高考数学专题复习：三角函数与解三角形测试题及详解

高考数学专题复习：三角函数与解三角形

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)

1．(2011·宁夏银川一中检测)y ＝(sin x ＋cos x )2－1是( ) A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数

[答案] D

[解析] y ＝(sin x ＋cos x )2－1＝2sin x cos x ＝sin2x ，所以函数y ＝(sin x ＋cos x )2－1是最小正周期为π的奇函数．

2．(2011·宁夏银川月考、山东聊城一中期末)把函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移π

6个单位，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得的图象解

析式为y ＝sin x ，则( )

A ．ω＝2，φ＝π

6

B ．ω＝2，φ＝－π3

C ．ω＝12，φ＝π

6

D ．ω＝12，φ＝π

12

[答案] B

[分析] 函数y ＝sin(ωx ＋φ)经过上述变换得到函数y ＝sin x ，把函数y ＝sin x 的图象经过上述变换的逆变换即可得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．

[解析] 把y ＝sin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的1

2倍得到的函数解析式是y ＝

sin2x ，再把这个函数图象向右平移π

6个单位，得到的函数图象的解析式是y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，与已知函数比较得ω＝2，φ＝－π

3

. [点评] 本题考查三角函数图象的变换，试题设计成逆向考查的方式更能考查出考生的分析解决问题的灵活性，本题也可以根据比较系数的方法求解，根据已知的变换方法，经过两次变换后函数y ＝sin(ωx ＋φ)被变换成y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx 2＋ωπ6＋φ比较系数也可以得到问题的答案．

3．(2011·辽宁沈阳二中阶段检测)若函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为( )

A.⎝⎛⎭

⎫－π

8，0 B.⎝⎛⎭⎫

π8，0

C ．(0,0) D.⎝⎛⎭

⎫－π

4，0 [答案] A

[分析] 把函数化为一个角的一种三角函数，根据函数的最小正周期求出ω的值，根据对称中心是函数图象与x 轴的交点进行检验或直接令f (x )＝0求解．

[解析] f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，这个函数的最小正周期是2πω，令2π

ω＝1，解得ω＝2，故函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，把选项代入检验知点⎝⎛⎭⎫－π

8，0为其一个对称中心．

[点评] 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的对称中心，就是函数图象与x 轴的交点． 4．(2011·江西南昌市调研)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π

3

是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是( )

A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6

B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

3＋2 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π

3＋2 D ．y ＝2sin ⎝

⎛⎭⎫4x ＋π

6＋2 [答案] D

[解析] 由最大值为4，最小值为0得

⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋m ＝4－A ＋m ＝0，∴⎩

⎪⎨⎪

⎧

A ＝2m ＝2， 又因为正周期为π2，∴2πω＝π2，∴ω＝4，∴函数为y ＝2sin(4x ＋φ)＋2，∵直线x ＝π

3为其

对称轴，∴4×π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴φ＝k π－5π6，取k ＝1知φ＝π

6

，故选D.

5．(文)(2011·北京朝阳区期末)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π

4的图象，只要将函数y ＝sin2x 的图象( )

A ．向左平移π

4个单位

B ．向右平移π

4个单位

C ．向右平移π

8个单位

D ．向左平移π

8

个单位

[答案] C

[解析] y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π8，故只要将y ＝sin2x 的图象向右平移π8个单位即可．因此选C.

(理)(2011·东北育才期末)已知a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，记f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝cos 2x －sin 2x 的图像，只需将函数y ＝f (x )的图像( )

A ．向左平移π

2

个单位长度

B ．向右平移π

2

个单位长度

C ．向左平移π

4个单位长度

D ．向右平移π

4

个单位长度

[答案] C

[解析] f (x )＝a ·b ＝cos x sin x ＋sin x cos x ＝sin2x ，y ＝cos 2x －sin 2x ＝cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π

2＋2x ＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，可将f (x )的图象向左平移π

4

个单位长度得到，故选C. 6．(文)(2011·北京西城区期末)已知△ABC 中，a ＝1，b ＝2，B ＝45°，则角A 等于( ) A ．150° B ．90° C ．60° D ．30°

[答案] D

[解析] 根据正弦定理得1sin A ＝2sin45°，∴sin A ＝12，

∵a

(理)(2011·福州期末)黑板上有一道解答正确的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a ＝2，……，解得b ＝ 6.根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知．．条件．．

( ) A ．A ＝30°，B ＝45° B ．c ＝1，cos C ＝1

3

C ．B ＝60°，c ＝3

D ．C ＝75°，A ＝45° [答案] D

[分析] 可将选项的条件逐个代入验证． [解析] ∵2sin30°≠6

sin45°，∴A 错；

∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋6－146≠1

3，∴B 错；

∵a 2＋c 2－b 22ac ＝4＋9－612＝7

12≠cos60°，

∴C 错，故选D.

7．(文)(2011·黄冈市期末)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的一部分图象如图所示，如图A >0，ω>0，|φ|<π

2

，则( )

A ．φ＝－π

6

B ．φ＝－π

3