二次函数,面积问题综合练习题,水平宽铅垂高求面积
水平宽铅垂高求三角形面积完整版
解：（1）将B、C两点的坐标代入得
解得： 所以二次函数的表达式为：
（2）存在点P，使四边形POP C为菱形．设P点坐标为（x， ），PP 交CO于E若四边形POP C是菱形，则有PC＝PO．
连结PP 则PE⊥CO于E，∴OE=EC= = ．
∴ = 解得 = ， = （不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（ ， ）
（3）过点P作 轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x， ），易得，直线BC的解析式为 则Q点的坐标为（x，x－3）.
图① 图②
3.(2015年恩施) 如图11，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于A、B
两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，
点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP C，那么是否存在点P，使四边形POP C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
水平宽铅垂高求三角形面积
作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法
------------二次函数教学反思
铅垂高
如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2 ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.
中考数学总复习《二次函数与面积问题综合》专题训练(附带答案)
中考数学总复习《二次函数与面积问题综合》专题训练(附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，二次函数2=+43y x x --的图像与x 轴交于A B 两点（点A 在点B 左侧） 与y 轴交于C 点．(1)直接写出A B 两点的坐标：A B ；(2)当03x <<时 y 的取值范围是 ；(3)点P 在二次函数2=+43y x x --的图像上 ABP 的面积是ABC 面积的两倍 求点P 的坐标．2．如图，二次函数23y ax bx =++的图象与x 轴交于点A B （点B 在点A 右侧）A 点坐标为()3,0- 对称轴为直线=1x - 顶点为C 连接AC BC ，．(1)求点B C 的坐标；(2)求ABC 的面积．3．已知抛物线2y ax bx c =++（a b c 为常数 0a ≠） 与x 轴交于点()3,0A - 点B 两点 与y 轴交于点()0,3C 对称轴为=1x -．(1)求抛物线的表达式；(2)M 是抛物线上的点且在第二象限 连接AM MC AC 求MAC △面积的最大值．4．如图，抛物线2y ax bx c =++的图像与x 轴交于点A 点C 与y 轴交于点B 且2,4OA OC OB ===．(1)求这个二次函数的解析式 并求出顶点D 的坐标；(2)若点M 为第一象限内抛物线上一点 求M 点坐标为多少时 BCM 的面积最大 并求出这个最大面积．5．如图，在Rt ABC △ 90ABC ∠=︒ 该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数2y ax bx c =++过(1,0)A - (0,2)B (4,0)C ．(1)求二次函数的解析式；(2)点P 为该二次函数第一象限上一点 当BCP 的面积最大时 求P 点的坐标．6．二次函数23y ax bx =++的图象与x 轴交于(2,0)A (6,0)B 两点 与y 轴交于点C 顶点为E ．(1)求点E 的坐标；(2)如图① D 是该二次函数图象的对称轴上一个动点 当BD 的垂直平分线恰好经过点C 时 求点D 的坐标；(3)如图① P 是该二次函数图象上的一个动点 连接OP 取OP 中点Q 连接QC QE CE 当CEQ 的面积为12时 求点P 的坐标．7．如图，二次函数 ²y ax bx c =++的图像与x 轴的交于点(10)A -， (30)B ， 与y 轴的交于点C 且顶点P 在直线22y x =+上．(1)求该二次函数的表达式；(2)求APC △的面积．8．将拋物线()212y x =-+平移到图中2l 的位置 且与直线1l 交于()0,1A - ()2,1B 两点．(1)抛物线2l 是由抛物线()212y x =-+向左平移______个单位 再向下平移______个单位得到的；(2)求抛物线2l 的顶点坐标；(3)动点P 在直线1l 下方的抛物线2l 上 求以点O A P B ，，，为顶点的四边形的最大面积．9．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交 A B 两点 对称轴是y 轴 顶点C 在y 轴ABM与MDE的面积的和是否为定值11．如图① 四边形ABCD 中，AD BC ∥ DC BC ⊥ 6cm AD = 8cm DC = 12cm BC =．动点M 在CB 上运动 从C 点出发到B 点 速度为每秒2cm ；动点N 在BA 上运动 从B 点出发到A 点 速度为每秒1cm ．两个动点同时出发 当其中一个点到达终点时 另一个点也随即停止 设两个点的运动时间为t （秒）．(1)当t 为何值时 BMN 是直角三角形？(2)设DMN 的面积为S 求S 与t 之间的函数关系式；(3)如图① 连接BD 是否存在某一时刻t 使MN 与BD 互相垂直？若存在 求出这时的t 值；若不存在 请说明理由．12．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax x c =-+与y 轴交于点()0,4A - 与x 轴交于点()4,0B 连接AB .把PAB的面积分成请说明理由．22:EM y k x b =+交抛物线于点G E 且121k k =- 点P 和点Q 分别为线段GE 和线段DF 的中点 求证：直线PQ 过定点 并求出这个定点的坐标．14．综合与探究如图1 抛物线212y x bx c =-++经过点(4,0)B 和(0,2)C 与x 轴的另一个交点为A 连接AC BC ．(1)求该抛物线的解析式及点A 的坐标；(2)如图1 点D 是线段AC 的中点 连接BD ．点E 是抛物线上一点 若ABE BCD S S =△△ 设点E 的横坐标为x 请求出x 的值；(3)试探究在抛物线上是否存在一点P 使得45PBO OBC ∠+∠=︒？若存在 请直接写出点P 的坐标；若不存在 请说明理由．ACO从点的三角形记为DEFPB．BCP的面积是当BCP面积最大时参考答案： 1．(1)(1,0)；(3,0)(2)31y -<≤(3)点P 坐标为(27,6)+-或(27,6)--2．(1)()10B , ()1,4C -； (2)83．(1)223y x x =--+(2)2784．(1)()219122y x =--+ 顶点D 的坐标为91,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)点M 的坐标为()2,4 BCM 面积的最大值为45．(1)抛物线的解析式为213222y x x =-++； (2)当BCP 的面积最大时 ()23P ，．6．(1)(4,)1-(2)(4,329)+ 或(4,329)-(3)(10,8)或()6,24-7．(1)223y x x =-++(2)18．(1)12 134(2)顶点坐标为15,24⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)四边形OAPB 的最大面积是215．(1)215466y x x =-++ (2)221633y x x =-+ (3)72。
二次函数中的面积计算问题(包含铅垂高)
(D)二次函数中的面积计算问题【典型例子】例如，如图所示，二次函数2y x bx c =++图像x 在A 和B 两点（A 在B 的左边）与y 轴相交，在C 点与轴相交，顶点为M ，MAB ∆为直角三角形，图像的对称轴是一条直线2-=x ，该点P 是两点之间抛物线上的移动点,A C ，则PAC ∆面积的最大值为（C ）A.274 B. 112C 。
278D.3 二次函数中常见的面积问题类型：1.选择填空的简单应用2.不规则三角形的面积用S=3.使用4.使用相似的三角形5.使用分割法将不规则图形转为规则图形例 1如图 1 所示，已知正方形ABCD 的边长为 1 ， E , F , G , H 为每边的点， AE=BF=CG=DH ，设面积为小s 正方形EFGH 为, AE 为x , 那么about s 的x 函数图大致为 (乙)示例 2.回答以下问题：如图1所示，抛物线的顶点坐标为C 点( 1,4 )，与x 轴相交于A 点( 3 , 0)，与y 轴相交于B 点。
抛物线和直线AB 的解析公式；(2)求△ CA AB 和S △ CAB 的垂直高度CD ；(3)假设点P 是抛物线上（第一象限）上的一个移动点，是否存在点P ，使得S △ PA B = 89S △ CA B ，如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，请解释原因。
思想分析这个问题是二次函数中的常见面积问题。
该方法不是唯一的。
可以使用截补法，但是有点麻烦。
如图第10题xyABCOM图1B铅垂高水平宽ha图2A xC Oy ABD 112所示，我们可以画出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆即三角形的面积等于水平宽度与前导垂直乘积的一半。
掌握了这个公式之后，思路就直截了当，过程也比较简单，计算量也相对少了很多。
答： （1）据已知，抛物线的解析公式可以设为y 1 = a ( x - 1 ) 2+ 4 ( a ≠ 0 ) 。
将A (3, 0)代入解析表达式，得到a = - 1 ，∴抛物线的解析公式为y 1 = - ( x - 1 ) 2+ 4，即y 1 = - x 2+2 x +3。
二次函数中的面积计算问题
h
C
＋1）与抛物线交于点M，
抛物线的解析式为y＝x 2－2x－4D
（二1次）函求数此中抛的物面线积的计解算析问式题。1
B
＋1）与抛物线交于点M，
与直线y＝x交于点N，交x轴O于点P，1求线段MN的A长（用含mx的代数式表示）。
二次函数中的面积计算问题
水平宽 a
例1：如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，
图1
图2
(1)抛物线解析y式 1 为 (x1)2 4,即y1 x2 2x3 直A 线 解 B 析 y2式 x 为 3.
y C
B D
1
O1
2
C ( 1 , 4 ) 当 , x 1 时 ， y 1 4 , y 2 2 .
CA 的 B铅 C锤 D 42 高 2 .
1
A
x SCAB2323
y B 交 轴于点 。 二次函数中的面积计算问题
抛物线的解析式为y＝x 2－2x－4
＋1）与（抛物1线）交于求点M抛， 物线和直线AB的解析式；
（2）若平行于y轴的直线x＝m（0＜m＜
（2）求△CAB的铅垂高CD及S ； 2与．直如线图y＝，x已交知于抛点物N线，y交＝xa轴x于2＋点bPx，－求4与线直段线MyN＝的x长交（于用点含A、mB的两代点数，式△表C示A）B。
2．如图，已知抛物线y＝ax 2＋bx－4与直线y＝x交于点A、B两点，
（二抛抛次物物3函 线 线数数的的）中解解式的析析在面式式表积为为（计yy示＝＝算2xx问）22）－－题22的。xx－－44条件下，连接OM、BM，是否存在m的值，使得△BO
的面积S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由。 例1：如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，
数学：二次函数下的面积问题(铅垂法 九年级训练考试卷)
二次函数下的面积问题（铅垂法）试卷简介:本套试卷针对二次函数背景下的面积问题，对于两定点一动点的斜三角形面积常利用铅垂法（从动点引竖直的线）分割来求，做题时需要注意自变量的取值范围。
一、单选题(共6道，每道16分)1.已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．如图，为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，则S与点P的横坐标之间的函数关系式及S的最大值分别为( )A. B.C. D.2.如图，已知直线AB：与抛物线交于A，B两点．P是直线AB上方的抛物线上一点，若△ABP的面积为，则点P的坐标为( )A. B.C. D.3.已知抛物线经过三点，如图，若P是第一象限内抛物线上的一个动点，则四边形ABPC的最大面积为( )A.3B.4C.6D.84.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，C，过A，C两点的抛物线与x轴交于另一点．若D为直线AC上方的抛物线上一动点，则当点D到直线AC的距离DE最大时，点D的坐标为( )A. B.（2，1）C.（3，1）D.5.如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，已知点A，B的横坐标是一元二次方程的两个根．连接AC，BC，Q是线段OB上的一动点（不与点O，B重合），过点Q作QD∥AC，交BC于点D，设点Q的坐标为，则当△CDQ的面积S最大时，m的值为( )A.2B.C.1D.6.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=1，tan∠BAO=3，将Rt△AOB绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线经过A，B，C三点．设抛物线上一点P的横坐标为m，连接PC，PB．若，且存在△PBC，则△PBC的面积最大时m的值为( )A. B.C. D.-2。
次函数中的面积计算问题包含铅垂高
次函数中的面积计算问题包含铅垂高集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN](D)二次函数中的面积计算问题[典型例题]例. 如图，二次函数2y x bx c =++图象与x 轴交于A,B 两点在B 的左边)，与y 轴交于点C ，顶点为M ，MAB ∆为直角三角形, 图象的对称轴为直线2-=x ，点P 是抛物线上位于,A C 两点之间的一个动点，则PAC ∆的面积的最大值为（ C ）A ．274 B ．112 C ． 278D ．3 二次函数中面积问题常见类型： 一、选择填空中简单应用 二、不规则三角形面积运用S= 三、运用四、运用相似三角形五、运用分割方法将不规则图形转化为规则图形例1. 如图1，已知：正方形ABCD 边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点， 且AE=BF=CG=DH, 设小正方形EFGH 的面积为s ，AE 为x ，则s 关于x 的函数图象大致是 （ B ）例2. 解答下列问题：如图1，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB；（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.第10题x yA B CO M 图1C铅垂高水平宽ha图2A xC Oy ABD11思路分析此题是二次函数中常见的面积问题，方法不唯一，可以用割补法，但有些繁琐，如图2我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.掌握这个公式后，思路直接，过程较为简单，计算量相对也少许多，答案:（1）由已知，可设抛物线的解析式为y 1＝a (x －1)2＋4(a ≠0)．把A (3，0)代入解析式求得a ＝－1，∴抛物线的解析式为y 1＝－(x －1)2＋4，即y 1＝－x2＋2x ＋3．设直线AB 的解析式为y 2＝kx ＋b ，由y 1＝－x2＋2x ＋3求得B 点的坐标为(0，3)．把A (3，0)，B (0，3)代入y 2＝kx ＋b ，解得k ＝－1，b ＝3．∴直线AB 的解析式为y 2＝－x ＋3． （2）∵C (1，4)，∴当x ＝1时，y 1＝4，y 2＝2．∴△CAB 的铅垂高CD ＝4－2＝2．S △CAB ＝21×3×2＝3(平方单位)． （3）解：存在．设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ． 则h ＝y 1－y 2＝(－x2＋2x ＋3)－(－x ＋3)＝－x2由S △PAB ＝89S △CAB 得：21×3×(－x2＋3x )＝89×3． 整理得4x2－12x ＋9＝0，解得x ＝23． 把x ＝23代入y 1＝－x2＋2x ＋3，得y 1＝415． ∴P 点的坐标为(23，415)． 例3. （贵州省遵义市）如图，在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的顶点坐标分别为A （0，2），O （0，0），B （4，0），把△AOB 绕点O 逆时针方向旋转90°得到△COD （点A 转到点C 的位置），抛物线y ＝ax2＋bx ＋c (a ≠0)经过C 、D 、B 三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为P ，求△PAB 的面积；（3）抛物线上是否存在点M ，使△MBC 的面积等于△PAB 的面积若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．思路分析:根据题目所给信息，函数关系式和△PAB 的面积很容易求出。
二次函数之面积问题(铅垂法)(一)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：坐标系背景下问题的处理原则是什么？问题2：坐标系中处理面积问题的思路有哪些？问题3：具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？问题4：铅垂法的具体做法是什么？问题5：如何利用铅垂法表达三角形的面积？二次函数之面积问题（铅垂法）（一）一、单选题(共7道，每道12分)1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，，．点P是直线AC下方抛物线上的点（不与A，C重合），连接PA，PC，设点P的横坐标为m，△PAC的面积为S，则S与m之间的函数关系式为_______，当m=_______时，S有最大值．( )A.，5B.，C.，5D.，答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积2.如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为．点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，当△PAC的面积最大时，点P的坐标和△PAC的最大面积分别为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积3.如图，一次函数与y轴、x轴分别交于点A，B，抛物线过A，B两点．Q为直线AB下方的抛物线上一点，设点Q的横坐标为n，△QAB的面积为，则与n之间的函数关系式为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于点A，与x 轴交于B，C两点（点B在点C的左侧）．点P是第二象限内抛物线上的点，△PAC的面积为S，设点P的横坐标为m，则S与m之间的函数关系式为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积5.如图，已知二次函数的图象上一点A，其横坐标为-2，直线过点A并绕着点A旋转，与抛物线的另一个交点是B，点B的横坐标m满足，连接OA，OB，则当△AOB的面积最大时，点B的坐标为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积6.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知．点E是线段BC上的一个动点，过点E作x 轴的垂线与抛物线相交于点F，则当四边形CDBF的面积最大时，点E的坐标以及四边形CDBF 的最大面积分别是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积7.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．若点P为线段BC上的一点（不与B，C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，则当△BCM的面积最大时，△BPN的周长为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积。
最全二次函数中的面积问题(中考数学必考题型)
二次函数中的面积问题二次函数中的面积问题是中考的热点，面积问题如果是规则图形可以用常见的面积公式解决问题的就直接用面积公式，如果不能直接用面积公式在坐标系中处理面积问题，通常有以下三种思路：第一是割补法：分割求和、补形作差，其中用的最多的是铅垂线法；第二是同底等高利用平行线转化求面积；第三如果遇到的是面积比可以考虑用相似的性质得到线段比去解决相关问题。
【引例1】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积．【铅垂法】()11112222ABCACDBCDC D B A SSSCD AE CD BF CD AE BF y y x x =+=⋅+⋅=+=-⋅-【方法梳理】（1）求A 、B 两点水平距离，即水平宽；（2）过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ； （3）求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标； （4）根据C 、D 坐标求得铅垂高； （5）12S =⨯水平宽铅垂高．二、转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ ， 若S △ABP =S △ABQ ，当P ，Q 在AB 同侧时，PQ △AB ． 当P ,Q 在AB 异侧时，AB 平分PQPABQQBA PDEF OyxCBA 铅垂高水平宽DA BCxyOE三、面积比类型例1.如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣5x +5与x 轴，y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线y ＝x 2﹣6x +5经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为B ．若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，当点M 运动到某一位置时，△ABM 的面积等于△ABC 面积的，求此时点M 的坐标；例2.如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线在线段BC 上方部分取一点P ，连接PB 、PC ．（1）过点P 作PH△x 轴交BC 边于点H ，求PH 的最大值；（2）求△PBC 面积的最大值（可以用铅垂线法和平行线法）；PyxO CB A变式1.如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．点D为抛物线的顶点，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，求△BCD 的面积；变式2.如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3；与x轴交于A，B两点，与y轴交于C 点，直线BC方程为y＝x﹣3．点P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，求P 的坐标；变式3.已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．变式4.如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴相交于点A （﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．若点D为第四象限内二次函数图象上的动点，设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．例3.如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，求出点P的坐标；【引例2】如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P 是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．当CP与x轴不平行时，求的最大值；（化斜为直）例4.如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A和点B，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF ＝3：2时，求点D的坐标．变式1.抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．变式2.已知：如图，二次函数y＝﹣x2+x+4；点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE△AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；变式3.已知二次函数解析式为y＝3x2﹣3，直线l的解析式为y＝，点P 为抛物线上第四象限上的一动点，过P作y轴的平行线交AD于M，作PN△AD 于N，当△PMN面积有最大值时，求点P的坐标；例4.如图抛物线y＝﹣x2+2x+3经过点A（﹣1，0），点C（0，3），点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．变式1.已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3．与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．若直线y＝mx﹣m﹣4将四边形ACDB的面积分为1：2两部分，则m的值为多少作业：1.已知二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，则m的值是（）A．1B．C．2D．42.已知抛物线y＝x2﹣x+3；经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C．设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线上是否存在点P，使△P AB 的面积是△BDA面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0），C（0，3），点M是抛物线的顶点，点P为线段MB上一个动点，过点P作PD△x轴于点D，若OD＝m．设△PCD 的面积为S，试判断S有最大值或最小值吗？若有，求出其最值，若没有，请说明理由；。
二次函数中的面积计算问题之铅垂高
直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的
“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段
的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计
S S S 算三角形面积的新方法：SABC
于水平宽与铅垂高乘积的一半.
1 2
ah即三角形面积等
证明:
ABC ABD ACD
（2）求△CAB的铅垂高CD及S ； 练习 如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B。
a h
△CAB
a
y
aa我a 们可得出一种计B算三角C形面积的新方法分 ： 即析 ( 三角形1面： 积)等于抛 水平宽与物 铅垂高乘线 积的一半解 y. 1析 (x 式 1)2为 4,
A
h
h2
铅垂高
C
D
B
h1
水平宽
aaBiblioteka (其中h1、h2是直线AD与 外侧两直线之间的距离)
1AD h1AD h
2
2 1
2
1AD(hh)
2
1
2
1
ah
2
巩固定义：求格点三角形的面积
例1、如图，在每个小正方形边长为1的格点图 形中，△ABC的三个顶点是图中的格点，求 △ABC的面积。
E D
A
C 水平宽：CE
铅垂高：BD
SABC12CE•BD
B
延伸拓展
我们如果把△ABC 放到直角坐标系中，
A(x A,
,
yA),B(xB,
y ), B
C(x,y ),D(x ,y ),
CC
DD
则铅垂高：hA D yy, 水平宽：ax x
最新二次函数铅垂高演练(答案、解析、总结)
二次函数铅垂高如图12-1 ,过厶ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫厶ABC 的“水平宽” (a)，中间的这条直线在△ ABC 内部线段的长度1叫厶ABC 的“铅垂高(h) ”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法： S ABC ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 解答下列问题:如图12-2，抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交x 轴于点A(3,0)，交y 轴于点B.(1) 求抛物线和直线 AB 的解析式;⑵点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结 PA ，PB ，当P 点运动到顶点 C 时，求△ CAB 的铅垂高CD 及S CAB ；例1解：(1)设抛物线的解析式为：y !=a(x —1)2+4 .......................................................... •分把A (3,0)代入解析式求得 a = -1 所以 y^i = -(x-1)24 = -x 2 2x 3 ................................................. 3 分设直线AB 的解析式为：y 2二kx • b 由y 1二-x 2 2x 3求得B 点的坐标为(0,3) ....................................... 4分把 A(3,0), B(0,3)代入 y 2 =kx b 中 解得：k =T , b = 3所以y 2 = _x ■ 3 ............................................................................................. 6分⑵因为C 点坐标为(1 ,4) 所以当 x =1时，y 1= 4, y 2 = 2所以 CD = 4-2= 2 ................................................................................................. •分(3)是否存在一点 说明理由•P ，使 pAB =9S CAB =1 3 2=3(平方单位)...............................................................................10分⑶假设存在符合条件的点P,设P点的横坐标为'△ PAB的铅垂高为h,则h = y1 _ y2 = ( _x2 2x 3) _ (_x 3) = _x2 3x ........................................... 12分由& PAB= S A CAB81 9得：3 (-x23x) 32 8化简得：4x2_12x • 9 = 03解得，x = 323 2将x 代入％ - -x 2x 3中，3 15解得P点坐标为(3，) ................................................................. 14分总结：求不规则三角形面积时不妨利用铅垂高。
二次函数铅垂底水平高求面积综合练习题
二次函数铅垂底水平高求面积应用情景：知A、B（直线AB），求点D，使△ABD面积最大方法推导：设D坐标，表示线段长度S△ABD=S△ACD+ S△CDB=12AE∙CD+12BF∙CD=12CD(AE+BF)=12(y c−y d)(x B−x A)y c：C与D横坐标相同，讲X带入直线AB解析式求得思考：表示下图中三角形ABC面积？注意：知哪条线，未知点向哪条线平移1.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0,10)，B(1,0)，C(5,0)，其对称轴与x轴相交于点M．(1) 求抛物线的解析式和对称轴；(2) 在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出当△PAB的周长最小时，△PAB的面积；若不存在，请说明理由；(3) 连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，抛物线经过点A(4,0)、B(1,0)、C(0,−2)三点．(1) 求此抛物线的解析式；(2) 在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．3.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是(1,0)，C点的坐标是(4,3)．(1) 求抛物线的表达式．(2) 若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．4.如图，直线AB和抛物线的交点是A(0,−3)，B(5,9)，已知抛物线的顶点D的横坐标是2．(1) 求抛物线的解析式及顶点坐标；(2) 在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；(3) 在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得ΔPAB的面积最大，并求出这个最大值．)三点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．5.如图，抛物线经过A(−1,0)，B(5,0)，C(0,−52(1) 求抛物线的解析式；(2) 在抛物线的对称轴上有一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标；(3) 当点P运动到什么位置时，△PBC的面积最大，并求出此时P点的坐标和△PBC的最大面积．6.如图，已知：二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为(−3,0)，与y轴交于点C，点D(−2,−3)在抛物线上．(1) 求抛物线的表达式；(2) 抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；(3) 若抛物线上有一动点M，使ΔABM的面积等于ΔABC的面积，求M点坐标．x2交于A，B两点．7.如图，已知直线AB：y=kx+2k+4与抛物线y=12(1) 直线AB总经过一个定点C，请直接写出点C坐标；时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；(2) 当k=−128.如图所示，抛物线过点O(0,0)，A(3,3)，B(4,0)．(1) 求此抛物线的解析式．(2) M为直线OA上方抛物线上的一个动点，求四边形OMAB的最大面积．9.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 A(−1,0)，B(3,0)，C(0,−3) 三点．D 为抛物线顶点。
二次函数与几何综合-面积问题(原卷版)
专项11 二次函数与几何综合-面积问题【方法1直接法】一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边 【方法2 铅锤法】铅锤高水平宽⨯=21S 【方法3 其他面积方法】如图1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等． 如图2，同底三角形的面积比等于高的比． 如图3，同高三角形的面积比等于底的比．如图1 如图2 如图3 【方法4 利用相似性质】利用相似图形，面积比等于相似比的平方。
【方法1 铅锤法求面积】【典例1】（聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC．又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．（1）求抛物线的表达式；（2）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．【变式1-1】（娄底）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．【变式1-2】（2021秋•龙江县校级期末）综合与探究如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式，连接BC，并求出直线BC的解析式；（2）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，此时点P的坐标是（，）；（3）点Q在第一象限的抛物线上，连接CQ，BQ，求出△BCQ面积的最大值．（4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-2】（2022春•南岸区月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x 轴交于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，且OC＝3．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一点，连接AC、BC、CP、BP，求四边形PCAB 的面积的最大值，以及此时点P的坐标；【方法2 其他方法】【典例2】（深圳）如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB ＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．【变式2-1】（2021秋•合川区）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0），与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D，交x轴于点E，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PBD与△BDE的面积之比为1：2时，求点P的坐标；【典例3】（淮安）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为（5，0），点D的坐标为（1，3）．（1）求该二次函数的表达式；（2）试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得△ADG的面积是△BDG的面积的？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【变式3】（2021秋•南阳）如图，对称轴为x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x 轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标．（2）已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点．①求抛物线的解析式．②若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标．1.（2021秋•日喀则市月考）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点．（1）求M点的坐标；（2）求△MBC的面积；2．（2022•东方二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过B（3，0）、C（0，﹣3）两点，与x 轴的另一个交点为A，顶点为D．（1）求该抛物线的解析式；（2）点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），当点E在直线BC的下方运动时，求△CBE的面积的最大值；3．（2022•广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B 两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q．（1）求该抛物线的解析式；（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．4．（2022春•青秀区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c，与y 轴交于点A，与x轴交于点E、B．且点A（0，5），B（5，0），抛物线的对称轴与AB 交于点M．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，连接PB，PM，求△PMB面积的最大值；5．（2022春•南岸区月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A （﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，且OC＝3．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一点，连接AC、BC、CP、BP，求四边形PCAB 的面积的最大值，以及此时点P的坐标；6．（2022•兴宁区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A、B，抛物线的对称轴交x 轴于点D，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，且．（1）求抛物线的解析式；（2）点M（t，0）是x轴上的一个动点，点N是抛物线对称轴上的一个动点，当DN＝2t，△MNB的面积为时，求出点M与点N的坐标；7．（2022•烟台）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．（1）求抛物线的表达式；（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S 的最大值及此时D点的坐标；。
二次函数与几何综合专题 面积问题
∵点Q在直线AC上，
∴ ，
解得： （不符合题意，舍去），
∴
（11）解：由 ，可知 ，
∴ ，
设 ，则有 ，
∴ ，
∴ ，
∵点N在直线AC上，
∴ ，化简得 ，
解得： （不符合题意，舍去），
∴
（12）解：由抛物线上有一点P，其横坐标为t，抛物线上另有一点Q，其横坐标为 ，可知：
，
设直线 的解析式为 ，把点 代入得：
【解析】
【分析】
【详解】答案：（1）解：∵ ，
∴A（－3，0），C（0，－3），
∴ ，解得： ，
∴抛物线的解析式为： ，
对称轴为：直线x＝－1，顶点坐标为：D（－1，－4）．
（2）解：由例题可知该二次函数的解析式为 ， ，
连接 ，如图所示，
∴ 的底为OC，高为点D的纵坐标的绝对值，
∵ ，
∴
（3）解：由（14）可得 ，
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设点 ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
由铅垂法可知 的水平距离即为水平宽，即为 ， 为铅垂高，
∴
＝
＝ ，
∵－2＜0，开口向下，
∴当 时， 的面积有最大值，最大值为8
，解得： ，
∴直线l的解析式为 ；
②当过点E的直线l靠近点A时，交直线 于点G，把四边形 的面积分成 两部分，如图所示：
由①可知 ， ，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，则把点 代入得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
∵点G在直线AD上，
∴ ，解得： ，
∴ ，
设直线l的解析式为 ，把点E、G代入得：
(完整word版)铅锤高和水平宽之二次函数-面积问题综合练习题
铅锤高与水平宽 之二次函数与面积问题综合练习题例1：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高（h ）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =21ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图2，抛物线顶点坐标为点C （1，4），交x 轴于点A （3，0），交y 轴于点B ．（1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；（3）是否存在一点P ，使S △PAB =89S △CAB ？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．练习1：已知抛物线y=ax 2+bx+3与x 轴交于A 、B 两点，过点A 的直线l 与抛物线交于点C ，其中A 点的坐标是（1，0），C 点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E 是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC 的下方，试求△ACE 的最大面积及E 点的坐标．例2.抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4S BOC，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．:练习2：在平面直角坐标系中，已知抛物线经过:A（-4,0），B（0,-4），C（2,0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．练习3：抛物线y=mx2-11mx+24m （m＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且∠BAC=90°．（1）填空：OB= ，OC= ；（2）连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x=n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．。
二次函数压轴题铅垂法求三角形面积
1铅垂法求面积最值求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法．【问题描述】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积．【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样：构造矩形ADEF ，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC 面积． 这是在“补”，同样可以采用“割”：()111222ABCACDBCDSSSCD AE CD BF CD AE BF =+=⋅+⋅=+ 此处AE +AF 即为A 、B 两点之间的水平距离． 由题意得：AE +BF =6． 下求CD ：根据A 、B 两点坐标求得直线AB 解析式为：1233y x =+由点C 坐标（4,7）可得D 点横坐标为4， 将4代入直线AB 解析式得D 点纵坐标为2， 故D 点坐标为（4,2），CD =5,165152ABCS =⨯⨯=．【方法总结】 作以下定义：A 、B 两点之间的水平距离称为“水平宽”；过点C 作x 轴的垂线与AB 交点为D ，线段CD 即为AB 边的“铅垂高”． 如图可得：=2ABC S⨯水平宽铅垂高【解题步骤】（1）求A 、B 两点水平距离，即水平宽；（2）过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ； （3）求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标； （4）根据C 、D坐标求得铅垂高； （5）利用公式求得三角形面积．3【2019海南中考（删减）】如图，已知抛物线25y ax bx =++经过(5,0)A -，(4,3)B --两点，与x 轴的另一个交点为C ． （1）求该抛物线的表达式；（2）点P 为该抛物线上一动点（与点B 、C 不重合），设点P 的横坐标为t ．当点P 在直线BC 的下方运动时，求PBC ∆的面积的最大值．【分析】（1）265y x x =++，（2）取BC 两点之间的水平距离为水平宽，过点P 作PQ ⊥x 轴交直线BC 于点Q ，则PQ 即为铅垂高．根据A 、C 两点坐标得AC =4，根据B 、C 两点坐标得直线BC 解析式：y =x +1， 设P 点坐标为（m ，m ²+6m +5），则点Q （m ，m +1）， 得PQ =-m ²-5m -4，考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积就最大．当52-时，△BCP 面积最大，最大值为278．【小结】选两个定点作水平宽，设另外一个动点坐标来表示铅垂高．【思考】如果第3个点的位置不像上图一般在两定点之间，如何求面积？铅垂法其实就是在割补，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，能求出其对应的铅垂高！因此，动点若不在两定点之间，方法类似： 【铅垂法大全】（1）取AB 作水平宽，过点C 作铅垂高CD ．（2）取AC 作水平宽，过点B 作BD ⊥x 轴交直线AC 于点D ，BD 即对应的铅垂高， =2ABCABDBCDSSS⨯-=水平宽铅垂高（3）取BC 作水平宽，过点A 作铅垂高AD ．甚至，还可以横竖互换，在竖直方向作水平宽，在水平方向作铅垂高．（4）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD．（5）取AC作水平宽，过点B作铅垂高BD．（6）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD．说这么多做法也不是要记住的，基本上从（3）开始往后都是用不上的，用以帮助我们了解铅垂法的解题原理，再来看个例子巩固下呗．5【2019绵阳中考】在平面直角坐标系中，将二次函数2(0)=>的图像向右平移1个单位，再向下平移2y ax a个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），1OA=，经过点A的一次函数(0)=+≠的图像与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个y kx b k交点为D，ABD∆的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图像下方，求ACE∆面积的最大值，并求出此时点E的坐标．7【分析】（1）抛物线解析式：21322y x x =--； 一次函数解析式：1122y x =+． （2）显然，当△ACE 面积最大时，点E 并不在AC 之间．已知A （-1,0）、10,2C ⎛⎫⎪⎝⎭，设点E 坐标为213,22m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，过点E 作EF ⊥x 轴交直线AD 于F 点，F 点横坐标为m ，代入一次函数解析式得11,22m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭可得213222EF m m =-++考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积最大．既然都是固定的算法，那就可以总结一点小小的结论了， 对坐标系中已知三点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y ， 按铅垂法思路，可得：12233121321312ABCSx y x y x y x y x y x y =++--- 如果能记住也不要直接用，可以当做是检验的方法咯．【总结】铅垂法是求三角形面积的一种常用方法，尤其适用于二次函数大题中的三角形面积最值问题，弄明白方法原理，熟练方法步骤，加以练习，面积最值问题轻轻松松．。
2020年九年级中考数学二次函数综合题——铅垂线面积问题(无答案))
二次函数面积问题一、公式法：适用于有一边在坐标轴上或与坐标轴平行的三角形。
注意事项：1.以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边，横坐标大减小，即可求出底边长。
2.以第三点到该轴的距离为三角形的高。
3.根据公式:S△=×底边×高，可求出面积。
二、铅垂线法：适用于斜三角形。
如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平垂直的三条线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高h”。
三角形面积的新方法:即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
注意事项：1.找出B、C的坐标，横坐标大减小，即可求出水平宽;2.求出直线BC的解析式，A与D的横坐标相同，A与D的纵坐标大减小，即可求出铅垂高;3.根据公式:S△=×水平宽×铅锤高，可求出面积。
三．割补法：适用于四边形等图形。
O xyDC图四xyOMENA图五PxyOA BD图二ExyOA BC图一xyOA B图三例题练习1.（2012秋•桐城市校级期中）已知二次函数y＝x2与一次函数y＝2x+1相交于A、B两点，点C是线段AB上一动点，点D是抛物线上一动点，且CD平行于y轴，求在移动过程中CD的最大值．2.（2018•阜新）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；3．如图，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点D，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+5交于B，D两点，点C是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BD上方抛物线上的一个动点，其横坐标为m，过点M作x轴的垂线，交直线BD于点P，当线段PM的长度最大时，求m的值及PM的最大值；4．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象和x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是直线AC上方的抛物线上的动点．（1）求直线AC的解析式；（2）当P是抛物线顶点时，求△APC面积；（3）在P点运动过程中，求△APC面积的最大值．。
铅锤高和水平宽之二次函数面积问题综合练习题图文稿
铅锤高和水平宽之二次函数面积问题综合练习题集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）铅锤高与水平宽之二次函数与面积问题综合练习题例1：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC =21ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；（3）是否存在一点P，使S△PAB =89S△CAB若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．练习1：已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．例2.抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且S△AOP =4SBOC，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．:练习2：在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 :A（-4,0），B（0,-4），C （2,0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．练习3：抛物线y=mx2-11mx+24m?（m＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且∠BAC=90°．（2）连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x=n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD 交于点N，若直线l沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．。
二次函数中的面积计算问题-之铅垂高
本节将介绍二次函数中的一个重要应用问题——铅垂高。通过本节的学习， 您将了解到铅垂高的定义、计算公式以及它与二次函数图像的关系。
什么是铅垂高?
铅垂高指的是从一个点到与其所在直线垂直相交的点的距离。在二次函数中， 我们可以通过铅垂高来计算图像所包围的面积。
如何计算铅垂高?
交点坐标为 (4, 0)。
步骤四: 计算铅垂高
铅垂高为 4。
铅垂高的应用领域
建筑设计
铅垂高可以帮助建筑师确定建筑物的高度 和结构。
数学建模
铅垂高可以用作数学模型中的重要参数。
地理测量
地理学家利用铅垂高测量地形和海拔高度。
物理实验
物理学家可以通过铅垂高来研究物体的运 动和力学性质。
铅垂高与二次函数图像的关系
1
开口方向
铅垂高的长度取决于二次函数的开口方向。2拐点位置源自铅垂高的顶点与二次函数的拐点位置相同。
3
面积计算
铅垂高可以用于计算二次函数图像所包围的面积。
提高计算铅垂高的技巧
1 利用对称性
2 化简计算公式
利用二次函数图像的对称性可以简化铅 垂高的计算。
将二次函数化为标准或一般形式可以简 化计算铅垂高的公式。
3 练习与实践
4 使用数学工具
通过大量的练习和实践，可以提高计算 铅垂高的准确性和速度。
利用数学工具和计算器可以辅助计算复 杂的铅垂高问题。
结论和要点
铅垂高是二次函数中的一个重要概念，可以用于计算图像所包围的面积。了 解铅垂高的定义、计算方法和应用领域对深入理解二次函数具有重要意义。
1 步骤一
找到二次函数的顶点坐标。
2 步骤二
确定直线方程，该直线过顶点并且垂直 于横轴或纵轴。
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二次函数与面积问题综合练习题 例1：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高（h ）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：
S △ABC =2
1ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半． 解答下列问题：
如图2，抛物线顶点坐标为点C （1，4），交x 轴于点A （3，0），交y 轴于点B ．
（1）求抛物线和直线AB 的解析式；
（2）点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；
（3）是否存在一点P ，使S △PAB =
8
9S △CAB ？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．
练习1：已知抛物线y=ax 2+bx+3与x 轴交于A 、B 两点，过点A 的直线l 与抛物线交于点C ，其中A 点的坐标是（1，0），C 点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E 是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC 的下方，试求△ACE 的最大面积及E 点的坐标．
例2.抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4S BOC，求点P的坐标；
（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．。