高中数学知识讲解_充分条件与必要条件_基础

充分条件与必要条件

【学习目标】

1．理解充分条件、必要条件、充要条件的定义；

2．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；

3．会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系；

4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.

【要点梳理】

要点一：充分条件与必要条件、充要条件的概念

1. 符号p q

⇒与p q

⇒/的含义

“若p，则q”为真命题，记作：p q

⇒；

“若p，则q”为假命题，记作：p q

⇒/.

2. 充分条件、必要条件与充要条件

①若p q

⇒，称p是q的充分条件，q是p的必要条件.

②如果既有p q

⇔，这时p是q的充分必要条件，称p是⇒，又有q p

⇒，就记作p q

q的充要条件.

要点诠释：对p q

⇒的理解：指当p成立时，q一定成立，即由p通过推理可以得到q.

①“若p，则q”为真命题；

②p是q的充分条件；

③q是p的必要条件.

以上三种形式均为“p q

⇒”这一逻辑关系的表达.

要点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断

1. 从逻辑推理关系看

命题“若p，则q”，其条件p与结论q之间的逻辑关系.

①若p q

⇒，但q p

⇒/，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；

②若p q

⇒，则p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件；

⇒/，但q p

③若p q

⇔，则p、q互为充要条件；

⇒，且q p

⇒，即p q

④若p q

⇒/，则p是q的既不充分也不必要条件.

⇒/，且q p

2. 从集合与集合间的关系看

若p：x∈A，则q：x∈B.

①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

②若A是B的真子集，则p是q的充分不必要条件；

③若A=B，则p、q互为充要条件；

④若A不是B的子集且B不是A的子集，则p是q的既不充分也不必要条件.

要点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：

①确定哪个是条件，哪个是结论；

②尝试用条件推结论；

③再尝试用结论推条件；

④最后判断条件是结论的什么条件.

要点三：充要条件的证明

要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）.

要点诠释：对于命题“若p ，则q ” ：

①如果p 是q 的充分条件，则原命题“若p ，则q ”与其逆否命题“若q ⌝，则p ⌝”为真命题；

②如果p 是q 的必要条件，则其逆命题“若q ，则p ”与其否命题“若p ⌝，则q ⌝”为真命题；

③如果p 是q 的充要条件，则四种命题均为真命题.

【典型例题】

类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定

例1. 指出下列各题中，p 分别是q 的什么条件？

(1) p ：(2)(3)0x x --=， q ： 2x =；

(2) p ：0c =， q ： 抛物线2y ax bx c =++过原点；

(3) p ：一个四边形是矩形， q ： 四边形的邻边相等.

【思路点拨】本题中，p 是条件，q 是结论. 尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件，从而判断p 分别是q 的什么条件.

【解析】

(1)∵p ： 2x =或3x =， q ： 2x =，

∴p q ⇒/且q p ⇒，∴p 是q 的必要不充分条件.

(2)∵p q ⇒且q p ⇒，∴p 是q 的充要条件，

(3)∵p q ⇒/且q p ⇒/，∴p 是q 的既不充分条件也不必要条件.

【总结升华】判定充要条件的基本方法是定义法，即“定条件——找推式——下结论”.有时需要将条件等价转化后再判定.

举一反三：

【变式1】指出下列各题中，p 是q 的什么条件？

（1）p ：A B ∠=∠， q ：A ∠和B ∠是对顶角.

（2）p ：1x =， q ：21x =；

【解析】

（1）∵p q ⇒/且q p ⇒，

∴p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件.

（2）∵2:111q x x x =⇔==-或

∴211x x =⇒=，但211x x =⇒=/，

∴p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件.

【变式2】判断下列各题中p 是q 的什么条件.

（1）p ：0a >且0b >， q ：0ab >；

（2）p ：1x y

>， q ： x y >. 【答案】

（1）p 是q 的充分不必要条件.

∵0a >且0b >时，0ab >成立；

反之，当0ab >时，只要求a 、b 同号即可.

∴必要性不成立.

（2）p 是q 的既不充分也不必要条件

∵1x y >在0y >的条件下才有x y >成立. ∴充分性不成立，同理必要性也不成立.

【高清课堂：充分条件与必要条件394804例2】

例2. 已知p ：0

A 、充分不必要条件

B 、必要不充分条件

C 、充要条件

D 、既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】解不等式|x -1|<2得-1

将集合P ={|03}x x <<与Q ={|13}A x x =<< 在数轴上表示出来，如图，

从图中看P Q ⊆， 所以p ⇒q ，但q ⇒/p ，

故p 是q 的充分不必要条件.

【总结升华】

①先对已知条件进行等价转化化简，然后由定义判断；

②不等式（解集）表示的条件之间的相互关系可以借助集合间的关系判断.

举一反三：

【高清课堂：充分条件与必要条件394804例3】

【变式1】设x ∈R ，则条件“2x >”的一个必要不充分条件为（ ）

A.1x >

B.1x <

C.3x >

D.3x <