抛物线上的弦0A0B斜率之和为定值和直线AB过定点的关系
抛物线及其性质知识点及题型归纳总结
抛物线及其性质知识点及题型归纳总结知识点精讲一、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线)(l F l ∉的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线.注 若在定义中有l F ∈，则动点的轨迹为l 的垂线，垂足为点F . 二、抛物线的方程、图形及性质抛物线的标准方程有4种形式：)0(2,2,2,22222>-==-==p py x py x px y px y ，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向（如表10-3所示）1. 点),(00y x P 与抛物线)0(22>=p px y 的关系（1）P 在抛物线内（含焦点）0202px y <⇔. （2）P 在抛物线上0202px y =⇔. （3）P 在抛物线外0202px y >⇔.2. 焦半径抛物线上的点),(00y x P 与焦点F 的距离称为焦半径，若)0(22>=p px y ，则焦半径20px PF +=，2max p PF =. 3. )0(>p p 的几何意义p 为焦点F 到准线l 的距离，即焦准距，p 越大，抛物线开口越大.4. 焦点弦若AB 为抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦，),(11y x A ，),(22y x B ，则有以下结论：（1）4221p x x =.（2）221p y y -=.（3）焦点弦长公式1：p x x AB ++=21，p x x x x =≥+21212，当21x x =时，焦点弦取最小值p 2，即所有焦点弦中通径最短，其长度为p 2.焦点弦长公式2：α2sin 2pAB =（α为直线AB 与对称轴的夹角）.（4）AOB ∆的面积公式：αsin 22p S AOB =∆（α为直线AB 与对称轴的夹角）. 5.抛物线的弦若AB 为抛物线22(p 0)y px => 的任意一条弦，1122(x ,y ),B(x ,y )A ，弦的中点为000(x ,y )(y 0)M ≠ ，则（1） 弦长公式：1212(k k 0)AB AB x y y =-=-=≠ （2） 0AB p k y =（3） 直线AB 的方程为000(x x )py y y -=- （4） 线段AB 的垂直平分线方程为000(x x )y y y p-=-- 6．求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（4A法） （1）2(A 0),y Ax =≠ 焦点为(,0)4A ，准线为4A x =-(2) 2(A 0),x Ay =≠ 焦点为(0,)4A ，准线为4A y =-如24y x =，即24y x =，焦点为1(0,)16 ，准线方程为116y =-7．参数方程22(p 0)y px => 的参数方程为222x pt y pt ⎧=⎨=⎩（参数t R ∈）8．切线方程和切点弦方程抛物线22(p 0)y px =>的切线方程为0000(x x ),(x ,y )y y p =+为切点切点弦方程为00(x x ),y y p =+点00(x ,y )在抛物线外与中点弦平行的直线为00(x x ),y y p =+此直线与抛物线相离，点00(x ,y )（含焦点）是弦AB 的中点，中点弦AB 的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果。
第三章 §3.3 3.3.2 第2课时 抛物线的标准方程及性质的应用
第2课时 抛物线的标准方程及性质的应用 学习目标 1.了解抛物线的简单应用.2.掌握直线与抛物线的位置关系及相关问题． 导语一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在手电筒里，经过适当调节，就能射出一束较强的平行光，这是什么原因呢？一、直线与抛物线的位置关系问题1 类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系． 提示 如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：没有交点、一个交点、两个交点． 知识梳理设直线l ：y ＝kx ＋m ，抛物线：y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x 的方程k 2x 2＋2(km －p )x ＋m 2＝0.(1)若k ≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点．(2)若k ＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 注意点：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．例1 已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．解 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ， 得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，(*)式只有一个解x ＝14，∴直线l 与C 只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1，此时直线l 平行于x 轴．当k ≠0时，(*)式是一个一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )．①当Δ>0，即k <1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点，此时直线l 与C 相交；②当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 有一个公共点，此时直线l 与C 相切；③当Δ<0，即k >1时，l 与C 没有公共点，此时直线l 与C 相离．综上所述，当k ＝1或0时，l 与C 有一个公共点；当k <1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点；当k >1时，l 与C 没有公共点．反思感悟 判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点．跟踪训练1 已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2,0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．答案 [－1,1]解析 由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 并整理，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，当k ＝0时，显然满足题意；当k ≠0时，Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k <0或0<k ≤1.因此直线l 的斜率的取值范围是[－1,1]．二、弦长问题问题2 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，那么线段AB 叫做焦点弦，如图．如何求弦AB 的长度？提示 1.利用弦长公式．2．根据抛物线的定义|AB |＝x 1＋x 2＋p . 知识梳理设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p . 注意点：(1)x 1·x 2＝p 24. (2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α是直线AB 的倾斜角)． (4)1|AF |＋1|BF |＝2p为定值(F 是抛物线的焦点)． 例2 已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程． 解 由题意知焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若AB ⊥x 轴，则|AB |＝2p ≠52p ，不满足题意． 所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2p k ，y 1y 2＝－p 2. 所以|AB |＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2·(y 1－y 2)2 ＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫1＋1k 2＝52p ， 解得k ＝±2.所以AB 所在的直线方程为2x －y －p ＝0或2x ＋y －p ＝0.延伸探究若本例条件不变，求弦AB 的中点M 到y 轴的距离．解 如图，过A ，B ，M 分别作准线x ＝－p 2的垂线交准线于点C ，D ，E . 由定义知|AC |＋|BD |＝52p ， 则梯形ABDC 的中位线|ME |＝54p ， ∴点M 到y 轴的距离为54p －p 2＝34p . 反思感悟 求弦长问题的方法(1)一般弦长：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|，或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|. (2)焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p .跟踪训练2 已知y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点．(1)若|AB |＝10，求实数m 的值；(2)若OA ⊥OB ，求实数m 的值．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x ，得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.由Δ＝(2m －8)2－4m 2＝64－32m >0，得m <2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2，y 1y 2＝m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋m 2＝8m .(1)因为|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·64－32m ＝10，所以m ＝716，经检验符合题意． (2)因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0，解得m ＝－8或m ＝0(舍去)．所以m ＝－8，经检验符合题意．三、抛物线的轨迹问题例3 设点P (x ，y )(y ≥0)为平面直角坐标系xOy 内的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P 到定点M ⎝⎛⎭⎫0，12的距离比点P 到x 轴的距离大12. (1)求点P 的轨迹方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋1与点P 的轨迹相交于A ，B 两点，且|AB |＝26，求实数k 的值．解 (1)过点P 作x 轴的垂线且垂足为点N ，则|PN |＝y ，由题意知|PM |－|PN |＝12， ∴x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝y ＋12，化简得x 2＝2y .故点P 的轨迹方程为x 2＝2y . (2)由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x 2＝2y ，消去y 化简得x 2－2kx －2＝0， ∴x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2.∵|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·4k 2＋8＝26，∴k 4＋3k 2－4＝0，又k 2≥0，∴k 2＝1，∴k ＝±1.反思感悟 求轨迹问题的两种方法(1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程．(2)定义法： 若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程．跟踪训练3 若动圆M 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程．解 设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，由已知可得定圆圆心为C (2,0)，半径r ＝1. 因为两圆外切，所以|MC |＝R ＋1.又动圆M 与已知直线x ＋1＝0相切，所以圆心M 到直线x ＋1＝0的距离d ＝R .所以|MC |＝d ＋1.即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离．由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＝－2为准线的抛物线，且p＝2，p＝4，2故动圆圆心M的轨迹方程为y2＝8x.1．知识清单：(1)直线和抛物线的位置关系．(2)抛物线中弦长问题．(3)抛物线的轨迹问题．2．方法归纳：直接法、定义法、代数法．3．常见误区：轨迹方程的等价性；数学运算的失误．1．动点P(x，y)到点F(3,0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是() A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．抛物线答案 D解析依题意可知动点P(x，y)在直线x＋2＝0的右侧，设P到直线x＋2＝0的距离为d，则|PF|＝d＋1，所以动点P到F(3,0)的距离与到x＋3＝0的距离相等，其轨迹为抛物线.2．已知直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是() A．相交B．相切C．相离D．相交或相切答案 D解析当直线l与y轴平行或重合时，直线l与抛物线x2＝2py(p>0)有一个交点，此时直线l 与抛物线是相交的．当直线l的斜率存在，直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个交点时，直线l与抛物线相切．3．若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________.答案(4,2)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，y 2＝4x ， 得x 2－8x ＋4＝0，Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝x 1＋x 2－4＝4，故线段AB 的中点坐标为(4,2)．4．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________.答案 0或1解析 当k ＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k ≠0时，联立方程消去y ，得k 2x 2＋4(k －2)x ＋4＝0，由题意Δ＝16(k －2)2－16k 2＝0，∴k ＝1.综上，k ＝0或1. 课时对点练1．过抛物线C ：y 2＝12x 的焦点作直线l 交C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |等于( )A ．16B ．12C ．10D ．8答案 B解析 由题意得p ＝6，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋6＝12.2．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则圆心C 的轨迹为( )A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆答案 A解析 设圆C 的半径为r ，则圆心C 到直线y ＝0的距离为r ，由两圆外切可得，圆心C 到点(0,3)的距离为r ＋1，所以圆心C 到点(0,3)的距离和它到直线y ＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故圆心C 的轨迹是抛物线．3．直线2x －y －4＝0与抛物线y 2＝6x 交于A ，B 两点，则线段AB 的长度为( )A ．8 B.2852 C.3052 D.3352答案 B解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，2x －y －4＝0， 消去y 并整理得2x 2－11x ＋8＝0，Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝112，x 1x 2＝4， ∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋4×1214－4×4＝2852. 4．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是( ) A.43 B.75 C.85D ．3 答案 A解析 方法一 设与抛物线相切的直线，且与直线4x ＋3y －8＝0平行的直线方程为4x ＋3y ＋m ＝0.与抛物线y ＝－x 2联立，消去y 可得3x 2－4x －m ＝0，由题意知，Δ＝16＋12m ＝0，∴m ＝－43. ∴最小值为两平行线之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪－43＋85＝43. 方法二 设抛物线y ＝－x 2上一点为(m ，－m 2)，该点到直线4x ＋3y －8＝0的距离为|4m －3m 2－8|5， 当m ＝23时，取得最小值43. 5．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为E ，O 为坐标原点，且|OE |＝13，则p 等于( )A ．2B ．3C ．6D ．12答案 A解析 由题意可知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，则直线AB 为y ＝x －p 2， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，相减得， y 21－y 22＝2p (x 1－x 2)⇒y 1＋y 2＝2p ， 因为E 为线段AB 的中点，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，p ， 因为E 在直线AB ：y ＝x －p 2上，所以E ⎝⎛⎭⎫3p 2，p ， 又因为|OE |＝13，所以p ＝2.6．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，|AF |·|BF |＝16，则p 的值为( )A ．2B ．4C ．2 2D ．8答案 C解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴直线AB 的方程为y ＝x －p 2， 代入y 2＝2px 可得x 2－3px ＋p 24＝0， ∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24， 由抛物线的定义可知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2， ∴|AF |·|BF |＝⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2 ＝x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24＋32p 2＋p 24＝2p 2＝16，解得p ＝2 2.7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________．答案 72解析 抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为x ＝－1，p ＝2.由抛物线的定义，知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋p ＝7，故x 1＋x 2＝5.于是弦AB 的中点M 的横坐标为52，因此点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72. 8．已知抛物线C ：y 2＝2x ，斜率为k 的直线l 过定点M (x 0，0)，直线l 交抛物线C 于A ，B两点，且A ，B 位于x 轴两侧，OA →·OB →＝3(O 为坐标原点)，则x 0＝________.答案 3解析 设直线l 的方程为y ＝k (x －x 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，与抛物线方程联立可得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k (x －x 0)， 消去y 并整理可得，k 2x 2－(2k 2x 0＋2)x ＋k 2x 20＝0，由根与系数的关系可得，x 1x 2＝x 20，则y 1y 2＝－4x 1x 2＝－2x 0，∵OA →·OB →＝3，∴x 1x 2＋y 1y 2＝3，即x 20－2x 0＝3，解得x 0＝3(负值舍去)．9．过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点O 作两条互相垂直的弦交抛物线于A ，B 两点．求证：(1)A ，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；(2)直线AB 过定点．证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点P (x 0，y 0)，(1)k OA ＝y 1x 1，k OB ＝y 2x 2， ∵OA ⊥OB ，∴k OA ·k OB ＝－1，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∵y 21＝2px 1，y 22＝2px 2， ∴y 212p ·y 222p＋y 1y 2＝0， ∵y 1≠0，y 2≠0，∴y 1y 2＝－4p 2，∴x 1x 2＝4p 2.(2)当直线AB 的斜率存在时，∵y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2， ∴k AB ＝2p y 1＋y 2， ∴直线AB ：y －y 1＝2p y 1＋y 2(x －x 1)， ∴y ＝2px y 1＋y 2＋y 1－2px 1y 1＋y 2， ∴y ＝2px y 1＋y 2＋y 21－2px 1＋y 1y 2y 1＋y 2， ∵y 21＝2px 1，y 1y 2＝－4p 2， ∴y ＝2px y 1＋y 2＋－4p 2y 1＋y 2， ∴y ＝2p y 1＋y 2(x －2p )， ∴AB 过定点(2p ,0)．当直线AB 的斜率不存在时，则k OA ＝1，∴直线OA ：y ＝x ，与抛物线方程联立，得x 2＝2px ，∴A (2p ,2p )，故直线AB 过定点(2p ,0)，综上，AB 过定点(2p ,0)．10.如图，已知抛物线y 2＝4x ，其焦点为F .(1)求以M (1,1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程；(2)若互相垂直的直线m ，n 都经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点和C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值．解 (1)由题意知，中点弦所在的直线斜率存在．设所求直线交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2， ∴所求直线方程为2x －y －1＝0.(2)依题意知，直线m ，n 的斜率存在，设直线m 的方程为y ＝k (x －1)，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，其两根为x 3，x 4，且x 3＋x 4＝4k 2＋2. 由抛物线的定义可知，|AB |＝2＋x 3＋x 4＝4k2＋4， 同理，|CD |＝4k 2＋4，∴四边形ACBD 的面积S ＝12(4k 2＋4)·⎝⎛⎭⎫4k 2＋4＝8⎝⎛⎭⎫2＋k 2＋1k 2≥32.当且仅当k ＝±1时取得最小值．11．设抛物线y 2＝4x 上一点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l ：3x ＋4y ＋12＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A ．2 B.153 C.163D ．3 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，3x ＋4y ＋12＝0， 得3y 2＋16y ＋48＝0，Δ＝256－12×48<0，故方程无解，∴直线3x ＋4y ＋12＝0与抛物线相离．又d 1＋d 2＝d 1＋1＋d 2－1，而d 1＋1为P 到准线x ＝－1的距离，故d 1＋1为P 到焦点F (1,0)的距离，从而d 1＋1＋d 2的最小值为F 到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离， 即|1×3＋0×4＋12|32＋42＝3， 故d 1＋d 2的最小值为2.12．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 3答案 C解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF 的方程为y ＝3(x －1)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ， 解得⎩⎨⎧ x ＝13，y ＝－233或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝2 3. ∵点M 在x 轴的上方，∴M (3,23)．∵MN ⊥l ， ∴N (－1,23)．∴|NF |＝(1＋1)2＋(0－23)2＝4，|MF |＝|MN |＝3＋1＝4.∴△MNF 是边长为4的等边三角形．∴点M 到直线NF 的距离为2 3.13．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．答案 32解析 设AB 的方程为x ＝my ＋4，代入y 2＝4x 得y 2－4my －16＝0，Δ>0，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－16，所以y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16m 2＋32，当m ＝0时，y 21＋y 22的最小值为32.14．已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.答案 2解析 由抛物线的方程y 2＝4x 可知其焦点F 的坐标为(1,0)，所以直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝2(k 2＋2)k 2，x 1x 2＝1， 因为∠AMB ＝90°，所以MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋[k (x 1－1)－1]·[k (x 2－1)－1]＝(1－k －k 2)(x 1＋x 2)＋(1＋k 2)x 1x 2＋k 2＋2k ＋2＝(1－k －k 2)2(k 2＋2)k 2＋(1＋k 2)＋k 2＋2k ＋2＝0，解得k ＝2.经检验，k ＝2符合题意．15.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．今有抛物线y 2＝2px (p >0)，如图，一平行于x 轴的光线射向抛物线上的点P ，反射后又射向抛物线上的点Q ，再反射后又沿平行于x 轴的方向射出，且两平行光线间的最小距离为3，则抛物线的方程为__________．答案 y 2＝3x解析 由抛物线的光学性质可得，PQ 必过抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0.当直线PQ 的斜率不存在时，易得|PQ |＝2p ；当直线PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，得k 2⎝⎛⎭⎫x 2－px ＋p 24＝2px ， 整理得4k 2x 2－(4k 2p ＋8p )x ＋k 2p 2＝0，所以x 1＋x 2＝p ＋2p k 2，x 1x 2＝p 24. 所以|PQ |＝x 1＋x 2＋p ＝2p ⎝⎛⎭⎫1＋1k 2>2p . 综上，当直线PQ 与x 轴垂直时，弦长最短，又因为两平行光线间的最小距离为3，故2p ＝3，所以抛物线的方程为y 2＝3x .16.如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于M ，N 两点，且|MN |＝8.(1)求抛物线C 的方程；(2)设直线l 为抛物线C 的切线，且l ∥MN ，P 为l 上一点，求PM →·PN →的最小值．解 (1)由题意可知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，则该直线方程为y ＝x －p 2， 代入y 2＝2px (p >0)，得x 2－3px ＋p 24＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝3p .∵|MN |＝8，∴x 1＋x 2＋p ＝8，即3p ＋p ＝8，解得p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，代入y 2＝4x ，得x 2＋(2b －4)x ＋b 2＝0.∵直线l 为抛物线C 的切线，∴Δ＝0，解得b ＝1.∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.由(1)可知x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1.设P (m ，m ＋1)，则PM →＝(x 1－m ，y 1－(m ＋1))，PN →＝(x 2－m ，y 2－(m ＋1))，∴PM →·PN →＝(x 1－m )(x 2－m )＋[y 1－(m ＋1)]·[y 2－(m ＋1)]＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＋y 1y 2－(m ＋1)·(y 1＋y 2)＋(m ＋1)2.∵x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16，y 1y 2＝－4. ∵y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴y 1＋y 2＝4×x 1－x 2y 1－y 2＝4， ∴PM →·PN →＝1－6m ＋m 2－4－4(m ＋1)＋(m ＋1)2＝2(m 2－4m －3)＝2[(m －2)2－7]≥－14，当且仅当m ＝2，即点P 的坐标为(2,3)时，PM →·PN →取得最小值，最小值为－14.。
考点102直线与抛物线的位置关系
考点102直线与抛物线的位置关系一、课本基础提炼1．研究直线与抛物线的位置关系,一般是联立两曲线方程,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用．2．有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式二级结论必备过抛物线焦点的动直线与抛物线交于点A,B,则该抛物线在点A,B处的两切线的交点轨迹是抛物线的准线.1.直线与抛物线相交时的弦长问题若直线过抛物线焦点,则求直线被抛物线截得的弦长|AB|,常用|AB|＝x1＋x2＋p；若直线不过抛物线焦点,则求直线被抛物线截得的弦长|AB|,常用,对于此类问题,应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长,另外注意与面积有关的问题,常用到弦长公式.例1．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F,若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M,N两点,且|MN|＝8.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l为抛物线C的切线,且l∥MN,P为l上一点,求的最小值．【解析】(1)由题可知F,则该直线方程为代入y2＝2px(p＞0),得设M(x1,y1),N(x2,y2),则有x1＋x2＝3p.∵|MN|＝8,∴x1＋x2＋p＝8,即3p＋p＝8,解得p＝2,∴抛物线的方程为y2＝4x.(2)设直线l的方程为y＝x＋b,代入y2＝4x,得x2＋(2b－4)x＋b2＝0.∵l为抛物线C的切线,∴Δ＝0,解得b＝1.∴l的方程为y＝x＋1.设P(m,m＋1),则＝(x1－m,y1－(m＋1)),＝(x2－m,y2－(m＋1)),∴＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)][y2－(m＋1)]＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)(y1＋y2)＋(m＋1)2.由(1)可知：x1＋x2＝6,x1x2＝1,∴(y1y2)2＝16x1x2＝16,y1y2＝－4.,＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14,当且仅当m＝2,即点P的坐标为(2,3)时,的最小值为－14.例2.抛物线y2=4x的顶点为O,点A的坐标为(5,0),倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O 或点A)且交抛物线于M、N两点,求△AMN面积最大时直线l的方程,并求△AMN的最大面积.【解析】由题意,可设l的方程为y=x+m,－5＜m＜0.由方程组,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0 ,①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N,∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5,0)设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m,x1•x2=m2,点A到直线l的距离为,从而=4(1－m)(5+m)2,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号.故直线l的方程为y=x－1,△AMN的最大面积为2．抛物线的中点弦问题.解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2),将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为“点差法”.例3．已知抛物线y2=4x的一条弦的斜率为3,它与直线交点恰为这条弦的中点M,则点M的坐标为_______．【解析】设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2),弦PQ的中点M(x0,y0),则x1+x2=2x0=1,y1+y2=2y0,又两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)即2y0(y1-y2)=4(x1-x2),∴点M的坐标为3.抛物线的切线问题由于抛物线x2=2py(p≠0),可转化为函数,因此我们可以借助导数的几何意义来研究抛物线的切线.例4. 已知抛物线x2＝2y,过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于P,Q两点,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为________．【解析】由x2＝2y,得,∴y′＝x.设P(x1,y1),Q(x2,y2),∴抛物线在P,Q两点处的切线的斜率分别为x1,x2,∴过点P的抛物线的切线方程为y－y1＝x1(x－x1),又∴切线方程为,同理可得过点Q的切线方程为,两切线方程联立解得又抛物线焦点F的坐标为,易知直线l的斜率存在,可设直线l的方程为,由,得x2－2mx－1＝0,所以x1x2＝－1,所以4．面积问题求三角形或四边形的面积最值是高考中的常见问题,解决这类问题的基本方法是把面积表示为某一变量的函数,再转化为函数求最值,或利用基本不等式求最值.例5．(2014•高考四川卷)已知F为抛物线y2＝x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OA→•OB→＝2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )A．2 B．3【解析】设直线AB的方程为x＝ny＋m(如图),A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1x2＋y1y2＝2.∴y1y2＝－2.联立得y2－ny－m＝0, ∴y1y2＝－m＝－2,∴m＝2,即点M(2,0)．又S△ABO＝S△AMO＋S△BMO当且仅当时,等号成立．例6．已知抛物线y2=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B,且|AB|≤2p.(1)求a的取值范围.(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值.【解析】(1)设直线l的方程为：y=x－a,代入抛物线方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2又∵p＞0,(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点 C(x,y),由(1)知,y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,则有∴线段AB的垂直平分线的方程为y－p=－(x－a－p),从而N点坐标为(a+2p,0）点N到AB的距离为从而当a有最大值时,S有最大值为5.对称问题根据圆锥曲线上存在不同两点关于某直线对称求参数范围，是一类典型问题，解决此类对称问题,要抓住三点：(1)中点在对称轴上；(2)两个对称点的连线与对称轴垂直；(3)两点连线与曲线有两个交点,故Δ＞0.一般通过“设而不求”、“点差法”得到对称点连线的方程,再与曲线方程联立,由判别式不等式求出参数范围.例7.已知抛物线y＝ax2－1(a≠0)上总有关于直线x＋y＝0对称的相异两点,求a的取值范围.解：设A(x1,y1)和B(x2,y2)为抛物线y＝ax2－1上的关于直线x＋y＝0对称的两相异点,则两式相减,得y1－y2＝a(x1－x2)(x1＋x2).再由x1≠x2,得设线段AB的中点为M(x0,y0),则由M点在直线x＋y＝0上,得∴直线AB的方程为联立直线AB与抛物线的方程并消去y,得依题意,上面的方程有两个相异实根,∴a的取值范围是1.(2014•潍坊模拟)过抛物线y2＝4x的焦点且斜率为的直线l与抛物线y2＝4x交于A,B两点,则|AB|的值为( )【答案】A【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线的焦点为(1,0),则直线l的方程为,代入抛物线方程得3x2－10x＋3＝0.根据抛物线的定义,可知|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝2．已知直线y=k(x+2)(k＞0)与抛物线C:y2=8x相交A、B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=( )【答案】D【解析】由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2,0）,由|FA|=2|FB|知x A+2=2(x B+2) 联立方程用根与系数关系可求3．抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k≠0)交于A、B两点,且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则恒有( )A.x3=x1+x2B.x1x2=x1x3+x2x3C.x1+x2+x3=0D.x1x2+x2x3+x3x1=0解方程组,得ax2－kx－b=0,可知,代入验证即可.4.已知抛物线C的顶点坐标为原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点,若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为_______．答案】y2=4x【解析】设抛物线为y2＝kx,与y＝x联立方程组,消去y,得：x2－kx＝0, x1+x2＝k＝2×2,故y2=4x.1.设抛物线x2＝12y的焦点为F,经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A,B两点,若点P恰为AB的中点,则|AF|＋|BF|＝( )A.12B.10C.6D.8 【答案】D【解析】设点A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1＋y2＝2×1＝2,|AF|＋|BF|＝(y1＋3)＋(y2＋3)＝(y1＋y2)＋6＝8.故选D.2.已知双曲线(a＞0,b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为3,则p＝( )A.1 C.2 D.3 【答案】C【解析】由双曲线的离心率.∴双曲线的渐近线方程为.由题意可设得p＝2或－2(舍去).故选C.3.直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A,B两点,过A,B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB的面积为( )A．48 B．56 C．64 D．72 【答案】A【解析】由题不妨设A在第一象限,联立y＝x－3和y2＝4x可得A(9,6),B(1,－2),而准线方程是x＝－1,所以|AP|＝10,|QB|＝2,|PQ|＝8,故S梯形APQB＝(|AP|＋|QB|)•|PQ|＝48.4.过点(2,4)作直线与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点,则这样的直线有条_______．注意到点(2,4)是抛物线上的点,用数形结合知满足题意的直线有两条,其一是过该点的切线；其二是过该点且与对称轴平行的直线.故填2.5.设F为抛物线C：y2＝4x的焦点,过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点.若FQ＝2,则直线l的斜率等于_______．【答案】±1【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y＝k(x＋1),联立得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0,x1＋x2y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2k＝,设Q(x0,y0),则,又F(1,0),,解得k＝±11.（2015福建文19）已知点F为抛物线E：y2=2px(p＞0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3．（1）求抛物线E的方程；（2）已知点G(-1,0) ,延长AF交抛物线E于点B,求证：以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直GB相切．【答案】（1）y2=4x；（2）见解析【解析】（1）由抛物线的定义得．因为|AF|=3,即,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x．（2）解法一：因为点A(2,m),在抛物线E：y2=4x上,所以,由抛物线的对称性,不妨设由,F(1,0)可得直线AF的方程为,得2x2-5x+2=0.解得x=2或,从而又G(-1,0),所以所以k GA+K GB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．解法二：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r．因为点A(2,m)在抛物线E：y2=4x上,所以,由抛物线的对称性,不妨设由,F(1,0)可得直线AF的方程为,得2x2-5x+2=0.解得x=2或,从而又G(-1,0),故直线GA的方程为从而又直线GB的方程为所以点F到直线GB的距离这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．2.设不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y＝2x2上,l是AB的垂直平分线.(1)当且仅当x1＋x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；(2)当直线l的斜率为2时,求l在y轴上的截距的取值范围.【查看答案】【答案】(1) x1＋x2＝0 ；(2)【解析】(1)F∈l⇔|FA|＝|FB|⇔A,B两点到抛物线的准线的距离相等,∵抛物线的准线是x轴的平行线,y1≥0,y2≥0,依题意y1,y2不同时为0,∴上述条件等价于∵x1≠x2,∴上述条件等价于x1＋x2＝0,即当且仅当x1＋x2＝0时,l经过抛物线的焦点F.(2)设l在y轴上的截距为b,依题意得l的方程为由y＝2x2,得过A,B的直线方程为∵直线AB与抛物线有两个不同交点,∴联立得32x2＋8x＋5－16b＝0,Δ＝－9＋32b＞0,.因此直线l在y轴上截距的取值范围是3.如图,已知直线l与抛物线x2＝4y相切于点P(2,1),且与x轴交于点A,O为坐标原点,定点B的坐标为(2,0)．(1)若动点M满足,求点M的轨迹C；(2)若过点B的直线l′(斜率不等于零)与(1)中的轨迹C交于不同的两点E,F(E在B,F之间),试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围．(1) 以原点为中心,焦点在x轴上,长轴长为,短轴长为2的椭圆；(2)【解析】(1)由x2＝4y,得∴直线l的斜率为y′|x＝2＝1,故直线l的方程为y＝x－1,∴点A坐标为(1,0)．设M(x,y),则由得整理得∴动点M的轨迹C为以原点为中心,焦点在x轴上,长轴长为,短轴长为2的椭圆．(2)由题意知直线l′的斜率存在且不为零,设l′的方程为y＝k(x－2)(k≠0),①将①代入整理,得(2k2＋1)x2－8k2•x＋(8k2－2)＝0,由Δ＞0得设E(x1,y1),F(x2,y2),由此可得,且0＜λ＜1.由②知(x1－2)•(x2－2)＝x1x2－2(x1＋x2)＋4又∵0＜λ＜1,∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是。
抛物线中的三个定值定点问题
0 2
C
2 p ky k
C
2 p ky 2 p ky
0 0
2
p 为定值. y
0
2 pk 2
2 pk 2
练习： 2 1、已知抛物线 y=3x 上两个不同的点 A、B（不在原点） ，满足 OA OB ，若总存在点 M，使 1 OB R ，则M 点的坐标为 得 OM OA . 2 2 2、 已知 F 是抛物线 y x 的焦点， 点 A ，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，OA OB 2 （其中 O 为坐标原点） ，则 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是 . 2 3、过点（m，0）作直线 l1，l2 与抛物线 E：y =4x 相交，其中 l1 与 E 交于 A、B 两点，l2 与 E 交于 C、 D 两点， AD 过 E 的焦点 F， 若 AD,BC 的斜率 k1， k2 满足 k1=2k2， 则实数 m 的值为 . 简解： 1 1 1、设OH =2OM OA 1 OB， A、B 、H 共线， H （0，），从而M 0 ， 3 6 2、不妨设 A 在 x 轴上方，显然直线 AB 过点（-1，0） （舍去）或（2,0） ， y y 2，
1 （本结论另一种证明方法：设直线 OA 的斜率为 k，所以直线 OB 的斜率为 ，求出点 A,B k
的坐标，写出直线 AB 的方程，从而得出结论，当直线 AB 的斜率不存在的时候另行讨论） 备注：此结论可以推广为： （1）如图，A，B 是抛物线 y2=2px(p>0)上的两点且 OA OB ，则直线 AB 恒过定点（ p （ 为常数且 -p 2）
p . y
2020年二轮微专题椭圆中两直线斜率之和为定值的问题
微专题35 椭圆中两直线斜率之和为定值的问题定点定值问题是圆锥曲线中十分重要的研究课题，本专题在上节课的基础上，让学生继续体会其中蕴含着动、静依存的辩证关系，并以椭圆中的斜率之和为条件，从具体问题入手，继续通过对解决方法进行总结辨析，希望能使学生根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并进一步引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律.如图35-1所示，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1()a >b >0过点A ()0，1，且离心率为32.图35-1(1)求椭圆C 的方程；(2)过A 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线，分别交椭圆于点M ，N ，且k 1＋k 2＝2，证明：直线MN 过定点．本题考查的是定点问题，由题意可知，题中存在两斜率和为定值的两直线，利用此结论，结合韦达定理及代数恒等变形，导出动直线方程可化为点斜式方程，其中所过的点是一个定点，从而证明动直线过定点.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，任意不经过短轴端点的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．点P (0，b )，若直线P A 与直线PB的斜率的和为s (s ≠0)，证明：l 过定点Q (－2b s ，－b )．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，任意不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．点P (4,0)，若直线P A 与直线PB 的斜率的和为0 ，则l 过定点坐标为_________．已知左焦点为F (－1,0)的椭圆过点E (1，233)．过点P (1,1)分别作斜率为k 1，k 2的椭圆的动弦AB ，CD ，设M ，N 分别为线段AB ，CD 的中点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为线段AB 的中点，求k 1；(3)若k 1＋k 2＝1，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．如图35-2所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点M (2,0)，且右焦点为F (1,0)，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点．设点P (4,3)，记P A 、PB 的斜率分别为k 1和k 2.图35-2(1)求椭圆C 的方程；(2)如果直线l 的斜率等于－1，求出k 1·k 2的值；(3)探讨k 1＋k 2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k 1＋k 2的取值范围．(2018·全国Ⅰ卷)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB .(本小题满分14分)(新课标Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3(－1，32)，P 4(1，32)中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．(1)x 24＋y 2＝1；(2)略．(1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过P 3，P 4两点．又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.…………………………………………………………………………………………2分(判断点P 1不在C 上)因此⎩⎪⎨⎪⎧ 1b 2＝11a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1.故C 的方程为x 24＋y 2＝1.…………………………………………………………………………………………4分(求出椭圆方程)(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B的坐标分别为(t ，4－t 22)，(t ，－4－t 22)．则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t＝－1，得t ＝2，不符合题意．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0………………………………………………………………………………………………………………6分(考察l ⊥x 轴时情形)由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1. ………………………………………………………………8分(设出直线方程，联立方程组，写出韦达定理)而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2. ………………………………10分(用x 1＋x 2，x 1x 2表示k 1＋k 2) 由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0.即(2k＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1＝0.解得k ＝－m ＋12.……………………12分(由k 1＋k 2＝－1求得k ＝－m ＋12) 当且仅当m >－1时，Δ>0，欲使l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1). ………………14分(将k ＝－m ＋12代入l 方程化成点斜式并得出结论)答题模板 第一步：根据a >b >0判断点P 1不在椭圆上；第二步：将另外三点代入椭圆方程求出a ，b ；第三步：考察l ⊥x 轴时，不合题；第四步：当l 与x 轴不垂直，设出直线方程与椭圆方程联立并消元得x 的一元二次方程．并写出韦达定理；第五步：将斜率公式代入k 1＋k 2并用x 1＋x 2，x 1x 2表示k 1＋k 2；第六步：将韦达定理代入，并整理得k ＝－m ＋12； 第七步：将k ＝－m ＋12代入直线方程并化为点斜式，从而得出结论. 作业评价已知椭圆x 236＋y 24＝1上一点M (32，2)，过点M 作两直线与椭圆C 分别交于相异两点A ，B ，∠AMB 的平分线与y 轴平行，则直线AB 的斜率为定值________．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，设M 是椭圆C 的上顶点，过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝2，则直线AB 恒过定点坐标为________．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，F 2()1，0，设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线F 2P 、F 2Q 的倾斜角分别为α，β且α＋β＝π，则直线l 恒过定点坐标为________．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，设M 是椭圆C 的左顶点，过点M分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝2，则直线AB 恒过定点坐标为____．已知椭圆a 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M (0,2)是椭圆的一个顶点，△F 1MF 2是等腰直角三角形．(1)求椭圆的方程；(2)过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝8，证明：直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2. 已知椭圆C 过点A (1，32)，两个焦点为(－1,0)、(1,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，点P (2，－1)满足P A 1→·P A 2→＝1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点P 且与C 交于不同的两点M ，N ，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值，若不存在，请说明理由．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为3(1)求椭圆的方程；(2)已知P 为直角坐标平面内一定点，动直线l ：y ＝12x ＋t 与椭圆交于A 、B 两点，当直线P A 与直线PB 的斜率均存在时，若直线P A 与PB 的斜率之和为与t 无关的常数，求出所有满足条件的定点P 的坐标．。
微专题22 椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题
kADkPB＝ab22k1kPB＝ab22·xBy＋B a·xBy－B a＝ab22·x2B－y2B a2＝ab22－ba22＝－1，所以 PB ⊥AD，又 PD⊥AD.所以三点 P，B，D 共线，即直线 BD 过定点 P(a,0)．
7．已知椭圆x32＋y22＝1，过点 P(1,1)分别作斜率为 k1，k2 的椭圆的动弦 AB，CD，设 M，N 分别为线段 AB，CD 的中点．若 k1＋k1，求证 直线 MN 恒过定点，并求出定点坐标．
y＝kx＋ 2－3 2k
3x62 ＋y42＝1
，
整理得(9k2＋1)x2＋18 2k(1－3k)x＋162k2－108k－18＝0， 得 x1＝18 92k23＋k21－k－3 2， 所以 x2＝18 92k23＋k21＋k－3 2， 整理得 x2－x1＝93k62＋2k1，
x2＋x1＝190k82＋21k2－6 2.
2．已知椭圆 C：9x2＋y2＝m2(m＞0)，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐
标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M.则直线 OM 的
斜率与 l 的斜率的乘积为 －9
.
解析：设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM， yM)． 将 y＝kx＋b 代入 9x2＋y2＝m2 得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，故 xM
＝x1＋2 x2＝－k2k＋b 9，易得 yM＝k29＋b 9， 从而 kOM·k＝－9.
3．如图，已知椭圆 C：x42＋y2＝1 的上、下顶点分别为 A，B，点 P 在椭
圆上，且异于点 A，B 的直线 AP，BP 与直线 l：y＝－2 分别交于点
M，N.当点 P 运动时，以 MN 为直径的圆经过的定点是
直线与抛物线的位置关系
第3课时 直线与抛物线的位置关系一、直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线公共点的个数可以有0个、1个或2个． 将直线方程与抛物线方程联立，消元后得到一元二次方程，若Δ＝0，则直线与抛物线相切，若Δ>0，则直线与抛物线相交，若Δ<0，则直线与抛物线没有公共点．特别地，当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线有一个公共点．2．在求解直线与抛物线的位置关系的问题时，要注意运用函数与方程思想，将位置关系问题转化为方程根的问题．题型一、直线与抛物线的位置关系例1、已知抛物线C ：y 2＝－2x ，过点P (1,1)的直线l 斜率为k ，当k 取何值时，l 与C 有且只有一个公共点，有两个公共点，无公共点？[解析] 直线l ：y －1＝k (x －1)，将x ＝－y 22代入整理得，ky 2＋2y ＋2k －2＝0.(1)k ＝0时，把y ＝1代入y 2＝－2x 得，x ＝－12，直线l 与抛物线C 只有一个公共点(－12，1)．(2)k ≠0时，Δ＝4－4k (2k －2)＝－8k 2＋8k ＋4.由Δ＝0得，k ＝1±32， ∴当k <1－32或k >1＋32时，Δ<0，l 与C 无公共点．当k ＝1±32时，Δ＝0，l 与C 有且只有一个公共点． 当1－32<k <1＋32且k ≠0时，Δ>0，l 与C 有两个公共点． 综上知，k <1－32或k >1＋32时，l 与C 无公共点；k ＝1±32或k ＝0时，l 与C 只有一个公共点；1－32<k <0或0<k <1＋32时，l 与C 有两个公共点． 例2、已知点A(0,2)和抛物线C ：2y ＝6x ，求过点A 且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线l 的方程．[解析] 当直线l 的斜率不存在时，由直线l 过点A (0,2)可知，直线l 就是y 轴，其方程为x ＝0. 由⎩⎨⎧x ＝0y 2＝6x，得y 2＝0.因此，此时直线l 与抛物线C 只有一个公共点O (0,0)． 如果直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.这个方程与抛物线C 的方程联立得方程组 ⎩⎨⎧y ＝kx ＋2y 2＝6x，由方程组消去x 得方程，ky 2－6y ＋12＝0① 当k ＝0时，得－6y ＋12＝0，可知此时直线l 与抛物线相交于点()23，2. 当k ≠0时，关于y 的二次方程①的判别式Δ＝36－48k .由Δ＝0得k ＝34，可知此时直线l 与抛物线C 有且仅有一个公共点，直线l 的方程为y ＝34x ＋2，即3x －4y＋8＝0.因此，直线l 的方程为x ＝0，或3x －4y ＋8＝0，或y ＝2. 题型二、弦长问题例3、顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线，截直线2x －y ＋1＝0所得弦长为15，则抛物线方程为______． [答案] y 2＝12x 或y 2＝－4x例4、已知抛物线y 2＝4x 的一条过焦点的弦AB ，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 所在直线与y 轴交点坐标(0,2)，则1y 1＋1y 2＝__________________.[答案] 12 题型三、对称问题例5、已知抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线l ：y ＝k (x －1)＋1对称，求实数k 的取值范围．[解析] 设抛物线上的点A (y 21，y 1)、B (y 22，y 2)关于直线l 对称．则⎩⎨⎧k ·y 1－y 2y 21－y 22＝－1y 1＋y 22＝k (y 21＋y222－1)＋1，得⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－k y 1y 2＝k 22＋1k －12，∴y 1、y 2是方程t 2＋kt ＋k 22＋1k －12＝0的两个不同根．∴Δ＝k 2－4(k 22＋1k －12)>0得－2<k <0.故实数k 的取值范围是－2<k <0.例6、求过点P (0,1)且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程．[正解] (1)若直线斜率不存在，则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0，由⎩⎨⎧ x ＝0y 2＝2x ，得⎩⎨⎧x ＝0y ＝0.即直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．(2)若直线的斜率存在，设为k ，则过点P (0,1)的直线方程为y ＝kx ＋1，由方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x .消去y ，得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0.当k ＝0时，得⎩⎨⎧x ＝12.y ＝1.即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点；当k ≠0时，直线与抛物线只有一个公共点，则Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，所以k ＝12，直线方程为y ＝12x ＋1.综上所述，所求直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.课后作业一、选择题1．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( ) A ．2或－2 B ．－1 C ．2D ．3[答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8xy ＝kx －2得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，则4(k ＋2)k 2＝4，即k ＝2. 2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值是( )A ．12B ．－12C ．3D ．－3[答案] D[解析] 设A (y 214，y 1)、B (y 224，y 2)，则OA →＝(y 214，y 1)，OB →＝(y 224，y 2)，则OA →·OB →＝(y 214，y 1)·(y 224，y 2)＝y 21y 2216＋y 1y 2，又∵AB 过焦点，则有y 1y 2＝－p 2＝－4，∴OA →·OB →＝(y 1y 2)216＋y 1y 2＝(－4)216－4＝－3，故选D.3．已知AB 是过抛物线2x 2＝y 的焦点的弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标是( )A ．1B ．2 C.58 D.158[答案] D[解析] 如图所示，设AB 的中点为P (x 0，y 0)，分别过A ，P ，B 三点作准线l 的垂线，垂足分别为A ′，Q ，B ′，由题意得|AA ′|＋|BB ′|＝|AB |＝4，|PQ |＝|AA ′|＋|BB ′|2＝2，又|PQ |＝y 0＋18，∴y 0＋18＝2，∴y 0＝158.4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|等于( )A ．9B ．6C ．4D ．3[答案] B[解析] 设A 、B 、C 三点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、(x 3，y 3)．由题意知F (1,0)，因为F A →＋FB →＋FC →＝0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3.根据抛物线定义，有|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝3＋3＝6.故选B.5．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 21＋y 22的最小值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10[答案] C[解析] 当直线的斜率不存在时，其方程为x ＝1，∴y 21＝4，y 22＝4， ∴y 21＋y 22＝8.当直线的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x ，得ky 2－4y －4k ＝0， ∴y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k2＋8， ∵k 2>0，∴y 21＋y 22>8，综上可知，y 21＋y 22≥8，故y 21＋y 22的最小值为8.6．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.223[答案] D[解析] 设A 、B 两点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)y 2＝8x 消去y 得，k 2x 2＋4x (k 2－2)＋4k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝4(2－k 2)k 2，x 1x 2＝4.由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2， 又∵|AF |＝2|BF |，∴x 1＋2＝2x 2＋4，∴x 1＝2x 2＋2代入x 1x 2＝4，得x 22＋x 2－2＝0， ∴x 2＝1或－2(舍去)，∴x 1＝4，∴4(2－k 2)k 2＝5，∴k 2＝89，∵k >0，∴k ＝223. 二、填空题6．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，M 是这条抛物线上的一个动点，P (3,1)是一个定点，则|MP |＋|MF |的最小值是______________________．[答案] 4[解析] 过P 作垂直于准线的直线，垂足为N ，交抛物线于M ，则|MP |＋|MF |＝|MP |＋|MN |＝|PN |＝4为所求最小值．7．在已知抛物线y ＝x 2上存在两个不同的点M 、N 关于直线y ＝kx ＋92对称，则k 的取值范围为__________________．[答案] k >14或k <－14[解析] 设M (x 1，x 21)，N (x 2，x 22)关于直线y ＝kx ＋92对称， ∴x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，即x 1＋x 2＝－1k .设MN 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝－12k ，y 0＝k ×(－12k )＋92＝4.因中点P 在y ＝x 2内，有4>(－12k )2⇒k 2>116，∴k >14或k <－14.三、解答题8．已知抛物线y 2＝6x 的弦AB 经过点P (4,2)，且OA ⊥ OB (O 为坐标原点)，求弦AB 的长．[解析] 由A 、B 两点在抛物线y 2＝6x 上，可设A (y 216，y 1)、B (y 226，y 2)．因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0.由OA →＝(y 216，y 1)，OB →＝(y 226，y 2)，得y 21y 2236＋y 1y 2＝0.∵y 1y 2≠0，∴y 1y 2＝－36，① ∵点A 、B 与点P (4,2)在一条直线上， ∴y 1－2y 216－4＝y 1－y 2y 216－y 226， 化简得y 1－2y 21－24＝1y 1＋y 2，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝－24. 将①式代入，得y 1＋y 2＝－6.②由①和②，得y 1＝－3－35，y 2＝－3＋35，从而点A 的坐标为(9＋35，－3－35)，点B 的坐标为(9－35，－3＋35)，所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝610. 9．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)．(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． [解析] (1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1， ∴p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x .消去x 得y 2＋2y －2t ＝0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0， 解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝55， 可得|t |5＝15，解得t ＝±1. 综上知：t ＝1.所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0. 10．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点．(1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．[解析] (1)如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－xy ＝k (x ＋1)，消去x 得，ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得y 1·y 2＝－1，y 1＋y 2＝－1k .∵A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，∴y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，∴y 21·y 22＝x 1x 2. ∵k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，∴OA ⊥OB .(2)设直线与x 轴交于点N ，显然k ≠0. 令y ＝0，得x ＝－1，即N (－1,0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON |·|y 1－y 2|， ∴S △OAB ＝12·1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12(－1k)2＋4. ∵S △OAB ＝10， ∴10＝121k 2＋4，解得k ＝±16.。
抛物线中的定点、定值、定直线问题
一、单选题1．已知抛物线()2:20C y px p =≥的焦点F 与椭圆22:143x y E +=的一个焦点重合，过坐标原点О作两条互相垂直的射线OM ，ON ，与C 分别交于,M N ，则直线MN 过定点（ ）A ．()4,0B ．()4,0-C ．()1,0-D ．()1,0 2．已知直线l 与抛物线26y x =交于不同的两点A ，B ，直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且12k k ⋅l 恒过定点（ ）A ．(-B ．(-C ．(-D ．( 3．已知曲线C ：22y px =(0)p >，过它的焦点F 作直线交曲线C 于M ，N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于点P ，可证明PF MN 是一个定值m ，则m =（ ） A．12 B ．1C ．2D 4．已知抛物线2:2C y x =，过定点(,0)M a 的直线与抛物线C 交于,A B 两点，若2211||||MA MB +常数，则常数a 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．抛物线x 2＝－2y 与过点P (0，－1)的直线l 交于A ，B 两点，如果OA 与OB 的斜率之和为1，则直线l 的方程是( )A ．Y =－x －1B ．Y =x ＋1C ．Y =x －1D ．Y =－x ＋1 6．设点F 为抛物线216y x =的焦点，A ，B ，C 三点在抛物线上，且四边形ABCF 为平行四边形，若对角线5BF =（点B 在第一象限），则对角线AC 所在的直线方程为 A ．82110x y --=B ．480x y --=C ．4230--=x yD ．230x y --=7．已知动点A ，B 关于坐标原点O 对称，2AB =，M 过点A ，B 且与直线1y =相切.若存在定点P ，使得MA MP -为定值，则点P 的坐标为（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．()0,1-8．已知点,A B 在抛物线2y x =上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则直线AB 一定过点（ ）A ．(2,0)B ．1,02C ．(0,2)D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 二、多选题9．抛物线2:4C y x =的焦点为F ，动直线():0l y kx b kb =+≠与抛物线交于两点,A B 且OA OB ⊥，直线,AF BF 分别与抛物线交于,C D 两点，则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 恒过定点()4,0B ．14AB CD k k =C ．1625AD BC k k =- D ．若OH AB ⊥于点H ，则点H 的轨迹是圆 10．已知抛物线方程为24x y =，直线:220l x y --=，点00(,)P x y 为直线l 上一动点，过点P 作抛物线的两条切线，切点为A ､B ，则以下选项正确的是（ ）A ．当00x =时，直线AB 方程为1y =B ．直线AB 过定点()0,1C ．AB 中点轨迹为抛物线D ．PAB △11．已知抛物线24y x =，过焦点F 作一直线l 交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，以下结论正确的有（ ）A ．AB 没有最大值也没有最小值B ．122AB x x =++C ．124y y =-D ．111FA FB+= E.若直线l 的倾斜角为θ，则22sin =AB θ12．已知点()2,2M -在拋物线()220x py p =>的准线上，F 是拋物线的焦点.过点M 的两条直线分别与抛物线相切于点A ，B ，直线MF 交直线AB 于点E ，则下列结论正确的是（ ）A ．拋物线方程为24x y =B ．直线AB 的方程为240x y -+=C ．0AM BM ⋅=D ．2ME AE BE =⋅三、填空题 13．经过抛物线2:4C x y =的焦点F 的直线交此抛物线于A ，B 两点，抛物线在A ，B 两点处的切线相交于点M ，则点M 必定在直线______上．（写出此直线的方程） 14．已知点P 为直线l ：x ＝－2上任意一点，过点P 作抛物线y 2＝2px (p ＞0)的两条切线，切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若x 1x 2为定值，则该定值为____．15．过抛物线24y x =上一点P (4，4)作两条直线P A ，PB ，且它们的斜率之积为定值4，则直线AB 恒过定点____.16．已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则11||||AB DE +的值为_______． 四、解答题17．在平面直角坐标系中，已知动点(,)(0)M x y y ≥到定点()0,1F 的距离比到x 轴的距离大1.（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）过点(4,4)N 作斜率为12,k k 的直线分别交曲线C 于不同于N 的A ，B 两点，且12111k k +=.证明：直线AB 恒过定点.18．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率k ()0k >的直线l 与C 交于A ，D 两点，8AD =.（1）求k ；（2）若()02B x ，在C 上，过点B 作C 的弦BP ，BQ ，若BP BQ ⊥，证明：直线PQ 过定点，并求出定点的坐标.19．已知F 为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，直线:21l y x =+与C 交于A ，B 两点且||||20AF BF +=.（1）求C 的方程.（2）若直线:2(1)m y x t t =+≠与C 交于M ，N 两点，且AM 与BN 相交于点T ，证明：点T 在定直线上.20．已知曲线E 上的点到()0,1F 的距离比它到x 轴的距离大1.（1）求曲线E 的方程；（2）过E 作斜率为k 的直线交曲线E 于A ､B 两点；①若3BF FA =，求直线l 的方程；②过A ､B 两点分别作曲线E 的切线1l ､2l ，求证：1l ､2l 的交点恒在一条定直线上.21．在平面直角坐标系Oxy 中，点F (1，0)，D 为直线l :x =-1上的动点，过D 作l 的垂线，该垂线与线段DF 的垂直平分线交于点M ，记M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）若过点F 的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与直线x =1分别交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.22．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ．点()02,A y 在C 上，2AF = ．（1）求p ;（2）过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，1l 与C 交于,M N 两点，2l 与直线1y =-交于点P ，判断PMN PNM ∠+∠是否为定值?若是，求出其值；若不是，说明理由．。
2020届高考数学二轮复习专题《椭圆中两直线斜率之和为定值的问题》
专题35 椭圆中两直线斜率之和为定值的问题定点定值问题是圆锥曲线中十分重要的研究课题，本专题在上节课的基础上，让学生继续体会其中蕴含着动、静依存的辩证关系，并以椭圆中的斜率之和为条件，从具体问题入手，继续通过对解决方法进行总结辨析，希望能使学生根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并进一步引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律.如图35-1所示，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1()a >b >0过点A ()0，1，且离心率为32.图35-1(1)求椭圆C 的方程；(2)过A 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线，分别交椭圆于点M ，N ，且k 1＋k 2＝2，证明：直线MN 过定点．本题考查的是定点问题，由题意可知，题中存在两斜率和为定值的两直线，利用此结论，结合韦达定理及代数恒等变形，导出动直线方程可化为点斜式方程，其中所过的点是一个定点，从而证明动直线过定点.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，任意不经过短轴端点的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．点P (0，b )，若直线P A 与直线PB的斜率的和为s (s ≠0)，证明：l 过定点Q (－2b s ，－b )．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，任意不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．点P (4,0)，若直线P A 与直线PB 的斜率的和为0 ，则l 过定点坐标为_________．已知左焦点为F (－1,0)的椭圆过点E (1，233)．过点P (1,1)分别作斜率为k 1，k 2的椭圆的动弦AB ，CD ，设M ，N 分别为线段AB ，CD 的中点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为线段AB 的中点，求k 1；(3)若k 1＋k 2＝1，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．如图35-2所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点M (2,0)，且右焦点为F (1,0)，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点．设点P (4,3)，记P A 、PB 的斜率分别为k 1和k 2.图35-2(1)求椭圆C 的方程；(2)如果直线l 的斜率等于－1，求出k 1·k 2的值；(3)探讨k 1＋k 2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k 1＋k 2的取值范围．(2018·全国Ⅰ卷)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB .(本小题满分14分)(新课标Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3(－1，32)，P 4(1，32)中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．(1)x 24＋y 2＝1；(2)略．(1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过P 3，P 4两点．又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.…………………………………………………………………………………………2分(判断点P 1不在C 上)因此⎩⎪⎨⎪⎧ 1b 2＝11a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1.故C 的方程为x 24＋y 2＝1.…………………………………………………………………………………………4分(求出椭圆方程)(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B的坐标分别为(t ，4－t 22)，(t ，－4－t 22)．则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t＝－1，得t ＝2，不符合题意．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0………………………………………………………………………………………………………………6分(考察l ⊥x 轴时情形)由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1. ………………………………………………………………8分(设出直线方程，联立方程组，写出韦达定理)而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2. ………………………………10分(用x 1＋x 2，x 1x 2表示k 1＋k 2) 由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0.即(2k＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1＝0.解得k ＝－m ＋12.……………………12分(由k 1＋k 2＝－1求得k ＝－m ＋12) 当且仅当m >－1时，Δ>0，欲使l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1). ………………14分(将k ＝－m ＋12代入l 方程化成点斜式并得出结论)答题模板 第一步：根据a >b >0判断点P 1不在椭圆上；第二步：将另外三点代入椭圆方程求出a ，b ；第三步：考察l ⊥x 轴时，不合题；第四步：当l 与x 轴不垂直，设出直线方程与椭圆方程联立并消元得x 的一元二次方程．并写出韦达定理；第五步：将斜率公式代入k 1＋k 2并用x 1＋x 2，x 1x 2表示k 1＋k 2；第六步：将韦达定理代入，并整理得k ＝－m ＋12； 第七步：将k ＝－m ＋12代入直线方程并化为点斜式，从而得出结论. 作业评价已知椭圆x 236＋y 24＝1上一点M (32，2)，过点M 作两直线与椭圆C 分别交于相异两点A ，B ，∠AMB 的平分线与y 轴平行，则直线AB 的斜率为定值________．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，设M 是椭圆C 的上顶点，过点M分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝2，则直线AB 恒过定点坐标为________．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，F 2()1，0，设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线F 2P 、F 2Q 的倾斜角分别为α，β且α＋β＝π，则直线l 恒过定点坐标为________．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，设M 是椭圆C 的左顶点，过点M分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝2，则直线AB 恒过定点坐标为____．已知椭圆a 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M (0,2)是椭圆的一个顶点，△F 1MF 2是等腰直角三角形．(1)求椭圆的方程；(2)过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝8，证明：直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2. 已知椭圆C 过点A (1，32)，两个焦点为(－1,0)、(1,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，点P (2，－1)满足P A 1→·P A 2→＝1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点P 且与C 交于不同的两点M ，N ，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值，若不存在，请说明理由．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为3(1)求椭圆的方程；(2)已知P 为直角坐标平面内一定点，动直线l ：y ＝12x ＋t 与椭圆交于A 、B 两点，当直线P A 与直线PB 的斜率均存在时，若直线P A 与PB 的斜率之和为与t 无关的常数，求出所有满足条件的定点P 的坐标．。
抛物线的概念、性质、几何意义
高 三 数 学（第17周）【教学内容】抛物线的概念、性质、几何意义及其直线与抛物线的位置关系、抛物线的应用等。
【教学目标】1、掌握抛物线的定义，动点到定点的距离等于动点到定直线的距离，则动点的轨迹是抛物线。
熟练掌握顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线的四种标准形式：y 2=2px 、y 2=－2px 、x 2=2py 、x 2=－2py （p ＞0）及其它们的焦点坐标、对称轴方程。
2、焦参数p （p ＞0）的几何意义为抛物线的焦点到其准线的距离。
若已知了抛物线顶点在顶点，焦点在x 轴上，则可设抛物线的方程为y 2=2ax （a ≠0）；若抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，则可设抛物线的方程为x 2=2ay （a ≠0），再由另外一个条件就可以求出抛物线标准方程了。
若顶点在原点，焦点在坐标上，则就要分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种情况来设抛物线的方程。
3、抛物线标准方程中，判别焦点在哪个轴上的方法是看方程的一次项，若一次项的变量为x ，则焦点在x 轴上；若一次项的变量为y ，则焦点在y 轴上。
另外，对于抛物线y 2=2ax （a ≠0），焦点坐标为（2a，0），准线方程为2a x -=；对于抛物线x 2=2ay （a ≠0）焦点坐标为（0，2a），准线方程为2a y -=。
这一结论对a ＞0及a ＜0均成立。
4、在抛物线中，抛物线上的动点到焦点的距离我们常常转化为动点到准线的距离来处理，这一思想方法在抛物线中有着广泛的应用。
我们在学习时要引起重视。
【知识讲解】例1、求经过定点A （－3，2）的抛物线的坐标准方程。
解：抛物线过第二象限内的点A （－3，2），应考虑开口向上及向左两种情形。
（1）若开口向左，设抛物线方程为y 2=－2px ，因为抛物线过点A （－3，2），∴22=－2p(－3)即342=p ，则抛物线方程为x y 342-=。
（2）若开口向上，设其方程为x 2=2py ，因为抛物线过点A （－3，2），∴22)3(2⋅=-p ，即292=p ，故得抛物线方程为y x 292=。
抛物线性质归纳、证明和应用
抛物线性质归纳、证明和应用抛物线是平面内到定点的距离等于到定直线（定点在定直线外）的距离的点的轨迹，它是椭圆过渡到双曲线的瞬间曲线，它只有一支（双曲线有两支），只有一条对称轴，没有渐近线和对称中心，属于无心曲线．抛物线的焦半径、焦点弦性质丰富多彩，此外还有定点、定值、定弦、最值等问题也值得探讨，抛物线的许多性质也是历年高考的重点和热点，这里就它的一些性质加以归纳，说明和证明，及其在历年高考和模拟考试出现的典例． 一、焦半径、焦点弦性质如图，AB 是过抛物线 y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的弦，AD 、BC 是准线的垂线，垂足分别为D 、C ，M 是CD 的中点，N 是AB 的中点．设点A (x 1，y 1)、点B (x 2，y 2)，直线AB 交y 轴于点K (0，y 3)，则： ⑴ ① y 1y 2＝－p 2；② x 1x 2＝p 24；③ 1y 1＋1y 2＝1y 3；④ | AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ（θ为AB 的倾斜角）；⑤ S △OAB ＝p22sin θ，S 梯形ABCD ＝2p2sin 3θ..⑵ 1| AF |＋1| BF |＝2p ； ⑶ ∠AMB ＝∠DFC ＝Rt ∠；⑷ AM 、BM 是抛物线的切线；⑸ AM 、BM 分别是∠DAB 和∠CBA 的平分线； ⑹ AM 、DF 、y 轴三线共点，BM 、CF 、y 轴三线共点； ⑺ A 、O 、C 三点共线，B 、O 、D 三点共线； ⑻ 若| AF |：| BF |＝m ：n ，点A 在第一象限，θ为直线AB 的倾斜角. 则cos θ＝m －nm ＋n；⑼ 以AF 为直径的圆与y 轴相切，以BF 为直径的圆与y 轴相切； 以AB 为直径的圆与准线相切.⑽ MN 交抛物线于点Q ，则，Q 是MN 的中点.★⑴ ① y 1y 2＝－p 2；② x 1x 2＝p 24；③ 1y 1＋1y 2＝1y 3④ | AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ （θ为AB 的倾斜角）；⑤S △OAB ＝p 22sin θ，S 梯形ABCD ＝2p2sin 3θ.【证明】设过焦点F (p 2，0)的AB 的直线方程为x ＝my ＋p2，代入抛物线方程y 2＝2px 得y 2－2pmy －p 2＝0，因此 ① y 1y 2＝－p 2，y 1＋y 2＝2pm . 另由⑶得在Rt △CFD 中，FR ⊥CD ， 有| RF |2＝| DR |·| RC |，而| DR |＝| y 1 |，| RC |＝| y 2 |，| RF |＝p ，且y 1 y 2＜0∴y 1y 2＝－p 2.② 又点A 、B 在抛物线上，有x 1＝y 212p ，x 2＝y 222p，因此x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝(y 1y 2)24p 2＝p 24.③ 1y 1＋1y 2＝y 1＋y 2y 1y 2＝2pm －p 2＝－2m p， 在直线AB 方程x ＝my ＋p 2中令x ＝0，得y 3＝－p 2m ，代入上式得1y 1＋1y 2＝1y 3④【证法一】根据抛物线的定义，| AF |＝| AD |＝x 1＋p 2，| BF |＝| BC |＝x 2＋p2，| AB |＝| AF |＋| BF |＝x 1＋x 2＋p又| AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝1＋m 2| y 2－y 1 |＝1＋m 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1＋m24m 2p 2＋4p 2＝2p (1＋m 2)当m ≠0时，m ＝1k ＝1tan θ＝cos θsin θ，有1＋m 2＝1＋cos 2θsin 2θ＝1sin 2θ（k 为直线AB 的斜率）当m ＝0时，θ＝90︒，1＋m 2＝1也满足1＋m 2＝1sin 2θ∴| AB |＝2p (1＋m 2)＝2psin 2θ. 【证法二】如图2，过A 、B 引x 轴的垂线AA 1、BB 1，垂足为A 1、B 1，那么| RF |＝| AD |－| FA 1 |＝| AF |－| AF |cos θ，∴| AF |＝| RF |1－cos θ＝p 1－cos θ同理，| BF |＝| RF |1＋cos θ＝p1＋cos θ∴| AB |＝| AF |＋| BF |＝p 1－cos θ＋p 1＋cos θ＝2psin 2θ.【证法三】极坐标法，设抛物线的极坐标方程为ρ＝p1－cos θ，则| AF |＝ρ1＝p 1－cos θ ，| BF |＝ρ2＝p 1－cos(π＋θ )＝p1＋cos θ.∴| AB |＝| AF |＋| BF |＝p 1－cos θ＋p 1＋cos θ＝2psin 2θ.⑤S △OAB ＝S △OAF ＋S △OBF ＝12| OF || y 1 |＋12| OF || y 1 |＝12·p2·(| y 1 |＋| y 1 |)∵y 1y 2＝－p 2，则y 1、y 2异号，因此，| y 1 |＋| y 1 |＝| y 1－y 2 |∴S △OAB ＝p 4| y 1－y 2 |＝p4(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝p44m 2p 2＋4p 2＝p 221＋m 2＝p 22sin θ .又∵| CD |＝| AB |sin θ＝2p sin θ ，| AD |＋| BC |＝| AB |＝2psin 2θ.∴S 梯形ABCD ＝12(| AD |＋| BC |)·| CD |＝12×2p sin θ×2p sin 2θ＝p2sin 3θ.【例1】（2001年新课程高考文）设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB →＝ ··························· （ ）A. 34B. －34C. 3D. －3【解】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－34，故选B.【例2】（2009年福建理）过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 作倾斜角为45︒的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝ .【解】由性质⑴得| AB |＝2p sin 2θ＝2psin 245︒＝8，∴p ＝8×122＝4. ★⑵1| AF |＋1| BF |＝2p【证法一】由⑴x 1x 2＝p 24，且| AF |＝x 1＋p 2，| BF |＝x 2＋p2.∴1| AF |＋1| BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p (x 1＋p 2)·(x 2＋p 2)＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝x 1＋x 2＋p p 24＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24 ＝x 1＋x 2＋p p 2(x 1＋x 2＋p ) ＝2p 【证法二】由| AF |＝ρ1＝p 1－cos θ ，| BF |＝ρ2＝p 1－cos(π＋θ )＝p1＋cos θ .∴1| AF |＋1| BF |＝1ρ1＋1ρ2＝1－cos θp ＋1＋cos θp ＝2p【例3】（2000全国）过抛物线y ＝ax 2（a ＞0）的焦点F 用一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则1p ＋1q等于 ·················· （ ）A. 2aB. 12aC.4aD. 4a【解】由y ＝ax 2得x 2＝1a y ，（抛物线焦点到准线的距离为12a ），由此得1p ＋1q ＝4a ，故选C.★⑶ ∠AMB ＝∠DFC ＝Rt ∠，先证明：∠AMB ＝Rt ∠ 【证法一】延长AM 交BC 的延长线于E ，如图3，则△ADM ≌△ECM ，∴| AM |＝| EM |，| EC |＝| AD | ∴| BE |＝| BC |＋| CE |＝| BC |＋| AD | ＝| BF |＋| AF |＝| AB |∴△ABE 为等腰三角形，又M 是AE 的中点， ∴BM ⊥AE ，即∠AMB ＝Rt ∠ 【证法二】取AB 的中点N ，连结MN ，则| MN |＝12(| AD |＋| BC |)＝12(| AF |＋| BF |)＝12| AB |，∴| MN |＝| AN |＝| BN |∴△ABM 为直角三角形，AB 为斜边，故∠AMB ＝Rt ∠.【证法三】由已知得C (－p 2，y 2)、D (－p 2，y 1)，由此得M (－p 2，y 1＋y 22).∴k AM ＝y 1－y 1＋y 22x 1＋p2＝y 1－y 22·y 212p＋p ＝p (y 1－y 2)y 21＋p 2＝p (y 1－－p 2y 1)y 21＋p 2＝p y 1，同理k BM ＝py 2 ∴k AM ·k BM ＝p y 1·p y 2＝p 2y 1y 2＝p 2－p 2＝－1∴BM ⊥AE ，即∠AMB ＝Rt ∠.【证法四】由已知得C (－p 2，y 2)、D (－p 2，y 1)，由此得M (－p 2，y 1＋y 22).∴MA →＝(x 1＋p 2，y 1－y 22)，MB →＝(x 3＋p 2，y 2－y 12)∴MA →·MB →＝(x 1＋p 2)(x 2＋p 2)＋(y 1－y 2)(y 2－y 1)4＝x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p24－(y 1－y 2)24＝p24＋p 2(y212p ＋y222p )＋p 24－y 21＋y 22－2y 1y 24图3＝p 22＋y 1y 22＝p 22＋－p 22＝0 ∴MA →⊥MB →，故∠AMB ＝Rt ∠.【证法五】由下面证得∠DFC ＝90︒，连结FM ，则FM ＝DM .又AD ＝AF ，故△ADM ≌△AFM ，如图4 ∴∠1＝∠2，同理∠3＝∠4 ∴∠2＋∠3＝12×180︒＝90︒∴∠AMB ＝Rt ∠.接着证明：∠DFC ＝Rt ∠【证法一】如图5，由于| AD |＝| AF |，AD ∥RF ，故可设∠AFD ＝∠ADF ＝∠DFR ＝α， 同理，设∠BFC ＝∠BCF ＝∠CFR ＝β， 而∠AFD ＋∠DFR ＋∠BFC ＋∠CFR ＝180︒∴2(α＋β)＝180︒，即α＋β＝90︒，故∠DFC ＝90︒【证法二】取CD 的中点M ，即M (－p 2，y 1＋y 22)由前知k AM ＝p y 1，k CF ＝－y 2＋p 2＋p 2＝－y 2p ＝py 1∴k AM ＝k CF ，AM ∥CF ，同理，BM ∥DF ∴∠DFC ＝∠AMB ＝90︒.【证法三】∵DF →＝(p ，－y 1)，CF →＝(p ，－y 2)，∴DF →·CF →＝p 2＋y 1y 2＝0 ∴DF →⊥CF →，故∠DFC ＝90︒.【证法四】由于| RF |2＝p 2＝－y 1y 2＝| DR |·| RC |，即| DR || RF |＝| RF || RC |，且∠DRF ＝∠FRC ＝90︒∴ △DRF ∽△FRC∴∠DFR ＝∠RCF ，而∠RCF ＋∠RFC ＝90︒ ∴∠DFR ＋∠RFC ＝90︒ ∴∠DFC ＝90︒【例4】（2009年湖北文）如图7，过抛物线y 2＝2px （P ＞0）的焦点F 的直线与抛物线相交于M 、N 两点，自M 、N 向准线l 作垂线，垂足分别为M 1、N 1，求证：FM 1⊥FN 1图6★⑷ AM 、BM 是抛物线的切线【证法一】∵k AM ＝p y 1，AM 的直线方程为y －y 1＝p y 1(x －y212p)与抛物线方程y 2＝2px 联立消去x 得y －y 1＝p y 1(y 22p －y 212p)，整理得y 2－2y 1y ＋y 21＝0可见△＝(2y 1)2－4y 21＝0， 故直线AM 与抛物线y 2＝2px 相切， 同理BM 也是抛物线的切线，如图8.【证法二】由抛物线方程y 2＝2px ，两边对x 求导，(y 2)'x ＝(2px )'x， 得2y ·y 'x＝2p ，y 'x ＝p y，故抛物线y 2＝2px 在点A (x 1，y 1)处的切线的斜率为k 切＝y 'x | y ＝y 1＝p y 1. 又k AM ＝p y 1，∴k 切＝k AM ，即AM 是抛物线在点A 处的切线，同理BM 也是抛物线的切线. 【证法三】∵过点A (x 1，y 1)的切线方程为y 1y ＝p (x ＋x 1)，把M (－p 2，y 1＋y 22)代入左边＝y 1·y 1＋y 22＝y 21＋y 1y 22＝2px 1－p 22＝px 1－p 22，右边＝p (－p 2＋x 1)＝－p 22＋px 1，左边＝右边，可见，过点A 的切线经过点M ，即AM 是抛物线的切线，同理BM 也是抛物线的切线. ★⑸ AM 、BM 分别是∠DAB 和∠CBA 的平分线 【证法一】延长AM 交BC 的延长线于E ，如图9，则△ADM ≌△ECM ，有AD ∥BC ，AB ＝BE ， ∴∠DAM ＝∠AEB ＝∠BAM ，即AM 平分∠DAB ，同理BM 平分∠CBA .【证法二】由图9可知只须证明直线AB 的倾斜角α是直线AM 的倾斜角β的2倍即可，即α＝2β. 且M (－p 2，y 1＋y 22)∵tan α＝k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1 y 222p －y 212p＝2py 1＋y 2. tan β＝k AM ＝y 1－y 1＋y 22x 1＋p 2＝y 1－y 22·y 212p＋p ＝p (y 1－y 2)y 21＋p 2＝p (y 1－－p 2y 1)y 21＋p2＝py 1.图9图8∴tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2py 11－(p y 1)2＝2py 1y 22－p 2＝2py 1y 22＋y 1y 2＝2py 1＋y 2＝tan α ∴α＝2β，即AM 平分∠DAB ，同理BM 平分∠CBA .★⑹ AM 、DF 、y 轴三线共点，BM 、CF 、y 轴三线共点 【证法一】如图10，设AM 与DF 相交于点G 1，由以上证明知| AD |＝| AF |，AM 平分∠DAF ，故AG 1也是DF 边上的中线， ∴G 1是DF 的中点.设AD 与y 轴交于点D 1，DF 与y 轴相交于点G 2， 易知，| DD 1 |＝| OF |，DD 1∥OF ， 故△DD 1G 2≌△FOG 2∴| DG 2 |＝| FG 2 |，则G 2也是DF 的中点.∴G 1与G 2重合（设为点G ），则AM 、DF 、y 轴三线共点， 同理BM 、CF 、y 轴也三线共点.【证法二】AM 的直线方程为y －y 1＝p y 1(x －y212p)，令x ＝0得AM 与y 轴交于点G 1(0，y 12)，又DF 的直线方程为y ＝－y 1p (x －p 2)，令x ＝0得DF 与y 轴交于点G 2(0，y 12)∴AM 、DF 与y 轴的相交同一点G (0，y 12)，则AM 、DF 、y 轴三线共点，同理BM 、CF 、y 轴也三线共点H ．由以上证明还可以得四边形MHFG 是矩形. ★⑺ A 、O 、C 三点共线，B 、O 、D 三点共线【证法一】如图11，k OA ＝y 1x 1＝y 1 y 212p＝2py 1，k OC ＝y 2 －p 2＝－2y 2p ＝－2py 2p 2＝－2py 2－y 1y 2＝2py 1∴k OA ＝k OC ，则A 、O 、C 三点共线， 同理D 、O 、B 三点也共线.【证法二】设AC 与x 轴交于点O '，∵AD ∥RF ∥BC∴| RO ' || AD |＝| CO ' || CA |＝| BF || AB |，| O 'F || AF |＝| CB || AB |， 又| AD |＝| AF |，| BC |＝| BF |，∴| RO ' || AF |＝| O 'F || AF |∴| RO ' |＝| O 'F |，则O '与O 重合，即C 、O 、A 三点共线，同理D 、O 、B 三点也共线.图11图10【证法三】设AC 与x 轴交于点O '，RF ∥BC ，| O 'F || CB |＝| AF || AB |，∴| O 'F |＝| CB |·| AF || AB |＝| BF |·| AF || AF |＋| BF |＝11| AF |＋1| BF |＝p2【见⑵证】∴O '与O 重合，则即C 、O 、A 三点共线，同理D 、O 、B 三点也共线.【证法四】∵OC →＝(－p 2，y 2)，OA →＝(x 1，y 1)，∵－p2·y 1－x 1 y 2＝－p2·y 1－y 212p y 2＝－py 12－y 1y 2y 12p ＝－py 12＋p 2y 12p＝0∴OC →∥OA →，且都以O 为端点∴A 、O 、C 三点共线，同理B 、O 、D 三点共线.【推广】过定点P (m ，0)的直线与抛物线y 2＝2px （p ＞0）相交于点A 、B ，过A 、B 两点分别作直线l ：x ＝－m 的垂线，垂足分别为M 、N ，则A 、O 、N 三点共线，B 、O 、M 三点也共线，如下图：【例5】（2001A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴. 证明直线AC 经过原点O . 【证法一】因为抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F (－p2，0)，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为x ＝my ＋p2；代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根， ∴y 1y 2＝－p 2因为BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p 2上，故C (－p2，y 2)，∴直线CO 的斜率为 k OC ＝y 2 －p 2＝2p y 1＝y 1x 1＝k OA .∴直线AC 经过原点O .【证法二】如图13，过A 作AD ⊥l ，D 为垂足，则：AD ∥EF ∥BC图12连结AC 与EF 相交于点N ， 则| EN | | AD | ＝| CN | | AC | ＝| BF | | AB | ，| NF | | BC | ＝| AF || AB |由抛物线的定义可知：| AF |＝| AD |，| BF |＝| BC | ∴| EN |＝| AD |·| BF | | AB | ＝| AF |·| BC || AB |＝| NF |.即N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O .★⑻ 若| AF |：| BF |＝m ：n ，点A 在第一象限，θ为直线AB 的倾斜角. 则cos θ＝m －nm ＋n； 【证明】如图14，过A 、B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为D ，C ，过B 作BE ⊥AD 于E ，设| AF |＝mt ，| AF |＝nt ，则| AD |＝| AF |，| BC |＝| BF |，| AE |＝| AD |－| BC |＝(m －n )t∴在Rt △ABE 中，cos ∠BAE ＝| AE || AB |＝ (m －n )t (m ＋n )t ＝m －nm ＋n∴cos θ＝cos ∠BAE ＝m －nm ＋n.【例6】设经过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线与抛物线相交于两点A 、B ，且| AF |：| BF |＝3：1，则直线AB 的倾斜角的大小为 . 【答案】60︒或120︒.★⑼ 以AF 为直径的圆与y 轴相切，以BF 为直径的圆与y 轴相切；以AB 为直径的圆与准线相切. 【说明】如图15，设E 是AF 的中点，则E 的坐标为( p2＋x 12，y 12)，则点E 到y 轴的距离为d ＝ p2＋x 12＝12| AF |故以AF 为直径的圆与y 轴相切， 同理以BF 为直径的圆与y 轴相切.【说明】如图15，设M 是AB 的中点，作MN ⊥准线l 于N ，则| MN |＝12(| AD |＋| BC |)＝12(| AF |＋| BF |)＝12| AB |则圆心M 到l 的距离| MN |＝12| AB |，故以AB 为直径的圆与准线相切. ★⑽ MN 交抛物线于点Q ，则Q 是MN 的中点.【证明】设A (y 212p ，y 1)，B (y 222p ，y 1)，则C (－p 2，y 2)，D (－p2，y 1)，M (－p 2，y 1＋y 22)，N (y 21＋y 224p ，y 1＋y 22)，设MN 的中点为Q '，则Q ' (－p 2＋y 21＋y 224p 2，y 1＋y 22)∵ －p 2＋y 21＋y 224p 2＝ －2p 2＋y 21＋y 22 8p ＝ 2y 1y 2＋y 21＋y 22 8p ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 222 2p∴点Q ' 在抛物线y 2＝2px 上，即Q 是MN 的中点.二、定点、定值、定直线问题（共9个结论）★⑴平行于抛物线对称轴的光线，被抛物面反射后会聚焦于抛物线的焦点，如图17. 【证明】如图17，设抛物线方程为y 2＝2px （p ＞0），直线AB ∥x 轴，点A 的坐标为(x 0，y 0)，则过A 点的切线方程为y 0y ＝p (x ＋x 0)，直线l 的斜率为k 0＝p y 0，设直线AB 到l 的角为α，则tan α＝py 0，设直线AF 的斜率为k 1，则k 1＝y 0x 0－p 2＝2py 0y 20－p 2，设直线l 到AF 的角为β，则tan β＝k 1－k 01＋k 0k 1＝2py 0y 20－p 2－p y 0 1＋p y 0·2py 0y 20－p2＝p (y 20＋p 2)y 0(y 20＋p 2)＝p y 0. ∴tan α＝tan β，又α、β∈[0，π)，则α＝β，也就是说平行于抛物线对称轴的光线，被抛物面反射后会聚焦于抛物线的焦点. 【例7】（2004年福建省质检）如图18，从点M (x 0，2)发出的光线沿平行于抛物线y 2＝4x 的轴的方向射向抛物线的点P ，反射后经焦点F 又射向直线l ：x －2y －7＝0上的点N ，再反射后又设回点M ，则x 0＝ .【解】PM ∥x 轴，点P 在抛物线上，得P 的坐标为(1，2)，经过F (1，0)点后反射在Q 点，则Q 的坐标为(1，－2)，经Q 反射后点N 的坐标为(3，－2)，设M 关于l 对称的点为M '，依题意，Q 、N 、M '共线.故可设M '(x 1，－2)，由此得 ⎩⎨⎧2＋2x 0－x 1·12＝－1x 0＋x 12―2·2－22―7＝0 ，解得x 0＝6.【另解】若设Q 关于直线l 的对称点为Q '，设Q ' (a ，b )，由于Q 、Q '关于直线l 对称，由此得⎩⎨⎧b ＋2a －1·12＝－1a ＋12―2·b －22―7＝0，解得⎩⎨⎧a ＝95b ＝－185则Q '的坐标为(95，－185)， 又M 、N 、Q '三点共线，k MN ＝k NQ '，即－185＋195－3＝2＋2x 0－3，∴x 0＝6.★⑵若C (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px （p ＞0）上的任一点，过C 引两条互相垂直的直线交抛物线于A 、B ，则直线AB 过定点(2p ＋x 0，－y 0).【证明】设A (s 22p ，s )、B (t 22p，t )（s ，t ，y 0互不相等）那么，由AC ⊥BC 得k AC ·k BC ＝y 0－s x 0－s 22p ·y 0－tx 0－t 22p＝y 0－s y 202p －s 22p ·y 0－t y 202p －t 22p＝4p2(y 0＋s )(y 0＋t )＝－1∴4p 2＝－(y 0＋s )(y 0＋t )∴st ＝－4p 2－(s ＋t )y 0－y 20 ···· ①又直线AB 的方程为y －s t －s ＝x －s 22p t 22p －s 22p，整理得，y ＝2px ＋sts ＋t② 把①代入②得 y ＝2px －4p 2－(s ＋t )y 0－y 20s ＋t ＝2px －4p 2－2px 0s ＋t －y 0＝2ps ＋t (x －2p －x 0)－y 0令x －2p －x 0＝0，即x ＝2p ＋x 0，得y ＝－y 0. 故直线AB 过定点(2p ＋x 0，－y 0).特别地，当C 是抛物线的顶点时，定点P 的坐标为(2p ，0).【拓展】C (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px （p ＞0）上的一定点，直线AB 与抛物线相交于A 、B 两点（都异于C ），若直线CA 、CB 的斜率k CA 、k CB 的乘积为定值m ，那么，直线AB 过定点(x 0－2pm，－y 0).【例8】（2000京皖春季高考）如图20，设点A 和B 为抛物线y 2＝4px （p ＞0）上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线． 【解法一】点A ，B 在抛物线y 2＝4px 上，设A (y 2A 4p ，y A )，B (y 2B4p ，y B )，OA 、OB 的斜率分别为k OA 、k OB ．∴k OA ＝y A y 2A 4p ＝4p y A ，k OA ＝4p y B ，k AB ＝y B －y A y 2B 4p －y 2A4p＝4py A ＋y B . 由OA ⊥OB ，得k OA ·k OB ＝16p2y A y B＝－1 ·········· ①∴直线AB 方程为，y －y A ＝4p y A ＋y B (x －y 2A 4p )，即(y A ＋yB )(y －y A )＝4p (x －y 2A 4p) ··· ②由OM ⊥AB ，得直线OM 方程y ＝ y A ＋y B4p ·········· ③设点M (x ，y )，则x ，y 满足②、③两式，将②式两边同时乘以－x4p，并利用③式图20整理得，x4p y A 2＋yy A －(x 2＋y 2)＝0 ··············· ④由③、④两式得－x4p ＋y B y A －(x 2＋y 2)＝0，由①式知，y A y B ＝－16p 2，所以x 2＋y 2－4px ＝0． 因为A 、B 是原点以外的两点，所以x ≠0．所以点M 的轨迹是以(2p ，0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点．【解法二】由性质(2)易知AB 经过定点P (4p ，0)，由于OM ⊥AB ，那么，M 的轨迹以(2p ，0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点．其轨迹方程为x 2＋y 2－4px ＝0（x ≠0）.★⑶抛物线y 2＝2px （p ＞0）的弦AB 的中点D 恰好在定直线l ：x ＝m （m ＞0）上，则线段AB 的垂直平分线过定点M (m ＋p ，0).【证明】如图22，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (m ，y 0)，那么⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1…………①y 22＝2px 2…………② ①－②得y 21－y 22＝2p (x 1－x 2) ∴直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝py 0∴直线DM 的斜率k DM ＝－1k AB＝－y 0p∴DM 的直线方程为y －y 0＝－y 0p(x －m ) 令y ＝0，得x ＝m ＋p∴直线AB 的垂直平分线恒过定点(m ＋p ，0).【例9】（2008湖南理科高考）若A 、B 是抛物线y 2＝4x 上的不同两点，弦AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与x 轴相交于点P ，则称弦AB 是点P 的一条“相关弦”.已知当x ＞2时，点P (x ，0)存在无穷多条“相关弦”．给定x 0＞2．⑴证明：点P (x 0，0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；⑵（略） 【说明】应用性质⑶，由已知得p ＝2，由定点P (x 0，0)得m ＋p ＝x 0，故m ＝x 0－2 ∴“相关弦”的中点的横坐标为x 0－2.图21图22★⑷设直线l 与抛物线y 2＝2px （p ＞0）相交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，那么①若直线l 过抛物线对称轴的定点M (a ，0)，则y 1y 2＝－2ap ，x 1x 2＝a 2；反之 ②若y 1y 2＝k （定值），则直线l 恒过定点N (－k2p ，0).③若直线l 与y 轴相交于点(0，y 3)，则1y 1＋1y 2＝1y 3.【证明】①设过点M (a ，0)的直线方程为x ＝my ＋a ，代入抛物线方程y 2＝2px 得y 2－2pmy －2pa ＝0，因此y 1y 2＝－2ap ，x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝(y 1y 2)24p 2＝4a 2p 24p2＝a 2.②设直线l 方程为x ＝my ＋b ，代入抛物线方程y 2＝2px 得 y 2－2pmy －2pb ＝0，即方程的根y 1、y 2是P 、Q 两点的纵坐标 ∴y 1y 2＝－2pb ，又y 1y 2＝k .∴－2pb ＝k ，即b ＝－k 2p ，则直线l 方程为x ＝my －k2p令y ＝0，得x ＝－k 2p ，则直线l 恒过定点N (－k2p，0).③由l 的方程x ＝my ＋a 中，令x ＝0得y 3＝－am，y 1＋y 2＝2pm ∴1y 1＋1y 2＝y 1＋y 2y 1y 2＝2pm －2ap ＝－m a ＝1y 3.【例10】（北京2005年春季高考理科）如图24，O 为坐标原点，直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别为a 和b （a ＞0，b ≠0），且交抛物线y 2＝2px（p ＞0）于M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)两点. ⑴写出直线l 的截距式方程； ⑵证明：1y 1＋1y 2＝1b.⑴【解】直线l 的截距式方程为x a ＋yb＝1.⑵由上面性质⑶证明可得1y 1＋1y 2＝1b.图23★⑸过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点，且与准线交于点M ，设MA →＝λAF →，MB →＝μBF →，则λ＋μ＝0.【证法一】设过点F (p 2，0)的直线方程为x ＝my ＋p2，代入抛物线方程y 2＝2px 得y 2－2pmy －p 2＝0，因此y 1y 2＝－p 2，y 1＋y 2＝2pm 令x ＝－p 2，得y M ＝－pm由MA →＝λAF →得(x 1＋p 2，y 1＋p m )＝λ (p 2－x 1，－y 1)∴y 1＋pm ＝－λ y 1，λ＝1＋p my 1，同理，μ＝1＋p my 2∴λ＋μ＝2＋p my 1＋p my 2＝2＋p (y 1＋y 2)my 1 y 2＝2＋p ·2pmm ·(－p 2)＝2－2＝0. 【证法二】由已知MA →＝λAF →，MB →＝μBF →，得λ·μ＜0．则|MA →| |MB →| ＝－λ|AF →| μ|BF →| ········· ①过点A ，B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为A 1，B 1， 则有：|MA →| |MB →| ＝|AA 1→| |BB 1→| ＝|AF →||BF →| ···· ②由①②得－λ|AF →|μ|BF →| ＝|AF →||BF →|，即λ＋μ＝0.【例11】（2007年福建理科高考）如图27，已知点F (1，0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →． ⑴求动点P 的轨迹C 的方程；⑵过点F 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，交直线l 于点M ，已知 MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，求λ1＋λ2的值； 【略解】⑴动点P 的轨迹C 的方程为：y 2＝4x ；⑵λ1＋λ2＝0.A图27★⑹定长为l 的弦AB 的两个端点在抛物线y 2＝2px 上，M 是AB 的中点，M 到y 轴的距离为d ，那么，M的轨迹方程为：4(y 2＋p 2)(2px －y 2)＝p 2l 2，且①当0＜l ＜2p 时，d 的最小值为l 28p，此时，AB ∥y 轴；②当l ≥2p 时，d 的最小值为l －p2，此时，弦AB 过焦点F .【解】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点M 的坐标为(x 0，y 0)，AB 的直线方程为x ＝my ＋b ，代入抛物线方程y 2＝2px得y 2－2pmy －2pb ＝0. ∴y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－2pb . 又AB 的中点为M (x 0，y 0)，且点M 在直线AB 上，∴y 0＝y 1＋y 22＝pm ，x 0＝my 0＋b ，m ＝y 0p ，b ＝x 0－my 0＝x 0－y 20p.∴| AB |2＝l 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(my 1＋b －my 2－b )2＋(y 1－y 2)2＝(1＋m 2)(y 1－y 2)2＝(1＋m 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝(1＋y 20p 2)[4y 20＋8pb ]＝(1＋y 20p 2)[4y 20＋8p (x 0－y 20p)]整理得，4(y 20＋p 2)(2px 0－y 20)＝p 2l 2. 故中点M 的轨迹方程为：4(y 2＋p 2)(2px －y 2)＝p 2l 2.由上可知d ＝x ＝pl 28(y 2＋p 2)＋y 22p ，令t ＝y 2＋p 2≥p 2，即y 2＝t －p 2，则d ＝x ＝pl 28t ＋t －p 22p ＝pl 28t ＋t 2p －p 2（t ≥p 2）.令pl 28t ＝t 2p ，得t ＝pl 2.①当0＜l ＜2p 时，p 2＞pl2，d 在t ∈[ p 2，＋∞)上是增函数，∴当t ＝p 2，即y ＝0时，d min ＝pl 28p 2＋p 22p －p 2＝l 28p，此时，m ＝0，即AB ∥y 轴.②当l ≥2p 时，p 2≤pl2，∴d ＝pl 28t ＋t 2p －p 2≥2p tt pl 282⨯－p 2＝l －p 2.当且仅当pl 28t ＝t 2p ，即t ＝pl 2≥p 2时取等号，故d 的最小值为l －p2.②【证法二】当l ≥2p 时，过A 、B 、M 作准线x ＝－p2的垂线，垂足为A '、B '、M '，则| MM ' |＝d ＋p 2＝12(| AA ' |＋| BB ' |)＝12(| AF |＋| BF |)≥12| AB|＝12l . 上式当且仅当| AF |＋| BF |＝| AB |，即弦AB 过抛物线的焦点M 时取等号，则d 的最小值为12l －p 2＝l －p2.图29图28【说明】经过焦点F 的最短弦是通经2p ，因此当弦AB 的长l ＜2p 时，不能用证法二证明d 的最小值为l 28p.【例12】长度为a 的线段AB 的两个端点在抛物线x 2＝2py （a ≥2p ＞0）上运动，以AB 的中点C 为圆心作圆与抛物线的准线相切，求圆C 的最小半径.【解】依题意，问题转化为定长的弦的两个端点在抛物线上，弦的中点C 到y 轴的距离的最值问题，由上面的性质可知当弦AB 经过焦点F 时，点C 到准线的距离为最小值. 如图30.∴圆C 的最小半径为r ＝a2.★⑺过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的对称轴上的定点M (m ，0)（m ＞0），作直线AB 与抛物线相交于A ，B两点．点N 是定直线l ：x ＝－m 上的任一点，则直线AN ，MN ，BN 的斜率成等差数列. 【证明】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (－m ，n )， 由性质⑶有y 1y 2＝－2pm ，则直线AN 、BN 的斜率为k AN ＝y 1－n x 1＋m ，k BN ＝y 2－nx 2＋m∴k AN ＋k BN ＝y 1－n y 212p ＋m ＋y 2－ny 222p＋m＝2p (y 1－n )y 21＋2pm ＋2p (y 2－n )y 22＋2pm ＝2p (y 1－n )y 21－y 1y 2＋2p (y 1－n )y 22－y 1y 2＝2p [y 2(y 1－n )－y 1(y 2－n )]y 1y 2(y 1－y 2)＝2pn (y 1－y 2)y 1y 2(y 1－y 2)＝2pn y 1y 2＝2pn －2pm ＝－n m又∵直线MN 的斜率为k MN ＝n －0－m －m ＝－n2m. ∴k AN ＋k BN ＝2k MN∴直线AN ，MN ，BN 的斜率成等差数列.★⑻抛物线的一组平行弦的中点共线，且所在直线平行于对称轴或与对称轴重合.【证明】设斜率为k （k 为常数）的一组平行线与抛物线y 2＝2px （p ＞0）交于点A i 、B i （i ＝1，2，…），弦A i B i 的中点为M i ，（即M 1，M 2，…，M n ），且A i B i 的直线方程为y ＝kx ＋b i （b i 为直线A i B i 在y 轴上的截距），A i (x 1，y 1)，B i (x 2，y 2)，M i (x i ，y i ).联立方程组⎩⎨⎧y 2＝2pxy ＝kx ＋b i，消去x 得k2p y 2－y ＋b i ＝0(－∴y 1＋y 2＝2pk，又M i 是A i B i 的中点∴y i ＝y 1＋y 22＝p k ，则M 1，M 2，…，M n 在平行于x 轴的直线y ＝pk上. 当直线A i B i 与x 轴垂直（即直线A i B i 的斜率不存在时），易知M 1，M 2，…，M n 在x 轴上. 【例13】（2009年陕西卷理20文21）已知抛物线C ：y ＝2x 2，直线y ＝kx ＋2交C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ． ⑴证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行； 【证明】如图34，设A (x 1，2x 21)，B (x 1，2x 22)，把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2得2x 2－kx －2＝0， 由韦达定理得x 1＋x 2＝k2，x 1x 2＝－1，∴x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k4，即N 点的坐标为(k 4，k 28) 设抛物线在点N 处的切线l 的方程为y －k 28＝m (x －k4)，将y ＝2x 2代入上式得2x 2－mx ＋mk 4－k 28＝0，∵直线l 与抛物线C 相切， ∴∆＝m 2－8(mk 4－k 28)＝0，解得m ＝k ，即l ∥AB .【说明】其实，也就是与AB 平行的弦，它们的中点在过AB 中点且与对称轴（x 轴）平行的直线上，它与C 的交点N ，此时的切点就是这些弦的缩点，故过N 点的抛物线C 的切线与AB 平行. ★⑼过定点P (x 0，y 0)作任一直线l 与抛物线y 2＝2px （p ＞0）相交于A 、B 两点，过A 、B 两点作抛物线的切线l 1、l 2，设l 1，l 2相交于点Q ，则点Q 在定直线px －y 0y ＋px 0＝0上. 【证明】设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，因为过点P 与x 轴平行的直线与抛物线只有一个交点，所以直线AB 与x 轴不平行，故可设AB 的方程为x －x 0＝m (y －y 0).联立方程组⎩⎨⎧y 2＝2px x －x 0＝m (y －y 0)，消去x 得12py 2－my ＋my 0－x 0＝0 ∴y 1y 2＝2p (my 0－x 0)又过A 、B 两点的抛物线的切线方程为y 1y ＝p (x ＋x 1)和y 2y ＝p (x ＋x 2)，联立方程组⎩⎨⎧y 1y ＝p (x ＋x 1)y 2y ＝p (x ＋x 2)解得图34x Q ＝x 1y 2－x 2y 1y 1－y 2＝－ y 212p ·y 2－y 222p ·y 1 y 1－y 2＝y 1y 22p ＝my 0－x 0 ······ ①y Q ＝p ·x 1－x 2y 1－y 2＝pm ···················· ②由②得m ＝y Qp 代入①得x Q ＝y Q py 0－x 0，∴点Q 在直线px －y 0y ＋px 0＝0上.【例14】（2007年重庆文科高考题）如图36，对每个正整数 n ，A n (x n ，y n )是抛物线x 2＝4y 上的点，过焦点F 的直线FA n 交抛物线于另一点B n (s n ，t n ). ⑴试证：x n s n ＝－4（n ≥1）；⑵取x n ＝2n，并记C n 为抛物线上分别以A n 与B n 为切点的两条切线的交点.试证：| FC 1 |＋| FC 2 |＋…＋| FC n |＝2n －2－n ＋1＋1.【说明】本题第⑴小题就是抛物线的焦点弦的性质y 1y 2=－p 2.第⑵小题两条切线的交点C n 就是上面抛物线的性质，即点C n 必在直线y ＝－1上.【例15】（2008年山东理科高考）如图，设抛物线方程为x 2＝2py（p ＞0），M 为 直线y ＝－2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .⑴求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；⑵⑶略.【证明】由题意设A (x 1，x 212p )，B (x 2，x 222p )，x 1＜x 2，M (x 0，－2p )由x 2＝2py 得y ＝x 22p ，y ＝x p所以，k MA ＝x 1p ，k MB ＝x 2p，因此直线MA 的方程为y ＋2p ＝x 1p (x －x 0)，直线MB 的方程为y ＋2p ＝x 2p(x －x 0)，所以，x 212p ＋2p ＝x 1p (x 1－x 0)…………①，x 222p ＋2p ＝x 2p(x 2－x 0)…………②， ①－②得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)2p ＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)p －x 0(x 1－x 2)p∴x 1＋x 22＝x 1＋x 2－x 0，即2x 0＝x 1＋x 2所以A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列.图37★⑽过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，则| AB || FM |＝2.【证明】设过焦点F (p 2，0)的直线AB 的方程为x ＝my ＋p2（m ≠0），且A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 把x ＝my ＋p2代入y 2＝2px ，得y 2＝2pmy ＋p 2， 即y 2－2pmy －p 2＝0∴y 1＋y 2＝2pm ，y 1·y 2＝－p 2∴x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋p ＝2pm 2＋p ， ∴AB 的中点N 的坐标为(pm 2＋p2，pm )AB 的垂直平分线方程为y －pm ＝－m (x －pm 2－p2)令y ＝0，得M 的横坐标为x ＝pm 2＋3p 2∴| FM |＝| x M －p2 |＝pm 2＋p ＝p (m 2＋1)，又| AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p (m 2＋1).∴| AB || FM |＝2p (m 2＋1)p (m 2＋1)＝2 【证法二】设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，过A 、B 分别作准线的垂线，垂足分别为C 、D ，则C (－p2，y 1)、D (－p 2，y 2)，则CD 的中点E 的坐标为(－p 2，y 1＋y 22)，由证法一知y 1＋y 2＝2pm ，∴E (－p2，pm )，所以k EF ＝pm－p 2－p2＝－m 又k AB ＝1m ，所以k AB ·k EF ＝(－m )·1m＝－1∴EF ⊥AB ，又MN ⊥AB ，所以EF ∥MN又EN ∥x 轴，所以四边形EFMN 为平行四边形 ∴| FM |＝| EN |＝12(| AC |＋| B D |)＝12| AB |所以| AB || FM |＝2★⑾P 是过抛物线y 2＝2px （p ＞0）上的一定点，过P 作与x 轴平行的直线m ，过OP 的直线为n ，直线l ⊥x 轴，l 与m 、n 分别相交于A 、B 两点，则AB 的中点M 在点P 处的切线. 【证明】设P (t 22p，t )，则m 的方程为y ＝t ，直线n （即OP ）的方程为y ＝2ptx ，设直线l 的方程为x ＝s （s ≠t 22p），那么A 的坐标为(s ，t )，B 的坐标为(s ，2pst)，AB 的中点M 的坐标为(t ，t ＋2pst2)，即(t ，2ps ＋t22t)又过点P (t 22p ，t )的抛物线的切线方程为yt ＝p (x ＋t 22p )∴y ＝p t (x ＋t 22p)当x ＝x M ＝s 时，y ＝p t (s ＋t 22p )＝ps t ＋t 2＝2ps ＋t 22t＝y M可见点M 在点P 处的切线n 上.★⑿点P (a ，0)（a ≠0）是抛物线y 2＝2px （p ＞0）的对称轴上的一点，过P 的直线l 与抛物线相交于两点A 、B ，A 关于x 轴的对称的点为A '，又点Q (－a ，0)，那么A '、B 、Q 三点共线. 【证明】设直线l 的方程为x ＝my ＋a ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则A '(x 1，－y 1)，联立方程组⎩⎨⎧y 2＝2pxx ＝my ＋a，消去x 得 y 22p－my －a ＝0，那么y 1 y 2＝－2pa ， 又QA '→＝(x 1＋a ，－y 1)，QB '→＝(x 2＋a ，y 2)， ∵(x 1＋a )y 2＋(x 2＋a )y 1＝(y 212p ＋a )y 2＋(y 222p＋a )y 1＝y 21y 22p ＋y 22y 12p ＋a (y 1＋y 2)＝y 1y 2(y 1＋y 2)2p ＋a (y 1＋y 2)＝(y 1＋y 2)(y 1y 22p ＋a )＝(y 1＋y 2)(－2pa 2p＋a )＝0 ∴QA '→∥QB '→ ∴Q 、A '、B 三点共线.【例16】给出一个抛物线，根据其性质，用尺规作图求出该抛物线的对称轴、顶点和焦点.2图a 图b【作法】1.任意作两条平行弦A1B1和A2B2；2.分别取A1B1和A2B2的中点M、N，过M、N作直线m；3.作直线CD⊥m，交抛物线于C、D；4.取CD的中点E；5.过E作直线l∥m，交抛物线于点O.则直线l为抛物线的对称轴，O为抛物线的顶点，如图a.6.过顶点O作两条互相垂直的弦OP、OQ；7.设PQ与对称轴l相交于点G；8.取OG的靠近O的四等分点F.则F为抛物线的焦点.【说明】1.根据性质⑻，平行弦的中点共线，且与对称轴平行；2.垂直于对称轴的弦CD的中点在对称轴上，故l为抛物线的对称轴；3.根据性质⑵得PQ过顶点(2p，0)，故F为抛物线的焦点.。
抛物线切点弦的性质以及和中点弦焦点弦的关系
抛物线切点弦的性质，中点弦，焦点弦的关系
过抛物线外任意一点P做抛物线的两条切线PA和PB，切点为点A和点B
称弦AB为点P对抛物线的切点弦。
性质一
如果点P在准线x=-p/2上，则切点弦AB恒过定点M（P/2,0），也就是恒过焦点F。
性质二
设弦AB的中点是Q，则直线PQ平行于抛物线的对称轴。
性质三
三角形PAB面积取最小值时，定点M是弦AB的中点。
推论，点P在准线上时，三角形PAB的面积的最小值为p^2
(1/2)*(p/2-(-p/2))*(2p)=p^2
第一步求切点弦所在直线AB的方程(x0+3)y=x+x0
第二步求恒过定点M的坐标
(x0+3)y+3=x+x0+3
(x0+3)(y−1)=x−3
恒过定点M（3,1）
第三步，因为三角形PAB面积取最小值时M点是切点弦的中点，
而切点弦的中点和P的连线又平行于抛物线的对称轴。
所以P点纵坐标为1，P点坐标为(-2,1)
第四步求三角形PAB的面积取最小值时，直线AB的方程。
(x0+3)(y−1)=x−3
也就是
(−2+3)(y−1)=x−3
也就是y=x-2
第五步求三角形PAB的面积
此时弦AB的弦长为2√10，P点到AB的距离为5√2/2，三角形PAB的面积为5√5。
高中数学抛物线中的定值、定点问题
抛物线中的定值、定点问题例1 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的一条直线和此抛物线交于),(11y x A ，),(22y x B 两点，求证：221p y y -=.【规范解答】证法一：因直线AB 过焦点)0,2(p F ，可设其方程为2p my x +=，代入px y 22= 得)2(22p my p y +=，即.0222=--p pmy y 该方程的两根就2p my x +=是两个交点B A ,的纵坐标21,y y ，由韦达定理：221p y y -=.证法二：因B A ,在抛物线上，故可设).,2(),,2(222121y py B y p y A 又)0,2(p F ，故),,22(121y p p y FA -=),,22(222y p p y FB -=因B F A ,,三点共线，所以 122221)22()22(y p p y y p p y ⋅-=⋅- 移项分解因式得：0))((21221=-+y y p y y ，其中,21y y ≠故221p y y -=.证法三：如图1，过点F B A ,,分别作准线的垂线，垂足为.,,111F B A 要证明221p y y -=，只要证明.211111F F F B F A =⋅ 21,1∠=∠∴=AA AF Θ；同理.43∠=∠而011180=∠+∠BF B AF A （A A 1∥B B 1），故01804321=∠+∠+∠+∠，所以.90310=∠+∠01190=∠FB A . 由直角三角形的性质得：.211111F F F B F A =⋅【回顾】（1）从解题方法来看，对于直线与圆锥曲线相交的问题，一般有“设线”（证法一）和“设点”（证法二）两种选择，但也可考虑通过定义用“几何方法”来解答（证法三）（特别是与焦点有关的问题）；（2）从解题细节来看，证法一选择设直线方程为2p my x +=而非)2(p x k y -=，为什么？首先，这样代入可消去x 直达目标221p y y -=，运算便捷；其次，本题中直线可能与y 轴平行而斜率不存在，但不可能与y 轴垂直，设2p my x +=省去了讨论的麻烦；证法二中用向量表达三点共线而没有使用斜率也有同样的考虑；（3）从知识内容来看，抛物线的方程和定义是解题的依据，韦达定理及三角形和向量的有关知识是解析几何的常用工具，而所证明的结论表明：对于抛物线而言，虽然过焦点的弦有无数条，但每一条焦点弦的两端到对称轴的距离之积总等于.2p “寓定于变”展示了几何图形的美妙和谐！借题发挥在证法一中若改变AB 直线的预设并在联立方程中消去y 后,观察21,x x 之积得： 变式1 条件同例1，则4221p x x ==定值。
椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题
椭圆中两直线斜率积(和)为 定值与定点问题
1. 掌握椭圆中常见斜率之积（和）为定值的结论和 常见图形；
2. 能证明斜率之积（和）为定值； 3．利用上述结论解决直线过定点问题； 4．加深对图形的理解，能够转化陌生问题．
例 1、已知 A，B，P 是椭圆xa22＋yb22＝1 上不同的三点，且 A，B 连线经过坐标原点，若 直线 PA，PB 的斜率乘积 kPA·kPB＝－23，则该椭圆离心率为________.
，B
点的横坐标为
2， 2k 2 1
同理，联立
y k (x 1)
x2 2
y2
1
，得
C
点横坐标为
2k
2
2k
2(k 2 2 1
1)
点
D
的横坐标为
2k
2
+ 2(k 2 2k 2 1
1)
设 A(x1, kx1), B(x2 , kx2 ),C(x3, k(1 x3)), D(x4, k(1 x4 )), 所以，直线 AC，BD 的斜率之和为
=
k
2(
2 2k 2 1
2(k 2k
2 2
1) ) 1
0
4k 2 2k 2 1
0
(x1 x3 )(x2 x4 )
所以直线 AC，BD 的斜率之和为 0（定值）
解法 2：设直线 AM：y k1(x 2) ， BN：y k2 (x 2) ，分别和椭圆联立得到
得到 (3
4k 2 )x2
8k 2x
4k 2
12
0 ，求得
x1
x2
8k 2 3 4k 2
,
x1x2
4k 2 3
12 4k 2
高中数学选择性必修第一册 抛物线的简单几何性质(第2课时)
1．涉及抛物线的弦长，弦的中点，弦所在的直线的斜率问题，注意韦达定 理的应用．过焦点的弦的问题，注意抛物线的定义的应用．
2．直线和抛物线的相交问题，一般常用“设而不求”的解题思想．
课后巩固
1．直线 2x－y－4＝0 与抛物线 y2＝6x 交于 A，B 两点，则线段 AB 的长度为
(B )
A．8
故所求动点 P 的轨迹方程为 y2＝4x(x≥0)或 y＝0(x＜0)．
(2)若动圆 M 与圆 C：(x－2)2＋y2＝1 外切，又与直线 x＋1＝0 相切，求动圆 圆心的轨迹方程．
【解析】 设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 R，由已知可得定圆圆心为 C(2， 0)，半径 r＝1.
因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1. 又动圆 M 与已知直的距离 d＝R. 所以|MC|＝d＋1. 即动点 M 到定点 C(2，0)的距离等于它到定直线 x＋2＝0 的距离． 由抛物线的定义可知，点 M 的轨迹是以 C 为焦点，x＝－2 为准线的抛物线， 且p2＝2，p＝4， 故动圆圆心 M 的轨迹方程为 y2＝8x.
285 B. 2
C.
305 2
D.
335 2
2．已知 AB 是过抛物线 y＝2x2 的焦点的弦，若|AB|＝4，则 AB 的中点的纵坐
标是( D )
A．1
B．2
5
15
C.8
D. 8
3．(2018·北京)已知直线 l 过点(1，0)且垂直于 x 轴，若 l 被抛物线 y2＝4ax 截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为__(_1_，_0_)__．
当二次项系数 A≠0 时，Δ＝B2－4AC.
若 Δ＜0，则直线与抛物线没有公共点； 若 Δ＝0，则直线与抛物线有且只有一个公共点； 若 Δ＞0，则直线与抛物线有两个不同的公共点．
微专题椭圆中两直线斜率积和为定值与定点问题
而 y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝4k22＋m 1.y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋
km(x1＋x2)＋m2＝m42k－2＋41k2.
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由题设 AM⊥AN，即A→M·A→N＝0. A→M·A→N＝(x1，y1－1)(x2，y2－1)＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝x1x2＋(y1－ 1)(y2－1)＝x1x2＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝44mk22＋－14＋m42k－2＋4k12－4k22＋m 1＋1＝0， 化简得 5m2－2m－3＝0，解得 m＝1(舍)，m＝－35.所以直线 MN 的方程 为 y＝kx－35，过定点????0，－35????.
9＋3
＝－190，即椭圆中过右顶点 B(3，0)的直线 BM，BN 斜率之积为定值－
190，因此，直线
MN
必过
x
轴上的定点
（ta 2＋b2） (1，0)．x＝ ta2－b2
·x0
＝????－－19019×0×9＋9－5????5×3＝1，y＝（－bta22－－tab22）·y0＝0.
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串讲 2 已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)，四点 P1(1，1)，P2(0，1)，
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如图，已知椭圆 E1 方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，圆 E2 方程为 x2＋y2 ＝a2，过椭圆的左顶点 A 作斜率为 k1 的直线 l1 与椭圆 E1 和圆 E2 分别相 交于 B，C.设 D 为圆 E2 上不同于 A 的一点，直线 AD 的斜率为 k2，当kk12 ＝ba22时，试问直线 BD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过 定点，请说明理由．
微专题22椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题答案
微专题221．答案：⎝⎛⎭⎫0，－35. 解析：由直线AM ，AN 分别和椭圆方程联立，即可求得M 坐标为⎝⎛⎭⎫－85，－35和N 坐标为⎝⎛⎭⎫85，－35，进而可求得MN 直线方程y ＝－35，然后求得MN 与y 轴交点的坐标⎝⎛⎭⎫0，－35. 2．答案：－9.解析：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，易得y M＝9bk 2＋9，从而k OM ·k ＝－9. 3．答案：()0，－2±23. 解析：设点P (x 0，y 0)，直线AP ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，易得k 1k 2＝y 0－1x 0·y 0＋1x 0＝y 02－1x 02＝－14.所以AP 的方程为y ＝k 1x ＋1，BP 的方程为y ＝k 2x －1＝－14k 1x －1，所以 M ⎝⎛⎭⎫－3k 1，－2，N (4k 1，－2)，则以MN 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋3k 1(x －4k 1)＋(y ＋2)2＝0.即x 2＋y 2＋⎝⎛⎭⎫3k 1－4k 1x ＋4y －8＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0x 2＋y 2＋4y －8＝0.所以MN 为直径的圆过定点 (0，－2±23)． 4．答案：x 225＋y 216＝1.解析：设动点M (x ，y )，由题意（x －3）2＋y 2⎪⎪⎪⎪253－x ＝35，化简得x 225＋y 216＝1，所以动点M 的轨迹方程是x 225＋y 216＝1. 5．答案：13.解析：设直线MA 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题直线MA 与MB 的斜率互为相反数，直线MB 的斜率为－k ，联立直线MA 与椭圆方程：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－32k x 236＋y 24＝1，整理得(9k 2＋1)x 2＋182k (1－3k )x ＋162k 2－108k －18＝0，得x 1＝182（3k 2－k ）9k 2＋1－32，所以x 2＝182（3k 2＋k ）9k 2＋1－32，整理得x 2－x 1＝362k 9k 2＋1，x 2＋x 1＝1082k 29k 2＋1－6 2.又y 2－y 1＝－kx 2＋2＋32k －(kx 2＋2－32k )＝－k (x 2＋x 1)＋62k . ＝－108k 39k 2＋1＋122k ＝122k 9k 2＋1，所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝122k9k 2＋1362k 9k 2＋1＝13为定值． 6．答案：直线BD 过定点(a ，0)．解法1由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x ＋a ），x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x 2－a 2a 2＋k 12（x ＋a ）2b2＝0，所以x ＝－a ，或x ＝a （b 2－k 12a 2）b 2＋a 2k 12，因为x B ≠－a ，所以x B ＝a （b 2－k 12a 2）b 2＋a 2k 12，则y B ＝k 1(x B ＋a )＝2ab 2k 1b 2＋a 2k 12.由⎩⎨⎧y ＝k 2（x ＋a ），x 2＋y 2＝a 2，得x 2－a 2＋k 22(x ＋a )2＝0，得x ＝－a ，或x ＝a （1－k 22）1＋k 22，同理，得x D ＝a （1－k 22）1＋k 22，y D ＝2ak 21＋k 22，当k 1k 2＝b 2a 2时，x B ＝a ⎝⎛⎭⎫b 2－b4a 2k 22b 2＋b 4a 2k 22＝a （a 2－b 2k 22）a 2＋b 2k 22，y B ＝2ab 2k 2a 2＋b 2k 22，k BD ＝2ab 2k 2a 2＋b 2k 22－2ak 21＋k 22a （a 2－b 2k 22）a 2＋b 2k 22－a （1－k 22）1＋k 22＝－1k 2，所以BD ⊥AD ，因为E 2为圆，所以∠ADB 所对圆E 2的弦为直径，从而直线BD 过定点(a ，0)．解法2直线BD 过定点(a ，0)，证明如下：设P (a ，0)，B (x B ，y B )，则x B 2a 2＋y B 2b 2＝1(a ＞b＞0)，k AD k PB ＝a 2b 2k 1k PB ＝a 2b 2·y B x B ＋a ·y B x B －a ＝a 2b 2·y B 2x B 2－a 2＝a 2b 2⎝⎛⎭⎫－b 2a 2＝－1，所以PB ⊥AD ，又PD ⊥AD .所以三点P ，B ，D 共线，即直线BD 过定点P (a ，0)．7．答案：直线MN 恒过定点，且坐标为⎝⎛⎭⎫0，－23. 解析：依题设，k 1≠k 2.设M (x M ，y M )，直线AB 的方程为y －1＝k 1(x －1)，即y ＝k 1x ＋(1－k 1)，亦即y ＝k 1x ＋k 2，代入椭圆方程并化简得(2＋3k 12)x 2＋6k 1k 2x ＋3k 22－6＝0.于是，x M ＝－3k 1k 22＋3k 12，y M ＝2k 22＋3k 12.同理，x N ＝－3k 1k 22＋3k 22，y N ＝2k 12＋3k 22.当k 1k 2≠0时，直线MN 的斜率k ＝y M －y N x M －x N ＝4＋6（k 22＋k 2k 1＋k 12）－9k 2k 1（k 2＋k 1）＝10－6k 2k 1－9k 2k 1.直线MN 的方程为y －2k 22＋3k 12＝10－6k 2k 1－9k 2k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －－3k 1k 22＋3k 12，即y ＝10－6k 2k 1－9k 2k 1x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫10－6k 2k 1－9k 2k 1·3k 1k 22＋3k 12＋2k 22＋3k 12， 亦即y ＝10－6k 2k 1－9k 2k 1x －23.此时直线过定点⎝⎛⎭⎫0，－23.当k 1k 2＝0时，直线MN 即为y 轴，此时亦过点⎝⎛⎭⎫0，－23.综上，直线MN 恒过定点，且坐标为⎝⎛⎭⎫0，－23. 8．答案：(1)椭圆C 的标准方程为x 26＋y 22＝1.(2)在x 轴上存在定点E ⎝⎛⎭⎫73，0使得EA →2＋EA →·AB →为定值，且定值为－59. 解析：(1)由e ＝63，得c a ＝63，即c ＝63a ，①.又以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为x 2＋y 2＝a 2，且该圆与直线2x －2y ＋6＝0相切，所以a ＝|6|22＋（－2）2＝6，代入①得c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1， 所以椭圆C 的标准方程为x 26＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，y ＝k （x －2），得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝12k 21＋3k 2，x 1x 2＝12k 2－61＋3k 2.根据题意，假设x 轴上存在定点E (m ，0)，使得EA →2＋EA →·AB →＝(EA →＋AB →)·EA →＝EA →·EB →为定值，则EA →·EB →＝(x 1－m ，y 1)·(x 2－m ，y 2)＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2－(2k 2＋m )(x 1＋x 2)＋(4k 2＋m 2)＝（3m 2－12m ＋10）k 2＋（m 2－6）1＋3k 2，要使上式为定值，即与k 无关，只需3m 2－12m ＋10＝3(m 2－6)，解得m ＝73，此时，EA →2＋EA →·AB →＝m 2－6＝－59，所以在x 轴上存在定点E ⎝⎛⎭⎫73，0使得EA →2＋EA →·AB →为定值，且定值为－59.。
一类相关弦过定点的探索
ｘ１ ＋ｘ２ ＝２ａｂｂ２２＋－ａ２２ｋｋａ２２ ｍ ，ｘ１ｘ２ ＝ｂ２ａ＋２ ｍａ２２ｋ２ ． （＊）
（１）当α＋β＝２π，则ｙ１ｙ２ －ｘ１ｘ２ ＝０，可得 （ｋ２ －１）ｘ１ｘ２ ＋ｋｍ（ｘ１ ＋ｘ２ ）＋ｍ２ ＝０，
把式（＊）代入可得 ｍ＝２ａｃｂ ２２ｋ，所 以 直 线 ＡＢ 的 方 程
可表示为
ｙ＝ｋｘ＋２ａｃｂ ２２ｋ＝ｋ（ｘ＋２ｃａ ｂ２ ２ ）． 即直线 ＡＢ 恒过定点（－２ｃａ ｂ２ ２ ，０）．
（２）当α＋β≠２π 时 ，由α＋β＝θ 可 得
ｔａｎθ＝ｔａｎ（α＋β）＝１ｔａ－ｎｔαａｎ＋αｔｔａａｎｎββ＝
ｘ２ｙ１ ｘ１ｘ２
＋ｘ１ｙ２ －ｙ１ｙ２
＝２ｋｘ１ｘｘ１２ｘ＋２ －ｍｙ（ｘ１ｙ１ ２＋ｘ２
α＋β＝θ（定 值），则 （１）当α＋β＝２π 时，则 直 线 ＡＢ 过
定 点 （０，－２ｐ）．
（２）当α＋β≠２π 时，则 直 线 ＡＢ 过 定 点 （ｔａ２ｎｐθ，－
２ｐ）． 推论１３ 若 抛 物 线 的 方 程 为 ｘ２ ＝ －２ｐｙ，过 顶
点 Ｏ（０，０）的 ２ 条弦ＯＡ 和ＯＢ 的倾斜角分别为α，β
推论７ 若 双 曲 线 的 方 程 为ａｘ２２ －ｂｙ２２ ＝１，过 右 顶
点（ａ，０）且在双曲线右支上的 ２ 条弦ＰＡ 和ＰＢ 的倾
斜 角 分 别 为α，β 且α＋β＝θ（定 值 ），则 （１）当α＋β＝２π 时，则直线 ＡＢ 过定点（２ｃａ ｂ２ ２ ＋ａ，０）．