数学分析课本(华师大三版)-习题及答案04

第四章 函数的连续性

习题

§1 连续性概念

1． 按定义证明下列函数在其定义域内连续：

（1）()x

x f 1

=

； （2） ()x x f = 2． 指出下列函数的间断点并说明其类型：

（1）()x x x f 1+

=； （2）()x

x x f sin =； （3）()[]

x x f cos =； （4）()x x f sgn =； （5）()()x x f cos sgn =； （6）()⎩⎨

⎧-=为无理数；

为有理数，

x x x x x f ,,

（7）()()⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎨⎧

+∞<<--≤≤--<<-∞+=x x x x x x x x f 1,11sin 11

7,7,71 3． 延拓下列函数，使其在R 上连续：

（1）()2

8

3--=x x x f ； （2）()2cos 1x x x f -=； （3）()x x x f 1cos =.

4． 证明：若f 在点0x 连续，则f 与2f 也在点0x 连续。又问：若f 与2f 在I 上连续，

那么f 在I 上是否必连续？

5． 设当0≠x 时()()x g x f ≡，而()()00g f ≠。证明：f 与g 两者中至多有一个在0

=x 连续

6． 设f 为区间I 上的单调函数。证明：若I x ∈0为f 的间断点，则0x 必是f 的第一类间

断点

7． 设f 只有可去间断点，定义()()y f x g x

y →=lim ，证明：g 为连续函数

8． 设f 为R 上的单调函数，定义()()0+=x f x g ，证明：g 在R 上每一点都右连续 9． 举出定义在[]1,0上分别符合下述要求的函数： （1）只在

41,31,21三点不连续的函数； （2）只在4

1

,31,21三点连续的函数；

（3）只在

() ,2,11

=n n

上间断的函数；4）只在0=x 右连续，而在其他点都不连续的函数

§2 连续函数的性质

1． 论复合函数g f 与f g 的连续性，设

（1）()x x f sgn =，()21x x g +=；（2）()x x f sgn =，()()

x x x g 21-=. 2. 设g f , 在点0x 连续，证明：

（1）若()()00x g x f >，则存在()δ,0x ，使在其内有()()x g x f >； （2）若在某()00x 内有()()x g x f >，则()()00x g x f >

3. 设g f , 在区间I 连续.记()()(){}()()(){}x g x f x G x g x f x F ,min ,,max ==.证明：

G F ,也在I 上连续.

4. 设f 为R 上连续函数，常数0>c .记

()()()())⎪⎩

⎪

⎨⎧>≤-<-=,,,,,

,c x f c c x f x f c x f c x F 若若若

证明：F 在R 上连续.

5.设()()⎩⎨⎧>+≤-==.

0,,

0,,sin x x x x x g x x f ππ证明：复合函数g f 在0=x 连续，但g 在0

=x 不连续.

6.设f 在[)+∞,a 上连续，且()x f x +∞

→lim 存在.证明：f 在[)+∞,a 上有界.又问f 在[)+∞,a 上

必有最大值或最小值吗？

7.若对任何充分小的0>ε，f 在[]εε-+b a ,上连续，能否由此推出f 在()b a ,内连续. 8.求极限：

（1）()x x x tan lim 4

-→

ππ； （2）11

21lim 21+--++→x x x x x . 9.证明：若f 在[]b a ,上连续，且对任何[]()0,,≠∈x f b a x ，则f 在[]b a ,上恒正或恒负. 10．证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根.

11．试用一致连续的定义证明：若g f ,都在区间I 上一致连续，则g f +也在区间I 上一

致连续.

12．证明：()x x f =

在区间[)+∞,0上一致连续.

13．证明：()2x x f =在区间[]b a ,上一致连续，但在区间()+∞∞-,上不一致连续. 14．设函数f 在区间I 上满足利普希芝条件，即存在常数0>L ，使得对I 上任意两点//

/,x x 都有()()

//

////x x L x f x f -≤-.证明：f 在I 上一致连续.

15．证明：x sin 在()+∞∞-,上一致连续.

16．设函数f 满足第6题的条件.证明：f 在[)+∞,a 上一致连续.

17．设f 在[]a 2,0上连续，且()()a f f 20=.证明：存在点[]a x 2,00∈，使得

()()a x f x f +=00

18．设f 为[]b a ,上的增函数，其值域为()()[]b f a f ,.证明：f 为[]b a ,上连续. 19．设f 为[]b a ,上连续.，[]b a x x x n ,,,,21∈ .证明：存在[]b a ,∈ξ，使得 ()()()()[]n x f x f x f n

x f +++=

211

. 20．证明：()x x f cos =在[)+∞,0上一致连续. §3 初等函数的连续性 1． 求下列极限：

（1）()x x x e x x -+++→1ln 15cos lim 20； （2）⎪⎭

⎫

⎝⎛-+++∞→x x x x x lim ；

（3）⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+--+++→x x x x x x x 111111lim 0； （4）1

lim

++++∞

→x x

x x x ； （5）()

x

x x cot 0sin 1lim +→.

2． 设b b a a n n n n =>=∞

→∞

→lim ,0lim .证明：b

b

n n a a n =∞

→lim .

总练习题

1． 设函数f 在()b a ,内连续，且()0+a f 与()0-b f 为有限值.证明：

（1）f 在()b a ,内有界；