沪教版(上海)数学高一下册-6.4 反三角函数(1) 教案
沪教版(上海)数学高一下册-6.4 反正弦函数 教案
反正弦函数教材分析反正弦函数是反三角函数的重要组成部分，是反三角函数中的代表，为三角方程解的表示创造条件，作为基本初等函数意义重大． 教学目标 1、 知识目标（1）理解正弦函数没有反函数；（2）理解并掌握反正弦函数的概念； （3）理解并掌握反正弦函数的图像；（4）能初步用反正弦形式表示相应角的值． 2、 情感目标（1）培养学生思维的严谨性；（2）感受数学魅力，激发学生学习数学的兴趣． 教学重点 认识和掌握反正弦函数的意义．教学难点 （1）理解反正弦函数概念产生的过程；（2）掌握反正弦函数记号的具体含义．教学过程一、课堂引入如图所示，Rt ABC ∆中，3,4,5AC BC AB = = =，我们知道B 是一个确定的锐角，且3sin 5B =，但它又不是一个特殊角，那么我们该如何来准确表示它呢？为了解决类似用角的正弦值来表示角的值的问题，我们今天来引入并讨论研究一个新的函数――反正弦函数． 二、教学过程（一）反正弦函数概念产生的过程：（1）问题一：从字面意思来理解，你觉得“反正弦函数’是什么函数呢？ 回答：正弦函数的反函数．（2）问题二：正弦函数的反函数？正弦函数sin y x =是否存在反函数？回答：不存在，因为它是周期函数，任意正弦值都能对应于无数个角值．（3）问题三：正弦函数sin ,R y x x = ∈没有反函数，但我们能否通过给定一个定义域，使得新函数存在反函数? （辅以多媒体演示，让学生有更加直观的感知）回答：可以，通过截取一部分区间来给定其定义域即可，比如sin ,22y x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，．（4）问题四：为什么截取,22ππ⎡⎤- ⎢⎥⎣⎦，有何优点？而不截取0,2π⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦或者3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦？回答：因为截取,22ππ⎡⎤- ⎢⎥⎣⎦，可以：（1）确保值域为[]11 －，，跟正弦函数一致； （2）包含了我们最熟悉的锐角范围；（3）使得定义域关于原点对称，为研究奇偶性提供可能．解决完以上问题，我们就可以选定函数[]sin ,,1122y x x y ππ⎡⎤= ∈- ∈ ⎢⎥⎣⎦，－，，并求出[]arcsin ,11,22x y y x ππ⎡⎤= ∈ ∈-⎢⎥⎣⎦－，，，得反正弦函数[]arcsin ,11,22y x x y ππ⎡⎤= ∈ ∈-⎢⎥⎣⎦－，，．回到我们刚上课提出的问题，那么3arcsin 5B =，在此式中，3arcsin 5表示一个角的弧度数，3arcsin 522ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，35则是这个角的正弦值，即33sin arcsin 55⎛⎫= ⎪⎝⎭，这就为解决类似一般角的表示提供了一种方法． 例1：填表 （1）1arcsin2；（2）（3）arcsin 2；（4）arcsin1；（5）arcsin0 ；（6）arcsin ⎛⎝⎭（7）arcsin ⎛ ⎝⎭；（8）1arcsin 2⎛⎫- ⎪⎝⎭；（9）()arcsin 1-． 例2：判断正误 （1）arcsin42π=；（2）arcsin 6π⎛=- ⎝⎭；（3）1arcsin 023π⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭； （4）arcsin12,Z 2k k ππ=+ ∈；（5）sin arcsin 22ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （二）反正弦函数的图像研究：类比由指数函数到对数函数的研究过程，我们可以由反函数的性质，得出反正弦函数arcsin y x =的图像． 三、课堂小结并拓展问题师：这节课我们学习了什么知识？学：我们给出了反正弦函数的概念，初步学会了用反正弦形式表示角的值师：好的，今天我们主要解决了如何用反正弦形式表示相应的角值，已经能借由任意正弦值去表示22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，内的相应角值，但是对于其它范围内的角值又该如何去表示呢？例如，1sin ,,32x x ππ⎡⎤= ∈ ⎢⎥⎣⎦中的x 如何表示？这将是我们下节课要研究的主要问题．四、课后作业练习册P42习题6.4 A ：1（1）、2（1）（2）、3（1）、4（1）；5（1）（2）．。
沪教版高中数学高一下册-6.4 反三角函数 -反正弦函数 教案
反正弦函数 教案设计教学目标：1、 知识与技能：理解反正弦函数的概念，掌握反正弦函数的图像和基本性质；2、 过程与方法：经历在正弦函数的某个单调区间上建立反正弦函数的过程，会求反正弦函数值，会用反正弦函数值的形式表示角的大小；在研究问题的过程中体会数形结合和等价转化等数学思想方法。
教学重点：反正弦函数的概念；反正弦函数的图像和性质。
教学难点：反正弦函数的概念。
教学过程：一、 探索发现（1） 已知1sin ,[0,]22x x π=∈，求x 。
（2） 已知1sin 3x =，求x 。
教师提问：一般地，已知角x 的正弦值，如何求x ？ 问题转化为：在正弦函数sin y x =中，已知函数值y ，如何求自变量x ？师生讨论正弦函数是否具有反函数。
二、 问题驱动问题1：结合正弦函数sin ,y x x R =∈的图像，考虑它是否具有反函数？复习反函数的概念。
问题2：你能否创设条件，使sin y x =能够存在反函数？即如何从R 中寻找一个区间，使x 与y 一一对应。
选取区间的三个依据：①sin y x =在此区间上存在反函数；②能够取到sin y x =在[1,1]-的一切函数值；③区间关于原点对称，应用方便。
所以选取闭区间[,]22ππ-，则sin y x =在该区间上存在反函数。
三、 概念提出1、反正弦函数的概念及表示 明确sin ,[,]22y x x ππ=∈-存在反函数后，考虑它的反函数。
回顾求反函数的步骤——反解，互换，求定义域。
反解x ，引入新的符号arcsin ，即arcsin ,[1,1]x y y =∈-，将x 与y 互换，得arcsin ,[1,1]y x x =∈-，称为反正弦函数。
定义：函数sin ,[,]22y x x ππ=∈-的反函数叫做反正弦函数，记作arcsin ,[1,1]y x x =∈-。
3.反正弦函数的图像与性质①图像与原函数关于直线y x =对称；②定义域：原函数的值域[1,1]-；值域：原函数的定义域[,]22ππ-；最值：min max 1,;1,22x y x y ππ=-=-==；③奇偶性——奇函数：arcsin()arcsin x x -=-；④单调性——在[1,1]-上单调递增；⑤性质1：sin(arcsin ),[1,1]x x x =∈-；⑥性质2：arcsin(sin ),[,]22x x x ππ=∈-。
沪教版高中数学高一下册-6.4 反三角函数 -反正弦函数 课件 (共14张PPT)_2
5
7
eg 求值
(1) sin(arcsin1 ) 1
22
(2) sin[arcsin(1)] 1
2
2
(3) sin(arcsin1) 1
(4) sin[arcsin( 3)] 3
2
2
s in (a r c s in x ) x ,x [ 1 ,1 ]
反正弦函数的运算
arcsin(sinx)x, x [ , ] 22
eg2
根 据 下 列 要 求 ， 用 反 正 弦 的 形 式 表 示 x：
(1) sinx2， x[,];
3
22
(2) sinx2， x[,];
3
2
(3) sinx2， x[,0].
3
eg3
( 1 )求 函 数 y 2 s in x ,x [,3] 的 反 函 数 ; 22
( 2 ) 求 函 数 y a r c s i n x ,x [ 0 , 1 ] 的 反 函ห้องสมุดไป่ตู้数
eg1 求值
(1) arc sin 2 2
(3) arcsin(1)
(2) arcsin( 3) 2
(4) arc sin 1 2
(5) cos(2arcsin1) 4
3
8
(6) sin(arcsin arcsin )
5
17
判断：
(1) arc sin 1 ;
62
(2) arc sin 2 3 ;
24
eg 求值
(1)
arcsin(sin )
33
(2) arcsin[sin( )]
4
(5)
4
3
arcsin(sin )
沪教版高一下册数学反函数的概念教案高一下学期
4.5反函数的概念一、教学内容分析“反函数”是《高中代数》第一册的重要内容.这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为今后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用. 二、教学目标设计（1）理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；（2）掌握求反函数的基本步骤，并能理解原函数和反函数之间的内在联系；（3）通过反函数概念的引入；函数及其反函数图像特征的主动探索，初步学会自主地学习、独立地探究问题；掌握观察、比较、分析、归纳等数学试验研究的方法；体验探索中挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情.三、教学重点与难点：反函数的概念及求法；反函数的图像特征；反函数定义域的确定. 四、教学流程设计五、教学过程设计 1、设置情境，引出概念引例：在两种温度度量制摄氏度(C )和华氏度（F）相互转化时会发现，有时两人选用相同的数据，如下表，所建立的函数关系和作出的图像完全不同，这是为什么呢？教师点拨：指导学生观察上面两个函数的异同，引出反函数的定义.介绍反函数的记号)(1x fy -=；了解)(1x f-表示反函数的符号，1-f表示对应法则.2、 探索研究，深化概念 ①探求反函数成立的条件.例1（1）2x y =（R x ∈）的反函数是 （2）2x y =（0≥x ）的反函数是 （3）2x y =（0<x ）的反函数是 学生活动：讨论函数反函数成立的条件（理论根据为函数的定义）：对值域A 中任意一个y 值，在定义域D 中总有唯一确定的x 值与它对应，即x 与y 必须一一对应. ②探求求反函数的方法.（课本例题） 例2．求下列函数的反函数：（1）24+=x y （2）13+=x y （3）)0(12≥+=x x y （4）)21,(2413-≠∈++=x R x x x y[说明]：学生分四组完成，教师巡视，把典型错误及正确解法投影. 学生活动：探求求反函数的方法. （1） 变形:解方程，)(x f y =得)(1y fx -=； （2） 互换:互换y x ,的位置，得)(1x fy -=；（3）写出定义域:注明反函数的定义域.③观察反函数的图像，探讨互为反函数的两个函数的关系.例3：在同一坐标下，画出例2中的函数及其反函数的图像.（在几何画板中显示）教师点拨：指导学生观察函数及其反函数的图像，结合反函数的定义，探讨函数及其反函数之间的关系.学生活动：探讨互为反函数的两个函数的关系. ①从函数角度看：若函数)(x f y =有反函数)(1x fy -=，则)(1x fy -= 的反函数是)(x f y =，即)(x f y =和)(1x fy -=互为反函数.反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域.②从函数图像看：原函数和反函数图像关于x y =对称.③从单调性来看：原函数和反函数均为单调函数，他们具有相同的单调性. 3、例题分析，巩固方法： （1）课本练习4.5 （2）补充练习：1、给出下列几个函数：①)21(12>-=x x y ；② ⎩⎨⎧≥==)2(2)1(4x x x y ③)(23R x x y ∈+= ④)0()2(≥-=x x x y 其中不存在反函数的函数序号是 ②、④2、若指数函数)(x f y =的反函数的图像经过点（２，－１），则此指数函数为 ( A )（A ） x y )21(= （B ）x y 2= （C ）x y 3= （Ｄ）xy 10=3、设)1(22)(≤--=x x x f ，则)(1x f- （ D ）（A ）在（),∞+∞-上是增函数 （B ）在（),∞+∞-上是减函数 （C ）在),0[∞+上是减函数 （Ｄ）在（]0,∞-上是增函数4、若函数)(x f 是函数()10222≤≤--=x x y 的反函数，则)(x f 的图像为（ B ）A B C D5、)21( 22≤≤-=x x x y 反函数是 （ B ）（A ）)11( 112≤≤--+=x x y （B ）)10( 112≤≤-+=x x y （C ）)11( 112≤≤---=x x y（D ）)10( 112≤≤--=x x y6、若)0(≠+=a b ax y 有反函数且它的反函数就是b ax y +=本身，求b a ,应满足的条件.解：由b ax y +=，得b y ax -=.由0≠a ，知ab y a x -=1. 所以函数b ax y +=的反函数为a by a x -=1. 由于函数b ax y +=的反函数aby a x -=1就是函数b ax y +=本身，即有xxxyyyya a =1，且b ab=-. 于是，解得1=a ，0=b 或1-=a ，b 为任意实数.教师点拨：提出两个问题：①什么样的一次函数，它的反函数正好是它本身？②除了一次函数外，是否还存在其它函数，满足反函数就是它本身?(11),0(-+=≠=x x y k x k y 等) 4、课堂小结①反函数的概念及求法； ②函数及其反函数的关系； 5、作业布置 练习册4.5 A 组 六、教学设计说明1．反函数概念比较抽象，不能简单地从形式上来定义. 在教学时先通过实例根据自变量和应变量的不同，得到两个函数关系式和图像完全不同的函数.在此基础上指出这两个函数互为反函数，这样使学生对反函数有一个初步的认识.2．在此基础上，引出反函数的一般概念，使得较抽象的概念能被学生逐步理解.然后再进一步强调函数),)((A y D x x f y ∈∈=的反函数存在的条件——“对值域A 中任意一个y 值，在定义域D 中总有唯一确定的x 值与它对应”.3．通过学生对课本例题的练习，发现学生在解题过程中存在的问题.通过对课堂练习的点评，让学生了解并总结出求反函数的步骤. 同时让学生认识到若函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=，则)(1x fy -=的反函数是)(x f y =，即)(x f y =和)(1x f y -=互为反函数，并了解反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域.4．通过几何画板在同一坐标下演示课本例题的函数及其反函数的图像，让学生掌握y x ,互换的几何意义，了解原函数和反函数图像关于x y =对称，从而巩固对反函数概念的理解.。
数学6.4反三角函数教案1沪教版高中一级第二学期
6.4反三角函数（1）——反正弦函数一、教学内容分析根据反函数的概念，正弦函数y=sinx （x ∈R ）没有反函数.但是如果我们适当选取实数集R 的一个子集[-2π，2π]，那么函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]就存在反函数，为什么要选取[-2π，2π]，教师要作必要性说明.我们把函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx ，x ∈[-1，1]，学生对符号的arcsinx 的理解比较困难，前面符号中的x 必须满足|x|≤1，arcsinx 是[-2π，2π]上的一个角的弧度数，这个角的正弦值为x.根据互为反函数间的图像关系，函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]的图像和函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]的图像应该关于直线y=x 对称，这样容易作出反正弦函数的图像，根据其图像可以得到反正弦函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]是奇函数，且单调递增. 二、教学目标设计1．理解函数y=sinx （x ∈R ）没有反函数；理解函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]有反函数；理解反正弦函数y=arcsinx 的概念，掌握反正弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[-2π，2π]. 2．知道反正弦函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]的图像.3．掌握等式sin （arcsinx ）=x ，x ∈[-1，1]和arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1]. 4．能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示角. 5．会用数形结合等数学思想分析和思考问题. 三、教学重点及难点教学重点：理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质.教学难点：反正弦函数[]1,1,arcsin -∈=x x y 的产生和从本质上处理正弦函数()R x x y ∈=sin 的反函数问题.四、教学用具准备 直尺、多媒体设备五、教学流程设计六、教学过程设计一、情景引入1．复习我们学习过反函数，知道，对于函数y=f（x），x∈D，如果对它的值域中的任意一个值y，在定义域D中都有唯一确定的值x与它对应，使y=f（x），这样得到的x关于y的函数叫做y=f（x）的反函数.我们也明确不是任何一个函数都存在反函数.函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的.2．思考那么正弦函数是否存在反函数呢？[说明]因为对于任一正弦值y都有无数个角值x与之对应.正弦函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数.3．讨论正弦函数不存在反函数.但只要选取某一区间使得x y sin =在该区间上存在反函数.因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得x y sin =存在反函数呢？这个区间的选择依据两个原则：（1）x y sin =在所取区间上存在反函数； （2）能取到x y sin =的一切函数值[]1,1-. 可以选取闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ，使得x y sin =在该区间上存在反函数，而这个反函数就是今天要学习的反正弦函数. 二、学习新课 1．概念辨析（1）反正弦函数的定义：函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx ，x ∈[-1，1].（2）反正弦函数的性质： ①图像②定义域[-1，1]③值域[-2π，2π] ④奇偶性：奇函数，即arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1] ⑤单调性：增函数[说明]互为反函数的两个函数图像关于直线x y =对称，函数y=sinx ，x ∈[-2π，2π]与函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]的图像关于直线x y =对称.2．例题分析例1．求下列反正弦函数的值：（1）arcsin21；（2）arcsin0；（3）arcsin （-23） 解：（1）因为sin6π=21，且6π∈[-2π，2π]，所以arcsin 21=6π. （2）因为sin0=0，且0∈[-2π，2π]，所以arcsin0=0. （3）因为sin （-3π）=-23，且-3π∈[-2π，2π]，所以arcsin （-23）=-3π.例2．用反正弦函数值的形式表示下列各式的x ：（1）sinx=32，x ∈[-2π，2π]；（2）sinx=-51，x ∈[-2π，2π]； （3）sinx=-33，x ∈[-π，0]. 解：（1）因为x ∈[-2π，2π]，由定义，可知x=arcsin 32；（2）因为x ∈[-2π，2π]，由定义，可知x=arcsin （-51）=- arcsin 51；（3）在区间[-2π，0] 上，由定义，可知x=arcsin （-33）=- arcsin 33； 在区间[-π，-2π]上，由诱导公式，可知x=-π+arcsin 33，满足 sinx=-33.因此x= arcsin33或x=-π+arcsin 33. 例3．化简下列各式：（1）arcsin （sin7π）；（2）arcsin （sin 54π）；*（3）arcsin （sin20070） 解：（1）因为7π∈[-2π，2π]，设sin 7π=α，所以arcsin α=7π，即arcsin （sin 7π）=7π. （2）因为54π∉[-2π，2π]，而5π∈[-2π，2π]，且sin 5π=sin 54π，设sin 5π=sin 54π=α，所以arcsin （sin54π）= arcsin （sin 5π）= arcsin α=5π. （3）因为sin20070=sin （5×3600+2070）=sin2070=sin （1800+270）=-sin270所以arcsin （sin20070）= arcsin （-sin270）=- arcsin(sin270)=- 270.例4．求函数f （x ）=2arcsin2x 的反函数f -1（x ），并指出反函数的定义域和值域.解：设y=2arcsin2x ，则2y= arcsin2x ， 因为2x ∈[-1，1]，arcsin2x ∈[-2π，2π]，所以x ∈[-21，21]，y ∈[-л，л]，根据反正弦函数的定义，得2x=sin2y ，x=21 sin 2y ，将x ，y 互换，得反函数f -1（x ）=21 sin 2x ，定义域是[-л，л]，值域是[-21，21]. 3．问题拓展例1．证明等式：arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1] 证明：∵x ∈[-1，1]，∴ -x ∈[-1，1]∴sin[arcsin （-x ）]= -x ，sin （-arcsinx ）=-sin （arcsinx ）=-x又因为arcsin （-x ）∈[-2π，2π]，-arcsinx ∈[-2π，2π]，且正弦函数在[-2π，2π]上单调递增，所以arcsin （-x ）=-arcsinx ， x ∈[-1，1].[说明]这是证明角相等的问题，两个角仅有同名三角比相等，不能证明这两个角相等，教师应启发学生知道这个数学事实，并举例说明.例2．设x ∈[2π，23π]，sinx=31，用反正弦函数值表示x.解：因为x ∈[2π，23π]，所以（π-x ）∈[-2π，2π]，又sin （π-x ）=sinx ，得sin （π-x ）=31，于是π-x=arcsin 31，x=π- arcsin 31.[说明] 对于用反正弦函数值表示区间[-2π，2π]外的角，教材不作要求，但考虑到在解实际问题中常要表示钝角，因此可补充用反正弦函数值表示钝角的练习. 以上两例教师应根据各自学校学生的实际情形进行教学.三、巩固练习判断下列各式是否成立?简述理由. （1）arcsin23=3π；（2）arcsin 3π=23；（3）arcsin1=2k л+2π，k ∈Z ；（4）arcsin （-3π）=- arcsin 3π；（5）sin （arcsin 2）=2；（6）arcsin 6π=21. 解：（1）式成立；（2）、（4）、（5）各式都不成立，理由是反正弦函数的定义域为[-1，1]；（3）式仅当k=0时成立，k 取其他整数时，不成立，理由是反正弦函数的值域为[-2π，2π]；（6）式不成立，因为与反正弦函数的定义不符. 四、课堂小结 教师引导学生总结： （1）反正弦函数的定义； （2）反正弦函数的性质.五、作业布置（1）书上练习6.4(1)中的1、2、3、4（2）思考题：求函数f （x ）=2π-arcsin2x 的反函数f -1（x ），并指出反函数的定义域和值域.七、教学设计说明 1．关于教学内容反正弦函数作为基本初等函数之一，对后继课程的学习有着重要的作用，特别是在反三角函数中，反正弦函数有着模本的作用.而反正弦函数是反三角函数单元学习的重点和难点.本节课与反函数的基本概念、性质有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生掌握反正弦函数的概念，又可使学生加深对反函数概念的理解，而且为学习其它反三角函数奠定了基础，起到承上启下的重要作用. 2．关于教学方法为了充分调动学生学习的积极性，体现学生的自主式学习，我选用了启发、自我探究的教学方式.在课堂教学过程中，始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过引导学生观察、比较、分析和概括，使学生能根据已有数学知识的准备：已掌握三角函数的概念及性质、反函数，自主探究反正弦函数及其性质.。
沪教版高中数学高一下册-6.4 反三角函数 - 反余弦函数与反正切函数函数 课件
13、您所学到的一切以及所遭受的一切痛苦都会在您人生中的某个时刻派上用场。 85.任何的限制，都是从自己的内心开始的。 60.不是没有用，而是没去用。 87.把生活当作游戏，谁游戏人生，生活就惩罚谁，这不是劝诫，而是--规则！ 58.不要为明天忧虑，因为明天自有明天的忧虑。 22、我们一直喜欢利用自然的方式来改变人生的棘手道路，但很少承认，现实的本性实际上并不是我们力所能及的，而是两只手无所作为。 12.你不怕困难，困难就怕你。 24、当其他人熬夜，睡觉，其他人已经熬夜，您仍在努力再睡几分钟时，您有很多想法，但脑袋已经过去，其他人则坚持一件事。您必须读
2与arc c 2
os
2 2
;
(3) arc tan
3 3
与
arctan
3 3
;
(4)arctan1与arctan1();
例3、化简下列各式. (1)sinarccos12();
(2)co asrc t1a );n(
(3)arccos(co);s 7
例4、在△ABC中，已知AB=5，BC=12，AC=13，
13
13
12
三、巩固练习
1.填空题
沪教版高中数学高一下册-6.4 反三角函数 -反正弦函数 课件(共14张PPT)
arcsin(x) arcsin x -3 x [1,1].
(4)单调性:是增函数
y
y arcsin x, x [1,1], y [ , ]
2
22
1.5
2 -1
-2
-1
21
0.5
o
-0.5
y sin x, x [ , ], y [1,1] 22
1
2
12
x 3
yx
-1
π 1 -π 2
3π
2 2π
X
- 2π 3π 2
O
ππ
-1
2
*就使得
y
=
sinx,
x
π 2
,π 2
(一一对应)
y 1,1
----这时的正弦函数在上述定义域内就存在反函数.
*感悟: 选择上述区间的科学性、合理性和简便性.
*(1)反正弦函数的定义:
函数 y = 弦函数.
sinx,
x
π 2
,π 2
,y
1,1
的反函数就叫做反正
*记作:
y
arcsinx,x
1,1
,y
π 2
,π 2
.
*(2)当 x 1,1 时,(arcsinx)就表示闭区间
π 2
,π 2
上的一
个唯一确定的角.
〖例题1〗求下列反正弦函数的值.
(1).arcsin 3 ; (2).arcsin0; (3).arcsin( 1 ).
Y
y sinx,x R.
π 1 -π 2
3π
2 2π
X
- 2π 3π 2
O
ππ
-1
沪教版数学高一下册-6.4 反三角函数课件
(1)定义域： [-1，1]
(2)值域: [0，π]
y
5 y=arccosx,x∈[-1，1]
4.5
(3)奇偶性: 非奇非偶函数 4 y∈[0，π]
3.5
arccos(x) arccos x
3
2.5
2
x [1,1].
1.5
1
(4)单调性:
0.5
π
-4
-3
-2
-1
-1
o 11
-0.5
2
3
x 4
沪教版数学高一下册-6.4 反三角函数课件【精品】
即 sin(arcsin a) a(a [1,1])
(4) arcsin(sin) , [ , ].
22
下页 上页 主页
沪教版数学高一下册-6.4 反三角函数课件【精品】
2、反正切函数y=arcsinx,x∈[-1，1]
的图象与性质：
(1)定义域:[-1，1]
(2)值域:
[ , ]
22
即 tan(arctan a) a(a R)
(4) arctan(tan ) , ( , ).
22
沪教版数学高一下册-6.4 反三角函数课件【精品】
下页 上页 主页
2、反正切函数 沪教版数学高一下册-6.4 反三角函数课件【精品】 y=arctanx,x∈R的图象与性质
(1)定义域R (2)值域: ( , )
（1）、arccos a 表示一个角
（2）、这个角的范围是 0,
即arccos a0, .
（3）、这个角的余弦值是 a,
即 cos(arccos a) a(a [1,1])
(4) arccos(cos) , [0, ].
沪教版(上海)数学高一下册-6.3 三角函数(1) 教案
三角函数（1）●知识梳理1.三角函数的性质和图象变换.2.三角函数的恒等变形.三角函数的化简、求值、证明多为综合题，突出对数学思想方法的考查.3.三角函数与其他数学知识的联系.特别要注意三角与几何、三角与平面向量的联系.【例1】 已知sin （α+β）=32，sin （α－β）=51，求βαtan tan 的值. 解：由已知得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+②①，.51sin cos cos sin 32sin cos cos sin βαβαβαβα 所以sin αcos β=3013，cos αsin β=307.【例2】若实数、y 、m 满足x m y m --＞，则称x 比y 远离m .（1）若21x -比1远离0，求x 的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：33a b +比22a b ab +远离2ab ab ；（3）已知函数()f x 的定义域k D=x|x +k Z x R 24ππ｛≠，∈，∈｝.任取x D ∈，()f x 等于sin x 和cos x 中远离0的那个值.写出函数()f x 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.解析：(1) (,2)( 2.)x ∈-∞+∞；(2) 对任意两个不相等的正数a 、b ，有332a b ab ab +>222a b ab ab ab +> 因为33222|2|2()()0a b ab ab a b ab ab ab a b a b +--+-=+->，所以3322|2|2a b ab ab a b ab ab +->+-，即a 3+b 3比a 2b +ab 2远离2ab ；(3) 3sin ,(,)44()cos ,(,)44x x k k f x x x k k ππππππππ⎧∈++⎪⎪=⎨⎪∈-+⎪⎩， 性质：1︒f (x )是偶函数，图像关于y 轴对称，2︒f (x )是周期函数，最小正周期2T π=，3︒函数f (x )在区间(,]242k k πππ-单调递增，在区间[,)224k k πππ+单调递减，k ∈Z ， 4︒函数f (x )的值域为2(,1]．【例3】在△ABC 中，若sin C （cos A +cos B ）=sin A +sin B .（1）求∠C 的度数；（2）在△ABC 中，若角C 所对的边c =1，试求内切圆半径r 的取值范围.解：（1）∵sin C （cos A +cos B ）=sin A +sin B ，∴2sin C cos 2B A +·cos 2B A -=2sin 2B A +·cos 2B A -. 在△ABC 中，－2π＜2B A -＜2π. ∴cos 2B A -≠0.∴2sin 22C cos 2C =cos 2C ， （1－2sin 22C ）cos 2C =0. ∴（1－2sin 22C ）=0或cos 2C =0（舍）. ∵0＜C ＜π，∴∠C =2π. （2）设Rt △ABC 中，角A 和角B 的对边分别是a 、b ，则有a =sin A ，b =cos A . ∴△ABC的内切圆半径 r =21（a +b －c ）=21（sin A +cos A －1） =22sin （A +4π）－21≤212-. ∴△ABC 内切圆半径r 的取值范围是0＜r ≤212-.【例4】函数f （x ）=1－2a －2a cos x －2sin 2x 的最小值为g （a ），a ∈R ，（1）求g （a ）；（2）若g （a ）=21，求a 及此时f （x ）的最大值. 解：（1）f （x ）=1－2a －2a cos x －2（1－cos 2x ）=2cos 2x －2a cos x －1－2a =2（cos x －2a ）2－22a －2a －1. 若2a ＜－1，即a ＜－2，则当cos x =－1时，f （x ）有最小值g （a ）=2（－1－2a ）2－22a －2a －1=1； 若－1≤2a ≤1，即－2≤a ≤2，则当cos x =2a 时，f （x ）有最小值g （a ）=－22a －2a －1； 若2a ＞1，即a ＞2，则当cos x =1时，f （x ）有最小值g （a ）=2（1－2a ）2－22a －2a －1=1－4a .∴g （a ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤-----<.24122122212）（），（），（a a a a a a （2）若g （a ）=21，由所求g （a ）的解析式知只能是－22a －2a －1=21或1－4a =21. 由⇒⎪⎩⎪⎨⎧=---≤≤-21122222a a a a =－1或a =－3（舍）. 由⇒⎪⎩⎪⎨⎧=->21412a a a =81（舍）. 此时f （x ）=2（cos x +21）2+21，得f （x ）max =5. ∴若g （a ）=21，应a =－1，此时f （x ）的最大值是5.。
高一数学6.4反三角函数1反正弦函数教案沪教版高一下学期
6.4反三角函数（1）——反正弦函数【教学目标】1．理解函数y=sinx （x ∈R ）没有反函数；理解函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]有反函数；理解反正弦函数y=arcsinx 的概念，掌握反正弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[-2π，2π]. 2．知道反正弦函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]的图像.3．掌握等式sin （arcsinx ）=x ，x ∈[-1，1]和arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1]. 4．能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示角. 5．会用数形结合等数学思想分析和思考问题. 【教学重点与难点】教学重点：理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质.教学难点：反正弦函数[]1,1,arcsin -∈=x x y 的产生和从本质上处理正弦函数()R x x y ∈=sin 的反函数问题.【教学过程】一、 情景引入 1．复习我们学习过反函数，知道，对于函数y=f （x ），x ∈D ，如果对它的值域中的任意一个值y ，在定义域D 中都有唯一确定的值x 与它对应，使y=f （x ），这样得到的x 关于y 的函数叫做y=f （x ）的反函数.我们也明确不是任何一个函数都存在反函数.函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的. 2．思考那么正弦函数是否存在反函数呢？[说明] 因为对于任一正弦值y 都有无数个角值x 与之对应.正弦函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数. 3．讨论正弦函数不存在反函数.但只要选取某一区间使得x y sin =在该区间上存在反函数.因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得x y sin =存在反函数呢？这个区间的选择依据两个原则：（1）x y sin =在所取区间上存在反函数；（2）能取到x y sin =的一切函数值[]1,1-.可以选取闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ，使得x y sin =在该区间上存在反函数，而这个反函数就是今天要学习的反正弦函数.二、学习新课 1．概念辨析（1）反正弦函数的定义：函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx ，x ∈[-1，1]. （2）反正弦函数的性质： ①图像； ②定义域[-1，1]； ③值域[-2π，2π]；④奇偶性：奇函数，即arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1]； ⑤单调性：增函数。
沪教版高中数学高一下册-6.4 反三角函数 -反正弦函数 课件(共14张PPT)
( 7a) r. cs 3 in 2π;( 8a) r. cπsi1n .
23
62
不知道自己缺点的人，一辈子都不会想要改善。成功的花，人们只惊慕她现时的明艳！然而当初她的芽儿，浸透了奋斗的泪泉，洒遍了牺牲的血雨。成功的条件在于勇气和 信乃是由健全的思想和健康的体魄而来。成功了自己笑一辈子，不成功被人笑一辈子。成功只有一个理由，失败却有一千种理由。从胜利学得少，从失败学得多。你生而有 前进，形如蝼蚁。你一天的爱心可能带来别人一生的感谢。逆风的方向，更适合飞翔。只有承担起旅途风雨，才能最终守得住彩虹满天只有创造，才是真正的享受，只有拚 活。知识玩转财富。志不立，天下无可成之事。竹笋虽然柔嫩，但它不怕重压，敢于奋斗、敢于冒尖。阻止你前行的，不是人生道路上的一百块石头，而是你鞋子里的那一 爱，不必呼天抢地，只是相顾无言。最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。生活不可能像你想 不会像你想的那么糟。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。不要总在过去的回忆里缠绵，昨天的太阳，晒不干今天的衣裳。实现梦想往往是一个艰苦的坚持的 到位，立竿见影。那些成就卓越的人，几乎都在追求梦想的过程中表现出一种顽强的毅力。世界上唯一不变的字就是“变”字。事实胜于雄辩，百闻不如一见。思路决定出 细节决定成败，性格决定命运虽然你的思维相对于宇宙智慧来说只不过是汪洋中的一滴水，但这滴水却凝聚着海洋的全部财富；是质量上的一而非数量上的一；你的思维拥 所有过不去的都会过去，要对时间有耐心。人总会遇到挫折，总会有低潮，会有不被人理解的时候。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希 个人不知道他要驶向哪个码头，那么任何风都不会是顺风。沙漠里的脚印很快就消逝了。一支支奋进歌却在跋涉者的心中长久激荡。上天完全是为了坚强你的意志，才在道 碍。拥有资源不能成功，善用资源才能成功。小成功靠自己，大成功靠团队。炫耀什么，缺少什么；掩饰什么，自卑什么。所谓正常人，只是自我防御比较好的人。真正的 防而又不受害。学习必须如蜜蜂一样，采过许多花，这才能酿出蜜来态度决定高度。外在压力增加时，就应增强内在的动力。我不是富二代，不能拼爹，但为了成功，我可 站在万人中央成为别人的光。人一辈子不长不短，走着走着，就进了坟墓，你是要轰轰烈烈地风光下葬，还是一把骨灰撒向河流山川。严于自律：不能成为自己本身之主人 他周围任何事物的主人。自律是完全拥有自己的内心并将其导向他所希望的目标的惟一正确的途径。生活对于智者永远是一首昂扬的歌，它的主旋律永远是奋斗。眼泪的存 伤不是一场幻觉。要不断提高自身的能力，才能益己及他。有能力办实事才不会毕竟空谈何益。故事的结束总是满载而归，就是金榜题名。一个人失败的最大原因，是对自 的信心，甚至以为自己必将失败无疑。一个人炫耀什么，说明内心缺少什么。一个人只有在全力以赴的时候才能发挥最大的潜能。我们的能力是有限的，有很多东西飘然于 之外。过去再优美，我们不能住进去；现在再艰险，我们也要走过去！即使行动导致错误，却也带来了学习与成长；不行动则是停滞与萎缩。你的所有不甘和怨气来源于你 你可以平凡，但不能平庸。懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正勇敢的人才能所向披靡。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。平静的湖面锻炼不出精 生活打造不出生活的强者。人的生命似洪水在奔流，不遇着岛屿、暗礁，难以激起美丽的浪花人生不怕重来，就怕没有将来。人生的成败往往就在于一念之差。人生就像一 为你在看别人耍猴的时候，却不知自己也是猴子中的一员！人生如天气，可预料，但往往出乎意料。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。如果不想被打倒，只有增加 你向神求助，说明你相信神的能力；如果神没有帮助你，说明神相信你的能力。善待自己，不被别人左右，也不去左右别人，自信优雅。活是欺骗不了的，一个人要生活得 象这杯浓酒,不经三番五次的提炼呵,就不会这样一来可口！生命不止需要长度，更需要宽度。时间就像一张网，你撒在哪里，你的收获就在哪里。世上最累人的事，莫过于 你感到痛苦时，就去学习点什么吧，学习可以使我们减缓痛苦。当世界都在说放弃的时候，轻轻的告诉自己：再试一次。过错是暂时的遗憾，而错过则是永远的遗憾！很多 结果，但是不努力却什么改变也没有。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的损失，比错误更大的错误所以不要后悔。环境不会改变，解决之道在于改变自己。积 成功者的最基本要素。激情，这是鼓满船帆的风。风有时会把船帆吹断；但没有风，帆船就不能航行。即使道路坎坷不平，车轮也要前进；即使江河波涛汹涌，船只也航行 粹取出来的。浪费时间等于浪费生命。老要靠别人的鼓励才去奋斗的人不算强者；有别人的鼓励还不去奋斗的人简直就是懦夫。不要问别人为你做了什么，而要问你为别人 遥远的梦想和最朴素的生活，即使明天天寒地冻，金钱没有高贵，低贱之分。金钱在高尚人的手中，就会变得高尚；金钱在庸俗人手中，就会变得低级庸俗。涓涓细流一旦 大海也就终止了呼吸。漫无目的的生活就像出海航行而没有指南针。如果我没有，我就一定要，我一定要，就一定能。上一秒已成过去，曾经的辉煌，仅仅是是曾经。其实 在昨天，而是失败在没有很好利用今天。千万人的失败，��
沪教版高中数学高一下册-6.4 反三角函数 -反正弦函数 课件(共14张PPT)
Y
ys in ,x xR.
π 1 -π 2
3π
2 2π
X
- 2π 3 π 2
O
π
π
-1
2
*就使得
y
=
sinx,
x
π 2
,π 2
(一一对应)
y1,1
----这时的正弦函数在上述定义域内就存在反函数.
*感悟: 选择上述区间的科学性、合理性和简便性.
*(1)反正弦函数的定义:
函数 y = 弦函数.
sinx,
函数 y = 弦函数.
sinx,
xπ2,π2,y1,1的反函数就叫做反正
*记作: yarc, x s i n 1 , 1 x, y π 2, π 2 .
*(2)当 x1,1时,(arcsinx)就表示闭区间
π 2
,π 2
上的一
个唯一确定的角,其正弦值就等于x.
*(3)反正弦函数 y = arcsinx,在 x1,1上是递增函数; *(4)反正弦函数 y = arcsinx,在 x1,1上是个奇函数.
*练习:
（1）已知
x
3
，则 sin x
x （2）已知
sin x 3 5
，且 x ( 0 , )
2
，则角
6.4(1).反三角函数--反正弦函数
*回顾:
(1)反函数的概念: （2）反函数存在的条件: X与y一一对应 （3）实例说明求反函数的步骤： （4）互为反函数的两个图像之间的关系:关于直线y=x对称
*解法感悟:
反正弦函数的值域为: y = arcsinx
π 2
,π 2
故反正弦函数的值仅能表示在
π 2
,
π 2
沪教版高一下册数学反三角函案一级第二学期
三角函数及反三角函数知识重点：1、三角函数定义、图像、性质（单调性、单调区间、奇偶性、周期性）2、重点掌握三角函数公式：（1）诱导公式（2）两角和差公式（3）倍角公式（4）万能公式（5）积化和差、和差化积公式（6）)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y 其中ab tg =ϕ 3、掌握)sin(ϕω+=x A y 的周期、最值、单调区间、平移伸缩变换 4、三角变换的三条原则：（1）降低式子的次数：常用公式2cos 12sin2αα-=，2cos 12cos 2αα+=降次， 因式分解（或配方）也是常用方法（注：为了达到约分和化同名同角的目的，有时也需升次）（2）减少式中角的种数①造特殊角（60,45,30等）②寻找不同角间的关系（互补、互余、或和、差、倍、半等） ③利用已知条件中角的关系（如三角形内角和为180等） （3）减少式中三角函数的种类 常用方法：切割化弦 5、三角形中的边角关系： （1）π=++C B A （2）正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===（2R 为ABC ∆外接圆直径） （3）余弦定理：A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+= （a 、b 、c 分别为三内角A 、B 、C 的对边） 6、掌握四个反三角函数定义（包括定义域、值域）、图像、性质及其应用 练习题1、α是第四象限角，则1sec 1sec 22-⋅++⋅ααααtg tg等于（ ）(A) 1 (B)1± (C)1- (D)αα22sec tg + 2、若4=αtg ，则ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-=3、设ααααctg tg y ++=cos sin ，则y 的值为（ ）（A ）正值 （B ）负值 (C)非负值 （D ）正值或负值4、求值：)76cos()74cos()72cos(πππ= 5、要得到函数)32sin(π-=x y 的图像，只需将x y 2sin =的图像（ ）（A ）向左平移3π个单位 (B)向右平移3π个单位 (C) 向左平移6π个单位 (D) 向右平移6π个单位6、函数3sin 8)(2-=x x f 的递减区间是（ ） （A ）)(4,4Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ (B))(2,22Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ (C))(2,Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+πππ (D))(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ 7、已知：5sin 6sin 2)(2-+-=x x x f ，则它的最大值，最小值是（ ） （A ）最大值不存在，最小值为21-（B ）最大值是21-，最小值不存在 (C)最大值是 -1，最小值是 -13 （D ）最大值是1，最小值是 -1 8、函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值为 9、函数)23sin(2sin x x y -⋅=π的最大值是（ ）（A ）23- (B)41 (C)21(D)22 10、化简xx xx cos sin 1cos sin 1++-+=11、求值：50cos 20sin 50cos 20sin 22++=12、ABC ∆中，已知tgB tgAba =22，则ABC ∆的形状为13、当∈a 时，方程1cos -=a x 无解14、函数)22cos(π+=x y 的图像的一条对称轴方程是（ ）（A ）2π-=x （B ）4π-=x (C)8π=x (D)π=x15、“1=a ”是“函数ax ax y 22sin cos -=的最小周期为π”的（ ） (A)充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分条件也非必要条件16、在ABC ∆中，若C A B sin sin cos 2=，则ABC ∆的形状为（ ） （A ）等腰直角三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰三角形 （D ）等边三角形 17、函数2cos 2sinxx y +=在)2,2(ππ-内的递增区间是 18、函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是（ ）（A ）)20)(1arccos(≤≤--=x x y (B))20)(1arccos(≤≤--=x x y π (C))20)(1arccos(≤≤-=x x y (D))20)(1arccos(≤≤-+=x x y π 19、函数)323)(arccos(sin ππ<<-=x x y 的值域是( ) (A))65,6(ππ (B)⎪⎭⎫⎢⎣⎡65,0π(C))32,3(ππ (D)⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,6ππ 20、满足x x arccos )1arccos(≥-的x 的取值范围是（ ） （A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,1 (B)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,21 (C)⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 (D)⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,2121、解简单的三角方程： （1）04sin 32sin82=-+x x（2）13cos cos 22=+x x22、已知：)24(12sin sin 22παπααα<<=++k tg ，试用k 表示ααcos sin -的值。
沪教版(上海)数学高一下册-6.4 反三角函数(1)—反正弦函数 教案
§6.4.1 反三角函数(1)——反正弦函数[教学目标]1. 经历在正弦函数的某个单调区间上建立反三角函数的过程，理解反正弦函数的概念.2. 掌握反正弦函数值的含义，并能用反正弦函数值来表示角的大小.3. 知道反正弦函数的图像，并能根据图像研究反正弦函数的性质，体现数学知识之间的联系，进一步体会函数的研究方法和过程.[教学重点]理解反正弦函数的意义，会用反正弦函数值表示角. [教学难点]理解反正弦函数的意义. [教学过程]一． 反正弦函数的引入问：同学们是否还记得反函数的概念？下列函数是否存在反函数，如果存在，求出反函数；若不存在，说明理由. （1）2xy =；（2）2y x =.复习反函数的概念以及反函数存在的条件：x 与y 一一对应.问：对照反函数的概念，我们来看正弦函数sin ,y x x =∈R 是否存在反函数？ （展示正弦函数图像）sin ,y x x =∈R 不存在反函数.（2y x =也不存在反函数，但是在[)0,+∞上存在反函数）.问：如何确定D ，可以使得sin ,y x x =∈D 存在反函数？ 关于D =,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的合理性说明：（1）y 能取遍[]1,1-所有的值；（2）最大的单调区间确保存在反函数； （3）关于原点对称，包含锐角.若,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则sin y x =是单调函数，,x y 一一对应，故在,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上sin y x =存在反函数.二． 反正弦函数的定义sin ,,22y x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦的反函数arcsin y x =，[]1,1x ∈-称为反正弦函数.对于反正弦符号理解：在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦中正弦值为x 的弧度制的角. 学生回答arcsin x 的意义：（1）arcsin x 表示一个弧度制下的角,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；通过求反函数，帮助学生回忆反函数存在的条件，为理解反正弦函数的定义做好准备.计算器也是这样规定的：1sin arcsin x x-=.理解新符号： 类比对数符号223log 3x x =⇔=概括对数意义： 2的几次方是3.（2） 这个角的正弦值是x ，sin x α=（即()sin arcsin x x =）. 概念辨析： （1）arcsin12π=；（2）1arcsin302︒=； （3）arcsin42π=； （4）11sin arcsin 33⎛⎫=⎪⎝⎭； （5）sin arcsin 44ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （6）sin arcsin 33ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 总结（4）（5）（6） ()sin arcsin x x =成立的条件是什么？例1 求值：(1)； (2)()arcsin 1-；(3)arcsin ⎛ ⎝⎭； （4）arcsin sin 9π⎛⎫⎪⎝⎭. 解：（1）因为sin 3π=23,2πππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以3π=.（2）因为sin 12π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且,222πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()arcsin 12π-=-.（3）因为sin 4π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且,422πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以arcsin 4π⎛=- ⎝⎭. （4）因为29,2πππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，设sin 9a π=，所以arcsin 9a π=，即arcsin sin 99ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭.例2 求值： (1) 5arcsin sin 6π⎛⎫⎪⎝⎭；(2) 4arcsin sin 3π⎛⎫ ⎪⎝⎭； (3) ()arcsin sin 3.49π.解：（1）因为5,622πππ⎡⎤∉-⎢⎥⎣⎦，而,622πππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且5sin sin 66ππ=，设5sin sin66a ππ==，通过概念辨析熟悉arcsin x 的意义： 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦中正弦值为x 的弧度制的角.所以5arcsin sinarcsin sin arcsin 666a πππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）因为4,322πππ⎡⎤∉-⎢⎥⎣⎦，而,322πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，且4sin sin 33ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设4sinsin 33a ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以4arcsin sinarcsin sin arcsin 333a πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （3）因为3.49,22πππ⎡⎤∉-⎢⎥⎣⎦，0.49,22πππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，而 ()sin 3.49sin1.49sin 0.49sin 0.49πππππ==+=-，所以()()()arcsin sin3.49arcsin sin 0.49arcsin sin 0.490.49ππππ=-=-=-.思考：()arcsin sin x x =成立的条件？例3 用反正弦函数表示下列各式的: (1)3sin x =,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦； (2)3sin x =, ,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦； (3)3sin x =[]0,x π∈. 解：（1）因为,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，由定义，可知3x =.（2）因为,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ ，由定义，可知3arcsin x ⎛= ⎝⎭. （3）在区间0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上，由定义，可知3x =；在区间,2ππ⎛⎤⎥⎝⎦上，由诱导公式，可知3x π=-满足3sin x 因此，3x =或3x π=-.小结：用反正弦函数值表示角x 时，若x 不在反正弦函数的值域,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内，应先调整到值域,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内，再用反正弦函数值表示x .三．反正弦函数的图像与性质注意x 的不同范围利用反正弦函数的定义求出x .这些内容最直观的研究方式是什么？ 作出函数图像，观察函数性质. 问：如何作出arcsin y x =的图像？ 反函数的图像与原函数的图像关于y x =对称，正弦函数sin ,,22y x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦的图像.学生活动：利用原函数与反函数图像的对称关系作出反正弦函数的图像（关于y x =对称）.arcsin y x = 1．奇偶性奇函数（过原点）,即()[]arcsin arc ,1,1sin x x x ∈--=-2．单调性增函数3. 零点 0x =4. 最值最大值2π，对应1x = 最小值2π-，对应1x =-五．课堂小结1.反正弦函数的定义.2.反正弦函数的图像与性质.*3.利用反正弦函数值表示sin x a =的所有解.六．布置作业1. 求函数()arcsin 21y x =-的定义域，值域和单调区间.2. 求函数3sin ,,22y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的反函数.数形结合，从图像上看反正弦函数的性质。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课 题：6.4反三角函数（1）
教学目的：
1．要求学生初步（了解）理解反正弦、反余弦函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦的符号表示角或角的集合
2．掌握已知三角函数值求角的解题步骤．
教学重点：已知三角函数值求角
教学难点：诱导公式与利用三角函数值求角的综合运用
教学过程：
一、复习引入：
诱导公式应用广泛，不仅已知任意一个角，(角必须属于这个函数的定义域)，可以求出它的三角函数值，而且反过来，如果已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角．这就是本节课的主要内容．
二、讲解新课：
简单理解反正弦函数的意义：
由y =sin
1︒在R 上无反函数
2︒在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上，,sin x y = x 与y 是一一对应的，且区间⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-2,2ππ比较简单 ∴在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上，x y sin =的反函数称作反正弦函数 记作()11arcsin ≤≤-=x x y ，
注意：“arcsin x ”表示0,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 上的一个角，且这个角的正弦值等于x 如：11arcsin ,arcsin(),arcsin1,arcsin(1)262622
ππππ=-=-=-=- arcsin00=
性质：1、定义域：[]1,1x ∈- 2、值域：,22y ππ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦
3、单调性：在[]1,1x ∈-上单调递增；
4、奇偶性：奇函数
注意：（1）由图知：当[1,0)x ∈- 时，arcsin [,0),2x π∈-
当(0,1]x ∈ 时，arcsin (0,]2x π
∈，当0x = arcsin 0x =
(2)恒等式：()[]()sin arcsin 1,1x x x =∈- ()arcsin sin ,22x x x ππ⎛
⎫⎡⎤=∈- ⎪⎢⎥⎣
⎦⎝⎭
已知三角函数求角：
首先应弄清：已知角求三角函数值是单值的;已知三角函数值求角是多值的
三、讲解范例：
例1 、求下列各式值：
()1 ()2arcsin0 ()13arcsin 2⎛⎫- ⎪⎝⎭
()34sin 2arcsin 5⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()55cos arcsin 313π⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
例2、求下列函数的定义域和值域：
()()1
1arcsin 212
y x =- ()2y =()3sin arcsin y x x =+
例3、用反正弦函数值的形式表示各式中的x ：
()1sin ,,522x x ππ⎡⎤=
∈-⎢⎥⎣⎦
()12sin ,,422x x ππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦
()[]3sin 0,3x x π=∈ ()234sin ,,52x x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭
五、小结 求角的多值性法则：1、先决定角的象限2、如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x ； 如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x ，3、由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角
六、课后作业：一课一练。