第8章图论与网络模型及教案
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找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处 参加面试，并且不允许插队（即在任何一个阶段4名同学的 顺序是一样的）。由于4名同学的专业背景不同，所以每人 在三个阶段的面试时间也不同，如下表所示（单位：分 钟）。这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。 假定现在时间是早晨8:00，问他们最早何时能离开公司?
（ 者D图ij论ks方Vtr0面a）的算参法5考。书具。体V3可见2 数据结V6构或
数学n规划n 方4法，V2用L4ing3o解决：V5 4
m in z
cij xij
i1 j1
1, i 1 起点多一条边出去
s t :
n
xij
n
x ji
1,
i
n
终点多一条边进入
j1
j1
0 , i 1, n
3
当sij>0时，说明对应的作业的开始时间可以推迟 sij，从而得到每个作业i的最迟开工时间。
关键路径还可以看成最长路，用求最短路径的方 法来求解。
图论其他问题
图的遍历：深度优先，广度有限 平面图,着色问题 二分图 树：二叉树，二叉树遍历，编码，表达式
7 作业排序问题
（题目在书134页，代码在lingo教程.doc）有4名同学到一家 公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先
nn
m i n z
c ij x ij
i1 j1
只能在有哈密顿回路的情况下。
n
s t :
x
＝
ij
1
,
j
1, 2,
,n
每个点只有一条边出去
j1
n
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＝
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1
,
i
1, 2,
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每个点只有一条边进入
j1
u i u j n x ij n 1 , 2 i j n x ij 0 或 1, i, j 1, 2 , , n ui 0, i 2,3, ,n
12 1
13
2 100
7
4
3
关键路径问题图论中已有成熟的算法，具 体可见数据结构或者图论方面的参考书。
数学规划方法，用Lingo解决：
设xi是作业i的开始时间。
12
目标：最后一个作业的 1
开始时间最小。
13
minzxn
2 100
7
4
3
st:xj xi tij, ti,j 0, i,j1,2, ,n
每人只有参加完前一阶段的面试后才能进入下一阶段：
x ij tij x i,j 1 , i 1 ,2 ,3 ,4 ;j 1 ,2
每个阶段j同一时间只能面试1名同学：用0-1变量yik 表示第k名同学是否排在第i名同学前面：
x ij tij x k j T y ik, i,k 1 ,2 ,3 ;j 1 ,2 ,3 ;i k x k j tk j x ij T ( 1 y ik), i,k 1 ,2 ,3 ;j 1 ,2 ,3 ;i k
秘书初试
主管复试
经理面试
同学甲
13
15
20
同学乙
10
20
18
同学丙
20
16
10
同学丁
8
10
15
记tij为第i名同学参加第j阶段面试需要的时间 （已知），令xij表示第i名同学参加第j阶段面 试的开始时刻（早上8点为0时刻）：
目标：最后一阶段的最迟面试结束时间最小。
m i n T s . t . T x i 3 t i 3 , i 1 ,2 , 3 ,4
和 考K书r。uskal算法。具体可7 见图论6方面的参
3
2
数学规划方法，用Lin9go解决：5
nn
4
m i n z
c ij x ij
i1 j1
n
s t : x 1 j 1 j1
根至少有一条边连接到其他点
n
x j i 1 , i 1 除根外,每个点只有一条边进入 j1
x ij 0 或 1
1000 100
m a x z
c ij x ij
i1 j1
1000
x ij
N
j,
j
1, 2,
,1 0 0
i1
1 0 0
st : xij 3, j 1, 2 , ,1 0 0 0
j1
x ij
0或
1,
i, j 1, 2, , n
2 最短路径问题
例：求以下带权图从V0到V6最短路径。
0 1 4 5 0 0 0
1 V1 2
5 V4 6
1
0
0
2
0
0
0
4 0 0 4 0 3 0
V0
V3
5
2
V6
5
2
4
0
5
2
0
4 V2
4 3
4 V5
0 0 0 5 0 0 6
0 0 3 2 0 0 4
0 0 0 0 6 4 0
权值表示两点之间的长度
邻接矩阵M
求最短路已1有成V1熟的2 算法5：迪V4杰斯6 特拉
除起点和终点外， 不构成回路。
lingo教程.doc
6 关键路径问题
如下图，某个项目由4个作业（边）完成，每项 作业需要一定时间（边的权值）完成，并且每项 作业都需要在一定的状态（顶点）下才能开始， 即要完成所有先行作业（所有进入该顶点的边）。 求完成这个项目的最短时间。
无回路有向赋权图中的最长路径：关键路径。
x10,xi 0, i1,2, ,n
为了得到每个作业的最早开工时间和最迟 开工时间，可更改模型如下：
n
min z xi
全部作业的开始时间最小
i1
st : sij百度文库
xj
xi
tij , ti, j
0, i1,2j
1
1, 22,
, n100
sij 0
7
4
x1 0, xi 0, i 1,2, ,n 13
5 旅行商(TSP)问题
一名推销员准备前往若干城市推销产品， 然后回到他的出发地。如何为他设计一条 最短的旅行路线（从驻地出发，经过每个 城市恰好一次，最后返回驻地）？
1
7
6
3
2
9
5
4
1
旅行商问题图论7 中没有6 成熟的算法，有改 良圈算法3，但几乎不能找到2 最优解。
数学规划方法9，用4Lin5go解决：
实验
见实验指导。
st :
n
xij
n
x ji
vf v
f
, i , i
1 n
j 1
j 1
0, i 1, n
0 xij cij
除去源点和汇点的流量等于网络总流量之外， 其他点所有流入的流量和流出的流量相等。
4 最小生成树问题
例：求以下带权图的最小生成树。
1
7
6
3
23
9
5
4
1
2 5
求最小生成树已有成熟的算1法：prim算法
x ij 0 或 1 其他点进入的边数等于出去的边数
3 最大流问题
例：求以下带权有向图从V1到V4的最大流。
12 1
13
2
100
7 8
4
3
5
权值表示两点之间的流量限制
求最大流已有成熟的算法：标号法 （ Ford-Fulker1s2on算2法）。100具体可见图
论 数方 学m面规ax的划v f 参方1考法书 ，13 。 用Lin7g3o解8 决5 ：4
数学建模讲义
第8章 图论与网络模型
dx rx dt
黄可坤
嘉应学院
主要内容
1 运输问题与分派问题 2 最短路径问题（重点） 3 最大流问题 4 最小生成树问题 5 旅行商(TSP)问题 6 关键路径问题 7 作业排序问题（难点）
1 运输问题与分派问题
是图论（二分图）问题，有图论方面的算法。 也可以用数学规划解决，比如05年B题：
（ 者D图ij论ks方Vtr0面a）的算参法5考。书具。体V3可见2 数据结V6构或
数学n规划n 方4法，V2用L4ing3o解决：V5 4
m in z
cij xij
i1 j1
1, i 1 起点多一条边出去
s t :
n
xij
n
x ji
1,
i
n
终点多一条边进入
j1
j1
0 , i 1, n
3
当sij>0时，说明对应的作业的开始时间可以推迟 sij，从而得到每个作业i的最迟开工时间。
关键路径还可以看成最长路，用求最短路径的方 法来求解。
图论其他问题
图的遍历：深度优先，广度有限 平面图,着色问题 二分图 树：二叉树，二叉树遍历，编码，表达式
7 作业排序问题
（题目在书134页，代码在lingo教程.doc）有4名同学到一家 公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先
nn
m i n z
c ij x ij
i1 j1
只能在有哈密顿回路的情况下。
n
s t :
x
＝
ij
1
,
j
1, 2,
,n
每个点只有一条边出去
j1
n
x
＝
ji
1
,
i
1, 2,
,n
每个点只有一条边进入
j1
u i u j n x ij n 1 , 2 i j n x ij 0 或 1, i, j 1, 2 , , n ui 0, i 2,3, ,n
12 1
13
2 100
7
4
3
关键路径问题图论中已有成熟的算法，具 体可见数据结构或者图论方面的参考书。
数学规划方法，用Lingo解决：
设xi是作业i的开始时间。
12
目标：最后一个作业的 1
开始时间最小。
13
minzxn
2 100
7
4
3
st:xj xi tij, ti,j 0, i,j1,2, ,n
每人只有参加完前一阶段的面试后才能进入下一阶段：
x ij tij x i,j 1 , i 1 ,2 ,3 ,4 ;j 1 ,2
每个阶段j同一时间只能面试1名同学：用0-1变量yik 表示第k名同学是否排在第i名同学前面：
x ij tij x k j T y ik, i,k 1 ,2 ,3 ;j 1 ,2 ,3 ;i k x k j tk j x ij T ( 1 y ik), i,k 1 ,2 ,3 ;j 1 ,2 ,3 ;i k
秘书初试
主管复试
经理面试
同学甲
13
15
20
同学乙
10
20
18
同学丙
20
16
10
同学丁
8
10
15
记tij为第i名同学参加第j阶段面试需要的时间 （已知），令xij表示第i名同学参加第j阶段面 试的开始时刻（早上8点为0时刻）：
目标：最后一阶段的最迟面试结束时间最小。
m i n T s . t . T x i 3 t i 3 , i 1 ,2 , 3 ,4
和 考K书r。uskal算法。具体可7 见图论6方面的参
3
2
数学规划方法，用Lin9go解决：5
nn
4
m i n z
c ij x ij
i1 j1
n
s t : x 1 j 1 j1
根至少有一条边连接到其他点
n
x j i 1 , i 1 除根外,每个点只有一条边进入 j1
x ij 0 或 1
1000 100
m a x z
c ij x ij
i1 j1
1000
x ij
N
j,
j
1, 2,
,1 0 0
i1
1 0 0
st : xij 3, j 1, 2 , ,1 0 0 0
j1
x ij
0或
1,
i, j 1, 2, , n
2 最短路径问题
例：求以下带权图从V0到V6最短路径。
0 1 4 5 0 0 0
1 V1 2
5 V4 6
1
0
0
2
0
0
0
4 0 0 4 0 3 0
V0
V3
5
2
V6
5
2
4
0
5
2
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4 V2
4 3
4 V5
0 0 0 5 0 0 6
0 0 3 2 0 0 4
0 0 0 0 6 4 0
权值表示两点之间的长度
邻接矩阵M
求最短路已1有成V1熟的2 算法5：迪V4杰斯6 特拉
除起点和终点外， 不构成回路。
lingo教程.doc
6 关键路径问题
如下图，某个项目由4个作业（边）完成，每项 作业需要一定时间（边的权值）完成，并且每项 作业都需要在一定的状态（顶点）下才能开始， 即要完成所有先行作业（所有进入该顶点的边）。 求完成这个项目的最短时间。
无回路有向赋权图中的最长路径：关键路径。
x10,xi 0, i1,2, ,n
为了得到每个作业的最早开工时间和最迟 开工时间，可更改模型如下：
n
min z xi
全部作业的开始时间最小
i1
st : sij百度文库
xj
xi
tij , ti, j
0, i1,2j
1
1, 22,
, n100
sij 0
7
4
x1 0, xi 0, i 1,2, ,n 13
5 旅行商(TSP)问题
一名推销员准备前往若干城市推销产品， 然后回到他的出发地。如何为他设计一条 最短的旅行路线（从驻地出发，经过每个 城市恰好一次，最后返回驻地）？
1
7
6
3
2
9
5
4
1
旅行商问题图论7 中没有6 成熟的算法，有改 良圈算法3，但几乎不能找到2 最优解。
数学规划方法9，用4Lin5go解决：
实验
见实验指导。
st :
n
xij
n
x ji
vf v
f
, i , i
1 n
j 1
j 1
0, i 1, n
0 xij cij
除去源点和汇点的流量等于网络总流量之外， 其他点所有流入的流量和流出的流量相等。
4 最小生成树问题
例：求以下带权图的最小生成树。
1
7
6
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23
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4
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求最小生成树已有成熟的算1法：prim算法
x ij 0 或 1 其他点进入的边数等于出去的边数
3 最大流问题
例：求以下带权有向图从V1到V4的最大流。
12 1
13
2
100
7 8
4
3
5
权值表示两点之间的流量限制
求最大流已有成熟的算法：标号法 （ Ford-Fulker1s2on算2法）。100具体可见图
论 数方 学m面规ax的划v f 参方1考法书 ，13 。 用Lin7g3o解8 决5 ：4
数学建模讲义
第8章 图论与网络模型
dx rx dt
黄可坤
嘉应学院
主要内容
1 运输问题与分派问题 2 最短路径问题（重点） 3 最大流问题 4 最小生成树问题 5 旅行商(TSP)问题 6 关键路径问题 7 作业排序问题（难点）
1 运输问题与分派问题
是图论（二分图）问题，有图论方面的算法。 也可以用数学规划解决，比如05年B题：