补充内容：P值检验

n
u1
n [(u
u1 ) ]2
比如0 =0， =0.05， =1，希望当 1时，
这个检验二类风险不大于0.10 n ,8.57
最大功效检验
Neyman Pearson最有检验原则: 在控制第一类风险满足显著性水平下使得第二类风险尽可能小： （） ， 0 （）尽可能大， 1
定义，给定一个参数型统计问题，其总体参数 ，要检验假设 H0 : 0 , H1 : 1
接受 H0 拒绝 H0
通过上述分析可知，本例中由样本信息确定的 0.0179是一个重要的值，它是能用观测值2.1做出 “拒绝H0 ”的最小的显著性水平，这个值就是此
检验法的p值.
一般在一个假设检验中，利用观测值能够做出的 拒绝原假设的最小显著性水平称为该检验的 p 值. 按
p 值的定义，对于任意指定的显著性水平α，有以下
习题8-5
1、 一农场 10 年前在一鱼塘中按比例 20：15：40： 25 投放四种鱼：鲑鱼、鲈鱼、竹夹鱼和鲇鱼的鱼苗， 现在在鱼塘里获得一样本如下：
序号 种类
1
2
3
4
鲑鱼 鲈鱼 竹夹鱼 鲇鱼
数量／条 132 100 200 168 600 试取 0.05 ，用 p 值检验法检验各类鱼数量的比例 较 10 年前是否有显著的改变.
结论
（1）若 p 值，则在显著性水平α下接受 H0 . （2）若 p 值，则在显著性水平α下拒绝 H0 .
有了这两条结论就能方便地确定 H0 的拒绝域. 这 种利用p值来检验假设的方法称为p值检验法.
p 值反映了样本信息中所包含的反对原假设 H0 的依据的强度，p 值是已经观测到的一个小概率事件 的概率， p 值越小， H0 越有可能不成立，说明样本 信息中反对 H0 的依据的强度越强、越充分.
将两类错误概率用统一的函数表示出来：
定义 若 是 参数的某检验问题的一个检验法，
( ) P{拒绝H0}
称 ( )为检验法 的功效函数
当H0真时， ( )表示弃真的概率 当H0假时,1－ ( )表示取伪的概率
一个优良的检验法 ，应使 ( )在H0真时尽可能小，
在H0假时尽可能大． 这两方面的要求是矛盾的，正如在区间估计问题中， “置信度高”与“估计精确”是矛盾的．
8.05 8.15 8.2 8.1 8.25
给定显著性水平α=0.05，试利用 p 值检验法检验假设检验问
题 H0 : 8, H1 : 8 .
解 这是一个有关正态总体下方差已知时对总体均值 的双边假设检验问题，采用u检验法，检验统计量 为
U X 0 / n
拒绝域的形式为
| u | c
由已知数据可算得检验统计量的观测值
其中
n
(0
)
弃真概率 ()
取伪概率（记为 h()）
1 () ( u 2 ) ( u 2 ) ˆ h()
由于
h( )
1 2π
exp
(
u 2
2 )2
exp
(
u 2
2)
2
当 0时 h() 0
当 0时 h() 0
当 0时 h() 取最大值
hmax (u 2 ) (u 2 ) 1
给定显著水平 ，由于
P(拒绝H0|H0真)=P(小概率事件)≤ 所以弃真概率不超过显著水平
第Ⅱ类错误（取伪） 当H0假时，抽样结果表明小概率事件没有发生， 按检验法将接受H0，这样就犯了所谓“取伪”的 错误． 取伪概率为P(接受H0 | H1真)
例1 设总体 X ~ N(, 2 ) ， 2 未知，求关于假设 H0 : 0 H1 : 0
由于
u0
x
0
/n
8.15 8 0.2 / 5
1.68
P值= P(| U || u0 |) 2[1 (| u0 |)] 0.093
α=0.05<0.093= p 值
故接受 H0 .
例3 用p值检验法检验本章第二节例3的检验问题
H0 : 1 2 , H1 : 1 2， 0.05
解 用t 检验法，检验统计量T X Y
只要使
|
|
n
|
0
|
足够大
有两种方法可使 | |增大
（1）减小试验误差；
（2）取样本数目n很大．
在实际中，试验误差不可能无限小，因而一般采用 加大样本容量n的方法来控制取伪概率，但这是以 消耗大量人力、物力、财力为代价的．
在实际应用中，要根据“弃真”或“取伪”所造成
的有害程度来确 定 ， 的值．
样本容量的选取
时，u N(0,1) ，此时可算得 P(u 2.1) 0.0179，当α
以 0.0179 为基准做比较时，则上述检验问题的结 论如表 8-3 所示.
表 8-3 以 0.0179 为基准的检验问题的结论
显著性水平
拒绝域
检验结论
0.0179
0.0179
u u , (u 2.1) u u , (u 2.1)
其中
0
n
, 的真值
0
二、两类错误概率的控制
前面我们处理参数假设检验问题时，实际上 只考虑了控制第I类（弃真）错误概率不超过显著
水平 ．在一些实际问题中，如果错误地接受了
某个假设可能造成重大损失，或由此带来灾难性 的结果，因而在接受这类假设时要特别慎重，也 就是要控制第Ⅱ类（取伪）错误概率．自然希望 选择一个优良的检验方法，使得出现两类错误的 概率都很小．
t(22)
Sw 1 / n1 1 / n2
拒绝域的形式为 | t | c
观测值
t0
31075 28.67 2.85 1/12 1/12
2.647
由计算机软件算得
p值 P(| T || t0 |) P(| T | 2.647) 0.014725
由于
α=0.05 > 0.014725= p值
故拒绝 H0
解 按题意，需要检验假设 H0 : 1.5, H1 : 1.5
这是一个有关正态总体下方差已知时对总体均值的单
边假设检验问题，采用
u
检验法得拒绝域为
u
x
/
0
n
u
由已知数据可算得
u x 0 1.97 1.5 2.1 / n 1/ 20
在以下表中列出了显著性水平α取不同值时相应
的拒绝域和检验结论.
一般，若 p 0.01，称拒绝 H0 的依据很强或称检 验是高度显著的；若 0.01 p 0.05 ，称拒绝 H0 的依据 是强的或称检验是显著的；若 0.05 p 0.1，称拒绝 H0 的依据是弱的或称检验是不显著的；若 p 0.1，一般 来说，没有理由拒绝 H0 .
P值的计算
用X表示检验用的统计量，样本数据算出的统计量的 值记为C.当H0为真时，可算出P值。 左侧检验： p P{X C}
的U 检验法的两类错误概率．
解 检验统计量 U X 0 / n
拒绝域
|
u
|
|
x
0
n
|
u
2
弃真概率P(拒绝H0|H0真)=P(|U|≥ ) = u 2
取伪概率P(接受H0|H1真)=P(|U|< u|H1真) 2
P
X
n
0
n
u 2
(0 0)
P
u
2
X
n
u
2
( u 2 ) ( u 2 )
p 值检验法
前面讨论的假设检验方法称为临界值法，此法 得到的结论是简单的，在给定的显著性水平下，不是 拒绝原假设，就是接受原假设. 但应用中可能会出现
这样的情况：在一个较大的显著性水平（如α=0.05）
下得到拒绝原假设的结论，而在一个较小的显著性水
平（如α=0.01）下却得到接受原假设的结论.
这种情况在理论上很容易解释：因为显著性水平 变小后会导致检验的拒绝域变小，于是原来落在拒绝 域内的观测值就可能落在拒绝域之外（即落入接受域 内），这种情况在实际应用中可能会带来一些不必要的 麻烦.
右侧检验：p P{X C}
双侧检验：X落在以C为端点的尾部区域概率的两倍
2P{X C},C在分布的右侧 p 2P{X C},C在分布的左侧 （如果分布对称） P{| X || C |}
例 2 从甲地发送一个讯号到乙地，设乙地受到的讯号是一个 随机变量 X，且 X N(,0.22 ) ，其中 是甲地发送的真实讯号 值，现从甲地发送同一讯号 5 次，乙地受到的讯号值为
例：对双边U检验：H0:=0,H1: 0 对给定的显著性水平，为了使第二类风险不大于，如何选取样本容量？
解百度文库此时 = 1 ()
[
n
( 0 ) u
2 ] [
n
( 0 ) u
2]
由于 依赖于真值，无论n去多大，不能指望对所有的, 对 进行控制。 但可以对| -0 |>时，选取n对 进行控制
2、考察生长在老鼠身上的肿块大小.以 X 表示在老 鼠身上生长了 15 天的肿块的直径（以 mm 计），设
X N , 2 ， , 2 均未知.今随机地取 9 只老鼠（在
他们身上的肿块都长了 15 天），测得 x 4.3, s 1.2, 试 取 0 . 用0 5p ,值 检 验 法 检 验 假 设 H0 : 4.0, H1 : 4.0, 求出 p 的值.
那里，我们采用在保证一定的置信度下使区间长度尽 可能小的原则．
选择一种优良检验的策略思想与此类似，即先保证弃
真的概率不超过指定值 ，再设法控制取伪概率．
为便于说明，继续前面例9的讨论．检验的功效函数
() P {拒绝H0}
P (| U | u 2 )
1 P (| U | u 2 )
1 ( u 2 ) ( u 2 )
第六节 假设检验的功效函数
用概率反证法检验一个假设的推理依据是小概率原理．
在一次抽样中，若小概率事件发生了，则拒绝原假设； 若小概率事件没有发生，拒绝原假设的理由不充分， 因而只好接受原假设．
这样的检验结果可能出现以下两种类型的错误．
一、犯两类错误的概率
第Ⅰ类错误（弃真） 当原假设H0真时，抽样结果表明小概率事件发生了， 按检验法将拒绝H0，这样就犯了所谓“弃真”的错 误． 弃真概率为P(拒绝H0 | H0真)
表 8-2 显著性水平
α=0.05 α=0.025 α=0.01 α=0.005
例 1 中的拒绝域
拒绝域 检验结论
u 1.645 拒绝 H0
u 1.96 u 2.33 u 2.58
拒绝 H0 接受 H0 接受 H0
由此可以看出，对同一个假设检验问题，不同的 α可能有不同的检验结论.
假设检验依据的是样本信息，样本信息中包 含了支持或反对原假设的证据，因此需要我们来 探求一种定量表述样本信息中证据支持或反对原 假设的强度. 现在换一个角度分析例 1，在 1.5
u <u1 2
(u n[ 2
u 1
)
]2
例：对右边U检验：H0: 0,H1: 0 对给定的显著性水平，为了使第二类风险不大于，如何选取样本容量？
解：此时拒绝域：W={
n
x
0
>u },
P(
n
x
0
<u
)
(u
n( 0))
当-0 时，
(u
n(
0 ))
(u
n )
u
此时 最大值=（-
n
u ) （2
n
u ) 2
此时 最大值=（-
n
u ) （2
n
u ) 2
此时 最大值=（-
n
u ) （2
n
u ) 2
此时要使
只需（-
n
u ) （2
n
u ) 2
由于当n很大时，（-
n
u ) 2
0
只需（-
n
u ) 2
=（u1 )
-
n
如果存在一个显著性水平的检验 *，使得对于任意一个 显著性水平的检验，均有
（* ） （ ）， 1 则称检验 *为这个假设检验问题在一个显著性水平 下的一致最大功效检验， 当H1为简单假设时，则称 *为最大功效检验。
定理（奈曼-皮尔逊）设总体的分布密度或概率函数为f(x, ), ={0,1},
( X1, X 2, , X n )为样本。要检验假设
其含义为：
当 0与 的偏差越大，取伪的概率越小； 当 0与 非常接进时，取伪的概率几乎等于 1 此时，越小， 越大，见图8-1
由此可知，当 与n都给定时
不可能同时控制两类错误概率都很小
下面先控制弃真的概率为
再来考虑如何减小取伪概率
由于 lim h() 0
要控制取为伪概率 1 () h() ( 很小)
假如这时一个人主张选显著性水平 α=0.05，而另 一个人主张选显著性水平 α=0.01，则第一个人的结论 是拒绝 H0 ，而第二个人的结论是接受 H0 ，如何处理这 一问题呢？
例 1 一支香烟中的尼古丁含量 X N(,1) ，质量标准规定 不 能超过 1.5mg，现从某厂生产的香烟中随机地抽取 20 支，测 得平均每支香烟尼古丁含量为 x 1.97 mg，试问该厂生产的 香烟尼古丁含量是否符合标准的规定？