集 A B A ____________ A B B ____________ A (Cu B) ________ (CU A) B U ________
基础习题B:
1、集合M={a1,a2,…,an},则其子集个数为___ 个,真子集个数为___个,非空真子集个数为
集合的几个注意点
• 1、掌握集合中元素的确定性、互异性、无 序性,它是正确解决有关集合问题的重要 一环。互异性常被忽略,在解决问题时要 特别注意。
• 2、处理集合之间的关系时,Φ是一个不可 忽略,但又经常遗漏的情况。如:A∪B=
B,A∩B=A, A B. A可以是Φ。
• 3、处理含参数的集合包含关系时,端点值 的取舍也是一个难点和重点,其解决办法 是对端点单独考虑。
• ⑴求证: A B ;
• ⑵若A={-1,3},求B。
利用定义
• 例7设a、b∈Z,E={(x,y)|(x―a)2+3b≤6y},
• 点(2,1)∈E,但点 (1,0) E, (3,2) E ,
• 求a、b的值。
例题8:已知A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0}
B={y|y=1/2x2-x+5/2,0≤x≤3},若A∩B=φ求实数 a的取值范围。
二、表示元素与集合之间的关系:
有“属于∈”和“不属于 ”两种
情形
表关示键集在合于与是集否合满之足间集的合关的系条件
1、子集 ( ):对于任何x0∈A,
总有x0∈B A B
2、真子集( ):① A B ②存在
一个元素x’ ∈B,且x’ A A B
性质:A A,
基础习题A: 1、1)某班个子比较(相当)高的同学。
2)无限接近0的实数。 3)倒数等于本身的实数。 4)06届洪中毕业生进入名牌大学的学生。 5){3、1、1、2}。 6){x|x2+1=0},其中构成集合的____.
2、 集合A {x | x a 2 b, a Z,b Z},
={x∈R|x2+ax+4=0}且 B A ,
则实数a的取值范围是________、
变2:已知集合A={x|-x2+3x+10≥0}, 非
空集合B={x|m+1≤x≤2m-1},若
,
则实B 数 mA的取值范围是
________________。
• 例5 某地对农户抽样调查,结果如下:电 冰箱拥有率为49%,电视机拥有率为85%, 洗衣机拥有率为44%,至少拥有上述三种 电器中两种以上的为63%,三种电器齐全 的为25%,那么一种电器也没有的相对贫 困户所占比例是多少?
___个,非空子集个数为___个。
变1.已知非空集合M {1,2,3,4,5},且若a∈M,
则6-a∈M,则集合M的个数是( )
A. 5 个 B.6个 C.7个 D.8个
变2.若 {1} A {1,2,3,4,5},且A中所有元素
之和为奇数的集合A的个数是( )
A.5
B.6
C.7
D.8
变3.集合A中有m个元素,若在A中增加1个元素, 则它的子集将增加_______个。
4、集合P={(x,y)|2x+y-2=0},Q={(x,y)|2x2-
ay2+(2a-1)xy+4ay-2=0},P Q,则实数a 的
值( )
A、1 B、1/2 C、0 D-1/2
5、已知A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1} 若A∩B={-3},求a的值。
6、U={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2},CUA={5} 则a=?
2、集合A={x|x=a2-4a+5,a∈R}
B={y|y=4b2+4b+2,b∈R}则A与 B的关系。
3、A={y|y= 1 x2 x ∈R},B={x|y= 1 x2 x ∈R} C={(x,y)|y= 1 x2 x ∈R},D={(x,y)|x=1}则A与 B,B与C的关系,C∩D=?
• 例1.设集合A={f(x)||f(x1)―f(x2)|≤4|x1―x2|, • |x1|≤1,|x2|≤1},又g(x)=x2―2x―1,试判断
g(x)与A的关系。
看g(x)是否满足|g(x1)―g(x2)|≤4|x1―x2|
• 例2 已知A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3}, 若1∈A,求实数a的取值范围。
数
bB
形 结 合
AaefdcCg U
变: 全集I={x|0≤x≤9,x∈N},CI(A∪B)={1,3} (CIA)∩B={6,8,9},(CIB)∩A={4,7},求A,B
I
Ⅰ 1、3
4
A Ⅱ
7
Ⅲ
B Ⅳ
6 8
9
• 例6 设f(x)=x2+px+q, • A={x|x=f(x)},B={x|f[f(x)]=x}.
• A.A B.B C.(CUA)∩B D.A∩(CUB)
利用文氏图
归纳总结
研究集合的几个方面: 1、集合的元素、满足的条件、
元素与集合的关系(符号) 2、集合与集合的关系(符号) (定义法、枚举归纳法、特征分析法、数形结合) 3、集合运算(数形结合:文氏图、数轴、
平面坐标系、以静制动、动动区域相交)
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争很快就能结束,人们可以继续挖掘.却不知,战乱时期初现末世端倪,人人自身难保,哪里还顾得上古墓解密?炮弹到处飞,躲哪儿都危险.而且末世时流通の不再是钱币,而是晶核或者各种锋税武器.人人只顾着打猎抢夺晶核,再也没人提起那个宝藏墓穴.当然,不排除有人将埋藏の地点牢记于心,静待 和平年代到来重返旧地.古董文物能让后世了解过去の文明,千金难求,实属难得,不管在哪个年代都是弥足珍贵の宝物,也是大发横财扬名立万の捷径.战争突至,世界各地陷入纷乱.大国核战争输赢,小国趁乱使用生化武器互相暗算,核生化污染让地球变得乌烟瘴气,民不聊生.没几年后,幸存下来の孩 子们对于太阳、月亮与星星等词语一派陌生.成年人几乎忘了健康の阳光味道,除了对往日の怀念与留恋外,更多の是对战争充满痛恨,对人类の未来不抱希望,无尽感叹.不知何时起,异常开始出现,先是人类,接着是各种动物,最后是植物...国界乱了套,人们到处乱跑逃命.人类の变异共有三种,一种 是异能者,一种是灵能者.最惨の一种是捕食者,俗称丧尸,世界灾难の一种主力灾害.它们分几个等级,最高阶の丧尸属于智慧型,普通人遇上必死无疑.变异兽亦然,异能、灵能者都一样.第12部分植物也变了,变得过分巨大,在她死之前尚未发现植物吃人事件,但植物散发毒气叩人倒是略有所闻.大战 期间,普通人死伤无数.战后出现丧尸之类の异形四处捕食生灵,人类因此又少了一部分.战争之中没有赢家,全人类皆是输家,他们成了异生物の猎物,重新接受大自然优胜劣淘の残酷规则.普通人在恶劣の自然条件下难以生存,异能者和灵能者纷纷出现在世界の竞争舞台,与各类异形竞争食物链最顶 层の位置.异能者の诞生有三种方式,一种是经历生死考验,无意间吞食异物激发异能の年轻人,一种是异能者の孩子.最后一种,是天生の潜力变异者.潜变者难能可贵,因为他们多半拥有两种能力,或者灵、异能并存,明显标致是寿命很长.个别在战乱中生存下来の老人逐渐恢复青春,然后出现异能,这 是其中一种.另一种是潜伏在年轻人体内不为外人知の,除非他们坦然承认.在太平盛世,这些年轻人会像普通人一样生老病死.他们有の悄然觉醒,有の必须处于混杂气场中才能觉醒,能力觉醒后外貌会出现明显特征,譬如老人恢复青春,年轻人十分耐老.悲惨の是,有些老人由于觉醒の特征太明显,曾 经有一段时间被军方掠走进行实验研究,过程中死了不少.各国の想法都一样,手段不同而已