2017-2018学年人教版高中数学必修四教材用书word文件

1．1任意角和弧度制

1．1.1任意角

角的分类

[提出问题]

问题1：当钟表慢了(或快了)，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确．在调整的过程中，分针转动的角度有什么不同？

提示：旋转方向不同．

问题2：在体操或跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻腾两周半”等动作，做上述动作时，运动员分别转体多少度？

提示：顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°，顺时针方向旋转了900°.

[导入新知]

角的分类

1．按旋转方向

名称定义图形

正角按逆时针方向旋转形成的角

负角按顺时针方向旋转形成的角

零角一条射线没有作任何旋转形成的角

2.

(1)角的终边在第几象限，则称此角为第几象限角；

(2)角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限．

[化解疑难]

1．任意角的概念

认识任意角的概念应注意三个要素：顶点、始边、终边．

(1)用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角．

(2)对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字．

①要明确旋转方向；

②要明确旋转角度的大小；

③要明确射线未作任何旋转时的位置．

2．象限角的前提条件

角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.

终边相同的角

[提出问题]

在条件“角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合”下，研究下列角：30°，390°，－330°.

问题1：这三个角的终边位置相同吗？

提示：相同．

问题2：如何用含30°的式子表示390°和－330°？

提示：390°＝1×360°＋30°，－330°＝－1×360°＋30°.

问题3：确定一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？

提示：不唯一．

[导入新知]

终边相同的角

β|β＝α＋k·360°，k∈Z，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{}即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

[化解疑难]

所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下几点．

(1)k是整数，这个条件不能漏掉．

(2)α是任意角．

(3)k·360°，k∈Z与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°，k∈Z应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.

(4)终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍；相等的角终边一定相同．

象限角的判断

[例1]已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．

(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.

[解]作出各角，其对应的终边如图所示：

(1)由图①可知：－75°是第四象限角．

(2)由图②可知：855°是第二象限角．

(3)由图③可知：－510°是第三象限角．

[类题通法]

象限角的判断方法

(1)根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．

(2)根据终边相同的角的概念把角转化到0°～360°范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角．

[活学活用]

在直角坐标系中，作出下列各角，在0°～360°范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角．

(1)360°；(2)720°；(3)2 012°；(4)－120°.

解：如图所示，分别作出各角，可以发现：

(1)360°＝0°＋360°，(2)720°＝0°＋2×360°，因此，在0°～360°范围内，这两个角均与0°角终边相同．所以这两个角不属于任何一个象限．

(3)2 012°＝212°＋5×360°，所以在0°～360°范围内，与2 012°角终边相同的角是212°，所以2 012°是第三象限角．

(4)－120°＝240°－360°，所以在0°～360°范围内，与－120°角终边相同的角是240°，所以－120°是第三象限角．

终边相同的角的表示

[例2](1)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．

(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．

(3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．

[解](1)与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{}

β|β＝－1 910°＋k·360°，k∈Z.

∵－720°≤β＜360°，

∴－720°≤－1 910°＋k·360°＜360°，

∴311

36≤k＜611 36，

故k＝4,5,6.

k＝4时，β＝－1 910°＋4×360°＝－470°.

k＝5时，β＝－1 910°＋5×360°＝－110°.

k＝6时，β＝－1 910°＋6×360°＝250°.

(2)①在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，而所有与180°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．

②由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋