离散数学26 前束范式
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三、前束析取范式
定义2-6.3：如果一个谓词公式wff A具有如下形式，
则称其为一个前束析取范式。 (□v1)(□v2)…(□vn)[(A11 A12 … A1l1) (A21 A22 … A2l2) … (Am1 Am2 … Amlm)]
其中□ 可为或，vi(i=1,2,……n)是客体变元，Aij 是 原子公式或其否定。
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一、前束范式
例：化下列公式为前束范式
1）x F(x) xG(x) 2) xF(x) xG(x) 解：(1) x F(x) xG(x) x F(x) xG(x) x (F(x) G(x)) (2) x F(x) xG(x) x F(x) x G(x) x F(x) y G(y) x (F(x) y G(y)) x y (F(x) G(y))
定理2-6.3：任何一个谓词公式都可以转化为与其
等价的前束析取范式。 任一个wff A转化成前束析取范式步骤与例4类同
9
本课小结
1.前束范式 2.前束析取范式 3.前束合取范式
10
作业
P75 （2）
11
一、前束范式
与命题逻辑类似，在谓词逻辑中也希望研 究其合式公式，即谓词公式的规范形式， 这就是前束范式。 定义2-6.1 设A为一个谓词公式，若A有形 式：Q1x1Q2x2QkxkB，则称A为前束范式， 其中Qi(1≤i≤k)为或，B为不含量词的谓 词公式。
前束范式的量词均在全式的开头，其作用域延 伸到整个公式的未尾
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一、前束范式
例：化为前束范式
x (y A (x, y) x y (B(x, y) y (A(y, x) B(x, y))))
解：原式
x(y A(x, y) x y (B(x, y) y (A(y, x) B(x, y))))
x (yA(x, y) x y (B(x, y) y (A(y, x) B(x, y)))) x (yA(x, y) u r (B(u, r) z (A(z, u) B(u, z)))) x y u rz(A(x, y) (B(u, r) (A(z, u) B(u, z))))
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一、前束范式
例：化下列公式为前束范式
1）x F(x) x G(x) 2）x F(x) x G(x) 解：（1）x F(x) x G(x) x F(x) x G(x) x F(x) x G(x) x (F(x) G(x)) （2）x F(x) x G(x) x F(x) x G(x) x F(x) x G(x) x F(x) y G(y) x (F(x) y G(y)) x y (F(x) G(y))
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二、前束合取范式
定义2-6.2：如果一个谓词公式wff A具有 如下形式，则称其为一个前束合取范式。 (□v1)(□v2)…(□vn)[(A11 A12 … A1l1) (A21 A22 … A2l2) … (Am1 Am2 … Amlm)] 其中□ 可为或，vi(i=1,2,……n)是客体 变元，Aij 是原子公式或其否定。
7Hale Waihona Puke Baidu
二、前束合取范式
第二步，约束变量换名： D (x)[P(x)(z)Q(z,y)(w)R(x,w)] 第三步，消去条件联结词： D (x)[(P(x)(z)Q(z,y)) (w)R(x,w)] 第四步，将深入： D (x)[(P(x) (z)Q(z,y))(w)R(x,w)] (x)[(P(x)(z)Q(z,y))(w)R(x,w)] 第五步，将量词提前： D (x)(z)(w)[(P(x)Q(z,y)) R(x,w)] (x)(z)(w) [(P(x)R(x,w))(Q(z,y) R(x,w) ) ]
例： (x)(z)(y){[P(x≠a)(z=b)][Q(y)(a=b)]} 就是一个前束合取范式。
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二、前束合取范式
定理2-6.2：任何一个谓词公式都可以转化为与 其等价的前束合取范式。 用一个例子说明定理 例4. 将谓词公式wff D: (x)[(y)P(x)(z)Q(z,y)(y)R(x,y)] 化为与之等价的前束合取范式。 解： 第一步，取消多余量词： D (x)[P(x)(z)Q(z,y)(y)R(x,y)] 第二步，约束变量换名： D (x)[P(x)(z)Q(z,y)(w)R(x,w)]
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一、前束范式
例如 x y(F(x, y) G(x, y)) , xyz(F(x, y, z) G(x, y, t)) 等都是前束范式。 而 x F(x) x G(x, y) x (F(x) y (G(y) H(x))) 等不是前束范式。 定理2.-6.1：任何一个谓词公式均等价于某个前束范式。 在一阶逻辑中，任何合式公式都存在前束范式。 具体做法：总是利用德摩根律及量词与否定间关系把 否定符号放在谓词之前，有必要时进行换名或代替， 再利用量词作用域扩张的等值式，求出前束范式。一 般前束范式并不唯一。
三、前束析取范式
定义2-6.3：如果一个谓词公式wff A具有如下形式，
则称其为一个前束析取范式。 (□v1)(□v2)…(□vn)[(A11 A12 … A1l1) (A21 A22 … A2l2) … (Am1 Am2 … Amlm)]
其中□ 可为或，vi(i=1,2,……n)是客体变元，Aij 是 原子公式或其否定。
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一、前束范式
例：化下列公式为前束范式
1）x F(x) xG(x) 2) xF(x) xG(x) 解：(1) x F(x) xG(x) x F(x) xG(x) x (F(x) G(x)) (2) x F(x) xG(x) x F(x) x G(x) x F(x) y G(y) x (F(x) y G(y)) x y (F(x) G(y))
定理2-6.3：任何一个谓词公式都可以转化为与其
等价的前束析取范式。 任一个wff A转化成前束析取范式步骤与例4类同
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本课小结
1.前束范式 2.前束析取范式 3.前束合取范式
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作业
P75 （2）
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一、前束范式
与命题逻辑类似，在谓词逻辑中也希望研 究其合式公式，即谓词公式的规范形式， 这就是前束范式。 定义2-6.1 设A为一个谓词公式，若A有形 式：Q1x1Q2x2QkxkB，则称A为前束范式， 其中Qi(1≤i≤k)为或，B为不含量词的谓 词公式。
前束范式的量词均在全式的开头，其作用域延 伸到整个公式的未尾
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一、前束范式
例：化为前束范式
x (y A (x, y) x y (B(x, y) y (A(y, x) B(x, y))))
解：原式
x(y A(x, y) x y (B(x, y) y (A(y, x) B(x, y))))
x (yA(x, y) x y (B(x, y) y (A(y, x) B(x, y)))) x (yA(x, y) u r (B(u, r) z (A(z, u) B(u, z)))) x y u rz(A(x, y) (B(u, r) (A(z, u) B(u, z))))
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一、前束范式
例：化下列公式为前束范式
1）x F(x) x G(x) 2）x F(x) x G(x) 解：（1）x F(x) x G(x) x F(x) x G(x) x F(x) x G(x) x (F(x) G(x)) （2）x F(x) x G(x) x F(x) x G(x) x F(x) x G(x) x F(x) y G(y) x (F(x) y G(y)) x y (F(x) G(y))
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二、前束合取范式
定义2-6.2：如果一个谓词公式wff A具有 如下形式，则称其为一个前束合取范式。 (□v1)(□v2)…(□vn)[(A11 A12 … A1l1) (A21 A22 … A2l2) … (Am1 Am2 … Amlm)] 其中□ 可为或，vi(i=1,2,……n)是客体 变元，Aij 是原子公式或其否定。
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二、前束合取范式
第二步，约束变量换名： D (x)[P(x)(z)Q(z,y)(w)R(x,w)] 第三步，消去条件联结词： D (x)[(P(x)(z)Q(z,y)) (w)R(x,w)] 第四步，将深入： D (x)[(P(x) (z)Q(z,y))(w)R(x,w)] (x)[(P(x)(z)Q(z,y))(w)R(x,w)] 第五步，将量词提前： D (x)(z)(w)[(P(x)Q(z,y)) R(x,w)] (x)(z)(w) [(P(x)R(x,w))(Q(z,y) R(x,w) ) ]
例： (x)(z)(y){[P(x≠a)(z=b)][Q(y)(a=b)]} 就是一个前束合取范式。
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二、前束合取范式
定理2-6.2：任何一个谓词公式都可以转化为与 其等价的前束合取范式。 用一个例子说明定理 例4. 将谓词公式wff D: (x)[(y)P(x)(z)Q(z,y)(y)R(x,y)] 化为与之等价的前束合取范式。 解： 第一步，取消多余量词： D (x)[P(x)(z)Q(z,y)(y)R(x,y)] 第二步，约束变量换名： D (x)[P(x)(z)Q(z,y)(w)R(x,w)]
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一、前束范式
例如 x y(F(x, y) G(x, y)) , xyz(F(x, y, z) G(x, y, t)) 等都是前束范式。 而 x F(x) x G(x, y) x (F(x) y (G(y) H(x))) 等不是前束范式。 定理2.-6.1：任何一个谓词公式均等价于某个前束范式。 在一阶逻辑中，任何合式公式都存在前束范式。 具体做法：总是利用德摩根律及量词与否定间关系把 否定符号放在谓词之前，有必要时进行换名或代替， 再利用量词作用域扩张的等值式，求出前束范式。一 般前束范式并不唯一。