高中数学知识讲解_充分条件与必要条件_基础

充分条件与必要条件【学习目标】1．理解充分条件、必要条件、充要条件的定义；2．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；3．会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系；4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.【要点梳理】要点一：充分条件与必要条件、充要条件的概念1. 符号p q⇒与p q⇒/的含义“若p，则q”为真命题，记作：p q⇒；“若p，则q”为假命题，记作：p q⇒/.2. 充分条件、必要条件与充要条件①若p q⇒，称p是q的充分条件，q是p的必要条件.②如果既有p q⇔，这时p是q的充分必要条件，称p是⇒，又有q p⇒，就记作p qq的充要条件.要点诠释：对p q⇒的理解：指当p成立时，q一定成立，即由p通过推理可以得到q.①“若p，则q”为真命题；②p是q的充分条件；③q是p的必要条件.以上三种形式均为“p q⇒”这一逻辑关系的表达.要点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断1. 从逻辑推理关系看命题“若p，则q”，其条件p与结论q之间的逻辑关系.①若p q⇒，但q p⇒/，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；②若p q⇒，则p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件；⇒/，但q p③若p q⇔，则p、q互为充要条件；⇒，且q p⇒，即p q④若p q⇒/，则p是q的既不充分也不必要条件.⇒/，且q p2. 从集合与集合间的关系看若p：x∈A，则q：x∈B.①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；②若A是B的真子集，则p是q的充分不必要条件；③若A=B，则p、q互为充要条件；④若A不是B的子集且B不是A的子集，则p是q的既不充分也不必要条件.要点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件.要点三：充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）.要点诠释：对于命题“若p ，则q ” ：①如果p 是q 的充分条件，则原命题“若p ，则q ”与其逆否命题“若q ⌝，则p ⌝”为真命题；②如果p 是q 的必要条件，则其逆命题“若q ，则p ”与其否命题“若p ⌝，则q ⌝”为真命题；③如果p 是q 的充要条件，则四种命题均为真命题.【典型例题】类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定例1. 指出下列各题中，p 分别是q 的什么条件？(1) p ：(2)(3)0x x --=， q ： 2x =；(2) p ：0c =， q ： 抛物线2y ax bx c =++过原点；(3) p ：一个四边形是矩形， q ： 四边形的邻边相等.【思路点拨】本题中，p 是条件，q 是结论. 尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件，从而判断p 分别是q 的什么条件.【解析】(1)∵p ： 2x =或3x =， q ： 2x =，∴p q ⇒/且q p ⇒，∴p 是q 的必要不充分条件.(2)∵p q ⇒且q p ⇒，∴p 是q 的充要条件，(3)∵p q ⇒/且q p ⇒/，∴p 是q 的既不充分条件也不必要条件.【总结升华】判定充要条件的基本方法是定义法，即“定条件——找推式——下结论”.有时需要将条件等价转化后再判定.举一反三：【变式1】指出下列各题中，p 是q 的什么条件？（1）p ：A B ∠=∠， q ：A ∠和B ∠是对顶角.（2）p ：1x =， q ：21x =；【解析】（1）∵p q ⇒/且q p ⇒，∴p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件.（2）∵2:111q x x x =⇔==-或∴211x x =⇒=，但211x x =⇒=/，∴p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件.【变式2】判断下列各题中p 是q 的什么条件.（1）p ：0a >且0b >， q ：0ab >；（2）p ：1x y>， q ： x y >. 【答案】（1）p 是q 的充分不必要条件.∵0a >且0b >时，0ab >成立；反之，当0ab >时，只要求a 、b 同号即可.∴必要性不成立.（2）p 是q 的既不充分也不必要条件∵1x y >在0y >的条件下才有x y >成立. ∴充分性不成立，同理必要性也不成立.【高清课堂：充分条件与必要条件394804例2】例2. 已知p ：0<x <3，q ：|x -1|<2，则p 是q 的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解不等式|x -1|<2得-1<x <3，即q ：-1<x <3.将集合P ={|03}x x <<与Q ={|13}A x x =<< 在数轴上表示出来，如图，从图中看P Q ⊆， 所以p ⇒q ，但q ⇒/p ，故p 是q 的充分不必要条件.【总结升华】①先对已知条件进行等价转化化简，然后由定义判断；②不等式（解集）表示的条件之间的相互关系可以借助集合间的关系判断.举一反三：【高清课堂：充分条件与必要条件394804例3】【变式1】设x ∈R ，则条件“2x >”的一个必要不充分条件为（ ）A.1x >B.1x <C.3x >D.3x <【答案】A【变式2】下列各小题中，p是q的什么条件？（1）p：22-<<；xx-≤≤，q：20（2）p：03xx-<<.<<，q：13【答案】(1) p是q的必要不充分条件；(2) p是q的充分不必要条件.【变式3】设条件甲为“250x x--<””那么甲是乙的（）-<”，条件乙为“2560x xA、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件【答案】B类型二：充要条件的探求与证明例3.设x y、∈R，求证：|x y+|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.【思路点拨】注意分清条件与结论. 本题中条件：xy≥0；结论：|x y+|=|x|+|y|.要证明充要条件的成立，须从两方面着手：条件∣结论；结论∣条件.【证明】（1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y≠0；②x≠0，y=0；③x=0，y=0，于是|x+y|=|x|+|y|如果xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，当x＞0，y＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|.当x＜0，y＜0时，|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=| x|+|y|.总之，当xy≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x、y∈R，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，即2222x xy y x xy y++=++，|xy|=xy，22∴xy≥0.综上可得|x y+|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.【总结升华】充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件，哪是结论，然后搞清楚充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题.判断命题的充要关系有三种方法：（1）定义法；（2）等价法，即利用A B⇔与A B⌝⇔⌝的⇒与B A⌝⇒⌝；A B⇒与A B⌝⇒⌝；B A等价关系，对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运用等价法.（3）利用集合间的包含关系判断，若A B⊆，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件.举一反三：【变式1】已知a b c，，都是实数，证明ac< 0是关于x的方程2++=0有一个正ax bx c根和一个负根的充要条件.【解析】（1）充分性：若ac<0，则Δ=b2-4ac>0，方程2ax bx c++=0有两个相异实根，设为x1，x2，∵ac<0，∴x1·x2=ca<0，即x1，x2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根.（2）必要性：若方程2ax bx c++=0有一个正根和一个负根，设为x1，x2，且x1>0，x2<0，则x1·x2=ca<0，∴ac<0.综上可得ac<0是方程2ax bx c++=0有一个正根和一个负根的充要条件. 【变式2】求关于x的方程2210ax x++=至少有一个负的实根的充要条件. 【解析】（1）a=0时适合.（2）当a≠0时，显然方程没有零根.若方程有两异号的实根，则必须满足1440aaa⎧<⎪⇒<⎨⎪∆=->⎩；若方程有两个负的实根，则必须满足12001440aa aa⎧>⎪⎪⎪-<⇒<≤⎨⎪⎪∆=-≥⎪⎩综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1类型三：充要条件的应用例4.已知条件p：2x+ax＋1≤ 0，条件q：23x x－＋2≤ 0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】－2≤a≤2【解析】解不等式23x x－＋2≤ 0得1≤x≤2.令A＝{x∈R|2x+ax＋1≤ 0}，B＝{x|1≤x≤2}，∵p是q的充分不必要条件，∴p q⇒，即A⊆B，可知A=∅或方程2x+ax＋1＝0的两根要在区间[1，2]内，∴Δ＝a 2－4<0或01224210110a a a ∆≥⎧⎪⎪≤-≤⎪⎨⎪++≥⎪++≥⎪⎩，得－2≤a ≤2. 【总结升华】解决这类参数的取值范围问题，应尽量运用集合法求解，即先化简集合A 、B ，再由它们的因果关系，得到A 与B 的包含关系，进而得到相关不等式组，解之即可.举一反三：【变式1】已知命题p ：()110c x +c c <<>－，命题q ：x >7或x <－1，并且p 是q 的既不充分又不必要条件，则c 的取值范围是________．【答案】0<c ≤2【解析】命题p 对应的集合A ＝{x|1－c<x<1＋c ，c>0}，同理，命题q 对应的集合B ＝{x|x>7或x<－1}．因为p 是q 的既不充分又不必要条件，所以A B =∅或A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，所以1117c c -≥-⎧⎨+≤⎩，①或1117c c +≥-⎧⎨-≤⎩，②，解①得c≤2，解②得c≥－2，又c>0，综上所述得0<c≤2.【变式2】已知p ：1|1|23x --≤，q ：22210(0)x x m m -+-≤>，若p 是q 的充分不必要条件，求m 的取值范围.【答案】9m ≥【解析】由22210(0)x x m m -+-≤>解得11m x m -≤≤+ 又由1|1|23x --≤解得210x -≤≤ p 是q 的充分不必要条件，所以012,110m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+>⎩或012,110m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+≥⎩解得9m ≥。