江苏省高二下学期期末数学试卷
江苏省淮安市2022-2023学年高二下学期期末数学试题(原卷版)
淮安市2022~2023学年度第二学期高二年级期末调研测试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}12M x x =+<，{}1N x a x =<<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A. (],3−∞−B. (),3−∞−C. [)3,1−D. ()3,1−2. 已知直线l 的方向向量()1,1,2e −− ，平面α的法向量1,,12n λ=−，若l α⊥，则λ=（ ）A. 52−B. 12−C.12D.523. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是（ ） A.15B.25C.35D.454. 若0x >，0y >，称a =是x ，y 的几何平均数，211b x y=+是x ，y 的调和平均数，则“3a >”是“3b >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻且2个阳爻不相邻的概率是（ ）A.172B.532C.516D.236. 已知四棱锥P ABCD −的底面为正方形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，点E 是BC 的中点，则点E 到直线PD 的距离是（ ）A.B.C.D.7. 某中学举行夏季运动会，共有3类比赛9个项目：集体赛2项，田赛3项，径赛4项．要求参赛者每人至多报3项，且集体赛至少报1项，则每人有（ ）种报名方式 A. 49B. 64C. 66D. 738. 设A ，B 是一个随机试验中两个事件，且()13P B =，()56P B A =，()12P B A =，则（ ）A. ()13P A =B. ()16P AB =C. ()34P A B +=D. ()14P A B =二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 若0a b c <<<，则下列不等式中正确的有（ ） A. 0a b +>B.c c a b> C.b b ca a c+>+ D. 11a b b a+<+ 10. 如图是某小卖部5天卖出热茶的杯数（单位：杯）与当天气温（单位：℃）的散点图，若去掉()7,35B 后，下列说法正确的有（ ）A. 决定系数2R 变大B. 变量x 与y 的相关性变弱C. 相关系数r 的绝对值变大D. 当气温为11℃时，卖出热茶的杯数估计为35杯11. 有甲、乙、丙等5名同学聚会，下列说法正确的有（ ） A. 5名同学每两人握手1次，共握手20次 B. 5名同学相互赠送祝福卡片，共需要卡片20张 C. 5名同学围成一圈做游戏，有120种排法D. 5名同学站成一排拍照，甲、乙相邻，且丙不站正中间，有40种排法12. 在正四棱锥P ABCD −中，AB =，PA =，点Q 满足PQ PA x AB y AD =++，其中[]0,1x ∈，[]0,1y ∈，则下列结论正确的有（ ）的A. PQB. 当1x =时，三棱锥P ADQ −的体积为定值C. 当x y =时，PB 与PQ 所成角可能为π6D. 当1x y +=时，AB 与平面PAQ三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 随机变量()25,X N σ∼，()138P X <=，则()37P X ≤<=______． 14. 在三棱柱111ABC A B C 中，点M 在线段1CB 上，且12CM MB =，若以{}1,,AB AC AA为基底表示AM ，则AM =______．15. 已知1x ≠−，且0x ≠，则()()()()2391111x x x x ++++++++ 的展开式中2x 项的系数是______．（用数字作答）16. 已知随机变量ξ的概率分布列如下表所示，当()34E ξ=时，()21D ξ+=______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知()2nx y −展开式中仅有第4项的二项式系数最大．（1）求展开式的第2项；（2）求展开式的奇数项系数之和．18. 某乡政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果．以下是某农户近5年种植药材的平均收入的统计数据： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 年份代码x1 2 3 4 5 平均收入y （千元） 5961646873的（1）根据表中数据，现有y a bx =+与2y c dx =+两种模型可以拟合y 与x 之间的关系，请分别求出两种模型的回归方程；（结果保留一位小数）（2）统计学中常通过比较残差的平方和来比较两个模型的拟合效果，请根据残差平方和说明上述两个方程哪一个拟合效果更好，并据此预测2023年该农户种植药材的平均收入．参考数据及公式：()()1217n iii t t y y =−−=∑，()21374nii t t =−=∑，其中2i i t x=．()()()121nii i nii xx y yb xx==−−=−∑∑ ，a y bx =− ．19. 淮安西游乐园推出的西游主题毛绒公仔，具有造型逼真可爱、触感柔软等特点，深受学生喜爱．某调查机构在参观西游乐园的游客中随机抽取了200名学生，对是否有购买西游主题毛绒公仔的意愿进行调查，得到以下的22×列联表： 有购买意愿 没有购买意愿 合计 男 40 女 60 合计50（1）完成上述22×列联表，根据以上数据，判断是否有99%的把握认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关？（2）某文创商店为了宣传推广西游主题毛绒公仔产品，设计了一个游戏：在三个外观大小都一样袋子中，分别放大小相同的1个红球和3个蓝球，2个红球和2个蓝球，以及3个红球和1个蓝球．游客可以从三个袋子中任选一个，再从中任取2个球，若取出2个红球，则可以获赠一套西游主题毛绒公仔．现有3名同学参加该游戏，ξ表示3名同学中获赠一套毛绒公仔的人数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++，其中n a b c d =+++．的()2P K k ≥00500.010 0.001 k3.8416.63510.82820. 如图，正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，点P 是对角线1BD 上异于B ，1D 的点，记1BPBD λ=．（1）当APC ∠为锐角时，求实数λ的取值范围； （2）当二面角P AC B −−的大小为4π时，求点1B 到平面PAC 的距离．21. 已知函数()22,24,22x mx x f x m x x x −+≤= −+> −，m ∈R ． （1）当2x ≤时，求()0f x >的解集；（2）若()f x 的最大值为3，求的值．22. 投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏．晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳，因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳（投入壶耳）”等．现有甲、乙两人进行投壶游戏，规定投入壶口一次得1分，投入壶耳一次得2分，其余情况不得分．已知甲投入壶口的概率为13，投入壶耳的概率为16；乙投入壶口的概率为23，投入壶耳的概率为13．假设甲乙两人每次投壶是否投中相互独立．（1）求甲投壶3次得分为3分的概率； （2）求乙投壶多少次，得分为8分概率最大．.的。
江苏省苏州市2023-2024学年高二下学期6月期末考试 数学含答案
苏州市2023~2024学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高二数学（答案在最后）2024.6注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷共4页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第1l 题）、填空题（第12题～第14题）、解答题（第15题～第19题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟，答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数2()1f x x =-+在[1,1.1]上的平均变化率为（）A.0.21 B.2.1C.－0.21D.-2.12.设全集{}3,1,0,1,3U =--，集合{}1,0,1A =-，{}3,B y y x x A ==∈，则U A B =I ð（）A.{3,0,3}- B.{1,0,1}- C.{1,1}- D.{0}3.对于满足4n ≥的任意正整数n ，45n ⨯⨯⋅⋅⋅⨯=（）A.3A nB.4A nC.4A n n - D.3A n n-4.已知a ,b ∈R ,则“0a b >>”是“11a b +>+”的什么条件A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知幂函数()221()1m f x m m x -+=+-在(0,)+∞上单调递减，则实数m 的值为（）A .2-或1B.1-或2C.1D.2-6.在一个口袋中装有大小和质地均相同的5个白球和3个黄球，第一次从中随机摸出一个球，观察其颜色后放回，同时在袋中加入两个与所取球完全相同的球，第二次再从中随机摸出一个球，则此次摸出的是黄球的概率为（）A.316B.38C.45D.127.设34a =，3log 2b =，11sin 44c =+，则（）A.a b c>> B.c b a>> C.a c b>> D.b a c>>8.已知5名同学排成一排合影留念，若甲不站在两端，乙不站在正中间，则不同的排法共有（）A.48种B.60种C.66种D.72种二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的有（）A.若随机变量x ，y 满足经验回归方程ˆ0.0249.76yx =-+，则x ，y 的取值呈现正相关B.若随机变量~(3,)X N σ，且(6)0.15P X >=，则(0)0.15P X <=C.若事件,A B 相互独立，则(|)()P A B P A =D.若5件产品中有2件次品，采取无放回的方式随机抽取3件，则抽取的3件产品中次品数为1的概率是3510.拐点（Inflection Point ）又称反曲点，是一条连续曲线由凸转凹或由凹转凸的点，直观地说，是使切线穿越曲线的点（即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点）．拐点在统计学、物理学、经济学等领域都有重要应用．设函数()f x 对于区间(,)a b 内任一点都可导，且函数()()g x f x '=对于区间(,)a b 内任一点都可导，若0(,)x a b ∃∈，使得()00g x '=，且在0x x =的两侧()g x '的符号相反，则称点()()00,x f x 为曲线()y f x =的拐点．以下函数具有唯一拐点的有（）A.32()f x x x =+ B.311()3f x x x=+，0x >C.2()x f x a x =-（0a >，且1a ≠）D.()ln sin f x x x=+11.已知定义域为R 的连续函数()f x 满足e ()e ()()x x y f x y f x f y +-=+-，2(1)e f -=-，则（）A.(0)0f = B.e ()x f x 为奇函数C.()f x 在(,0)-∞上单调递减D.()f x 在(0,)+∞上的最大值为1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.98被6除所得的余数为______．13.已知随机变量x ，y 的五组观测数据如下表：x12345y1.1e - 1.6e a6.5e 9e 由表中数据通过模型e mx n y +=得到经验回归方程为 2.6 3.8ˆe x y-=，则实数a 的值为______．14.已知函数32()(,,)f x x ax bx c a b c =+++∈R ，若关于x 的不等式()0f x <的解集为{|3x x t <+且}x t ≠，则()f x 的极小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知(13)nx -（其中x ∈R *n ∈N ）的展开式中第2项的二项式系数与第3项的二项式系数之和为36．（1）求n ；（2）记2012(13)nnn x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，求31223(1)3333n n n a a a a -+-+⋅⋅⋅+-的值．16.已知某射击运动员每次射击命中10环的概率为45，每次射击的结果相互独立，共进行4次射击．（1）求恰有3次命中10环的概率；（2）求至多有3次命中10环的概率；（3）设命中10环的次数为X ，求随机变量X 的数学期望()E X 和方差()D X ．17.已知函数12()(R)22x x tf x t +-=∈--为奇函数．（1）设函数1()2g x f x t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求122023202420242024g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值；（2）若关于x 的方程()()4320xxf f a a ++-⋅-=有实数根，求实数a 的取值范围．18.某学校组织100名学生去高校参加社会实践．为了了解学生性别与颜色喜好的关系，准备了足量的红、蓝颜色的两种帽子，它们除颜色外完全相同．每位学生根据个人喜好领取1顶帽子，学校统计学生所领帽子的颜色，得到了如下22⨯列联表．红色蓝色合计男202545女401555合计6040100（1）是否有99%的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”；（2）在进入高校某实验室前，需要将帽子临时存放，为此学校准备了标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子，①求所选的4个箱子的标号数之和为奇数的概率；②记所选的箱子中有X 对相邻序号（如：所选箱子的标号为1，2，3，5，则1，2和2，3为2对相邻序号，所以2X =），求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ．附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．α0.10.050.01ax 2.7063.8416.63519.已知函数()()1ln f x x x =+．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若关于x 的不等式()(1)f x m x >-在(1,)+∞上恒成立，求实数m 的最大值；（3）若关于x 的方程2()(1)10()f x ax a x a ++++=∈R 有两个实根1x ，()212x x x ≠，求证：121123a a x x -<+<+．苏州市2023~2024学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高二数学2024.6注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷共4页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第1l 题）、填空题（第12题～第14题）、解答题（第15题～第19题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟，答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数2()1f x x =-+在[1,1.1]上的平均变化率为（）A.0.21 B.2.1C.－0.21D.-2.1【答案】D 【解析】【分析】根据平均变化率的公式计算即可.【详解】函数2()1f x x =-+在[1,1.1]上的平均变化率()()1.110.2102.11.110.1f f ---===--.故选:D2.设全集{}3,1,0,1,3U =--，集合{}1,0,1A =-，{}3,B y y x x A ==∈，则U A B =I ð（）A.{3,0,3}-B.{1,0,1}- C.{1,1}- D.{0}【答案】C 【解析】【分析】先求出集合B ，再根据补集和交集的定义即可得解.【详解】{}{}3,3,0,3B y y x x A ==∈=-，则{}1,1U B =-ð，所以{1,1}U A B =- ð.故选：C.3.对于满足4n ≥的任意正整数n ，45n ⨯⨯⋅⋅⋅⨯=（）A.3A n B.4A nC.4A n n - D.3A n n-【答案】D 【解析】【分析】根据排列数公式即可判断.【详解】易得45A n-3n n ⨯⨯⋅⋅⋅⨯=，故选：D.4.已知a ,b ∈R ,则“0a b >>”是“11a b +>+”的什么条件A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】分别从充分性和必要性入手进行分析即可.【详解】充分性：0a b >>⇒11a b +>+，充分性成立；必要性：当2,1a b =-=-时，11a b +>+成立，但0a b <<，故必要性不成立；所以“0a b >>”是“11a b +>+”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，考查推理能力，属于常考题.5.已知幂函数()221()1m f x m m x -+=+-在(0,)+∞上单调递减，则实数m 的值为（）A.2-或1B.1-或2C.1D.2-【答案】C 【解析】【分析】根据幂函数的定义和性质求解即可.【详解】因为幂函数()221()1m f x m m x-+=+-在(0,)+∞上单调递减，所以211210m m m ⎧+-=⎨-+<⎩，解得1m =.故选：C .6.在一个口袋中装有大小和质地均相同的5个白球和3个黄球，第一次从中随机摸出一个球，观察其颜色后放回，同时在袋中加入两个与所取球完全相同的球，第二次再从中随机摸出一个球，则此次摸出的是黄球的概率为（）A.316B.38C.45D.12【答案】B 【解析】【分析】借助全概率公式计算即可得.【详解】设事件A 为第一次从中随机摸出一个球的颜色为白色，事件B 为第二次再从中随机摸出一个球是黄球，则()()()()()+P B P A P B A P A P B A=⋅⋅53313338108216168=⨯+⨯=+=.故选：B .7.设34a =，3log 2b =，11sin 44c =+，则（）A.a b c >>B.c b a>> C.a c b>> D.b a c>>【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的单调性即可比较,a b ，构造函数()sin x x x f -=，利用导数判断函数的单调性，即可比较11,sin 44的大小，进而可比较,b c 的大小，即可得解.【详解】因为31111444223333333log 3log 27log 25log 5log 4log 24a ===>=>=，所以a b >，令()sin x x x f -=，则()1cos 0f x x '=-≥，所以()f x 在R 上为增函数，所以()1004f f ⎛⎫>=⎪⎝⎭，即11sin 044->，所以11sin 44>，则3311111log 2log sin 24444b =>==+>+，即bc >，综上所述，a b c >>.故选：A.8.已知5名同学排成一排合影留念，若甲不站在两端，乙不站在正中间，则不同的排法共有（）A.48种B.60种C.66种D.72种【答案】B 【解析】【分析】分甲站在正中间与甲不站在正中间讨论即可得.【详解】若甲站在正中间，则共有1414A A 种排法，若甲不站在正中间，先排甲有12C 种，再排乙有13C 种，最后三人任意排有33A 种，则共有113233C C A 种排法，综上，共有1411314233A A C C A 24+3660+==种不同排法.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的有（）A.若随机变量x ，y 满足经验回归方程ˆ0.0249.76yx =-+，则x ，y 的取值呈现正相关B.若随机变量~(3,)X N σ，且(6)0.15P X >=，则(0)0.15P X <=C.若事件,A B 相互独立，则(|)()P A B P A =D.若5件产品中有2件次品，采取无放回的方式随机抽取3件，则抽取的3件产品中次品数为1的概率是35【答案】BCD 【解析】【分析】根据回归方程即可判断A ；根据正态分布的对称性即可判断B ；根据相互独立事件的概率公式及条件概率公式即可判断C ；根据古典概型的概率公式即可判断D.【详解】对于A ，因为随机变量x ，y 满足经验回归方程ˆ0.0249.76yx =-+，所以x ，y 的取值呈现负相关，故A 错误；对于B ，因为随机变量~(3,)X N σ，且(6)0.15P X >=，所以()()060.15P X P x <=>=，故B 正确；对于C ，若事件,A B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，所以()()()()|==P AB P A B P A P B ，故C 正确；对于D ，由题意抽取的3件产品中次品数为1的概率122335C C 3C 5P ==，故D 正确.故选：BCD .10.拐点（Inflection Point ）又称反曲点，是一条连续曲线由凸转凹或由凹转凸的点，直观地说，是使切线穿越曲线的点（即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点）．拐点在统计学、物理学、经济学等领域都有重要应用．设函数()f x 对于区间(,)a b 内任一点都可导，且函数()()g x f x '=对于区间(,)a b 内任一点都可导，若0(,)x a b ∃∈，使得()00g x '=，且在0x x =的两侧()g x '的符号相反，则称点()()00,x f x 为曲线()y f x =的拐点．以下函数具有唯一拐点的有（）A.32()f x x x =+ B.311()3f x x x=+，0x >C.2()x f x a x =-（0a >，且1a ≠） D.()ln sin f x x x=+【答案】AC 【解析】【分析】拐点即二阶导数的变号零点，求出二阶导数以后逐一分析即可，其中D 需要找到两个拐点即可排除D.【详解】对于A ：()()232g x f x x x ==+'，()62g x x '=+，令()0g x '=得13x =-，当13x >-时，()0g x '>，当13x <-时，()0g x '<，12327f⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以12,327⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的拐点，故A 正确；对于B ：()()221g x f x x x ==-'，()322g x x x+'=，0x >，令()0g x '=，方程无解，所以()f x 无拐点，故B 错误；对于C ：()()ln 2xg x f x a a x ='=-，()2ln 2xg x a a ='-，令()0g x '=得22log ln ax a=，当1a >且22log ln ax a >时，()0g x '>，当1a >且当22log ln a x a <时，()0g x '<，当01a <<且22log ln a x a >时，()0g x '<，当01a <<且22log ln a x a<时，()0g x '>，2222222log log ln ln ln a a f a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以2222222log ,log ln ln ln a a a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 唯一拐点，故C 正确；对于D ：()()1cos g x f x x x ==+'，()21sin g x x x -'=-，因为()3ππ0,02g g ⎛⎫⎝'⎪⎭'，所以()0g x '=在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭至少有一个零点1x 且为变号零点，又因为()π0,π02g g ⎛⎫->-< ⎪''⎝⎭，所以()0g x '=在ππ,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭至少有一个零点2x 且为变号零点所以()f x 有拐点但不唯一，故D 错误.故选：AC11.已知定义域为R 的连续函数()f x 满足e ()e ()()x x y f x y f x f y +-=+-，2(1)e f -=-，则（）A.(0)0f = B.e ()x f x 为奇函数C.()f x 在(,0)-∞上单调递减D.()f x 在(0,)+∞上的最大值为1【答案】ABD 【解析】【分析】令0x y ==，即可判断A ；由e ()e ()()x x y f x y f x f y +-=+-，得e ()e ()e ()x y x yf x y f x f y ---=+-，令()e ()xg x f x =，则()()()g x y g x g y -=+-，令0x y ==，即可判断B ；关于x 求导得，()()g x y g x -'='，从而可求出()g x d 的解析式，进而可求出()f x 的解析式，再利用导数即可判断CD .【详解】对于A ，令0x y ==，则()()()000f f f =+，所以()00f =，故A 正确；对于B ，由e ()e ()()x x y f x y f x f y +-=+-，得e ()e ()e ()x y x y f x y f x f y ---=+-，令()e ()xg x f x =，则()()()g x y g x g y -=+-，令0x y ==，则()()()000g g g =+，所以()00g =，令y x =，则()()()00g g x g x =+-=，所以()g x 为奇函数，即e ()x f x 为奇函数，故B 正确；由()()()g x y g x g y -=+-，关于x 求导得，()()g x y g x -'='，令()()Δ,y x h x g x -=='，则()()()()()Δ0Δ0ΔΔlimlim0ΔΔx x h x x h x g x x g x h x xx→→+-+-==''='，所以()h x C =（C 为常数），即()g x C '=，所以()g x Cx t =+（,C t 为常数），因为()()()1200,1e ee g g -=-=⨯-=-，所以()e g x x =，所以()e ex xf x =，则()()e 1exx f x ='-，当1x <时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，所以()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以()()max 11f x f ==，故C 错误；D 正确.故选：ABD .【点睛】关键点点睛：由e ()e ()()x x y f x y f x f y +-=+-，得出e ()e ()e ()x y x y f x y f x f y ---=+-，是解决本题的关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.98被6除所得的余数为______．【答案】2【解析】【分析】把98用二项式定理展开，把问题转化为92被6的余数.【详解】()990918272889999999862C 6C 62C 62C 62C 2=+=+⨯+⨯+⨯+ ，展开式的前9项都能被6整除，只有最后一项不能被6整除，所以问题转化为92被6的余数，而92512=，被6除的余数为2，所以98被6除的余数为2.故答案为：213.已知随机变量x ，y 的五组观测数据如下表：x12345y1.1e - 1.6e a6.5e 9e 由表中数据通过模型e mx n y +=得到经验回归方程为 2.6 3.8ˆe x y-=，则实数a 的值为______．【答案】4e 【解析】【分析】令ln z y =，则 2.6 3.8zx =- ，求出,x z ，再根据线性回归方程必过样本中心点即可得解.【详解】令ln z y =，则 1.1 1.6 6.5912345ln e ln e ln ln e ln e 16ln 3,555a ax z -+++++++++===，因为 2.6 3.8ˆe x y-=，所以 2.6 3.8z x =- ，所以16ln 2.63 3.85a+⨯-=，解得4e a =.故答案为：4e .14.已知函数32()(,,)f x x ax bx c a b c =+++∈R ，若关于x 的不等式()0f x <的解集为{|3x x t <+且}x t ≠，则()f x 的极小值为______．【答案】4-【解析】【分析】结合三次函数的性质可得函数解析式，借助导数可得其单调性即可得其极小值.【详解】由题意可得()()232()3f x x ax bx c x t x t =+++=---，即()()()()()()22332f x x t x t x t x t x t =-+---=---'，当()(),2,x t t ∞∞∈-⋃++时，()0f x '>，当(),2x t t ∈+时，()0f x '<，故()f x 在(),t ∞-、()2,t ∞++上单调递增，在(),2t t +上单调递减，共有()f x 的极小值为()()()222232124f t t t t t +=+--+-=-⨯=-.故答案为：4-.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知(13)nx -（其中x ∈R *n ∈N ）的展开式中第2项的二项式系数与第3项的二项式系数之和为36．（1）求n ；（2）记2012(13)n nn x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，求31223(1)3333n n n a a a a -+-+⋅⋅⋅+-的值．【答案】（1）8（2）255【解析】【分析】（1）根据第2项的二项式系数与第3项的二项式系数之和为36得12C C 36n n +=，即可求n ；（2）先令0x =，则01a =，再令13x =-，则83812023823333a a a a a =-+-++ 即可求解.【小问1详解】由题意，二项式(13)n x -的通项公式为1C (3)rrr n T x +=-，根据第2项的二项式系数与第3项的二项式系数之和为36得12C C 36n n +=，即2720n n +-=，*Nn ∈解得8n =.【小问2详解】由（1）可知8280128(13)x a a x a x a x -=++++ ，令0x =，则01a =，令13x =-，则83812023823333a a a a a =-+-++ ，则38122382553333a a a a -+-++= .16.已知某射击运动员每次射击命中10环的概率为45，每次射击的结果相互独立，共进行4次射击．（1）求恰有3次命中10环的概率；（2）求至多有3次命中10环的概率；（3）设命中10环的次数为X ，求随机变量X 的数学期望()E X 和方差()D X ．【答案】（1）256625（2）369625（3）165EX =；1625DX =【解析】【分析】（1）直接根据二项分布的概率公式计算即可；（2）用对立事件法求概率；（3）直接代入二项分布的期望和方差公式即可.【小问1详解】设运动员每次射击命中10环为随机变量ξ，则由题意可知44,5B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则恰有3次命中10环的概率即()3134412563C 55625P ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；【小问2详解】至多有3次命中10环的概率即()()44443693141C 5625P P ξξ⎛⎫≤=-==-= ⎪⎝⎭；【小问3详解】416455EX np ==⨯=，()4116145525DX np p =-=⨯⨯=.17.已知函数12()(R)22x x tf x t +-=∈--为奇函数．（1）设函数1()2g x f x t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求122023202420242024g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值；（2）若关于x 的方程()()4320xxf f a a ++-⋅-=有实数根，求实数a 的取值范围．【答案】（1）2023（2）2a ≥【解析】【分析】（1）由函数()f x 为奇函数可得()00f =，即可求出a ，再求出()()1g x g x +-的值即可得解；（2）先判断函数()f x 的单调性，根据函数()f x 为奇函数可得()()()4322x x x f f a a f a a +=--⋅-⋅+=，则问题转化为关于x 的方程432x x a a ⋅+=+，分离参数，再结合基本不等式即可得解.【小问1详解】函数的定义域为R ，因为函数12()(R)22x x tf x t +-=∈--为奇函数，所以()00f =，即1022t-=--，所以1t =，经检验，符合题意，所以121()22x x f x +-=--，则1()12g x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为()f x 为奇函数，所以()()0f x f x -+=，则()()1112222g x g x f x f x ⎛⎫⎛⎫+-=-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以122023202420242024g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1202322022202312024202420242024202420242g g g g g g ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦=2023220232⨯==；【小问2详解】121121211()22221221x x x x xf x +-+-==-⋅=-+--++，因为21x y =+是R 上的增函数，且恒大于零，所以()f x 在R 上单调递减，由()()4320xxf f a a ++-⋅-=，得()()()4322xxxf f a a f a a +=--⋅-⋅+=，所以432x x a a ⋅+=+，即()()2212214434212212121x x xx x x xa +-+++===++-+++，因为关于x 的方程()()4320xxf f a a ++-⋅-=有实数根，所以关于x 的方程421221xx a =++-+有实数根，而42122221x x ++-≥=+，当且仅当42121xx +=+，即0x =时取等号，所以2a ≥.18.某学校组织100名学生去高校参加社会实践．为了了解学生性别与颜色喜好的关系，准备了足量的红、蓝颜色的两种帽子，它们除颜色外完全相同．每位学生根据个人喜好领取1顶帽子，学校统计学生所领帽子的颜色，得到了如下22⨯列联表．红色蓝色合计男202545女401555合计6040100（1）是否有99%的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”；（2）在进入高校某实验室前，需要将帽子临时存放，为此学校准备了标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子，①求所选的4个箱子的标号数之和为奇数的概率；②记所选的箱子中有X 对相邻序号（如：所选箱子的标号为1，2，3，5，则1，2和2，3为2对相邻序号，所以2X =），求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ．附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．α0.10.050.01ax 2.7063.8416.635【答案】（1）有99%的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”.（2）分布列见解析，12()7E X =【解析】【分析】（1）根据独立性检验计算判断结论；（2）根据古典概型计算概率；根据题意求离散型随机变量的可能取值及相应概率，列出分布列，根据数学期望公式计算出结果；【小问1详解】零假设0H :喜好红色或蓝色与性别无关，因为22100(20152540)24508.249 6.63560404555297⨯-⨯χ==≈>⨯⨯⨯，所以，根据独立性检验，没有充分证据推断0H 成立，因此有99%的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”.【小问2详解】①根据题意可知箱子的标号有4个奇数3个偶数，标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子，设事件A 记为所选的4个箱子的标号数之和为奇数，则3113343447C C C C 16()C 35P A +==；②标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子，则选取4个箱子的所有情况有1234,1235,1236,1237,1245,1246,1247,1256,1257,1267,1345,1346,1347,1356,1357,1367,1456,1457,1467,1567,2345,2346,2347,2356,2357,2367,2456,2457,2467,2567,3456,3457,3467,3567,4567⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭记所选的箱子中有X 对相邻序号，可得0,1,2,3,X =则44471(0),C C 35P X ===47,C 1212(1)35P X ===47,C 1818(2)35P X ===47,C 44(3)35P X ===所以随机变量X 的分布列为X0123P13512351835435因此数学期望11218412()0123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.19.已知函数()()1ln f x x x =+．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若关于x 的不等式()(1)f x m x >-在(1,)+∞上恒成立，求实数m 的最大值；（3）若关于x 的方程2()(1)10()f x ax a x a ++++=∈R 有两个实根1x ，()212x x x ≠，求证：121123a a x x -<+<+．【答案】（1）22y x =-（2）2（3）证明见解析【解析】【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；（2）由题意可得()()1ln 10x x m x +-->在(1,)+∞上恒成立，则可构造函数()()()1ln 1g x x x m x =+--，求导后分2m ≤及m>2讨论其单调性，在m>2时结合零点的存在性定理研究，即可得m 的具体范围，即可得其最大值；（3）借助因式分解可将原问题转化为ln 10x ax ++=有两个实根，借助导数研究其单调性可得两根范围，借助换元法，令111t x =，221t x =，可得11221ln 11ln 1a t t a t t -⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩，两式作差可得112221ln t t t t a t t ⋅=-，从而将证明12112a x x -<+转化为证明21211221ln 02t t t t t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭+>⋅，借助换元法令121t n t =>，即证21ln 02n n n -+>，构造相应函数，借助导数即可证明；再借助（2）中所得，结合两实根的范围，可得()()1111222221ln 1121ln 11t at t t t a t t t ⎧-=+>⎪+⎪⎨-⎪=+<⎪+⎩，即可得()()()()1112221313a t t t a t t t ⎧+>-⎪⎨-+>--⎪⎩，两式作差即可得证12113a x x +<+.【小问1详解】()11ln ln 1x f x x x x x ='+=+++，()11ln1121f =++='，又()()111ln10f =+=，则有()021y x -=-，即曲线()y f x =在1x =处的切线方程为22y x =-；【小问2详解】由题意可得()()1ln 10x x m x +-->在(1,)+∞上恒成立，令()()()1ln 1g x x x m x =+--，则()1ln 1g x x m x=++-'，令()()1ln 1x g x x m x α==++-'，则()22111x x x x xα'-=-=，则当(1,)x ∈+∞时，()0x α'>，故()g x '在(1,)+∞上单调递增，则当(1,)x ∈+∞时，()()11ln1121g x g m m >=++-='-'，当2m ≤时，()20g x m >'-≥，故()g x 在(1,)+∞上单调递增，有()()()12ln1110g x g m >=--=，符合要求，当m>2时，由()120g m ='-<，()11e ln e 110e emm m m g m =++-=+>'，则存在()01,emx ∈，使()00g x '=，即当()01,x x ∈时，()0g x '<，当()0,x x ∞∈+，()0g x '>，故()g x 在()01,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，则()()010g x g <=，不符合要求，故舍去，综上所述，2m ≤，故实数m 的最大值为2；【小问3详解】()()()()()()()2111ln 111ln 10f x ax a x x x ax x x x ax ++++=++++=+++=，由0x >，即有ln 10x ax ++=有两个实根1x ，()212x x x ≠，令()ln 1x x ax μ=++，()1x a xμ'=+，当0a ≥时，()10x a xμ'=+>恒成立，()0x μ=不可能有两个实根，故舍去；当0a <，则10,x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0x μ'>，当1,x a ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时，()0x μ'<，故()x μ在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减，则有()11ln 11ln 0a a a μ⎛⎫⎛⎫-=--+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()1,0a ∈-，又()1ln1110a a μ=++=+>，不妨令12x x <，则有12101x x a<<<-<，有1122ln 1ln 1x ax x ax +=-⎧⎨+=-⎩，令111t x =，221t x =，即有11221ln 11ln 1a t t a t t -⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩，则有121211ln1ln 1a at t t t --+--=-，即()211212ln ln a t t t t t t --=，即112221lnt t t t a t t ⋅=-，则要证12112a x x -<+，只需证112212212ln tt t t t t t t ⋅-<+-，即证21211221ln 02t t t t t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭+>⋅，令121t n t =>，即证21ln 02n n n -+>，令()21ln 2x h x x x-=+，1x >，则()()()2222222421112420442x x x x x h x x x x x-----+-=+=-'=<恒成立，故()h x 在()1,∞+上单调递减，故()()111ln102h x h -<=+=，即有21ln 02n n n-+>在1n >时恒成立，故12112a x x -<+得证；由（2）可知，当2m =时，()(1)f x m x >-在()1,∞+上恒成立，即()21ln 01x x x -->+在()1,x ∞∈+上恒成立，则当()0,1x ∈时，()121211ln ln 0111x x x x x x⎛⎫- ⎪-⎝⎭-=-->++，即()21ln 01x x x --<+，由12101x x a<<<-<，则11t >、201t <<，故()11121ln 01t t t -->+，()22221ln 01t t t --<+，则()11121ln 1t t t ->+，()22221ln 1t t t -<+，又11221ln 11ln 1a t t a t t -⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩，即()()1111222221ln 1121ln 11t a t t t t a t t t ⎧-=+>⎪+⎪⎨-⎪=+<⎪+⎩，即()()()()1112221313a t t t a t t t ⎧+>-⎪⎨+<-⎪⎩，即()()()()1112221313a t t t a t t t ⎧+>-⎪⎨-+>--⎪⎩，则有()()()()1211221133a t a t t t t t +-+>---，整理得()()221212123a t t t t t t ->---，即123a t t >+-，即123t t a +<+，即12113a x x +<+；综上，121123a a x x -<+<+得证.【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助换元法，令111t x =，221t x =，从而将证明121123a a x x -<+<+转换为证明1223a t t a -<+<+.。
2022-2023学年江苏省泰州市高二下学期期末考数学试卷含详解
2022～2023学年度第二学期期末考试高二数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知向量()1,2,3m =与()2,,6n x =r垂直，则实数x 的值为（）A.10- B.4- C.4D.102.书架上有3本不同的数学书，4本不同的物理书，图书管理员从中任取2本，则不同的取法种数为（）A.7B.12C.21D.423.口袋中有2个黑球，2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.任取两球，用随机变量X 表示取到的黑球数，则()2P X =的值为（）A.15B.110C.310D.354.某中学通过问卷调查的形式统计了该校1000名学生完成作业所需的时间，发现这些学生每天完成作业所需的时间（单位：小时）近似地服从正态分布11,16N ⎛⎫⎪⎝⎭.则这1000名学生中每天完成作业所需的时间不少于1.5小时的人数大约为（）附：随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.683P μσξμσ-<<+≈，()220.954P μσξμσ-<<+≈.A.23B.46C.158D.3175.在()()()()1234x x x x ++++的展开式中，含3x 的项的系数为（）A.6B.10C.24D.356.已知x ，y 的取值如下表所示，从散点图分析可知y 与x 线性相关，如果线性回归方程为0.95 2.5y x =+$，则下列说法不正确的是（）x1234y2.3 4.3 4.44.8mA.m 的值为6.2B.回归直线必过点（2，4.4）C.样本点（4，m ）处的残差为0.1D.将此图表中的点（2，4.4）去掉后，样本相关系数r 不变7.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为2，底面ABC 是边长为2的正三角形，1160A AB A AC ∠=∠=︒，若1B C和1BC 相交于点M .则AM =（）A.B.2C.D.8.在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若ξ是只取非负值的随机变量，则对0a ∀>，都有()()E P a aξξ≥≤.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A ，其概率为()P A .则()P A 的最大值为（）A.271000B.2431000 C.427D.49二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.随机变量X 服从以下概率分布：X 1-123P13ab16若()1E X =，则下列说法正确的有（）A.16a =B.16b =C.()313E X -= D.()73D X =10.关于二项式522x⎛⎝的展开式，下列说法正确的有（）A.含5x 的项的系数为80-B.二项式系数和为32C.常数项为10D.只有第3项的二项式系数最大11.下列说法正确的有（）A.若随机变量X ～0－1分布，则方差()14D X ≤B.正态密度曲线在曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为1C.若两个变量的相关性越强，则其相关系数越接近于1D.若()12P A =，()13P B =，()16P AB =，则事件A 与B 相互独立12.如图，正方形ABCD 的边长为2，AE 和CF 都与平面ABCD 垂直，24AE CF ==，点P 在棱DE 上，则下列说法正确的有（）A.四面体BDEF 外接球的表面积为68π3B.四面体BDEF 外接球的球心到直线AE 2C.当点P 为DE 的中点时，点P 到平面BEF 的距离为62D.直线EF 与平面PAB 所成角的正弦值的最大值为63三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算：01233456C C C C +++=______.（用数字作答）14.设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()13P A =，()12P B =，则()|P A B 的一个可能的值为______.15.在棱长为6的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD 中，3BC BM = ，3AD AN =uuur uuu r ，则直线AM 与CN 夹角的余弦值为______.16.一质点从平面直角坐标系原点出发，每次只能向右或向上运动1个单位长度，且每次运动相互独立，质点向上运动的概率为13.质点运动5次后，所在位置对应的坐标为（3，2）的概率为______，质点运动2023次后，最有可能运动到的位置对应的坐标为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设()92390123921x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+.（1）求12a a +的值；（2）求39122392222a a a a +++⋅⋅⋅+的值.18.某市举办大型车展，为了解该市人民对此次大型车展的关注情况，在该市随机地抽取男性和女性各100人进行调查统计，得到如下22⨯列联表：关注不关注合计男性5050100女性3070100合计80120200（1）能否有99%的把握认为男性和女性对此次大型车展的关注程度有明显差差异？（2）有3位市民去参观此次大型车展，假设每人去新能源汽车展区的概率均为13，且相互独立.设这3位市民参观新能源汽车展区的人数为ξ，求ξ的概率分布和数学期望.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++()20P x χ≥0.0500.0100.0010x 3.8416.63510.82819.某校举行劳动技术比赛，该校高二（1）班的班主任从本班的5名男选手和4名女选手中随机地选出男、女选手各2名参加本次劳动技术比赛中的团体赛，并排好团体赛选手的出场顺序.在下列情形中各有多少种不同的安排方法？（1）男选手甲必须参加，且第4位出场；（2）男选手甲和女选手乙都参加，且出场的顺序不相邻；（3）男选手甲和女选手乙至少有一人参加.20.设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和m （2m ≥，*N m ∈）个红球，这些球除颜色外完全相同，现先从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任意取出2个球，已知从乙袋中取出的是两个红球的概率为514.（1）求m 的值；（2）在从乙袋中取出的两球是一个红球和一个白球的条件下，求从甲袋中取出的是两个红球的概率.21.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，11AA =，D 为AC 的中点.请从条件①、②、③中选择合适的两个作为已知，并解答下面的问题：（1）求二面角11A BDB --所成角的正弦值；（2）点P 是矩形11AA B B （包含边界）内任一点，且CP =CP 与平面1B BD 所成角的正弦值的取值范围.条件①：平面1A BC的面积为2；条件②：11C D A B ⊥；条件③：1B 点到平面1A BC 的距离为63.22.某软件科技公司近8年的年利润y 与投入的年研发经费x （单位：千万元）如下表所示.x 34566789y1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y 8y （1）根据散点图可以认为x 与y 之间存在线性相关关系，且相关系数8384r =，请用最小二乘法求出线性回归方程y bx a =+$$$（ a，b 用分数表示）；（2）某配件加工厂加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差60,1N c ε⎛⎫⎪+⎝⎭:，其中c 为单个零件的加工成本（单位：元），且10.9542P ε⎛⎫<= ⎪⎝⎭.引进该公司最新研发的某工业软件后，加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差110,22N c ε⎛⎫ ⎪+⎝⎭:.若保持零件加工质量不变（即误差的概率分布不变），则单个零件加工的成本下降了多少元？附：（1）参考数据：8213452ii y==∑，()821252i i y y=-=∑.（2）参考公式：()()ni i x xy yr --=∑，()()()121nii i nii xx y ybxx==--=-∑∑ ，a y bx =-$$.（3）若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.683P μσξμσ-<<+≈，()220.954P μσξμσ-<<+≈.2022～2023学年度第二学期期末考试高二数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知向量()1,2,3m =与()2,,6n x =r垂直，则实数x 的值为（）A.10-B.4- C.4D.10【答案】A【分析】由向量垂直，数量积等于0,直接应用空间向量的数量积坐标运算公式即可.【详解】 向量()1,2,3m = 与()2,,6n x =r 垂直，122362200,m n x x ∴⋅=⨯++⨯=+=解得10,x =-故选：A.2.书架上有3本不同的数学书，4本不同的物理书，图书管理员从中任取2本，则不同的取法种数为（）A.7B.12C.21D.42【答案】C【分析】根据分类加法原理以及组合数的概念，可得答案.【详解】由题可知不同的取法的种数为2776C 2121⨯==⨯.故选：C.3.口袋中有2个黑球，2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.任取两球，用随机变量X 表示取到的黑球数，则()2P X =的值为（）A.15B.110C.310D.35【答案】B【分析】根据题意，由超几何分布的概率计算公式，代入计算即可得到结果.【详解】由题意可得，()2225C 12C 10P X ===.故选：B4.某中学通过问卷调查的形式统计了该校1000名学生完成作业所需的时间，发现这些学生每天完成作业所需的时间（单位：小时）近似地服从正态分布11,16N ⎛⎫⎪⎝⎭.则这1000名学生中每天完成作业所需的时间不少于1.5小时的人数大约为（）附：随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.683P μσξμσ-<<+≈，()220.954P μσξμσ-<<+≈.A.23B.46C.158D.317【答案】A【分析】求出11,0.254μσ===，可得()11 1.50.9542P ξ<<≈⨯，则()111.50.9540.02322P ξ≥≈-⨯=，进而可得答案.【详解】因为学生每天完成作业所需的时间（单位：小时）近似地服从正态分布11,16N ⎛⎫⎪⎝⎭，所以11,0.254μσ===，因为()220.954P μσξμσ-<<+≈，则()0.95 1.50.954P ξ<<≈，所以()11 1.50.9542P ξ<<≈⨯，则()111.50.9540.02322P ξ≥≈-⨯=，所以这1000名学生中每天完成作业所需的时间不少于1.5小时的人数大约为：0.023100023⨯=（人），故选：A.5.在()()()()1234x x x x ++++的展开式中，含3x 的项的系数为（）A.6B.10C.24D.35【答案】B【分析】分四个因式中有一个因式选常数相乘时，则剩余三个因式都选x 相乘求解.【详解】解：当1x +选1相乘时，2,3,4x x x +++都选x 相乘，此时3x 的项的系数为1；当2x +选2相乘时，1,3,4x x x +++都选x 相乘，此时3x 的项的系数为2；当3x +选3相乘时，2,1,4x x x +++都选x 相乘，此时3x 的项的系数为3；当4x +选4相乘时，2,3,1x x x +++都选x 相乘，此时3x 的项的系数为4；综上：3x 的项的系数为1+2+3+4=10.故选：B6.已知x ，y 的取值如下表所示，从散点图分析可知y 与x 线性相关，如果线性回归方程为0.95 2.5y x =+$，则下列说法不正确的是（）x1234y2.3 4.3 4.44.8mA.m 的值为6.2B.回归直线必过点（2，4.4）C.样本点（4，m ）处的残差为0.1D.将此图表中的点（2，4.4）去掉后，样本相关系数r 不变【答案】C【分析】根据平均数的定义及样本中心在经验回归直线方程上，利用残差的定义及样本相关系数的公式即可求解.【详解】由题意可知，()1012342,5x =⨯++++=()()112.3 4.3 4.4 4.815.8,55y m m =⨯++++=⨯+所以样本中心为15.82,5m +⎛⎫⎪⎝⎭，将点15.82,5m +⎛⎫ ⎪⎝⎭代入0.95 2.5y x =+$，可得15.80.952 2.55m +=⨯+，解得 6.2m =，故A 正确；由 6.2m =，得样本中心为()2,4.4，所以回归直线必过点（2，4.4），故B 正确；当4x =时，0.954 2.5 2.375y =⨯+=$，由 6.2m =，得样本点()4,6.2处的残差为6.2 2.375 3.825-=，故C 错误；因为样本中心为()2,4.4，所以33220, 4.4 4.40,x x y y -=-=-=-=由相关系数公式知，()()5iix x y y r --=∑2，4.4）去掉后，样本相关系数r 不变，故D 正确；故选：C.7.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为2，底面ABC 是边长为2的正三角形，1160A AB A AC ∠=∠=︒，若1B C和1BC 相交于点M.则AM =（）A.B.2C.D.【答案】D【分析】以{}1,,AB AC AA 为基底表示AM，利用平方的方法求得AM .【详解】依题意可知M 是1BC 的中点，所以()11111222AM AC AB AC AB =+=+()111111122222AC AA AB AC AA AB =++=++，所以A M =====故选：D8.在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若ξ是只取非负值的随机变量，则对0a ∀>，都有()()E P a aξξ≥≤.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A ，其概率为()P A .则()P A 的最大值为（）A.271000B.2431000 C.427D.49【答案】B【分析】记该市去年人均收入为X 万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为Y ,设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为p ，根据马尔可夫不等式可得1010p ≤≤，再根据二项分布求得()()23231363P A p p p p p =-=-+，令32()363f p p p p =-+，求导判断单调性即可求得最大值.【详解】记该市去年人均收入为X 万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为Y .设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为p ，则根据马尔可夫不等式可得()()10110010010010E X p P X =≥≤==，1010p ∴≤≤，因为~(3,)Y B p ，所以()()()()2213231C 131363P A P Y p p p p p p p ===-=-=-+，令32()363f p p p p =-+，则2()91233(31)(1)f p p p p p '=-+=--，10,310,1010p p p ≤≤∴-<-< ，即()0f p '>，()f p ∴在10,10⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.2max111243()311010101000f p f ⎛⎫⎛⎫∴==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即max243()1000P A =.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.随机变量X 服从以下概率分布：X 1-123P13ab16若()1E X =，则下列说法正确的有（）A.16a =B.16b =C.()313E X -=D.()73D X =【答案】AD【分析】根据离散型随机变量的性质，以及均值的计算公式，建立方程组，可得参数的值，根据均值的性质以及方差的计算公式，可得答案.【详解】由题意，11136a b +++=，则12a b +=；()112132E X a b =-+++=，则526a b +=.由方程组12526a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1613a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.()()31312E X E X -=-=，()()()2211437136323D XE X E X =-=+++-=.故选：AD.10.关于二项式522x⎛⎝的展开式，下列说法正确的有（）A.含5x 的项的系数为80-B.二项式系数和为32C.常数项为10D.只有第3项的二项式系数最大【答案】BC【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后逐个分析判断即可.【详解】二项式522x⎛⎝的展开式的通项公式为()()5105252155C 2C 21rr rr rr r r T xx---+⎛==⋅⋅- ⎝，对于A ，令51052r -=，得2r =，所以含5x 的项的系数为()2235C 2180⋅⋅-=，所以A 错误，对于B ，二项式系数和为5232=，所以B 正确，对于C ，令51002r -=，得4r =，所以常数项为()445C 2110⋅⋅-=，所以C 正确，对于D ，因为二项式522x⎛⎝的展开式共有6项，所以第3项和第4项的二项式系数最大，即2355C C 10==，所以D 错误，故选：BC11.下列说法正确的有（）A.若随机变量X ～0－1分布，则方差()14D X ≤B.正态密度曲线在曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为1C.若两个变量的相关性越强，则其相关系数越接近于1D.若()12P A =，()13P B =，()16P AB =，则事件A 与B 相互独立【答案】ABD【分析】对于A ，根据两点分布的方差公式，再利用基本不等式即可；对于B ，由正态密度曲线在曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为概率，即可判定；对于C ，当两个变量为负相关时，相关性越强，相关系数越接近于1,-可判定错误；对于D,根据相互独立事件的定义，结合概率计算，即可判定正确.【详解】对于A ，因为随机变量X ～0－1分布，所以()211(1)24p p D X p p +-⎛⎫=-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1,p p =-即12p =时，等号成立，所以A 正确；对于B ，因为正态密度曲线在曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积就是概率，全区域概率为1，所以面积为1，故B 正确；对于C ,当两个变量为负相关时，相关性越强，其相关系数越接近于1-，故C 错误；对于D,()12P A = ，()13P B =，()16P AB =，()()(),P AB P A P B ∴=则事件A 与B 相互独立，故D 正确.故选：ABD.12.如图，正方形ABCD 的边长为2，AE 和CF 都与平面ABCD 垂直，24AE CF ==，点P 在棱DE 上，则下列说法正确的有（）A.四面体BDEF 外接球的表面积为68π3B.四面体BDEF 外接球的球心到直线AEC.当点P 为DE 的中点时，点P 到平面BEF 的距离为2D.直线EF 与平面PAB 所成角的正弦值的最大值为63【答案】ACD【分析】建立空间直角坐标系，列方程确定四面体BDEF 外接球球心O 的坐标和半径，再求球的表面积判断A ，利用向量方法求球心到直线AE 的距离判断B ，求平面BEF 的法向量，利用向量方法求点P 到平面BEF 的距离判断C ，求平面PAB 的法向量，结合向量夹角公式求直线EF 与平面PAB 所成角的正弦值的最大值判断D.【详解】因为AE 与平面ABCD 垂直，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，因为四边形ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥，以点A 为原点，,,AB AD AE为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()()()2,0,0,0,2,0,0,0,4,2,2,2B D E F ，设四面体BDEF 外接球的球心O 的坐标为(),,x y z ，则,,OB OD OB OE OB OF ===，所以()()()()()()()()22222222222222222222242222x y z x y z x y z x y z x y z x y z ⎧-++=+-+⎪⎪-++=++-⎨⎪-++=-+-+-⎪⎩，化简可得232x y x z y z =⎧⎪=-⎨⎪+=⎩，所以115,,333x y z ===，所以球心O 的坐标为115,,333⎛⎫⎪⎝⎭，所以球O的半径513R OB ===，所以四面体BDEF 外接球的表面积21768π4π4π33S R ==⨯=，A 正确；直线AE 的方向向量()0,0,4AE =，又115,,333AO ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以向量AO 在向量AE 上的投影向量的模的大小为115004533343AO AE AE⨯+⨯+⨯⋅== ，所以点O 到直线AE23=，B 错误；设平面BEF 的法向量为()1,,n a b c =，则1100n BF n FE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，又()0,2,2BF = ，()2,2,2FE =-- ，所以2202220b c a b c +=⎧⎨--+=⎩，取2a =,则1,1c b ==-，所以()12,1,1n =-为平面BEF 的一个法向量，若点P 为DE 的中点，则点P 的坐标为()0,1,2，所以()0,1,2PD =-，所以点P 到平面BEF的距离为112PD n n ⋅== ，C 正确；设DP DE λ=，01λ≤≤，则()()()0,2,00.2,40.22,4AP AD DP λλλ=+=+-=- ，又()2,0,0AB =，()2,2,2EF =- ，设平面PAB 的法向量为()2,,n p q r =，则2200n AP n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以()224020q r p λλ⎧-+=⎨=⎩，取2q λ=，则0,1p q λ==-，所以()20,2,1n λλ=-为平面PAB 的一个法向量，设直线EF 与平面PAB 所成角为θ，所以2sin cos ,EF n θ==，所以sin θ==设31t λ+=，[]1,4t ∈，则13t λ-=，22219t t λ-+=，所以222319942115215162051652193t t t t t t t t t λλλ+===-+--+-+⎛⎫+-⋅-⋅+ ⎪⎝⎭，由基本不等式可得当[]1,4t ∈时，44t t +≥=，当且仅当2t =，即13λ=时等号成立，所以231999452154164516t t λλλ+=≤=-+⨯-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，当且仅当13λ=时等号成立，所以15106sin 153θ=≤=，当且仅当13λ=时等号成立，所以当点P 为棱DE 的靠近点D 的三分点时，直线EF 与平面PAB 所成角的正弦值的最大，最大值为63，D 正确；故选：ACD .【点睛】知识点点睛：本题考查的知识点有四面体的外接球，球的表面积，点到直线的距离，点到平面的距离，直线与平面的夹角，考查直观想象，数学运算方面的核心素养.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算：01233456C C C C +++=______.（用数字作答）【答案】35【分析】利用组合数公式计算即可.【详解】0123345654654C C C C 141410203521321⨯⨯⨯+++=+++=+++=⨯⨯⨯.故答案为：3514.设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()13P A =，()12P B =，则()|P A B 的一个可能的值为______.【答案】13（答案不唯一，在20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦内均可）【分析】先求出()P AB 的范围，然后利用条件概率公式求解即可.【详解】因为A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()13P A =，()12P B =，当事件A ，B 为互斥事件时，()0P AB =，当事件B 包含事件A 时，()13P AB =，即()103P AB ≤≤，所以()()()1230|132P AB P A B P B ≤=≤=，所以()|P A B 的一个可能的值为13（答案不唯一，在20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦内均可）.故答案为：13（答案不唯一，在20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦内均可）15.在棱长为6的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD 中，3BC BM = ，3AD AN =uuur uuu r ，则直线AM 与CN 夹角的余弦值为______.【答案】914【分析】根据题意，连接DM ，取DM 上的三等分点E ，使得13ME MD =，连接CE ，NE ，即可得到直线AM与CN 夹角为ENC ∠，再结合余弦定理，即可得到结果.【详解】由题意，连接DM ，取DM 上的三等分点E ，使得13ME MD =，连接CE ，NE ，因为3AD AN =uuu r uuu r，则//NE AM ，所以直线AM 与CN 夹角为ENC ∠，因为四面体ABCD 的棱长为6，则123BM BC ==,6AB =，且60ABM ∠=︒，在ABM 中，由余弦定理可得，2222cos 60AMAB BM AB BM =+-⋅⋅︒22162262282=+-⨯⨯⨯=，则AM NC ==//NE AM ，则DAM DNE ∽，且23NE AM=，所以NE =，因为()11213333CE CM ME CM MD CM CD CM CM CD =+=+=+-=+，所以22222141212cos 60339933CE CM CD CM CD CM CD ⎛⎫=+=++⨯⨯⋅⋅︒⎪⎝⎭414114816364699929=⨯+⨯+⨯⨯⨯=，在NEC中，由余弦定理可得，(22222148939cos 42142NC NE CE ENC NC NE +-+-⎝⎭∠===⋅⨯.故答案为：914.16.一质点从平面直角坐标系原点出发，每次只能向右或向上运动1个单位长度，且每次运动相互独立，质点向上运动的概率为13.质点运动5次后，所在位置对应的坐标为（3，2）的概率为______，质点运动2023次后，最有可能运动到的位置对应的坐标为______.【答案】①.80243②.()1349,674【分析】根据二项分布的概率公式，以及组合数的对称性质，可得答案.【详解】由运动5次后，所在位置对应坐标为()3,2，则运动中有3次向右，2次向上，由题意可得：其概率23251180C 133243P ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；设质点运动2023次，所在位置对应的坐标为(),2023n n -，则其概率2023202320232023111C12C 333nn n n n P -⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令112023202311202320232C 2C 2C 2C n nn nn n n n--++⎧<⎨<⎩，()()()()()()112023!2023!221!20231!!2023!2023!2023!221!20231!!2023!n nn nn n n n n n n n -+⎧<⎪--+-⎪⎨⎪<⎪+---⎩，解得4049404533n >>，故当1349n =时，P '取得最大值，此时质点所在位置对应的坐标为()1349,674.故答案为：80243；()1349,674.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设()92390123921x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+.（1）求12a a +的值；（2）求39122392222a a a a +++⋅⋅⋅+的值.【答案】（1）126-（2）1【分析】（1）利用二项式定理即可求解；（2）利用赋值法即可求解.【小问1详解】依题意得，()8819C 2118a =⨯⨯-=，()77229C 21144a =⨯⨯-=-，∴1218144126a a +=-=-【小问2详解】令0x =，得01a =-，令12x =，得3912023902222a a a a a ++++⋅⋅⋅+=，∵01a =-，∴391223912222a a a a +++⋅⋅⋅+=.18.某市举办大型车展，为了解该市人民对此次大型车展的关注情况，在该市随机地抽取男性和女性各100人进行调查统计，得到如下22⨯列联表：关注不关注合计男性5050100女性3070100合计80120200（1）能否有99%的把握认为男性和女性对此次大型车展的关注程度有明显差差异？（2）有3位市民去参观此次大型车展，假设每人去新能源汽车展区的概率均为13，且相互独立.设这3位市民参观新能源汽车展区的人数为ξ，求ξ的概率分布和数学期望.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++()20P x χ≥0.0500.0100.0010x 3.8416.63510.828【答案】（1）有（2）分布列见解析，数学期望为1【分析】（1）根据表中的数据利用公式()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++求解2χ，再根据临界值表进行判断即可，（2）由题意知ξ的可能取值为：0，1，2，3，而13,3B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，所以利用二项分布的概率公式求出各自对应的概率，从而可求得ξ的概率分布和数学期望.【小问1详解】提出假设0H ：男性和女性对此次大型车展的关注程度没有明显差异.由列联表中的数据可得：()2220050705030258.333100*********χ⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，因为当0H 成立时，()26.6350.010P χ≥≈，这里的28.000 6.635χ≈>，所以我们有99%的把握认为男性和女性对此次大型车展的关注程度有明显差异.【小问2详解】由题意知ξ的可能取值为：0，1，2，3.因为13,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()3312C 33k kk P k ξ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中k =0，1，2，3，故ξ的概率分布表为：ξ0123P8274929127所以()842101231279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，所以随机变量ξ的数学期望为1.19.某校举行劳动技术比赛，该校高二（1）班的班主任从本班的5名男选手和4名女选手中随机地选出男、女选手各2名参加本次劳动技术比赛中的团体赛，并排好团体赛选手的出场顺序.在下列情形中各有多少种不同的安排方法？（1）男选手甲必须参加，且第4位出场；（2）男选手甲和女选手乙都参加，且出场的顺序不相邻；（3）男选手甲和女选手乙至少有一人参加.【答案】（1）144（2）144（3）1008【分析】根据先选后排的原则，结合排列数、组合数运算求解.【小问1详解】完成该件事情可分两步进行：第一步，选出选手，有1244C C 种方法；第二步，排好出场顺序，有33A 种方法，所以，共有123443C C A 144=种不同的安排方法.【小问2详解】完成该件事情可分两步进行：第一步，选出选手，有1143C C 种方法；第二步，排好出场顺序，有2223A A 种方法，所以，共有11224323C C A A 144=种不同的安排方法.【小问3详解】完成该件事情可分两步进行：第一步，选出选手，“有男选手甲且无女选手乙”的选法种数为1243C C ；“无男选手甲且有女选手乙”的选法种数为2143C C ；“有男选手甲且有女选手乙”的选法种数为1143C C ；第二步，排好出场顺序，有44A 种排法，所以，共有()12211144343434C C +C C +C C A =1008种不同的安排方法.20.设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和m （2m ≥，*N m ∈）个红球，这些球除颜色外完全相同，现先从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任意取出2个球，已知从乙袋中取出的是两个红球的概率为514.（1）求m 的值；（2）在从乙袋中取出的两球是一个红球和一个白球的条件下，求从甲袋中取出的是两个红球的概率.【答案】（1）2（2）419【分析】（1）根据从乙袋中取出的是两个红球的概率列方程，化简求得m 的值.（2）先求得“从乙袋中取出1个红球和1个白球”的概率、求得“从甲袋中取出2个红球”且“从乙袋中取出1个红球和1个白球”的概率，根据条件概率计算公式求得正确答案.【小问1详解】记事件1A ：从甲袋中取出2个红球，事件2A ：从甲袋中取出2个白球，事件3A ：从甲袋中取出1个红球和1个白球，事件B ：从乙袋中取出2个红球，事件C ：从乙袋中取出1个红球和1个白球.因为()()()222112232334142222221737373C C C C C C C 5|C C C C C C 14m m m i i i m m m P B P A P B A ++=+++==⋅+⋅+⋅=∑，所以297220m m --=，所以2m =（负舍），故m 的值为2.【小问2详解】()()()21111112133323423442222221757575C C C C C C C C C 19C |C C C C C C 35i i i P C P A P A ===⋅++⋅=∑，()21144112275C C C 4C C 35P A C =⋅=，()()()114435|191935P AC P A C P C ===.所以在从乙袋中取出1个红球和1个白球的条件下，从甲袋中取出两个红球的概率为419.21.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，11AA =，D 为AC 的中点.请从条件①、②、③中选择合适的两个作为已知，并解答下面的问题：（1）求二面角11A BD B --所成角的正弦值；（2）点P 是矩形11AA B B（包含边界）内任一点，且CP =CP 与平面1B BD 所成角的正弦值的取值范围.条件①：平面1A BC的面积为2；条件②：11C D A B ⊥；条件③：1B 点到平面1A BC 的距离为63.【答案】（1）147（2）,55⎢⎣⎦【分析】首先以{}1,,CA CB CC为一组正交基底，建立空间直角坐标系C xyz -.(1)若选①②，通过条件①②，,CA CB 的长度，进一步利用平面法向量的求法，求出平面1B BD 和平面1A BD 的法向量，利用公式计算即可；若选①③，通过条件①③，,CA CB 的长度，进一步利用平面法向量的求法，求出平面1B BD 和平面1A BD 的法向量，利用公式计算即可；若选②③，通过条件②③，,CA CB 的长度，进一步利用平面法向量的求法，求出平面1B BD 和平面1A BD 的法向量，利用公式计算即可；(2)解法一：根据条件确定点P 的轨迹，设出点P 的坐标后，利用条件可建立坐标横坐标和纵坐标之间的关系式，近一步利用向量求出线面的正弦值，利用函数关系可求出范围；解法二：利用1,,BP BA BB三个向量共面，建立三个向量之间的线性关系，转化为坐标后，可表示出点P 的坐标，利用条件可建立坐标横坐标和纵坐标之间的关系式，近一步利用向量求出线面的正弦值，利用函数关系可求出范围.【小问1详解】因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1C C ⊥平面ABC ，又CA ，CB ⊂平面ABC ，所以1CC CA ⊥，1CC CB ⊥，又CA CB ⊥.以{}1,,CA CB CC为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -.设CA a =，CB b =（0a >，0b >），则(),0,0A a ，()1,0,1A a ，,0,02a D ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,,0B b ，()10,,1B b ，()10,0,1C.(1)选①②因为直三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面,ABC 且平面11A ACC ⋂平面,ABC AC =又90ACB ∠=︒，BC ∴⊥平面11A ACC ,又1AC ⊂ 平面11A ACC ，1BC A C ∴⊥.则又由①得平面1A BC的面积为1622=，由②得()211,,1,0,11022a a A B C D a b ⎛⎫⋅=--⋅-=-+= ⎪⎝⎭uuu r uuu r ，解得a =b =.所以)1BA =uuu r，2,2BD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭uu u r ，()10,0,1BB =，设平面1B BD 的一个法向量为()111,,x n y z =，则100BD n BB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，1112020x z =⎨⎪=⎩，取11y =，则()2,1,0n = ，设平面1A BD 的一个法向量为()222,,m x y z =，则100BD m BA m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,22222020x z =⎪-+=，取21y =，则(2,1,m =u r ，设二面角11A BD B --所成角的平面角为θ，所以35cos cos ,7m n m n m nθ⋅====⋅，因为[]0,θπ∈，所以sin 7θ=，所以二面角11A BD B --所成角的正弦值为147.选①③因为直三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面,ABC 且平面11A ACC ⋂平面,ABC AC =又90ACB ∠=︒，BC ∴⊥平面11A ACC ,又1AC ⊂ 平面11A ACC ，1BC A C ∴⊥.又由①得平面1A BC的面积为1622=，由①③得1111B A BC A BB C V V --=，即166132332ba ⨯⨯=⨯⨯，解得a =b =，所以)1BA =uuu r，2BD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭uu u r ，()10,0,1BB =设平面1B BD 的一个法向量为()111,,x n y z =，则100BD n BB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，111020x z =⎨⎪=⎩，取11y =，则()2,1,0n = ，设平面1A BD 的一个法向量为()222,,m x y z =，则100BD m BA m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,22222020x z =⎪⎨-+=，取21y =，则(2,1,m =u r 设二面角11A BD B --所成角的平面角为θ，所以35cos cos ,7m n m n m nθ⋅====⋅因为[]0,θπ∈，所以sin 7θ=，所以二面角11A BD B --所成角的正弦值为7.选②③，由②得()211,,1,0,11022a a A B C D a b ⎛⎫⋅=--⋅-=-+= ⎪⎝⎭uuu r uuu r ，由②③得1111B A BC A BB C V V --=，即1132332ba ⨯⨯=⨯⨯，解得a =b =，所以)1BA =uuu r，22BD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭uu u r ，()10,0,1BB =设平面1B BD 的一个法向量为()111,,x n y z =，则100BD n BB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，1112020x z =⎨⎪=⎩，取11y =，则()2,1,0n = ，设平面1A BD 的一个法向量为()222,,m x y z =，则100BD m BA m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,222222020x z =⎪-+=，取21y =，则(2,1,m =u r 设二面角11A BD B --所成角的平面角为θ，所以35cos cos ,7m n m n m nθ⋅====⋅，因为[]0,θπ∈，所以sin 7θ=，所以二面角11A BD B --所成角的正弦值为147.【小问2详解】解法一：取AB 中点Q ，连接PQ ，CQ ，因为CQ ⊥平面11A ABB ，PQ ⊂平面11A ABB ，所以CQ PQ ⊥，因为1CQ =，CP =1PQ =，所以点P 的轨迹是以Q 为圆心，半径为1的半圆，设点(),,P x y z '''，所以2x ⎡'∈⎣，因为2CP =，1PQ =，所以22222222122x y z x y ⎧++=⎪⎪⎛⎛⎨-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭'⎭'''⎩'⎝，所以2x y ''+=，设CP 与平面1B BD 所成角为α，由(),,CP x y z '''=uu r 及平面1B BD 的一个法向量为()2,1,0n = 知22sin cos ,2510x y x CP n α++=='''=⋅ ，因为2x ⎡'∈⎣，所以525sin 55α∈⎣⎦，所以CP 与平面1B BD 所成角的正弦值的取值范围为525,55⎢⎣⎦.解法二：设)())12,2,00,0,12,2,BP BA BB λμλμλλμ=+=+=uu r uu r uuu r，由()2,0B 得)222,P λλμ，因为2CP =，所以22440λλμ-+=，即22440λλμ-=≥，所以01λ≤≤.设CP 与平面1B BD 所成角为α，)222,CP λλμ=uu r，又由（1）知，平面1B BD 的一个法向量为()2,1,0n =，所以，1sin cos ,5CP n λα+== 01λ≤≤，所以525sin 55α∈⎥⎣⎦.所以CP 与平面1B BD 所成角的正弦值的取值范围为525,55⎢⎣⎦.故答案为：(1)147；(2)525,55⎢⎣⎦.22.某软件科技公司近8年的年利润y 与投入的年研发经费x （单位：千万元）如下表所示.x 34566789y1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y 8y （1）根据散点图可以认为x 与y 之间存在线性相关关系，且相关系数8384r =，请用最小二乘法求出线性回归方程y bx a =+$$$（ a，b 用分数表示）；（2）某配件加工厂加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差60,1N c ε⎛⎫⎪+⎝⎭:，其中c 为单个零件的加工成本（单位：元），且10.9542P ε⎛⎫<= ⎪⎝⎭.引进该公司最新研发的某工业软件后，加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差110,22N c ε⎛⎫ ⎪+⎝⎭:.若保持零件加工质量不变（即误差的概率分布不变），则单个零件加工的成本下降了多少元？附：（1）参考数据：8213452ii y==∑，()821252i i y y=-=∑.（2）参考公式：()()niix x y y r --=∑，()()()121nii i nii xx y ybxx==--=-∑∑ ，a y bx =-$$.（3）若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.683P μσξμσ-<<+≈，()220.954P μσξμσ-<<+≈.【答案】（1）83312814y x =+$（2）8元【分析】（1）由8213452i i y ==∑，()821252i i y y=-=∑可求出y ，然后求出()821i i x x =-∑，然后利用相关系数8384r =求出可求出b，再由a y bx =-$$求出 a，从而可求出线性回归方程；（2）未引进新的工业软件前，由60,1N c ε⎛⎫ ⎪+⎝⎭:，得0μ=，σ=，再由10.9542P ε⎛⎫<= ⎪⎝⎭可得12=，从而可求出c ，同理引进新的工业软件后，可求出其对应的c ，从而可进行判断.【小问1详解】由()821252i i y y=-=∑，得88221128252i i i i y y y y ==-⋅+=∑∑，。
高中数学：2022-2023学年江苏省苏州市高二(下)期末数学试卷(含参考答案)
2022-2023学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知M，N是全集U的非空子集，且N⊆∁U M，则（）A．N⊆M B．M⊆∁U N C．∁U M＝∁U N D．M⊆N2．（5分）已知a，b∈R，则“log2a＞log2b”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）曲线y＝e﹣x+1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为（）A．13B．23C．1D．24．（5分）为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，着力造就拔尖创新人才，某校为数学兴趣小组购买了一些数学特色专著：《数学的意义》《现代世界中的数学》《数学问题》，其数量分别为x，y，z（单位：本）．现了解到：①x＞y＞z＞0；②4z＞x+y，则这些数学专著至少有（）A．9本B．10本C．11本D．12本5．（5分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）从x到x+Δx的平均变化率为f(x+Δx)−f(x)Δx=√x+Δx+√x−1x2+x⋅Δx，则f（x）的单调增区间是（）A．（0，+∞）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（2，+∞）6．（5分）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模y（单位：千万元）与年份代码x的关系可以用模型y＝ae bx（其中e ＝2.71828⋯）拟合，设z＝lny，得到数据统计如下表：已知回归方程z=0.52x+1.44，则m的值约为（）A．1.96B．2C．6.9D．7.47．（5分）已知A，B为某随机试验的两个事件，A为事件A的对立事件．若P(A)=23，P(B)=58，P(AB)=12，则P(B|A)=（）A．38B．58C．14D．348．（5分）已知实数a，b，c满足a＝1.110，5b＝3a+4a，c＝e a﹣a，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省镇江市扬中市第二高级中学2022-2023学年高二下学期期末检测数学试题
江苏省镇江市扬中市第二高级中学2022-2023学年高二下学期期末检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．数列{}n a 为等比数列，公比q>1，其前n 项和为Sn ，若a 5a ﹣1=15，2416a a ×=，则下列说法正确的是（ ）A ．Sn +1=2Sn +1B ．an =2nC ．数列{log 3(Sn +1)}是等比数列D ．对任意的正整数k (k 为常数)，数列{log 2(Sn +k ﹣Sn )}是公差为1的等差数列（Ⅰ）证明：DM ⊥平面SAB ； （Ⅱ）求二面角A SB C --的大小；（Ⅲ）线段SC 上是否存在一点E ，使得直线//SA 平面BDE . 若存在，确定E 点的位置；若不存在，说明理由.20．网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账微信或支付宝支､付等方式在线汇款，根据2019年中国消费者信息研究，超过40%的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方APP 品牌官方网站和微信社群等平台进行购物，某天猫专营店统计了､2020年8月5日至9日这5天到该专营店购物的人数i y 和时间第i x 天间的数据，列表如下：是否存在定点M.使得2Ð=Ð？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请QFM QMF说明理由.则有PO¢^平面ABCD，PAO¢Ð为侧棱由于0a >，而点,0b a æö-ç÷èø是直线y ax b =+与x 轴的交点，因为 然虚线不符合题意，实线中直线y ax b =+与函数()f x 相切时，在当直线y ax b =+与函数()f x 相切且切点为函数()f x 与x 轴的交点()ln 10x x x +==，所有函数()f x 与x 轴的交点为1,0e æöç÷èø，故-min1b a e ö=-÷ø.由题意得()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,1,0,0,2,0,0,0,2,1,0,1D A B C S M 所以()1,0,1DM =uuuu v ,()2,0,2SA uu v =-,()0,1,0AB =uuu v .所以0DM SA ×=uuuu v uu v ,0DM AB ×=uuuu v uuu v ,所以DM SA ^,DM AB ^,所以DM ^平面SAB .（Ⅱ）设平面SBC 的法向量为()1,,n x y z =ur ，因为()()0,2,2,2,1,0SC BC =-=-uuu v uuu v .所以1100SC n BC n ì×=ïí×=ïîur uuu v ur uuu v ，即22020y z x y -=ìí-+=î，令1x =，则2,2y z ==.于是()11,2,2n =uu r . 因为DM ⊥平面SAB ，所以DM uuuu v 为平面SAB 的法向量，又=(1,0,1)DM uuuu v .所以2422,43,t t t t +=-ìí-=+î解得1t =-. 即(1,0)M -.综上，满足条件的点M 存在，其坐标()1,0-.【点睛】方法点睛：（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。
江苏省2022-2022年高二下学期期末考试数学试题
第二学期普通高中教学质量监控高二数学试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至4页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
第Ⅰ卷选择题部分（共60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 双曲线的焦点坐标是A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意求出，则，可得焦点坐标详解：由双曲线，可得，故双曲线的焦点坐标是选C.点睛：本题考查双曲线的焦点坐标的求法，属基础题.2. 下列命题错误的是A. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与平行B. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与异面C. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与垂直D. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与相交【答案】D【解析】分析：利用空间中线线、线面间的位置关系求解．详解：A. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与平行，正确；B. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与异面，正确；C. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与垂直，正确，可能异面垂直；D. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与相交，错误，平行于平面，与平面没有公共点.故选D.点睛：本题主要考查命题的真假判断，涉及线面平行的判定和性质，属于基础题．3. “”是“方程所表示的曲线是椭圆”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：根据椭圆的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．详解：若方程表示的曲线为椭圆，则，且，反之，“”不能得到方程所表示的曲线是椭圆”，如故“”是“方程所表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件.选B.点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属基础题.．4. 如图，在正方体中，分别是,的中点，则四面体在平面上的正投影是A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据正投影的概念判断即可.详解：根据正投影的概念判断选C.选C.点睛：本题考查正投影的概念，需基础题.5. 若二次函数图象的顶点在第四象限且开口向上，则导函数的图象可能是A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：先根据二次函数的判断出的符号，再求导，根据一次函数的性质判断所经过的象限即可．详解：∵函数的图象开口向上且顶点在第四象限，∴函数的图象经过一，三，四象限，∴选项A符合，故选：A．点睛：本题考查了导数的运算和一次函数，二次函数的图象和性质，属于基础题．6. 已知函数，若，则A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：求出函数的导数，由可求得.详解：函数的导数，由可得选D.点睛：本题考查函数的导函数的概念及应用，属基础题.7. 由0,1,2,3组成无重复数字的四位数，其中0与2不相邻的四位数有A. 6 个B. 8个C. 10个D. 12个【答案】B然后求数字0，2相邻的情况：，先把0，2捆绑成一个数字参与排列，再减去0在千位的情况，由此能求出其中数字0，2相邻的四位数的个数．最后，求得0与2不相邻的四位数详解：由数字0，1，2，3组成没有重复数字的四位数有：．其中数字0，2相邻的四位数有：则0与2不相邻的四位数有。
江苏省宿迁市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题(解析版)
高二年级调研测试数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 计算012456C C C ++=（ ）A. 20B. 21C. 35D. 36【答案】B 【解析】【分析】利用组合数计算公式计算可得结果.【详解】由组合数计算公式可得01245665C C C 152112×++=++=×. 故选：B2. 已知样本数据121x +，221x +，…，21n x +的平均数为5，则131x +，231x +，…，31n x +的平均数为（ ） A. 6 B. 7C. 15D. 16【答案】B 【解析】【分析】根据平均数的性质即可得12,,,n x x x …的平均数为2，则可得到新的一组数据的平均数. 【详解】由题意，样本数据121x +，221x +，…，21n x +的平均数为5，设12,,,n x x x …的平均数为x ， 即215+=x ，解得2x =，根据平均数性质知131x +，231x +，…，31n x +的平均数为317x +=. 故选：B3. 下表是大合唱比赛24个班级的得分情况，则80百分位数是（ ） 得分 7 8 9 10 11 13 14 频数 4246242A. 13.5B. 10.5C. 12D. 13【答案】D 【解析】【分析】根据百分位数的定义求解即可.【详解】因为00248019.2×=，24个班级的得分按照从小到大排序， 可得80百分位数是第20个数为13. 故选：D4. 已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若a b ∥，b α⊂，则//a α B. 若//a α，b α⊂，则//a b C. //αγ，//βγ，则//αβ D. 若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ【答案】C 【解析】【分析】由线线、线面、面面的位置关系即可求得本题. 【详解】若//a b ，b α⊂，则//a α或a α⊂，则A 错； 若//a α，b α⊂，则//a b 或a 与b 异面，则B 错；//αγ，//βγ，由平行的传递性可知，//αβ，则C 对；若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ或相交.，D 错， 故选：C.5. 已知,,A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，下列条件中能确定,,,M A B C 四点共面的是（ ）的.A. OM OA OB OC =++B. 3OM OA OB BC =−−C. 1123OM OA OB OC =++D. 32OM OA OB BC =−−【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量基本定理对选项逐个进行验证即可得出结论.【详解】由空间向量基本定理可知，若,,,M A B C 四点共面，则需满足存在实数,,x y z 使得OM xOA yOB zOC =++，且1x y z ++=， 显然选项A ，C 不成立；对于选项B ，由3OM OA OB BC =−−可得()33OM OA OB OC OB OA OC =−−−=− ，不合题意，即B 错误；对于D ，化简32OM OA OB BC =−−可得()323OM OA OB OC OB OA OB OC =−−−=−− ，满足()()3111+−+−=，可得D 正确； 故选：D6. 已知随机事件A ，B ，3()10P A =，1()2P B =，1(|)3P B A =，则(|)P A B =（ ） A.15B.16 C.320D.110【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由乘法公式代入计算可得()P AB ，再由条件概率公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为3()10P A =，1()2P B =，1(|)3P B A =， 则()()131(|)31010P B A P A P AB ×=×==， 则()()1110(|)152P AB P A BP B ===. 故选：A7. 已知9290129(21)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则682424682222a a a a +++的值为（ ）A. 255B. 256C. 511D. 512【答案】A 【解析】【分析】利用二项式定理写出展开式的通项，令0x =求出0=1a ，分别令12x =、12x =−，再两式相加可得8202825622a a a +++=，再减去0a 即可. 【详解】令0x =，得0=1a ， 令12x =，得93891202389251222222a a a a a a ++++++== ， 令12x =−，得38912023********a a a a a a −+−++−= ， 两式相加得82028251222a a a+++=， 得8202825622a a a +++= ， 则682424682552222a a a a +++=. 故选：A.8. 某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的20%，乙车间占35%，丙车间占45%．已知这3个车间的次品率依次为5%，4%，2%，若从该厂生产的这种产品中取出1件为次 ） A.331000B.1033C.1433D.311【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由全概率公式可得抽取到次品的概率，再由条件概率公式代入计算，即可求解. 【详解】记事件A 表示甲车间生产的产品， 记事件B 表示乙车间生产的产品， 记事件C 表示丙车间生产的产品， 记事件D 表示抽取到次品，则()()()0.2,0.35,0.45P A P B P C ===, ()()()0.05,0.04,0.02P D A P D B P D C ===，取到次品的概率为()()()()()()()P D P A P D A P B P D B P C P D C =++0.20.050.350.040.450.020.033=×+×+×=，若取到的是次品，此次品由乙车间生产的概率为：()()()()()()0.350.040.014140.0330.03333P B P D B P BD P B D P D P D ×=====.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列选项中叙述正确有（ ）A. 在施肥量不过量的情况下，施肥量与粮食产量之间具有正相关关系B. 在公式1xy=中，变量y 与x 之间不具有相关关系C. 相关系数10.6r =时变量间的相关程度弱于20.8r =−时变量间的相关程度D. 某小区所有家庭年收入x （万元）与年支出y （万元）具有相关关系，其线性回归方程为ˆˆ0.8ybx =+．若20x =，16y =，则ˆ0.76b =． 【答案】ACD 【解析】【分析】AB 的正误，根据相关系数的性质可判断C 的正误，根据回归方程的性质可判断D 的正误.【详解】对于A ，在施肥量不过量的情况下，施肥量越大，粮食产量越高， 故两者之间具有正相关关系，故A 正确.对于B ，变量y 与x 之间函数关系，不是相关关系，故B 错误. 对于C ，因为210.80.6r r =>=，故相关系数10.6r =时变量间的相关程度弱于20.8r =−时变量间的相关程度，故C 正确.对于D ，因为回归直线过(),x y ，故ˆ16200.8b=×+，故ˆ0.76b =，故D 正确. 故选：ACD.10. 已知点(2,3,3)A −−，(2,5,1)B ，(1,4,0)C ，平面α经过线段AB 的中点D ，且与直线AB 垂直，下列选项中叙述正确的有（ ） A. 线段AB 的长为36的是B. 点(1,2,1)P −在平面α内C. 线段AB 的中点D 的坐标为(0,4,1)−D. 直线CD 与平面α【答案】BCD 【解析】【分析】由空间两点间的距离公式即可得到线段AB 的长，判断A ；由AB ⊥平面α，垂足为点D ，PD AB ⊥，即可判断B ；由中点坐标公式可得点D 的坐标，判断C ；设直线CD 与平面α所成的角为β，sin cos ,AB CD AB CD AB CDβ⋅==，通过坐标运算可得，判断D.【详解】因为点(2,3,3)A −−，(2,5,1)B ， 所以6AB =,故A 错误；设D 点的坐标为(),,x y z ，因为D 为线段AB 的中点，所以2235310,4,1222x y z −++−+======−， 则D 的坐标为(0,4,1)−，故C 正确；因为点(1,2,1)P −，则()1,2,0PD =− ，又()4,2,4AB =，则()()1,2,04,2,40PD AB ⋅=−⋅=，所以PD AB ⊥，即PD AB ⊥， 又AB ⊥平面α，垂足为点D ，即D ∈平面α，所以PD ⊂平面α，故B 正确；由(1,4,0)C ，(0,4,1)D −，得()1,0,1CD =−−，设直线CD 与平面α所成的角为β，则sin cos ,ABβ= ，故D 正确.故选：BCD.11. 甲袋中有2个红球、3个黄球，乙袋中有3个红球、2个黄球，同时从甲、乙两袋中取出2个球交换，分别记交换后甲、乙两个袋子中红球个数的数学期望为()E X 、()E Y ，方差为()D X 、()D Y ，则下列结论正确的是（ ）A. ()()5E X E Y +=B. ()()E X E Y <C. ()()D X D Y <D. ()()D X D Y =【答案】ABD 【解析】【分析】依题意可知不管如何交换红球个数始终只有5个，易知5X Y +=，利用期望值和方差性质可得A ，D 正确，C 错误；易知随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，写出对应的概率并得出分布列，可得() 2.4E X =，()()5 2.6E Y E X =−=，可得B 正确.【详解】根据题意，记甲、乙两个袋子中红球个数分别为,X Y ， 不管如何交换红球个数始终只有5个，易知5X Y +=，对于A ，由期望值性质可得()()()55E X E Y E Y =−=−，即()()5E X E Y +=，所以A 正确； 对于B ，易知随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,4； 当从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出2个黄球后交换，可得()()22222255C C 105C C 100P X P Y ====×=， 当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出2个黄球后交换，或者从甲袋中2个红球，乙袋中取出1个红球，1个黄球后交换，可得()()1111223232222555C C C C C 12314C C C 10025P X P Y ====+×==；当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出取出2个红球；或者从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出取出2个黄球后交换，可得()()1111222223233322222222555555C C C C C C C C 422123C C C C C C 10050P X P Y ====×+×+×==； 当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出取出2个红球后交换，可得()()21111232323322225555C C C C C C 36932C C C C 10025P X P Y ====×+×==；当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出2个红球后交换，可得()()22332255C C 941C C 100P X P Y ====×=，随机变量X 的分布列为所以期望值()132******** 2.4100255025100E X =×+×+×+×+×=， 可得()()5 2.6E Y E X =−=，即()()E X E Y <，可得B 正确； 对于C ，D ，由方差性质可得()()()()()251D Y D X D X D X =−=−=，即可得()()D X D Y =，所以C 错误，D 正确. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据题意可得随机变量满足5X Y +=，利用期望值和方差性质可判断出AD 选项，再求出随机变量X 的分布列可得结论.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知随机变量X 服从正态分布()295,N σ，若(80)0.3P X <=，则(95110)P X ≤<=______． 【答案】0.2##15【解析】【分析】根据正态分布的对称性结合已知条件求解即可. 【详解】因为随机变量X 服从正态分布()295,N σ，(80)0.3P X <=， 所以(95110)(8095)0.5(80)0.2P X P X P X ≤<=<<=−<=, 故答案为：0.213. 如图，用四种不同颜色给图中的,,,,A B C D E 五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有______种．【答案】72 【解析】【分析】由图形可知点E 比较特殊，所以按照分类分步计数原理从点E 开始涂色计算可得结果.【详解】根据题意按照,,,,A B C D E 的顺序分5步进行涂色，第一步，点E 的涂色有14C 种，第二步，点A 的颜色与E 不同，其涂色有13C 种， 第三步，点B 的颜色与,A E 都不同，其涂色有12C 种，第四步，对点C 涂色，当,A C 同色时，点C 有1种选择；当,A C 不同色时，点C 有1种选择； 第五步，对点D 涂色，当,A C 同色时，点D 有2种选择；当,A C 不同色时，点D 有1种选择；根据分类分步计数原理可得，不同的涂色方法共有()111432C C C 121172×+×=种. 故答案为：7214. 如图，已知三棱锥−P ABC 的底面是边长为2的等边三角形，60APB ∠=°，D 为AB 中点，PA CD ⊥，则三棱锥−P ABC 的外接球表面积为______．【答案】20π3##20π3【解析】【分析】设PAB 外接圆的圆心为E ，三棱锥−P ABC 的外接球的球心为O ，连接OE ， ABC 的外接圆的圆心为G ，连接OG ，OB ，可证四边形OGDE 为矩形，利用解直角三角形可求外接球半径，故可求其表面积.【详解】因为ABC 为等边三角形，D 为AB 中点，故CD AB ⊥， 而PA CD ⊥，PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ，所以CD ⊥平面PAB . 设PAB 外接圆的圆心为E ，三棱锥−P ABC 的外接球的球心为O ，连接,OE BE ， 设ABC 的外接圆的圆心为G ，连接OG ，OB ， 则OE ⊥平面PAB ，OG CD ⊥故//OE CD ，故,,,O G D E 共面，而DE ⊂平面PAB ， 故CD DE ⊥，故四边形OGDE 为矩形.又12sinABBEAPB=×∠13OE DG CD===，故外接球半径为OB=，故外接球的表面积为1520π4π93×=，故答案为：20π3四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．15.在()*23,Nnx n n≥∈的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．（1）证明展开式中不存在常数项；（2）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）证明见解析；（2）7128x，4672x，280x，214x.【解析】【分析】（1）根据题意可求得7n=，利用二项展开式的通项可得展开式中不存在常数项；（2）由二项展开式的通项令x的指数为整数即可解得合适的k值，求出所有的有理项.【小问1详解】易知第2，3，4项的二项式系数依次为123C,C,Cn n n，可得132C+C2Cn n n=，即()()()121262n n n n nn−−−+=×，整理得()()270n n−−=，解得7n=或2n=（舍）；所以二项式为72x，假设第1k+项为常数项，其中Nk∈，即可得()1777277C 22C kk k kkk k x x −−−−=为常数项，所以1702k k −−=， 解得14N 3k =∉，不合题意； 即假设不成立，所以展开式中不存在常数项； 【小问2详解】由（1）可知，二项展开式的通项()1777277C22C kk k kk k k x x−−−−=可得， 其中的有理项需满足17Z 2k k −−∈，即37Z 2k −∈，且7k ≤；当30,77Z 2k k =−=∈，此时有理项为707772C 128x x =； 当32,74Z 2k k =−=∈，此时有理项为524472C 672x x =； 当34,71Z 2k k =−=∈，此时有理项为3472C 280x x =； 当36,72Z 2k k =−=−∈，此时有理项为16272142C x x−=； 综上可知，展开式中所有的有理项为7128x ，4672x ，280x ，214x . 16. 某校天文社团将2名男生和4名女生分成两组，每组3人，分配到A ，B 两个班级招募新社员． （1）求到A 班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率；（2）设到A ，B 两班招募新社员的男生人数分别为a ，b ，记X a b =−，求X 的分布列和方差． 【答案】（1）35（2）85【解析】【分析】（1）由古典概型的概率求解122436C C 3C 5P ==； （2）由题意，X 的可能取值为2,0,2−，算出对应概率()2P X =−，()0P X =，()2P X =，即可列出X 的分布列，再求出()E X ，进而由公式求出方差．【小问1详解】到A 班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率为122436C C 3C 5P ==. 【小问2详解】由题意，X 的可能取值为2,0,2−，则()032436C C 12C 5P X =−==，()122436C C 30C 5P X ===，()212436C C 12C 5P X ===， 所以X 的分布列为则()1312020555E X =−×+×+×=， 所以()()()()22213182000205555D X =−−×+−×+−×=. 17. 如图，正三棱柱111ABC A B C 中，D 为AB 的中点．（1）求证：1BC ∥平面1ACD ； （2）当1AA AB的值为多少时，1AB ⊥平面1ACD ?请给出证明． 【答案】（1）证明见答案. （2 【解析】【分析】（1）连接1AC ,交1AC 于点O ，连接DO ，能证出1//BC DO ，则能证出1BC ∥平面1ACD.（2）先把1AB ⊥平面1ACD 当做条件，得出11AB A D ⊥，得出1AA AB的值，过程要正面分析. 【小问1详解】连接1AC ,交1AC 于点O ，连接DO ， 因为O 是1AC 的中点，D 为AB 的中点， 所以DO 是1ABC 的中位线，即1//BC DO ,1BC ⊄平面1ACD ，DO ⊂平面1ACD ， 所以1BC ∥平面1ACD . 【小问2详解】1AA AB =时，1AB ⊥平面1ACD ，证明如下：因为1AA AB =，11tan A AB ∴∠，111tan AA DA B AD ∠= 1111A AB DA B ∴∠=∠，1112DA B AA D π∠+∠= ，1112A AB AA D π∴∠+∠=，即11AB A D ⊥.因为三棱柱111ABC A B C 为正三棱柱，ABC ∴ 为正三角形，且1AA ⊥平面ABC ，1,CD AB CD AA ∴⊥⊥，1AB AA A ∩=，AB ⊂平面11ABB A ，1AA ⊂平面11ABB A ，CD 平面11ABB A ，因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以1AB CD ⊥，1A D CD D = ，1,A D CD ⊂平面1ACD ， 1AB ∴⊥平面1ACD .1AA AB∴18. 会员足够多的某知名户外健身俱乐部，为研究不高于40岁和高于40岁两类会员对服务质量的满意度．现随机抽取100名会员进行服务满意度调查，结果如下：年龄段满意度合计满意不满意 不高于40岁 50 20 70 高于40岁 25 5 30 合计7525100（1）问：能否认为，会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关；（2）用随机抽取的100名会员中的满意度频率代表俱乐部所有会员的满意度概率．从所有会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务满意的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++（其中n a b c d =+++）．参考数据：()20P x χ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010x2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关. （2）分布列见解析；94. 【解析】【分析】（1）首先根据列联表中的数据结合公式计算2χ值，然后对照表格得到结论；（2）由表格可知，对服务满意的人的概率为34，且33,4X B∼，根据二项分布公式即可求解． 【小问1详解】 由列联表可知：2217100(5052520)100.587255 2.072730630χ××−×<××==≈， 所以不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关. 【小问2详解】由表格可知，对服务满意人的概率为34，且33,4X B∼， 则0,1,2,3X =，可得：()303110C 464P X ===，()2133191C 4464P X === ， ()22331272C 4464P X ===，()3333273C 464P X === ， 故X 的分布列如图：可得()39344EX =×=. 19. 如图，在三棱台ABC DEF −中，2AB BC AC ===，1AD DF FC ===，N 为DF 的中点，二面角D AC B −−的大小为θ．（1）求证：AC BN ⊥； （2）若π2θ=，求三棱台ABC DEF −的体积； （3）若A 到平面BCFE cos θ的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）78（3）3cos 5θ=−的【解析】【分析】（1）利用三棱柱性质，根据线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面BMN ，可证明结论； （2）由二面角定义并利用棱台的体积公式代入计算可得结果；（3）建立空间坐标系，求出平面BCFE 的法向量，利用点到平面距离的向量求法即可得出cos θ的值. 【小问1详解】取AC 的中点为M ，连接,NM BM ；如下图所示：易知平面//ABC 平面DEF ，且平面ABC ∩平面DACF AC =，平面DEF ∩平面DACF DF =； 所以//AC DF ，又因为1AD FC ==， 可得四边形DACF 为等腰梯形，且,M N 分别为,AC DF 的中点，所以MN AC ⊥， 因为2AB BC AC ===，所以BM AC ⊥， 易知BM MN M = ，且,BM MN ⊂平面BMN ， 所以AC ⊥平面BMN ，又BN ⊂平面BMN ，所以AC BN ⊥； 【小问2详解】由二面角定义可得，二面角D AC B −−的平面角即为BMN ∠， 当π2θ=时，即π2BMN ∠=，因此可得MN ⊥平面ABC ，可知MN 即为三棱台的高，由1,2ADDF FC AC ====可得MN =；易知三棱台的上、下底面面积分别为DEFABC S S =因此三棱台ABC DEF −的体积为1738V =【小问3详解】由（1）知，BM AC ⊥，MN AC ⊥，二面角D AC B −−的平面角即为()0,πBMN θ∠=∈； 以M 为坐标原点，分别以,MA MB 所在直线为,x y 轴，过点M 作垂直于平面ABC 的垂线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：可得()()()()1,0,0,1,0,0,,,0,0,0A C B N M θθ −，易知11,0,022NF MC==−，可得12F θθ − ；则()1,cos 2CBCF θθ =设平面BCFE 的一个法向量为(),,n x y z =，所以01cos sin 02n CB x n CF x y z θθ ⋅==⋅=++=， 令1y =，则1cos sin x z θθ−=，可得1cos sin n θθ−=； 显然()2,0,0AC =− ，由A 到平面BCFE，可得AC n n ⋅==，可得21cos 4sin θθ− =；整理得25cos 2cos 30θθ−−=，解得3cos 5θ=−或cos 1θ=； 又()0,πθ∈，可得3cos 5θ=−.【点睛】方法点睛：求解点到平面距离常用方法：（1）等体积法：通过转换顶点，利用体积相等可得点到面的距离；（2）向量法：求出平面的法向量，并利用点到平面距离的向量求法公式计算可得结果；。
江苏省盐城市2022-2023学年高二下学期6月期末数学试题
2022/2023学年度第二学期高二年级期终考试数学试题（总分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡的指定位置填涂答案选项．）1．如果随机变量13,3X B∼，那么()E X 等于（ ） A ．23B ．1C ．2D ．3 2．为了解双减政策的执行情况，某地教育主管部门安排甲、乙、丙三个人到两所学校进行调研，每个学校至少安排一人，则不同的安排方法有（ ）A ．6种B ．8种C ．9种D ．12种3．把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙2个人，每个人分得2张，事件“甲分得红牌和蓝牌”与“乙分得红牌和黑牌”是（ ）A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．以上均不对4．若41x + 的二项展开式中常数项为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．65．若抛物线24y x =上的一点M 到坐标原点O ，则点M 到该抛物线焦点的距离为（ ） A ．23B ．1C ．2D ．3 6．某班经典阅读小组有5名成员，暑假期间他们每个人阅读的书本数分别如下：3，5，4，2，1，则这组数据的上四分位数为（ ）A ．2B ．3C ．3.5D ．47．在坐标平面内，与点()A 1,2距离为3，且与点()B 3,2距离为1的直线共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条8．如图所示，在矩形ABCD 中，24AB BC ==，动点M 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，则BM BD ⋅ 的最大值是（ ）A ．4−B ．1−C ．1D ．12二、多选题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请在答题卡的指定位置填涂答案选项。
江苏省 高二下册数学期末试题(含答案)
期末数学学科测试试卷高二数学一、单项选择题1.已知()312i z i +=-（i 为虚数单位），则z =（ ）．A.B.C.2D.【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算和复数模的运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，复数(12)(3)17||(3)(3)10102i i z i i i --==-==+-故选：C .【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的运算，其中解答中熟记复数的运算，准确利用复数的模的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2.已知全集U =R ，集合{}22A x x x =>，则UA（ ） A. []0,2 B. ()0,2C. (],2-∞D. (),2-∞【答案】A 【解析】 【分析】解不等式确定集合A ，再由补集定义求解． 【详解】∵{}22{|0A x x x x x =>=<或2}x >， ∴{|02}UA x x =≤≤．故选：A ．【点睛】本题考查集合的补集运算，掌握补集的定义是解题基础． 3.若某射手每次射击击中目标的概率是45，则这名射手3次射击中恰有1次击中目标的概率为（ ） A.1625B.48125C. 12125D.425【答案】C【解析】 【分析】利用n 次独立重复实验恰好发生k 次的概率公式计算，即可求出结果. 【详解】解：这名射手3次射击中恰有1次击中目标，则另外两次没有击中， 所以概率为1234112()55125C ⋅⋅=. 故选：C.【点睛】本题考查求独立重复事件的概率公式，熟悉n 次独立重复实验恰好发生k 次的概率公式是解题的关键，属于基础题.4.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A. y =B. y =C. 2y x =±D. y x = 【答案】A 【解析】分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：2222221312,c b c a b e e a a a a-==∴==-=-=∴=因为渐近线方程为by x a=±，所以渐近线方程为y =，选A. 点睛：已知双曲线方程22221(,0)x y a b a b-=>求渐近线方程：22220x y by x a b a -=⇒=±.5.已知2a =，1b =，且()()22-⊥+a b a b ，则向量a 与b 的夹角余弦值是（ ）．A.2 B.3C. 12-D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两向量垂直数量积为0，对()()22-⊥+a b a b 化简，利用向量数量积公式计算，即可得出结果.【详解】因为()()22-⊥+a b a b ，所以()()22=0-+a b a b ，即222320--=a a b b ，可得4,20--=a b ，解得2cos ,=3a b 故选：B【点睛】本题考查了向量的数量积运算，考查了理解辨析能力和运算求解能力，属于一般题目. 6.()()621x x ++展开式中，3x 项的系数为（ ）． A. 55 B. 40 C. 35 D. 15【答案】A 【解析】 【分析】利用乘法分配律以及二项式展开式的通项公式，求得3x 项的系数. 【详解】由于()()()()66621121x x x x x +++=++， 所以含3x 的项为()223333662154055x C x C x x x ⋅⋅+⋅⋅=+=，所以3x 项的系数为55. 故选：A.【点睛】本小题主要考查利用二项式展开式的通项公式计算特定项的系数，属于中档题.7.已知()log m f x x =，其中m =0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin cos 2a f θθ+⎛⎫=⎪⎝⎭，b f=，sin 2sin cos c f θθθ⎛⎫=⎪+⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）． A. a c b ≤≤ B. b c a ≤≤C. c b a ≤≤D. a b c ≤≤【答案】D 【解析】 【分析】判定函数()log m f x x =为单调减函数，利用基本不等式得到sin cos sin 22sin cos θθθθθ+≥≥+，结合函数的单调性得到,,a b c 的大小关系.【详解】∵131122m -=<=,可得()0,1m ∈,∴()log m f x x =为单调减函数，∵0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 0,cos 0,θθ∴>>∴sin cos θθ+≥∴sin cos sin cos 2θθθθ+≥,sin 2sin cos sin cos 2sin cos 2sin cos θθθθθθθθθ≤==+, ∴a b c ≤≤， 故选：D.【点睛】本题考查利用函数的单调性，基本不等式判定大小关系，涉及对数函数的单调性，三角函数的性质，属中档题.8.在三棱锥P ABC -中，2AB =，AC BC ⊥，D 为AB 中点，2PD =，当该三棱锥的体积的最大值为23时，其外接球表面积为（ ）． A. 5π B.4912πC.649πD.254π【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求得底面积的最大值和此时底面直角三角形的直角边长，根据体积最大值求得棱锥的高，得到PD ⊥平面ABC ，进而确定球心在PD 上，并利用勾股定理求得外接球的半径，进而得到表面积. 【详解】2AB =，AC BC ⊥，故底面三角形外接圆半径为1r =，外接圆圆心为斜边AB 中点D .()2211124ABC S CA CB CA CB =⋅≤+=△，当2CA CB ==时等号成立，∴()max 1ABC S =△，设三棱锥P ABC -的高为h ,则2h PD ≤= 故()max max max 12=33ABC V S h =⋅△，故max2h =，∴当外接球体积最大时PD ⊥平面ABC ，且2CA CB ==,112CD AB ==. 设三棱锥外接球球心为O ，球的半径为R ,则O 在PD 上，OP OC R ==, 在Rt ODC 中，()22221R R =-+，化简得到54R =，故2O 2544S R ππ==球. 故选：D.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，涉及基本不等式求最值，球的表面积公式，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，属中档题.二、多项选择题9.下列说法中，正确的命题是（ ）． A. 已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，()40.8P X <=，则()240.2P X <<=B. 线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，3y =，则1a =D. 若样本数据121x +，221x +，…，1621x +的方差为8，则数据1x ，2x ，…，16x 的方差为2 【答案】CD 【解析】 【分析】利用正态分布的对称型可以求得()24P X <<的值，进而判定A 错误;根据相关系数的意义可以判定B 错误；利用回归直线方程过样本中心点，可以求得回归常数的估计值，从而判定C 正确；利用线性相关的数据组的方差之间的关系可以求得数据1x ，2x ，…，16x 的方差，进而判定D 正确. 【详解】A. 已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，()40.8P X <=，则()410.80.2P X ≥=-=，所以()00.2P X ≤=，所以()04120.20.6P X <<=-⨯=, ∴()0.6240.32P X <<==，故A 错误； B. 线性相关系数r 的范围在1-到1之间，有正有负，相关有正相关和负相关，相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故B 错误；C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，3y =，则y 1a bx =-=，故C 正确；D. 设数据1x ，2x ，…，16x 的方差为2S ,样本数据121x +，221x +，…，1621x +的方差为222S =8，则22S =，即数据1x ，2x ，…，16x 的方差为2，故D 正确.故选:CD.【点睛】本题考查正态分布的概率计算问题，相关系数问题，回归直线方程问题，数据的方差关系问题，属小综合题，难度一般.10.关于函数()sin cos f x x x =+()x R ∈，如下结论中正确的是（ ）． A. 函数()f x 的周期是2πB. 函数()f x 的值域是⎡⎣C. 函数()f x 的图象关于直线x π=对称D. 函数()f x 在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据周期定义判断A ，结合周期性可求函数值域，判断B ，利用对称性定义判断C ，同样利用周期性判断D ． 【详解】A ．∵()sin cos f x x x =+， ∴sin cos cos sin cos sin ()222f x x x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴()f x 是周期为2π的周期函数，A 正确，B ．当[0,]2x π∈时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，此时3,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin ,142x π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，∴()f x ∈，又()f x 的周期是2π，∴x ∈R 时，()f x 值域是，B 错；C ．∵()()(2)sin 2cos 2sin cos sin cos ()f x x x x x x x f x πππ-=-+-=-+=+=， ∴函数()f x 的图象关于直线x π=对称，C 正确；D ．由B 知[0,]2x π∈时，()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当[0,]4x π∈时，[,]442x πππ+∈，()f x 单调递增，而()f x 是周期为2π的周期函数，因此()f x 在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的图象可以看作是在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的图象向右平移2π单位得到的，因此仍然递增．D 正确．故选：ACD ．【点睛】本题考查与三角函数有关的周期性、对称性、单调性、值域，解题关键是是函数的周期性，根据周期的定义证明周期性，然后可以在一个周期内研究函数的性质，再推广到整个定义域． 11.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在棱1CC 上，则下列结论正确的是（ ） A. 直线BM 与平面11ADD A 平行B. 平面1BMD 截正方体所得的截面为三角形C. 异面直线1AD 与11A C 所成的角为3πD. 1MB MD +【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面平行，异面直线夹角，截面图形，线段最值的计算依次判断每个选项得到答案.【详解】11'MB MD D B +≥=【点睛】本题考查了异面直线夹角，截面图形，线面平行，最短距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.12.已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()()422f x f x f +-=，若()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，且对任意的1x ，()20,2x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，则下列结论正确的是（ ）．A. ()f x 是偶函数B. ()f x 的周期4T=C. ()20220f =D. ()f x 在()4,2--单调递减【答案】ABC 【解析】 【分析】由()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，则(11)(11)f x f x +-=--，即()()f x f x -=，故()f x 是偶函数，可判断A 的正误；由()()()422f x f x f +-=，令2x =-，可得(2)0f =，则(4)()f x f x +=，得到()f x 的周期，可判断B 的正误；又()f x 在(0,2)递增，结合奇偶性，周期性，再判断CD 是否正确.【详解】由()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，则(11)(11)f x f x +-=--， 即()()f x f x -=，故()f x 是偶函数，A 正确；由()()()422f x f x f +-=，令2x =-，可得(2)0f =，则(4)()f x f x +=， 则()f x 的周期4T=，B 正确；()2022(45052)(2)0f f f =⨯+==，故C 正确；又()f x 在(0,2)递增，则(2,0)-递减，由周期4T =，则()f x 在()4,2--单调递增，故D 错误. 故答案为：ABC【点睛】本题考查了抽象函数的性质，综合考查了函数的对称性，奇偶性，周期性，单调性，属于中档题.三、填空题13.某单位在6名男职工和3名女职工中，选取5人参加义务献血，要求男、女职工各至少一名，则不同的选取方式的种数为______.（结果用数值表示） 【答案】120 【解析】 【分析】从9名职工中选取5人，总的方法为59C ，选择全都是男职工的情况为56C ，相减即为男、女职工各至少一名的选取种数.【详解】在6名男职工和3名女职工中，选取5人参加义务献血，总的方法为59C ，选择全都是男职工的情况为56C ，所以男、女职工各至少一名的选取种数为55961266120C C -=-=种故答案为：120.【点睛】本题考查了组合数实际引用，审清题意细心计算，属于基础题.14.已知sin sin sin sin 122ππαβαβ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 2αβ-=______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用诱导公式、两角差的正弦公式化简给定的三角函数式后可得()sin 1αβ-=的值，得到αβ-的值后可得tan2αβ-的值.【详解】由题设有sin cos cos sin 1αβαβ-=，故()sin 1αβ-=， 所以2,2k k Z παβπ-=+∈，所以,24k k Z αβππ-=+∈，故tan12αβ-=，故答案为：1.【点睛】本题考查诱导公式、两角差的正弦和特殊角的三角函数值，应用诱导公式化简时注意符号及函数名的变化，本题属于基础题.15.已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且()2*324n n n a a S n N +=+∈，则5a =______. 【答案】112【解析】 【分析】在已知递推关系中件中令n =1,解得132a =,在n ≥2时根据递推关系，利用1n n n S S a --=,可得11n n a a +-=，判定数列{}n a 为公差为1的等差数列，进而利用等差数列的通项公式计算. 【详解】在()2*324n n n a a S n N +=+∈中令n=1,得21111332244a a S a +=+=+，解得132a =或112a =-（舍去）；在n ≥2时，得到2111324n n n a a S ---+=+，结合1n n n S S a --=, 得到22112n n n n n a a a a a ---+-=,即2211n n n n a a a a ---=+,因为数列{}n a 的各项均为正数，∴10n n a a -+≠，∴11n n a a --=，∴数列{}n a 为公差为1d =的等差数列， 又∵132a =，∴513114422a a d =+=+=,故答案为：112. 【点睛】本题考查由数列的递推关系判定数列为的等差数列，并利用等差数列的通项公式求特定项，属中档题.16.在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()0,1A ，()10B ,，过平面上一点(),P x y 作直线AB 的垂线，垂足为Q ，且满足：3OQ AB ⋅=，则实数,x y 满足的关系式是______，若点P 又在动圆()()2228x a y a -+++=()*a N ∈上，则正整数a 的取值集合是______.【答案】 (1). 30x y --= (2). {}1,2 【解析】 【分析】由3OQ AB ⋅=可确定Q 点坐标，从而可得P 点轨迹方程，由P 在直线上，则直线与圆有公共点，从而可得a 的取值范围，结合整数可得a 的值．【详解】直线AB 方程为1x y +=，设(,1)Q x x -，(1,1)AB =-，(1)3OQ AB x x ⋅=--=，2x =，∴(2,1)Q -，∵PQ AB ⊥，1AB k =-，∴PQ 方程是12y x +=-，∴,x y 满足关系式为30x y --=，圆()()2228x a y a -+++=圆心(,2)M a a --，半径为r =≤3522a -≤≤，又*a N ∈，∴{1,2}a ∈．故答案为：30x y --=；{1,2}．【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，考查直线垂直的位置关系，直线与圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．运算求解能力．四、解答题17.在ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，且()tan 2tan b A c b B =-.（1）求A 的大小；（2）若a =ABC 的 面积为b c +的值. 【答案】（1）3π；（2）14. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，利用三角函数恒等变换化简，得到cos A 的值，进而求得； （2）利用三角形的面积公式，得到48bc =，进而结合余弦定理求解.【详解】解：（1）由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得：()2sin sin sin sin sin cos cos C B BB A A B-⋅= 在ABC 中，0B π<<，0C π<<,∴sin 0B ≠，sin 0C ≠ ∴()sin cos 2sin sin cos 2sin cos sin cos A B C B A C A B A =-=- 即sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=∴()sin 2sin cos A B C A +=,即sin 2sin cos C C A = 又sin 0C ≠,∴1cos 2A =,又0A π<<,∴3A π=； （2）∵1sin 2ABC S bc A ===△∴48bc = 由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-,∴()222523b c bc b c bc =+-=+- ∴()234852196b c +=⨯+=,∴14b c +=.【点睛】本题考查正余弦定理，三角形的面积公式，涉及两角和差的三角函数公式，属中档题.关键要熟练掌握利用正弦定理进行边角互化，利用两角和差的三角函数公式进行化简求值.18.在①2a ，3a ，44a -成等差数列；②1S ，22S +，3S 成等差数列；③12n n a S +=+中任选一个，补充在下列问题中，并解答.在各项均为正数等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知12a =，且______. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b的通项公式nn b =，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）答案见解析；（21. 【解析】 【分析】（1）选①，选②：根据相应条件，利用等差数列的性质列出关系，利用等比数列的通项公式化为关于公比的方程，求得公比，进而得到通项公式；选③：取n=1,即可求得公比的值，然后利用通项公式和求和公式检验符合条件,即得以解决.（2）利用分子分母同乘以分母的互为有理化因式，结合指数运算，将{}n b 的通项公式裂项，然后相加相消求和即可.【详解】解：设等比数列的公比为()0q q >， （1）选①：因为2a ，3a ，44a -成等差数列， 所以32442a a a =+-， 因为12a =，所以212a a qq ，22312a a q q ==，14332a a q q ==，所以234224q q q =+-，即()()22211q q q +=+.又0q >，解得2q，所以2n n a =.选②：因为1S ，22S +，3S 成等差数列，所以()21322S S S +=+，即()12112322a a a a a a ++=+++,化简得234a a +=， 所以2242q q +=，即220q q --=， 又0q >，解得2q，所以2n n a =.选③：因为12n n a S +=+，所以2124a S =+=，则212a q a ==，所以2n n a =. 112n n a ，12(12)2212n n n S +-==--，经验证符合12n n a S +=+.（2）因为2nn a =，2nnb==1222nn n+==-则12...nn S b b b =+++...=+++1=.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，裂项相消求和法，涉及等差中项性质和较强的运算能力，属中档题.19.一副标准的三角板如图1中，ABC ∠为直角，60A ∠=︒，DEF ∠为直角，DE EF =，且BC DF =，把BC 与DF 重合，拼成一个三棱锥，如图2.设M 是AC 的中点，N 是BC 的中点.（1）求证：BC ⊥平面EMN ；（2）在图2中，若4AC =，二面角E BC A --为直二面角，求直线EM 与平面ABE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（26【解析】 【分析】（1）只要证明MN BC ⊥，EN BC ⊥，即得；（2）以NM ，NC ，NE 分别为x ，y ，z ，如图建立空间直角坐标系N xyz -.求出线段长，得各点坐标，求出直线EM 方向向量和平面ABE 的一个法向量，由向量夹角的余弦得所求线面角的正弦． 【详解】解：（1）证明：设BC 中点为N ，连结MN ，EN . ∵M 是AC 的中点，N 是BC 的中点， ∴MNAB ，∵AB BC ⊥， ∴MN BC ⊥，∵BE EC ⊥，BE EC =，N 是BC 的中点， ∴EN BC ⊥，又MN BC ⊥，MN EN N ⋂=，MN ⊂平面EMN ，EN ⊂平面EMN ， ∴BC ⊥平面EMN .（2）由（1）可知：EN BC ⊥，MN BC ⊥， ∴ENM ∠为二面角E BC C --的平面角又二面角E BC C --为直二面角 ∴90ENM ∠=︒以NM ，NC ，NE 分别为x ，y ，z ，如图建立空间直角坐标系N xyz -. ∵4AC =，则2AB =，23BC =，3NE =由()0,0,3E ，()1,0,0M ，则()1,0,3EM =-又()0,3,0B -，()2,3,0A -，()0,0,3E ，则()0,3,3BE =，()2,0,0BA =设(),,m x y z =为平面ABE 的一个法向量，则m BE m BA ⎧⊥⎨⊥⎩，即0,m BE m BA ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,330,x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩令1y =，则1z =- ∴()0,1,1m =-为平面的一个法向量 设直线EM 与平面ABE 所成的角为02πθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭36sin cos ,22m EM m EM m EMθ⋅=<>=== 所以直线EM 与平面ABE 所成的角的正弦值为6.【点睛】本题考查证明直线与平面垂直，求直线与平面所成的角，用空间向量法求空间角是立体几何中的常用方法．20.一种疫苗在正式上市之前要进行多次人体临床试验接种，假设每次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等.某医学研究院研究团队研发了新冠疫苗，并率先开展了新冠疫苗Ⅰ期和Ⅱ期临床试验.Ⅰ期试验为了解疫苗接种剂量与接种成功之间的关系，选取了两种剂量接种方案（0.5ml/次剂量组（低剂量）与1ml/次剂量组（中剂量）），临床试验免疫结果对比如下：（1）根据数据说明哪种方案接种效果好？并判断是否有90%的把握认为该疫苗接种成功与两种剂量接种方案有关？（2）若以数据中的频率为概率，从两组不同剂量组中分别抽取1名试验者，以X表示这2人中接种成功的人数，求X的分布列和数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++附表：【答案】（1）1ml/次剂量组（中剂量）接种效果好，没有；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由古典概率公式可求得两种剂量接种成功的概率，比较大小可得结论，再由二联表求得2K，进行独立性检验可得结论；（2）先分析出随机变量所有的可能的取值，再由概率的乘法和加法公式求得分布列，从而求得期望.【详解】解：（1）0.5ml/次剂量组（低剂量）接种成功概率为287369=， 1ml/次剂量组（中剂量）接种成功的概率为33113612=， ∵117129>，∴1ml/次剂量组（中剂量）接种效果好， 由22⨯列联表得()2272283833 2.68 3.261113636k ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯.没有90%的把握认为该疫苗接种成功与两种剂量接种方案有关. （2）X 得可能取值为0，1，2()2121091210854P X ==⨯==，()71211291912912108P X ==⨯+⨯=，()711772912108P X ==⨯=，X 得分布均为()12977183610125410810810836E X =⨯+⨯+⨯==. 【点睛】本题考查古典概率公式，独立性检验，离散性随机变量的分布列，以及随机变量的期望，属于中档题.21.如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”.过椭圆上一点M 作x 轴的垂线交其“伴随圆”于点N （M 、N 在同一象限内），称点N 为点M 的“伴随点”.已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>上的点⎭的“伴随点”为).（1）求椭圆E 及其“伴随圆”的方程；（2）求OMN 面积的最大值，并求此时“伴随点”N 的坐标；（3）已知直线:0l x my t --=与椭圆E 交于不同的,A B 两点，若椭圆E 上存在点P ，使得四边形OAPB 是平行四边形.求直线l 与坐标轴围成的三角形面积最小时的22m t +的值.【答案】（1）22143x y +=，224x y +=；（2）232-(2,2N ±±；（3）103. 【解析】 【分析】（1）把已知两点坐标代入相应方程得关于,a b 的方程组，解之可得；（2）设(),m M m y ，(),n N m y ，直接求出OMN 面积表示为m 的函数后利用基本不等式可得最大值； （3）设()11,A x y ，()22,B x y .直线方程与椭圆方程联立，消元后求得1212,x x y y ++，利用平行四边形即1212(,)OP OA OB x x y y =+=++得P 点坐标，代入椭圆方程可得,t m 的关系式，求出直线与坐标轴围成三角形的面积，代入刚才的关系以消元后用基本不等式求得最小值，从而得22m t +的值.【详解】解：（1）因为椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>过点33,⎭，伴随圆222x y a +=过点)3,1，所以222331431a ba ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得：23b =， ∴椭圆E 的方程为22143x y +=；伴随圆的方程为224x y +=.（2）设(),m M m y ，(),n N m y ，则22143m y m +=，224n m y +=；1122OMN n m S m y y m =⋅-=△12m m ===≤=当且仅当224m m=-，即m =.此时(N . （3）由题意可设()11,A x y ，()22,B x y .联立22143x y x my t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得()2223463120m y mty t +++-=，则()2248340m t =+->△. 由韦达定理得：122634mty y m +=-+ ()12121228234tx x my t my t m y y t m +=+++=++=+因为四边形OAPB 是平行四边形， 所以()12122286,,3434t mt OP OA OB x x y y m m -⎛⎫=+=++=⎪++⎝⎭. 又点P 在椭圆E 上，所以()()222222264361434334t m t m m +=++，整理得22434t m =+.在直线l ：0x my t --=中，由于直线l 与坐标轴围成三角形，则0t ≠，0m ≠. 令0x =，得ty m=-，令0y =，得x t =. 所以三角形OAB面积为2113414132888OAB t m S t m m m m ⎛⎫+=⋅-==+≥⨯= ⎪ ⎪⎝⎭△， 当且仅当243m =，22t =时，等号成立，此时>0∆.且有22103m t +=， 故所求22m t +的值为103.【点睛】本题考查新定义，把新定义转化为圆的方程，转化为点的坐标是解题关键，考查直线与椭圆相交问题，解题中采取“设而不求“的思想方法，即设交点为()11,A x y ，()22,B x y .由直线方程与椭圆方程联立消元求得1212,x x x x +，代入其他条件求解，得出参数之间的关系．求最值时涉及到基本不等式的应用，注意应用基本不等式的条件，否则易出错． 22.已知函数()2ln f x x x ax =+-，()221xg x xex =+-.（1）求曲线()y g x =在()()0,0g 处的切线方程； （2）讨论()f x 的单调区间；（3）若不等式()()f x g x ≤对任意0x >成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1y x =-；（2）当a ≤时，()f x 的增区间为()0,∞+；当a >()f x 的增区间为0,4a ⎛ ⎪⎝⎭，4a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭；减区间为,44a a ⎛+ ⎪⎝⎭；（3）2a ≥-.【解析】 【分析】（1）求切点，求导数值即切线斜率，求得切线方程；（2）求出()f x 的定义域为(0,)+∞，且()221x ax f x x-+'=，'()f x 的符号由二次函数221y x ax =-+的函数值的符号决定，分二次函数有零点和无零点讨论，有零点再分零点是否大于零讨论，得到()f x 的单调区间；（3）将2ln 10x x xe ax +--≤，0x >恒成立转化为2ln 2max max ln 1ln 1x x x x xe x e a x x +⎛⎫⎛⎫+-+-≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ln 2maxln 212x x x x e x +⎛⎫++-=- ⎪⎝⎭，再证ln 2ln 210x x x x e +++-≤，构造函数()1xF x e x =--，利用导数证明()0F x ≥，从而得到ln 2maxln 212x x x x e x +⎛⎫++-- ⎪⎝⎭2≤-，得到2a ≤-.【详解】解：（1）()01g =-，()2222xx g x exe x '=++，∴切线斜率()01k g '==，又切点为(0,1)-，∴切线的方程为1y x =-（2）由题()f x 的定义域为(0,)+∞，且()21212x ax f x x a x x-+'=+-=，①当280a -≤即a -≤≤2210x ax -+≥在()0,∞+恒成立，即()0f x '≥在()0,∞+恒成立，则()f x 的增区间为()0,∞+， ②当280a ->且0a >，即a >令()0f x '>，得04a x <<或4a x +>令()0f x '<x <<∴()f x的增区间为0,4a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，4a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭；减区间为,44a a ⎛+⎪⎝⎭③当280a ->且0a <即a <-时，2210x ax -+>在()0,∞+恒成立， 即()0f x '>在()0,∞+恒成立，∴()f x 在()0,∞+上单调递增综上：当a ≤()f x 的增区间为()0,∞+；当a >()f x的增区间为⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭；减区间为,44a a ⎛+⎪⎝⎭（3）由题2ln 10x x xe ax +--≤，0x >恒成立，2ln 2max max ln 1ln 1x x x x xe x e a x x +⎛⎫⎛⎫+-+-≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ln 2maxln 212x x x x e x +⎛⎫++-=- ⎪⎝⎭令()1xF x e x =--，则()1xF x e '=-当0x <时，()0F x '<，即()F x 在(,0)-∞单调递减； 当0x >时，()0F x '>，()F x 在(0,)+∞单调递增； 当0x =时，()F x 有极小值也是最小值()10F = ∴()()10F x F ≥=，即1x e x ≥+ ∴ln 2ln 21x x e x x +≥++∵()2ln 2ln 1ln 21ln 1ln 12x x x x x x x xe x e x x x++-+++-+-=≤=- 当且仅当ln 20x x +=取等号，∴2maxln 12x x xe x ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭， ∴2a ≥-【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求曲线的切线方程，利用导数分类讨论求含参函数的单调区间，不等式恒成立求参数的范围问题，还考查了学生分析观察能力，逻辑推理能力，计算能力，难度较大。
江苏省南京市中华中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题
+
x2
>
0
是
F
(x1)
+
F
(x2
)
>
0
的充要条件．
22．已知函数 f (x) = ln x + ln a + (a - 1)x + 2(a > 0) ．
(1)讨论 f (x) 的单调性； (2)若不等式 ex-2 ³ f (x) 恒成立，求实数 a 的取值范围．
试卷第51 页，共33 页
1．B
参考答案：
成的集合为_________.
14．已知非负数
x,
y
满足
x
+
y
= 1，则
1 x +1
+
y
9 +
2
的最小值是___________.
15．若直线 y = kx + b 是曲线 y = ex -1 和 y = ex-1 的公切线，则实数 b 的值是 __．
16．已知
f
(x)
R 是定义在
上的奇函数，当
x
>
B．“ xy > 0 ”是“ x + y > 0 ”的必要不充分条件
C．“对任意一个无理数 x ， x2 也是无理数”是真命题
D．命题“ $x Î R ， x2 + 1 = 0 ”的否定是“ "x Î R ， x2 +1 ¹ 0 ”
10．几位同学在研究函数
f
(x)
=
| x | +2 x2 - 4
时给出了下列结论正确的是（
【详解】由题意得 f ¢( x) = cos x - x sin x - cos x = -x sin x ， 当 x Î[-π,0] 时，sin x £ 0 ， f ¢( x) £ 0 ， 所以 f ( x) 在区间[-π, 0] 单调递减，故函数最大值为 f (-ππ) = ，
2022-2023学年江苏省连云港市高二(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省连云港市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．抛掷一颗质地均匀的骰子，样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件A ＝{1，3，5}，事件B ＝{1，2，4，5，6}，则P （A |B ）＝（ ） A ．15B ．25C ．35D ．452．设随机变量X ～N （3，36），且P （X ＞m ）＝P （X ＜m ﹣2），则m ＝（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．某杂交水稻研究小组先培育出第一代杂交水稻，再由第一代培育出第二代，第二代培育出第三代，以此类推，且亲代与子代的每穗总粒数之间的关系如下表所示：通过上面四组数据得到了x 与y 之间的线性回归方程是y =4.4x +a ，预测第十代杂交水稻每穗的总粒数为（ ） A ．233B ．234C ．235D ．2364．若一个正棱台，其上、下底面分别是边长为√3和2√3的正方形，高为32，则该正棱台的外接球的表面积为（ ） A ．105π4B ．9π4C ．105π16D ．9π165．若4名学生报名参加数学、物理、计算机、航模兴趣小组，每人限报1项，则恰好航模小组没人报的方式有（ ） A ．18种B ．36种C ．72种D ．144种6．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，若直线l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则（ ） A ．α∥β，l ∥αB ．α⊥β，l ⊥βC ．α与β的交线与l 平行D ．α与β的交线与l 垂直7．39被5除所得的余数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．在Rt △ABC 中，AB =2，AC =2√5，D 为斜边AC 上异于A ，C 的动点，若将△ABC 沿折痕BD 翻折，使点A 折至A 1处，且二面角A 1﹣BD ﹣C 的大小为2π3，则A 1C 的最小值为（ ）A ．4B ．√14C ．2√3D ．2√2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知（1﹣2x ）6＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，则（ ） A ．a 0＝1B ．a 2＝120C ．|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 6|＝729D ．a 1+a 2+…+a 5＝010．从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中取出4个数字，则（ ） A ．可以组成720个无重复数字的四位数 B ．可以组成300个无重复数字且为奇数的四位数 C ．可以组成270个无重复数字且比3400大的四位数D ．可以组成36个无重复数字且能被25整除的四位数11．袋内有除颜色外其它属性都相同的3个黑球和2个白球，则下列选项正确的是（ ） A ．有放回摸球3次，每次摸1球，则第3次摸到白球的概率是35B ．有放回摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸到白球的概率是18125C ．不放回摸球3次，每次摸1球，则第3次摸到白球的概率是25D ．不放回摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸到白球的概率是1512．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为AD 的中点，点F 在正方体的面CC 1D 1D 内（含边界）移动，点P 为线段D 1B 上的动点，设D 1P ＝λD 1B ，则（ ） A ．当λ=13时，DP ∥平面AB 1C B ．V B−AB 1F 为定值 C ．P A +PC 的最小值为2√3D ．当直线B 1F ∥平面A 1BD 时，点F 的轨迹被以A 为球心，52为半径的球截得长度为1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．某厂用甲、乙两台机器生产相同的零件，它们的产量各占45%，55%，而各自的产品中废品率分别为2%，3%，则该厂这种零件的废品率为 ．14．为考查某种流感疫苗的效果，某实验室随机抽取100只健康小鼠进行试验，得到如下列联表：则在犯错误的概率最多不超过 的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系．参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．15．将边长为1的正方形AA 1O 1O 绕O 1O 旋转一周形成圆柱，如图，AĈ长为2π3，A 1B 1̂长为π3，B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧，则异面直线B 1C 与AA 1所成角的正切值为 ．16．如图，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前n 项和为S n ，则S 24的值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin2C =√3sinC ． （1）求C ；（2）若b ＝4，且△ABC 的面积为2√3，求△ABC 的周长．18．（12分）李平放学回家途经3个有红绿灯的路口，交通法规定：若在路口遇到红灯，需停车等待；若在路口没遇到红灯，则直接通过．经长期观察发现：他在第一个路口遇到红灯的概率为12，在第二、第三个路口遇到红灯的概率依次增加，在三个路口都没遇到红灯的概率为124，在三个路口都遇到红灯的概率为14，且他在各路口是否遇到红灯相互独立．（1）求李平放学回家途中在第三个路口首次遇到红灯的概率；（2）记X 为李平放学回家途中遇到红灯的路口个数，求数学期望E （X ）． 19．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n+1=1+2√S n ．（1）证明：数列{√S n }是等差数列；（2）设c n =(√S n +1)2n ，求数列{c n }的前n 项和T n ．20．（12分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，AB =BC =2√2，PA =PC =AC =4，平面ABC ⊥平面P AC ． （1）求异面直线AC 与PB 间的距离；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M ﹣P A ﹣C 为30°，求PC 与平面P AM 所成角的正弦值．21．（12分）已知椭圆C ：y 2a 2+x 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√63，且点(√32，√32)在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）斜率为正数k 且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为P ，射线OP 交椭圆C 及直线y ＝3分别于点G 和点D ，且|OG||OD|=|OP||OG|．证明：直线l 过定点．22．（12分）已知函数f （x ）＝﹣2x 3﹣2ax −12，g （x ）＝lnx ． （1）当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f （x ）的切线；（2）用max {m ，n }表示m ，n 中的最大值，设函数h （x ）＝max {f （x ），g （x ）}（x ＞0），试讨论函数h （x ）零点的个数．2022-2023学年江苏省连云港市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．抛掷一颗质地均匀的骰子，样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件A ＝{1，3，5}，事件B ＝{1，2，4，5，6}，则P （A |B ）＝（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45解：由题知，A ∩B ＝{1，5}，P(B)=56，P(AB)=26=13，所以P(A|B)=P(AB)P(B)=1356=25．故选：B ．2．设随机变量X ～N （3，36），且P （X ＞m ）＝P （X ＜m ﹣2），则m ＝（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解：因为X ～N （3，36），P （X ＞m ）＝P （X ＜m ﹣2）， 所以根据正态分布曲线特征可得，m+m−22=3，即m ＝4．故选：D ．3．某杂交水稻研究小组先培育出第一代杂交水稻，再由第一代培育出第二代，第二代培育出第三代，以此类推，且亲代与子代的每穗总粒数之间的关系如下表所示：通过上面四组数据得到了x 与y 之间的线性回归方程是y =4.4x +a ，预测第十代杂交水稻每穗的总粒数为（ ） A ．233B ．234C ．235D ．236解：由题意可知：x =1+2+3+44=2.5，y =197+193+201+2094=200． 因为回归直线方程经过样本中心，所以200=4.4×2.5+a ，解得a =189， 回归直线方程为：y =4.4x +189，当x ＝10时，y 的估计值为：4.4×10+189＝233． 故选：A ．4．若一个正棱台，其上、下底面分别是边长为√3和2√3的正方形，高为32，则该正棱台的外接球的表面积为（ ） A ．105π4B ．9π4C ．105π16D ．9π16解：根据条件，作正棱台图像如下，则其外接球球心在高E 1E 的延长线上，AB =√3，A 1B 1=2√3，EE 1=32， 所以A 1E 1=√62，AE =√6，由OA ＝OA 1，可得√AE 2+OE 2=√A 1E 12+(OE +32)2，解得OE =34， 所以外接球半径即OA =√AE 2+OE 2=√1054，所以其外接球表面积为4π×(√1054)2=105π4． 故选：A ．5．若4名学生报名参加数学、物理、计算机、航模兴趣小组，每人限报1项，则恰好航模小组没人报的方式有（ ） A ．18种B ．36种C ．72种D ．144种解：因为题意要求恰好航模小组没人报，则将4名学生中的两个“捆绑”分为3组，则此时有：C 42=6 种情况，然后选择三个小组有：A 33=6，故满足题意的情况数为：C 42A 33=6×6=36．故选：B ．6．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，若直线l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则（ ） A ．α∥β，l ∥αB ．α⊥β，l ⊥βC ．α与β的交线与l 平行D ．α与β的交线与l 垂直解：由于m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m ，n ，故AB 错误；又直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则交线平行于l 故C 正确，D 错误． 故选：C ．7．39被5除所得的余数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解：因为38＝94＝（10﹣1）4=104−C 41⋅103+C 42⋅102−C 43⋅10+1， 所以39=3(104−C 41⋅103+C 42⋅102−C 43⋅10)+3，所以39被5除所得的余数是3． 故选：C ．8．在Rt △ABC 中，AB =2，AC =2√5，D 为斜边AC 上异于A ，C 的动点，若将△ABC 沿折痕BD 翻折，使点A 折至A 1处，且二面角A 1﹣BD ﹣C 的大小为2π3，则A 1C 的最小值为（ ）A ．4B ．√14C ．2√3D ．2√2解：如图，过点A 1在平面A 1BD 内作A 1M ⊥直线BD ，垂足为点M ， 过点C 在平面BCD 内作CN ⊥直线BD ，垂足为点N ，∵A 1C →=A 1M →+MN →+NC →，A 1M →⋅MN →=NC →⋅MN →=0，在Rt △ABC 中，AB =2，AC =2√5，所以BC =√AC 2−AB 2=4， 记∠ABD ＝α⇒∠A 1BD ＝α，且α∈(0，π2)，则∠NBC =π2−α， 所以|A 1M →|=|A 1B →|sinα=2sinα，|NC →|=|BC →|sin(π2−α)=4cosα， 因为二面角A 1﹣BD ﹣C 的大小为2π3，即为向量NC →，MA 1→的夹角为π3，∵NC →⋅A 1M →=|NC →|⋅|A 1M →|cos π3=4cosα⋅2sinα⋅12=4cosαsinα， 且|MN →|=||BN →|−|BM →||=|4cos(π2−α)−2cosα|=|4sin α﹣2cos α|，所以|A 1C →|2=(A 1M →+MN →+NC →)2=|A 1M →|2+|MN →|2+|NC →|2+2NC →⋅A 1M →+2A 1M →⋅MN →+2NC →⋅MN →， 又A 1M →⋅MN →=NC →⋅MN →=0，所以|A 1C →|2=|A 1M →|2+|MN →|2+|NC →|2+2NC →⋅A 1M →＝4sin 2α+（4sin α﹣2cos α）2+16cos 2α+8sin αcos α＝20sin 2α﹣16sin αcos α+20cos 2α+8sin αcos α＝20（sin 2α+cos 2α）﹣8sin αcos α＝20﹣4sin2α，所以|AC →|=√20−4sin2α≥4，当且仅当sin2α＝1时，即当α=π4时，等号成立， 所以线段A 1C 长度的最小值为4． 故选：A ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知（1﹣2x ）6＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，则（ ） A ．a 0＝1B ．a 2＝120C ．|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 6|＝729D ．a 1+a 2+…+a 5＝0解：由于（1﹣2x ）6＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6， 对于A ：利用x ＝0时，a 0＝1，故A 正确；对于B ：根据二项式的展开式T r+1=C 6r ⋅(−2x)r ，当r ＝2时，C 62⋅(−2)2=60，故B 错误；对于C ：由二项展开式得a 0，a 2，a 4，a 6均为正数，a 1，a 3，a 5均为负数，所以|a 0+|a 1|+...+|a 6|=a 0−a 1+a 2−a 3+a 4−a 5+a 6=(1+2)6=729，故C 正确；对于D ：当x ＝1时，a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6＝1，且a 0＝1，a 6=C 66⋅(−2)6=64，故a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝1﹣1﹣64＝﹣64，故D 错误． 故选：AC ．10．从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中取出4个数字，则（ ） A ．可以组成720个无重复数字的四位数 B ．可以组成300个无重复数字且为奇数的四位数 C ．可以组成270个无重复数字且比3400大的四位数D ．可以组成36个无重复数字且能被25整除的四位数解：首位不能排0，有A 61种排法，后面三位从剩下的6个数字中任选3个进行排列，所以共有A 61⋅A 63=720，即可以组成720个无重复数字的四位数，A 正确；个位从1，3，5选择一个，有C 31种选法；千位数字不可选0，从剩下的5个中选一个，有C 51种选法；在剩下的5个数字中选出2个，安排在百位、十位数字，有A 52种选法，则C 31×C 51×A 52=300个无重复数字的四位奇数，B 正确；3400大的四位数分三类：第一类千位比3大的数，其它三位任意排，有A 31A 63=360个，第二类千位是3，百位比4大的数，其它两位任意排，有A 21⋅A 52=40个，第三类千位是3，百位是4的数，其它两位任意排，有A 52=20个， 根据分类计数原理得比3400大的四位数共有360+40+20＝420，C 不正确； 能被25整除的四位数分两类：第一类：形如□□25，共A 41A 41=16个；第二类：形如□□50，共有A 52=20个；能被25整除的四位数共有：16+20＝36个，D 正确． 故选：ABD ．11．袋内有除颜色外其它属性都相同的3个黑球和2个白球，则下列选项正确的是（ ） A ．有放回摸球3次，每次摸1球，则第3次摸到白球的概率是35B ．有放回摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸到白球的概率是18125C ．不放回摸球3次，每次摸1球，则第3次摸到白球的概率是25D ．不放回摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸到白球的概率是15解：对于A ，因为是有放回，所以每次摸到白球的概率都是一样的，为25，A 错误；对于B ，因为是有放回，所以每次摸到黑球的概率为35，白球为25，第三次才摸到白球的事件为“黑黑白”，概率为35×35×25=18125，B 正确；对于C ，不放回摸球3次，每次摸1球，则第3次摸到白球的事件为“白黑白”，“黑白白”，“黑黑白” 概率为25×34×13+35×24×13+35×24×23=25，C 正确；对于D ，不放回摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸到白球的事件为“黑黑白”，概率为35×24×23=15，D 正确． 故选：BCD ．12．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为AD 的中点，点F 在正方体的面CC 1D 1D 内（含边界）移动，点P 为线段D 1B 上的动点，设D 1P ＝λD 1B ，则（ ） A ．当λ=13时，DP ∥平面AB 1C B ．V B−AB 1F 为定值 C ．P A +PC 的最小值为2√3D ．当直线B 1F ∥平面A 1BD 时，点F 的轨迹被以A 为球心，52为半径的球截得长度为1解：对于A ，以D 为原点，以DA ，DC ，D 1D 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标 系，如图所示，因为正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，所以A （2，0，0），D （0，0，0）．C （0，2，0）， B 1（2，2，2），D 1（0，0，2），B （2，2，0）， 则AB 1→=（0，2，2），AC →=（﹣2，2，0）， 设平面AB 1C 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅AB 1→=2y +2z =0n →⋅AC →=2x −2y =0，取x ＝1，则n →=（1，1，﹣1）， 因为D 1P →=13D 1B →=13(2，2，−2)=(23，23，−23)，所以P(23，23，43)， 所以DP →=（23，23，43），∴DP →•n →=23+23−43=0． 因为DP ⊄平面AB 1C ，所以DP ∥平面AB 1C ，故A 正确； 对于B ，设点F 到平面ABB 1的距离为h ，则所以V B−AB 1F =V F−BAB 1=13•S △BAB 1•h ，因为点F 在正方体的面CC 1D 1D 内（含边界）移动，又因为平面DCC 1D 1∥平面ABB 1，所以点F 到平面ABB 1的距离h 为定值， 又因为S △BAB 1为定值，所以三棱锥B ﹣AB 1F 的体积为定值，故B 正确；对于C ，设P （x ，y ，z ），D 1P →=λDB →=λ（2，2，﹣2）＝（2λ，2λ，﹣2λ），（0≤λ≤1），所以（x ，y ，z ﹣2）＝（2λ，2λ，﹣2λ），所 以P （2λ，2λ，﹣2λ+2）， 所以PA →=（2﹣2λ，﹣2λ，2λ﹣2），PC →=（﹣2λ，2﹣2λ，2λ﹣2），则|PA →|+|PC →|＝2√(−2λ)2+(2−2λ)2+(2λ−2)2=2√12λ2−16λ+8=4√3(λ−23)2+23≥4√63，故C 错误；对于D ，连接B 1C ，B 1D 1，由正方体的性质知，D 1C ∥A 1B ，D 1C ⊄平面A 1BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ， 所以D 1C ∥平面A 1BD ，B 1C ∥A 1D ，B 1C ⊄平面A 1BD ，A 1D ⊂平面A 1BD ， 所以B 1C ∥平面A 1BD ，D 1C ∩B 1C ＝C ，所以平面D 1B 1C ∥平面A 1BD ，因为点F 在正方体的面CC 1D 1D 内（含边界）移动，当F ∈CD 1，则B 1F ⊂平面D 1B 1C ， 则B 1F ∥平面A 1BD ，则F 点轨迹为线段CD 1，取CD 1中点H ，连接AD 1，AH ，而△ACD 1为等边三角形，则AH =√AD 12−HD 12=√8−2=√6，以A 为球心，52为半径的球截CD 1的长度为2√(52)2−(√6)2=1，故D 正确；故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．某厂用甲、乙两台机器生产相同的零件，它们的产量各占45%，55%，而各自的产品中废品率分别为2%，3%，则该厂这种零件的废品率为 0.0255 ． 解：由已知得，这种零件的废品率为45%×2%+55%×3%＝0.0255． 故答案为：0.0255．14．为考查某种流感疫苗的效果，某实验室随机抽取100只健康小鼠进行试验，得到如下列联表：则在犯错误的概率最多不超过 0.05 的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系．参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．解：补充2×2列联表可得，所以K 2=100×(10×30−40×20)230×70×50×50=10021≈4.762＞3.841． 所以在犯错误的概率最多不超过0.05的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系． 故答案为：0.05．15．将边长为1的正方形AA 1O 1O 绕O 1O 旋转一周形成圆柱，如图，AĈ长为2π3，A 1B 1̂长为π3，B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧，则异面直线B 1C 与AA 1所成角的正切值为 1 ．解：如图，过B 1作B 1D ∥AA 1，交圆O 于D ，连接CD ，则∠CB 1D 为异面直线B 1C 与AA 1所成角，根据条件知∠COD =π3，OD ＝OC ＝1，∴CD ＝1，且B 1D ＝1，B 1D ⊥CD ， ∴tan ∠CB 1D ＝1． 故答案为：1．16．如图，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前n 项和为S n ，则S 24的值为 454 ．解：根据组合知识可得S 24=C 22+C 21+C 32+C 31+C 42+C 41+⋯+C 132+C 131=(C 21+C 31+C 41+⋯+C 131)+(C 22+C 32+C 42+⋯+⋯+C 132) =(2+3+4+⋯+13)+(C 33+C 32+C 42++⋯+C 132)=12×(2+13)2+(C 43+C 42+⋯+C 132) =90+C 143=454．故答案为：454．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin2C =√3sinC ． （1）求C ；（2）若b ＝4，且△ABC 的面积为2√3，求△ABC 的周长． 解：（1）由sin2C =√3sinC ，得2sinCcosC =√3sinC ， 在△ABC 中，sin C ≠0，∴cosC =√32， 在△ABC 中，C ∈（0，π），∴C =π6． （2）S △ABC =12absinC =12×a ×4×12=2√3， ∴a =2√3，由余弦定理得c 2=a 2+b 2−2abcosC =12+16−2×2√3×4×√32=4， ∴c ＝2，∴a +b +c =2√3+4+2=6+2√3， ∴△ABC 的周长为6+2√3．18．（12分）李平放学回家途经3个有红绿灯的路口，交通法规定：若在路口遇到红灯，需停车等待；若在路口没遇到红灯，则直接通过．经长期观察发现：他在第一个路口遇到红灯的概率为12，在第二、第三个路口遇到红灯的概率依次增加，在三个路口都没遇到红灯的概率为124，在三个路口都遇到红灯的概率为14，且他在各路口是否遇到红灯相互独立．（1）求李平放学回家途中在第三个路口首次遇到红灯的概率；（2）记X 为李平放学回家途中遇到红灯的路口个数，求数学期望E （X ）． 解：（1）设第二、三个路口遇到红灯的概率分别为p 1，p 2，p 2＞p 1＞12， 依题意可得{(1−12)(1−p 1)(1−p 2)=124，12p 1p 2=14， 解得{p 1=23p 2=34或{p 1=34p 2=23（舍去），所以李平放学回家途中在第三个路口首次遇到红灯的概率12×13×34=18．（2）由已知可得，X 的可能值为0，1，2，3， P(X =0)=124， P(X =1)=12×(1−23)×(1−34)+(1−12)×23×(1−34)+(1−12)×(1−23)×34=14， P(X =2)=12×23×(1−34)+12×(1−23)×34+(1−12)×23×34=1124， P(X =3)=14， 所以X 分布列为：所以E(X)=0×124+1×14+2×1124+3×14=2312．19．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n+1=1+2√S n ． （1）证明：数列{√S n }是等差数列；（2）设c n =(√S n +1)2n ，求数列{c n }的前n 项和T n ． 解：（1）证明：因为a n +1＝S n +1﹣S n ，a n+1=1+2√S n ，∴S n+1−S n =1+2√S n ，即S n+1=S n +2√S n +1=(√S n +1)2， ∴√S n+1=√S n +1，即√S n+1−√S n =1， ∴√S n 是1为首项，1为公差的等差数列． （2）由（1）知，√S n =√S 1+(n −1)×1=n ， ∴c n =(n +1)2n ，故T n =2×2+3×22+4×23+⋯+(n +1)⋅2n ①， 2T n =2×22+3×23+4×24+⋯+(n +1)⋅2n+1②，两式相减得，−T n=2⋅21+22+23+⋯+2n−(n+1)2n+1=2+2(1−2n)1−2−(n+1)2n+1，所以T n=n⋅2n+1．20．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2√2，PA=PC=AC=4，平面ABC⊥平面P AC．（1）求异面直线AC与PB间的距离；（2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣P A﹣C为30°，求PC与平面P AM所成角的正弦值．解：（1）法一：取AC中点O，连接PO，∵P A＝PC，∴PO⊥AC，又平面ABC⊥平面P AC，平面ABC∩平面P AC＝AC，故PO⊥平面ABC，连接BO，则∠POB＝90°，又∵AB＝BC，O为AC中点，故BO⊥AC，BO，PO⊂平面PBO，BO∩PO＝O，故AC⊥平面PBO，在平面PBO中，作OD⊥PB，则由OD⊥AC知OD为异面直线AC与PB间的距离，由PO=2√3，OB=2，PB=4，PO×OB＝PB×OB知OD=√3，即异面直线AC与PB间的距离为√3；法二：取AC中点O，连接PO，由P A＝PC知PO⊥AC，又平面ABC⊥平面P AC，平面ABC∩平面P AC＝AC，故PO⊥平面ABC以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，−2，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2√3)，PB →=(2，0，−2√3)，AC →=(0，4，0)，设n →=(x ，y ，z)，且n →⋅AC →=0，n →⋅PB →=0， 则{y =02x −2√3z =0，令z =√3，则n →=(3，0，√3)， 又AB →=(2，2，0)，则异面直线AC 与PB 间的距离为d =|n →⋅AB →|n →||=23=√3； （2）由（1）知PO ⊥平面ABC ，又PO ⊂平面P AC ，∴平面P AC ⊥平面ABC ， 如图，在平面ABC 内作MN ⊥AC ，垂足为N ，则MN ⊥平面P AC ，在平面P AC 内作FN ⊥AP ，垂足为F ，连接MF ， P A ⊂平面P AC ，∴MN ⊥P A ，且MN ∩FN ＝N ， ∴P A ⊥平面MFN ，FM ⊂平面MFN ，∴P A ⊥FM故∠MFN 为二面角M ﹣P A ﹣C 的平面角，即∠MFN ＝30°，设MN ＝a ，则NC ＝a ，AN ＝4﹣a ，在Rt △AFN 中，FN =√32(4−a)， 在Rt △MFN 中，由∠MFN ＝30°知FN =√3MN ，得a =43，法一：设点C 到平面P AM 的距离为h ，由V M ﹣APC ＝V C ﹣APM ，得13S △APC MN =13S △APM ℎ，即13×12×AC ×MN ×PO =13×12×PA ×MF ×ℎ，又AC =PA =4，MF =2MN ，PO =2√3，解得ℎ=√3，则PC 与平面P AM 所成角的正弦值为√34； 法二：如图，以O 为坐标原点，OB 、OC 、OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A(0，−2，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2√3)，M(43，23，0)， PC →=(0，2，−2√3)，AP →=(0，2，2√3)，AM →=(43，83，0)， 设n →=(x ，y ，z)为平面P AM 的法向量，则{n →⋅AP →=2y +2√3z =0n →⋅AM →=43x +83y =0，令z =√3，则n →=(6，−3，√3)， 则PC →与n →所成角的余弦值为cosθ=n →⋅PC →|n →||PC →|=−√34， 则PC 与平面P AM 所成角的正弦值sinα=|cosθ|=√34．21．（12分）已知椭圆C ：y 2a 2+x 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√63，且点(√32，√32)在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）斜率为正数k 且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为P ，射线OP 交椭圆C 及直线y ＝3分别于点G 和点D ，且|OG||OD|=|OP||OG|．证明：直线l 过定点．解：（1）由题知{ ca=√6334a 2+34b 2=1a 2=b 2+c 2，解得：a 2＝3，b 2＝1，所以椭圆C ：y 23+x 2=1；（2）设直线l 的方程为：y ＝kx +t ，k ＞0，由{y 23+x 2=1y =kx +t，得（k 2+3）x 2+2ktx +t 2﹣3＝0，Δ＝（2kt ）2﹣4（k 2+3）（t 2﹣3）＞02得k 2+3＞t 2， 设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−2kt k 2+3，y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2t =6tk 2+3，所以P （−kt k 2+3，3tk 2+3），所以k OP =3t−kt =−3k ，射线OP 的方程为y =−3k x ，由{y 23+x 2=1y =−3k x ，得x G 2=k 2k 2+3，y G 2=9k 2+3；由{y =3y =−3k x ，得 D （﹣k ，3）， 由|OG||OD|=|OP||OG|，得{x G 2=x P ⋅x Dy G 2=y P ⋅y D ，即{k 2k 2+3=−kt k 2+3⋅(−k)9k 2+3=3t k 2+3×3，解得t ＝1，∴直线l ：y ＝kx +1恒过定点（0，1）．22．（12分）已知函数f （x ）＝﹣2x 3﹣2ax −12，g （x ）＝lnx ． （1）当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f （x ）的切线；（2）用max {m ，n }表示m ，n 中的最大值，设函数h （x ）＝max {f （x ），g （x ）}（x ＞0），试讨论函数h （x ）零点的个数．解：（1）已知f （x ）＝﹣2x 3﹣2ax −12，函数定义域为R ， 可得f ′（x ）＝﹣6x 2﹣2a ， 若x 轴为曲线y ＝f （x ）的切线，不妨设曲线y ＝f （x ）与x 轴相切于点（x 0，0）， 此时f ′（x 0）＝f （x 0）＝0， 即{6x 02+2a =02x 03+2ax 0+12=0，解得x0=12，a=−34；（2）已知函数h（x）＝max{f（x），g（x）}（x＞0），当x∈（1，+∞）时，g（x）＞0，h（x）＝max{f（x），g（x）}≥g（x）＞0，所以函数h（x）在（1，+∞）无零点；当x＝1时，若a≥−5 4，此时f（1）＝﹣2a−52≤0，h（1）＝max{f（1），g（1）}＝g（1）＝0，所以x＝1是h（x）的零点；若a＜−5 4，此时f(1)=−2a−52＞0，ℎ(1)=max{f(1)，g(1)}=f(1)＞0，所以x＝1不是h（x）的零点；当x∈（0，1）时，g（x）＜0，所以只需考虑f（x）在（0，1）的零点个数，①若a≤﹣3或a≥0，可得f'（x）＝﹣6x2﹣2a在（0，1）无零点，所以f（x）在（0，1）单调，又f(0)=−12，f(1)=−2a−52，所以当a≤﹣3时，f（x）在（0，1）有一个零点；当a≥0时，f（x）在（0，1）无零点；②若﹣3＜a＜0，当0＜x＜√−a3时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞√−a3时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x=√−a3时，f（x）取得最大值，最大值f（√−a3）=−4a3√−a3−12，若f（√−a3）＜0，即−34＜a＜0时，f（x）在区间（0，1）上无零点；若f（√−a3）＝0，即a=−34时，f（x）在区间（0，1）上有唯一一个零点；若f（√−a3）＞0，即﹣3＜a＜−34时，因为f（0）=−12，f（1）＝﹣2a−52，所以当−54＜a＜−34时，f（x）在区间（0，1）上有两个零点；当﹣3＜a＜−34时，f（x）在区间（0，1）上有一个零点，综上，当a＞−34或a＜−54时，h（x）有一个零点；当a=−34或a=−54时，h（x）有两个零点；当−54＜x＜−34时，h（x）有三个零点．。
江苏高二高中数学期末考试带答案解析
江苏高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知集合，，则___________.2.复数（为虚数单位）的模为______.3.函数的定义域为___________.4.已知函数，则________.5.已知函数的零点在区间内，则正整数的值为___________.6.已知函数，设为的导函数，，…，根据以上结果，推断___________.7.已知正实数满足，则的最小值为___________.8.若指数函数的图像过点，则不等式的解集为___________.9.已知满足约束条件，则的最小值是___________.10.已知函数在处取得极小值，则实数的取值范围是_____________.11.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若，，，则的大小关系是___________.（用“”连接）12.已知函数在区间上是单调曾函数，则实数的取值范围为___________.13.若不等式对任意恒成立，则实数的值是___________.14.已知函数若关于的方程有三个不同的解，其中最小的解为，则的取值范围为_____________.二、解答题1.已知命题：方程有解；命题：函数在R上是单调函数.（1）当命题为真命题时，求实数的取值范围；（2）当为假命题，为真命题时，求实数的取值范围.2.已知集合，其中，集合.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.3.已知函数，其中.（1）当时，求函数在上的值域；（2）若函数在上的最小值为3，求实数的取值范围.4.某地方政府要将一块如图所示的直角梯形ABCD空地改建为健身娱乐广场.已知AD//BC,百米，百米，广场入口P在AB上，且，根据规划，过点P铺设两条相互垂直的笔直小路PM,PN（小路的宽度不计），点M,N分别在边AD,BC上（包含端点），区域拟建为跳舞健身广场，区域拟建为儿童乐园，其它区域铺设绿化草坪，设.（1）求绿化草坪面积的最大值；（2）现拟将两条小路PNM,PN进行不同风格的美化，PM小路的美化费用为每百米1万元，PN小路的美化费用为每百米2万元，试确定M,N的位置，使得小路PM,PN的美化总费用最低，并求出最小费用.5.已知函数，其中 .（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若函数在定义域上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围.6.已知函数是定义在R上的奇函数，其中为自然对数的底数.（1）求实数的值；（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围；（3）若函数在上不存在最值，求实数的取值范围.江苏高二高中数学期末考试答案及解析一、填空题1.已知集合，，则___________.【答案】【解析】2.复数（为虚数单位）的模为______.【答案】【解析】3.函数的定义域为___________.【答案】【解析】由题意得，所以函数的定义域为.4.已知函数，则________.【答案】 【解析】 .5.已知函数的零点在区间内，则正整数的值为___________.【答案】【解析】由函数的解析式可得函数在(0,+∞)上是增函数， 且f(2)=ln2+2−4<0,f(3)=ln3+3−4>0，故有f(2)f(3)<0，根据函数零点的判定定理可得函数在区间(2,3)上存在零点。
江苏省淮安市2023-2024学年高二下学期6月期末考试 数学含答案
2023—2024学年度第二学期高二年级期末调研测试数学试题（答案在最后）2024.06注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，只要将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合(){}{}{},,0,1,,2,3,4A x y z x y z =∈∈中元素的个数为（）A.18B.12C.8D.52.下列求导运算正确的是（）A.()1ln 22'=B.()3e 3e'=C.()1xx a x a-'=⋅ D.()cos sin x x'=-3.已知空间向量()2,1,0a = ，()1,,3b t =- ，()0,0,1c = ，若向量a ，b ，c共面，则实数t 为（）A.1B.12-C.3- D.344.已知随机变量()~4,X B p ，若()8227P X ==，则p =（）A.14B.14或34C.13D.13或235.正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 中点，则直线1A E ，1C D 所成角的余弦值为（）A.15B.10C.12D.36.随机变量X 的概率分布为()10kP X k ==，()1,2,3,4k =，则()21D X +=（）A.1B.2C.3D.47.三棱锥-P ABC 中，PAB ，ABC 均为边长为2的等边三角形，平面PAB ⊥平面ABC ，则三棱锥-P ABC 的外接球表面积为（）A.5π3B.10π3 C.20π3D.40π38.函数()1ln f x x x=-，()e xg x x -=-，若存在正数1x ，2x ，使得()()12f x g x =，则12x x 的最小值为（）A.1eB.eC.1D.e 1e -二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.为了探讨学生的物理成绩y 与数学成绩x 之间的关系，从某批学生中随机抽取10名学生的成绩()(),1,2,,10i i x y i =⋅⋅⋅，并已计算出80x =，物理成绩y 关于数学成绩x 的线性回归方程为 0.812.5y x =+，下列说法正确的有（）A.76.5y =B .相关系数0r >C.样本数据()70,65的残差为 3.5-D.当某学生数学成绩为100时，物理成绩一定为92.510.已知n的展开式第6项和第8项的二项式系数相等，下列说法正确的有（）A.12n = B.第3项的系数为66C.展开式中有理项共有3项D.奇数项系数和为1231+11.已知函数()f x ，()g x 的定义域均为I ，若存在函数()(),p x kx b k b =+∈R ，使得函数()()()F x f x p x =-，()()()G x p x g x =-在I 上有()0F x '<，()0G x '<，()0F x >，()0G x >恒成立，则称()f x ，()g x 为一组“双向奔赴”函数.下列各组函数中，符合“双向奔赴”函数的有（）A.()3f x x =，()g x =()1,I =+∞B.()21exx f x +=，()e xg x -=-，()e,I =+∞C.()sin f x x =，()cos g x x =，()π,I =+∞D.()ln 1ln x x f x x+=，()1g x x x =-，()1,I =+∞三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.随机变量()~0,1N ξ，()()x P x ϕξ=≤，若()1.530.063ϕ-=，则()1.53P ξ<=___________.13.已知()e 1xf x x =⋅+，过点()2,m 作()f x 的切线，若切线斜率为1，则m =___________.14.已知甲､乙两袋中装有除颜色外其它完全相同的小球，甲袋中有1只白球和3只红球，乙袋中有2只白球和3只红球，先从甲袋中取2只球放入乙袋，再从乙袋中取2只球，则从乙取出的2只球都是红球的概率为______.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知()2ln f x ax x =-，a 为常数.（1）若12a =，求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间；（2）若0a ≤，()y f x =在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，求a 的值.16.我国探月工程亦称“嫦娥工程”，2024年6月3日，嫦娥六号完成了人类首次月球背面智能采样工作，并于6月下旬携带月球样品返回地球，为人类进一步研究和利用月球资源提供了保证.为了解不同性别的学生对探月工程的关注程度（“十分关注”与“比较关注”），某校随机抽取男生和女生各50名进行调查，数据表明：男生中有90%的同学“十分关注”，女生中有60%的同学“十分关注”，其他学生都是“比较关注”.（1）根据条件，列出22⨯列联表，并判断是否有99.9%的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关；（2）在以上“十分关注”的学生中运用分层抽样的方法抽取10人组成科技兴趣小组，再在这10人中随机抽取3人进行重点培训，求这3人中至少有2名男生的概率.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.()20P x χ≥0.1000.0500.0100.0050.0010x 2.7063.8416.6357.87910.82817.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，PB =PC =PD =（1）证明：平面PAB ⊥平面PBC ；（2）求二面角B PC D --的余弦值；（3）求点C 到平面PBD 的距离.18.一只不透明的口袋中放有形状､大小完全相同的4个黑球和2个白球，若每次摸一个球后，观察其颜色，再放回袋中，摸到黑球得1分，摸到白球得1-分，用随机变量η表示k 次摸球后得1分的总次数，用随机变量X 表示k 次摸球后总得分.（1）若摸球100次.①求η的数学期望；②求X 的数学期望；（2）当摸球次数k 为何值时，4X =的概率取得最大值.19.已知函数()1lnxf x x-=.（1）若()()F x mx f x =-在其定义域内单调递增，求实数m 的取值范围；（2）若()()()G x x a f x =-.①是否存在实数a 使得()G x 的图象为轴对称图形，若存在，求a 的值，若不存在，说明理由；②函数()1H x G x ⎛⎫=⎪⎝⎭在()2,+∞上有且仅有一个极值点，求正实数a 的取值范围.2023—2024学年度第二学期高二年级期末调研测试数学试题2024.06注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，只要将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合(){}{}{},,0,1,,2,3,4A x y z x y z =∈∈中元素的个数为（）A.18B.12C.8D.5【答案】A 【解析】【分析】根据集合定义结合分步计数原理即可求解.【详解】集合(){}{}{},,0,1,,2,3,4A x y z x y z =∈∈中元素的个数为23318⨯⨯=.故选：A.2.下列求导运算正确的是（）A.()1ln 22'=B.()3e 3e'=C.()1xx a x a-'=⋅ D.()cos sin x x'=-【答案】D 【解析】【分析】根据基本初等函数的导数公式计算可得.【详解】对于A ：()ln 20'=，故A 错误；对于B ：()3e 0'=，故B 错误；对于C ：()ln xxa aa '=⋅，故C 错误；对于D ：()cos sin x x '=-，故D 正确；故选：D ．3.已知空间向量()2,1,0a = ，()1,,3b t =- ，()0,0,1c = ，若向量a ，b ，c共面，则实数t 为（）A.1B.12-C.3- D.34【答案】B 【解析】【分析】由题意可知：b a b =+r r rλμ，结合向量的坐标运算求解.【详解】若向量a ，b ，c共面，则()2,,,,b a b =+=∈R r r r λμλλμλμ，可得213t λλμ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得12123t λμ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，所以实数t 为12-.故选：B.4.已知随机变量()~4,X B p ，若()8227P X ==，则p =（）A.14B.14或34 C.13D.13或23【答案】D 【解析】【分析】根据题意结合二项分布的概率公式列式求解即可.【详解】因为()~4,X B p ，则()()()22222482C 16127P X p p p p ==-=-=，且01p <<，整理可得()219p p -=，解得p =13或23.故选：D.5.正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 中点，则直线1A E ，1C D 所成角的余弦值为（）A.15B.10C.12D.3【答案】B【解析】【分析】设正方体的棱长为2，建系标点，利用空间向量求线线夹角.【详解】如图，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()()()()112,0,2,2,1,0,0,0,0,0,2,2A E D C ，可得()()110,1,2,0,2,2A E DC =-=，则11111110cos ,10A E DC A E DC A E DC ⋅==-⋅，所以直线1A E ，1C D所成角的余弦值为10.故选：B.6.随机变量X 的概率分布为()10kP X k ==，()1,2,3,4k =，则()21D X +=（）A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】根据题意求()(),E X D X ，再结合方差的性质运算求解.【详解】由题意可得：()()4114916310101010k EX k P Xk ==⋅==+++=∑，()()()42142401101010k D X k E X P X k ==⎡-⎤⋅==+++=⎣⎦∑，所以()()2144D X D X +==.故选：D.7.三棱锥-P ABC 中，PAB ，ABC 均为边长为2的等边三角形，平面PAB ⊥平面ABC ，则三棱锥-P ABC 的外接球表面积为（）A.5π3B.10π3 C.20π3D.40π3【答案】C 【解析】【分析】取AB 中点E ，连接,PE CE ，利用面面垂直的性质及球的截面小圆性质，确定球心并求出球半径，即可得三棱锥外接球的表面积.【详解】如图，取AB 中点E ，连接,PE CE ，则PE AB ⊥，CE AB ⊥，由平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PE ⊂平面PAB ，CE ⊂平面ABC ，得PE ⊥平面ABC ，CE ⊥平面PAB ，取PAB 的外心1O ，ABC 的外心2O ，分别过12,O O 作平面PAB 、平面ABC 的垂线交于点O ，O 即为球心，连接OC ，于是12//,//OO CE OO PE ，四边形12OO EO为平行四边形，2CO =21OO O E ==，因此三棱锥-P ABC 的外接球半径R ，有22222253R OC CO OO ==+=，所以三棱锥-P ABC 的外接球表面积220π4π3S R ==.故选：C 8.函数()1ln f x x x=-，()e xg x x -=-，若存在正数1x ，2x ，使得()()12f x g x =，则12x x 的最小值为（）A.1eB.eC.1D.e 1e -【答案】B 【解析】【分析】分析可知()()21ex f x f =，结合()f x 的单调性可得21e x x =，2122e x x x x =，构建()e ,0xh x x x=>，利用导数求其单调性和最值，即可得结果.【详解】因为120,0x x >>，则2e 0x >，由题意可得：21211ln e x x x x --=-，整理可得221111ln ln e ex x x x -=-，即()()21e x f x f =，又因为1,ln y y x x==-在()0,∞+内单调递减，则()f x 在()0,∞+内单调递减，可得21e x x =，则2122e x x x x =，构建()e ,0x h x x x =>，可得()()21e x x h x x-'=，当01x <<时，()0h x '<；当1x >时，()0h x '>；可知()h x 在()0,1内单调递减，在()1,+∞内单调递增，则()()1e h x h ≥=，所以12x x 的最小值为e .故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.为了探讨学生的物理成绩y 与数学成绩x 之间的关系，从某批学生中随机抽取10名学生的成绩()(),1,2,,10i i x y i =⋅⋅⋅，并已计算出80x =，物理成绩y 关于数学成绩x 的线性回归方程为 0.812.5y x =+，下列说法正确的有（）A.76.5y =B.相关系数0r >C.样本数据()70,65的残差为 3.5-D.当某学生数学成绩为100时，物理成绩一定为92.5【答案】ABC【解析】【分析】对于A ：根据线性回归方程必过样本中心点(),x y 运算求解；对于B ：根据正相关的定义分析判断；对于C ：代入70x =，结合残差的定义运算求解；对于D ：代入100x =，结合回归方程的意义分析判断.【详解】对于选项A ：因为线性回归方程必过样本中心点()x y ，由题意可得：0.88012.576.5y =⨯+=，故A 正确；对于选项B ：因为0.80>，即线性回归方程为 0.812.5y x =+的图象是上升的，可知y 与x 满足正相关，所以相关系数0r >，故B 正确；对于选项C ：令70x =，可得0.87012.568.5y =⨯+=$，所以样本数据()70,65的残差为6568.5 3.5-=-，故C 正确；对于选项D ：令100x =，可得0.810012.592.5y =⨯+=$，但回归方程只能用于预测结果，并不一定与实际结果完全相等，所以预测物理成绩为92.5，故D 错误；故选：ABC.10.已知n的展开式第6项和第8项的二项式系数相等，下列说法正确的有（）A.12n = B.第3项的系数为66C.展开式中有理项共有3项 D.奇数项系数和为1231+【答案】AC 【解析】【分析】先根据二项式系数相等求出n 判断A 选项，再根据展开式系数和系数判断B,D 选项，最后应用通项公式判断C 选项.【详解】因为展开式第6项和第8项的二项式系数相等，可得57C =C n n ,所以5712n =+=,A 选项正确；第3项的系数为()22121211C 2=×4=22×12=26412⨯-⨯,B 选项错误；展开式的通项公式为()()1251243612121222C =CC2rrr r rrr r r r xxx----=-,当0,6,12r =时，展开式中有理项共有3项，C 选项正确；12展开式的奇数项系数和设为1S 展开式的偶数项系数和设为2S ,则令1x =,()1212121S S +=-=,12展开式的奇数项系数和为1S 展开式的偶数项系数和为2S -,则令1x =,()121212123S S -=+=,所以奇数项系数和为121312S +=,D 选项错误.故选：AC.11.已知函数()f x ，()g x 的定义域均为I ，若存在函数()(),p x kx b k b =+∈R ，使得函数()()()F x f x p x =-，()()()G x p x g x =-在I 上有()0F x '<，()0G x '<，()0F x >，()0G x >恒成立，则称()f x ，()g x 为一组“双向奔赴”函数.下列各组函数中，符合“双向奔赴”函数的有（）A.()3f x x =，()g x =()1,I =+∞B.()21exx f x +=，()e xg x -=-，()e,I =+∞C.()sin f x x =，()cos g x x =，()π,I =+∞D.()ln 1ln x x f x x+=，()1g x x x =-，()1,I =+∞【答案】BD 【解析】【分析】分析可知()f x k '<，()g x k '>，()f x kx b >+，()g x kx b <+.对于A ：分析可知()23f x x'=在I 内的值域为()3,∞+，即可得出矛盾，进而分析判断；对于B ：利用导数判断()f x 的单调性，结合题意分析判断；对于C ：整理可得()()f x g x >，举反例说明即可；对于D ：求导，根据题意分析说明即可.【详解】由题意可知：()()0F x f x k ''=-<，()()0G x k g x =-'<'，等价于()f x k '<，()g x k '>；且()()0F x f x kx b =-->，()()0G x kx b g x =+->，等价于()f x kx b >+，()g x kx b <+.对于选项A ：因为()3f x x =，()1,I ∞=+，则()23f x x '=在I 内的值域为()3,∞+，可知不存在k ∈R ，使得()f x k '<恒成立，不符合“双向奔赴”函数，故A 错误；对于选项B ：因为()e,I ∞=+，对于()21e x x f x +=，则()()210ex x f x -'=-<，可知()f x 在()e,∞+内单调递减，且当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于0，可知()0f x >；对于()exg x -=-，则()e0xg x -='>且()e 0x g x -=-<，可知当0k b ==，满足题意，所以符合“双向奔赴”函数，故B 正确；对于选项C ：因为()f x kx b >+，()g x kx b <+，则()()f x g x >，对于()sin f x x =，()cos g x x =，()π,I ∞=+，取特值()()2πsin 2π0,2πcos 2π1f g ====，可知()()2π2πf g <，不合题意，即不符合“双向奔赴”函数，故C 错误；对于选项D ：因为()ln 1ln x x f x x +=，()1g x x x=-，()1,I ∞=+，对于()ln 11ln ln x x f x x x x +==+，此时1,ln 0x x >>，可得()1ln f x x x x =+>，且()2111ln f x x x'=-<；对于()1g x x x =-，此时2111,0,0x x x >>>，可得()1g x x x x =-<，()2111g x x=+>'，可知当1,0k b ==，满足题意，所以符合“双向奔赴”函数，故D 正确；故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在意对题意进行重组，题意等价于()f x k '<，()g x k '>，()f x kx b >+，()g x kx b <+，进而分析求解.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.随机变量()~0,1N ξ，()()x P x ϕξ=≤，若()1.530.063ϕ-=，则()1.53P ξ<=___________.【答案】0.874##437500【解析】【分析】分析可知()1.530.063P ≤-=ξ，结合正态分布的对称性运算求解.【详解】因为()~0,1N ξ，可知0μ=，若()()1.53 1.530.063P -=≤-=ϕξ，可得()()1.5300.5 1.530.437P P -<≤=-≤-=ξξ，所以()()1.532 1.5300.874PP <=-<≤=ξξ.故答案为：0.874.13.已知()e 1xf x x =⋅+，过点()2,m 作()f x 的切线，若切线斜率为1，则m =___________.【答案】3【解析】【分析】求导，根据导数的几何意义分析可得()001e1x x +=，01x >-，构建()(),1g x f x x '=>-，结合单调性可得00x =，进而可求切线方程，即可得m 的值.【详解】因为()e 1x f x x =⋅+，则()()e e 1e x x xf x x x =+=+'，设切点坐标为()000,e 1xx x ⋅+，切线斜率()()0001e xk f x x =+'=，由题意可知()001e1x x +=，显然当01x ≤-时，则0010,0e xx +≤>，可得()001e0x x +≤，不合题意，可知01x >-，令()(),1g x f x x '=>-，则()()2e 0xg x x =+>'，可知()g x 在()1,∞-+内单调递增，且()01g =，所以关于0x 的方程()001e1x x +=的根为00x =，即切点坐标为()0,1，切线斜率1k =，则切线方程为1y x =+，所以213m =+=.故答案为：3.14.已知甲､乙两袋中装有除颜色外其它完全相同的小球，甲袋中有1只白球和3只红球，乙袋中有2只白球和3只红球，先从甲袋中取2只球放入乙袋，再从乙袋中取2只球，则从乙取出的2只球都是红球的概率为______.【答案】821【解析】【分析】设从甲袋中取出2个球有i （1,2i =）个红球为事件i A ，从乙取出的2只球都是红球为事件B ，然后根据全概率公式求解即可.【详解】设从甲袋中取出2个球有i （1,2i =）个红球为事件i A ，从乙取出的2只球都是红球为事件B ，则1131124C C 31()C 62P A ===，23224C 31()C 62P A ===，24127C 62()C 217P B A ===，25227C 10()C 21P B A ==，所以1122()()()()()P B P A P B A P A P B A =+1211082722121=⨯+⨯=.故答案为：821四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知()2ln f x ax x =-，a 为常数.（1）若12a =，求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间；（2）若0a ≤，()y f x =在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，求a 的值.【答案】（1）答案见详解（2）21e a =-【解析】【分析】（1）求导，利用导数分析()f x 的单调区间；（2）求导，分析可知()0f x '<，则()y f x =在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，进而可得最值，列式求解即可.【小问1详解】若12a =，则()21ln 2f x x x =-，可得()()()111x x f x x x x +-=-='，且1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，令()0f x '<，可得112x ≤<；令()0f x '>，可得12x <≤；所以()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭，单调递增区间为(]1,2.【小问2详解】由题意可得：()21212ax f x ax x x='-=-，若0a ≤，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2210ax -<，可得()0f x '<，可知()y f x =在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则()y f x =在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()2e e 12f a =-=-，解得21ea =-.16.我国探月工程亦称“嫦娥工程”，2024年6月3日，嫦娥六号完成了人类首次月球背面智能采样工作，并于6月下旬携带月球样品返回地球，为人类进一步研究和利用月球资源提供了保证.为了解不同性别的学生对探月工程的关注程度（“十分关注”与“比较关注”），某校随机抽取男生和女生各50名进行调查，数据表明：男生中有90%的同学“十分关注”，女生中有60%的同学“十分关注”，其他学生都是“比较关注”.（1）根据条件，列出22⨯列联表，并判断是否有99.9%的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关；（2）在以上“十分关注”的学生中运用分层抽样的方法抽取10人组成科技兴趣小组，再在这10人中随机抽取3人进行重点培训，求这3人中至少有2名男生的概率.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.()20P x χ≥0.1000.0500.0100.0050.0010x 2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列联表见详解；有99.9%的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关（2）23【解析】【分析】（1）根据题意完善列联表，求2χ，并与临界值对比分析；（2）根据分层抽样可得男、女生人数，结合超几何分别求概率.【小问1详解】由题意可知：“十分关注”的男、女生人数分别为509045⨯%=、5060%30⨯=；据此可得22⨯列联表，十分关注比较关注总计男生45550女生302050总计7525100可得()220.00110045205301210.82850507525x χ⨯-⨯==>=⨯⨯⨯，所以有99.9%的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关.【小问2详解】因为抽取的男、女生人数分别为451064530⨯=+、301044530⨯=+，这3人中至少有2名男生的概率21306464310C C C C 60202C 1203P⋅+⋅+===.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD，PB =PC =PD =（1）证明：平面PAB ⊥平面PBC ；（2）求二面角B PC D --的余弦值；（3）求点C 到平面PBD 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）5-（3）23【解析】【分析】（1）根据题意可证BC ⊥平面PAB ，结合面面垂直的判定定理分析证明；（2）建系标点，分别为求平面PBC 、平面PCD 的法向量，利用空间向量求二面角；（3）求平面PBD 的法向量，利用空间向量求点到面的距离.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，则PA BC ⊥，又因为ABCD 为矩形，则AB BC ⊥，且PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ，可得BC ⊥平面PAB ，且BC ⊂平面PBC ，所以平面PAB ⊥平面PBC .【小问2详解】由题意可知：PA ⊥平面ABCD ，且AB AD ⊥，如图，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，设,,,,,0AB a AD b AP c a b c ===>，由题意可得===211a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则()()()()()0,0,0,2,0,0,2,1,0,0,1,0,0,0,1A B C D P ，可得()()()()0,1,0,2,0,1,2,0,0,0,1,1BC PB DC PD ==-==-，设平面PBC 的法向量为()1111,,n x y z = ，则11111020n BC y n PB x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令11x =，则110,2y z ==，可得()11,0,2n =；设平面PCD 的法向量为()2222,,n x y z = ，则222220n DC x n PD y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令21y =，则220,1x z ==，可得()20,1,1n =；则121212cos ,5n n n n n n ⋅===⋅，由题意可知：二面角B PC D --为钝角，所以二面角B PC D --的余弦值为5-.【小问3详解】设平面PBD 的法向量为(),,m x y z = ，则20m PB x z m PD y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，则2y z ==，可得()1,2,2m =，所以点C 到平面PBD 的距离23m DC d m ⋅==.18.一只不透明的口袋中放有形状､大小完全相同的4个黑球和2个白球，若每次摸一个球后，观察其颜色，再放回袋中，摸到黑球得1分，摸到白球得1-分，用随机变量η表示k 次摸球后得1分的总次数，用随机变量X 表示k 次摸球后总得分.（1）若摸球100次.①求η的数学期望；②求X 的数学期望；（2）当摸球次数k 为何值时，4X =的概率取得最大值.【答案】（1）①()2003E η=；②()1003E X =（2）当摸球次数8k =时，4X =的概率取得最大值【解析】【分析】（1）①分析可知2,3B k η⎛⎫~ ⎪⎝⎭，结合二项分布的期望公式运算求解；②分析可知2X k =-η，结合期望的性质运算求解；（2）设摸到白球的次数为m ∈N ，可得24k m =+，()4424214C 33m mmm P X +++⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，列式求最值即可.【小问1详解】①由题意可知：每次摸到黑球的概率均为4263p ==，即得1分的概率均为23p =，则2~100,3B η⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以η的数学期望()220010033E η=⨯=；②因为()1002100X ηηη=--=-，所以X 的数学期望()()()100210021003E X E E ηη=-=-=.【小问2详解】设摸到白球的次数为m ∈N ，则摸到黑球的次数为4m +，则24k m =+，则()()44442424222144C1C 3333m m m mm m m m P X P m η++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意可得：5145426243143422242121C C 33332121C C 3333m m m mm m m m m m m mm m m m ++++++++-+++++⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，解得54m -≤≤，且*m ∈N ，可得2m =，所以当摸球次数824k m =+=时，4X =的概率取得最大值.19.已知函数()1lnxf x x-=.（1）若()()F x mx f x =-在其定义域内单调递增，求实数m 的取值范围；（2）若()()()G x x a f x =-.①是否存在实数a 使得()G x 的图象为轴对称图形，若存在，求a 的值，若不存在，说明理由；②函数()1H x G x ⎛⎫=⎪⎝⎭在()2,+∞上有且仅有一个极值点，求正实数a 的取值范围.【答案】（1）4m ≥-（2）①存在，12a =；②102a <<.【解析】【分析】（1）求导得11()1F x m x x'=-+-，转化为()0F x '≥对(0,1)x ∈恒成立，再分离参数求出右边的最大值即可；（2）①猜测12a =时，对称轴为12x =，再根据函数对称性的证明方法证明即可；②对()H x 求导再因式分解出2()ln(1)1ax xm x x x -=-+-，再次求导，然后对a 进行合理的分类讨论，最后结合零点存在性定理即可得到答案.【小问1详解】由题可知，()()1ln ln(1)ln xF x mx f x mx mx x x x-=-=-=--+，令10xx->，解得01x <<，则()F x 得定义域为()0,1，11()1F x m x x '=-+-，由题意知()0F x '≥对(0,1)x ∈恒成立，即21m x x≥-，对(0,1)x ∈恒成立，令2211()1124g x x x x ==-⎛⎫--⎪⎝⎭，则根据二次函数性质知()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.则有max 1()42g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，4m ∴≥-.【小问2详解】①()G x 定义域为(0,1)，猜测()G x 对称轴为12x =，此时12a =，下证结论成立.111122ln ln 112222x xG x x x G x x x -+⎛⎫⎛⎫+=⋅=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-，∴存在12a =，使得()G x 关于12x =对称.②1()ln(1),()H x a x H x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭定义域为(2,)+∞，2221111()ln(1)ln(1)11ax x H x x a x x x x x x ⎡⎤-⎛⎫=-⋅-+-⋅=--+ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦'，令2()ln(1)1ax xm x x x -=-+-，222(21)(12)()(1)(1)ax a x x ax a m x x x --+-'==--，当0a >时，120,()0,()ax a m x m x '+->>在(2,)+∞上单调递增，(2)2(21)m a =-.若12a ≥，则有()0m x >，此时21()()0,()H x m x H x x '=-⋅<在(2,)+∞上单调递减，无极值，若10,(2)2(21)02a m a <<=-<，当2x >时，21()ln(1)ln(1)ln(1)11111x ax x m x x x x x x x x =--+>--=-------，()222211e 1ln e 110e e m +>--=->，又()m x 在(2,)+∞上单调递增，()202,e 1x ∴∃∈+，使得()00m x =.且有()02,x x ∈时()0m x <，()20,e 1x x ∈+时()0m x >，则0x x =为()H x 的唯一极值点.综上，102a <<.【点睛】关键点点睛：本题第二问第一小问的关键可以采用先猜后证，第二小问直接求导后一定要提出公因式21x -，然后再求导以降低计算量，最后再对a 进行合理地分类讨论即可.。
2022-2023学年江苏省南京市高二下学期期末数学试题2【含答案】
2022-2023学年江苏省南京市高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}260A x x x =--<，{}230B x x =+>，则A B = （）A ．32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．3,32⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】解出集合,A B ，根据交集含义即可得到答案.【详解】由题意得()2,3A =-，3,2B ⎛⎫=-+∞ ⎪⎝⎭，则3,32A B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选：C ．2．设,a b R ∈，则“0ab=”是“复数a bi +为纯虚数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据复数的概念和充分必要条件的概念可得选项.【详解】当0ab=时，0a =且0b ≠，所以复数a bi +为纯虚数；当复数a bi +为纯虚数时，0a =且0b ≠，所以0ab=，所以“0ab=”是“复数a bi +为纯虚数”的充分必要条件，故选：C.3．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中{},1,2,3,4,5,6a b ∈，若1a b -≤，就称“甲、乙心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A ．19B ．29C ．718D ．49【答案】D【分析】由题意，样本点总数为36，可列举出满足条件的样本点共16个，由古典概型的概率公式，即得解【详解】记“|a －b |≤1”为事件A ，由于a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，则事件A 包含的样本点有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16个，而依题意得，样本点总数为36，且每个样本点出现的可能性相等．因此他们“心有灵犀”的概率P ＝1636＝49.故选：D4．已知公差0d ≠的等差数列{}n a 满足11a =，且2a ，42a -，6a 成等比数列，若正整数m ，n 满足10m n -=，则m n a a -=（）A ．10B ．20C ．30D ．5或40【答案】C【分析】由已知利用等差数列的通项公式结合等比数列的性质列式求解d ，再由等差数列的通项公式求解得选项.【详解】由题知()24262a a a -=，因为{}n a 为等差数列，所以()()()231115d d d -=++，又0d ≠，则3d =，从而()30m n a a m n d -=-=.故选：C ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的性质，属于基础题.5．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，2MA AB BC ===，则该鳖臑的外接球的表面积为（）A ．8π3B ．12πC ．8πD ．82π3【答案】B【分析】设MC 的中点为O ，由题意可得MC 为Rt MAC 和Rt MBC 的斜边，从而可得点O 为鳖臑的外接球的球心，即可求得鳖臑的外接球的半径，从而可求表面积.【详解】设MC 的中点为O ，如图所示，由2AB BC ==，且ABC 为直角三角形，可得90ABC ∠=︒，由MA ，AB ，BC 两两垂直，可知MC 为Rt MAC 和Rt MBC 的斜边，故点O 到点M ，A ，B ，C 的距离相等，故点O 为鳖臑的外接球的球心，设鳖臑的外接球的半径为R ，由2222(2)MA AB BC R ++=，可得24444R ++=，解得3R =，故该鳖臑的外接球的表面积为24π12πR =．故选：B ．6．已知直线x y a +=与圆224x y +=交于A 、B 两点，O 为坐标原点，3OA OB OA OB +=-，则实数a 的值为（）A ．2±B ．2±C ．3±D ．6±【答案】D【分析】根据向量关系可得2OA OB ⋅=uur uuu r，即AOB 为等边三角形，由此可得圆心到直线距离为3，建立方程求得结果.【详解】由3OA OB OA OB +=- 得：()()223OA OBOA OB +=- ，又O 为圆224x y +=的圆心，则2OA OB == ，所以2OA OB ⋅=uur uuu r，所以cos 2OA OB AOB ⋅⋅∠= ，即1cos 2AOB ∠=，所以3AOB π∠=，所以AOB 为等边三角形，则O 到直线x y a +=的距离为：3d =，即22311a d -==+6a ⇒=±，故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的相关问题，关键是能够利用向量的关系得到向量间的夹角，从而能将问题转化为点到直线的距离问题.7．已知P 为矩形ABCD 所在平面内一点，4,3,5,25AB AD PA PC ====，则PB PD =（）A ．0B ．-5或0C ．5D ．-5【答案】A【分析】根据给定条件，确定,PA PC的关系，再借助向量的线性运算及数量积运算律计算作答.【详解】在矩形ABCD 中，4,3AB AD ==，则2222225AC AB BC PA PC =+==+，即有90APC ∠= ，0PC PA ⋅=uur uuu r，又AB AD AC +=，所以2()()()PB PD PA AB PA AD PA PA AB AD AB AD ⋅=+⋅+=+⋅++⋅ 25)(055PA AC PA AP AP PC AP PC =++==-+⋅=+⋅⋅.故选：A8．已知函数()()sin 3cos 033f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=+-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间3,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，且在区间[]0,2π内恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是（）A ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】化简函数()y f x =的解析式为()2sin f x x ω=，结合函数()y f x =的单调性与最值可得出关于实数ω的不等式组，进而可求得实数ω的取值范围.【详解】()sin 3cos 2sin 2sin 3333f x x x x x ππππωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，由于函数()y f x =在区间3,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，当3,42x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，342x πωπωω-≤≤，30,42πωπω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且正弦函数sin y x =在0x =附近单调递增，所以，函数()y f x =在3,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则3,,4222πωπωππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以，342220πωππωπω⎧-≥-⎪⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎪⎩，解得203ω<≤.当[]0,2x π∈时，02x ωπω≤≤，由于函数()y f x =在区间[]0,2π内恰好取得一次最大值2，所以，5222πππω≤<，解得1544ω≤<.综上所述，实数ω的取值范围是12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性与最值求参数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、多选题9．在研究某品牌汽车的使用年限x （单位：年）与残值y （单位：万元）之间的关系时，根据调研数据得到如下的对应值表：x 246810y1716141311利用最小二乘法，得到回归直线方程为=18ˆ.ˆ7ybx +，下列说法正确的是（）A ．x 与y 的样本相关系数0r >B ．回归直线必过点(6,14.2)C ．ˆ0b<D ．预测该品牌汽车使用20年后，残值约为2万元【答案】BC【分析】由数据知y 随x 的增大呈递减的趋势，结合相关系数的性质及回归直线的性质依次判断即可.【详解】y 随x 的增大呈递减的趋势，所以x 与y 为负相关关系，所以x 与y 的样本相关系数0r <，回归直线方程为ˆˆ18.7ybx =+的ˆ0b <，因为24681065x ++++==，171614131114.25y ++++==，回归直线ˆˆ18.7y bx =+必过点(6,14.2)，所以ˆ14.2618.7b=+，得ˆ0.75b =-，当20x =时，ˆ0.752018.7 3.7y =-⨯+=（万元），综上，正确答案为B ，C.故选：BC.10．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数.用x 表示红色骰子的点数，用y 表示绿色骰子的点数，用(,)x y 表示一次试验的结果.定义事件A 为“7x y +=”，事件B 为“xy 为奇数”，事件C 为“3x >”，则下列结论正确的是（）A ．A 与B 互斥B ．A 与B 对立C ．()13P B C =D ．A 与C 相互独立【答案】AD【分析】利用对立事件、互斥事件、相互独立事件的定义直接求解．【详解】解：定义事件：A =“7x y +=”，事件B =“xy 为奇数”，事件C =“3x >”，对于A ，事件：A =“7x y +=”包含的基本事件有：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，事件B =“xy 为奇数”，包含的基本事件有：(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，A 与B 不能同时发生，是互斥事件，故A 正确；对于B ，A 与B 不能同时发生，能同时不发生，不是对立事件，故B 错误；对于C ，(,)x y 的所有可能结果如下表：1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4.3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)P （C ）181362==，31()3612P BC ==，()1(|)()6P BC P B C P C ==，故C 错误；对于D ，P （A ）61366==，P （C ）181362==，31()3612P AC ==，()P AC P =（A ）P （C ），A 与C 相互独立，故D 正确．故选：AD ．11．已知0,0,1a b a b >>+=，则下列结论正确的是（）A ．22a b ab +的最大值为14B ．+a b 的最大值为1C ．22a b ab ++的最小值为743+D ．1422a b a b+++的最小值为3【答案】AC【分析】根据均值不等式及不等式等号成立的条件判断ACD ，取特例判断B 即可得解.【详解】0,0,1a b a b >>+= .对于()2221A,24a b a b ab ab a b ab +⎛⎫+=+=≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号，故A 正确；对于B ，当12a b ==时，21a b +=>，故B 错误；对于()()222234343434C,7743a b a b a b a b a b a b ab ab ab b a b a b a ++++++⎛⎫⎛⎫===+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当34a b b a=时取等号，故C 正确；对于D ，()()()421414112225322223322a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫++⎛⎫⎡⎤+=+⋅+++=++≥⎢⎥⎪ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，但是当()42222a b a b a b a b++=++时，0a =不符合题意，故等号不成立，故D 错误.故选：AC.12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，(1)f x +是奇函数，且(1)()2f x g x -+=，()(3)2f x g x +-=，则（）A ．()f x 为奇函数B ．(0)2g =C ．201()40k f k ==∑D ．201()40k g k ==∑【答案】BD【分析】根据已知等式关系结合函数的奇偶性与对称性即可求得函数(),()f x g x 均是周期为4的周期函数，利用周期性与对称性计算，逐项判断即可得答案.【详解】因为()(3)2f x g x +-=，所以(3)()2f x g x ++=，又(1)()2f x g x -+=，则有(3)(1)f x f x +=-；因为(1)f x +是奇函数，所以(1)(1)f x f x -+=-+，可得()1(3)f x f x +=-+，即有(2)()f x f x +=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期为4的周期函数，故()g x 也是周期为4的周期函数，因为()(2)f x f x --=+，所以()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，故A 错误；由(1)f x +是奇函数，则(1)f 0=，所以(3)f 0=，又(2)f (4)f +(2)f =(0)0f +=，所以[]201()5(1)(2)(3)(4)0k f k f f f f ==+++=∑，所以C 选项错误；由f (1)0=，得(0)2g =，所以B 选项正确；因为(2)2(5)2(1)2g f f =-=-=，[][][](1)(3)2(4)2(6)4(4)(2)4g g f f f f +=-+-=-+=，所以(0)(1)(2)(3)g g g g +++8=，所以[]201()5(0)(1)(2)(3)5840k g k g g g g ==+++=⨯=∑，所以D 选项正确．故选：BD ．三、填空题13．61(3)x x-的展开式中的常数项为___．【答案】-540【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令x 的指数为0,求出r 的值,将r 的值代入通项,求出常数项.【详解】:613x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6316(1)3r r r rr T C x --+=-令30r -=得3r =所以展开式的常数项为3363540C -=-故答案为540-【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C rn rr r n T ab -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14．幂函数()()R af x x a =∈满足：任意x ∈R 有()()f x f x -=，且()()122f f -<<，请写出符合上述条件的一个函数()f x =．【答案】23x （答案不唯一）【分析】取()23f x x =，再验证奇偶性和函数值即可.【详解】取()23f x x =，则定义域为R ，且()()()2233f x x x f x =-=-=，()11f -=，()233224f ==，满足()()122f f -<<.故答案为：23x .15．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点分别为1F ，2F ，A 为双曲线C 的右支上一点，点A 关于原点O 的对称点为B ，满足1260F AF ∠=︒，且222BF AF =，则双曲线C 的离心率为.【答案】3【分析】由对称性和双曲线定义得到14AF a =，22AF a =，122F F c =，在12AF F △中，1260F AF ∠=︒，由余弦定理列出方程，求出3c a =，得到离心率.【详解】由对称性可知：21BF AF =，故122AF AF =，由双曲线定义可知：122AF AF a -=，即22222AF AF AF a -==，所以14AF a =，又因为122F F c =，在12AF F △中，由余弦定理得：222121212121cos 22F A F A F F F AF F A F A+-∠==⋅，即22222216442041242162a a c a c a a a +--==⨯⨯，解得：3c a =，故离心率为3ca=.故答案为：316．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin sin αβ，则tan α的最大值是．【答案】24【详解】由已知得sin α＝cos(α＋β)sin β＝cos αcos βsin β－sin αsin βsin β，两边同除以cosα，并整理得tan α＝＝＝，∵α，β均为锐角，∴可以看成是单位圆的下半圆上的动点(cos 2β，－sin 2β)与定点(3，0)连线的斜率，其最大斜率为＝.四、解答题17．如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A ，B 两点，且OA OB ⊥.(1)求()()πsin πcos 23πcos πsin 2αββα⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的值；(2)若点A 的横坐标为13，求()sin 2αβ+的值.【答案】(1)1-；(2)2327-.【分析】(1)根据给定条件可得2πβα=+，再利用诱导公式化简计算作答.(2)由给定条件求出sin ,cos αα，再利用和角公式、倍角公式计算作答.【详解】（1）依题意，(0)22ππβαα=+<<，所以πsin(π)cos()sin cos()sin (cos )213πsin (cos )cos(π)sin()cos()(cos )22αβαπαααπααβααα++-+--===---+--.（2）因点A 的横坐标为13，而点A 在第一象限，则点122(,)33A ，即有221sin ,cos 33αα==，于是得42sin 22sin cos 9ααα==，227cos2cos sin 9ααα=-=-，1sin sin()cos 23πβαα=+==，22cos cos()sin 23πβαα=+=-=-，所以()42227123sin 2sin 2cos cos 2sin ()()939327αβαβαβ+=+=⨯-+-⨯=-.18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．(1)从下面两个条件中选一个，证明：数列{}n a 是等差数列；①数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；②()()*12n n n a S n +=∈N (2)若数列{}n a 为等差数列，且11a =，35a =，求数列(2)n nn S ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】(1)证明见解析(2)()()3234212n n T n n +=-++【分析】（1）选择条件①，利用n a 与n S 的关系式和等差中项的性质即可得证；选择条件②，设数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的首项为1b ，公差为p ，求出n S ，表示出n a ，即可得证.（2）由（1）根据已知得出()111222n n n S n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，然后利用裂项相消法即可求解.【详解】（1）选择条件①：()()*12n n n a S n +=∈N ，()112,211n n n n S na n S n a n ++∴=+=+++，两式相减可得()11211n n n a n a na ++=+-+，即()111n n na n a +-=-，()1211n n n a na ++∴+-=，两式相减可得()()12111n n n n n a na na n a ++++-=--，化简可得()122n n n na n a a ++=+，122n n n a a a ++∴=+，∴数列{}n a 是等差数列．选择条件②：设数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的首项为1b ，公差为p ，则11(1)n S b n p np b p n=+-=+-，故()21n S pn b p n =+-，当2n ≥时，1n n n a S S -=-()()()()221111pn b p n p n b p n =+------()121b n p =+-，当1n =时，111a S b ==，()121n a b n p ∴=+-，又11122(1)2n n a a b np b n p p +-=+---=．∴数列{}n a 是等差数列．（2） 数列{}n a 是等差数列，且公差3122a a d -==，∴21(1)(1)222n n n n n S na d n n --=+=+⨯=．()()11112222n n n S n n n n ⎛⎫∴==- ⎪+++⎝⎭，故1111111111112322423522n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111111112324352n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪+⎝⎭ 1111(1)2212n n =+--++3111323()421242(1)(2)n n n n n +=-+=-++++．19．为深入学习党的二十大精神，我校团委组织学生开展了“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如下：成绩（分）[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人数242240284(1)求抽取的100名学生竞赛成绩的方差2s （同一组中数据用该组区间的中点值为代表）；(2)以频率估计概率，发现我校参赛学生竞赛成绩X 近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均分x ，2σ近似为样本方差2s ，若2μσμσ-<≤+X ，参赛学生可获得“参赛纪念证书？”；若2μσ>+X ，参赛学生可获得“参赛先锋证书”.①若我校有3000名学生参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数（结果保留整数）；②试判断竞赛成绩为96分的学生能否获得“参赛先锋证书”.附：若()2~,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈，(33)0.9973P X μσμσ-<≤+≈；抽取的这100名学生竞赛成绩的平均分75x =.【答案】(1)100(2)①2456②能获得“参赛先峰证书”【分析】（1）利用公式直接求出方差即可；（2）①结合给的概率和正态分布的性质，确定获得“参赛纪念证书”，进而计算可得人数；②利用正态分布的知识求出2μσ>+X ，即95>X ，进而可得结果.【详解】（1）由题意，抽取的这100名学生竞赛成绩的平均分75x =，所以100名学生本次竞赛成绩方差22222422(4575)(5575)(6575)100100100=-⨯+-⨯+-⨯s 22240284(7575)(8575)(9575)100100100100+-⨯+-⨯+-⨯=；（2）①由于μ近似为样本成绩平均分x ，2σ近似为样本成绩方差2s ，所以275,100μσ==，可知，10010σ==，由于竞赛成绩X 近似地服从正态分布()2,N μσ，因此竞赛学生可获得“参赛纪念证书”的概率(2)P X μσμσ-<≤+11()(22)22μσμσμσμσ=-<≤++-<≤+P X P X 110.68270.95450.818622≈⨯+⨯=，所以30000.81862455.82456⨯=≈，故估计获得“参赛纪念证书”的学生人数为2456，②当2μσ>+X 时，即95>X 时，参赛学生可获得“参赛先锋证书”，所以竞赛成绩为96分的学生能获得“参赛先峰证书”.20．如图，PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=︒，//PM BC ，12PM PC AC BC ====，，又120ACB ∠=︒，AB PC ⊥．(1)求证：平面PAC ⊥平面ABC ；(2)求二面角M AC B --的平面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)217【分析】（1）根据两平面垂直的判定定理证明即可；（2）解法一：（几何法）作辅助线MN 和NH ，根据三垂线定理判断出MHN ∠为二面角M AC B --的平面角，然后计算；解法二：（向量法）建立空间直角坐标系C xyz -，写出各点的坐标，分别求出两个平面的法向量，进而求出二面角M AC B --的平面角的余弦值.【详解】（1）PC AB ⊥ ，PC BC ⊥，AB BC B = ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PC ∴⊥平面ABC ，又PC ⊂ 平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABC ．（2）解法一：（几何法）取BC 的中点N ，则1CN =，连接AN ，MN ，//PM CN ，PM CN=//MN PC ∴，MN PC =，从而MN ⊥平面ABC .作NH AC ⊥，交AC 的延长线于H ，连接MH ，因为AC ⊂平面ABC ，所以MN AC ⊥.又NH MN N = ，NH ⊂平面MNH ，MN ⊂平面MNH ，所以AC ⊥平面MNH ，又MH ⊂平面MNH ，所以AC MH ⊥，MHN ∴∠为二面角M AC B --的平面角.在CNH △中，33·sin 122NH CN NCH =∠=⨯=，在MNH △中，222237122MH NH MN ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭，则21cos 7NH MHN MH ∠==．二面角M AC B --的平面角为锐角，故二面角M AC B --的平面角的余弦值为217.解法二：（向量法）在平面ABC 内，过C 作CD CB ⊥，建立空间直角坐标系C xyz -（如图）由题意有31(,,0)22A -，(0,1,1)M ，()310,1,1,,,022CM CA ⎛⎫∴==- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面MAC 的一个法向量为111(,,)n x y z = ，则·0n CM = ，·0n CA = ，∴1111031022y z x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，取11x =，得()1,3,3n =- .平面ABC 的法向量取为()0,0,1m = .设m 与n 所成的角为θ，则321cos 717θ-==-⨯.又二面角M AC B --的平面角为锐角，故二面角M AC B --的平面角的余弦值为217．21．从甲､乙､丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.(1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量X ，求X 的分布列；(2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记n 次传球后球在甲手中的概率为,1,2,3,n p n = ，①直接写出123p p p ，，的值；②求1n p +与n p 的关系式*()n N ∈，并求n p *()n N ∈.【答案】(1)分布列见解析(2)①10p =，212p =，314p =；②111,1,2,322n n p p n +=-+=；11(1)132n n -⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由离散型随机变量的分布列可解；（2）记n A 表示事件“经过n 次传球后，球在甲手中”，由全概率公式可求111,22n n p p +=-+再由数列知识，由递推公式求得通项公式.【详解】（1）X 可能取值为1,2,3，()1232353110C C p X C ===；()213235325C C p X C ===；()3032351310C C p X C ===所以随机变量X 的分布列为X123P 31035110（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且n 次传球后球在甲手中的概率为,1,2,3,n p n = ，则有10,p =2221,22p ==3321,24p ==记n A 表示事件“经过n 次传球后，球在甲手中”，111n n n n n A A A A A +++=⋅+⋅所以()()()11111n n n n n n n n n p P A A A A P A A PA A +++++=⋅+⋅=⋅+⋅()()()()()()111110122n n n n n n n n n P A P A A P A P A A p p p ++=⋅+⋅=-⋅+⋅=-∣∣即111,1,2,322n n p p n +=-+=，所以1111323n n p p +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，且11133p -=-所以数列13n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭表示以13-为首项，12-为公比的等比数列，所以1111332n n p -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭所以1111111132332n n n p --⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯-+=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即n 次传球后球在甲手中的概率是11(1)132n n -⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦.22．已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的离心率为223，x 轴被抛物线22:4x C y b =-截得的线段长与1C 长轴长的比为2:3.(1)求1C ､2C 的方程；(2)设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A ､B ，直线MA ､MB 分别与1C 相交与D ､E .（i ）设直线MD ､ME 的斜率分别为1k ､2k ，求12k k 的值；（ii ）记MAB △､MDE 的面积分别是1S ､2S ，求12S S 的最小值.【答案】(1)221:19x C y +=，221:14C y x =-；(2)（i ）1214k k =-；（ii ）169324.【分析】（1）解204x b -=，即可得出x 轴被抛物线截得的线段长，进而列出方程组，求解即可得出答案；（2）联立直线l 与抛物线的方程，得到2440x kx --=，根据韦达定理，即可得出斜率之间的关系，求出12k k 的值；联立方程组，表示出各个点的坐标.结合图象，将三角形的面积之比转化为坐标关系，即可得出表达式211221481919811616S k S k ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，然后根据基本不等式即可得出最小值.【详解】（1）解204x b -=，可得2x b =±，所以，x 轴被抛物线22:4x C y b =-截得的线段长为4b .由已知可得，2222234223a b c c a b a⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得，1322b a c =⎧⎪=⎨⎪=⎩.所以，椭圆的方程为221:19x C y +=，抛物线的方程为221:14C y x =-.（2）（i ）由（1）知，()0,1M -.设直线l 的方程为y kx =，()11,A x y ，()22,B x y .联立直线l 与抛物线的方程2114y kx y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩，可得2440x kx --=，则121244x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩.又111114y x k x +==，222214y x k x +==，所以12121164x x k k ==-.（ii ）联立直线MA 与抛物线的方程12114y k x x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，可得2140x k x -=，则114x k =.同理：224x k =.设()33,D x y ，()44,E x y .联立直线MA 与椭圆的方程1221990y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，可得()221191180k x k x +-=，则13211891k x k =+，同理可得，24221891k x k =+.由图象知，13MA x MD x =，24MB x ME x =，AMB DME ∠=∠，所以，121sin 21sin 2MA MB AMB S S MD ME DME ∠=∠121234341sin 21sin 2x x AMB x x x x x x AMB ∠==∠()()12221221222121649191811819191k k k k k k k k ==++⋅++2121481916919811616324k k ⎛⎫=+++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当112k =±时，取等号所以，12S S 的最小值为169324.【点睛】方法点睛：联立方程组，表示出各个点的坐标.结合图象，将三角形的面积之比转化为坐标关系，即可得出表达式.。
2022-2023学年江苏省扬州市高二(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省扬州市高二（下）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣15＜0}，B ＝{x |x ＝3k ﹣2，k ∈Z }，则集合A ∩B 中元素的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．若命题“∃x ∈R ，x 2+1≤m ”是假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，1]B ．（﹣∞，1）C ．[1，+∞）D ．（1，+∞）3．已知直线l 的方向向量为e →=（2，﹣1，2），平面α的法向量为n →=（﹣2，a ﹣b ，a +b ）（a ，b ∈R ）．若l ⊥α，则a +3b 的值为（ ） A ．﹣5B ．﹣2C ．1D ．44．已知函数f(x)={|x +1|，x ≥0，−(12)x ，x ＜0，若f （2a ）＜f （6﹣a ），则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣2，+∞）B ．（﹣∞，﹣2）C ．（2，+∞）D ．（﹣∞，2）5．某小吃店的日盈利y （单位：百元）与当天平均气温x （单位：°C ）之间有如下数据：经分析知，y 与x 之间有较强的线性关系，其线性回归直线方程为y =−x +2.8，则a ＝（ ） A ．3B ．2.8C ．2D ．16．函数f(x)=x 3−sinxx 5在x ∈[﹣π，0）∪（0，π]上的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．7．已知（2x ﹣1）10＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 10x 10，则a 1+2a 2+3a 3+…+10a 10＝（ ）A ．0B ．1C ．10D ．208．已知偶函数f （x ）满足f （4+x ）＝f （4﹣x ），f （0）＝﹣1，且当x ∈（0，4]时，f(x)=lnxx．若关于x 的不等式f （x ）＞a 在[﹣48，48]上有且只有60个整数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，0] B ．[0，ln22)C ．(−1，ln22) D ．[ln22，ln33) 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9．已知X ～N （90，σ2）（σ＞0），则（ ） A ．P （X ＜90）＝0.5B ．P （70＜X ＜80）＝P （110＜X ＜120）C ．P （X ＜60）＝P （X ＞120）D ．若σ越大，则P （75＜X ＜105）越大10．某班准备举行一场小型班会，班会有3个歌唱节目和2个语言类节目，现要排出一个节目单，则下列说法正确的是（ ）A ．若3个歌唱节目排在一起，则有6种不同的排法B ．若歌唱节目与语言类节目相间排列，则有12种不同的排法C ．若2个语言类节目不排在一起，则有72种不同的排法D ．若前2个节目中必须要有语言类节目，则有84种不同的排法 11．下列命题中正确的是（ ） A ．∀x ∈(0，13)，(12)x ＜log 13xB ．函数y =1−2xx−1在区间（1，+∞）内是减函数C ．若函数f （x ）＝|2x ﹣2|﹣b 有两个零点，则实数b 的取值范围是0＜b ＜2D ．函数f （x ）＝x α的图像经过点（4，2），当0＜x 1＜x 2时，f(x 1)+f(x 2)2＜f(x 1+x 22)12．如图，设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 为线段A 1D 1的中点，F 为线段CC 1上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）A ．当F 为CC 1的中点时，点B 1到平面AEF 的距离为1029√29B ．当F 为CC 1的中点时，记DB 1与平面AEF 的交点为M ，则DM =49DB 1C ．存在F ，使得异面直线DB 1与BF 所成的角为45°D ．存在F ，使得点F 到直线AE 的距离为125三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．直线y =12x +b 是曲线y ＝lnx 的一条切线，则实数b 的值为 ．14．已知平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则|BD 1→|= ．15．现调查某地区某种野生动物的数量，将该地区分成面积相近的200个地块，从这些地块中简单随机抽样的方法抽取20个作为样本，调查得到样本数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，20），其中x i 、y i 分别表示第i 个样本的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，构造向量a →=(x 1−x ，x 2−x ，⋯，x 20−x)，b →=(y 1−y ，y 2−y ，⋯，y 20−y)，其中x =x 1+x 2+⋯+x 2020，y =y 1+y 2+⋯+y 2020，并计算得∑ 20i=1x i=60，∑ 20i=1y i=1200，∑ 20i=1x i y i=4400，|a →|=9，|b →|=100，由选择性必修二教材中的知识，我们知道n 对数据的相关系数r =cos〈a →，b →〉，则上述数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，20）的相关系数r ＝ ．16．五一小长假，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去某景点游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：一个会走路的机器人从一数轴上的点出发沿该数轴行走，游客可以设定机器人总共行走的步数n ，机器人每一步会随机选择前或向后行走，且每一步的距离均为一个单位，设机器人走完设定的n 步后所在位置对应数为随机变量X n ，则P （X 6＝0）＝ ，D （X n ）＝ ．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知集合M ＝{x |14≤2x ≤16}，N ＝{x ||x ﹣2|≤m }，其中m ＞0．（1）若m ＝3，求M ∩N ；（2）若“x ∈M ”是“x ∈N ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 18．（12分）在(√x2−1√x4)n (n ≥3，n ∈N ∗)的展开式中，_____．给出下列条件： ①若前三项的二项式系数之和为46； ②若所有奇数项的二项式系数之和为256； ③若第7项为常数项．试在这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题： （1）求n 的值；（2）求展开式中所有的有理项．19．（12分）在1，2，3，4，5，6，7这7个自然数中．（1）每次取一个数，取后放回，共取3次，设X 为取到奇数的次数，求X 的数学期望； （2）任取3个不同的数，设Y 为其中奇数的个数，求Y 的概率分布．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，AA 1＝AB ＝3，D ，E 分别为BC ，B 1C 1上的点，且BD BC=C 1E C 1B 1=t(0＜t ＜1)．（1）若t =12，求证：AD ∥平面A 1BE ；（2）若t ＞12，直线A 1C 与平面A 1BE 所成角的正弦值为√63，求二面角C 1﹣AD ﹣C 的余弦值．21．（12分）某电影平台为了解观众对某影片的感受，已知所有参评的观众中男、女之比为2：1，现从中随机抽取120名男性和60名女性进行调查，抽取的男观众中有80人给了“点赞”的评价，女观众中有45人给了“一般”的评价．（1）把下面2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为对该影片的评价与性别有关？（2）用频率估计概率，在所有参评的观众中按“男”和“女”进行分层抽样，随机抽取6名参评观众． ①若再从这6名参评观众中随机抽取1人进行访谈，求这名观众给出“点赞”评价的概率；②若再从这6名参评观众中随机抽取2人进行访谈，求在抽取的2人均给出“点赞”的条件下，这2人是1名男性和1名女性的概率．参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．参考数据：22．（12分）已知a为实数，函数f（x）＝e x﹣1+alnx．（1）若函数f（x）在区间（1，2）上存在极值点，求a的取值范围，并说明是极大值点还是极小值点；（2）若f（x）＞（a+1）x﹣a对x＞1恒成立，求a的取值范围．2022-2023学年江苏省扬州市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣15＜0}，B ＝{x |x ＝3k ﹣2，k ∈Z }，则集合A ∩B 中元素的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解：集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣15＜0}＝{x |﹣3＜x ＜5}，B ＝{x |x ＝3k ﹣2，k ∈Z }＝{…，﹣5，﹣2，1，4，7，…}， 则集合A ∩B ＝{﹣2，1，4}， ∴集合A ∩B 中元素的个数为3． 故选：C ．2．若命题“∃x ∈R ，x 2+1≤m ”是假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，1]B ．（﹣∞，1）C ．[1，+∞）D ．（1，+∞）解：∵命题“∃x ∈R ，x 2+1≤m ”是假命题， ∴命题“∀x ∈R ，x 2+1＞m 恒成立”为真命题， ∵∀x ∈R ，x 2+1≥1， ∴m ＜1，即实数m 的取值范围是（﹣∞，1）． 故选：B ．3．已知直线l 的方向向量为e →=（2，﹣1，2），平面α的法向量为n →=（﹣2，a ﹣b ，a +b ）（a ，b ∈R ）．若l ⊥α，则a +3b 的值为（ ） A ．﹣5B ．﹣2C ．1D ．4解：直线l 的方向向量为e →=（2，﹣1，2），平面α的法向量为n →=（﹣2，a ﹣b ，a +b ）， 因为l ⊥α，所以e →∥n →，即n →=λe →，λ∈R ；所以{−2=2λa −b =−λa +b =2λ，解得λ＝﹣1，a =−12，b =−32，所以a +3b =−12−92=−5．故选：A ．4．已知函数f(x)={|x +1|，x ≥0，−(12)x ，x ＜0，若f （2a ）＜f （6﹣a ），则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣2，+∞）B ．（﹣∞，﹣2）C ．（2，+∞）D ．（﹣∞，2）解：由题意知，当x ≥0时，f （x ）＝x +1，此时函数f （x ）单调递增； 当x ＜0时，f （x ）=−(12)x ，此时函数f （x ）单调递增， 且f （0）＝1，所以函数f （x ）在R 上单调递增． 又因为f （2a ）＜f （6﹣a ）， 所以2a ＜6﹣a ， 解得a ＜2，所以a 的取值范围是（﹣∞，2）． 故选：D ．5．某小吃店的日盈利y （单位：百元）与当天平均气温x （单位：°C ）之间有如下数据：经分析知，y 与x 之间有较强的线性关系，其线性回归直线方程为y =−x +2.8，则a ＝（ ） A ．3 B ．2.8C ．2D ．1解：x =−2−1+0+1+25=0，y =5+4+a+2+15=12+a5，∴样本点的中心的坐标为（0，12+a 5），代入y =−x +2.8，可得12+a 5=2.8，解得a ＝2．故选：C ． 6．函数f(x)=x 3−sinxx 5在x ∈[﹣π，0）∪（0，π]上的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．解：f （﹣x ）＝﹣x 3−−sinx −x 5=−x 3−sinxx5，则f （﹣x ）≠﹣f （x ）且f （﹣x ）≠f （x ），即函数f （x ）为非奇非偶函数，图象不是对称函数，排除C，D，当x＝π时，f（x）＝π3＞0，排除A．故选：B．7．已知（2x﹣1）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a1+2a2+3a3+…+10a10＝（）A．0B．1C．10D．20解：∵（2x﹣1）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，∴20×（2x﹣1）9＝a1x+2a2x+…+10a10x9，再令x＝1，可得a1+2a2+3a3+…+10a10＝20．故选：D．8．已知偶函数f（x）满足f（4+x）＝f（4﹣x），f（0）＝﹣1，且当x∈（0，4]时，f(x)=lnxx．若关于x的不等式f（x）＞a在[﹣48，48]上有且只有60个整数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0]B．[0，ln22)C．(−1，ln22)D．[ln22，ln33)解：∵偶函数f（x）满足f（4+x）＝f（4﹣x），∴f（4+x）＝f（4﹣x）＝f（x﹣4），即f（8+x）＝f（x），即f（x）是周期为8的周期函数，当x∈（0，4]时，f(x)=lnx x．则f′（x）=1x⋅x−lnxx2=1−lnxx2，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数，当e＜x＜4时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，即当x＝e时，f（x）取得极大值f（e）=1 e ，f（2）=ln22，f（6）＝f（6﹣8）＝f（﹣2）＝f（2）=ln22，f（4）=ln44=2ln24=ln22，即f（2）＝f（4）＝f（6），f（1）＝f（7）＝0，作出函数f（x）在一个周期内的图象如图：∵f（x）是偶函数，∴若不等式f（x）＞a在[﹣48，48]上有且只有60个整数解，等价为f（x）＞a在[0，48]上有且只有30个整数解，等为f（x）＞a在一个周期[0，8）上有且只有5个整数解即可．∵f（0）＝﹣1，∴f（0）＝f（8）＝﹣1，∴若a＜﹣1，则f（x）＞a在[0，8）上有且只有8个整数解，不满足条件．若a＝﹣1，则f（x）＞﹣1在[0，8）上有且只有7个整数解，不满足条件．当a＝0，f（x）＞0在[0，8）上有且只有2，3，4，5，6，5个整数解，满足条件．当a＝f（2）=ln22时，f（x）＞ln22在[0，8）上有且只有3，5，2个整数解，不满足条件．则要使f（x）＞a在一个周期[0，8）上有且只有5个整数解，则0≤a＜ln22，即实数a的取值范围是[0，ln22）．故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．已知X～N（90，σ2）（σ＞0），则（）A．P（X＜90）＝0.5B．P（70＜X＜80）＝P（110＜X＜120）C．P（X＜60）＝P（X＞120）D．若σ越大，则P（75＜X＜105）越大解：X～N（90，σ2）（σ＞0），μ＝90，则P（X＜90）＝0.5，P（70＜X＜80）＝P（100＜X＜110），故A正确；B错误；P（X＜90﹣30）＝P（X＞90+30），即P（X＜60）＝P（X＞120），故C正确；根据正态分布曲线，σ越大，正态分布曲线约扁平，故P（75＜X＜105）越小，故D错误．故选：AC ．10．某班准备举行一场小型班会，班会有3个歌唱节目和2个语言类节目，现要排出一个节目单，则下列说法正确的是（ ）A ．若3个歌唱节目排在一起，则有6种不同的排法B ．若歌唱节目与语言类节目相间排列，则有12种不同的排法C ．若2个语言类节目不排在一起，则有72种不同的排法D ．若前2个节目中必须要有语言类节目，则有84种不同的排法 解：A 选项，若3个歌唱节目排在一起，则有A 33=6 种情况，将3个歌唱节目看为一个整体，和2个语言类节目进行排列，则有A 33=6种情况， 综上，共有6×6＝36种情况，A 错误； B 选项，歌唱节目与语言类节目相间排列，则歌唱类节目在两端和最中间，语言类放在歌唱类节目的之间，则有A 33A 22=12种情况，B 正确；C 选项，若2个语言类节目不排在一起，则采用插空法，先安排歌唱类节目，有A 33=6种情况， 再将语言类节目插入到3个节目形成的4个空格中，有A 42=12 种， 综上，共有6×12＝72种情况，C 正确；D 选项，前2个节目都是语言类节目，此时后3个为歌唱类节目，有A 22A 33=12 种情况，前2个节目中有1个是语言类，有1个是歌唱类，则A 21A 31A 22=12种情况，剩余的3个节目进行全排列，则有A 33=6种情况则共有12×6＝72种情况，综上，有12+72＝84种不同的排法，D 正确． 故选：BCD ．11．下列命题中正确的是（ ） A ．∀x ∈(0，13)，(12)x ＜log 13xB ．函数y =1−2xx−1在区间（1，+∞）内是减函数C ．若函数f （x ）＝|2x ﹣2|﹣b 有两个零点，则实数b 的取值范围是0＜b ＜2D ．函数f （x ）＝x α的图像经过点（4，2），当0＜x 1＜x 2时，f(x 1)+f(x 2)2＜f(x 1+x 22)解：A ．当0＜x ＜13时，（12）x ＜1，而lo g 13x ＞lo g 1313=1，即∀x ∈(0，13)，(12)x ＜log 13x ，故A 正确．B ．y =1−2xx−1=−2(x−1)−1x−1=−2−1x−1，则函数在（1，+∞）内是增函数，故B 错误．C ．由f （x ）＝|2x ﹣2|﹣b ＝0，得b ＝|2x ﹣2|，作出函数y ＝|2x ﹣2|的图象，当y ＝b ∈（0，2）时，y ＝b 与y ＝|2x ﹣2|有两个不同的交点， 即实数b 的取值范围是0＜b ＜2，故C 正确．D ．函数f （x ）＝x α的图像经过点（4，2），则4α＝2，即22α＝2， 得2α＝1，得α=12，即f （x ）=x 12=√x ，则满足0＜x 1＜x 2时，f(x 1)+f(x 2)2＜f(x 1+x 22)的函数为凸函数，则由y =√x 的图象知，当x ＞0时，函数为凸函数，故D 正确． 故选：ACD ．12．如图，设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 为线段A 1D 1的中点，F 为线段CC 1上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）A ．当F 为CC 1的中点时，点B 1到平面AEF 的距离为1029√29B ．当F 为CC 1的中点时，记DB 1与平面AEF 的交点为M ，则DM =49DB 1C ．存在F ，使得异面直线DB 1与BF 所成的角为45°D ．存在F ，使得点F 到直线AE 的距离为125解：如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系．则D （0，0，0），A （2，0，） A 1（2，0，2）D 1（0，0.2），E （1，0，2）， C （0，2，0），B 1（2，2，2），B （2，2，0）C 1（0，2，2），当F 为CC 1的中点时，F （0，2，1），AE →=（﹣1，0，2），AF →=（﹣2，2，1）， 设平面AEF 的法向量为m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅AE →=−x +2z =0m →⋅AF →=−2x +2y +z =0，令z ＝1，得x ＝2，y =32， ∴平面AEF 的法向量为m →=（2，32，1），又AB 1→=（0，2，2），则点B 1到平面AEF 的距离为d =|m →⋅AB 1→||m →|=5√22+(32)2+12=10√2929，故A 正确； 对于选项B ：设DM →=λDB 1→（0≤λ≤1），则M （2，2λ，2λ），又点M 在平面AEF 内，则AM →=a AE →+b AF →，所以{−1−2b =2λ−22b =2λ2a +b =2λ，解得{a =29b =49λ=49，所以M （89，89，89），DM →=49DB 1→，所以DM =49DB 1，故B 正确；设F （0，2，t ），0≤t ≤2，则BF →=（﹣2，0，t ），DB 1→=（2，2，2）， 若异面直线DB 1与BF 所成的角为 45°， 则|cos ＜BF →，DB 1→＞|=|DB 1→⋅BF →||DB 1→|⋅|BF →|=|−4+2t|2√3×√t +4=√22，平方化简得f 2+8t +4＝0，解得t =−4±2√3，又0≤t ≤2，所以方程无解，故点F 不存在，故C 错误；AF →=（﹣2，2，t ），0≤t ≤2，AE →=（﹣1，0，2），所以|AF →⋅AE →||AE →|=√5，则点F 到直线AE 的距离为√|AF →|2−(|2+2t|√5)2=125，平方化简得5t 2﹣40r +36＝0， 解得t =4+2√555或t =4−2√555，又0≤t ≤2，所以t =4−2√555，故点F 存在，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．直线y =12x +b 是曲线y ＝lnx 的一条切线，则实数b 的值为 ln 2﹣1 ． 解：设切点为P （m ，n ）， 则n ＝lnm ，n =12m +b ， y ＝lnx 的导数为y ′=1x， 即有1m=12，解得m ＝2，n ＝ln 2，b ＝ln 2﹣1． 故答案为：ln 2﹣1．14．已知平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则|BD 1→|= 2√2 ．解：平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，因为BD 1→=AD →+AA 1→−AB →，则|BD 1→|2＝（AD →+AA 1→−AB →）2=AD →2+AA 1→2+AB →2+2AD →•AA 1→−2AD →•AB →−2AA 1→•AB →＝4+4+4+2×2×2×12−2×2×2×12−2×2×2×12−2×2×2×12=8， ∴|BD 1→|=2√2． 故答案为：2√2．15．现调查某地区某种野生动物的数量，将该地区分成面积相近的200个地块，从这些地块中简单随机抽样的方法抽取20个作为样本，调查得到样本数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，20），其中x i 、y i 分别表示第i 个样本的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，构造向量a →=(x 1−x ，x 2−x ，⋯，x 20−x)，b →=(y 1−y ，y 2−y ，⋯，y 20−y)，其中x =x 1+x 2+⋯+x 2020，y =y 1+y 2+⋯+y 2020，并计算得∑ 20i=1x i=60，∑ 20i=1y i=1200，∑ 20i=1x i y i=4400，|a →|=9，|b →|=100，由选择性必修二教材中的知识，我们知道n 对数据的相关系数r =cos〈a →，b →〉，则上述数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，20）的相关系数r ＝89．解：因为∑ 20i=1x i =60，∑ 20i=1y i =1200，所以x =3，y =60，根据夹角公式的定义r =cos(a →，b →)=a →⋅b→|a →||b →|，可得a →⋅b →=∑ 20i=1(x i −x)(y i −y)，所以∑ 20i=1（x i −x ）（y i −y ）=∑ 20i=1（x i y i −x y i −y x i +xy ）=∑ 20i=1x i y i −x ∑ 20i=1y i −y ∑ 20i=1x i +∑ 20i=1xy =∑ 20i=1x i y i ﹣20xy＝4400﹣20×3×60＝800， 所以r =cos(a →，b →)=a →⋅b→|a →||b →|=800900=89． 故答案为：89．16．五一小长假，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去某景点游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：一个会走路的机器人从一数轴上的点出发沿该数轴行走，游客可以设定机器人总共行走的步数n ，机器人每一步会随机选择前或向后行走，且每一步的距离均为一个单位，设机器人走完设定的n 步后所在位置对应数为随机变量X n ，则P （X 6＝0）＝ 516，D （X n ）＝ n ．解：设X 表示向右移动的次数，则X ～B （n ，12），若运动6步回到原点，则向左，右各移动3次，所以回到原点的概率P （X 6＝0）=C 63×(12)3×(1−12)3=516．因为机器人走完设定的n 步后所在位置对应数为随机变量X n ，X 表示向右移动的次数则n ﹣X 表示向左移动的次数，则X n ＝X ﹣（n ﹣X ）＝2X ﹣n ，X ～B （n ，12）则D （X ）＝np （1﹣p ）＝n ×12×12=n 4， 所以D （X n ）＝D （2X ﹣n ）＝4D （X ）＝4×n4=n ．故答案为：516；n ．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知集合M ＝{x |14≤2x ≤16}，N ＝{x ||x ﹣2|≤m }，其中m ＞0．（1）若m ＝3，求M ∩N ；（2）若“x ∈M ”是“x ∈N ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 解：（1）若m ＝3，则N ＝{x ||x ﹣2|≤3}＝{x |﹣1≤x ≤5}， 又∵集合M ＝{x |14≤2x ≤16}＝{x |﹣2≤x ≤4}，∴M ∩N ＝{x |﹣1≤x ≤4}；（2）集合M ＝{x |﹣2≤x ≤4}，N ＝{x ||x ﹣2|≤m }＝{x |2﹣m ≤x ≤2+m }， ∵“x ∈M ”是“x ∈N ”的充分不必要条件， ∴M ⫋N ，∴{2−m ≤−22+m ≥4，解得m ≥4， 即实数m 的取值范围[4，+∞）． 18．（12分）在(√x2−1√x4)n (n ≥3，n ∈N ∗)的展开式中，_____．给出下列条件：①若前三项的二项式系数之和为46； ②若所有奇数项的二项式系数之和为256； ③若第7项为常数项．试在这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题： （1）求n 的值；（2）求展开式中所有的有理项．解：（1）选①：由前三项的二项式系数之和为46，可得C n 0+C n 1+C n 2=46，即n 2+n ﹣90＝0，解得n ＝9或n ＝﹣10（舍去）．选②：由所有奇数项的二项式系数之和为256，可得C n 0+C n 2+C n 4+⋯=2n−1=256，解得n ＝9．选③：由二项展开式的通项为T r +1=C n r（﹣1）r （12）n ﹣rx ⬚2n−3r4，令2n−3r 4=0，则n =32r ，因为展开式中第7项为常数项，所以r ＝6，所以n ＝9． （2）因为T r +1=C 9r （﹣1）r （12）9﹣rx ⬚18−3r4，其中r ＝0，1，2， (9)所以当r ＝2或6时，可得18−3r 4为整数，所以有理项为T 3=932x 3和T 7=212．19．（12分）在1，2，3，4，5，6，7这7个自然数中．（1）每次取一个数，取后放回，共取3次，设X 为取到奇数的次数，求X 的数学期望； （2）任取3个不同的数，设Y 为其中奇数的个数，求Y 的概率分布． 解：（1）由题意得，X ～B （3，47），E （X ）＝3×47=127．（2）Y 的可能取值为0，1，2，3， P （Y ＝0）=C 33C 73=135， P （Y ＝1）=C 41C 32C 73=1235， P （Y ＝2）=C 42C 31C 73=1835， P （Y ＝3）=C 43C 73=435， ∴Y 的分布列为：20．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，AA 1＝AB ＝3，D ，E 分别为BC ，B 1C 1上的点，且BD BC=C 1E C 1B 1=t(0＜t ＜1)．（1）若t =12，求证：AD ∥平面A 1BE ；（2）若t ＞12，直线A 1C 与平面A 1BE 所成角的正弦值为√63，求二面角C 1﹣AD ﹣C 的余弦值．解：（1）证明：当t =12时，BD BC=C 1E C 1B 1=12，即点D ，E 分别为BC ，B 1C 1的中点，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，BC ∥B 1C 1，BC ＝B 1C 1，B 1E ∥BD ，B 1E ＝BD ， 所以四边形BB 1ED 为平行四边形，所以BB 1∥ED ，BB 1＝ED ，又AA 1∥BB 1，AA 1＝BB 1，所以AA 1∥ED ，AA 1＝ED ， 所以AA 1ED 为平行四边形，则AD ∥A 1E ， 又因为AD ⊄平面A 1BE ，A 1E ⊂平面A 1BE ， 所以AD ∥平面平面A 1BE ；（2）AA 1⊥平面ABC ，又∠BAC ＝90°，以A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系A ﹣xyz ，则点A （0，0，0），C 1（0，3，3）A 1（0，0，3），B （3，0，0），C （0，3，0）． 由BD BC=C 1E C 1B 1=t(0＜t ＜1)．可得E （3t ，3﹣3t ，3），所以A 1C →=0，3，﹣3），A 1B →=（3，0，﹣3），A 1E →=（0，3，﹣3）， 设平面A 1BE 的一个法向量m →=（a ，b ，c ），则{m →⋅A 1B →=3a −3c =0m →⋅A 1E →=3ta +(3−3t)b =0，取a ＝1，则b =t t−1，c ＝1，所以平面A 1BE 的一个法向量m →=（1，tt−1，1），令直线A 1C 与平面A 1BE 所成角为θ，则sin θ＝|cos ＜A 1C →，m →＞|=|3tt−1−3|3√2⋅√2+(t t−1)2=√63，所以得12x 2﹣16+5＝0，所以t =12或56，又因为t ＞12，所以t =56，而AC 1→=（0，3，3），AB →=（3，0，0），BC →=（﹣3，3，0），BD →=t BC →=（﹣3t ，3t ，0）， 所以AD →=AB →+BD →=（3﹣3t ，3t ，0）＝（12，52，0），设平面AC 1D的一个法向量为n 1→=（x ，y ，z {n 1→⋅AC 1→=3y +3z =0n 1→⋅AD →=3(1−t)+3ty =0， 取n 1→=（t ，t ﹣1，1﹣t ）＝（56，−16，16），又平面ADC 的一个法向量为n 2→=（0，0，1）， 得cos ＜n 1→，n 2→＞=−√39，观察得二面角C 1﹣AD ﹣C 为锐角，所以二面角C 1﹣AD ﹣C 的余弦值为√39．21．（12分）某电影平台为了解观众对某影片的感受，已知所有参评的观众中男、女之比为2：1，现从中随机抽取120名男性和60名女性进行调查，抽取的男观众中有80人给了“点赞”的评价，女观众中有45人给了“一般”的评价．（1）把下面2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为对该影片的评价与性别有关？（2）用频率估计概率，在所有参评的观众中按“男”和“女”进行分层抽样，随机抽取6名参评观众． ①若再从这6名参评观众中随机抽取1人进行访谈，求这名观众给出“点赞”评价的概率；②若再从这6名参评观众中随机抽取2人进行访谈，求在抽取的2人均给出“点赞”的条件下，这2人是1名男性和1名女性的概率．参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．参考数据： 解：（1）填写2×2列联表如下：假设H 0：对该影片的评价与性别无关， 根据列联表中的数据可以求得χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=180(80×45−40×15)295×85×120×60=180×(40×75)295×85×120×60=600×1519×17=9000323≈27.86，由于χ2≈27.86＞10.828，且当H 0成立时，P （χ2≥10.828）≈0.001， 所以有99.9%的把握认为对该影片的评价与性别有关．（2）①由分层抽样知，随机抽取的6名参评观众中，男性有4人，女性有2人．根据频率估计概率知，男性观众给出“点赞”评价的概率为23，给出“一般”评价的概率为13；女性观众给出“点赞”评价的概率为14，给出“一般”评价的概率为34．从这6名参评观众中随机抽取1人进行访谈，记“这名学生给出“点赞”评价”为事件B ， “这名观众是男性观众”为事件A 1，“这名观众是女性观众”为事件A 2． 则P(A 1)=23，P(A 2)=13，P(B|A 1)=23，P(B|A 2)=14，所以P （B ）＝P （BA 1+BA 2）＝P （BA 1）+P （BA 2）＝P （A 1）P （B |A 1）+P （A 2）P （B |A 2） =23×23+13×14=49+112=16+336=1936． ②从这6名参评观众中随机抽取2人进行访谈，记“抽取的2人均给出“点赞”的评价”为事件D ，“这两名观众均是男性”为事件C 1， “这两名观众均是女性”为事件C 2，“这两名观众是1名男性和1名女性”为事件C 3．则P(C 1)=C 42C 62=25，P(C 2)=C 22C 62=115，P(C 3)=C 41C 21C 62=815，P(D|C 1)=(23)2=49， P(D|C 2)=(14)2=116，P(D|C 3)=23×14=16， 所以P （D ）＝P （C 1）P （D |C 1）+P （C 2）P （D |C 2）+P （C 3）P （D |C 3）=25×49+115×116+815×16=1348，所以P(C 3|D)=P(C 3D)P(D)=P(C 3)P(D|C 3)P(D)=815×161348=64195，即在抽取的2人均给出“点赞”的条件下，这2人是1名男性和1名女性的概率为64195．22．（12分）已知a 为实数，函数f （x ）＝e x ﹣1+alnx ．（1）若函数f （x ）在区间（1，2）上存在极值点，求a 的取值范围，并说明是极大值点还是极小值点； （2）若f （x ）＞（a +1）x ﹣a 对x ＞1恒成立，求a 的取值范围．解：（1）已知f（x）＝e x﹣1+alnx，函数定义域为（0，+∞），可得f′（x）＝e x﹣1+a x ，①当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，无极值；②当a＜0时，f'（x）在（0，+∞）上单调递增，若∃x0∈（1，2），使得f'（x0）＝0，当1＜x＜x0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x0＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，即x0是极小值点，需满足{f′(1)=1+a＜0 f′(2)=e+a2＞0，解得﹣2e＜a＜﹣1，综上，a的取值范围为（﹣2e，﹣1），为极小值点；（2）若f（x）＞（a+1）x﹣a对x＞1恒成立，即e x﹣1+alnx﹣（a+1）x+a＞0对x＞1恒成立，不妨设g（x）＝e x﹣1+alnx﹣（a+1）x+a，函数定义域为（1，+∞），可得g′(x)=e x−1+ax−(a+1)=xe x−1−(a+1)x+ax，不妨设k（x）＝xe x﹣1﹣（a+1）x+a，函数定义域为（1，+∞），可得k′（x）＝（x+1）e x﹣1﹣（a+1），不妨设k′（x）＝h（x）＝（x+1）e x﹣1﹣（a+1），函数定义域为（1，+∞），可得h'（x）＝（x+2）e x﹣1＞0，h（x）在定义域上单调递增，又h（1）＝1﹣a，①当1﹣a≥0，即a≤1时，h（x）＞0，即k′（x）＞0，k（x）在（1，+∞）上单调递增，又k（1）＝1﹣（a+1）+a＝0，所以k（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增，又g（1）＝0，所以当x∈（1，+∞）时，g（x）＞0恒成立；②当1﹣a＜0，即a＞1时，h（1+lna）＝（2+lna）a﹣a﹣1＝a﹣1+alna＞0，1+lna＞1，由零点存在性定理可知∃x0∈（1，1+lna），使得h（x0）＝0，当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即k′（x）＜0，k（x）在（1，x0）上单调递减，又k（1）＝0，所以当1＜x＜x0时，k（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）单调递减，又g（1）＝0，所以当1＜x＜x0时，g（x）＜0，不满足条件，综上所述，a的取值范围为（﹣∞，1]．第21页（共21页）。
2022-2023学年江苏省常州市教育学会高二(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省常州市教育学会高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知z 为复数，z 为z 的共轭复数，且z =|z|−1+5i ，则z 的虚部是（ ） A ．5iB ．﹣5iC ．5D ．﹣52．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a ⊥b 的是（ ） A ．a ⊥α，b ∥β，α⊥β B ．a ⊥α，b ⊥β，α∥β C ．a ⊂α，b ⊥β，α∥βD ．a ⊂α，b ∥β，α⊥β3．投掷3枚质地均匀的正方体骰子，观察正面向上的点数，则对于这3个点数，下列说法正确的是（ ） A ．有且只有1个奇数的概率为18B ．事件“都是奇数”和事件“都是偶数”是对立事件C ．在已知有奇数的条件下，至少有2个奇数的概率为47D ．事件“至少有1个是奇数”和事件“至少有1个是偶数”是互斥事件4．已知平面上的三点A ，B ，C 满足|AB |＝2，|BC|=√2，向量AB →与BC →的夹角为45°，且(λBC →−AB →)⊥AB →，则实数λ＝（ ） A ．0B ．1C ．﹣2D ．25．一个不透明的盒子里装有10个大小形状都相同的小球，其中3个黑色、7个白色，现在3个人依次从中随机地各取一个小球，前一个人取出一个小球记录颜色后放回盒子，后一个人接着取球，则这3个人中恰有一人取到黑球的概率为（ ） A ．310B ．3A 72⋅A 31A 103C ．C 103×0.72×0.3 D ．C 31×0.72×0.36．已知圆锥的高为1，体积为π，则过圆锥顶点作圆锥截面的面积最大值为（ ） A ．√3B ．2C ．2√3πD ．3π7．对一个十位数1234567890，现将其中3个数位上的数字进行调换，使得这3个数字都不在原来的数位上，其他数位上的数字不变，则可以得到不同的十位数（首位不为0）的个数为（ ） A ．120B ．232C ．240D ．3608．正四棱锥S ﹣ABCD 的底面边长为√2，各侧棱长为2，各顶点都在同一个球面上，则过球心与底面平行的平面截得的台体体积是（ ） A ．2√33B ．16√381C ．38√381D ．2√39二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知复数z 1，z 2，z 3，则下列说法正确的有（ ） A ．z 1⋅z 2⋅z 3=z 2⋅z 3⋅z 1B ．(z 1z 2)=z1z 2≠0)C ．若|z 1﹣z 2|＝|z 1+z 2|，则z 1•z 2＝0D ．若z 1•z 2＞z 2•z 3，则|z 1|＞|z 3|10．下列说法正确的有（ ）A ．在△ABC 中，BC →⋅CA →＜0，则△ABC 为锐角三角形B ．已知O 为△ABC 的内心，且A ＝30°，B ＝60°，则OA →+√3OB →+2OC →=0→C ．已知非零向量a →，b →满足：a →⋅b →=a →2，4c →=2a →+b →，则b →⋅c→|b →||c →|的最小值为12D ．已知a →=(1，2)，b →=(1，1)，且a →与a →+λb →的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是(−∞，−53) 11．某课外兴趣小组在探究学习活动中，测得（x ，y ）的10组数据如下表所示：由最小二乘法计算得到线性回归方程为y =a 1+b 1x ，相关系数为r 1；经过观察散点图，分析残差，把数据（168，89）去掉后，再用剩下的9组数据计算得到线性回归方程为y =a 2+b 2x ，相关系数为r 2.则（ ） A ．a 1＜a 2B ．b 1＜b 2C ．r 12＜r 22D ．b 1＞0，b 2＞012．已知在棱长为4的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点O 为正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，下列说法正确的有（ ） A ．BD ⊥POB ．当直线AP 与平面BCC 1B 1所成角的正切值为45时，PC ＝3 C ．当PC ＝1时，点C 1到平面APD 1的距离是32D ．当PC ＝2时，以O 为球心，OP 为半径的球面与侧面ABB 1A 1的交线长为√2π 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．(12+2x)10的展开式中二项式系数最大的项的系数是 .（用数字作答）14．在平面直角坐标系xOy 中，已知A(√3，0)，B （0，1），以A 为旋转中心，将线段AB 按顺时针方向旋转30°，得到线段AC ，则向量AB →在向量AC →上的投影向量的坐标是 ．15．已知平面四边形ABCD ，∠ADC ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝3，AD ＝4，则AC →⋅BD →= ． 16．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC =√2，P 为AB 的中点，将△ADP 沿DP 翻折，得到四棱锥A 1﹣BCDP ，则二面角A 1﹣DC ﹣B 的余弦值最小是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设z 是虚数，在平面直角坐标系xOy 中，z ，z ，1z 对应的向量分别为OA →，OB →，OC →．（1）证明：O ，B ，C 三点共线； （2）若z 3＝1，求向量OA →+OC →的坐标．18．（12分）如图，在六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1∥CC 1，平面AA 1C 1C ⊥菱形ABCD ．证明： （1）B ，B 1，D 1，D 四点共面； （2）BD ⊥DD 1．19．（12分）在平面直角坐标系中三点A ，B ，C 满足AB →=(1，2)，AC →=(−2，3)，D ，E 分别是线段BC ，AC 上的点，满足BD ＝2CD ，CE ＝2AE ，AD 与BE 的交点为G ． （1）求∠BGD 的余弦值； （2）求向量AG →的坐标．20．（12分）某种季节性疾病可分为轻症、重症两种类型，为了解该疾病症状轻重与年龄的关系，在某地随机抽取了患该疾病的3s 位病人进行调查，其中年龄不超过50岁的患者人数为s ，轻症占56；年龄超过50岁的患者人数为2s ，轻症占13．（1）完成下面的2×2列联表．若要有99%以上的把握认为“该疾病症状轻重”与“年龄”有关，则抽取的年龄不超过50岁的患者至少有多少人？附：χ2=n(ad−bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（其中n ＝a +b +c +d ），P （χ2＞6.635）＝0.01．（2）某药品研发公司安排甲、乙两个研发团队分别研发预防此疾病的疫苗，两个团队各至多安排2个周期进行疫苗接种试验，每人每次疫苗接种花费t （t ＞0）元．甲团队研发的药物每次疫苗接种后产生抗体的概率为p （0＜p ＜1），根据以往试验统计，甲团队平均花费为﹣3tp 2+6t ．乙团队研发的药物每次疫苗接种后产生抗体的概率为q （0＜q ＜1），每个周期必须完成3次疫苗接种，若第一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个疫苗接种周期．假设两个研发团队每次疫苗接种后产生抗体与否均相互独立．若p ＜q ，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应如何选择团队进行药品研发？21．（12分）记f n （x ）＝（x +1）n ＝a 0x n +a 1x n ﹣1+…+a n ﹣1x +a n ，n ∈N *．（1）化简：∑(i +1)ni=1a i ；（2）证明：f n +1（x ）+2f n +2（x ）+…+kf n +k （x ）+…+nf 2n （x ）（n ∈N *）的展开式中含x n 项的系数为（n +1）C 2n+1n+2．22．（12分）如图，在多面体EF ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，且CE ⊥底面ABCD ，AF ∥CE ，AC ＝CD ＝CE ＝AF ＝1，点M 在线段EF 上．（1）若M 为EF 的中点，求直线AM 和平面BDE 的距离； （2）试确定M 点位置，使二面角D ﹣AM ﹣B 的余弦值为−3567．2022-2023学年江苏省常州市教育学会高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知z 为复数，z 为z 的共轭复数，且z =|z|−1+5i ，则z 的虚部是（ ） A ．5iB ．﹣5iC ．5D ．﹣5解：设z ＝a +bi ，a ，b ∈R ，∴z =a −bi ，|z |=√a 2+b 2， ∵a −bi =√a 2+b 2−1+5i ，∴{a =√a 2+b 2−1−b =5，∴{a =12b =−5．故选：D ．2．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a ⊥b 的是（ ） A ．a ⊥α，b ∥β，α⊥β B ．a ⊥α，b ⊥β，α∥β C ．a ⊂α，b ⊥β，α∥βD ．a ⊂α，b ∥β，α⊥β解：A ．若α⊥β，a ⊥α，a ⊄β，b ⊄β，b ⊥α，则a ∥b ，故A 错； B ．若a ⊥α，α∥β，则a ⊥β，又b ⊥β，则a ∥b ，故B 错； C ．若b ⊥β，α∥β，则b ⊥α，又a ⊂α，则a ⊥b ，故C 正确；D ．若α⊥β，b ∥β，设α∩β＝c ，由线面平行的性质得，b ∥c ，若a ∥c ，则a ∥b ，故D 错． 故选：C ．3．投掷3枚质地均匀的正方体骰子，观察正面向上的点数，则对于这3个点数，下列说法正确的是（ ） A ．有且只有1个奇数的概率为18B ．事件“都是奇数”和事件“都是偶数”是对立事件C ．在已知有奇数的条件下，至少有2个奇数的概率为47D ．事件“至少有1个是奇数”和事件“至少有1个是偶数”是互斥事件解：将这三次正面向上的点数记为数对（x ，y ，z ），则样本空间Ω共有6×6×6＝216个样本点． 选项A ，有且只有一个奇数的概率P =3×3×3×3216=38，选项A 错误； 选项B ，事件“都是奇数”的对立事件是“不都是奇数”，选项B 错误；选项C ，在已知有奇数的条件下，至少有2个奇数的概率P =33+34216−33=47，选项C 正确； 选项D ，当x ，y ，z 三个数既有奇数又有偶数时，事件“至少有1个是奇数”和事件“至少有1个是偶数”同时发生，选项D 错误．故选：C ．4．已知平面上的三点A ，B ，C 满足|AB |＝2，|BC|=√2，向量AB →与BC →的夹角为45°，且(λBC →−AB →)⊥AB →，则实数λ＝（ ） A ．0B ．1C ．﹣2D ．2解：∵|AB|=2，|BC|=√2，＜AB →，BC →＞=45°， ∴AB →⋅BC →=2√2×√22=2， ∵(λBC →−AB →)⊥AB →，∴(λBC →−AB →)⋅AB →=λAB →⋅BC →−AB →2=2λ﹣4＝0， ∴λ＝2． 故选：D ．5．一个不透明的盒子里装有10个大小形状都相同的小球，其中3个黑色、7个白色，现在3个人依次从中随机地各取一个小球，前一个人取出一个小球记录颜色后放回盒子，后一个人接着取球，则这3个人中恰有一人取到黑球的概率为（ ） A ．310B ．3A 72⋅A 31A 103C ．C 103×0.72×0.3 D ．C 31×0.72×0.3解：3个人中恰有一人取到黑球的概率为C 31×0．72×0.3．故选：D ．6．已知圆锥的高为1，体积为π，则过圆锥顶点作圆锥截面的面积最大值为（ ） A ．√3B ．2C ．2√3πD ．3π解：当截面过圆锥的轴时，此时的截面为以底面直径为底，母线为腰的等腰三角形， 设圆锥的底面半径为r ，则13πr 2×1=π，解得r =√3，圆锥的母线长为：2，∴底面直径为2√3，此时等腰三角形的顶角大于90°，当过圆锥顶点作圆锥截面的面积的最大值为，截面是等腰直角三角形， ∴所求最大截面面积为：12×2×2=2．故选：B ．7．对一个十位数1234567890，现将其中3个数位上的数字进行调换，使得这3个数字都不在原来的数位上，其他数位上的数字不变，则可以得到不同的十位数（首位不为0）的个数为（ ） A ．120B ．232C ．240D ．360解：3个数字，交换后不在原来数位，3个数字有2种情况，则此时有2×C 103=240个不同的数字，其中当数字出现1，0时，不满足条件．若数字中含有1，0，比如1，2，0，三个数字，则交换之后不在原来数位上，不满足的只有0，1，2一种情况，此时有C 81=8个数字，则满足条件的数字个数为240﹣8＝232个． 故选：B ．8．正四棱锥S ﹣ABCD 的底面边长为√2，各侧棱长为2，各顶点都在同一个球面上，则过球心与底面平行的平面截得的台体体积是（ ） A ．2√33B ．16√381C ．38√381D ．2√39解：如图，正四棱锥S ﹣ABCD 的底面正方形的边长为√2，则AC ＝2， 设底面正方形的中心为G ，则AG ＝1， ∵SA ＝2，∴正四棱锥的高SG =√3．正四棱锥的外接球的半径即为正三角形SAC 的外接圆的半径，设为R ， 则2sin60°=2R ，可得R =2√33． 设过球心与底面平行的平面截棱锥所得截面面积为S ，则S2=(2√33√3)2=49，得S =89．∴过球心与底面平行的平面截得的台体体积是V =13×√33(89+2+√89×2)=38√381． 故选：C ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知复数z 1，z 2，z 3，则下列说法正确的有（ ） A ．z 1⋅z 2⋅z 3=z 2⋅z 3⋅z 1B ．(z 1z 2)=z1z 2≠0)C ．若|z 1﹣z 2|＝|z 1+z 2|，则z 1•z 2＝0D ．若z 1•z 2＞z 2•z 3，则|z 1|＞|z 3|解：设z 1＝a +bi ，z 2＝c +di ，z 3＝e +fi ，a ，b ，c ，d ，e ，f ∈R ，对于A ，z 1⋅z 2⋅z 3=(a +bi)(c +di)(e +fi)=（ace ﹣bde ﹣adf ﹣bcf ）﹣（acf ﹣bdf +ade +bce ）i ， z 2⋅z 3⋅z 1=（c ﹣di ）（e ﹣fi ）（a ﹣bi ）＝（ace ﹣bde ﹣adf ﹣bcf ）﹣（acf ﹣bdf +ade +bce ）i ，正确； 对于B ，(z 1z 2)=(a+bi c+di )=[ac+bd+(bc−ad)ic 2+d2]=ac+bd+(ad−bc)i c 2+d2，z 1z 2=a−bi c−di =ac+bd+(ad−bc)i c 2+d 2，B 正确；对于C ，|z 1﹣z 2|＝|a ﹣c +（b ﹣d ）i |，|z 1+z 2|＝|a +c +（b +d ）i |，令（a ﹣c ）2+（b ﹣d ）2＝（a +c ）2+（b +d ）2，得，ac +bd ＝0，z 1•z 2＝ac ﹣bd +（ad +bc ）i ，不一定为0，C 错误；对于D ，|z 1•z 2|2＝（ac ﹣bd ）2+（ad +bc ）2＝（a 2+b 2）（c 2+d 2）＝|z 1|2•|z 2|2，若|z 1•z 2|＞|z 2•z 3|，则 |z 1•z 2|2＞|z 2•z 3|2，即|z 1|2•|z 2|2＞|z 2|2•|z 3|2，即|z 1|＞|z 3|，D 正确． 故选：ABD ．10．下列说法正确的有（ ）A ．在△ABC 中，BC →⋅CA →＜0，则△ABC 为锐角三角形B ．已知O 为△ABC 的内心，且A ＝30°，B ＝60°，则OA →+√3OB →+2OC →=0→C ．已知非零向量a →，b →满足：a →⋅b →=a →2，4c →=2a →+b →，则b →⋅c→|b →||c →|的最小值为12D ．已知a →=(1，2)，b →=(1，1)，且a →与a →+λb →的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是(−∞，−53) 解：对于A ，BC →⋅CA →=|BC →||CA →|cos(π−C)=−|BC →||CA →|cosC ＜0， 则cos C ＞0，即C 为锐角，但A ，B 的角度未知，故不能判断△ABC 为锐角三角形，选项A 错误； 对于B ，依题意，C ＝90°，设|BC |＝1，则|AC|=√3，|AB|=2， 点C 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设圆O 的半径为r ，则12×1×√3=12(1+√3+2)r ，解得r =√3−12，所以O(√3−12，√3−12)， 则OA →=(1−√32，√3+12)，OB →=(3−√32，1−√32)，OC →=(1−√32，1−√32)， 所以OA →+√3OB →+2OC →=(1−√32，√3+12)+(3√3−32，√3−32)+(1−√3，1−√3)=(0，0)， 则选项B 正确；对于C ，设θ=＜a →，b →＞，由于a →⋅b →=a →2， 则cosθ=|a →||b →|，设OA →=a →，OB →=b →，则△OAB 为以OB 为斜边的直角三角形， 不妨设|OA →|=1，建立如图所示的平面直角坐标系，则OA →=a →=(1，0)，OB →=b →=(1，b)(b ≠0)， 所以4c →=2(1，0)+(1，b)=(3，b)，则c →=(34，b4)，所以b →⋅c→|b →||c →|=34+b 24√1+b 2⋅√916+b 216=2√1+b 22，设3+b 2＝t ＞3，则b →⋅c→|b →||c →|=√t−2⋅√t+6=√t 2+4t−12=√1+t −t2=√−12(1t −16)2+43≥12√3=√32， 当且仅当1t=16，即t ＝3+b 2＝6，即b 2＝3时等号成立，选项C 错误； 对于D ，a →+λb →=(1，2)+λ(1，1)=(1+λ，2+λ)， 由于a →与a →+λb →的夹角为钝角，则cos ＜a →，a→+λb →＞＜0且＜a →，a →+λb →＞≠π，所以a →⋅(a →+λb →)|a →||a →+λb →|＜0，且a →⋅(a →+λb →)|a →||a →+λb →|≠−1，即√1+4⋅√(1+λ)2+(2+λ)20且√1+4⋅√(1+λ)2+(2+λ)2≠−1，解得λ＜−53，选项D 正确． 故选：BD ．11．某课外兴趣小组在探究学习活动中，测得（x ，y ）的10组数据如下表所示：由最小二乘法计算得到线性回归方程为y =a 1+b 1x ，相关系数为r 1；经过观察散点图，分析残差，把数据（168，89）去掉后，再用剩下的9组数据计算得到线性回归方程为y =a 2+b 2x ，相关系数为r 2.则（ ） A ．a 1＜a 2B ．b 1＜b 2C ．r 12＜r 22D ．b 1＞0，b 2＞0解：由表格中数据可得散点图如图：身高的平均数为110（165+168+170+172+173+174+175+177+179+182）＝173.5，∵离群点（168，89）的横坐标168小于平均值173.5，纵坐标89相对过大， ∴去掉离群点后经验回归直线的截距变小而斜率变大，∴a 1̂＞a 2̂，b 1̂＜b 2̂，且b 1̂＞0，b 2̂＞0，故A 错误，B 正确，D 正确； 去掉离群点后成对样本数据的线性相关程度更强，拟合效果会更好， ∴r 1＜r 2，r 12＜r 22，故C 正确． 故选：BCD ．12．已知在棱长为4的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点O 为正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，下列说法正确的有（ ） A ．BD ⊥POB ．当直线AP 与平面BCC 1B 1所成角的正切值为45时，PC ＝3 C ．当PC ＝1时，点C 1到平面APD 1的距离是32D ．当PC ＝2时，以O 为球心，OP 为半径的球面与侧面ABB 1A 1的交线长为√2π 解：由题意可得CC 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴CC 1⊥BD ，又AC ⊥BD ，AC ∩CC 1＝C ，∴BD ⊥平面ACC 1A 1，∵OP ⊂平面ACC 1A 1，∴BD ⊥OP ，故A 正确；∵AB ⊥平面BCC 1B 1，∴∠APB 为直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角， ∴tan ∠APB =AB BP =4BP =45，∴BP ＝5，又BC ＝4，∴CP =√52−42=3，故B 正确； 当PC ＝1时，AD 1＝4√2，D 1P ＝5，AP =√(4√2)2+12=√33， ∴cos ∠AD 1P =32+25−332×42×5=24402=3√210，∴sin ∠AD 1P =√8210，∴S △AD 1P =12×4√2×5×√8210=2√41， 设点C 1到平面APD 1的距离为d ，∵V C 1−AD 1P =V A−C 1D 1P ，∴13S △AD 1P d =13S △C 1D 1P •AD ，∴13×2√41•d =13×12×4×3×4，解得d =12√41=12√4141， ∴点C 1到平面APD 1的距离是12√4141，故C 错误；当PC ＝2时，可得PO =√8+4=2√3， 取A 1B 1的中点O ′，∴球心O 平面ABB 1A 1的距离为OO ′＝2，∴OP 为半径的球面与侧面ABB 1A 1的交线是以O ′为圆心，2√2为半径的圆与侧面ABB 1A 1的交线， 易得交线长为√2π，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．(12+2x)10的展开式中二项式系数最大的项的系数是 252 .（用数字作答）解：根据二项式系数的性质可得，(12+2x)10的展开式中二项式系数最大的项为第6项，此时，r ＝5，该项的系数为C 105•25•(12)5=252．故答案为：252．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知A(√3，0)，B （0，1），以A 为旋转中心，将线段AB 按顺时针方向旋转30°，得到线段AC ，则向量AB →在向量AC →上的投影向量的坐标是 (−√32，32) ．解：如图，由A(√3，0)，B （0，1），根据条件，可得C （√3−1，√3），∴AB →=(−√3，1)，AC →=(−1，√3)，∴AB →在AC →上的投影向量坐标为AB →⋅AC →|AC →|⋅AC →|AC →|=2√34(−1，√3)=(−√32，32)． 故答案为：(−√32，32)．15．已知平面四边形ABCD ，∠ADC ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝3，AD ＝4，则AC →⋅BD →= 72．解：以点D 为坐标原点，DC ，DA 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系． 设B （x ，y ），则由题意知D （0，0），A （0，4），C （3，0）． 则AC →=（3，﹣4），BD →=（﹣x ，﹣y ）， 所以AC →•BD →=4y ﹣3x ，因为AB ＝CB ，AB →=（x ，y ﹣4）CB →=（x ﹣3，y ）， 所以x 2+（y ﹣4）2＝（x ﹣3）2+y 2，整理化简得8y ﹣6x ＝7．故4y −3x =72，所以AC →•BD →=72．故答案为：72．16．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC =√2，P 为AB 的中点，将△ADP 沿DP 翻折，得到四棱锥A 1﹣BCDP ，则二面角A 1﹣DC ﹣B 的余弦值最小是√22． 解：如图，过A 1作AH ⊥FC ，垂足为H ，过H 作HG ⊥DC ，垂足为G ，连接A 1G ，因为DE ⊥平面A 1FC ，AH ⊂平面AFC ，所以A 1H ⊥DE ，又因为A 1H ⊥FC ，FC ∩DE ＝F ，DE ，FC ⊂平面BCDE ，所以A 1H ⊥平面BCDE ． 因为CD ⊂平面BCDE ，所以A 1H ⊥CD ．又因为HG ⊥CD ，A 1H ∩HG ＝H ， A 1H ，HG ⊂平面 A 1HG ，所以CD ⊥平面A 1HG ，因为AG ⊂平面A 1HG ，所以CD ⊥A 1G ，所以∠A 1GH 是二面角A 1﹣CD ﹣B 的平面角． 在翻折过程中，设∠AFC ＝θ，θ∈（0，π）．在矩形ABCD 中，由AB ＝2，BC =√2， E 为AB 的中点，得AF =√63，FC =2√63， 在直角三角形A 1FH 中，A 1H =√63sin θ，FH =√63cos θ， 所以HC ＝FC ﹣FH =√63（2﹣cos θ）， 因为HG ⊥DC ，所以HG ∥AD ，所以HG AD=CH CA，所以HG =√23（2﹣cos θ），在直角三角形A 1HO 中，tan ∠A 4GH =A 1HHG =√3sinθ2−cosθ，设y =√3sinθ2−cosθ，θ∈（0，π），所以√3sinθ+ycosθ=2y ，所以√3+y 2cm(θ+φ)=2y ，即sin(θ+φ)=2y√3+y ≤1．解得0＜y ≤1，则0＜tan ∠A 1GH ≤1，因为0＜∠A 1GH ＜π2，所以0＜∠A 1GH ≤π4， 所以二面角A 1﹣DC ﹣B 的余弦值最小是√22． 故答案为：√22． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设z 是虚数，在平面直角坐标系xOy 中，z ，z ，1z 对应的向量分别为OA →，OB →，OC →．（1）证明：O ，B ，C 三点共线； （2）若z 3＝1，求向量OA →+OC →的坐标． 证明：（1）设z ＝a +bi ，a ，b ∈R ，z =a −bi ，1z =1a+bi=a−bi (a+bi)(a−bi)=a a 2+b 2−b a 2+b 2i ，∴OB →=(a ，−b)，OC →=(a a 2+b 2，−ba 2+b2)， ∵a ×(−b a 2+b2)−(−b)×a a 2+b2=0，∴OB →∥OC →，∴O ，B ，C 三点共线；解：（2）∵z 3＝（a +bi ）3＝（a 3﹣3ab 2）+（3a 2b ﹣b 3）i ＝1，∴{a 3−3ab 2=13a 2b −b 3=0， ∵z 是虚数，∴b ≠0， ∴{a =−12b 2=34，∴a 2+b 2＝1，∴OA →=(a ，b)，OC →=(a ，−b)，∴OA →+OC →=(a ，b)+(a ，−b)=(2a ，0)=（﹣1，0）．18．（12分）如图，在六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1∥CC 1，平面AA 1C 1C ⊥菱形ABCD ．证明： （1）B ，B 1，D 1，D 四点共面； （2）BD ⊥DD 1．证明：（1）根据题意，在六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中， 由于AA 1∥CC 1，而CC 1⊂平面BB 1C 1C ，AA 1⊄平面BB 1C 1C ， 则AA 1∥平面BB 1C 1C ，又由AA 1⊂平面AA 1B 1B ，平面AA 1B 1B ∩平面BB 1C 1C ＝BB 1， 则有AA 1∥BB 1， 同理：AA 1∥DD 1，则有AA 1∥DD 1，故B ，B 1，D 1，D 四点共面； （2）根据题意，连接BD ， 底面ABCD 为菱形，则BD ⊥AC ，而平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ，BD ⊂平面ABCD ， 故BD ⊥平面AA 1C 1C ， 则有BD ⊥AA 1， 又由AA 1∥BB 1， 故BD ⊥DD 1．19．（12分）在平面直角坐标系中三点A ，B ，C 满足AB →=(1，2)，AC →=(−2，3)，D ，E 分别是线段BC ，AC 上的点，满足BD ＝2CD ，CE ＝2AE ，AD 与BE 的交点为G ． （1）求∠BGD 的余弦值； （2）求向量AG →的坐标．解：（1）由题意，在平面直角坐标系中，设点A 为坐标原点，如图， 因为BD ＝2CD ，CE ＝2AE ，AB →=(1，2)，AC →=(−2，3)，所以AD →=AB →+BD →=AB →+23BC →=AB →+23(AC →−AB →)=13AB →+23AC →=13(1，2)+23(−2，3)=（﹣1，83），又EB →=EA →+AB →=−13AC →+AB →=−13(−2，3)+(1，2)=（53，1），所以cos ∠BGD =AD →⋅EB →|AD →||EB →|=−53+83√1+649×√1+259=9√24822482；（2）由题设及（1）得，在平面直角坐标系中，A ，G ，D 三点共线， 所以AG →=λAD →=13λAB →+23λAC →(λ∈R)，又AG →=μAB →+(1−μ)AE →=μAB →+13(1−μ)AC →(μ∈R)，所以由平面向量基本定理，得{13λ=μ23λ=13(1−λ)，解得：μ=17，故AG →=17AB →+27AC →=17(1，2)+27(−2，3)=（−37，87）．20．（12分）某种季节性疾病可分为轻症、重症两种类型，为了解该疾病症状轻重与年龄的关系，在某地随机抽取了患该疾病的3s 位病人进行调查，其中年龄不超过50岁的患者人数为s ，轻症占56；年龄超过50岁的患者人数为2s ，轻症占13．（1）完成下面的2×2列联表．若要有99%以上的把握认为“该疾病症状轻重”与“年龄”有关，则抽取的年龄不超过50岁的患者至少有多少人？附：χ2=n(ad−bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（其中n ＝a +b +c +d ），P （χ2＞6.635）＝0.01．（2）某药品研发公司安排甲、乙两个研发团队分别研发预防此疾病的疫苗，两个团队各至多安排2个周期进行疫苗接种试验，每人每次疫苗接种花费t （t ＞0）元．甲团队研发的药物每次疫苗接种后产生抗体的概率为p （0＜p ＜1），根据以往试验统计，甲团队平均花费为﹣3tp 2+6t ．乙团队研发的药物每次疫苗接种后产生抗体的概率为q （0＜q ＜1），每个周期必须完成3次疫苗接种，若第一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个疫苗接种周期．假设两个研发团队每次疫苗接种后产生抗体与否均相互独立．若p ＜q ，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应如何选择团队进行药品研发？解：（1）2×2列联表如下：要有99%以上的把握认为“该疾病症状轻重”与“年龄”有关， 则χ2=3s(5s 6×4s 3−s 6×2s3)23s 2×3s2×2s×s=2s3＞6.635， 解得s ＞9.9525，由题意知s 是6的倍数，所以s 的最小整数值为12． 所以抽取的年龄不超过50岁的患者至少有12人．（2）甲研发团队试验总花费为X 元，根据以往试验统计得E （X ）＝﹣3tp 2+6t ， 设乙研发团队试验总花费为Y 元，则Y 的可能取值为3t ，6t ，所以P(Y =3t)=C 32q 2(1−q)+q 3=−2q 3+3q 2，P(Y =6t)=1+2q 3−3q 2，所以E （Y ）＝3t （﹣2q 3+3q 2）+6t （1+2q 3﹣3q 2）＝6tq 3﹣9tq 2+6t ， 因为0＜p ＜q ＜1，所以E （Y ）﹣E （X ）＝6tq 3﹣9tq 2+6t ﹣（﹣3tp 2+6t ）＝6tq 3﹣9tq 2+3tp 2＜6tq 2（q ﹣1）＜0， 所以乙团队试验的平均花费较少， 所以该公司应选择乙团队进行研发．21．（12分）记f n （x ）＝（x +1）n ＝a 0x n +a 1x n ﹣1+…+a n ﹣1x +a n ，n ∈N *．（1）化简：∑(i +1)ni=1a i ；（2）证明：f n +1（x ）+2f n +2（x ）+…+kf n +k （x ）+…+nf 2n （x ）（n ∈N *）的展开式中含x n 项的系数为（n +1）C 2n+1n+2．（1）解：∑(i +1)ni=1a i =∑(i +1)ni=1C n i =2C n 1+3C n 2+⋯+nC n n−1+(n +1)C n n ， 1+∑(i +1)ni=1C n i =C n 0+2C n 1+3C n 2+⋯+nC n n−1+(n +1)C n n ，右侧倒序相加得，2（1+∑(i +1)ni=1C n i ）=(n +2)(C n 0+C n 1+C n 2+⋯+C n n−1+C n n)=(n +2)2n ，所以∑(i +1)ni=1a i =（n +2）2n ﹣1﹣1；（2）证明：f n +1（x ）+2f n +2（x ）+…+kf n +k （x ）+…+nf 2n （x ）（n ∈N *），其展开式中含x n 项的系数为C n+1n +2C n+2n +3C n+3n +⋯+nC 2n n ， 因为kC n+k n =k(n+k)!n!k!=(n+k)!n!(k−1)!=(n +1)(n+k)!(n+1)!(k−1)!=(n +1)C n+k n+1， 所以含x n 项的系数为：C n+1n +2C n+2n +3C n+3n +⋯+nC 2n n =(n +1)(C n+1n+1+C n+2n+1+C n+3n+1+⋯+C 2n n+1) =(n +1)(C n+2n+2+C n+2n+1+C n+3n+1+⋯+C 2n n+1)=(n +1)(C n+3n+2+C n+3n+1+⋯+C 2n n+1) ＝（n +1）C 2n+1n+2．22．（12分）如图，在多面体EF ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，且CE ⊥底面ABCD ，AF ∥CE ，AC ＝CD ＝CE ＝AF ＝1，点M 在线段EF 上．（1）若M 为EF 的中点，求直线AM 和平面BDE 的距离； （2）试确定M 点位置，使二面角D ﹣AM ﹣B 的余弦值为−3567．解：（1）连接BD 交AC 于O ，取EF 中点G ，因为四边形ABCD 为菱形 所以AC ⊥BD ，O 为AC 中点，因为AF ∥CE ，AF ＝CE ，所以四边形ACEF 为平行四边形．因为O ，G 分别为AC ，EF 中点， 所以OG ∥CE ．因为CE ⊥平面ABCD ，AC ，BD ⊂平面ABCD ， 所以CE ⊥AC ，CE ⊥BD ，所以OG ⊥AC ，OG ⊥BD ， 以O 为原点，建立如图空间直角坐标系O ﹣xyz ，则A （0，12，0），M （0，0，1），B （−√32，0，0），D （√32，0，0），E （0，−12，1），所以BD →=（√3，0，0），BE →=（√32，−12，1）， 设平面BDE 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅BD →=√3x =0n →⋅BE →=√32x −12y +z =0，令y ＝2，则x ＝0，z ＝1，所以平面BDE 的法向量n →=（0，2，1），又AM →=（0，−12，1）∴n →•AM →=0，−12×2+1＝0，设A 到平面BDE 距离为d ，AB →=（−√32，−12，0），所以d =|AB →⋅n →||n →|=√55，所以直线AM 和平面BDE 的距离为√55；（2）设M （0，m ，1），m ∈[−12，12]，AD →=（√32，−12，0），AM →=（0，m ﹣1，1），AB →=（−√32，−12，0），设平面ADM 的一个法向量分别为m →=（a ，b ，c ），则{AD →⋅m →=√32a −12b =0AM →⋅m →=(m −1)b +z =0，令a ＝1，则b =√3，z =−√3m +√33），所以平面ADM 的一个法向量分别为m →=（1，−√3，−√3m +√33），设平面ABM 的一个法向量μ→=（e ，f ，g ），则{μ→⋅AB →=−√32e −12f =0μ→⋅AM →=(m −1)f +g =0，令e ＝1，f =−√3，g =√3m −√32， 因为二面角D ﹣AM ﹣B 的余弦值为−3567，所|cos ＜m →，μ→＞|=|m →⋅μ→||m →|⋅|μ→|=3(m−12)2+23(m−12)2+4=3567， 解得m =14，34（舍），即FM =14FE ．。
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江苏省高二下学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、填空题 (共14题；共14分)
1. （1分）某校有学生4500人，其中高三学生1500人．为了解学生的身体素质情况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本，则样本中高三学生的人数为________
2. （1分） (2015高三上·连云期末) 若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天的概率为________．
3. （1分） (2015高二下·临漳期中) 设复数z= ，则 =________．
4. （1分） (2017高二下·海淀期中) 已知平面向量 =（x1 ， y1）， =（x2 ， y2），那么•
=x1x2+y1y2；空间向量 =（x1 ， y1 ， z1）， =（x2 ， y2 ． z2），那么• =x1x2+y1y2+z1z2 ．由此推广到n维向量： =（a1 ， a2 ，…，an）， =（b1 ， b2 ，…，bn），那么• =________．
5. （1分） (2016高一下·大同期末) 如图，要在山坡上A、B两处测量与地面垂直的铁塔CD的高，由A、B 两处测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，AB长为40m，斜坡与水平面成30°角，则铁塔CD的高为________ m．
6. （1分） (2017高一下·扬州期末) 已知α，β，γ是三个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥α，m⊂β，那么α⊥β；
②如果m⊥n，m⊥α，那么n∥α；
③如果α⊥β，m∥α，那么m⊥β；
④如果α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，那么m∥n．
其中正确的命题有________．（写出所有正确命题的序号）
7. （1分）已知△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，AC= ，则△ABC的面积为________．
8. （1分）(2017·襄阳模拟) 已知函数的图象经过点，且相邻两条对称轴的距离为，则函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间为________．
9. （1分） (2016高一下·天津期末) 在△ABC中，a=6，B=30°，C=120°，则△ABC的面积是________．
10. （1分）(2017·石家庄模拟) 已知△ABC中，AC=4，BC=2 ，∠BAC=60°，AD⊥BC于D，则的值为________．
11. （1分）(2017·静安模拟) 已知f（x）=ax﹣b（（a＞0且且a≠1，b∈R），g（x）=x+1，若对任意实数x 均有f（x）•g（x）≤0，则的最小值为________．
12. （1分） (2016高一上·景德镇期中) 在等差数列{an}中，a2=5，a6=21，记数列的前n项和为Sn ，若对n∈N+恒成立，则正整数m的最小值为________．
13. （1分）已知函数f（x）=sinx﹣acosx图象的一条对称轴为x= π，记函数f（x）的两个极值点分别为x1 ， x2 ，则|x1+x2|的最小值为________
14. （1分）若不等式|a﹣2|≤|x+ |对一切非零实数x恒成立，则实数a的最大值是________．
二、简答题 (共6题；共50分)
15. （5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinA+bsinB﹣csinC=bsinA．
（Ⅰ）求∠C的度数；
（Ⅱ）若c=2，求AB边上的高CD的最大值．
16. （10分） (2016高一下·盐城期中) 如图，四边形ABCD、ADEF为正方形，G，H是DF，FC的中点．
（1）求证：GH∥平面CDE；
（2）求证：BC⊥平面CDE．
17. （5分） (2017高二下·张家口期末) 设函数f（x）＝|x－1|＋|2x－1|．
（Ⅰ）若对 x＞0，不等式f（x）≥tx恒成立，求实数t的最大值M；
（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a，b满足a2＋b2＝2M．证明：a＋b≥2ab．
18. （10分） (2018高一下·黑龙江期末) 设的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求角；
（2）若，，求的面积．
19. （10分） (2015高一下·仁怀开学考) 已知函数．
（1）证明f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）是否存在实数a使得f（x）的定义域、值域都是，若存在求出a的值，若不存在说明理由．
20. （10分） (2017高一下·衡水期末) 已知数列{an}是首项为正数的等差数列，a1•a2=3，a2•a3=15．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=（an+1）•2 ，求数列{bn}的前n项和Tn ．
参考答案一、填空题 (共14题；共14分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、
考点：
解析：
答案：11-1、考点：
解析：
答案：12-1、考点：
解析：
答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、
考点：
解析：
二、简答题 (共6题；共50分)
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、
答案：16-2、考点：
解析：
答案：17-1、考点：
解析：
答案：18-1、
答案：18-2、考点：
解析：
答案：19-1、
答案：19-2、考点：
解析：
答案：20-1、
答案：20-2、考点：
解析：。