经验公式和临界应力总图
第二十二讲-临界应力总图、稳定设计
Fw2 F EIw2
l x1
w2 A2 sin kx 2 B2 cos kx 2
15
w1 A1 sin kx1 B1 cos kx1
l
x1
(a)
w2 A2 sin kx2 B2 cos kx2 x1 0 , w1 0 (1) x2 0 , w2 (2) x1 l , w1 0 (3) x1 x 2 l , w1 w2 (4) w2 (5) x1 x2 l , w1
钢与合金钢： E (200 ~ 220) GPa 铝 合 金：E (70 ~ 72) GPa
对于中柔度压杆
强度 较高的材料， cr 也高
对于小柔度压杆 按强度 要求选择材料
28
合理选择截面 对于细长与中柔度压杆, 愈小, cr 愈高
l
i l A I
选择惯性矩较大的截面形状
p
p
欧拉公式的适用范围：
p p 的压杆－大柔度杆或细长杆
例如，Q235钢，E＝200 GPa, p196 MPa
p 100
20
中柔度杆临界应力与临界应力总图
< p 的压杆－非细长杆，属于非弹性稳定问题
1. 直线型经验公式
cr a b
( 0 < < p )
17
§4 中小柔度杆的临界应力
临界应力与柔度
欧拉公式适用范围
中柔度杆临界应力与 临界应力总图 例题
18
临界应力与柔度
Fcr cr －临界应力 压杆处于临界状态时 横截面上的平均应力 A EI 2 EI 2E I Fcr cr 2 2 2 ( l ) ( l ) A ( l ) A 2E I i 2 －截面惯性半径 cr A l i
压杆的临界应力
a
1和b
是与材料有关的常数，可从有关的手册中查到。
1
2、scr=sS时，不存在失稳问题，应考虑强度问题强度破
坏，采用强度公式：
scr s s
三、临界应力总图
例1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ三根材料、长度均相同、两端均为球铰支座的细 长杆结构，各自的截面形状如图，求三根杆的临界应力 之比以及临界力之比。
解：
s cr a :s cr b :s cr c
②柔度(细长比)： l L
i
2.欧拉公式应用范围：
①线弹性状态下的大柔度杆：slj≤sp，即
p 2E l2
≤s
p
说明： 在推导欧拉公式时,使用了挠曲线的近似微分方程，
在推导该方程时, 应用了胡克定律。因此，欧拉公式也 只有在满足胡克定律时才能适用。
∴
l≥
p 2E sp
lp
3.注意 对于A3钢，E=200GPa，sp=200MPa：
A
E BC
[FNC ] 245kN
F2
[Nc ] 1.36
180kN
a
a
F D a
10-5 提高压杆稳定性的措施
一、从材料方面考虑 1.细长压杆：提高弹性模量E
2.中粗压杆和粗短压杆：提高屈服强度ss
二、从柔度方面考虑 1.采用合理的截面形状： （1）各方向约束相同时：
1)各方向惯性矩I相等—采用正方形、圆形截面； 2)增大惯性矩I—采用空心截面； （2）压杆两方向约束不同时：使两方向柔度接近相等， 可采用两个主惯性矩不同的截面，如矩形、工字形等。
p2E
l
2 1
p2E : l22
p2E
:
l
欧拉公式的适用范围经验公式
解：在正视图平面内弯 曲时，截面将绕z轴转动，
A、B二处视为铰支约束；
bh3 μ = 1, Iz = 12 ,iz =
Iz A
=
h 23
λz
=
μl iz
= 132.6
在俯视图平面内弯曲时，截面将绕y轴转动，A、
B二处视为固定端约束；
μ
=
0.5, I y
=
b3h 12
,iy
=
Iy A
=
b 23
λy
=
欧拉公式的适用范围 及经验公式
当轴向压力F 等于临界压力Fcr时，压杆才可能 由直线平衡过渡到微弯状态保持平衡。
临界压力的双重性： 1、细长压杆保持直线平衡的最大载荷； 2、细长压杆保持微弯平衡的最小载荷。
细长压杆的临界压力（欧拉公式）
π 2 EI Fcr = (μl)2
注意：欧拉公式是在线弹性的条件下建立，只有材料 服从胡克定律，即杆内的应力不超过材料的比例极限， 才能用欧拉公式计算压杆的临界压力。
μl iy
= 99.5
由于 z>y 压杆将在正视图平面内失稳。
且有： λz = 132.6 > λp = 100
故，根据欧拉公式计算临界应力
cr
2E 2
2 205109
132.62
115.07MPa
临界载荷为
Fcr cr A cr (bh)
115.07 106 40 60 106 276.17kN
σcr
=
π2E λ2
σp
或者
λ
π2E σp
=
λp
p—仅与材料的弹性模量 E 及比例极限p有关。 即： ≥p 时，欧拉公式才成立。压杆称为大柔度杆。
临界应力定义课件
有限元法
有限元法是一种数值计算方法，通过将连续的物体离散成有限个小的单 元（如三角形、四边形等），并对每个单元进行受力分析，再综合所有 单元的受力情况来求解临界应力。
有限元法可以处理复杂形状和边界条件的问题，并且可以模拟非线性应 力-应变关系。
有限元法的计算精度取决于离散的单元数量和形状，以及所选择的材料 模型和边界条件。
材料性质
金属材料
金属材料的临界应力受其晶体结构、纯度、合金元素、微观 组织等因素影响。例如，纯金属的临界应力通常低于合金， 因为合金中的杂质和第二相粒子可以阻碍位错的运动。
非金属材料
对于非金属材料，如陶瓷和聚合物，其临界应力受材料成分 、颗粒大小、纤维方向和基体与增强相之间的关系等因素影 响。
温度
深入探究复杂加载条件下材料的应力状态和失效机制。
多因素影响下的临界应力研究
03
综合考虑各种影响因素，提高临界应力预测的准确性和可靠性
。
THANKS
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临界应力定义课件
CONTENTS 目录
• 临界应力的定义 • 临界应力的计算方法 • 临界应力的影响因素 • 临界应力的应用场景 • 临界应力的研究现状与展望
CHAPTER 01
临界应力的定义
物理意义
临界应力是材料在某 个特定温度下开始屈 服并发生塑性变形的 应力值。
临界应力的大小取决 于材料的种类、温度 、加载速率和晶粒度 等因素。
加载条件
临界应力与加载速度、温 度等条件密切相关，准确 模拟这些条件具有挑战性 。
多因素耦合
临界应力受到多种因素的 影响，如内部缺陷、环境 因素等，多因素耦合分析 难度较大。
未来研究方向
新材料临界应力研究
工程力学28-压杆的临界应力
——重点
（1） P cr S时： cr 临界a应力总b图
cr
a b
s
a s b
s
s p称为中柔度杆，用经验公式求其临界应力。
（2） S 时： cr S
S 称为小柔度杆，其临界应力为屈服极限。
目录
4
总结：
•压杆柔度
l μ的四种取值情况
i
i
I A
•临界柔度
P
2E P
9-
与长度、截面性质、约束条件有关
目录
4
2
2.欧拉公式的适用范围 着眼点——临界应力在线弹性内（小于比例极限）
cr
2E 2
P
2E P
P
P 时称为大柔度杆（或长细杆），用欧拉公式求临界力；
P 时称为中、小柔度杆,不能用欧拉公式求临界力。
3 目录
3.经验公式、临界应力总图
直线型经验公式
32. 压杆的临界应力
1.临界应力和柔度
（1）临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力
Fcr cr A （2）细长压杆的临界应力：
cr
Fcr A
2EI (E 2
即： cr
（3）柔度：
l i
2E 2
i I — 惯性半径
A
— —杆的柔度（或长细比）
P 比例极限
•临界应力
s
a s b
s 屈服极限
P
(大柔度杆) cr
2E 2
欧拉公式
S P (中柔度杆)cr a b直线公式
s (小柔度杆) cr s 强度问题
临界应力的经验公式包括
临界应力的经验公式包括摘要：一、临界应力经验公式的概述二、临界应力经验公式的具体内容正文：一、临界应力经验公式的概述临界应力经验公式是工程力学中一个重要的概念，它用于预测材料在受到一定载荷作用下，何时会开始发生塑性变形。
这种变形通常发生在材料内部的微小缺陷处，并随着载荷的增加而不断扩大。
临界应力经验公式可以帮助工程师在设计结构时，确保材料在使用过程中不会因超过其承载能力而出现塑性变形。
二、临界应力经验公式的具体内容临界应力经验公式包括以下几个方面：1.莫根堡公式莫根堡公式是最常用的临界应力经验公式之一，它表示为：σc = σs / sqrt(1 - ν)其中，σc 为临界应力，σs 为材料的屈服强度，ν 为材料的泊松比。
2.库仑公式库仑公式是另一种常用的临界应力经验公式，它表示为：σc = 0.5 * σs * sqrt(2 * E / π * (1 - ν))其中，σc 为临界应力，σs 为材料的屈服强度，E 为材料的弹性模量，ν为材料的泊松比。
3.瑞利公式瑞利公式主要用于计算临界应力σc与材料的屈服强度σs之间的关系，它表示为：σc = 0.5 * σs * (1 + ν)其中，σc 为临界应力，σs 为材料的屈服强度，ν 为材料的泊松比。
4.修正莫根堡公式修正莫根堡公式是对莫根堡公式的改进，它考虑了材料内部缺陷的影响，适用于预测材料的疲劳寿命。
修正莫根堡公式表示为：σc = σs * sqrt(1 - (εs / εp))其中，σc 为临界应力，σs 为材料的屈服强度，εs 为材料的屈服应变，εp 为材料的极小偏移应变。
第二十七讲经验公式计算临界力、压杆的稳定性计算
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
Mechanic of Materials
四、临界应力总图
1、直线、欧拉
cr S S
a b
P
C
2E
2
S P
P
2E P
s
a
S
b
当 s时: cr s
当P s时: cr a b
当
P时: cr
2E 2
Q235钢: s 61.6 , P 100
1,
i D 4
1 2 0.1
4
1
80 100
2
0.032m
l
i
1 3.5 0.032
109
P
y
A 2m
3m
z
C
B
120
3P
D=100mm
d=80mm
(2)确定求Fcr的公式：
G
P
2E P
2 (2105 106 ) (200 106 ) 99 109
[nst]=3 n=2
[P1] 340 2.5 136kN
AB杆满足稳定性要求 目录
P. 312 9- 5、14、 15
Mechanic of Materials
§9.5 压杆的稳定校核
安全系数法能否 设计压杆的截面
Mechanic of Materials
§9.5 压杆的稳定校核
二、许用应力折减法——实用计算
1、稳定条件：
工作
F工作 A
[ ]( [ ]w)
259.01kN
60
y z
40
x
F Fcr x x
F Fcr
Mechanic of Materials
材料力学笔记之——欧拉公式适用范围、临界应力总图
材料力学笔记之——欧拉公式适用范围、临界应力总图欧拉公式的适用范围欧拉公式的推导方法是，在服从胡克定律的前提下，得到梁的曲率方程，再由曲率方程推导出挠曲线近似微分方程，挠曲线微分方程积分并根据边界条件确定积分常数，从而确定压杆的临界压力。
综上所述，欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的，杆内的应力小于比例极限。
压杆在临界压力作用下，其在直线平衡位置时横截面上的应力称为临界应力。
其中式中，λ称为柔度（长细比），i为截面的惯性半径。
柔度又称为压杆的长细比，反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形状对临界力的影响。
由欧拉公式的推导过程可知，欧拉公式的适用范围，临界应力小于或等于材料的比例极限可得这类杆件称为大柔度杆，或细长杆。
经验公式、临界应力总图当杆件的柔度小于λp时，临界应力大于材料的比例极限，欧拉公式不再适用。
对于这类杆件工程中一般使用以试验为依据的经验公式：直线公式、抛物线公式。
1. 直线公式这类压杆失稳时，横截面上的应力已超过比例极限，故属于弹塑性稳定问题，直线公式，即临界应力与柔度成线性关系，且临界应力随柔度增大而减小式中，a、b为与材料性能有关的常数。
当应力增大到屈服极限时，材料发生屈服失效，这时不再是稳定问题，而是强度问题，其临界应力最大值为可得直线公式适用的柔度下限值即直线公式适用的柔度范围这类杆件称为中柔度杆件。
当杆件的柔度小于λs时，称为小柔度杆或短粗杆。
这类压杆发生强度失效，而不是稳定失效，临界应力临界应力随柔度变化的关系，可画出曲线如下图所示，称为压杆的临界应力总图。
临界应力总图（直线公式）2. 抛物线公式对于中柔度杆和小柔度杆，不同的工程设计中，也可以采用抛物线公式计算临界应力式中，a1 和b1 也是与材料有关的常数。
临界应力总图（抛物线公式）折减弹性模量理论工程中大部分受压杆件不是大柔度杆件，可以采用折减弹性模量理论分析这类压杆的临界压力。
材料在压缩时的应力-应变曲线如图所示，当应力超过比例极限时，加载时应力应变曲线为非线性，把这部分曲线的切线斜率作为该应力水平的弹性模量，称为切线弹性模量。
第十章压杆稳定 第4节 临界应力的经验公式
查表得 a = 461 MPa、b = 2.568 MPa 临界应力 临界力
cr a bz 461 2.567 64.7 294.9 MPa
Fcr cr A 162.7 kN
3）由于连杆在 x-y、x-z 两个平面内的柔度 z = 64.7、y = 57.4 比 较接近，故该连杆横截面的设计较为合理。
iy
Iy A
14100 5.05 mm 552
y
y l2
iy
0.5 580 57.4 11.6
因为λz = 64.7 >λy ，故连杆将在 x-y 平面内失稳。
2）计算临界力 由优质碳钢 s = 306 MPa，查表得
p 100
s 60
由于 s < z < p ，连杆属于中长杆，故采用直线公式计算临界力
此时，立柱为中柔度杆，应用直线公式计算临界力
由表 10-2 查得 a = 304 MPa，b = 1.12 MPa 临界应力 临界力
cr a b 304 1.12 75 220 MPa
Fcr cr A 220 48.541 1068 kN
[例2] 图示连杆，已知材料为优质碳钢，弹性模量 E = 210 GPa，屈服 极限 s = 306 MPa。试确定该连杆的临界力Fcr ，并说明横截面的设计 是否合理。 解： 由于连杆在两
个方向上的约束情
况不同，故应分别 计算连杆在两个纵 向对称平面内的柔 度，柔度大的那个 平面为失稳平面。
1）计算柔度 在 x-y 平面（弯曲中性轴为 z 轴）： 两端铰支
z = 1
l1 = 750 mm
A 24 12 2 6 22 552 mm2
第十三章压杆的稳定性
(a)
(b)
7
§ 13-2
细长压杆的临界力
w A sin kx B cos kx (c)
将边界条件x=0，w=0代入式(c)得 B=0。于是根据(c)式并利用边界条件 x=l，w=0得到
A sin kl 0
由于B=0，故上式中的A不可能等于零，则
sin kl 0
w
解得：kl 0，π, 2π，
φ28 800 C
P=30kN
1
μ1l1 0.5 900 75 i1 6 s 1 P
解： 1.根据已知条件求 s ,P cr1 304 1.12 75 220MPa
a - s 304 - 240 s 57.1 b 1.12
3
§ 13-1
压杆稳定性的概念
2. 理想中心杆件 1. 压杆轴线是理想直线即无初弯曲， 2. 压力作用线与轴线完全重合， 3. 材料是绝对均匀的。
二、失稳（屈曲）
压杆丧失其直线平衡而过渡到曲线平衡，
称为丧失稳定性，简称失稳或屈曲。
4
§ 13-1
压杆稳定性的概念
F<Fcr
F=Fcr
F>Fcr
Fcr：临界压力
F 30 103 2 48.72MPa A2 p 282 4
24
§ 13-4
压杆的稳定性计算
作业：P1076； P10916 思考：P11017； P11018
25
§ 13-4
压杆的稳定性计算
答疑通知
地点：工科二号楼A424（力学系）
时间：17周的周二下午两点；
26
§ 13-4
P=30kN
n2
临界应力的经验公式包括
临界应力的经验公式包括
摘要：
1.临界应力的概念
2.临界应力的经验公式
3.应用及发展前景
正文：
一、临界应力的概念
临界应力，又称为屈服强度，是指材料在受到外力作用下，其应力达到一定程度时，材料开始发生塑性形变的应力值。
在材料科学和工程领域，临界应力是一个非常重要的参数，因为它能够反映材料的强度和韧性。
二、临界应力的经验公式
在实际应用中，临界应力的经验公式包括以下几个方面：
1.许用应力公式：许用应力公式是根据大量的实验数据和工程经验总结得出的，其公式为：σ = K * (σ_y / σ_b)^n，其中σ表示许用应力，σ_y 表示材料的屈服强度，σ_b 表示材料的抗拉强度，K 和n 为经验系数。
2.泊松比公式：泊松比是描述材料在受到拉伸或压缩时，其长度或体积变化的比值。
泊松比公式为：π = -ΔV / (ΔL * A)，其中π表示泊松比，ΔV 表示体积变化，ΔL 表示长度变化，A 表示截面积。
3.硬度公式：硬度是衡量材料软硬的指标，其公式为：H = F / A，其中H 表示硬度，F 表示材料所受到的力，A 表示受力面积。
三、应用及发展前景
临界应力的经验公式在工程领域中得到了广泛的应用，如机械制造、航空航天、建筑结构等。
通过这些公式，可以更准确地预测材料的性能和寿命，从而提高工程的安全性和可靠性。
随着科学技术的发展，临界应力的研究也在不断深入。
第十一章 压杆稳定
第十一章压杆稳定本章主要介绍压杆稳定的概念、压杆的临界力与临界应力的计算及适用条件，并简介中长杆的临界应力计算的经验公式和临界应力总图以及提高压杆稳定的措施。
第一节压杆稳定的概念在前面讨论受压直杆的强度问题时，认为只要满足杆受压时的强度条件，就能保证压杆的正常工作。
然而，在事实上，这个结论只适用于短粗压杆。
而细长压杆在轴向压力作用下，其破坏的形式却呈现出与强度问题截然不同的现象。
例如，一根长300mm的钢制直杆，其横截面的宽度和厚度分别为20mm和1mm，材料的抗压许用应力等于140MPa，如果按照其抗压强度计算，其抗压承载力应为2800N。
但是实际上，在压力尚不到40N时，杆件就发生了明显的弯曲变形，丧失了其在直线形状下保持平衡的能力从而导致破坏。
显然，这不属于强度性质的问题，而属于下面即将讨论的压杆稳定的范畴。
为了说明问题，取如图11—1a所示的等直细长杆，在其两端施加轴向压力F，使杆在直线形状下处于平衡，此时，如果给杆以微小的侧向干扰力，使杆发生微小的弯曲，然后撤去干扰力，则当杆承受的轴向压力数值不同时，其结果也截然不同。
当杆承受的轴向压力数值F小于某一数值F cr时，在撤去干扰力以后，杆能自动恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，如图11—1a、b所示，这种原有的直线平衡状态称为稳定的平衡；当杆承受的轴向压力数值F逐渐增大到（甚至超过）某一数值F cr时，即使撤去干扰力，杆仍然处于微弯形状，不能自动恢复到原有的直线平衡状态，如图11—1c、d所示，则原有的直线平衡状态为不稳定的平衡。
如果力F继续增大，则杆继续弯曲，产生显著的变形，甚至发生突然破获。
上述现象表明，在轴向压力F由小逐渐增大的过程中，压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆丧失稳定性或者压杆失稳。
显然压杆是否失稳取决于轴向压力的数值，压杆由直线形状的稳定的平衡过渡到不稳定的平衡，具有临界的性质，此时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界力，用Fcr表示。
压杆的临界应力
4
4
FNC 4.8FNB
E
代入第一式后求解得：
FNB 0.283 F , FNC 1.36 F
A
BC
2、求杆许可荷载：
a
a
（1）以BE杆为标准：
[FNB ]
[s ]A
160106
3.14 0.052 4
314kN
F D a
F1
FNB
0.283
1110kN
2. 中长杆 2. 粗短杆
Fcr s crAa blA
影响因素主要是材料常数a和b，以 及压杆的长细比及压杆的横截面面 积
Fcr s cr As s A
影响因素主要取决于材料的屈服强 度和杆件的横截面面积。
压杆稳定问题中的长细比反应了杆的尺寸，（ 截面）形和状
（
约）束对临界压力的综合影响。
图示两端铰支压杆的截面为矩形。当其失稳时，（ ）。
B
A.临界压力Fcr＝π2EIy/L2，挠曲线位于xy面内； B.临界压力Fcr＝π2EIy/L2，挠曲线位于xz面内； C.临界压力Fcr＝π2EIz/L2，挠曲线位于xy面内； D.临界压力Fcr＝π2EIz/L2，挠曲线位于xz面内。
x
F b
2.中粗压杆和粗短压杆：提高屈服强度ss
二、从柔度方面考虑 1.采用合理的截面形状： （1）各方向约束相同时：
1)各方向惯性矩I相等—采用正方形、圆形截面； 2)增大惯性矩I—采用空心截面； （2）压杆两方向约束不同时：使两方向柔度接近相等， 可采用两个主惯性矩不同的截面，如矩形、工字形等。
目录
压杆稳定 \提高压杆稳定性的措施
性，a＝2m，求许可荷载F。
中小柔度杆的临界应力·经验公式
1.平衡的稳定性
不稳定平衡
稳定平衡 微小扰动使小球离开原来的平衡位
微小扰动就使小球远离原来
的平衡位置
置，但扰动撤销后小球回复到平衡位置
2.中心受压直杆的稳定性 压杆稳定性：压杆维持其原直线平衡状态的的能力； 压杆失稳：压杆丧失其原直线平衡状态，不能稳定地工作。 压杆失稳原因： ① ② ③ ④ 杆轴线本身不直(初曲率)； 加载偏心； 压杆材质不均匀； 外界干扰力。
o
z
zl
iy
0.5 1000 86.7 5.77
压杆将在xoy平面内失稳，欧拉公式适用。 2 E 2 200 103 cr 2 148 MPa 2 y 115.5 压杆临界力为
6 6 3 P A 148 10 20 60 10 10 178 kN cr cr
【例4】图示圆截面压杆，d=100 mm，E=200 GPa，
P=200 MPa。试求可用欧拉公式计算临界力时杆的长度。
P 【解】
P
l
E
P
200 10 3 99.3 200
A d 2 / 4 4l l l 4 i I d / 64 d
d
l
Fcr
Fcr
EI
2
( 0 .7 l )
2
Fcr
0.7l
Fcr
2、两端固定
拐点
拐点
EI Fcr ( 0 .5 l ) 2
2
Fcr
l 4
l 2
l 4
Fcr
l 2
Fcr
3、一端固定 一端自由
l
F F
F
F
l
l
材料力学压杆稳定第3节 欧拉公式及经验公式
S
a S
b
304 235 1.12
63
综述
对于由合金钢、铝合金、铸铁等制作的 压杆，根据其柔度可将压杆分为三类：
（1） P 的压杆，称为大柔度杆或细长杆
由欧拉公式 计算其临界应力
cr
2E 2
p
（2）S P 的压杆，称为中柔度杆或中长杆
由直线型经验公 式计算临界应力
2E 12
2
206109 1602
79.3 MPa
Fcr1 cr1A 79.3106 0.00785N 623 kN
（b）第二根压杆的临界载荷
2
l2
i
21 0.025
80
60 P 100
60 P 100 该杆为中柔度压杆，用直线公式求：
有关的常数，其单位是
MPa。与前式中的 a 、
b 值是不同。
根据欧拉公式与抛物线 经验公式，得低合金结
构钢等压杆的 cr总图。
cr a1 b12
cr
2E 2
P
例7-5 3 根材料相同的圆形截面压杆，均为一端固
定、一端自由，如图所示，直径均为d 100mm，皆 由 Q235 钢制成，材料的 E 206 GPa， b 200 MPa， S 235 MPa，a 304 MPa，b 1.12 MPa。试求各杆
Fcr A
2EI (l)2 A
令 i I A
令 l
i
cr
2Ei2 (l)2
2E
(
l
工程力学(高教版)教案：第九章 压杆稳定
第九章 压杆稳定第一节 压杆稳定的概念对于一般的构件，其满足强度及刚度条件时，就能确保其安全工作。
但对于细长压杆，不仅要满足强度及刚度条件，而且还必须满足稳定条件，才能安全工作。
例如，取两根截面（宽300mm ，厚5mm ）相同；其抗压强度极限40=c σMpa 的松木杆；长度分别为30mm 和1000mm ，进行轴向压缩试验。
试验结果，长为30mm 的短杆，承受的轴向压力可高达6kN （A c σ），属于强度问题；长为1000mm 的细长杆，在承受不足30N 的轴向压力时起就突然发生弯曲，如继续加大压力就会发生折断，而丧失承载能力，属于压杆稳定性问题。
如图9-1(a)所示，下端固定，上端自由的理想细长直杆，在上端施加一轴向压力P 。
试验发现当压力P 小于某一数值cr P 时，若在横向作用一个不大的干扰力，如图9-1b 所示，杆将产生横向弯曲变形。
但是，若横向干扰力消失，其横向弯曲变形也随之消失，如图9-1c 所示，杆仍然保持原直线平衡状态，这种平衡形式称为稳定平衡。
当压力cr P P =时，杆仍然保持直线平衡，但此时再在横向作用一个不大的干扰力，其立刻转为微弯平衡，但此时在，如图9-1d 所示，并且当干扰力消失后，其不能再回到原来的直线平衡状态，这种平衡形式称为不稳定平衡。
压杆由原直线平衡状态转为曲线平衡状态，称为丧失稳定性，简称失稳。
使压杆原直线的平衡由稳定转变为不稳定的轴向压力值cr P ，称为压杆的临界载荷。
在临界载荷作用下，压杆既能在直线状态下保持平衡，也能在微弯状态保持平衡。
所以，当轴向压力达到或超过压杆的临界载荷时，压杆将产生失稳现象。
图9-1在工程实际中，考虑细长压杆的稳定性问题非常重要。
因为这类构件的失稳常发生在其强度破坏之前，而且是瞬间发生的，以至于人们猝不及防，所以更具危险性。
例如：1907年，加拿大魁北克的圣劳伦斯河上一座跨度为548m 的钢桥，在施工过程中，由于两根受压杆件失稳，而导致全桥突然坍塌的严重事故；1912年，德国汉堡一座煤气库由于其一根受压槽钢压杆失稳，而致致使其破坏。
第10章 压杆稳定
第10章压杆稳定学习目标：1．了解失稳的概念、压杆稳定条件及其实用计算；2．理解压杆的临界应力总图；3．掌握用欧拉公司计算压杆的临界荷载与临界应力。
对承受轴向压力的细长杆，杆内的应力在没有达到材料的许用应力时，就可能在任意外界的扰动下发生突然弯曲甚至导致破坏，致使杆件或由之组成的结构丧失正常功能，此时杆件的破坏不是由于强度不够引起的，这类问题就是压杆稳定问题。
本章主要从压杆稳定的基本概念、不同支撑条件下的临界力、欧拉公式的适用条件以及提高压杆稳定性的措施方面加以介绍。
第一节压杆稳定的概念在研究受压直杆时，往往认为破坏原因是由于强度不够造成的，即当横截面上的正应力达到材料的极限应力时，杆才会发生破坏。
实验表明对于粗而短的压杆是正确的；但对于细长的压杆，情况并非如此。
细长压杆的破坏并不是由于强度不够，而是由于杆件丧失了保持直线平衡状态的稳定性造成的。
这类破坏称为压杆丧失稳定性破坏，简称失稳。
一、问题的提出工程结构中的压杆如果失稳，往往会引起严重的事故。
例如1907年加拿大魁北克圣劳伦斯河上长达548m的大铁桥，在施工时由于两根压杆失稳而引起倒塌，造成数十人死亡。
1909年，汉堡一个大型储气罐由于其支架中的一根压杆失稳而引起的倒塌。
这种细长压杆突然破坏，就其性质而言，与强度问题完全不同，杆件招致丧失稳定破坏的压力比招致强度不足破坏的压力要少得多，同时其失稳破坏是突然性，必须防范在先。
因而，对细长压杆必须进行稳定性的计算。
二、平衡状态的稳定性压杆受压后，杆件仍保持平衡的情况称为平衡状态。
压杆受压失稳后，其变形仍保持在弹性范围内的称为弹性稳定问题。
如图110-所示，两端铰支的细长压杆，当受到轴向压力时，如果是所用材料、几何形状等无缺陷的理想直杆，则杆受力后仍将保持直线形状。
当轴向压力较小时，如果给杆一个侧向干扰使其稍微弯曲，则当干扰去掉后，杆仍会恢复原来的直线形状，说明压杆处于稳定的平衡状态(如图)-所示)。
临界力及临界应力的计算 PPT
强度破坏
cr s（塑性材料）
cr
（脆性材料）
b
例2-14 图示支架中圆形截面压杆AB的直径为28mm,材料为A3钢， E=200GPa。试求荷载P的最大值。
解：AB压杆l=1000mm,
A d 2 282 615 .75mm 2; I d 4 ;
4
4
所以，此杆不能安全承受500KN压力，而将发生失稳破坏。
为加大杆的承载能力，改变支承方式为两端固定（或加中间
支承减小杆长），则μ＝0.5,
l
i
129.9 2
64.95 p
123
Plj lj A 206 .8 4200 868 .7kN P 500 kN
i
惯性矩 I可写成 I i22 A 其中 i I为惯性半径
l 称为柔度（或细长比）
A
i
集中地反映了压杆的长度，杆端约束，截面尺寸
和形状对临界应力的影响。
即
cr
2E 2
（欧拉公式的另一种表达）
欧拉公式的适用范围 经验公式
欧拉公式的适用范围
线弹性范围内，即临界应力 cr 小于比例极限
压杆稳定 桁架吊索式公路桥
压杆稳定 索式公路桥
压杆稳定
压杆稳定
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欧拉公式的适用范围
经验公式
一、临界应力
A l EI A F σ22cr cr )(πμ==I i A
=令 ， i ：惯性半径 令 ，λ：压杆的柔度（长细比）。
i l
μλ=()(/)22222ππE E i l l i μμ=⋅=22πE λ
=
二、 欧拉公式的适用范围
或 =≤2
cr p 2πE σσλ=1p
πE σλ≥2p πE σλ令 λ ≥ λ1的杆称为大柔度压杆或细长压杆。
当 λ＜λ1 但大于某一数值 λ2的压杆不能
应用欧拉公式，此时需用经验公式。
Q235钢，取 E =206GPa ，σp =200MPa ，得
9
16p 20610ππ10020010
E σλ⨯==≈⨯
三. 常用的经验公式
式中：a 和b 是与材料有关的常数，可查表。
直线公式 s cr σλ≤-=b a σ 的杆为中柔度杆，其临界应力用
经验公式计算。
12λλλ<≤或 b
a s σλ-≥b
a s σλ-=2令
1λλ≥12λλλ<≤四、压杆的分类及临界应力总图
1.压杆的分类
2
cr 2
πE σλ=λ
b a σ-=cr s
cr σσ=（1）大柔度杆 （2）中柔度杆 （3）小柔度杆 2λλ≤
2.临界应力总图 s cr σσ=λb a σ-=cr 2
2
cr πλE σ=cr
σλ
λ1 λ2 p σs
σ
例题压杆截面如图所示。
两端为柱形铰链约束，若绕
y 轴失稳可视为两端固定，若绕z轴失稳可视为两端铰支。
杆长l=1m，材料的弹性模量E=200GPa，
p
=200MPa。
求压杆的临界应力。
30mm y
z
解： ==1p π99E σλ31(0.030.02)120.0058m 0.030.02y y I i A
=⨯=
=⨯30mm y z m 0087.0==A
I i z z
1
5.0==z y μμ11586====z z z y y y i l i l
μλμλλz > λy ，所以压杆绕 z 轴先失稳， 且 λz =115 > λ1，用欧拉公式计算临界力。
kN 5.89π2
2
cr cr =⋅==z E A A σF λ30mm
y z 欧拉公式的适用范围·经验公式
例题：外径 D = 50 mm ，内径 d = 40 mm 的钢管，两端 铰支，承受轴向压力F 。
材料为 Q235钢，E = 200 GPa ， σp = 200 MPa ， σs = 240 MPa ，a =304MPa ，b =1.12MPa 。
求：（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度；（2）当压 杆长度为上述最小长度的3/4 时，压杆的临界应力。
解：1. 能用欧拉公式时压杆的最小柔度 ==1p
π100E σλ
2
222444
14)(π64)(πd D d D d D A I i +=--==1004122=≥+==
λμμλd D l i l 2222
1min 1000.050.04= 1.6m 441
D d l l λμ++≥==⨯压杆 μ = 1，
2. 用直线公式计算
m 2.14
3min ==l l 122754λμμλ<=+==d
D l i l λλ<=-=-=5712
.1240304s 2b σa kN 5.155)(4
π)(22cr cr =--=⋅=d D b a σA F λ
本讲结束。