江苏省徐州市邳州市运河中学三校联考2021届高三数学期末试题

2021届高三侯.新.运三校联盟第三次联考
暨上学期期末考试数学科试题
一．选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分。

在给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．已知集合{}1,2,3A =，{}|2B x x =≥，则A B ⋂=（）
A ．{}1,2,3B．{}2C．{}1,3D．{}
2,32..已知i 为虚数单位，复数z 满足23i 1z --=，则z 在复平面内对应的点所在的象限（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3.高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有()
A.15种
B.90种
C.120种
D.180种
4.已知b a ,为不同直线，βα,为不同平面，则下列结论正确的是(
)
A.若a ⊥α，b ⊥a ，则b ∥α
B.若b a ,⊂α，a ∥β，b ∥β，则α∥β
C.若a ∥α，b ⊥β，a ∥b ，则α⊥β
D.若α∩β＝b ，a ⊂α，a ⊥b ，则α⊥β
5.函数y ＝x 2e |x |＋1(其中e 为自然对数的底数)的图象大致是()
6.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量P (单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系3002
)(t p t p -⋅=，其中P 0为t＝0时该放射性同位素的含量．已知t＝15时，该放射性同位素的瞬时变化率为10
2ln 23-，则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为()A.20天 B.30天 C.45天 D.60天
7.如图，AB 是单位圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，则AC →·AD →＝
()
A.1
B.3
2 C.3
2 D.3
8.定义在R 上的偶函数)(x f 在[0，1]上单调递减，且满足)()1(x f x f -=+，2)2(,1)(==ππf f ,则
不等式组{212)(1≤≤≤≤x x f 的解集为()
[][].28,2.,2,2.,4,62.,2,1.πππππππ--⎥⎦⎤⎢⎣
⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A 二、多项选择题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．)
9．空气质量指数大小分为五级，指数越大，说明污染的情况越严重，对人体危害越大．指
数范围在：[0，50]，[51，100]，[101，200]，[201，300]，[301，500]分别对应“优”、“良”“轻
（中）度污染”、“中度（重）污染”、“重污染”五个等级．下面是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下列说法正确的有
A ．这14天中有4天空气质量指数为“良”
B ．这14天中空气质量指数的中位数是103
C ．从2日到5日空气质量越来越差
D ．连续三天中空气质量指数方差最小的是9日到11日
10．,0,0>>b a 若且4=+b a ，则下列不等式恒成立的是
A.11a b +≥1≤2 C.221a b +≤18 D.0<
1ab ≤1411.已知函数20,0)(cos()(πφφ<
<>+=w wx x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为x ＝5π12，则(
)A.φ＝π3； B.函数)(x f y =的图象可由x y 2sin =的图象向左平移
3π个单位长度得到；C.函数)(x f 在[0，2π]上的值域为[－1，32]； D.函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--2,ππ上单调递减。

12.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离
之比为定值λ（1λ≠）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -、()4,0B ，点P 满足
12
PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是：
A．C 的方程为()22416x y ++=B．在C 上存在点D ，使得D 到点()1,1的距离为3
C．在C 上存在点M ，使得2MO MA
=D．在C 上存在点N ，使得224NO NA +=三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.52)2(x x +的展开式中4x 的系数为________．14.已知等差数列{n a }的前n 项和为n s （*N n ∈），公差0≠d ，906=S ，7a 是3a 与9a 的等比中项，当0>n S 时，n 的最大值为．
15.双曲线2222:1x y C a b
-=(a >0,b >0)的左焦点为F ,A 、B 分别为C 的左,右支上的点,O 为坐标原点,若四边形ABOF 为菱形,则C 的离心率为．
16.已知三棱锥ABC P -外接球的表面积为π100，⊥PB 平面ABC ，8=PB ， 120=∠BAC ，则三棱锥体积的最大值为．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（10分）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且b =c (cos A -sin A ).
（1）求角C ,
（2）若c =25，D 为边BC 的中点，在下列条件中任选一个，求AD 的长度．
条件①△ABC 的面积s =2,且A B >;
条件②cos B =255.（注，如果选择两个条件分别解答，按第一个解答记分）
18.(12分)数列{a n }满足a 1+2a 2+3a 3+…+na n =(n -1)•2n +1+2(n ≥l),
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设21,n n n
n b S a +=为数列{b n }的前n 项和，求S n .19.(12分)某单位招考工作人员，须参加初试和复试，共5000人参加初试，初试通过后组织考生参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得3分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得5分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．
（1）通过分析可以认为考生初试成绩X 服从正态分布2(,)N μσ，其中64μ=，2169σ=，试估计初试成绩不低于90分的人数；（2）已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为34
，后两题答对的概率均为32，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试试成绩为Y ，求Y 的分布列及数学期望．
附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，
(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<<+=．
20.(12分)如图，在四棱锥
中，底面ABCD 为菱形，
平面
底面ABCD ，．证明：；若PB 与底面所成的角为，求二面角的余弦值．
21.(12分)已知函数)
2()(,1ln )(-=+-=x
e x x g mx x x
f (1)若)(x f 的最大值是0，求m 的值；
(2)若对其定义域内任意x ，)()(x g x f ≤恒成立，求m 的取值范围.22．(12分)已知左、右焦点分别为21F F 、的椭圆)0(1:22
221>>=+b a b y a x C 与直线1=y 相交于B A 、两点，使得四边形21F ABF 为面积等于22的矩形．
(1)求椭圆1C 的方程；
(2)过椭圆1C 上一动点P （不在x 轴上）作圆1:2
2=+y x O 的两条切线PD PC 、切点分别为D C 、，直线CD 与椭圆1C 交于G E 、两点，O 为坐标原点，求OEG ∆的面积OEG S ∆的取值范围.。