经验公式和临界应力总图

欧拉公式的适用范围

经验公式

一、临界应力

A l EI A F σ22cr cr )(πμ==I i A

=令 ， i ：惯性半径 令 ，λ：压杆的柔度（长细比）。 i l

μλ=()(/)22222ππE E i l l i μμ=⋅=22πE λ

=

二、 欧拉公式的适用范围

或 =≤2

cr p 2πE σσλ=1p

πE σλ≥2p πE σλ令 λ ≥ λ1的杆称为大柔度压杆或细长压杆。

当 λ＜λ1 但大于某一数值 λ2的压杆不能

应用欧拉公式，此时需用经验公式。 Q235钢，取 E =206GPa ，σp =200MPa ，得

9

16p 20610ππ10020010

E σλ⨯==≈⨯

三. 常用的经验公式

式中：a 和b 是与材料有关的常数，可查表。 直线公式 s cr σλ≤-=b a σ 的杆为中柔度杆，其临界应力用

经验公式计算。

12λλλ<≤或 b

a s σλ-≥b

a s σλ-=2令

1λλ≥12λλλ<≤四、压杆的分类及临界应力总图

1.压杆的分类

2

cr 2

πE σλ=λ

b a σ-=cr s

cr σσ=（1）大柔度杆 （2）中柔度杆 （3）小柔度杆 2λλ≤

2.临界应力总图 s cr σσ=λb a σ-=cr 2

2

cr πλE σ=cr

σλ

λ1 λ2 p σs

σ

例题压杆截面如图所示。两端为柱形铰链约束，若绕

y 轴失稳可视为两端固定，若绕z轴失稳可视为两端铰支。杆长l=1m，材料的弹性模量E=200GPa，

p

=200MPa。

求压杆的临界应力。

30mm y

z

解： ==1p π99E σλ31(0.030.02)120.0058m 0.030.02y y I i A

=⨯=

=⨯30mm y z m 0087.0==A

I i z z

1

5.0==z y μμ11586====z z z y y y i l i l

μλμλλz > λy ，所以压杆绕 z 轴先失稳， 且 λz =115 > λ1，用欧拉公式计算临界力。 kN 5.89π2

2

cr cr =⋅==z E A A σF λ30mm

y z 欧拉公式的适用范围·经验公式

例题：外径 D = 50 mm ，内径 d = 40 mm 的钢管，两端 铰支，承受轴向压力F 。材料为 Q235钢，E = 200 GPa ， σp = 200 MPa ， σs = 240 MPa ，a =304MPa ，b =1.12MPa 。 求：（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度；（2）当压 杆长度为上述最小长度的3/4 时，压杆的临界应力。 解：1. 能用欧拉公式时压杆的最小柔度 ==1p

π100E σλ

2

222444

14)(π64)(πd D d D d D A I i +=--==1004122=≥+==

λμμλd D l i l 2222

1min 1000.050.04= 1.6m 441

D d l l λμ++≥==⨯压杆 μ = 1，

2. 用直线公式计算

m 2.14

3min ==l l 122754λμμλ<=+==d

D l i l λλ<=-=-=5712

.1240304s 2b σa kN 5.155)(4

π)(22cr cr =--=⋅=d D b a σA F λ

本讲结束