第四章控制系统的根轨迹分析法

n
α =
( − 0 . 2 − 1) − ( − 2 ) = 0 .8 n−m 2 −1 ± 180 2 K + 1） （ 渐近线与实轴的夹角为 ：φ = = 180 2 −1
l =1 i =1
∑
Pl −
m
∑
Zi
=
o
与虚轴的交点: 无 分离点： S1 =-0.66 , 根轨迹
S2=-3.34
Im
-2
令 : S − Z i = AZ i • e j φ i S − Pl = B Pl • e jφl
m
i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, m l = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, n = Kg ∏ AZ i
i =1 m j(
GK = G • H =
Kg ∏ AZ i • e jφ i
i =1
∑ φi − ∑ φl )
与虚轴的交点 出射角： 根轨迹
S=±j3.16
α=1800-（θ1+θ2+θ3）=-900 j3.16 Im θ2 -4 -2 θ3 θ1 0 Re
-j3.16
9、根轨迹上任何一点所对应的K值可以由幅值条件来计算。
K =
∏ ∏
i =1 l =1 m
n
S − Pl S − Zi
Z1，Z2，·····Zm——开环传函的零点 P1，P2，····Pn ——开环传函的极点
( − 0 .5 − 1 .5 ) − ( − 3 ) =1 n−m 2 −1 ± 180 2 K + 1） （ 渐近线与实轴的夹角为 ：φ = = 180 n−m
l =1 i =1
∑
Pl −
m
∑
Zi
=
o
Im
-3
-1.5 -0.5
0
Re
7、系统的根轨迹与虚轴相交，交点由劳斯判据来确定；或 令S=±jω代入，闭环传递函数特征方程，求解。 例题31：GK=K/[S（S+4）（S+5）] ，求与虚轴的交点。 解： 闭环传函为：1+GK=0 S3 1 20 即：S3+9S2+20S+K=0 S2 9 k （180-K）/9=0 9S2+ K=0 → K=180 S （180-k)/9 0 k
第四章控制系统的根轨迹分析法
主要内容： • • • • 根轨迹的基本概念 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 参量根轨迹 正反馈系统的根轨迹
第一节 根轨迹的基本概念
目的： 由前面的介绍可知，闭环系统的稳定完全取决于系统 的特征根，即闭环极点，为了找出系统的极点，就必 须要求特征方程，但对于三阶以上的系统来说，求解 特征方程是非常困难的。于是产生了根轨迹方法。 根据系统开环传递函数中零、极点在[S]复平面中 的分布来确定系统中一个或多个参数变化时，闭 环系统特征根的变化轨迹。
Re -1
三、控制系统的一般分析： 1、开环极点的变化对系统的影响 增加开环极点： Im
K G f = G(S ) • H (S ) = S (S + a)
-a -0.5
0 Re
K G f = G(S ) • H (S ) = S ( S + a )( S + b)
结论：增加开环极点对稳定性不利!! 0
K (1 + Td S ) G ( s) H (s) = ( S + S1 )( S + S 2 )( S + S 3 )
1, 2
0 Re
1 1 =− ± j 4K − 1 2 2
任意一系统，特征方程为： R(S) 1+G（S）H（S）=0 即：G（S）H（S）=-1 也就是 幅值条件
E（S） G（S） B（S） H（S）
Y(S)
相位条件
G(S)H(S) = 1
若系统的开传为
G ( S ) H ( S ) = ±180(2 K + 1)
l =1 i =1
∑
Pl −
m
∑
Zi
o
与虚轴的交点 S=±j3.165 分离点： S1 =-1.1835 , S2=-2.8165 出射角： 根轨迹 α=1800-（θ1+θ2）=-71.570
Im -1.1835 -71.57 0 Re -j3.16
j3.16
-2.8165
例题36: GK=KC(0.5S+1)/[(S+1)(5S+1)], 画出KC变化时的轨迹. 解： 2个极点，-0.2, -1 ，1个零点 -2
Im Im
-4
-1.6
-1 -0.8 Td=1.25
+1 Re
-4
-2 -1 Td=0.5
+1 Re
随着Td的增加,系统稳定性增加但是Td的增加,零点的右 移,使系统稳定范围减小,故Td在一定范围内可以增加系统的 稳定性. 作业：4-1、4-2
第三节参量根轨迹
一、参量根轨迹的分析方法： 定义：选择除开环放大系数以外的其它参量作为可变量绘 制的根轨迹称之为参量根轨迹或广义根轨迹。
n
(−4 − 5) − 0 α = = = −3 n−m 3−0 ± 180 2 K + 1） （ 渐近线与实轴的夹角为 ：φ = = ± 60 o ,180 n−m
l =1 i =1
∑
Pl −
m
∑
Baidu Nhomakorabea
Zi
o
Im
-5
-4
-3
0
Re
例题28：设闭环特征方程为1+K/[S（S+1）（S+2）]， 求渐近线。 解：开环传函为GK=K/ [S（S+1）（S+2）] 3个极点，0，-1，-2，无零点
定义：
例如：二阶系统，如图，分析其开环传递函数 解： 开环传递函数为： -
k S(S + a)
K G f = G(S ) • H (S ) = •1 S (S + a)
闭环传递函数为：
Y ( s) G ( S ) K G = = = R( s) 1 + G f S (S + a) + K
特征方程： S（S+a）+K=0 Im
Im
K0
-b
-a
Re
开环极点的移动：
K G f = G(S ) • H (S ) = S ( S + 4)( S + 5)
极点: 0 ,-4 , -5 中间极点右移 - 4 →- 2 -5 -4 -3 -1.47
Im
Re
K G f = G(S ) • H (S ) = S ( S + 2)( S + 5)
n
α =
(0 − 4 − 2 − j 4 − 2 + j 4 ) − (0 ) = −2 n−m 4−0 ± 180 2 K + 1） （ 渐近线与实轴的夹角为 ：φ = = ± 45 o , ± 135 4−0
l =1 i =1
∑
Pl −
m
∑
Zi
=
o
分离点： 由闭环特征方程得：
dK/dS=0 K=-[S4+8S3+36S2+80S] S1=-2，S2，3=-2±j2.45
K = 0,1,⋅ ⋅ ⋅
(m ≤ n)
Kg ( S − Z 1 )( S − Z 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( S − Z m ) GK = G • H = ( S − P1 )( S − P2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( S − Pn )
Z1，Z2，·····Zm——开环传函的零点 P1，P2，····Pn ——开环传函的极点
i =1 l =1
m
n
∏B
l =1
n
Pl
•e
jφ l
∏B
l =1
n
e
Pl
于是有
Kg ∏ AZ i
i =1
m
∏B
l =1
n
=1
i =1
∑ φ i − ∑ φ l = ±180 ( 2 K + 1)
l =1
m
n
Pl
结论：平面上所有满足相位条件的点都是根轨迹上的点
一、基本性质： 1、任何一条根轨迹都起始于开环极点，终止于开环零点或 无穷远处； 2、根轨迹的分支数等于开环极点数； 3、根轨迹对称于实轴； 4、实轴上任何线段右面的开环极点数和开环零点数之和为奇 4 数时，该线段为根轨迹的一部分； 5、若m＜n，则（n-m）条终止于∞处的根轨迹，按其渐近线 方向运动，渐近线与实轴的交点为：
S=±j4.47 S0
例题32：GK=K/[S（S+4）（S2+4S+20）] ，求与虚轴的交点。 解： 闭环传函为：1+GK=0 80-8K/26=0 26S2+K=0 ↓ K=260 S=±j3.16 即：S4+8S3+36S2+80S+K=0 S4 S3 S2 S S0 1 8 26 80-8K/26 K 36 80 K 0 0 K 0 0 0 0
-0.88 -2
Im
-5 结论：中间极点右移，根轨迹右移，稳定 性下降；系统中有多个极点，移动靠近虚 轴的极点对系统的影响大；移动远离虚轴 的极点对系统的影响小。
-2.33
Re
2、开环零点的改变对系统的影响： 比例微分控制 G ( S ) = K C (1 + Td S )
K C (1 + Td S ) G(S ) H (S ) = ( S + 4)( S + 1)( S − 1) 0 .5 K C ( S + 2 ) 讨论: G(S ) H (S ) = Td=0.5 ( S + 4)( S + 1)( S − 1) 1.25 K C ( S + 0.8) G(S ) H (S ) = Td=1.25 ( S + 4)( S + 1)( S − 1)
例题35: GK=K/[S(S2+6S+10)],画出K变化时的轨迹. 解：
n
3个极点，0，-3±j1
，0个零点
( 0 − 3 − j1 − 3 + j1 ) − ( 0 ) α = = = −2 n−m 3−0 ± 180 2 K + 1） （ 渐近线与实轴的夹角为 ：φ = = ± 60 o ,180 3−0
n m
α =
(−1 − 2) − 0 = −1 n−m 3−0 ± 180 2 K + 1） （ 渐近线与实轴的夹角为 ：φ = = ± 60 o ,180 n−m
l =1 i =1
∑
Pl −
∑
Zi
=
o
Im
-2
-1
0
Re
6、当两条根轨迹相遇时，它们的交点（会合点、分离点） 可以通过Dk/Ds=0 确定，若有γ条根轨迹相遇，它们将与 实轴呈±180/γ的角度分开； 例题29：求GK=K/[S（S+4）（S+5）]的分离点。 解： 闭环特征方程为 1+K/[S（S+4）（S+5）]=0 K=-S（S+4）（S+5） 即-（3S2+18S+20）=0 Im 令：dK/dS=0 S1=-1.47 ，S2=-4.53
10、若开环传递函数的极点数大于零点数加1，则闭环特征 根之和等于开环特征根之和。（n≥m） n≥m 二、绘制根轨迹的规则： 例题34: GK=K/[S(S2+6S+25)],画出K变化时的轨迹. 解：
n
3个极点，0，-3±j4
，0个零点
α =
(0 − 3 − j 4 − 3 + j 4 ) − (0 ) = −2 n−m 3−0 ± 180 2 K + 1） （ 渐近线与实轴的夹角为 ：φ = = ± 60 o ,180 3−0
l =1 i =1
∑
Pl −
m
∑
Zi
=
o
与虚轴的交点
S=±j5
分离点： 由闭环特征方程得：K=-[S3+6S2+25S] S1,2=-2±j2.0817 将S代入K的表达式,若K为正实数,则S必为 根轨迹上的点 出射角： 根轨迹 α=1800-（θ
1+θ2）=
-36.870 θ
Im j5
0 Re -j5
-5
-4
-3
-1.47 0
Re
例题30：求GK=K（S+3）/[（S+0.5）（S+1.5）]的分离点。 解：开环传函为GK=K（S+3） /[（S+0.5）（S+1.5）] 2个极点，-0.5，-1.5
n
，1个零点 -3
α =
闭环传函特征方程1+K（S+3） /[（S+0.5）（S+1.5）]=0 K=-（S+0.5）（S+1.5）/（S+3） dK/dS=0 → S1=-1.063， S2=-4.936
S1, 2
− a ± a 2 − 4 K a =1 1 1 = → = − ± 1 − 4K 2 2 2
-1 -0.5
讨论：K变化时，闭环特征根怎样变化 K = 0 时 ， S1=0； S2=-1 0＜K＜1/4 时 ， S1，S2为两个互异的负实根 K=1/4 时， S1=S2=-0.5 K＞1/4时， S
8、出射角=1800-所有其它开环极点到该极点所有向量的相 角和+所有其它开环零点到该极点所有向量的相角和。 出射角指的是从极点出发的角度，主要针对有虚根的情况。
入射角=1800-所有其它开环零点到该零点所有向量的相角 和+所有其它开环极点到该零点所有向量的相角和。 入射角指的是进入零点的角度。 例题33：GK=K/[S（S+4）（S2+4S+20）] ，画出根轨迹图。 解： 4个极点，0，-4，-2±j4 ，0个零点
n
第二节绘制根轨迹的基本条件 和基本规则
α =
∑
l =1
Pl −
m
∑
i =1
Zi
o ± 180 （ 2 K + 1） ：φ = n−m
n−m
渐近线与实轴的夹角为
例题27：开环传函为GK=K/[S（S+4）（S+5）]，求其根轨 迹的渐近线 解：n=3 S1，2，3=0，-4，-5 m=0 有三条渐近线