1.3.1二项式定理(2)
高中数学-二项式定理试卷讲评-课标分析
课标分析
《1.3.1二项式定理》是《普通高中课程标准实验教科书-数学》选修2---3第一章第三部分第一节的内容，这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续，也是后面内容的开始。
在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它看做为计数原理的一个应用。
另一方面也是为后面学习随机变量及分布做准备。
同时二项式系数是一些特殊的组合数，有二项式定理可推导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识起到了很好的促进作用。
可见二项式定理是一个承上启下的内容，问题类型具有较强的综合性，可以连接不同内容的知识。
1、知识与技能目标
（1）、能利用计数原理证明二项式定理
（2）、理解掌握二项式定理，并能简单应用
（3）、能够区分二项式的系数与二项展开式的系数
2、过程与方法目标
通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察，分析，归纳的能力，以及转化化归的意识与知识迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式。
并经历数学解决问题的一般思路：发现问题，提出假设，证明假设，
3、情感与态度目标
通过探究问题，归纳假设让学生在学习的过程中养成独立思考的好习惯，在自主学习中体验成功，在思索中感受数学的魅力，让学生在体验知识产生的过程中找到乐趣。
教学重点：归纳二项式定理及二项式定理的应用
教学难点：二项式定理中单项式的系数
教学难点的突破：二项展开式中的系数问题，通过两个问题去考察计数原理在因式分解中的应用，从而提出在猜想中的各因式的特点，降幂排列，或升幂排列，系数是看成取谁的一个组合问题，从而很容易的就突破了难点，使学生不感到突然，或是难以接受。
高二数学 第一章1.3.1 二项式定理
本
解析 依题意 C57a2＋C37a4＝2C74a3.
课
时 由于 a≠0，整理得 5a2－10a＋3＝0，
栏
目 开 关
解得
a＝1±
10 5.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1.3.1
4．求2
x－
1 6 x
的展开式．
解 先将原式化简，再展开，得
本
2 x－ 1x6＝2x－x 16＝x13(2x－1)6
开 关
(a＋b)在相乘时都有两种选择：选 a 或选 b，而且每个(a＋b)
中的 a 或 b 都选定后，才能得到展开式的一项．由分步乘法
计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2 展开式共有 2×2＝
22 项，而且 a2－kbk 相当于从 2 个(a＋b)中取 k 个 b 的组合数
Ck2，即 a2－kbk 的系数是 Ck2.
பைடு நூலகம்
当 9－2r＝5 时，解得 r＝2，所以系数为 36.
所以展开式中，不含 x6 项，含有 x5 项，系数为 36.
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.1
探究点三 综合应用
例3
已知
x－ 2
1 4
x
n
的展开式中，前三项系数的绝对值依次
成等差数列．
本
(1)证明：展开式中没有常数项；
课
时
(2)求展开式中所有的有理项．
栏 目 开 关
(即1)证n2－明9n＋由8题＝意0，得：2Cn1·12＝1＋Cn2·122，
∴n＝8 (n＝1 舍去)．
∴Tk＋1＝Ck8(
x)8－k·－241
xk＝－12k·Ck8x
8－k 2
·x－4k ＝
高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.1 二项
1.3.1 二项式定理1．二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *) (1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a ＋b )n的二项式的展开式，展开式中一共有____项．(3)二项式系数：各项的系数__(k ∈{0,1,2，…，n })叫做二项式系数． 2．二项展开式的通项(a ＋b )n展开式中第k ＋1项____________(k ∈{0,1,2，…，n })称为二项展开式的通项． 预习交流(1)二项展开式的特点有哪些？(2)(x ＋1)n的展开式共有11项，则n 等于( )． A ．9 B ．10 C ．11 D ．12(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 7的展开式中第3项的二项式系数为__________，第6项的系数为__________，x 的次数为5的项为__________．答案：1．(2)n ＋1 (3)C kn2．T k ＋1＝C k n a n －k b k预习交流：(1)提示：①项数：n ＋1项；②指数：字母a ，b 的指数和为n ，字母a 的指数由n 递减到0，同时b 的指数由0递增到n ；③通项公式T r ＋1＝C r n a n －r b r指的是第r ＋1项，不是第r 项；④某项的二项式系数与该项的系数不是一个概念，C rn 叫做二项式系数，而某一项的系数是指此项中除字母外的部分，如(1＋2x )3的二项展开式中第3项的二项式系数为C 23＝3，而该项的系数为C 23·22＝12.(2)提示：B(3)提示：21 －84 －448x 5一、二项式定理的直接应用求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4的展开式．思路分析：直接利用二项式定理处理是基本的方法．但考虑到处理起来比较复杂，因此可以考虑将原式变形后再展开．化简：(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)．熟记二项式(a ＋b )n的展开式，是解决此类问题的关键，我们在解较复杂的二项式问题时，可根据二项式的结构特征进行适当变形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便．二、二项展开式中特定项(项的系数)的计算1．(2011山东高考，理14)若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为__________．思路分析：利用二项式定理的通项公式求出不含x 的项即可．2．(2011天津高考，理5)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )．A ．－154B ．154C ．－38D ．38思路分析：利用二项展开式的通项公式求．1．(2011陕西高考，理4)(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( )． A ．－20 B ．－15 C ．15 D ．202．(2011广东高考，理10)x ⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 7的展开式中，x 4的系数是________．(用数字作答)求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项T k ＋1＝C k n an －k b k的特点，一般需要建立方程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围(k ＝0,1,2，…，n )．(1)第m 项：此时k ＋1＝m ，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程； (3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解． 三、二项式定理的应用(整除问题)试判断7777－1能否被19整除．思路分析：由于76是19的倍数，可将7777转化为(76＋1)77用二项式定理展开．证明：32n ＋2－8n －9是64的倍数．用二项式定理解决a n＋b 整除(或余数)问题时，一般需要将底数a写成除数m 的整数倍加上或减去r (1≤r ＜m )的形式，利用二项展开式求解．答案：活动与探究1：解法1：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋C 14(3x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44(3x )0⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2.解法2：⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝3x ＋14x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1)＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.迁移与应用：解：原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55－1＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1.活动与探究2：1.4 解析：由二项式定理可知T r ＋1＝C r 6x 6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x 2r ＝C r 6(－a )r x 6－3r， 令6－3r ＝0，得r ＝2，∴T 3＝C 26(－a )2＝60. ∴15a ＝60.∴a ＝4.2．C 解析：设含x 2的项是二项展开式中第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫x 26－r·⎝⎛⎭⎪⎫－2x r＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫126－r (－2)r x 3－r.令3－r ＝2，得r ＝1.∴x 2的系数为C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫125(－2)＝－38.迁移与应用：1.C 解析：设第r ＋1项为常数项，T r ＋1＝C r 622x (6－r )(－2－x )r ＝(－1)r ·C r 6212x －2rx －rx， ∴12x －3rx ＝0， ∴r ＝4.∴常数项为T 5＝(－1)4C 46＝15.2．84 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 7的通项T r ＋1＝C r 7x 7－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r 7x 7－2r.令7－2r ＝3得r ＝2.因而⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 7展开式中含x 3项的系数为(－2)2·C 27＝4×7×62＝84.故x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 7的展开式中，x 4的系数为84.活动与探究3：解：7777－1＝(76＋1)77－1＝7677＋C 177·7676＋C 277·7675＋…＋C 7677·76＋C 7777－1＝76(7676＋C 1777675＋C 2777674＋…＋C 7677)．由于76能被19整除，因此7777－1能被19整除．迁移与应用：证明：∵32n ＋2－8n －9 ＝9n ＋1－8n －9＝(8＋1)n ＋1－8n －9 ＝8n ＋1＋C 1n ＋1·8n ＋…＋C n －1n ＋1·82＋C nn ＋1·8＋1－8n －9＝8n ＋1＋C 1n ＋1·8n ＋…＋C n －1n ＋1·82＋8(n ＋1)＋1－8n －9＝8n ＋1＋C 1n ＋1·8n ＋…＋C n －1n ＋1·82＝(8n －1＋C 1n ＋1·8n －2＋…＋C n －1n ＋1)·64，故32n ＋2－8n －9是64的倍数．1.⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 16的二项展开式中第4项是( )． A ．C 216x 12B ．C 316x 10 C ．－C 316x 10D ．C 416x 82．(2012天津高考，理5)在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 5的二项展开式中，x 的系数为( )．A ．10B ．－10C ．40D ．－403．(2012山东省实验中学诊断，理6)二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 10的展开式中的常数项是( )．A ．第10项B ．第9项C ．第8项D ．第7项4．(2012湖南高考，理13)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答)5．在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有__________项． 6．(1－x )4·(1－x )3的展开式中x 2的系数是__________．答案：1．C 解析：展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 16·(x )16－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·C r 16·x 16－2r ， ∴第4项为T 4＝(－1)3C 316·x 10＝－C 316x 10. 2．D 解析：T r ＋1＝C r5(2x 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r 25－r C r 5x 10－3r ，∴当10－3r ＝1时，r ＝3.∴(－1)325－3C 35＝－40.3．B 解析：展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10x 20－2r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r ＝2r C r 10·x 20－5r 2，令20－5r 2＝0，得r ＝8.∴常数项为第9项．4．－160 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的通项为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 626－r x 3－r .当3－r ＝0时，r ＝3.故(－1)3C 3626－3＝－C 3623＝－160.5．6 解析：∵T r ＋1＝3r4C r 20x20－r y r(r ＝0,1,2，…，20)的系数为有理数，∴r ＝0,4,8,12,16,20，共6项．6．－6 解析：展开式中的x 2项为C 14·(－x )1·C 23·(－x )2＋C 24(－x )2C 03＝－6x 2.。
1.3.1二项式定理(教案)
1． 3．1二项式定理教学目标：知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪第一课时一、复习引入：⑴22202122222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++；⑵3322303122233333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式， 即展开式应有下面形式的各项：4a ，3a b ，22a b ，3ab ，4b ，展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b 的情况有1种，即04C 种，4a 的系数是04C ；恰有1个取b 的情况有14C 种，3a b 的系数是14C ，恰有2个取b 的情况有24C 种，22a b 的系数是24C ，恰有3个取b 的情况有34C 种，3ab 的系数是34C ，有4都取b 的情况有44C 种，4b 的系数是44C ，∴4413222334444444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++． 二、讲解新课：二项式定理：01()()n n nr n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈⑴()n a b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项：n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b ，⑵展开式各项的系数：每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，na 的系数是0n C ； 恰有1个取b 的情况有1n C 种，na b 的系数是1n C ，……，恰有r 个取b 的情况有rn C 种，n rr ab -的系数是rn C ，……，有n 都取b 的情况有n n C 种，nb 的系数是nn C ， ∴01()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()n a b +的二项展开式，⑶它有1n +项，各项的系数(0,1,)rn C r n =叫二项式系数，⑷r n r r n C a b -叫二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项1r n r r r n T C a b -+=． ⑸二项式定理中，设1,a b x ==，则1(1)1n r rn n x C x C x x +=+++++三、讲解范例：例1．展开41(1)x+．解一： 411233444411111(1)1()()()()C C C x x x x x +=++++23446411x x x x=++++． 解二：4444413123444111(1)()(1)()1x x C x C x C x x x x⎡⎤+=+=++++⎣⎦ 23446411x x x x=++++．例2．展开6．解：6631(21)x x =-61524332216666631[(2)(2)(2)(2)(2)(2)1]x C x C x C x C x C x x=-+-+-+ 32236012164192240160x x x x x x=-+-+-+．例3．求12()x a +的展开式中的倒数第4项解：12()x a +的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，9129933939911212220T C x a C x a x a -+===．例4．求（1）6(23)a b +，（2）6(32)b a +的展开式中的第3项．解：（1）24242216(2)(3)2160T C a b a b +==， （2）24242216(3)(2)4860T C b a b a +==．点评：6(23)a b +，6(32)b a +的展开后结果相同，但展开式中的第r 项不相同例5．（1）求9(3x+的展开式常数项； （2）求9(3x +的展开式的中间两项 解：∵399292199()33r r r r r r r x T C C x ---+==⋅，∴（1）当390,62r r -==时展开式是常数项，即常数项为637932268T C =⋅=； （2）9(3x +的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，489912593423T C xx--=⋅=，15951092693T C x --=⋅=例6．（1）求7(12)x +的展开式的第4项的系数；（2）求91()x x-的展开式中3x 的系数及二项式系数解：7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==，∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280． （2）∵91()x x-的展开式的通项是9921991()(1)r rr r r r r T C xC x x--+=-=-， ∴923r -=，3r =，∴3x 的系数339(1)84C -=-，3x 的二项式系数3984C =．例7．求42)43(-+x x 的展开式中x 的系数分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开解：（法一）42)43(-+x x 42]4)3[(-+=x x02412344(3)(3)4C x x C x x =+-+⋅22224(3)4C x x ++⋅3234444(3)44C x x C -+⋅+⋅，显然，上式中只有第四项中含x 的项，∴展开式中含x 的项的系数是76843334-=⋅⋅-C（法二）：42)43(-+x x 4)]4)(1[(+-=x x 44)4()1(+-=x x)(4434224314404C x C x C x C x C +-+-=0413222334444444(4444)C x C x C x C x C +⋅+⋅+⋅+⋅ ∴展开式中含x 的项的系数是34C -334444C +768-=．例8．已知()()nmx x x f 4121)(+++= *(,)m n N ∈的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含2x 项的系数最小值分析：展开式中含2x 项的系数是关于n m ,的关系式，由展开式中含x 项的系数为36，可得3642=+n m ，从而转化为关于m 或n 的二次函数求解解：()()1214m nx x +++展开式中含x 的项为1124m n C x C x ⋅+⋅=11(24)m n C C x +∴11(24)36m n C C +=，即218m n +=，()()1214mnx x +++展开式中含2x 的项的系数为t =222224mn C C +222288m m n n =-+-， ∵218m n +=， ∴182m n =-，∴222(182)2(182)88t n n n n =---+-216148612n n =-+23715316()44n n =-+，∴当378n =时，t 取最小值，但*n N ∈， ∴ 5n =时，t 即2x 项的系数最小，最小值为272，此时5,8n m ==．第四课时例9．已知n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项 解：由题意：1221121()22n n C C ⋅=+⋅，即0892=+-n n ，∴8(1n n ==舍去）∴818(rrrr T C-+=⋅82481()2r r r r C x x --=-⋅⋅()1638412r rr r C x -=-⋅08r r Z ≤≤⎛⎫⎪∈⎝⎭①若1+r T 是常数项，则04316=-r，即0316=-r ， ∵r Z ∈，这不可能，∴展开式中没有常数项； ②若1+r T 是有理项，当且仅当4316r-为整数， ∴08,r r Z ≤≤∈，∴ 0,4,8r =，即 展开式中有三项有理项，分别是：41x T =，x T 8355=，292561-=x T 例10．求60.998的近似值，使误差小于0.001．解：66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-++-，展开式中第三项为2260.0020.00006C =，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，∴66011660.998(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=，一般地当a 较小时(1)1na na +≈+四、课堂练习：1.求()623a b +的展开式的第3项. 2.求()632b a +的展开式的第3项. 3.写出n 33)x21x (-的展开式的第r+1项.4.求()732x x+的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.5.用二项式定理展开：（1）5(a ；（2）5.6.化简：（1）55)x 1()x 1(-++；（2）4212142121)x 3x 2()x 3x 2(----+7．()5lg xx x +展开式中的第3项为610，求x ．8．求nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项答案：1. 262242216(2)(3)2160T C a b a b -+==2. 262224216(3)(2)4860T C b a a b -+==3.2311(2rn rr n rrr r nn T C C x--+⎛⎫==- ⎪⎝⎭4.展开式的第4项的二项式系数3735C =，第4项的系数3372280C = 5. （1）552(510105a a a a a b =++； （2）52315(2040322328x x x x =+-. 6. （1）552(1(122010x x +=++； （2）1111442222432(23)(23)192x x x x x x--+--=+ 7. ()5lg xx x +展开式中的第3项为232lg 632lg 551010x x C xx ++=⇒=22lg 3lg 50x x ⇒+-=5lg 1,lg 2x x ⇒==-10,1000x x ⇒== 8. nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项为2(1)n nn C -五、小结 ：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点六、课后作业： P36 习题1.3A 组1. 2. 3.4 七、板书设计（略）八、教学反思：(a+b) ｎ=这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)ｎ的 ，其中rn C （r=0,1,2,……,n ）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项.掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。
1.3.1二项式定理1-人教A版高中数学选修2-3课件
a4
C
1 4
a
3b
C
2 4
a
2b2
C
3 4
ab3
C
4 4
b
4
猜想 (a b)n ?
探究3：请分析(a+b)n的展开过程，证明猜想.
(a b)n (a b)(ab )(ab)
n
①项： a n a n1b … ankbk … bn
②系数：
C
0 n
C
1 n
C
k n
C
n n
分析a nk b k
k个(a b)中选b n个(a b)相乘 n k个(a b)中选a
b
C
k n
a
nk
b
k
C
n n
b
n
(n
N*)
①项数： 共有n＋1项
②次数：各项的次数都等于n， 字母a按降幂排列，次数由n递减到0, 字母b按升幂排列，次数由0递增到n.
③二项式系数:
C
k n
(k {0,1,2,, n})
④二项展开式的通项:
Tk 1
C
k n
a
n
k
b
k
概念理解
(a
b)n
C
0 n
a
作业：P37 4
Cnk
③展开式：
(a b)n
C
0 n
a
n
C
1 n
a
n1
b
C
k n
a
n
k
b
k
C
n n
b
n
(n
N*)
定理的证明
(a+b)n是n个(a+b)相乘，每个(a+b)在相乘时有两种 选择，选a或b. 而且每个(a+b)中的a或b选定后才能 得到展开式的一项。
高中数学 1.3.1二项式定理课件 新人教A版选修23[1]
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二项式定理(dìnglǐ) 思维导航 1．我们已知(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，展开式中有3项；运 用多项式乘法可以求得(a＋b)3、(a＋b)4的展开式，并且它们分 别(fēnbié)有4项、5项，你能用类比归纳的方法得出(a＋b)n(n≥2) 的展开式吗？
第八页，共38页。
新知导学 1．二项展开式的推导：(a＋b)n(n∈N*)是 n 个因式(a＋b) 的积，按多项式乘以多项式的法则，可知确定乘积展开式中的 每一项，需要看有多少个因式(a＋b)中取 a，多少个因式(a＋b) 中取 b，如果从 k 个因式中选取 b，则就有__n_－__k____个因式中 选 a.∴积式为 an－kbk(k＝0、1、2、…、n)的形式的项共有__C_nk___ 个．合并同类项后为 _____C_nk_a_n－_k_b_k__________.因此(a ＋b)n＝ _C_0n_a_n＋__C__1na_n_－_1b_＋__…__＋__C__rna_n_－_rb_r_＋__…__＋__C_nn_－_1a_b_n_－_1_＋__C_nn_b_n__这个公式 叫做二项式定理．
D．－40
[解析] Tr＋1＝Cr5(x2)5－r(－x23)r＝Cr5x10－2r·(－2)r·x－3r ＝C5r (－2)r·x10－5r. 令 10－5r＝0，∴r＝2，常数项为 C25×4＝40.
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若
x＋ 1 4
2
n x
展开式中前三项系数依次成等差
数列．求：
(1)展开式中含 x 的一次幂的项；
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[方法规律总结] 二项式系数与项的系数是两个不同的概 念，前者仅与二项式的指数及项数有关(yǒuguān)，与二项式的 构成无关，后者与二项式的构成、二项式的指数及项数均有关 (yǒuguān)．
人教版高中数学选修2-3教案：1.3.1二项式定理
§1.3.1 二项式定理【教学目标】1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。
【教学重难点】教学重点：二项式定理的内容及归纳过程；教学难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律。
【教学过程】一、设置情景，引入课题引入：二项式定理研究的是（a+b）n的展开式。
如（a+b）2=a2+2ab+b2, （a+b）3=？，（a+b）4=？，那么（a+b）n的展开式是什么呢？二、引导探究，发现规律1、多项式乘法的再认识问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？2、（a+b）3展开式的再认识问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？合作探究1：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？教师引导：可以发现a2b是从（a+b）（a+b）（a+b）这三个括号中的任意两个中选a，剩下的一个括号中选b；利用组合知识可以得到a2b应该出现了C23· C11=3次，所以a2b的系数是3。
问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？可以对（a+b）4按a或按b进行分类：（1）四个括号中全都取a，得：C44a4（2）四个括号中有3个取a，剩下的1个取b，得：C34a3· C11b（3）四个括号中有2个取a，剩下的2个取b，得：C24a2· C22b2（4）四个括号中有1个取a，剩下的3个取b，得：C14a· C33b3（5）四个括号中全都取b，得：C44b4小结：对于展开式，只要按一个字母分类就可以了，可以按a分类，也可以按b分类，再如：（1）不取b：C04a4；（2）取1个b：C14a3b；（3）取2个b：C24a2b2；（4）取3个b：C34a b3；（5）取4个b：C44b4，然后将上面各式相加得到展开式。
1.3.1二项式定理
式的常数项是________.
2.(2019·上饶高二检测)已知 (x 2 x )n 的展开式的各项 系数和比二项式系数和大211. 世纪金榜导学号
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38
(1)求n的值. (2)求展开式中所有有理项.
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【思维·引】1.先根据二项式展开式的通项公式写出
第r+1项,再根据项的次数为零解得r,代入即得结果.
角度1 二项式系数与项的系数
【典例】1.(2018·全国卷Ⅲ) (x2 2)5 的展开式中x4的
x
系数为 ( )
A.10
B.20
C.40
D.80
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31
2.已知二项式 (3 x 2 )10 . 世纪金榜导学号
3x
(1)求展开式第4项的二项式系数.
(2)求展开式第4项的系数.
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46
(4)求整式项,求二项展开式中的整式项,其通项公式中 同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一 致.
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47
3.正确区分二项式系数与该项的系数 二项式系数与项的系数是两个不同的概念,前者仅与二 项式的指数及项数有关,与二项式无关,后者与二项式, 二项式的指数及项数均有关.
C×17 36-
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24
2.(x+2y)4= C04 x4+ C14 x3(2y)+ C24 x2(2y)2+ C34 x(2y)3 + C44 (2y)4=x4+8x3y+24x2y2+32xy3+16y4.
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1.3.1-2二项式定理
2 r ( x ) Tr 1 C
r 20
4 r 1 4 r 1 8 r 2 x T4r C20 ( x 2 )4r 1 (1)4r 1 C20 r 1 r 1 x 2r 2 Tr 2 C20 ( x 2 )r 1 ( 1)r 1 C20 r 1 4 r 1 C20 C20
r Tr 1 Cn ( xlog2 x )nr ,
展开式的倒数第二项为:
T14 C ( x
13 14
log2 x
) C x
1 14
log2 x
14 x log2 x =112
2
log2 x log2 x log2 8 23
(log2 x) 3
log2 x 3
解得, n 14, k 5,
4r－1=r＋1 或(4r－1)＋(r＋1)=20
2 r , (舍) 或r=4. 3
例2.在(1－x2)20展开式中, 如果第4r项和第r＋2项的二项 式系数相等. (1)求r的值; (2)写出展开式中的第4r项，第r＋2项.
解(2): (1－x2)20的展开式的通项为:
4 r 1 4 r 1 8 r 2 x T4r C20 ( x 2 )4r 1 (1)4r 1 C20 r 1 r 1 x 2r 2 Tr 2 C20 ( x 2 )r 1 ( 1)r 1 C20
二项式定理 （二）
复习回顾
1. 定理 (a+b)n= Cn0an+Cn1an-1b+…+ Cnran-rbr …+Cnnbn (1).项数规律: 二项展开式共有n+1个项 (2).指数规律: 各项的次数均为二项式的次数n (3).字母指数规律: a的次数由n降到0,b的次数由0升到n.
最新高中数学 第一章1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理学案 新人教A版选修2-3(考试必备)
1.3.1 二项式定理学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识点 二项式定理及其相关概念思考1 我们在初中学习了(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，试用多项式的乘法推导(a ＋b )3，(a ＋b )4的展开式．答案 (a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3，(a ＋b )4＝a 4＋4a 3b ＋6a 2b 2＋4ab 3＋b 4. 思考2 能用类比方法写出(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式吗？ 答案 能，(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)．梳理1．(a ＋b )n展开式中共有n 项．( × )2．在公式中，交换a ，b 的顺序对各项没有影响．( × ) 3．C k n an －k b k是(a ＋b )n 展开式中的第k 项．( × )4．(a －b )n与(a ＋b )n的二项式展开式的二项式系数相同．( √ )类型一 二项式定理的正用、逆用例1 (1)求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4的展开式．考点 二项式定理题点 运用二项式定理求展开式解 方法一 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x )4＋C 14(3x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 方法二 ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝1x 2(1＋3x )4＝1x 2·[1＋C 14·3x ＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4]＝1x2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4)＝1x 2＋12x＋54＋108x ＋81x 2.(2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k＋…＋(－1)n C nn .考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简 解 原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k(－1)k＋…＋C nn (－1)n＝[(x ＋1)＋(－1)]n＝x n. 引申探究若(1＋3)4＝a ＋b 3(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝________. 答案 44解析 ∵(1＋3)4＝1＋C 14×(3)1＋C 24×(3)2＋C 34×(3)3＋C 44×(3)4＝1＋43＋18＋123＋9＝28＋163，∴a ＝28，b ＝16，∴a ＋b ＝28＋16＝44.反思与感悟 (1)(a ＋b )n的二项展开式有n ＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n ；②字母a 按降幂排列，从第一项起，次数由n 逐项减1直到0；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n .(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．跟踪训练1 化简：(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1. 考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简解 原式＝C 05(2x ＋1)5－C 15(2x ＋1)4＋C 25(2x ＋1)3－C 35(2x ＋1)2＋C 45(2x ＋1)－C 55(2x ＋1)0＝[(2x ＋1)－1]5＝(2x )5＝32x 5. 类型二 二项展开式通项的应用 命题角度1 二项式系数与项的系数 例2 已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －23x 10. (1)求展开式第4项的二项式系数； (2)求展开式第4项的系数；(3)求第4项．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 解 ⎝⎛⎭⎪⎫3x －23x 10的展开式的通项是 T k ＋1＝C k 10(3x )10－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－23x k ＝C k 10310－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23k ·1032kx- (k ＝0,1,2，…，10)．(1)展开式的第4项(k ＝3)的二项式系数为C 310＝120. (2)展开式的第4项的系数为C 31037⎝ ⎛⎭⎪⎫－233＝－77 760. (3)展开式的第4项为T 4＝T 3＋1＝－77 760x .反思与感悟 (1)二项式系数都是组合数C kn (k ∈{0,1,2，…，n })，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念． (2)第k ＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C kn .例如，在(1＋2x )7的展开式中，第四项是T 4＝C 3717－3(2x )3，其二项式系数是C 37＝35，而第四项的系数是C 3723＝280.跟踪训练2 已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.(1)求n 的值；(2)求展开式中含x 3的项，并指出该项的二项式系数． 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数解 (1)因为T 3＝C 2n (x )n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＝4C 2n 62n x-，T 2＝C 1n (x )n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＝－2C 1n 32n x -，依题意得4C 2n ＋2C 1n ＝162，所以2C 2n ＋C 1n ＝81， 所以n 2＝81，n ∈N *，故n ＝9.(2)设第k ＋1项含x 3项，则T k ＋1＝C k 9(x )9－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k ＝(－2)k C k9932k x-，所以9－3k 2＝3，k ＝1，所以第二项为含x 3的项为T 2＝－2C 19x 3＝－18x 3. 二项式系数为C 19＝9.命题角度2 展开式中的特定项例3 已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项 解 通项公式为T k ＋1＝C kn3n k x-(－3)k3k x-＝C k n(－3)k23n k x-.(1)∵第6项为常数项，∴当k ＝5时，有n －2k3＝0，即n ＝10.(2)令10－2k 3＝2，得k ＝12(10－6)＝2，∴所求的系数为C 210(－3)2＝405. (3)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧10－2k3∈Z ，0≤k ≤10，k ∈N .令10－2k3＝t (t ∈Z )， 则10－2k ＝3t ，即k ＝5－32t .∵k ∈N ，∴t 应为偶数．令t ＝2,0，－2，即k ＝2,5,8.∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x 2，－61 236,295 245x －2. 反思与感悟 (1)求二项展开式的特定项的常见题型 ①求第k 项，T k ＝C k －1n an －k ＋1b k －1；②求含x k 的项(或x p y q 的项)；③求常数项；④求有理项．(2)求二项展开式的特定项的常用方法①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．跟踪训练3 (1)若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 9的展开式中x 3的系数是－84，则a ＝________. 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 1解析 展开式的通项为T k ＋1＝C k 9x 9－k(－a )k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1xk＝C k9·(－a )k x9－2k(0≤k ≤9，k ∈N )．当9－2k ＝3时，解得k ＝3，代入得x 3的系数， 根据题意得C 39(－a )3＝－84，解得a ＝1.(2)已知n 为等差数列－4，－2,0，…的第六项，则⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x n的二项展开式的常数项是________．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项 答案 160解析 由题意得n ＝6，∴T k ＋1＝2k C k 6x6－2k，令6－2k ＝0得k ＝3，∴常数项为C 3623＝160.1．(x ＋2)n的展开式共有11项，则n 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．8 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 B解析 因为(a ＋b )n 的展开式共有n ＋1项，而(x ＋2)n的展开式共有11项，所以n ＝10，故选B.2．1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C nn 等于( ) A ．1 B ．1 C ．(－1)nD ．3n考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简 答案 C解析 逆用二项式定理，将1看成公式中的a ，－2看成公式中的b ，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.3.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中，常数项为15，则n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 D解析 展开式的通项为T k ＋1＝C kn (x 2)n －k·(－1)k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ＝(－1)k C k n x 2n －3k.令2n －3k ＝0，得n ＝32k (n ，k ∈N *)，若k ＝2，则n ＝3不符合题意，若k ＝4，则n ＝6，此时(－1)4·C 46＝15，所以n ＝6.4．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项 答案 C解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式的通项为T k ＋1＝C k 24·(x )24－k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x k ＝C k 245126kx -，故当k ＝0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项． 5．求二项式(x －3x )9展开式中的有理项． 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项解 T k ＋1＝C k 9912kx -⎛⎫ ⎪⎝⎭·13kx ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝(－1)k C k9·276kx -，令27－k 6∈Z (0≤k ≤9)，得k ＝3或k ＝9，所以当k ＝3时，27－k 6＝4，T 4＝(－1)3C 39x 4＝－84x 4，当k ＝9时，27－k 6＝3，T 10＝(－1)9C 99x 3＝－x 3.综上，展开式中的有理项为－84x 4与－x 3.1．注意区分项的二项式系数与系数的概念． 2．要牢记C k n an －k b k是展开式的第k ＋1项，不要误认为是第k 项．3．求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值．一、选择题1．S ＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4x －3，则S 等于( ) A ．x 4B ．x 4＋1 C ．(x －2)4D ．x 4＋4考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简 答案 A解析 S ＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1＝C 04(x －1)4＋C 14(x －1)3＋C 24(x －1)2＋C 34(x －1)＋C 44＝[(x －1)＋1]4＝x 4，故选A.2．设i 为虚数单位，则(1＋i)6展开式中的第3项为( ) A ．－20i B ．15i C ．20D ．－15考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式中的特定项 答案 D解析 (1＋i)6展开式中的第3项为C 26i 2＝－15. 3．(x －2y )10的展开式中x 6y 4的系数是( ) A ．－840 B ．840 C ．210D ．－210考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 答案 B解析 在通项公式T k ＋1＝C k 10(－2y )k x 10－k中，令k ＝4，即得(x －2y )10的展开式中x 6y 4的系数为C 410×(－2)4＝840.4．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x n 的展开式中，若常数项为60，则n 等于( )A ．3B ．6C ．9D ．12考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 B解析 T k ＋1＝C k n(x )n －k⎝ ⎛⎭⎪⎫2x k ＝2k C kn 32n k x-.令n －3k2＝0，得n ＝3k .根据题意有2k C k3k ＝60，验证知k ＝2，故n ＝6.5．若(1＋3x )n (n ∈N *)的展开式中，第三项的二项式系数为6，则第四项的系数为( ) A ．4 B ．27 C ．36D ．108考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 答案 D解析 T k ＋1＝C kn (3x )k，由C 2n ＝6，得n ＝4，从而T 4＝C 34·(3x )3，故第四项的系数为C 3433＝108.6．在二项式121412nx x ⎛⎫⎪+⎪⎝⎭的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则展开式中有理项的项数为( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项 答案 C解析 二项展开式的前三项的系数分别为1，C 1n ·12，C 2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫122，由其成等差数列，可得2C 1n ·12＝1＋C 2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫122⇒n ＝1＋n (n －1)8，所以n ＝8(n ＝1舍去)．所以展开式的通项T k ＋1＝C k 8⎝ ⎛⎭⎪⎫12k344kx -.若为有理项，则有4－3k4∈Z ，所以k 可取0,4,8，所以展开式中有理项的项数为3.7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 4，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f (f (x ))表达式的展开式中常数项为( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．10考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项答案 B解析 依据分段函数的解析式， 得f (f (x ))＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x 4，∴T k ＋1＝C k4(－1)k xk －2.令k －2＝0，则k ＝2，故常数项为C 24(－1)2＝6. 二、填空题8.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 7的展开式中倒数第三项为________．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项 答案84x8解析 由于n ＝7，可知展开式中共有8项， ∴倒数第三项即为第六项，∴T 6＝C 57(2x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25＝C 57·221x 8＝84x8.9．若(x ＋1)n ＝x n＋…＋ax 3＋bx 2＋nx ＋1(n ∈N *)，且a ∶b ＝3∶1，那么n ＝________. 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 11解析 a ＝C n －3n ，b ＝C n －2n .∵a ∶b ＝3∶1， ∴C n －3n C n －2n ＝C 3n C 2n ＝31，即n (n －1)(n －2)·26n (n －1)＝3， 解得n ＝11.10．已知正实数m ，若x 10＝a 0＋a 1(m －x )＋a 2(m －x )2＋…＋a 10(m －x )10，其中a 8＝180，则m 的值为________．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 2解析 由x 10＝[m －(m －x )]10，[m －(m －x )]10的二项展开式的第9项为C 810m 2(－1)8·(m －x )8， ∴a 8＝C 810m 2(－1)8＝180， 则m ＝±2.又m >0，∴m ＝2.11．使⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为________．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 5解析 展开式的通项公式T k ＋1＝C k n(3x )n －k⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x k，∴T k ＋1＝3n －k C kn52n k x-，k ＝0,1,2，…，n .令n －52k ＝0，n ＝52k ，故最小正整数n ＝5. 三、解答题12．若二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，且B ＝4A ，求a 的值．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数解 ∵T k ＋1＝C k 6x 6－k⎝⎛⎭⎪⎫－a x k ＝(－a )k C k6362kx -，令6－3k 2＝3，则k ＝2，得A ＝C 26·a 2＝15a 2；令6－3k 2＝0，则k ＝4，得B ＝C 46·a 4＝15a 4.由B ＝4A 可得a 2＝4，又a >0， ∴a ＝2.13．已知在⎝⎛⎭⎪⎫12x 2－1x n的展开式中，第9项为常数项，求：(1)n 的值；(2)展开式中x 5的系数； (3)含x 的整数次幂的项的个数． 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项解 已知二项展开式的通项为T k ＋1＝C k n⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2n －k ·⎝⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －k C kn 522n k x -.(1)因为第9项为常数项，即当k ＝8时，2n －52k ＝0，解得n ＝10.(2)令2×10－52k ＝5，得k ＝25(20－5)＝6.所以x 5的系数为(－1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫124C 610＝1058. (3)要使2n －52k ，即40－5k 2为整数，只需k 为偶数，由于k ＝0,1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．四、探究与拓展14．设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n.若点A i (i ，a i ) (i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数答案 3解析 由题意知A 0(0,1)，A 1(1,3)，A 2(2,4)．即a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4.由⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n的展开式的通项公式知T k ＋1＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a k(k ＝0,1,2，…，n )．故C 1n a ＝3，C 2na 2＝4，解得a ＝3.15．设f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 的展开式中含x 项的系数是19(m ，n ∈N *)．(1)求f (x )的展开式中含x 2项的系数的最小值；(2)当f (x )的展开式中含x 2项的系数取最小值时，求f (x )的展开式中含x 7项的系数． 考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式特定项的系数解 (1)由题设知m ＋n ＝19，所以m ＝19－n ，含x 2项的系数为C 2m ＋C 2n ＝C 219－n ＋C 2n＝(19－n )(18－n )2＋n (n －1)2＝n 2－19n ＋171＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1922＋3234.因为n ∈N *，所以当n ＝9或n ＝10时，x 2项的系数的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3234＝81.(2)当n＝9，m＝10或n＝10，m＝9时，x2项的系数取最小值，此时x7项的系数为C710＋C79＝C310＋C29＝156.。
数学选修2-3 1.3.1二项式定理
填一填
(x+2)8 的展开式中的第 6 项为 ,其二项式系数为 . 5 3 5 5 解析:展开式的第 6 项是 T6=C8 x· 2 =1 792x3,其二项式系数为C8 . 答案:1 792x3 56
-5-
1.3.1 二项式定理
首 页
X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
HONGNAN TANJIU
D 当堂检测
ANGTANG JIANCE
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一二项式定理
1.简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开;对于形式较复杂 的二项式,在展开之前可以根据二项式的结构特点进行必要的变形,然后再 展开,以使运算得到简化.记准、记熟二项式(a+b)n 的展开式是解答好与二 项式定理有关的问题的前提. 2.逆用二项式定理要注意二项展开式的结构特点.a 的指数是从高到 低,b 的指数是从低到高,a,b 的指数和都相等;如果项的系数是正负相间,则 是(a-b)n 的形式.
3
2x)
20-k
·-
∵系数为有理数,∴40-5k 是 6 的倍数,0≤k≤20,k∈Z,∴k=2,8,14,20.
答案:(1)C (2)A
-13-
1 ������ 2
= -
2 2
������
· ( 2)
3
20-k ������
C20 · x
20-k
=(-1)
k
40-5������ · 2 6 C������
0 C4 · (2
4
解:(1)方法一:直接利用二项式定理展开并化简:
1 4 ������
+
(2)原式 0 5 1 2 3 4 =C5 (x-1)5+C5 (x-1)4+C5 (x-1)3+C5 (x-1)2+C5 (x-1)+C5 -1=[(x-1)+1]5-1=x5-1.
【数学】1.3.1《二项式定理2》课件(新人教B版选修2-3)
n−r n
4
4
n
n
n
n
n
二项式系数前半部分逐渐增大，后半部分逐渐减小， 二项式系数前半部分逐渐增大，后半部分逐渐减小，且 ② 在中间取得最大值； ； 在中间取得最大值；
即与首末两端“等距离” ； 即与首末两端“等距离”的两个二项式系数相 等
③
各二项式系数的和： 各二项式系数的和： Cn + Cn + Cn +L+ Cn = 2
n+1
r （r=0,1,2,……,n） ） n
3. 对称性： 对称性： 聚合性： 聚合性：
C = C
C +C
r n
r n
n−r n
r −1 n
= C
r n +1
1 10 (a+b)1…………………………… C1 C1 1 2 (a+b)2……………………… C 0 C 1 C 1 1 2
2
2
2
2 3 1 3 (a+b)3…………………… C 3 C 3 C3 C 31 3 2 (a+b)4……………… C 0 C 1 C C43 C 41 1 4 6
知识回顾
1.(a+b) n=
0 1 2 n Cn an +Cnan−1b +Cn an−2b2 +L+Cn bn n ∈ N ∗, ﹙ ﹚
展开式共有 项，其中 C 叫做 二项式系数 ； 2.通项表示展开式中的第 2.通项表示展开式中的第 r+1 项，通项公式 r n−r r 是 Tr+1 = Cn a b . r+1
。
4 6 4
展开式中， 4.﹙x-y﹚10展开式中，系数最大的项是
1.3.1二项式定理(2)
(n ∈ N )
(2)二项展开式的通项 二项展开式的通项: 二项展开式的通项
∗
Tk +1 = C a
k n
n− k
b
k
(注意，它是第k+1项) 注意，它是第 注意 项 (3)区别二项式系数， (3)区别二项式系数，项的系数 区别二项式系数 (4)掌握用通项公式求二项式系数， (4)掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项 掌握用通项公式求二项式系数 (5)二项式定理简单应用 二项式定理简单应用. 二项式定理简单应用
0 n
r
+ C + C + L + C = (1 + 1) = 2n
1 n 2 n n n n
运用二项式定理可以在头脑里迅速地展开一些式 从而能解决些问题.这节课我们来做一些练习. 子,从而能解决些问题.这节课我们来做一些练习.
普通高中课程数学选修2-3] 1.2 排列与组合 普通高中课程数学选修 3 [普通高中课程数学选修
故存在常数项且为第7项 故存在常数项且为第 项，
6 6 8
1 常数项T7 = ( −1) ⋅ C ⋅ 2
8− 6
⋅x =7
0
4. 9192除以 除以100的余数是＿＿＿＿＿ 的余数是＿＿＿＿＿ 的余数是
0 1 91 92 91 分 析 ： 92 = (90 + 1)92 = C 92 90 92 + C 92 90 91 + L + C 92 90 + C 92
由此可见，除后两项外均能被 由此可见，除后两项外均能被100整除 整除 91 92 C 92 90 + C 92 = 8281 = 82 × 100 + 81
1[1].3.1二项式定理
![1[1].3.1二项式定理](https://img.taocdn.com/s3/m/fbc686c69ec3d5bbfd0a74c6.png)
(2) 0 1 2 r r n n (3) Cn 2Cn 4Cn 2 Cn 2 Cn 解：(1)二项式定理中令 可得
0 1 2 r n Cn Cn Cn Cn Cn 0 1 2 r r n Cn Cn Cn (1) Cn (1)n Cn
利用归纳推理，思考对于任意的正整数n，(a+b)n 展开式如何呢？
Bqr6401@
三、概念形成
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue
概念1.二项式定理
探索
(a＋b)2 ＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b) ＝a2＋2ab＋b2 a2 ab ab b2 (a＋b)3＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
Liangxiangzhongxue
下课
Bqr6401@
C0 a3 C1 a2b C2 ab2 C3 b3 3 3 3 3
Bqr6401@
共有四项
三、概念形成
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue
概念1.二项式定理
探索
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 ＝ C0 a3＋ C1a2b＋ C2 ab2＋C3 b3 3 3 3 3 (a＋b)4＝(a＋b) (a＋b) (a＋b) (a＋b) ＝ C0a4＋ C1 a3b＋ C2a2b2＋C3 ab3＋C4 b4 4 4 4 4 4
0 1 2 22 n＝C 0 1 rC r r＋…＋(-1)nC n n (1-x) -C x＋C x -…＋(-1) x x n n n
1.3.1二项式定理(学、教案)
§1.3.1 二项式定理【教学目标】1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。
【教学重难点】教学重点：二项式定理的内容及归纳过程；教学难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律。
【教学过程】一、设置情景，引入课题引入：二项式定理研究的是（a+b）n的展开式。
如（a+b）2=a2+2ab+b2, （a+b）3=？，（a+b）4=？，那么（a+b）n的展开式是什么呢？二、引导探究，发现规律1、多项式乘法的再认识问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？2、（a+b）3展开式的再认识问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？合作探究1：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？教师引导：可以发现a2b是从（a+b）（a+b）（a+b）这三个括号中的任意两个中选a，剩下的一个括号中选b；利用组合知识可以得到a2b应该出现了C23· C11=3次，所以a2b的系数是3。
问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？可以对（a+b）4按a或按b进行分类：（1）四个括号中全都取a，得：C44a4（2）四个括号中有3个取a，剩下的1个取b，得：C34a3· C11b（3）四个括号中有2个取a，剩下的2个取b，得：C24a2· C22b2（4）四个括号中有1个取a，剩下的3个取b，得：C14a· C33b3（5）四个括号中全都取b，得：C44b4小结：对于展开式，只要按一个字母分类就可以了，可以按a分类，也可以按b分类，再如：（1）不取b：C04a4；（2）取1个b：C14a3b；（3）取2个b：C24a2b2；（4）取3个b：C34a b3；（5）取4个b：C44b4，然后将上面各式相加得到展开式。
理解二项式定理是代数乘法公式的推广
１.３二项式定理1.３。
１二项式定理一、教学目标：1．知识技能：(1）理解二项式定理是代数乘法公式的推X（2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理2。
过程与方法通过学生参与和探究二项式定理的XX 过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式3。
情感、态度、价值观培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简捷和严谨二、教学重点、难点重点:用计数原理分析3)(b a +的展开式得到二项式定理。
难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时XX 项系数的规律.三、教学过程（一）提出问题：引入：二项式定理研究的是n b a )(+的展开式。
如2222)(b ab a b a ++=+， 那么: 3)(b a +=？ 4)(b a +=? 100)(b a +=？ 更进一步：n b a )(+=?(二)对2)(b a +展开式的分析))(()(2b a b a b a ++=+ 展开后其项的形式为:22,,b ab a考虑b ，每个都不取b 的情况有１种，即02c ,则2a 前的系数为02c恰有1个取b 的情况有12c 种,则ab 前的系数为12c恰有2个取b 的情况有22c 种,则2b 前的系数为22c所以 222122022222)(b c ab c a c b ab a b a ++=++=+类似地 3332232133033223333)(b c ab c b a c a c b ab b a a b a +++=+++=+ 思考：))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+=？问题：1）.4)(b a +展开后XX 项形式分别是什么？4a b a 3 22b a 3ab 4b２)．XX 项前的系数代表着什么？XX 项前的系数 就是在4个括号中选几个取b 的方法种数３)．你能分析说明XX 项前的系数吗？每个都不取b 的情况有1种，即04c ，则4a 前的系数为04c恰有1个取b 的情况有14c 种,则b a 3前的系数为14c恰有2个取b 的情况有24c 种,则22b a 前的系数为24c恰有３个取b 的情况有34c 种，则3ab 前的系数为34c恰有4个取b 的情况有44c 种，则4b 前的系数为44c则 44433422243144044)(b c ab c b a c b a c a c b a ++++=+推X:得二项展开式定理：一般地，对于*N n ∈有011222333()...n n n n n n n n n a b c a c ab c a b c a b ---+=++++n n n n n n r r n r n b c ab c b a c +++---11...... 右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式r r n r n b a c -:二项展开式的通项，记作1+r T012,,,...,,...,r n n n n n n c c c c c : 二项式系数注1）.二项展开式共有1+n 项，每项前都有二项式系数2）.XX 项中a 的指数从n 起依次减小1,到0为此XX 项中b 的指数从０起依次增加1，到n 为此如n n n n r r n n n n x xc x c x c x c x +++++++=+--11221......1)1( 四、例题应用题型一 二项式定理的正用、逆用例1 （1)用二项式定理展开５；(2)化简：（x XX1）n －（x XX １）n -1XX (x XX1）ｎ-2-…XX （－1)（ｘXX1）n －ｒXX …XX(－1）.【精彩点拨】 （1)二项式的指数为5,且为两项的和,可直接按二项式定理展开；（２）可先把ｘXX1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解.【自主解答】 （1）5＝（2x ）5XX(2ｘ）４·XX …XX 5＝32ｘ5－120x 2XX －XX —。
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高中数学 选修2-3
1.3.1二项式定理
温故而知新
1.(a+b)n的二项展开式 是_________.
2.通项公式是 _T_r_+1__=_C__rn_a_n-_rb__r __.
2 3、Cn0 + C1n + Cn2 + L + Cnr + L + Cnn n
4、(1 + x)n 1 + C1nx + Cn2x2 +L + Crnxr +L + Cnnxn
课堂练习
1、已知
a x
x 2
的9 展开式中x3的系数
为 9 ，则常数a的值是_______
4
2、在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是（
）
A.-29#43;z)9中含x4y2z3的项的系数是 _4_._已_知__(_1_+_x2_)n展开式中含x-2的项的系数为12，求n.
•(5)若已知 (1+2x)200= a0+ a1(x-1) + a2(x-1)2 + …+ a200(x-1)200
求a1+a3+a5+a7+…+a199 的值。
例7、若 ( x+ 1 )n 展开式中前三项系数成等差 24 x
数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项； （2）展开式中所有x 的有理项；
例3、求 (x 3 3 x
1 x2
)5
展开式中的常数项。
例4、已知 (1 2x)5 展开式中第2项大于它的相邻
两项，求x的范围。
例5、(1)已知(
x
1 3x2
)n的第5项的二项式系数与第3
项的二项式系数比为14：3，求展开式中不含x 的项。
(2)已知 (
x
2 x2
)n
的展开式中，第5项的系数与
10
5是、_在______x__ _
1 3x
展开式中的常数项
例1、计算：
（1）(x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2 5(x 1)
（2）1 2Cn1 4Cn2 ... 2n Cnn
例2、求 (1 x)6 (1 x)4 的展开式中的 x3系数。
第3 项的系数比为56：3，求展开式中的常数项。
赋值法
例6、已知(1-2x)7=a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 ,则 (1)a1+a2+a3+…+a7=_______ (2)a1+a3+a5+a7 =_________ (3)a0+a2+a4+a6 =_________ •练习: