3.2导数的计算学案1
人教版高中数学1-1选修3.2导数的计算教案
导数的计算【知识要点】一．导数概念：(1)平均变化率：对于函数y ＝f (x )，定义1212)()(x x x f x f --为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率．换言之，如果自变量x 在x 0处有增量∆x ，那么函数f (x )相应地有增量f (x 0＋∆x )－f (x 0)，则比值xx f x x f ∆-∆+)()(00就叫做函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋∆x 之间的平均变化率． (2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)，即x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0000. (3)函数y ＝f (x )的导函数(导数)：当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，我们称它为函数y ＝f (x )的导函数(简称导数)，即xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0.二 ．导数的几何意义：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f '(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f '(x 0)．三．导数的运算：(1)几种常见函数的导数：①(C )′＝0(C 为常数)；②(x n )′＝nx n －1(x ＞0，n ∈Q *)；③(sin x )′＝cos x ；④(cos x )′＝－sin x ；⑤(e x )′＝e x ；⑥(a x )′＝a x ln a (a ＞0，且a ≠1)； ⑦xx 1)(ln =； ⑧e x x a a log 1)(log =(a ＞0，且a ≠1)． (2)导数的运算法则：①[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )；②[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )； ③)0)(()()()()()(])()([2=/'-'='⋅x v x v x v x u x v x u x v x u .(3)简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b ))的导数：设函数y ＝f (u )，u ＝g (x )，则函数y ＝f (u )＝f [g (x )]称为复合函数．其求导步骤是：x y '＝u f '·x g '，其中u f '表示f 对u 求导，x g '表示g 对x 求导．f 对u 求导后应把u 换成g (x )．【典型例题】例1 求曲线122+=x x y 在点)1,1(处的切线方程. 回顾导数的几何意义:函数)(x f y =在0x 处的导数就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率. 解: 略例2 曲线运动方程为2221t tt s +-=,求3=t 时的速度. 回顾导数的物理意义:瞬时速度是位移函数)(t s 对时间t 的导数:)(')(t s t v =.解: 略例3已知抛物线c bx ax y ++=2通过点)1,1(,且在点)1,2(-处与直线3-=x y 相切,求c b a ,,的值.【随堂练习】1 求下列函数的导数：(1)y ＝(x ＋1)(x 2－1)； (2)11+-=x x y ；(3)y ＝sin2x ； (4)y ＝e x ·ln x ．2．求下列函数的导数：(1)y ＝x －e x ；(2)y ＝x 3＋cos x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (4)⋅=x x y ln3．(tan x )′等于( ) (A)x 2sin 1 (B)x 2sin 1- (C)x 2cos 1 (D)x2cos 1-4．设f (x )＝x ln x ，若f '(x 0)＝2，则x 0等于( )(A)e 2(B)e (C)22ln (D)ln25．f '(x )是1231)(3++=x x x f 的导函数，则f '(－1)＝______．6．若函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝x ＋2，则f (1)＋f '(1)＝______．7．过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为______；切线的斜率为______．8．设函数f (x )＝xe kx (k ≠0)，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是______．9设函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a ≠0)为奇函数，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线x －6y －7＝0垂直，导函数f '(x )的最小值为－12．求a ，b ，c 的值．10．曲线x y 21e在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) (A)2e 29 (B)4e 2 (C)2e 2 (D)e 2 6 (1)求曲线y ＝x 2在点(1，1)处的切线方程.(2)过点(1，－3)作曲线y ＝x 2的切线，求切线的方程．10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (1，1)，B (2，－1)，且该曲线在点B 处的切线方程为y ＝x －3，求a 、b 、c 的值。
高中数学 3.2 导数的计算教案 选修1-1
3.2导数的计算3．2.1 几个常用函数的导数3．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)熟练掌握基本初等函数的导数公式；(2)掌握导数的四则运算法则．2．过程与方法能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．3．情感、态度与价值观通过学习本节课，培养学生对问题的认知能力．由于利用定义求函数的导数非常复杂，本节课直接给出了几个基本初等函数的导数公式表和导数的运算法则．学生不用推导而直接去求一些简单函数的导数，认识事物之间的普遍联系，达到学有所用，在训练中也有加深了学生对学习数学的兴趣，激发学生将所学知识应用于实际的求知欲，培养浓厚的学习兴趣．●重点、难点重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则．难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用．(教师用书独具)●教学建议本节内容是应用导数公式和四则运算法则解决求导数问题，记住公式和法则是应用的前提，通过出示不同类型的例题与习题，进行反复的训练与强化是突破重点、难点的关键．●教学流程创设问题情境，引出问题：有没有更简洁的求导方法？⇒引导学生通过导数的定义推导出几个常用函数的导数公式.⇒通过引导学生回答所提问题导出导数的运算法则.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握用求导公式求初等函数的导数.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握用求导公式和导数的运算法则求导.⇒复习回顾导数的几何意义，完成例3及其变式训练，解决导数的应用问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第52页)课标解读1.了解导数公式的推导过程、理解导数的四则运算法则．(难点)2．掌握几种常见函数的导数公式．(重点) 3．能够运用导数公式和求导法则进行求导运算．(重点)基本初等函数的导数公式【问题导思】1．用导数的定义求导数的步骤是怎样的？ 【提示】 ①求函数值的变化量； ②求平均变化率； ③取极值，得导数．2．我们发现，用导数的定义求导数很复杂，能不能总结出常用函数的求导公式呢？ 【提示】 能．基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝α·x α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos xf ′(x )＝－sin_x续表原函数导函数f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a (a >0且a ≠1)f (x )＝e x f ′(x )＝e xf (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln a(a >0且a ≠1)f (x )＝ln xf ′(x )＝1x导数的运算法则一个函数可以求其导数，那么两个函数加、减、乘、除能求导吗？【提示】 能．设两个函数f (x )，g (x )可导，则 和的导数 [f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )差的导数 [f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )积的导数 [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )商的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0) (对应学生用书第53页)用求导公式求函数的导数求下列函数的导数 (1)y ＝x 8(2)y ＝1x4 (3)y ＝3x(4)y ＝2x(5)y ＝log 2x (6)y ＝cos x【思路探究】 (1)以上函数分别是什么类型的函数？ (2)这种函数的求导公式是怎样的？ 【自主解答】 (1)y ′＝(x 8)′＝8x8－1＝8x 7.(2)y ′＝(1x4)′＝(x －4)′＝－4x －5.(3)y ′＝(3x )′＝(x 13)′＝13x 13－1＝13x －23.(4)y ′＝(2x)′＝2xln 2. (5)y ′＝(log 2x )′＝1x ln 2. (6)y ′＝(cos x )′＝－sin x .1．基本初等函数的求导公式是求导数基本依据，一定要记清形式，学会使用公式求导． 2．对于形如y ＝1xp ，y ＝nx 的函数一般先转化为幂函数的形式，再用幂函数的求导公式求导．3．要区分指数函数、对数函数的求导公式，以免在运用时混淆． 求下列函数的导数； (1)y ＝10；(2)y ＝x 10；(3)y ＝3x 2；(4)y ＝13x2；(5)y ＝3x；(6)y ＝log 3x . 【解】 (1)y ′＝(10)′＝0 (2)y ′＝(x 10)′＝10x10－1＝10x 9.(3)y ′＝(x 23)′＝23x 23－1＝23x －13＝233x.(4)y ′＝(x －23)′＝－23x －23－1＝－23x －53＝－233x 5.(5)y ′＝(3x)′＝3xln 3. (6)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.用求导公式和导数运算法则求导求下列函数的导数：(1)f (x )＝(x ＋2)(x －3)；(2)f (x )＝lg x －3x； (3)f (x )＝11－x ＋11＋x ；(4)f (x )＝sin x1＋sin x .【思路探究】【自主解答】 (1)∵f (x )＝x 2－x －6， ∴f ′(x )＝(x 2－x －6)′＝2x －1. (2)f ′(x )＝(lg x )′－(3x)′＝1x ·ln 10－3xln 3.(3)y ＝11－x ＋11＋x ＝1＋x ＋1－x1－x 1＋x ＝21－x， ∴y ′＝(21－x )′＝－21－x ′1－x 2＝21－x 2.(4)∵f (x )＝sin x 1＋sin x ＝1－11＋sin x ，∴f ′(x )＝1′－(11＋sin x )′＝－－1＋sin x ′1＋sin x2＝cos x 1＋sin x2.1．应用导数运算法则求函数的导数的技巧：(1)求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，又可少出错．(2)利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导．(3)在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，再求导．2．应用导数运算法则求函数的导数的原则：结合函数解析式的特点先进行恒等变形，把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、乘、除运算，再套运算法则．求下列函数的导数：(1)y ＝x 5－3x 3－5x 2＋6； (2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)； (3)y ＝x －1x ＋1； (4)y ＝－sin x 2(1－2cos 2x 4)． 【解】 (1)y ′＝(x 5－3x 3－5x 2＋6)′ ＝(x 5)′－(3x 3)′－(5x 2)′＋6′ ＝5x 4－9x 2－10x .(2)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －2)＋(2x 2＋3)(3x －2)′ ＝4x (3x －2)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－8x ＋9.法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －2)＝6x 3－4x 2＋9x －6， ∴y ′＝18x 2－8x ＋9. (3)法一 y ′＝(x －1x ＋1)′＝x －1′x ＋1－x －1x ＋1′x ＋12＝x ＋1－x －1x ＋12＝2x ＋12.法二 ∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴y ′＝(1－2x ＋1)′＝(－2x ＋1)′ ＝－2′x ＋1－2x ＋1′x ＋12＝2x ＋12.(4)y ＝－sin x 2(1－2cos 2x 4)＝－sin x 2(－cos x 2)＝12sin x ，y ′＝(12sin x )′＝12(sin x )′＝12cos x .导数的应用在抛物线y ＝－x 2上求一点，使之到直线4x ＋3y －8＝0的距离最小． 【思路探究】 (1)平行于直线4x ＋3y －8＝0且与抛物线相切的直线与抛物线y ＝－x 2的切点是否满足题意？(2)该切点的坐标如何求出？【自主解答】 如图所示，由题意知作与4x ＋3y －8＝0平行的直线l ，当l 与y ＝－x 2相切时，切点P 到直线4x ＋3y －8＝0的距离最小．设切点为(x 0，－x 20)，又y ′＝(－x 2)′＝－2x ， ∴－2x 0＝－43，∴x 0＝23，y 0＝－x 20＝－49，∴点P (23，－49)，即抛物线y ＝－x 2上的点(23，－49)到直线的距离最小．利用导数的四则运算法则和基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义，可以求解一些与距离、面积有关的几何问题，解题的关键是正确运用曲线的切线．已知点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上一点，求点P 到直线y ＝x －2的最小距离． 【解】 过p 作y ＝x －2的平行直线，且与曲线y ＝x 2－ln x 相切，设P (x 0，x 20－ln x 0)，则k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12(舍去)，∴p 的坐标为(1,1)，∴d min ＝|1－1－2|1＋1＝ 2. (对应学生用书第54页) 因公式记忆不准确致误求函数y ＝sin x －cos x 的导数．【错解】 y ′＝(sin x )′－(cos x )′＝cos x －sin x 【错因分析】 (cos x )′＝－sin x ，错解中因漏掉负号致误．【防范措施】 应熟记基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，以防因记忆不牢而致误．【正解】 y ′＝(sin x )′－(cos x )′＝cos x ＋sin x .本堂课的主要内容是利用基本初等函数的求导公式和导数的运算法则求导数的运算．在运算中，熟记有关的求导公式是关键，但对运算法则更应熟练掌握，特别是对商的运算，应与积的运算予以区别记忆，同时也要注意它们之间的联系.(对应学生用书第54页)1．已知函数f (x )＝1x，则f ′(－3)等于( )A ．4 B.19 C ．－14 D ．－19【解析】 ∵(1x )′＝－1x2，∴f ′(－3)＝－1－32＝－19. 【答案】 D2．下列各式中正确的是( ) A ．(ln x )′＝x B ．(cos x )′＝sin x C ．(sin x )′＝cos xD ．(x －5)′＝－15x －6【解析】 ∵(ln x )′＝1x ，(cos x )′＝－sin x ，(x －5)′＝－5x －5－1＝－5x6，∴A 、B 、D 均不正确；C 正确．【答案】 C3．下列求导正确的是( ) A ．(x ＋1x )′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x ＋ln 3)′＝3x·ln 3＋13D ．(x 2cos x )′＝－2x sin x【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1－1x2，A 不正确．(3x ＋ln 3)′＝(3x )′＋(ln 3)′＝3xln 3，C 不正确． (x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，D 不正确． 【答案】 B 4．求曲线y ＝xx －2在点(1，－1)处的切线方程．【解】 y ′＝(xx －2)′＝－2x －22.∴k ＝y ′|x ＝1＝－2∴切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即2x ＋y －1＝0.(对应学生用书第107页)一、选择题1．(2013·普宁高二检测)设函数f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 2【解析】 ∵f ′(x )＝ln x ＋1，∴f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2. ∴ln x 0＝1，x 0＝e. 【答案】 B2．(2013·广元高二检测)曲线y ＝x e x＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －3＝0 B ．3x －y ＋1＝0 C ．3x ＋y －1＝0D ．x －3y ＋3＝0【解析】 y ′＝e x＋x e x＋2，∴y ′|x ＝0＝3＝k .∴曲线在点(0,1)处的切线方程为y －1＝3x ，即3x －y ＋1＝0. 【答案】 B3．设曲线y ＝ax 2在(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B.12 C ．－12D ．－1【解析】 y ′＝2ax ，∴在点(1，a )处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝2a . 由题意可得2a ＝2，∴a ＝1.故选A. 【答案】 A4．函数y ＝x1－cos x 的导数是( ) A.1－cos x －sin x 1－cos x B.1－cos x －x sin x1－cos x 2C.1－cos x －sin x 1－cos x 2 D.1－cos x ＋x sin x1－cos x2【解析】 y ′＝x ′1－cos x －x 1－cos x ′1－cos x 2＝1－cos x －x sin x1－cos x2. 【答案】 B5．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]【解析】 f ′(x )＝x 2sin θ＋3x cos θ， ∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin(θ＋π3)，∵θ∈[0，5π12]，∴sin(θ＋π3)∈[22，1]，∴f ′(1)∈[2，2]． 【答案】 D二、填空题6．设函数f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，∴f ′(1)＝3×12－4×1＋1＝0. 【答案】 07．(2013·张家港高二检测)设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )，(a ，b ，c 是两两不等的常数)，则af ′a＋bf ′b＋cf ′c＝________.【解析】 ∵f ′(x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )，代入即得a f ′a＋b f ′b ＋cf ′c＝a a －ba －c＋b b －cb －a＋c c －ac －b＝－a b －c －b c －a －c a －ba －b b －c c －a＝－ab ＋ac －bc ＋ab －ac ＋bca －b b －c c －a ＝0.【答案】 08．(2013·重庆高二检测)设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．【解析】 ∵f ′(1)＝n ＋1，∴y ＝x n ＋1在点(1,1)处的切线方程为y ＝(n ＋1)(x －1)＋1.令y ＝0，得x n ＝nn ＋1，∴a n ＝lg n －lg(n ＋1)，∴a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg 1－lg 100＝－2. 【答案】 －2 三、解答题9．求下列函数的导数． (1)y ＝x －sin x 2·cos x2；(2)y ＝1x·cos x .【解】 (1)∵y ＝x －sin x 2·cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x .(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·cos x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′cos x ＋1x(cos x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12′cos x －1x sin x ＝－12x －32cos x －1x sin x＝－cos x 2x 3－1x sin x ＝－cos x ＋2x sin x2x x . 10．已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，求a ，b 的值．【解】 (1)f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x x ＋12－bx2.由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝1，f ′1＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.所以a ＝1，b ＝1.11．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)求证曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【解】 (1)7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)【证明】 设点P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2可知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)，即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)．令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0·|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 围成的三角形的面积为定值，此定值为6.(教师用书独具)设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 011(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x【解析】 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )，f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4.∴f 2 011(x )＝f 3(x )＝－cos x .【答案】 D已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n∈N *，n ≥2)，则f 1(π2)＋f 2(π2)＋…＋f 2 011(π2)＝________. 【解析】 f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )．又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1(π2)＋f 2(π2)＋…＋f 2 011(π2) ＝f 1(π2)＋f 2(π2)＋f 3(π2)＝－f 4(π2) ＝cos π2－sin π2＝－1. 【答案】 －1。
2022-2021年《金版学案》数学·选修1-1(人教A版)习题：3.2导数的计算
第三章 导数及其应用 3.2 导数的计算A 级 基础巩固 一、选择题 1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6′＝cos π6；③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；④⎝⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x.其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：(cos x )′＝－sin x ，所以①错误；sin π6＝12，而⎝ ⎛⎭⎪⎫12′＝0，所以②错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝0－（x 2）′x 4＝－2x x 4＝－2x －3，所以③错误；⎝⎛⎭⎪⎫－1x ′＝0－（x 12）′x ＝12x －12x ＝12x －32＝12x x ，所以④正确． 答案：B2．f (x )＝x 3，f ′(x 0)＝6，则x 0等于( ) A. 2 B ．－ 2 C ．± 2 D ．±1解析：f ′(x )＝3x 2，由f ′(x 0)＝6，知3x 20＝6，所以 x 0＝±2. 答案：C3．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x （x ＋3）2B.x 2＋6x x ＋3C.－2x （x ＋3）2D.3x 2＋6x （x ＋3）2解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2x ＋3′＝（x 2）′（x ＋3）－x 2·（x ＋3）′（x ＋3）2＝ 2x （x ＋3）－x 2（x ＋3）2＝x 2＋6x（x ＋3）2. 答案：A4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2 D.e 22解析：由于y ＝e x ，所以 y ′＝e x ，所以 y ′|x ＝2＝e 2＝k ，所以 切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2.在切线方程中，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝1，所以 S 三角形＝12×|－e 2|×1＝e 22.答案：D5．若f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 013(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x解析：由于f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ，所以循环周期为4，因此f2 013(x)＝f1(x)＝cos x.答案：C二、填空题6．已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于直线3x－y ＝0，则点P的坐标为________．解析：设点P的坐标为(x0，y0)，由于f′(x)＝4x3－1，所以4x30－1＝3，所以x0＝1.所以y0＝14－1＝0，所以即得P(1，0)．答案：(1，0)7．已知f(x)＝13x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝________．解析：由于f′(0)是一常数，所以f′(x)＝x2＋3f′(0)，令x＝0，则f′(0)＝0，所以f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.答案：18．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程是____________________．解析：y′＝3x2＋6x＋6＝3[(x＋1)2＋1]，所以当x＝－1时，y′取最小值3.此时切点坐标为(－1，－14)．所以切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.答案：3x－y－11＝0三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝(x－2)2；(3)y＝x－sinx2cosx2.解：(1)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9.法二：由于y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3，所以y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.(2)由于y＝(x－2)2＝x－4x＋4，所以y′＝x′－(4x)′＋4′＝1－4×12x－12＝1－2x－12.(3)由于y＝x－sinx2cosx2＝x－12sin x，所以y′＝x′－⎝⎛⎭⎪⎫12sin x′＝1－12cos x.10．已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0，16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程．解：设切点为(x0，y0)．则由导数定义得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x20－3，所以切线方程为y＝(3x20－3)x＋16，又切点(x0，y0)在切线上，所以y0＝3(x20－1)x0＋16，即x30－3x0＝3(x20－1)x0＋16，解得x0＝－2，所以切线方程为9x－y＋16＝0.B 级 力量提升1．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)解析：y ′＝－4e x （e x ＋1）2＝－4e xe 2x ＋2e x＋1， 设t ＝e x∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t＋2，由于t ＋1t ≥2，所以 y ′∈[－1，0)，α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案：D2．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x 的最小距离为________． 解析：依据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图，则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即＝1.由于y ′＝(e x)′＝e x，所以 e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0，1)．利用点到直线的距离公式得距离为22.答案：223．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任意一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解：f ′(x )＝a ＋bx2.由于点(2，f (2))在切线7x －4y －12＝0上， 所以 f (2)＝2×7－124＝12.又曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0， 所以 ⎩⎪⎨⎪⎧f ′（2）＝74，f （2）＝12，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b 4＝74，2a －b 2＝12，⇒⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.所以 f (x )的解析式为f (x )＝x －3x.(2)证明：设⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0－3x 0为曲线y ＝f (x )上任意一点，则切线斜率k ＝1＋3x 20，切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，令x ＝0，得y ＝－6x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20（x －x 0），y ＝x得⎩⎨⎧x ＝2x 0，y ＝2x 0.所以 曲线y ＝f (x )上任意一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12|2x 0||－6x 0|＝6，为定值．。
高中数学《导数的计算》学案1 新人教A版选修
高中数学《导数的计算》学案1 新人教A版选修3、2 导数的计算【成功细节】张玥谈导数的计算的方法（xx年，北京文9)已知是的导函数，则的值是＿＿＿＿、本节内容公式和法则比较多，以公式的推导、记忆以及应用为主，重点是基本初等函数导数公式以及导数的四则运算法则的灵活运用，公式的形式多样，容易引起混淆，并且公式中往往会有一些条件容易忽略，导致遗漏错误、所以在学习时，我认为应注意以下几个方面：（1）要牢记常数函数和幂函数的求导公式，能用定义法求这些函数的导数的方法，注意四种常见函数实际上就是四种特殊的幂函数；（2）要熟记基本初等函数的导数公式，特别是对数函数和指数函数的导函数的形式，；（3）熟练掌握导数的四则运算法则，注意公式的形式以及前提条件，两个函数的和与差的导数与两个函数积的导数的形式是不同的；（4）和（或差）、积的函数的导数运算法则可以推广到两个以上函数的和（差）、积的求导；（5）在求函数的导数时，一定要先化简函数的表达式，尽量不使用积的函数的导数的法则；（6）若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导。
如，这个题主要考查基本初等函数的导数公式以及函数和的导数的计算法则，是一个简单的小题，但计算时要细心，可先求出导函数，然后再求导数值，显然有公式可得，，所以、【高效预习】（核心栏目）“要养成学生阅读书籍的习惯就非教他们预习不可”。
叶圣陶【关注、思考】1、阅读课本第8182页，总结四个常用函数的导数公式，认真阅读导数公式的推导过程，这四个常用函数有什么共同的特征，其导数有什么意义？细节提示：利用导数的定义求解四种函数的导数，对照函数图象，把握住导数的物理意义和几何意义；四种常用函数实际上都是幂函数，探讨规律时，应把导函数的系数与幂指数与原函数进行对比、【领会、感悟】1、这四种函数实质上都是特殊的幂函数，它们的导函数的系数为幂函数的指数，指数为幂函数的指数减去1所的数值；函数的导数的几何意义是函数图象在该点处的切线的斜率【领会感悟】2、基本初等函数的导数公式是我们求解函数导数的基础，要记准确，记牢，才可能在运算过程中不出现错误。
3.2导数的计算(教学设计)
3．2．2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（导学案）教学目标：知识与技能目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则过程与方法目标：能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．情感、态度与价值观目标：通过学习本节课，培养学生对问题的认知能力，由于利用定义求函数的导数非常复杂，本节课直接给出了八个基 本初等函数的导数公式表和导数的运算法则，学生不用推导而直接去求一些简单函数的导数，认识事物之间的普遍联系，达到学有所用，在训练中也加深了学生对学习数学的兴趣，激发学生将所学知识应用于实际的求知欲，培养浓厚的学习兴趣。
教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用学习过程：一．复习回顾，创设情景四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y=的导数公式及应用二．师生互动，新课讲解（一）可以直接使用的基本初等函数的导数公式表（2）推论：[]''()()cf x cf x =（常熟与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 三、公式的初步应用，求下列函数的导数和该点处的导数值 题型一 、题型二、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．(1)y ＝x 5－3x 3－5x 2＋6 (2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)；(3)y ＝x －1x ＋1； (4)y ＝x·sinx.． 四、课堂巩固练习：课本85P 练习2 习题3.2 A 组第4题五、建构总结1、熟记 基本初等函数的导数公式、导数的运算法则2、会用简单函数的导数，会用导数法则求导六、课时作业15七、课后思考：如何求函数 )52sin(2+=x x y 的导数?)1(),(,ln )()7()3(),(,log )()6()0(),(,)()5()2(),(,2)(4)6(),(,cos )()3()3(),(,sin )()24(),(,)()1(23f x f x x f f x f x f f x f e x f f x f x f f x f x x f f x f x x f f x f x x f xx x ''=''=''=''=''=''=''=求、求、求、求）、（求、求、（）求、ππ。
3.2 导数的计算 教学设计 教案
教学准备1. 教学目标知识与技能1.能够用导数的定义求几个常用函数的导数，会利用它们解决简单的问题．2.能根据基本初等函数的求导公式，求简单函数的导数．过程与方法使学生掌握由定义求导数的三个步骤，推导四种常见函数的导数公式．情感、态度与价值观通过本节的学习进一步体会导数与其他知识之间的联系，提高数学的应用意识，注意培养学生归纳类比的能力．2. 教学重点/难点教学重点用定义法求常用函数的导数以及基本初等函数的导数公式教学难点会用基本初等函数的导数公式解决简单的实际问题3. 教学用具多媒体4. 标签教学过程教学过程设计1、温故知新、引入课题【师】求函数在点xo处的导数的方法【师】导函数的概念?当x=x0时, f'（x0)是一个确定的数.那么,当x变化时,f'(x)便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:在不致发生混淆时，导函数也简称导数．【师】如何求函数y=f(x)的导数?【设计意图】复习函数在x0处的导数，和导函数的区别与联系，求导函数的方法和步骤，为学习新课打下基础，自然的进入课题内容。
2、新知探究【合作探究】根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.探究1 函数y=f(x)=c的导数.【师】根据导数定义，因为所以y'=0表示函数y=c图像（图1.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y=c 表示路程关于时间的函数，则y'=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．【活动】师生共同完成y'=1表示函数y=x图像（图1.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y=x 表示路程关于时间的函数，则y'=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．【活动】一生口述老师完成探究3.y=f(x)=x2的导数y'-=2x表示函数y=x2图像（图1.2-3）上点(x,y)处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x<0时，随着x的增加，函数y=x2减少得越来越慢；当x>0时，随着x的增加，函数y=x2增加得越来越快．若y=x2表示路程关于时间的函数，则y'=2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x．【板演/PPT】【活动】学生讨论自主完成。
3.2导数的计算学案
高二数学选修1-1 §3.2导数的计算学案
一、学习目标：1、能根据定义求函数c y =，x y =，2x y =，x
y 1
=
的导数。
2、能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单的函数的导数。
二、自主学习
1、几个常用函数的导数
探究1;在同一平面直角坐标系中，画出函数x y 2=，x y 3=，x y 4=的图像，并根据导数定义，求出他们的导数。
（1） 从图像上看，他们的导数分别表示什么？
（2） 这三个函数中哪个增加的最快？哪个增加的最慢？
（3） 函数kx y =（k ≠0）增（减）的快慢和什么有关？
探究2：画出函数x
y 1
=
的图像，根据图像，描述它的变化情况，并求出曲线在点（1,1）处的切线方程。
2、基本初等函数的导数公式
3、函数x e y =的导数与函数x
a y =的导数有何关系？函数x y ln =的导数与函数x y a log =的导数有什么关
系？
4、若)(/x f =x e ，则)(/x f =x
e 这种说法 正确吗？ 5、导数的四则运算法则
6、思考：导数的运算法则成立的条件是什么？
7、能否认为函数2
2
2)(x ax a x f -+=的导数为)(/
x f =2
22x x a -+或)(/
x f =a x 22+-？
8、函数x
x
x f cos )(=，则)(/x f =
三、本节课的收获：。
3.2导数的计算(教学设计)(1)
3.2导数的计算（教学设计）（1）3．2．1几个常用函数的导数教学目标：知识与技能目标：（1）能够用定义求四个常用函数的导数，并熟悉求导数的三个步骤。
（2）使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式；并能运用这四个公式正确求函数的导数．过程与方法目标：通过本节的学习，掌握利用导数的定义求导数的方法。
情感、态度与价值观目标：（1）通过本节的学习，进一步体会导数与物理知识之间的联系，提高数学的应用意识。
（2）通过本节的学习，培养学生对问题的分析能力与认识能力，进一步明白数学在研究整个自然科学中的重要位置。
教学重点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用 教学难点： 四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式 教学过程：一、复习回顾：1．求f(x)在x 0年的导数的步骤为：1）求增量：∆y=f(x+∆x)-f(x)2)算比值：()()y f x x f x x x∆+∆-=∆∆ 3）求极限：y ’=0limx y x ∆→∆∆ 2．导数的几何意义。
二．创设情景，新课引入我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．三．师生互动，新课讲解：1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x y y ∆→∆→∆'===0y '=表示函数y 0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数()y f x x ==的导数因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00lim lim11x x y y x ∆→∆→∆'===∆1y '=表示函数y 1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数2()y f x x ==的导数 因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00lim lim(2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x -∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x-+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011lim lim()x x y y x∆→∆→∆'==-=-∆5．函数()y f x=因为()()y f x x f x x x x∆+∆-==∆∆∆==所以0lim lim x x y y x ∆→∆→∆'===∆（2）推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=例1（06安微文）若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（A ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= 例2(tb11502702)：（1）求曲线y=f(x)=1x 在点（1，1）年的切线方程。
学案1：3.2 导数与函数的单调性、极值、最值
3.2 导数与函数的单调性、极值、最值【导学目标】1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．【重点知识梳理】1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【高频考点突破】考点一利用导数研究函数的单调性例1 已知函数f (x )＝e x －ax －1.(1)求f (x )的单调增区间；(2)是否存在a ，使f (x )在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．【拓展提高】(1)利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题；(3)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为零．应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．【变式探究】(1)设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a >1，则f (x )的单调减区间为_____________________．(2)已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的取值范围是________．考点二 利用导数求函数的极值例2 (2014·福建)已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图象与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值；(2)证明：当x >0时，x 2<e x .【拓展提升】(1)导函数的零点并不一定就是原函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是原函数的极值点．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．【变式探究】 设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数． (1)当a ＝43时，求f (x )的极值点； (2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．考点三 利用导数求函数的最值例3 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.71828…为自然对数的底数． 设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值．【拓展提升】(1)求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在(a ，b )内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况．【变式探究】 已知函数f (x )＝(x －k )e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．【真题感悟】1.（2015高考江苏）已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=.（1）试讨论)(x f 的单调性；（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞ ，求c 的值.2.（2014·广东卷） 曲线y ＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________．3.（2014·江西卷） 若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．4.（2014·江西卷） 已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R)．(1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围．5.（2014·全国卷） 曲线y ＝x e x－1在点(1，1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．16.（2014·新课标全国卷Ⅱ）设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．37.（2013·新课标全国卷Ⅰ）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x≤0，ln （x ＋1），x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2，1]D ．[－2，0]8.（2013·广东卷） 若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________．9.（2013·江西卷） 设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________．10.（2013·北京卷） 设L 为曲线C ：y ＝ln x x在点(1，0)处的切线． (1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线L 的下方．11.（2013·全国卷） 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．[－1，0] B ．[－1，＋∞)C ．[0，3]D ．[3，＋∞)【提升训练】1．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( )．A ．2x －y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝02．若函数h (x )＝2x －k x ＋k 3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是( )． A ．[)2,-+∞B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，2)3．函数f (x )＝(4－x )e x 的单调递减区间是( )．A ．(－∞，4)B ．(－∞，3)C ．(4，＋∞)D ．(3，＋∞)4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1a处有极值，则ab 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－35．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )．A ．f (0)＋f (2)<2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)D ．f (0)＋f (2)>2f (1)6．已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表．f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．下列关于函数f (x )的命题：①函数y ＝f (x )是周期函数；②函数f (x )在[0,2]上是减函数；③如果当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4；④当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点．其中真命题的个数有 ( )．A ．4B ．3C ．2D ．17．函数y ＝x －2sin x 在[0，π]上的递增区间是________．8．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．9．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．10．已知函数y ＝－13x 3＋bx 2－(2b ＋3)x ＋2－b 在R 上不是单调减函数，则b 的取值范围是________．11．设函数f (x )＝ax 3－3x 2，(a ∈R )，且x ＝2是y ＝f (x )的极值点，求函数g (x )＝e x ·f (x )的单调区间．12．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋2'()2m x f x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ 在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围．答案例1【变式探究】【答案】(1)(2,2a)(2)(0,3]例2【变式探究】例3【解析】 由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b .所以g ′(x )＝e x －2a .因此，当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0， 所以g (x )在[0,1]上单调递增，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e 2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减， 因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当12<a <e 2时，令g ′(x )＝0得x ＝ln(2a )∈(0,1)， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间[ln(2a )，1]上单调递增．于是，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (0)＝1－b ；当12<a <e 2时，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ；当a ≥e 2时，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (1)＝e －2a －b .【变式探究】(2)当k －1≤0，即k ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k <2时，f (x )在[0，k －1]上单调递减，在[k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k －1≥1，即k ≥2时，f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.综上，当k ≤1时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当1<k <2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k ≥2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.【真题感悟】1.（2015高考江苏分）【答案】（1）当时， 在上单调递增；当时， 在，上单调递增，在上单调递减； 当时， 在，上单调递增，在上单调递减． （2）0a =()f x (),-∞+∞0a >()f x 2,3a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭()0,+∞2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭0a <()f x (),0-∞2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1.c =2.（2014·广东卷）【答案】y ＝－5x ＋3 【解析】 本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法．因为y ′＝－5e －5x ，所以切线的斜率k ＝－5e 0＝－5，所以切线方程是：y －3＝－5(x －0)，即y ＝－5x ＋3.3.（2014·江西卷）【答案】(－ln 2，2) 【解析】 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，y ′＝－e －x .又切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，所以－e－x 0＝－2，可得x 0＝－ln 2，此时y ＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2)．4.（2014·江西卷）【解析】(1)当b ＝4时，f ′(x )＝－5x （x ＋2）1－2x，由f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝0. 所以当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－2，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故f (x )在x ＝－2处取得极小值f (－2)＝0，在x ＝0处取得极大值f (0)＝4.(2)f ′(x )＝－x [5x ＋（3b －2）]1－2x ，易知当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，－x 1－2x <0， 依题意当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0，得b ≤19. 所以b 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，19. 5.（2014·全国卷）【答案】C 【解析】 因为y ′＝(x e x －1)′＝e x －1＋x e x －1，所以y ＝x e x－1在点(1，1)处的导数是y ′|x ＝1＝e 1－1＋e 1－1＝2，故曲线y ＝x e x－1在点(1，1)处的切线斜率是2. 6.（2014·新课标全国卷Ⅱ）【答案】D【解析】 y ′＝a －1x ＋1，根据已知得，当x ＝0时，y ′＝2，代入解得a ＝3. 7.（2013·新课标全国卷Ⅰ）【答案】D 【解析】若x ≤0，|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x ，x ＝0时，不等式恒成立，x <0时，不等式可变为a ≥x －2，而x －2<－2，可得a ≥－2；若x >0，|f (x )|＝|ln(x ＋1)|＝ln(x ＋1)，由ln(x ＋1)≥ax ，可得a ≤ln （x ＋1）x 恒成立，令h (x )＝ln （x ＋1）x ，则h ′(x )＝x x ＋1－ln （x ＋1）x 2，再令g (x )＝x x ＋1－ln(x ＋1)，则 g ′(x )＝－x （x ＋1）2<0，故g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以g (x )<g (0)＝0，可得h ′(x )＝x x ＋1－ln （x ＋1）x 2<0，故h (x )在(0，＋∞)上单调递减，x →＋∞时，h (x )→0， 所以h (x )>0，a ≤0.综上可知，－2≤a ≤0，故选D.8.（2013·广东卷）【答案】－1【解析】 ∵y ′＝k ＋1x，∴y ′|x ＝1＝k ＋1＝0，故k ＝－1. 9.（2013·江西卷）【答案】2【解析】 f (e x )＝x ＋e x ，利用换元法可得f (x )＝ln x ＋x ，f ′(x )＝1x＋1，所以f ′(1)＝2. 10.（2013·北京卷）【解析】(1)设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x 2. 所以f ′(1)＝1.所以L 的方程为y ＝x －1.(2)令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g (x )>0(x >0，x ≠1)． g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln x x 2. 当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0，所以g ′(x )<0，故g (x )单调递减；当x >1时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )单调递增．所以g (x )>g (1)＝0(x >0，x ≠1)．所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．11.（2013·全国卷）【答案】D【解析】 f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在⎝⎛⎭⎫12 ，＋∞上恒成立，由于y ＝1x 2－2x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减，所以y <3，故只要a ≥3. 【提升训练】1．【解析】设切点坐标为(x 0，x 20)，则切线斜率为2x 0， 由2x 0＝2得x 0＝1，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.【答案】D2．【解析】由条件得h ′(x )＝2＋k x 2＝2x 2＋k x 2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈[)2,-+∞．【答案】A3．【解析】f ′(x )＝-e x ＋(4－x )·e x ＝e x (3－x )，令f ′(x )<0，由于e x >0，∴3－x <0，解得x >3.【答案】D4．【解析】f ′(x )＝3ax 2＋b ，由f ′⎝⎛⎭⎫1a ＝3a ⎝⎛⎭⎫1a 2＋b ＝0，可得ab ＝－3.故选D. 【答案】D5．【解析】不等式(x －1)f ′(x )≥0等价于1010'()0'()0x x f x f x -≥-≤⎧⎧⎨⎨≥≤⎩⎩或可知f (x )在(－∞，1)上递减，(1，＋∞)上递增，或者f (x )为常数函数，因此f (0)＋f (2)≥2f (1)．【答案】C6．【答案】D7．【解析】y ′＝1－2cos x ，令1－2cos x ≥0，得cos x ≤12，解得2k π＋π3≤x ≤2k π＋53π，k ∈R ，又0≤x ≤π，∴π3≤x ≤π. 【答案】⎣⎡⎦⎤π3，π8．【解析】f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0， 当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，显然当x ＝2时f (x )取极小值．【答案】29．【答案】(－∞，0)10．【解析】y ′＝－x 2＋2bx －(2b ＋3)，要使原函数在R 上单调递减，应有y ′≤0恒成立，∴Δ＝4b 2－4(2b ＋3)＝4(b 2－2b －3)≤0，∴－1≤b ≤3，故使该函数在R 上不是单调减函数的b 的取值范围是b <－1或b >3.【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞)11．【解析】f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)．因为x ＝2是函数y ＝f (x )的极值点．所以f ′(2)＝0，即6(2a －2)＝0，因此a ＝1，经验证，当a ＝1时，x ＝2是函数f (x )的极值点，所以g (x )＝e x (x 3－3x 2)，g ′(x )＝e x (x 3－3x 2＋3x 2－6x )＝e x (x 3－6x )＝x (x ＋6)(x －6)e x .因为e x >0，所以y ＝g (x )的单调增区间是(－6，0)和(6，＋∞)；单调减区间是(－∞，－6)和(0，6)．12.【解析】 (1)根据题意知，f ′(x )＝()1a x x- (x ＞0)， 当a ＞0时，f (x )的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]；当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)∵f ′(2)＝－a 2＝1，∴a ＝－2， ∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3.∴g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，且g ′(0)＝－2，由题意知：对于任意的t ∈[1,2]，g ′(t )＜0恒成立，∴－373＜m ＜－9.。
2021年高中数学第三章导数及其应用3.2.2导数的运算法则学案含解析人教A版选修1_1.doc
3.2.2 导数的运算法则自主预习·探新知情景引入如何求得下列函数的导数呢？ 1．y ＝x 5＋x 3－x 2＋3； 2．y ＝e x－sin x ＋ln x ； 3．y ＝cos 2x2－sin 2x2.新知导学 导数的运算法则和差的导数 [f (x )±g (x )]′＝__f ′(x )±g ′(x )__积的导数[f (x )·g (x )]′＝__f ′(x )g (x )＋f (x )·g ′(x )__ 商的导数[f xg x]′＝__f ′xg x －f x g ′xg 2x__(g (x )≠0)预习自测1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( A ) A ．1 B ． 2 C ．－1D ．0[解析] ∵f (x )＝ax 2＋c ，∴f ′(x )＝2ax ， 又∵f ′(1)＝2a ，∴2a ＝2，∴a ＝1. 2．已知f (x )＝e xln x ，则f ′(x )＝( C ) A ．e xxB ．e x＋1xC ．e xx ln x ＋1xD ．1x＋ln x[解析] f ′(x )＝(e x)′ln x ＋e x(ln x )′＝e xln x ＋exx＝exx ln x ＋1x.3．(2020·全国卷Ⅰ理，6)函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( B )A ．y ＝－2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝2x －3D ．y ＝2x ＋1[解析] ∵f (x )＝x 4－2x 3，∴f ′(x )＝4x 3－6x 2，∴f ′(1)＝－2，又f (1)＝1－2＝－1， ∴所求的切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1.故选B ．4．(2020·全国卷Ⅲ文，15)设函数f (x )＝e xx ＋a .若f ′(1)＝e 4，则a ＝__1__.[解析] 由于f ′(x )＝exx ＋a －e x x ＋a 2，故f ′(1)＝e a1＋a2＝e4，解得a ＝1.5．求下列函数的导数： (1)y ＝sin x －2x 2； (2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)； (3)y ＝excos x.[解析] (1)y ′＝(sin x －2x 2)′ ＝(sin x )′－(2x 2)′ ＝cos x －4x .(2)y ′＝(2x 2＋3)′(3x －2)＋(2x 2＋3)(3x －2)′ ＝4x (3x －2)＋3(2x 2＋3) ＝12x 2－8x ＋6x 2＋9 ＝18x 2－8x ＋9.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e xcos x ′＝ex′·cos x －cos x ′·excos 2x ＝excos x ＋sin xcos 2x互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶导数的四则运算法则的应用典例1 求下列函数的导数：(1)y ＝(x ＋1)2(x －1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝1x ＋2x 2＋3x3；(4)y ＝x tan x －2cos x. [解析] (1)解法一：y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′＝2(x ＋1)(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1.解法二：y ＝(x 2＋2x ＋1)(x －1)＝x 3＋x 2－x －1，y ′＝(x 3＋x 2－x －1)′＝3x 2＋2x －1.(2)y ′＝(x 2sin x )′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2x 2＋3x 3′＝(x －1＋2·x －2＋3·x －3)′＝－x －2－4x －3－9x －4＝－1x 2－4x 3－9x4.(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x cos x －2cos x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x －2cos x ′＝x sin x －2′cos x ＋x sin x －2sin xcos 2x＝sin x ＋x cos xcos x ＋x sin 2x －2sin xcos 2x＝sin x cos x ＋x －2sin x cos 2x ＝tan x ＋x cos 2 x －2tan xcos x. 『规律方法』 1.符合导数运算法则形式特点的函数求导可直接用公式，注意不要记错用混积商的导数运算法则．①[f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x )；②⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′≠f ′x g ′x .2．公式[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )的推广为[f 1(x )·f 2(x )·f 3(x )…f n (x )]′＝f 1′(x )f 2(x )f 3(x )…f n (x )＋f 1(x )f 2′(x )f 3(x )f 4(x )…f n (x )＋…＋f 1(x )f 2(x )…f n ′(x )3．较为复杂的求导运算，一般要先将函数化简，再求导． ┃┃跟踪练习1__■ 求下列函数的导数． (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝x －1x ＋1. [解析] (1)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x cos x ′＝x sin x ′cos x －x sin x cos x ′cos 2x＝sin x ＋x cos x cos x ＋x sin 2xcos 2x ＝sin x cos x ＋xcos 2x. (2)解法一：y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′ ＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2＝3x 2＋12x ＋11；解法二：∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11； (3)解法一：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝x －1′x ＋1－x －1x ＋1′x ＋12＝x ＋1－x －1x ＋12＝2x ＋12；解法二：∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′＝2x ＋12.命题方向❷利用导数求参数典例2 (2020·云南昆明高二调研)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 过点(1,5)，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，求f (x )的解析式．[思路分析] 本题主要考查利用导数求解参数问题，观察y ＝f ′(x )的图象可知y ＝f ′(x )过点(1,0)、(2,0)，即f ′(1)＝0，f ′(2)＝0.[解析] ∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，且f ′(1)＝0、 f ′(2)＝0、 f (1)＝5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＋c ＝012a ＋4b ＋c ＝0a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－9c ＝12.∴函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝2x 3－9x 2＋12x .『规律方法』 1.导数的应用中，求导数是一个基本解题环节，应仔细分析函数解析式的结构特征，根据导数公式及运算法则求导数，不具备导数运算法则的结构形式时，先恒等变形，然后分析题目特点，探寻条件与结论的联系，选择解题途径．2．求参数的问题一般依据条件建立参数的方程求解． ┃┃跟踪练习2__■偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f (x )的解析式．[解析] ∵f (x )的图象过点P (0,1)， ∴e ＝1.又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e . ∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2， ∴切点为(1，－1)．∴a ＋c ＋1＝－1. ∵f ′(x )|x ＝1＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1. ∴a ＝52，c ＝－92.∴函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.命题方向❸导数的综合应用典例3 已知曲线y ＝f (x )＝x 2a－1(a >0)在x ＝1处的切线为l ，求l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值．[解析] ∵f (1)＝1a －1，∴切点坐标为(1，1a－1)．由已知，得f ′(x )＝(x 2a －1)′＝2xa，∴切线的斜率k ＝f ′(1)＝2a，∴切线l 的方程为y －(1a －1)＝2a(x －1)，即2x －ay －a －1＝0. 令y ＝0，得x ＝a ＋12；令x ＝0，得y ＝－a ＋1a. ∴切线l 与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×a ＋12×a ＋1a＝14(a ＋1a )＋12≥14×2a ×1a ＋12＝1，当且仅当a ＝1a，即a ＝1时取等号，∴S min ＝1.故l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值为1.『规律方法』 求曲线的切线方程要注意分清点是否是切点．若已知点是切点，则可通过点斜式直接写方程，若已知点不是切点，则需设出切点．┃┃跟踪练习3__■函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1的图象上有两点A (0,1)和B (1,0)，在区间(0,1)内求实数a ，使得函数f (x )的图象在x ＝a 处的切线平行于直线AB ．[解析] 直线AB 的斜率k AB ＝－1，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(a )＝－1 (0<a <1)， 即3a 2－2a －1＝－1，解得a ＝23.学科核心素养 综合应用问题灵活运用导数的运算法则，求解复合函数的导数，或与其他知识结合解决相关问题；利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何问题与实际问题．典例4 已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋b 在点P (2，－6)处的切线方程是13x －y －32＝0.(1)求a ，b 的值；(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线l ：y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．[思路分析] (1)由f (x )在点P 处的切线方程可知f ′(2)，及f (2)＝－6，得到a 、b 的方程组，解方程组可求出a 、b ；(2)由曲线y ＝f (x )的切线与l 垂直，可得切线斜率k ＝f ′(x 0)，从而解出x 0，求得切点坐标和k .[解析] (1)∵f (x )＝x 3＋ax ＋b 的导数f ′(x )＝3x 2＋a ， 由题意可得f ′(2)＝12＋a ＝13, f (2)＝8＋2a ＋b ＝－6， 解得a ＝1，b ＝－16.(2)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1.由f (x )＝x 3＋x －16，可得y 0＝1＋1－16＝－14，或y 0＝－1－1－16＝－18. 则切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.『规律总结』 处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解．┃┃跟踪练习4__■(天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为__1__.[解析] ∵f ′(x )＝a －1x，∴f ′(1)＝a －1.又∵f (1)＝a ，∴切线l 的斜率为a －1，且过点(1，a )， ∴切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)． 令x ＝0，得y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1.易混易错警示 准确应用公式典例5 若f (x )＝cos xx，求f ′(π)．[错解] ∵f (x )＝cos xx，∴f ′(x )＝cos x ′x ＋cos x ·x ′x 2＝－x sin x ＋cos xx2，∴f ′(π)＝－πsin π＋cos ππ2＝－1π2.[错解分析] 应用商的求导法则时，分子应是“分子的导数乘分母－分子乘分母的导数”，解题时错误的写成了“＋”．[正解]∵f (x )＝cos xx，∴f ′(x )＝cos x ′x －cos x ·x ′x 2＝－x sin x －cos xx2， ∴f ′(π)＝－πsin π－cos ππ2＝1π2.。
数学;3.2导数的计算 教案一(新人教A版选修1-1)
课题：3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 教学目的：1. 记住两个函数的和、差、积、商的导数运算法则，理解导数运算法则是把一个复杂函数求导数转化为两个或多个简单函数的求导问题；能通过运算法则求出导数后解决实际问题.2. 能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数; 教学重点：会使用导数公式求函数的导数教学难点：会使用导数公式求函数的导数教学过程：一、讲解新课：1、基本初等函数的导数公式*11.(),()0;2.()(),();3.()sin ,()cos ;4.()cos ,()sin ;5.(),()ln ;6.(),();17.()log ,();ln 18.()ln ,().n n x x x x a f x c f x f x x n Q f x x f x x f x x f x x f x x f x a f x a x f x e f x e f x x f x x af x x f x x-'=='=∈='=='==-'=='=='=='==若则若则若则若则若则若则若则若则 2、讲解例题 P83 例1 练习1、求下列函数的导数。
(1) y= 5 (2) y= x 4 (3) y= x -2 (4)y= 2 x (5) y=log3x3、导数运算法则4、讲解例题 例2 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求函数323y x x =-+的导数.解: 332(23)()(2)(3) 3 2.y x x x x x '''''=-+=-+=-32233 2.y x x y x '∴=-+=-函数的导数是[][][]21.()()()();2.()()()();()()()()()3..()()f x g x f x g x f x g x f x g x f x f x g x f x g x g x g x '''±=±'''⋅=⋅'''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦练习： 求下列函数的导数（1）x x x y -+=23sin （2）)23)(12(++=x x y （3）x y tan =（4）x e y x ln =（5）1+=x x y 例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为).10080(1005284)(<<-=x xx c 求净化到下列纯度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）%90；（2）%98.例4 已知函数.ln x x y =（1） 求这个函数的导数；（2）这个函数在点1=x 处的切线方程.二、小结 ：1、基本初等函数的导数公式*11.(),()0;2.()(),();3.()sin ,()cos ;4.()cos ,()sin ;5.(),()ln ;6.(),();17.()log ,();ln 18.()ln ,().n n x x x x a f x c f x f x x n Q f x x f x x f x x f x x f x x f x a f x a x f x e f x e f x x f x x a f x x f x x-'=='=∈='=='==-'=='=='=='==若则若则若则若则若则若则若则若则 2、导数运算法则三、课后作业： [][][]21.()()()();2.()()()();()()()()()3..()()f x g x f x g x f x g x f x g x f x f x g x f x g x g x g x '''±=±'''⋅=⋅'''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦。
新人教A版数学选修1-1《3.2.2导数的运算法则》导学案
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.2.2导数的运算法则学案新人教A 版选修1-1【学习目标】1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
【重点难点】 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 【学习内容】 1.复习：基本初等函数的导数公式表基本初等函数的导数公式c x f =)(αx x f =)(（*Q ∈α）x x f sin )(=x x f cos )(=x a x f =)(x e x f =)(()x x f a log =()x x f ln =（二）导数的运算法则 导数运算法则推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）3.典例分析例1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323y x x =-+（2）y ＝x x 4；（3）y ＝xx ln 1ln 1+-．（4）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）ex（5） y ＝xx x x x x sin cos cos sin +-例 2.（2010年高考全国卷Ⅱ文科7）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则( )（A ）1,1a b == (B) 1,1a b =-=(C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=-例3．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？分析：商品的价格上涨的速度就是：1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±2．[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=± 3．[]'''2()()()()()(()0()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦变式训练1：如果上式中某种商品的05p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？例 4.日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<- 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98%分析：净化费用的瞬时变化率就是：比较上述运算结果，你有什么发现？四、课堂练习1求下列函数的导数（1）2log y x = （2）2x y e =（3）32234y x x =-- （4）3cos 4sin y x x =-（5）ln y x x = （6）ln x y x =（7）sin x y x=2. 求过曲线y ＝2e x 上点P (1，2e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程．3. (2010年高考江西卷文科4)若函数42()f x ax bx c =++满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ）A ．1-B ．2-C ．2D ．0【课堂小结与反思】【课后作业与练习】1. 函数1y x x=+的导数是（ ） A ．211x - B ．11x - C ．211x + D ．11x+ 2. 函数sin (cos 1)y x x =+的导数是（ ）A ．cos 2cos x x -B ．cos 2sin x x +C ．cos 2cos x x +D ．2cos cos x x + 3. cos x y x=的导数是（ ） A ．2sin x x- B ．sin x - C ．2sin cos x x x x +- D ．2cos cos x x x x +- 4．已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为：A ()2(1)f x x =-B 2()2(1)f x x =-C 2()(1)3(1)f x x x =-+-D ()1f x x =-5．函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a =( ) A 18 B 14 C 12D 1 6. （2011年高考江西卷文科4)曲线x y e =在点A （0,1）处的切线斜率为（ ） A.1 B.2C.eD.1e7. （2012年高考新课标全国卷文科13）曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________8. 函数2()1382f x x x =-+，且0()4f x '=，则0x =9.曲线sin x y x=在点(,0)M π处的切线方程为 10.在平面直角坐标系中，点P 在曲线3103y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线在点P 处的切线的斜率为2，则P 点的坐标为11. (2010年高考宁夏卷文科4)曲线2y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为( )A.1y x =-B.1y x =-+C.22y x =-D.22y x =-+12（2010年高考全国卷Ⅱ文科7）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则( )（A ）1,1a b == (B) 1,1a b =-=(C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=-13.已知函数32()f x x bx ax d =+++的图像过点P （0,2），且在点(1,(1))M f --处的切线方程为670x y -+=，求函数的解析式.。
高中数学 3.2 导数的计算目标导学 新人教A版选修11
3.2 导数的计算问题导学一、根据求导公式和导数运算法则求导数活动与探究1求下列函数的导数：(1)y ＝3x 2＋2x ＋1x2；(2)y ＝3x＋ln x ＋5；(3)y ＝e xcos x ＋sin x ；(4)y ＝2x －13x ＋3；(5)y ＝11－x ＋11＋x ． 迁移与应用1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2的导数为( )A ．y ′＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2 B ．y ′＝cos x －sin xC ．y ′＝－sin xD ．y ′＝cos x 2．求下列函数的导数．(1)y＝x2＋log3x；(2)y＝x3·e x．应用基本初等函数的导数公式和求导的四则运算法则，可迅速解决一些简单的求导问题．要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律．对比较复杂的求导问题，可先进行恒等变形，再利用公式求导．二、导数几何意义的应用活动与探究2(1)已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．(2)已知函数f(x)＝x，g(x)＝a ln x，a∈R．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程．迁移与应用1．曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程为__________．2．求过点(1，－1)与曲线y＝f(x)＝x3－2x相切的直线方程．(1)根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y＝f(x)在点x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，即k＝f′(x0)；瞬时速度是位移函数s(t)对时间t的导数，即v＝s′|t＝t0．(2)注意区别“在P处”求切线和“过P”求切线的不同，后者点P不一定是切点，要先设出切点再求切线．三、导数的综合应用活动与探究3已知函数f (x )＝x2a－1(a ＞0)的图象在x ＝1处的切线为l ，求l 与两坐标轴围成的三角形面积的最小值．迁移与应用1．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 2．讨论关于x 的方程ln x ＝kx 的解的个数． 答案：课前·预习导学 【预习导引】1．0 1 2x －1x22．0 αx α－1cos x －sin x a x ln a (a ＞0) e x1x ln a 1x3．(1)f ′(x )±g ′(x )(2)cf ′(x )(3)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )(4)f ′xg x －f x g ′x[g x ]2预习交流 (1)提示：①[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )，其中a ，b 为常数．特别地，[cf (x )]′＝cf ′(x )，其中c 为常数．②⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f x ′＝－f ′x [f x ]2(f (x )≠0)． ③导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形，即[u (x )±v (x )±…±w (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )±…±w ′(x )．④在两个函数积与商的导数运算中，不要出现[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )以及⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g ′x 的错误． (2)提示：y ′＝sin x ＋x cos x y ′＝x e x －e x x 2y ′＝4x ＋1x ln 3课堂·合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：应用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则来求函数的导数．解：(1)∵y ＝3x 2＋2x －1＋x －2，∴y ′＝6x －2x －2－2x －3＝6x －2x 2－2x3．(2)y ′＝3xln 3＋1x．(3)y ′＝e x cos x －e xsin x ＋cos x ．(4)y ′＝23x ＋3－32x －13x ＋32＝93x ＋32＝1x ＋12．(5)∵y ＝1＋x ＋1－x1－x 1＋x＝21－x， ∴y ′＝－21－x ′1－x 2＝21－x2．迁移与应用 1．C 解析：∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，∴y ′＝－si n x ．2．解：(1)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3．(2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x)′＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝(3x 2＋x 3)e x．活动与探究2 (1)思路分析：求出函数在(x 0，y 0)处的导数即为曲线在(x 0，y 0)处的斜率，又直线l 过原点，故k ＝y 0x 0，联立解出x 0即可．解：∵直线l 过原点，∴直线l 的斜率k ＝y 0x 0(x 0≠0)．由点(x 0，y 0)在曲线C 上，得y 0＝x 30－3x 20＋2x 0， ∴y 0x 0＝x 20－3x 0＋2． 又y ′＝3x 2－6x ＋2，∴k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2．又k ＝y 0x 0，∴3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，整理得2x 20－3x 0＝0．∵x 0≠0，∴x 0＝32，此时y 0＝－38，k ＝－14．因此直线l 的方程为y ＝－14x ，切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－38．(2)思路分析：本题关键是从曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在交点处有相同的切线入手，求出交点坐标和a 的值，进而求出该切线的方程．解：∵f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，∴f ′(x )＝12x，g ′(x )＝ax ．设f (x )，g (x )的交点为(x 0，y 0)，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧12x 0＝a x，y 0＝x 0，y 0＝a ln x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12e ，x 0＝e 2，y 0＝e.∴切线斜率k ＝f ′(x 0)＝f ′(e 2)＝12e，切点为(e 2，e)，∴切线方程为y －e ＝12e(x －e 2)，即x －2e y ＋e 2＝0．迁移与应用 1．4x －y －3＝0 解析：因为y ′＝3ln x ＋4，故y ′|x ＝1＝4，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝4(x －1)，化为一般式方程为4x －y －3＝0．2．解：设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为：k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2．故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)．①∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0．② 又∵(1，－1)在切线上，∴将②式和(1，－1)代入①式，得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)，解得x 0＝1或x 0＝－12．故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)，即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0．活动与探究3 思路分析：先求出切线方程，从而得到切线在坐标轴上的截距，建立关于a 的面积表达式，然后求最值．解：∵f ′(x )＝2x a ，∴f ′(1)＝2a．又f (1)＝1a －1，∴f (x )在x ＝1处的切线l 的方程是y －1a ＋1＝2a(x －1)．∴l 与坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1a －1⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2 ≥14×(2＋2)＝1． 当且仅当a ＝1a，即a ＝1时，直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积最小，最小值为1．迁移与应用 1．D 解析：∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4e x ＋1′＝－4e xe x ＋12＝－4e x＋1ex ＋2≥－1，即tan α≥－1．由正切函数图象得α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π，选D ．2．解：如图，方程ln x ＝kx 的解的个数就是直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 的交点的个数．设直线y ＝kx 与y ＝l n x 切于P (x 0，ln x 0)，则kx 0＝ln x 0．∵(ln x )′＝1x ，∴k ＝1x 0，kx 0＝1＝ln x 0．∴x 0＝e ，k ＝1e．结合图象知：当k ≤0或k ＝1e时，方程ln x ＝kx 有一解．当0＜k ＜1e 时，方程ln x ＝kx 有两解．当k ＞1e 时，方程ln x ＝kx 无解．当堂检测1．已知函数π()=sin 2f x x x ⎛⎫+⎪⎝⎭，则π2f'⎛⎫⎪⎝⎭＝( )A ．π2-B ．0C ．1D ．π2答案：A 解析：∵f (x )＝πsin 2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝x cos x ，∴f ′(x )＝cos x －x sin x ． ∴πππππ'=cos sin =22222f ⎛⎫--⎪⎝⎭． 2．下列结论正确的个数为( ) ①y ＝ln 2，则1'=2y ；②21=y x ，则=32'|=27x y -；③y ＝2x ，则y ′＝2xln 2；④12=log y x ，则1'=ln2y x -． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案：D 解析：对①，y ＝ln 2是常数函数，y ′＝0，故①错误；对②，221==y x x-，y ′＝－2x －3＝32x -，∴y ′|x ＝3＝227-，故②正确；对③，易知其正确；对④，12=log y x ，11'==1ln2ln 2y x x -，故④正确． 3．曲线y ＝e x在点A (0,1)处的切线斜率为( ) A ．1 B ．2 C ．e D ．1e答案：A 解析：根据导数的几何意义可得，k ＝y ′|x ＝0＝e 0＝1．4．设y ＝－2e xsin x ，则y ′＝__________．答案：－2e x (sin x ＋cos x ) 解析：y ′＝－2[(e x )′·sin x ＋e x·(sin x )′]＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x(sin x ＋cos x )．5．若曲线运动的物体的位移s 与时间t 的关系为221=2t s t t-+，则t ＝2时的瞬时速度为__________．答案：8 解析：s ′＝21't t -⎛⎫⎪⎝⎭＋(2t 2)′ ＝2421t t t t --(-)＋4t ＝32t t-＋4t ． ∴t ＝2时的瞬时速度为s ′|t ＝2＝228-＋8＝8．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．。
高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的计算教学案 1数学教学案
3.2 导数的计算[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 81～P 85的内容，回答下列问题． 已知函数：①y ＝f (x )＝c ，②y ＝f (x )＝x ，③y ＝f (x )＝x 2， ④y ＝f (x )＝1x，⑤y ＝f (x )＝x .(1)函数y ＝f (x )＝c 的导数是什么？提示：∵Δy Δx ＝f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx ＝c －cΔx ＝0，(2)函数②③④⑤的导数分别是什么？提示：由导数的定义得：(x )′＝1，(x 2)′＝2x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，(x )′＝12x .(3)函数②③⑤均可表示为y ＝x α(α∈Q *)的形式，其导数有何规律？ 提示：∵(x )′＝1·x 1－1，(x 2)′＝2·x2－1，(x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12′＝12x 12－1＝12x，∴(x α)′＝αxα－1．2．归纳总结，核心必记 (1)基本初等函数的导数公式(2)①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 当g (x )＝c 时，[cf (x )]′＝cf ′(x )． ③⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)．[问题思考](1)常数函数的导数为0说明什么？提示：说明常数函数f (x )＝c 图象上每一点处的切线的斜率都为0，即每一点处的切线都平行(或重合)于x 轴．(2)对于公式“若f (x )＝x α(α∈Q *)，则f ′(x )＝αx α－1”，若把“α∈Q *”改为“α∈R ”，公式是否仍然成立？提示：当α∈R 时，f ′(x )＝αx α－1仍然成立．(3)下面的计算过程正确吗？⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4′＝cos π4＝22.提示：不正确．因为sin π4＝22是一个常数，而常数的导数为零，所以⎝⎛⎭⎪⎫sin π4′＝0．(4)若f (x )，g (x )都是可导函数，且f (x )≠0，那么下列关系式成立吗？ ①[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )(a ，b 为常数)； ②⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f （x ）′＝－f ′（x ）[f （x ）]2.提示：由导数的运算法则可知，这两个关系式都正确．[课前反思](1)基本初等函数的导数公式有哪些？； (2)导数的运算法则有哪些？其适用条件是什么？．[思考] 你能说出函数f (x )＝c 与f (x )＝x α、f (x )＝sin x 与f (x )＝cos x 、f (x )＝a x与f (x )＝e x、f (x )＝log a x 与f (x )＝ln x 的导数公式有什么特点和联系吗？名师指津：(1)幂函数f (x )＝x α中的α可以由Q *推广到任意实数． (2)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”．(3)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数，(e x )′＝e x 是(a x )′＝a xlna 的特例．(4)对数函数的导数等于x 与底数的自然对数乘积的倒数，(ln x )′＝1x是(log a x )′＝1x ln a的特例． 讲一讲1．求下列函数的导数：(1)y ＝10x；(2)y ＝lg x ；(3)y ＝log 12x ；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 22－1. [尝试解答] (1)y ′＝(10x )′＝10xln 10. (2)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10. (3)y ′＝(log 12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2.(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x.(5)∵y ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 22－1 ＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x2＋cos 2x2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(1)若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导． (2)若给出的函数解析式不符合导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．练一练1．求下列函数的导数：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x； (3)y ＝lg 5；(4)y ＝3lg 3x ； (5)y ＝2cos 2x2－1.解：(1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ln 1e ＝－1e x ＝－e －x.(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ln 110＝－ln 1010x＝－10－xln 10.(3)∵y ＝lg 5是常数函数， ∴y ′＝(lg 5)′＝0. (4)∵y ＝3 lg 3x ＝lg x ， ∴y ′＝(lg x )′＝1x ln 10. (5)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x . 讲一讲2．(链接教材P 84－例2)求下列函数的导数： (1)y ＝x 3·e x；(2)y ＝x －sin x 2cos x2；(3)y ＝x 2＋log 3x; (4)y ＝e x＋1e x －1.[尝试解答] (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x. (2)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x .(3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (4)y ′＝（e x＋1）′（e x－1）－（e x＋1）（e x－1）′（e x －1）2＝e x （e x －1）－（e x ＋1）e x （e x －1）2＝－2e x（e x －1）2.利用导数运算法则求解的策略(1)分析求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式．(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．练一练2．求下列函数的导数： (1)y ＝cos xx；(2)y ＝x sin x ＋x ； (3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ；(4)y ＝lg x －1x2.解：(1)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝（cos x ）′·x －cos x ·（x ）′x 2＝－x ·sin x －cos x x2＝－x sin x ＋cos xx2. (2)y ′＝(x sin x )′＋(x )′＝sin x ＋x cos x ＋12x.(3)∵y ＝（1＋x ）21－x ＋（1－x ）21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4（1－x ）′（1－x ）2＝4（1－x ）2.(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝1x ln 10＋2x3. 讲一讲3．点P 是曲线y ＝e x上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．[思考点拨] 将直线y ＝x 向上平移，当直线与曲线y ＝e x相切时，该切点到直线y ＝x 的距离最小．[尝试解答] 如图，当曲线y ＝e x在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1， 又y ′＝(e x)′＝e x，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x，得y 0＝1，即P (0，1)． 利用点到直线的距离公式得最小距离为22. 解决有关切线问题的关注点(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． 练一练3．求过曲线y ＝cos x 上点P ⎝⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在这点处的切线垂直的直线方程．解：∵y ＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32， ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为233，∴满足题意的直线方程为y －12＝233⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，即233x －y ＋12－239π＝0.——————————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————— 1．本节课的重点是基本初等函数的导数公式及导数运算法则，难点是灵活运用导数公式和运算法则解决相关问题．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)利用导数公式求导数，见讲1；(2)利用导数运算法则求导数，见讲2； (3)利用导数运算研究曲线的切线问题，见讲3.3．本节课的易错点是导数公式(a x)′＝a xln a 和(log a x )′＝1x ln a以及运算法则[f (x )·g (x )]′与⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′的区别．课时达标训练（十五） [即时达标对点练]题组1 利用导数公式求函数的导数 1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x.其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选 B 因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误．sin π3＝32，而⎝ ⎛⎭⎪⎫32′＝0，所以②错误.⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2′＝0－（x 2）′x 4＝－2x x 4＝－2x3，所以③错误.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝－0－（x 12）′x＝12x －12x ＝12x －32＝12x x，所以④正确． 2．已知f (x )＝x α(α∈Q *)，若f ′(1)＝14，则α等于( )A.13B.12C.18D.14 解析：选D ∵f (x )＝x α， ∴f ′(x )＝αxα－1.∴f ′(1)＝α＝14.题组2 利用导数的运算法则求导数 3．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( ) A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2x B ．y ′＝cos 2x －sin 2xC ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x解析：选B y ′＝(sin x ·cos x )′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x )＝cos 2x －sin 2x . 4．函数y ＝x 2x ＋3的导数为________．解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′＝（x 2）′（x ＋3）－x 2（x ＋3）′（x ＋3）2＝2x （x ＋3）－x 2（x ＋3）2＝x 2＋6x（x ＋3）2.答案：x 2＋6x （x ＋3）25．已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案：36．求下列函数的导数．(1)y ＝sin x －2x 2；(2)y ＝cos x ·ln x ；(3)y ＝e xsin x.解：(1)y ′＝(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2x 2)′ ＝cos x －4x .(2)y ′＝(cos x ·ln x )′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′ ＝－sin x ·ln x ＋cos xx.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e xsin x ′ ＝（e x）′·sin x －e x·（sin x ）′sin 2x ＝e x·sin x －e x·cos x sin 2x ＝e x （sin x －cos x ）sin 2x. 题组3 利用导数公式研究曲线的切线问题7．曲线y ＝x e x＋2x ＋1在点(0，1)处的切线方程为________．解析：y ′＝e x ＋x e x ＋2，则曲线在点(0，1)处的切线的斜率为k ＝e 0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y －1＝3x ，即y ＝3x ＋1.答案：y ＝3x ＋18．若曲线f (x )＝x ·sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a ＝________．解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a2，所以根据题意得1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1，解得a ＝2.答案：29．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝________．解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2，7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案：110．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋13上，且在第一象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，求点P 的坐标．解：设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝3x 2－10，所以3x 20－10＝2，解得x 0＝±2.又点P 在第一象限内，所以x 0＝2，又点P 在曲线C 上，所以y 0＝23－10×2＋13＝1，所以点P 的坐标为(2，1)．[能力提升综合练]1．f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 017(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x解析：选C 因为f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ，所以循环周期为4，因此f 2 017(x )＝f 1(x )＝cos x .2．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12解析：选A 因为y ′＝x 2－3x ，所以根据导数的几何意义可知，x 2－3x ＝12，解得x ＝3(x＝－2不合题意，舍去)．3．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B.12 C ．－22 D.22解析：选B y ′＝cos x （sin x ＋cos x ）－sin x （cos x －sin x ）（sin x ＋cos x ）2＝11＋sin 2x ，把x ＝π4代入得导数值为12，即为所求切线的斜率．4．已知直线y ＝3x ＋1与曲线y ＝ax 3＋3相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．－1 D ．－2解析：选A 设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝3x 0＋1，且y 0＝ax 30＋3，所以3x 0＋1＝ax 30＋3…①.对y ＝ax 3＋3求导得y ′＝3ax 2，则3ax 20＝3，ax 20＝1…②，由①②可得x 0＝1，所以a ＝1.5．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________．解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22＋22，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1.∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1. 答案：16．设f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )，则f ′(0)＝________． 解析：令g (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )， 则f (x )＝xg (x )，求导得f ′(x )＝x ′g (x )＋xg ′(x )＝g (x )＋xg ′(x )，所以f ′(0)＝g (0)＋0×g ′(0)＝g (0)＝1×2×3×…×n .答案：1×2×3×…×n7．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________．解析：法一：∵y ＝x ＋ln x ，∴y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2. ∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)． ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋（a ＋2）＝2，ax 20＋（a ＋2）x 0＋1＝2x 0－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.答案：88．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．解：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又f ′(1)＝2a ，3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3，令x ＝2得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，又f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52. 又f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.9．已知两条直线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解：不存在．由于y ＝sin x ，y ＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)，所以两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为k 1＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0，k 2＝y ′|x ＝x 0＝－sin x 0.若使两条切线互相垂直，必须使cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin 2x 0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．。
[整理]3.1-3.2导数学案
![[整理]3.1-3.2导数学案](https://img.taocdn.com/s3/m/9d3ab122f7ec4afe05a1df69.png)
第三章 导数及其应用3.1导数（刘骏宇）第1课时 平均变化率、瞬时速度与导数学习要求1． 了解函数的平均变化率的概念 2． 会求函数的平均变化率3． 知道函数的瞬时速度的概念4． 理解导数的概念，能利用导数的定义求导数自学评价1、 已知函数)(x f y =在点0x x =及其附近有定义，令=∆x _______,_______)()(00=-=-=∆x f x f y y y ,则当0≠∆x 时，比值______=xy∆∆,称作自变量在0x 附近的平均变化率. 2、 一般地，如果物体的运动规律是)(t s s =，那么物体在时刻t 的瞬时速度v ，就是物体在t 到t t ∆+这段时间内，当0→∆t 时__________，即v=______=________3、 设函数)(x f y =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，函数)(x f y =相应地有增量y ∆=________.如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy ∆∆（也叫做函数的______）有极限（即x y ∆∆无限趋近于某个常数），我们就把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x =处的导数，记做______或_______，于是可写作______=)(0/x f .4、 如果函数)(x f y =在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f ，称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间(a,b)内的______，简称______.【精典范例】例1：（1）求2x y =在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率.（2）求xy 1=在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率（00≠x ）.例2：（1）竖直向上弹射一个小球，小球的初速度为100m/s ，试求小球何时速度为0.（2）以初速度)0(00>v v 垂直上抛的物体，t 秒时的高度为2021)(gt t v t s -=，求物体在时刻0t 处的瞬时速度.例3：（1）2)1(-=x y ，求).2(),0(),(///f f x f（2）利用导数定义求12+=x y 的导数.追踪训练1、在函数变化率的定义中，自变量的增量x ∆满足（ ） A 0<∆x B 0>∆x C 0=∆x D 0≠∆x2、函数在某一点的导数是（ ）A 在该点的函数的增量与自变量的增量的比B 一个函数C 一个常数，不是变数D 函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率3、在曲线y =x 2+1的图象上取一点(1，2)及附近一点(1+∆x ，2+∆y )，则xy∆∆为( ) A. ∆x +x 1∆+2 B. ∆x-x 1∆-2 C. ∆x +2 D. ∆x-x1∆+24、（1）.一质点运动的方程为s =5-3t 2，则在一段时间[1，1＋∆t ]内相应的平均速度为( )A. 3∆t +6B.-3 ∆t +6C. 3∆t-6D.-3 ∆t-6（2）如果某物体做方程为s =2(1- t 2)的直线运动(s 的单位为m ,t 的单位为s )，那么其在1.2s 末的瞬时速度为A.-0. 88 m /s B ．0. 88 m ／s C ．-4.8 m /s D. 4.8 m /s5、f (x )在x =x 0处可导，则h x f h x f h )()(lim000-+→( )A.与x 0、h 有关B.仅与x 0有关，而与h 无关C.仅与h 有关，而与x 0无关D.与x 0、h 均无关6、（1）若f '(x 0)=2,则k x f k x f k 2)()(lim000--→=_____________（2）f (x )在x =a 处可导，则h h a f h a f h 2)()3(lim--+→等于( )A.f '(a )B.21f '(a ) C. 4 f '(a ) D.2 f '(a ) （3）函数f (x )可导，则h a f h a f h )()(lim 220-+→等于( )A.不存在B. f 2(a )C. f '(a )D.2f (a ) f '(a )7、一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s =3t-t 2．(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t =2时的瞬时速度； (3)求t =0到t =2时的平均速度．8、设函数f (x )在点x 0处可导，求h h x f h x f h 2)()(lim 000--+→的值．9、动点沿Ox 轴运动，运动规律由x =10t +5t 2给出．式中t 表示时间(单位：s )，x 表示距离(单位：m )，求在20≤t ≤20 + ∆t 时间段内动点的平均速度，其中(1)∆t = 1，(2)∆t =0.1，(3)∆t ＝0.01，当t ＝20s 时，运动的瞬时速度等于什么？第2课时 导数的几何意义（刘骏宇）学习要求1．理解导数的几何意义2．会用导数的定义求曲线的切线方程自学评价1、 割线的斜率：已知)(x f y =图像上两点))(,(00x f x A ，))(,(00x x f x x B ∆+∆+,过A,B 两点割线的斜率是_________，即曲线割线的斜率就是___________.2、 函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0/x f 的几何意义是___________________，相应地，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程为____________.3、 如果把)(x f y =看作是物体的运动方程，那么，导数)(0/x f 表示_____________，这就是导数的物理意义.【精典范例】例1：（1）求抛物线2x y =在点（1,1）切线的斜率.（2）求双曲线x y 1=在点(2,21)的切线方程.例2：(1)求曲线1x 3x y 2++=在点（1，5）处的切线方程.(2) 求曲线1x 3x y 2++=过点（1，5）处的切线方程.追踪训练1、设f (x )为可导函数且满足x x f f 2)21()1(lim0x --→=-1，则过曲线y =f (x )上点(1, f (1))处的切 线斜率为( )A ．2 B.-1 C ．1 D.-22.、y =x 3在点P 处的切线斜率为3,求点P 的坐标_______3、(1)求曲线f (x )=x 3+2x +1在点(1,4)处的切线方程____________．(2)已知曲线3x y =上的一点P(0，0) ,求过点P 的切线方程_________ (3)求过点(2,0)且与曲线xy 1=相切的直线方程____________ 4、将半径为R 的球加热，若球的半径增加∆R ，则球的体积增加∆y 约等于( )A.R R πΔ343B. R R Δ42πC. 24R πD. R R Δ4π 5、（2005，浙江）函数21y ax =+的图象与直线y x =相切，则a =（ ）111. ...1 842A B C D6、如果曲线10x x y 3-+=的一条切线与直线y=4x+3平行，那么曲线与切线相切 的切点坐标为_______ 7、曲线2x 31y 3+=在点(1,37)处切线的倾斜角为__________ 8、下列三个命题：a 若)x (f 0/不存在，则曲线)x (f y =在点))x (f ,x (00处没有切线； b 若曲线)x (f y =在点))x (f ,x (00处有切线，则)x (f 0/必存在；c 若)x (f 0/不存在，则曲线)x (f y =在点))x (f ,x (00处的切线的斜率不存在.其中正确的命题是_______ 9、曲线2x y=在0x 0=处的切线是否存在，若存在，求出切线的斜率和切线方程；若不存在，请说明理由.10、已知曲线1x y 2-=在点0x x=处的切线与曲线3x 1y -=在点0x x =处的切线互相平行，求0x 的值11、设点P 是曲线2x 3x y 3+-=上的任意一点，k 是曲线在点P 处的切线的斜率.(1)求k 的取值范围；(2)求当k 取最小值时的切线方程.3.2导数的运算第1课时 常数与幂函数的导数 第2课时 导数公式表（刘骏宇）学习要求1． 能利用导数的定义推导函数,c y =x y =,2x y =,3x y =,xy 1=,x y =的导数. 2． 能根据基本初等函数的求导公式，求简单函数的导数.自学评价1、=/)(u x _______（u 为有理数，且x>0） =/)1(x__________=/)(x _________2、=/)(x a _________(1,0≠>a a ) =/)(x e __________3、=/)(log x a ________(1,0≠>a a ,x>0)=/)(ln x __________(x>0)4、=/)(sin x _________ =/)(cos x _________【精典范例】例1：求下列函数的导数 （1）3x y= （2）x x y = （3）2xcos 2x sin 2y =（4）2x 1y = （5）x1y =例2：（1）求x 1y =在点)21,2(处的切线方程（2）求x ln y =在2e x =处的切线方程 （3）求x sin y =在点)21,6(A π处的切线方程例3：求过曲线x sin y =上的点)22,4(P π且与在这点处的切线垂直的直线方程.追踪训练1. 函数52-=xy 的导数为（ ）5752 .-x A5257 .--x B 5752.x C -5752 .--x D2. 曲线21x y =在点)41,2(-P 处的切线方程为（ ）014 .=++y x A 034 .=+-y x B 014 .=-+y x C 034 .=--y x D3. 曲线nx y =在2=x 处的导数为12，则n 等于（ ）1 .A2 .B3 .C4 .D4、与直线042=+-y x 平行的抛物线2x y =的切线方程是 （ ）03 2 .=+-y x A 032 .=--y x B 012 .=+-y x C 012 .=--y x D5、若曲线4x y =的一条切线l 与直线084=-+y x 垂直，则l 的方程为（ ）03 4 .=--y x A 054 .=-+y x B 034 .=+-y x C 034 .=++y x D6（1）设函数x x f cos )(=，则])2(['πf 等于 （ ）0 .A 1 .B 1 .-C 以上均不正确 .D（2）设函数x x f sin )(=，则)0(f '等于 （ ）1 .A 1 .-B 0 .C 以上均不正确 .D（3） 设1x x )e (f 2x/++=-，则=')1(f ( )1 .A 1 .-B 0 .C 以上均不正确 .D7、 下列计算正确的是 （ ）xx A a 1)(log .='xx B a 10ln )(log .='x C 3)(3 .x ='3ln 3)3( .x x D ='8、函数x y lg =与x 轴交点处的切线方程是__________ 9、x sin y =上切线斜率为21的点为_________ 10、点P 是曲线xe y =上任意一点，求点P 到直线x y =的最小距离。
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 学案
§基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课前预习学案--预习目标1.娴熟驾驭基本初等函数的导数公式；2.驾驭导数的四则运算法则；3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简洁函数的导数二.预习内容1.基本初等函数的导数公式表2.导数的运算法则1.[f(x)±g(x)]=2.[f(x)∙g(x)]=3-g(x).(2)推论：[cf(x)]=(常数与函数的积的导数，等于：)Ξ.提出怀疑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些怀疑，请把它填在下面的表格中怀疑点 怀疑内容课内探究学案学习目标1 .娴熟驾驭基本初等函数.的导数公式；2 .驾驭导数的四则运算法则；3 .能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简洁函数的导数二.学习过程 （一【复习回顾】复习五种常见函数y=c 、y=x 、y=f 、＞=2_、y的导数公式填写下表X（二）。
【提出问题，展示目标】y=f(χ)=e xy=e x函数导数1y=-Xy=4χ我们知道，函数y=/（x ）二∈。
"）的导数为.V =心"7,以后望见这种函数就可以干脆按公式去做，而不必用导致的定义了。
那么其它基本初等函数的导数怎么呢？又如何解决两个函数加。
减。
乘。
除的导数呢？这一节我们就来解决这个问题。
（三）、【合作探究】1.（D分四组对比记忆基本初等函数的导数公式表函数导数y=c y=oy=f(x)=x n (n 三Q^)y'=nx n ~l y=sinx y=COSx y=Cosx y=-sinx y=/U)=优y=a x Λna(a>0)(2)依据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数.(1)y=/与y=2*(2)y=3"与y=l0g3X2.(1)记忆导数的运算法则，比较积达则与商法则电相酶变回电_______________ 导数运算法则1.[f(x)±s(x)]=f(x)±g(x)2.[f(x)∙g(切'=f'(x)g(x)±f(x)gXx)3.[敛]=」一“)—乃加(X)(g(A Ao)_g*)」[g(x)]推论：[ςf(χ)]=ςf'(χ)(常数与函数的积的导数，等于：)提示:积法则,商法则，都是前导后不导，前不导后导，但积法则中间是加号，商法则中间是减号..(2)依据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数.(1)y=x3-2x+3(2)y=xSinx；(3)y=(2x2-5x+l)∙eλ；(4)y=-：4【点评】①求导数是在定义域内实行的.②求较困难的函数积、商的导数，必需细心、耐性.(B).典例精讲例1：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%,物价〃(单位：元)与时间f(单位：年)有如下函数关系p(∕)=po(l+5%)',其中PO为，=0时的物价.假定某种商品,的Po=I,那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0..01)?分析：商品的价格上涨的速度就是：解：变式训I练1：假如上式中某种商品,的Po=5,那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?例2日常生活中的饮水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯铮度为x%时所需费用(单位：元)为求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时改变率：(1)90% (2)98%分析：净化费用的瞬时改变率就是：解：比较上述运算结果，你有什么发觉？三.反思总结：(I)分四组写,出基本初等函数的导数公式表：(2)导数的运算法则：四.当堂检测1求下列函数的导数(1)y=Iog2X(2)y=2e x(3)y=2x3-3X2-4(4)y=3cosx-4sinx 2.求下列函数的导数In Y(1)y=x∖nx(2)y= ---------X。
高中数学 3.2导数的计算学案 新人教A版选修11
【金版学案】2015-2016学年高中数学 3.2导数的计算学案 新人教A 版选修1-1►基础梳理1．基本初等函数的导数公式． (1)若f (x )＝c ，则f ′(x )＝0；(2)若f (x )＝x n (n ∈Q *)，则f ′(x )＝nx n －1； (3)若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos_x ； (4)若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝－sin_x ；(5)若f (x )＝a x ，则f ′(x )＝a xln_a (a ＞0且a ≠1)；(6)若f (x )＝e x ，则f ′(x )＝e x；(7)若f (x )＝log a x ，则f ′(x )＝1x ln a (a ＞0，且a ≠1)；(8)若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x．2．导数运算法则．(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2[g (x )≠0]．,►自测自评 1．下列各式中正确的是(C )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(cos x )′＝sin xC ．(sin x )′＝cos xD ．(x －5)′＝－15x －62．函数y ＝x 2的导数是2x ．3．已知函数f (x )＝1x ，则f ′(－3)等于－19．解析：∵f ′(x )＝－1x2，∴f ′(－3)＝－1（－3）2＝－19.1．已知f (x )＝e xcos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值为(C )A ．e πB ．－e πC ．－e π2 D ．以上均不对2．曲线y ＝xx ＋1在x ＝－2处的切线方程为(B )A ．x ＋y ＋4＝0B ．x －y ＋4＝0C ．x －y ＝0D ．x －y －4＝0 解析：y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫x x ＋1′＝x ＋1－x （x ＋1）2＝1（x ＋1）2，k ＝1（－2＋1）2＝1，y ＝－2－2＋1＝2，故切点坐标为(－2，2)． 切线方程为x －y ＋4＝0，故选B.3．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t＋1n t －1(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t＝3时的速度为________．解析：∵s ′(t )＝2t －3t 2＋1t，∴s ′(3)＝6.答案：64．已知函数y ＝cos xx.(1)求函数的导数；(2)求函数在x ＝π处的切线方程．解析：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝（cos x ）′·x －cos x ·x ′x2＝－x sin x －cos xx2. (2)y ′|x ＝π＝－πsin π－cos ππ2＝1π2， 又当x ＝π时，y ＝cos ππ＝－1π，∴切线方程为y ＋1π＝1π2(x －π)，即x －π2y －2π＝0.5．(1)已知函数f (x )＝x 2(x －1)，当x ＝x 0时，有f ′(x 0)＝f (x 0)，求x 0；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 2－x ＋x 2，求f (x )的导数f ′(x )．解析：(1)直接求导后，代入已知，即可得方程，解方程得到x 0＝0，或x 0＝2±2； (2)先用换元法求出f (x )＝x2x 2－x ＋1，于是得到，f ′(x )＝（x ）′（2x 2－x ＋1）－x （2x 2－x ＋1）′（2x 2－x ＋1）2＝ 1－2x 2（2x 2－x ＋1）2.1．函数y ＝1x的导数y ′＝(D )A.12x x B ．－12x C.12x D ．－12x x2．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1，3)处的切线的倾斜角为(B ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°解析：本题主要考查了导数的几何意义及求导数，y ′＝3x 2－2，∴k ＝1，∴倾斜角为45°.3．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程是(A ) A ．3x －y －11＝0 B ．3x －y －17＝0 C ．3x ＋y －17＝0 D ．3x ＋y －11＝0解析：求导得斜率为k ＝y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x ＋1)2＋3≥3，所以k min ＝3，相应地，x ＝－1，y ＝－14.从而得切线方程是3x －y －11＝0.4．曲线y ＝x 3在点(1，1)处切线与x 轴及直线x ＝1所围成的三角形的面积为(B ) A.112 B.16 C.13 D.12解析：本题主要考查导数的几何意义．曲线y ＝x 3在点(1，1)处切线的斜率为： k ＝y ′|x ＝1＝3.利用点斜式可求得切线方程为：3x －y －2＝0.结合图象，可知所求三角形面积为：12×13×1＝16.5．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则(A ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1 解析：∵y ′＝2x ＋a |x ＝0＝a ，∴a ＝1. (0，b )在切线x －y ＋1＝0，∴b ＝1.6．已知点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是(D )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析：∵y ′＝3x 2－1≥－1.∴tan α＝3x 2－1≥－1，∴a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ＞0，cos x ，x ≤0，f ′(1)f (0)＝________．解析：当x ＞0时，f ′(x )＝12x ， 故f ′(1)f (0)＝12.答案：128．在同一平面直角坐标系中，已知函数y ＝f (x )的图象与y ＝e x的图象关于直线y ＝x 对称，则函数y ＝f (x )的解析式为__________；其对应的曲线在点(e ，f (e))处的切线方程为________．解析：依题意知f (x )＝ln x ，f ′(x )＝1x ，故所求的切线方程为：y ＝1ex .答案：f (x )＝ln x y ＝1e x9．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________． 解析：∵f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2－sin π2，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，∴f (x )＝－sin x ＋cos x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos π4－sin π4＝0. 答案：010．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f ′1(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n (x )＝f ′n－1(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 011⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________． 解析：f 2(x )＝f ′1(x )＝cos x －sin x ；f 3(x )＝f ′2(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ； f 4(x )＝f ′3(x )＝(－sin x －cos x )′＝－cos x ＋sin x ； f 5(x )＝f ′4(x )＝(－cos x ＋sin x )′＝sin x ＋cos x ； 依次类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )，又∵f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 4⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0， ∴f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 011⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－sin π2＋cos π2＝－1.答案：－111．在曲线y ＝1x(x ＜0)上求一点P ，使P 到直线x ＋2y －4＝0的距离最小．分析：把直线x ＋2y －4＝0平行移动，当与曲线y ＝1x(x ＜0)相切时，切点即为所求．解析：由题意知，平行于直线x ＋2y －4＝0与y ＝1x(x ＜0)相切的切点即为所求．设切点P (x 0，y 0)，由y ′＝－1x2，得k ＝y ′|x ＝x 0＝－1x 20，又x ＋2y －4＝0的斜率为－12，∴－1x 20＝－12，∴x 0＝2，或x 0＝－2，∵x ＜0，∴x 0＝－2，y 0＝－12＝－22， ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫－2，－22为所求． 12．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0，1)，在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求f (x )的解析式．解析：∵f (x )的图象过点P (0，1)，∴e ＝1.又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e . ∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2， ∴可得切点为(1，－1)． ∴a ＋c ＋1＝－1.①∵f ′(x )＝4ax 3＋2cx ，∴f ′(1)＝4a ＋2c . ∴4a ＋2c ＝1.②由①②得a ＝52，c ＝－92.∴f (x )＝52x 4－92x 2＋1.►体验高考1．(2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．解析：y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x 2，直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.答案：－32．(2013·江西卷)若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则α＝________．解析：因为y ′＝α·x α－1，所以在点(1，2)处的切线斜率k ＝α，则切线方程为y －2＝α(x －1)．又切线过原点，故0－2＝α(0－1)，解得α＝2.答案：23．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，则a ＝________，b ＝________．解析：由函数f (x )的图象过原点，得b ＝0，又f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)， f (x )在原点处的切线斜率是－3， 则－a (a ＋2)＝－3， 所以a ＝－3，或a ＝1. 答案：－3或1 04．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝(B)A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 2解析：∵f ()x ＝x ln x ，∴f ′()x ＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1.∴由f ′()x 0＝2得ln x 0＋1＝2， ∴x 0＝e ，故选B.5．曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1，1)处的切线方程为________________． 解析：∵y ＝x (3ln x ＋1)，∴y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x＝3ln x ＋4，∴k ＝y ′|x ＝1＝4，∴所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3. 答案：y ＝4x －36．设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax＋b (a >0)．(1)求f (x )的最小值；(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．解析：(1)f (x )＝ax ＋1ax＋b ≥2ax ·1ax＋b ＝b ＋2，当且仅当ax ＝1，即x ＝1a时，f (x )的最小值为b ＋2.(2)由题意得：f (1)＝32⇔a ＋1a ＋b ＝32，①f ′(x )＝a －1ax 2⇒f ′(1)＝a －1a ＝32，②由①②得：a ＝2，b ＝－1.。
3.2导数的计算教案-推荐下载
教学目标： 1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式； 2、能利用导数公式求简单函数的导数。
教学重难点： 能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用 教学过程： 检查预习情况：见学案 目标展示： 见学案 合作探究：
探究任务一：函数 y f (x) c 的导数.
典型例题
1．函数 y f (x) c 的导数
y
根据导数定义，因为
x
f (x x)
所以 y lim y lim 0 0
x0
x x0
函数
yc
x
f (x) c c 0
y 0 表示函数 y c 图像上每一点处的切线的斜率都为 0．若 y c 表示路程关于时间的
，可以解释为
x
导数
y 0
，可以解释为
.
.
所以 y lim y
y 1表示函数 y x 图像上每一点处的切线的斜率都为 1．若 y x 表示路程关于时间的
函数，则 y 1可以解释为某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动．
问题：如何求函数 y f (x) c 的导数
新知： y 0 表示函数 y c 图象上每一点处的切线斜率为
若 y c 表示路程关于时间的函数，则 y
即一直处于静止状态.
试试： 求函数 y f (x) x 的导数
反思： y 1表示函数 y x 图象上每一点处的切线斜率为
所以 y lim y lim ( 1 ) 1
x0 x x0 x2 x x
函数
1 1 x x x
x
x2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.2导数的计算学案
一、学习目标：1、能根据定义求函数c y =，x y =，2x y =，x
y 1=
的导数。
2、能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单的函数的导数。
二、自主学习 1、几个常用函数的导数
探究1;在同一平面直角坐标系中，画出函数x y 2=，x y 3=，x y 4=的图像，并根据导数定义，求出他们的导数。
（1） 从图像上看，他们的导数分别表示什么？
（2） 这三个函数中哪个增加的最快？哪个增加的最慢？ （3） 函数kx y =（k ≠0）增（减）的快慢和什么有关？ 探究2：画出函数x
y 1=的图像，根据图像，描述它的变化情况，并求出曲线在点（1,1）处
的切线方程。
2、基本初等函数的导数公式
3、函数x e y =的导数与函数x a y =的导数有何关系？函数x y ln =的导数与函数
x y a lo g =的导数有什么关系？
4、若)(/x f =x e ，则)(/x f =x e 这种说法 正确吗？
7、能否认为函数2
2
2)(x
ax a x f -+=的导数为)(/x f =2
22x
x a -+或
)(/
x f =a x 22+-？
8、函数x
x x f cos )(=
，则)(/
x f =。