华东师范大学版初中数学九年级上册一课一练课堂精练同步练习册_9

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华东师范大学版初中数学九年级上册一课一练课堂精练同步练习册_48

第 $ 题
第章 !图形的相似#+'
'!所有的直角三角形都相似吗所有的等腰直角三角形都相似吗为什么 (!所有的菱形都相似吗所有的正方形都相似吗为什么 )!如果一个 4 米高的旗杆在太阳光下的影长为 @ 米同它临近的一个建筑物的影
长是 "4 米那么这个建筑物的高度是多少 *!如图是小明所在学校的平面示意图小明可以如何描述他所住的宿舍位置
第 > 题
!+!判断下列各组中的两个三角形是否相似如果相似请写出证明过程!
在中是直角在中是直角 % $"$% *$
*"I#5B $"#$#%# *$# *%#I@5B!
在中在中 " $"$% "$'$ $%'6 "%'G $"#$#%# "#%#'%@ $#%#'
A组
!!地图上两地间的图上距离为 # 厘米比例尺是 %3% 555 555那么两地间的实际距离是!!!!米!
若则 #! +%.# ,' 6, +1,,'!!!!!
如果在中点分别为边的中点 $!
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那么的周长面积 "% '%# $)23
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与相似的对应边的面积为 !!!+"$%) +"#$#%#)# "$'$"$
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华东师大版九年级数学一课一练

华东师大版九年级数学一课一练九年级数学一课一练一、函数1、图像：画出函数 $$y = (x + 4)^2 - 5$$ 在 [-6, 5] 上的图形。

2、求函数 $$y=2x^{2} - 7x + 5$$当 $$x=2$$ 是 $$y$$ 的值。

3、求 $$ y=\frac{1}{x}+5x^{2} $$ 的定义域。

二、极限1、求极限 $$ \lim_{x \to 4}\frac{2x - 4}{\sqrt{7x - 3} - \sqrt{11x + 19}} $$2、判断极限 $$ \lim_{x\to 0}1-\cos(x)$$ 是否存在？三、导数1、求函数 $$ y = x^{3} + 6x^{2} - 7x + 3 $$ 的导数 $ \frac{d}{dx}y $.2、已知函数 $$ f(x)=\ln x,\quad x>0 $$ 的导数为$$\frac{d}{dx}f(x)=\frac{1}{x} $$,求$$x$$ 为何时时值，函数 $$ f(x) $$取极大值？四、微积分1、求不定积分 $$ \int\dfrac{x-2}{x^2+7x+6}\,dx $$2、对于定积分 $$ \int_{a}^{b}\dfrac{3x+6}{x^3-x-6}\,dx , $$ 求定积分的值。

五、空间解析几何1、以 $$ O(3, 0, -6) $$ 为顶点，且与直线 $$ 3x+2y-z-8=0 $$ 垂直的平面方程是什么？2、求出 $$ABCD$$ 所围的三棱锥的体积，若 $$AB=AC=2, AA'=3, BC=4, BD=AD=\sqrt{5},D'E=2, D'C=3. $$六、几何概念1、证明：若圆内一点到圆上两点的距离之和等于这两点间的距离，则该点为圆心。

2、设圆 $$C1$$ 已知 $$C1: x^2+y^2+8x+4y-9=0 $$，点 $$ P=(0,-3) $$ 在圆 $$ C1 $$ 上，求圆 $$ C1 $$ 的方程。

华东师范大学版初中数学九年级上册一课一练课堂精练同步练习册_30

#"如图所示的两个矩形是否相似
$"在本册教科书最后所附的格点图中分别画出两个
相似的三角形四边形五边形"
%"把一张长为 #$ /.宽为 - /.的矩形图片用复印机
放大其中长放大为 '$ /.那么新图片的面积是原来的多少倍
第 % 题
&"将一张矩形纸片 56?A沿一组对边和 5A 6?的中点连线 BC对折对折后所得
概括
由此可以得到相似多边形的性质相似多边形的对应边成比例对应角相等实际上对应边成比例和对应角相等这两个特征足以刻画多边形的相似了"也就是说在数学上我们可以给出相似多边形如下的定义两个边数相同的多边形如果各边对应成比例各角对应相等就称这两个多边形相似" !!" 例在图 %'"%"( 所示的两个相似四边形中求边 $的长度和角的大小"
思考
两个三角形一定是相似图形吗两个等腰三角形呢两个等边三角形呢
第章 !图形的相似"%)
练!习
!"下图是两个等边三角形它们相似吗试找出图形中的成比例线段并用比例式表示"
第 # 题
#"如图所示的两个多边形相似吗说说你的理由矩形都相似吗所有的正方形呢
矩形恰好与原矩形相似"求原矩形纸片的长与宽之比"
第章 "&+ !图形的相似
!!这个定义是我们判断两个多边形是否相似的准确方法"
图 !#,!,$
!!" 分析利用相似多边形的性质和多边形的内角和公式就可以得到所需结果在利用相似多边形的性质时必须分清对应边和对应角"

华东师范大学版初中数学九年级上册一课一练课堂精练同步练习册_69

!!我们发现"原来这几个动手试验观察到的频率稳定值也可以开动脑筋分析出来"当然"最关键的有两点'%%&要清楚我们关注的是哪个或哪些结果( %"&要清楚所有机会均等的结果8%%&#%"&两种结果的个数之比就是所关注的结果发生的概率"如在投掷一枚正方体骰子的游戏中"8%掷得)@*&'%@!掷得)@*的概率等于%@表示什么意思!有同学说'正方体骰子质地均匀"出现各面的结果是等可能的"而)@*是其中一面"所以出现)@*的概率是%@8也有同学说'它表示每@次就有%次掷得)@*8你同意这些说法吗!请你再做投掷正方体骰子的游戏"一旦掷得)@*"就算完成了%次试验"然后数一数你是投掷了几次才掷得)@*的8重复这一试验"看看能否发现什么8小明的试验结果如表"$8"8"所示"在%5次试验中"有时很迟才掷得)@*"有时很早就掷得)@*"平均一下的话"每$84次掷得%次)@*8你是平均几次掷得%次)@*的!第章!随机事件的概率 "%*#"%!# 第章!随机事件的概率#&8#8#-! '!!从试验结果看"掷得)@*的概率等于%@应该表示'如果掷很多很多次的话"那么平均每@次有%次掷得)@*8%8已知掷得)@*的概率等于%@"那么掷得的点数不是)@*%也就是% $&的概率等于多少呢!这个概率值又表示什么意思!"8我们知道"掷得)@*的概率等于%@也表示'如果重复投掷骰子很多很多次的话"那么试验中掷得)@*的频率会逐渐稳定在%@附近8这与)平均每@次有%次掷得/@0*一致吗!。

华东师范大学版初中数学九年级上册一课一练课堂精练同步练习册_56

$% "$
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!!本题是已知一边#一锐角" 求其他两边!
L $% '"$-):2 *%"$
米 '" 555 =):2 $5B, " #G4% &!
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第章 #""$ !解直角三角形
!!# 例 #
如图在相距 "4!4!""
" 555
米的东#西两座
炮台 "#$处同时发现入侵敌舰 %"在炮台 "处测得敌舰
%在它的南偏东 45B的方向"在炮台 $处测得敌舰 %在
它的正南方!试求敌舰与两炮台的距离!%精确到 % 米&
在中 # !! 解
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图 $(&(&$
K *%"$ '>5B.*)"% '$5B"
!!本题是已知两直角边" 求斜边!!
图 $(&(&"
!!# 解利用勾股定理可以求出折断后倒下部分的长度为
槡$" 1%"" '%#"
米 %# 1$ '%G% &! 答'大树在折断之前高 %G 米!
在例 % 中"我们还可以利用直角三角形的边角关系求出另外两个锐角!像这样"在直角三角形中"由已知元素求出未知元素的过程"叫做解直角三角形!
# ):2 '5!%G> 5!

华东师范大学版初中数学九年级上册一课一练课堂精练同步练习册_79

模拟试验!!之前!我们都是用实物做试验的!如抛硬币&摸小球等等8其实!当我们理解了做试验的原理!认识到可以用稳定后的频率来估计概率时!也可以(偷懒)一下!借用计算器或计算机产生随机数的功能!模拟实物试验8比如!对于抛掷硬币的试验!我们可以用随机产生的(5)&(%)来模拟得到(正面)&(反面)的结果'对于投掷一枚正方体骰子的试验!我们可以用随机产生的(%)&(")&**&(@)来模拟掷得的结果8模拟试验的最大好处是节省时间!而且容易自动化8下面以某计算器模拟投掷骰子为例!说明如何让计Array算器产生随机数(%)&(")&**&(@)8在默认的数学模式下!按键步骤如下#$%%按[i U M[/$J:2<2)%%CM N O P%$!%@%I!即可产生一个% @之间的随机整数$最后的半个括号键%也可以不按%'$"%接下来每按一次I键!计算器就产生% @之间的一个随机整数8下面请你试一试!用产生随机数的模拟试验方法!解决一个较难分析预测的中奖概率问题#某彩票的游戏规则是!你从% #$中选出6个号码组成一组投注号码!中奖号码只有一个!只要你选的6个号码中有一个与中奖号码相同即可获奖!问中奖的概率是多少"我们只需将上面步骤$#%中的(@)改成(#$)!即可在% #$的范围内任意产生一个随机整数!作为(第一期)的中奖号码!与你事先写好的号码比较一下!看是否中奖!如果中奖!就在(中奖)下面做一记号!否则在(没中奖)下面做一记号8然后!你重新写好一组号码!让计算器再在% #$的范围内任意产生一个随机整数!作为(第二期)的中奖号码!你依然在(中奖)或(没中奖)下面做一记号8这样一直重复下去!你就可以凭借模拟试验(中奖)的频率去估计中奖的概率了!如果你希望估得准一些!可以进行大数次重复试验!直至你觉得频率已经稳定为止8第章!随机事件的概率 "'*#"'!# 第章!随机事件的概率!!一知识结构'%%%%概率''%%%理论分析预测概率'%%%画树状图'%%%%列表重复试验用频率'估计概率二要点%?在日常生活中人们通常会定性地描述一个事件发生的概率8实际上我们还可以用百分数小数或分数定量地描述概率概率的大小能够反映该事件发生的频繁程度8"?通过重复试验我们对随机现象有了初步的感受一方面随机事件的发生与否具有随机性所以每次收集到的数据可能不同另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律8即我们可以通过数据分析来认识随机事件发生的规律8#?我们可以通过理论分析用计算的办法预测概率8预测概率的一个基本功就是要能够分清所有机会均等的结果并指出其中我们所关注的结果8画树状图和列表都是运用分析方法预测概率的有效手段8有些事件发生的概率无法用分析的方法预测或分析起来比较困难这时可以用重复试验的办法估计概率8。

华东师大版秋九年级数学上册全册同步练习

21．1 第1课时二次根式的概念知识点1 二次根式的概念1．如果－x是二次根式，那么－x________0，则x________0. 2．下列各式中，一定是二次根式的是( )A.35B.32 C.－2 D.x3．下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是？为什么？3，35，－16，－7，x2(x≥0)，||－8，a－2.知识点2 二次根式有意义的条件4．如果二次根式3x－1在实数范围内有意义，那么必须使3x－1________0，所以当x________时，二次根式3x－1在实数范围内有意义．5．如果x－1无意义，那么字母x的取值范围是( )A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x＜16．求使下列各式有意义的字母x的取值范围．(1)5－2x；(2)2x＋1 2；(3)1x－1；(4)2x＋1.7．当a为任意实数时，下列各式中是二次根式的是( )①a＋1；②5a2；③|a|；④－a2－2；⑤（a－1）2. A．①②③B．②③④C．③④⑤D．②③⑤8．［2017·绵阳］使代数式1x＋3＋4－3x有意义的整数x有( )A．5个B．4个C．3个D．2个9．写出一个只含有字母x的二次根式，使它同时满足以下要求：(1)要使此式有意义，字母x必须取大于或等于2的实数；(2)此式的值恒为非正数．这个二次根式可以是__________ .10．［教材练习第2题变式］当x取何值时，下列各式有意义？(1)3－x＋12x－1；(2)x＋3|x|－4.11．若x，y为实数，且2x－1＋1－2x＋y＝8，求xy的值．1．≥ ≤ 2.A3．解：3，－16，x 2(x ≥0)，|－8|是二次根式；35，－7，a －2不是二次根式．理由：3，－16，x 2(x ≥0)，|－8|符合二次根式的概念，故是二次根式.35的根指数是3，故不是二次根式；－7的被开方数小于0，无意义，故不是二次根式；a －2的被开方数a －2的正负不能确定，故也不一定是二次根式．4．≥ ≥135.D6．(1)x ≤52 (2)x ≥－12 (3)x>1 (4)x>－17． D8．B 9．答案不唯一，如－x －210．解：(1)由原式有意义可得⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，2x －1＞0，∴12＜x ≤3.(2)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，①|x|－4≠0，②由①得x ≥－3，由②得x ≠±4，故当x ≥－3且x ≠4时，原式有意义．11．解：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，1－2x ≥0，∴x ＝12，∴y ＝8，∴xy ＝4.21.1 第2课时二次根式的性质知识点 1 二次根式的非负性 1．若x －1＋(y ＋2)2＝0，则(x ＋y)2018＝( )A ．－1B ．1C ．32018D ．－32018 2．若|x －y|＋y －2＝0，则x y －3的值为________．知识点 2 二次根式的性质(a)2＝a(a ≥0)3．计算(15)2的结果是( )A ．225B ．15C ．±15D ．－15 4．把414写成一个正数的平方的形式是( )A ．(212)2 B ．(174)2 C ．(±212)2 D ．(±174)2 5．计算： (1)(11)2； (2)(－ 20)2.知识点 3 二次根式的性质a 2＝|a|6．计算：（－2）2＝|________|＝________．7．下列计算正确的是( ) A ．(5)2＝25 B ．(－3)2＝3 C.（－3）2＝－3 D.02＝08．计算： (1)916； (2)（－7）2.9．若x－2＋3＋y＝0，则(x＋y)2019的值为( ) A．5 B．－5 C．1 D．－110．若（x－3）2＝3－x，则x的取值范围是________．11．［教材习题第2题变式］计算：(1)⎝⎛⎭⎫32＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫－232；(2)（a＋3）2－a2(a>0)．12．阅读材料，解答问题．例：若代数式（2－a）2＋（a－4）2的值是常数2，求a的取值范围．分析：原式＝|a－2|＋|a－4|，因为|a－2|表示数a在数轴上对应的点到数2在数轴上对应的点的距离，|a－4|表示数a在数轴上对应的点到数4在数轴上对应的点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析．图21－1－1解：原式＝|a－2|＋|a－4|.在数轴上看，应分三种情况讨论：①当a＜2时，原式＝2－a＋4－a＝6－2a；②当2≤a≤4时，原式＝a－2＋4－a＝2；③当a＞4时，原式＝a－2＋a－4＝2a－6.通过分析可得a的取值范围是2≤a≤4.(1)此例题的解答过程中用了哪些数学思想？(2)化简：（3－a）2＋（a－7）2.1．B 则原式＝(－1)2018＝1. 2. 12 3．B4．B 5．(1)11 (2)20 6.－2 2 7.D 8．(1)34 (2)79． D 10． x ≤311．解：(1)原式＝3＋23＝323.(2)原式＝a ＋3－a ＝3.12．解：(1)数形结合思想，分类讨论思想． (2)原式＝|3－a|＋|a －7|.①当a ＜3时，原式＝3－a ＋7－a ＝10－2a ； ②当3≤a ≤7时，原式＝a －3＋7－a ＝4； ③当a ＞7时，原式＝a －3＋a －7＝2a －10.21.2.1 二次根式的乘法知识点 1 ab ＝a ·b 成立的条件1．如果等式x ＋1·1－x ＝1－x 2成立，那么有x ＋1________0，1－x________0，所以x 的取值范围是__________．2．若a ·b ＝ab 成立，则下列说法正确的是( )A ．a ≥0，b ≥0B ．a>0，b>0C ．a ≤0，b ≤0D ．a<0，b<0 知识点 2 二次根式的乘法法则的应用3．计算：8×12＝____________．4．下列计算正确的是( ) A.2×5＝7 B.2×5＝10 C.5×6＝11 D.12×12＝25．［教材例1变式］计算： (1)3×5； (2)13×108；(3)68×(－32); (4)6×34×8.6．下列运算正确的是( ) A ．23×32＝65 B.2a ·8a ＝4a C.（a 3）2＝a 3 D.5×920＝327．阅读下列解答过程，在括号中填入恰当的内容． (－a)2＝－a ×－a ①＝（－a）×（－a）②＝（－a）2③＝a2④＝a. ⑤(1)由上述过程可知a的取值范围为________；(2)上述解答过程有错误的是第________步，正确结果为________．8．王老师想设计一个长方形的实验基地，便于学生进行实地考察．为了考查学生的数学应用能力，他把长方形基地的长设计为8020米，宽设计为3 45米，让学生计算出这块实验基地的面积，你会计算吗？9．比较前后两个算式计算结果的大小(填“>”“<”或“＝”)：(1)2＋12________2×2×12；(2)3＋3________2×3×3；(3)9＋16________2×9×16；…通过观察与归纳，写出其中的规律，并说明理由．教师详答1．≥ ≥ －1≤x ≤1 2. A 3. 812 4 24． B 5．(1)原式＝3×5＝15.(2)原式＝13×108＝36＝6.(3)原式＝6×(－3)×8×2＝－18×4＝－72.(4)原式＝6×34×8＝36＝6.6. D7． (1)a ≤0 (2)⑤ －a 8．解：8020×3 45＝(80×3)×20×45＝240×900＝7200(米2)．9．解：(1)> (2)＝ (3)> 规律：a ＋b ≥2 a ·b(a ≥0，b ≥0)．理由：∵a ＝(a)2，b ＝(b)2(a ≥0，b ≥0)， ∴a ＋b －2 a ·b ＝(a)2－2a ·b ＋(b)2＝(a －b)2≥0，∴a ＋b ≥2 a ·b(a ≥0，b ≥0)．21.2.2 积的算术平方根知识点 1 ab ＝a ·b 成立的条件1．若等式a 2－64＝a ＋8·a －8成立，则有________≥0，________≥0，所以a 的取值范围是________．2．若－ab ＝a ·－b 成立，则( )A ．a ≥0，b ≥0B ．a ≥0，b ≤0C ．a ≤0，b ≥0D ．ab ≥0 知识点 2 积的算术平方根的应用3.100×14＝______×______＝______．4．二次根式（－2）2×6的计算结果是( )A ．26 B ．－26 C ．6 D ．125．计算： (1)30×6； (2)（－100）×（－4）；(3)121169×81100； (4)（－5）2×（－7）2.6．［教材例2变式］化简： (1)－75； (2)a 5. 7．有下列各式：①54×12＝32；②412－402＝9；③（－3）×（－5）＝－3×－5；④8＝22；⑤（－3）2×（－5）2＝15；⑥32＋42＝7.其中正确的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 8．若一个长方体的长为26 cm ，宽为3 cm ，高为2 cm ，则它的体积为________ cm3.9．若20n是整数，则正整数n的最小值为________．10. 已知a＝2，b＝5，用只含a，b的代数式表示20，这个代数式是__________．11．计算下列各式：(1)2 4a3b2c(a>0，b>0)；(2)a4＋a6b2.12．已知m＝(－33)×(－2 21)，则有( )A．5.0＜m＜5.1 B．5.1＜m＜5.2C．5.2＜m＜5.3 D．5.3＜m＜5.413．［阅读思考］阅读探究：4×9×16＝24，4×9×16＝24；0.04×0.25×0.09×0.36＝0.018，0.04×0.25×0.09×0.36＝0.018.(1)根据上述具体数据，请你猜想：当a≥0，b≥0，c≥0时，a·b·c与a·b·c的关系是什么？(2)根据以上式子，请你猜想：当a≥0，b≥0，c≥0，…，f≥0时，a·b·c·…·f可以转化为什么？教师详答1．a＋8 a－8 a≥82．B3．100 14101254. A5．解：(1)原式＝5×6×6＝5×62＝6 5.(2)原式＝100×4＝100×4＝10×2＝20.(3)原式＝121169×81100＝1113×910＝99130.(4)原式＝25×49＝25×49＝5×7＝35.6．解：(1)－75＝－3×25＝－5 3.(2)a5＝a4·a＝a4·a＝a2 a.7．B8．129．5 10.a2b 11．解：(1)原式＝2×2ab ac＝4ab ac.(2)原式＝a4（1＋a2b2）＝a4·1＋a2b2＝a21＋a2b2. 12．C [13．解：(1)a·b·c＝a·b· c.(2)当a≥0，b≥0，c≥0，…，f≥0时，a·b·c·…·f＝a·b·c·…· f.21.2.3 二次根式的除法知识点1 ab＝ab成立的条件1．若xx＋1＝xx＋1成立，则有x________0，x＋1________0，所以x的取值范围是________．2．等式－ba＝－ba成立的条件是( )A．a，b异号B．a>0，b>0 C．a≥0，b≥0 D．a>0，b≤0 知识点2 二次根式的除法3．计算：483＝（）（）＝________．4．计算：(1)183；(2)328；(3)315÷135；(4)3ab32ab2.知识点3 商的算术平方根5．计算：29＝（）（）＝________．6．若3＋x3－x＝3＋x3－x成立，则x的取值范围是( )A．－3≤x＜3 B．x＜3 C．x＞－3 D．－3＜x≤3 7．化简：(1)916；(2)325；(3)549；(4)－11－36.知识点4 最简二次根式8．［2017·贵港］下列二次根式中，是最简二次根式的是( )A．－ 2 B.12 C.15D.a29．下列二次根式中，不是最简二次根式的有______个．①x2；②0.3；③118；④2x2＋1.10．化简：(1)17；(2)113；(3)510；(4)438.11．如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①ab＝ab，②ab·ba＝1，③ab÷ab＝－b中，正确的是( )A．①②B．②③C．①③D．①②③12．若 2m＋n－2和 33m－2n＋2都是最简二次根式，则m n＝________．13．［教材习题21.2第2题变式］计算：(1)35×52÷47；(2)113÷223×135；(3)3 223÷1225×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1815.14．王聪学习了二次根式的除法公式ab＝ab后，他认为该公式逆过来a b ＝ab也应该成立，于是这样化简了下面这道题：－27－3＝－27－3＝（－3）×9－3＝－3×9－3＝9＝3.你认为他的化简过程对吗？若不对，请说明理由，并改正．15．请先化简x－1x－1÷1x2－x，再选取两个你喜欢的数代入化简后的式子中分别求值．16．观察下面的式子：1＋13＝213，2＋14＝314，3＋15＝415，….(1)类比上述式子，再写出几个同类型的式子(至少写3个)；(2)请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来，并给出证明．教师详答1．≥ > x ≥0 2. D3. 48 3 16 4 4．(1) 6 (2)2 (3)2 (4)32b 5.2 9236．A7．解：(1)916＝916＝34. (2)325＝325＝35.(3)549＝499＝499＝73. (4)－11－36＝1136＝1136＝116.8．A 9．310．解：(1)17＝77×7＝77.(2)113＝43＝4×33×3＝233. (3)510＝51010×10＝51010＝102.(4)438＝4 3×28×2＝4 616＝4 64＝ 6.11． B12． 1 13．解：(1)原式＝35×52÷47＝352×28×2＝354 2.(2)原式＝43÷83×85＝45＝4×55×5＝25 5.(3)原式＝9×83÷121025×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1815 ＝－24÷102×5×158＝－2 6×1010×158＝－2 6×10×158＝－9004＝－152. 14．解：不对．理由：因为－27－3有意义，而－27－3中的二次根式无意义．改正：－27－3＝273＝9＝3.15．解：由题意得x>1, 所以原式＝x －1x －1·x ()x －1＝()x －12x x －1＝x －1x －1x ＝x.代入求值答案不唯一，如：当x ＝4时，原式＝2.当x＝9时，原式＝3.16．解：(1)答案不唯一，如4＋16＝516，5＋17＝617，6＋18＝718.(2)规律：n＋1n＋2＝(n＋1)1n＋2.证明：n＋1n＋2＝n（n＋2）＋1n＋2＝n2＋2n＋1n＋2＝(n＋1)1n＋2.21.3 二次根式的加减知识点1 同类二次根式1．下面与2是同类二次根式的是( )A. 3B.12C.8D.202．［2016·巴中改编］下列二次根式中，能与3合并的是( )A.18B.13C.24D.0.33．下列二次根式中，属于同类二次根式的是( )A．2 3与 6 B. 13与23C. 18与12D. 4a与8a4．已知最简二次根式3a－8与17－2a是同类二次根式，求a的值．知识点2 二次根式的加减5．计算：27＋3＝________＋3＝(________＋________)3＝________．6．计算8－612的结果是________．7．计算414＋313－8的结果是__________．8．计算：(1)1048－627＋312；(2)13－12＋273；(3)45＋45－8＋4 2.知识点 3 二次根式的混合运算 9．计算：(3＋2)(3－2)＝________．10．［教材练习第2题变式］计算： (1)(5＋2)2; (2)(23－2)2.11．下列各数中，与2－3的积为有理数的是( ) A ．2＋3 B ．2－ 3C ．－2＋3 D.312．若a ，b 为有理数，且4＋18＋18＝a ＋b 2，则ab 的值为( )A.34B.134C.132 D ．2 13．已知a －b ＝23－1，ab ＝3，则(a ＋1)(b －1)的值为________． 14．若等腰三角形的两边长分别为2 3和52，则这个等腰三角形的周长是__________．15．若a ，b 分别是6－13的整数部分和小数部分，则2a －b 的值是________．16．计算：(1)20＋55－13×12；(2)(3 2＋4 3)(4 2－3 3)； (3)(1048－624＋412)÷6；(4)⎝⎛⎭⎪⎪⎫5－5102－(－210)．17．对于任意不相等的两个实数a ，b ，定义运算“※”如下：a ※b ＝a ＋b a －b，例如：3※2＝3＋23－2＝ 5.求4※1＋8※12的值．18．若a ＝3－10，求代数式a 2－6a －2的值．19．如图21－3－1，有一张边长为62 cm 的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为2 cm.求：(1)剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积； (2)长方体盒子的体积．图21－3－1 20．已知4x 2＋y 2－4x －6y ＋10＝0，求(23x9x ＋y 2xy 3)－(x 21x －5x y x)的值．1．C2. B3. C4．解：由已知可得3a－8＝17－2a，解得a＝5.5．3 3 3 1 4 36．－ 27. 2＋3－2 28．解：(1)原式＝10×4 3－6×3 3＋3×2 3＝(40－18＋6)3＝28 3.(2)原式＝33－2 3＋3＝－2 33.(3)原式＝4 5＋3 5－2 2＋4 2＝7 5＋2 2. 9．710．解：(1)原式＝5＋4 5＋4＝9＋4 5.(2)原式＝12－4 6＋2＝14－4 6.11．A 12．C13．－ 3 14．10 2＋2 315．1316．解：(1)原式＝2 5＋55－13×12＝3－2＝1.(2)原式＝3 2×4 2－3 2×3 3＋4 3×4 2－4 3×3 3＝24－9 6＋16 6－36＝7 6－12.(3)原式＝10 486－6246＋4 126＝10 8－6 4＋4 2＝20 2－12＋4 2＝24 2－12. (4)原式＝5－2 5×510＋2510＋2 10＝5－52＋52＋210＝152－52＋210.17．解：4※1＝4＋14－1＝53，8※12＝8＋128－12＝－204＝－52，所以4※1＋8※12＝53－52＝－56.18．解：解法一：原式＝(3－10)2－6×(3－10)－2＝9－610＋10－18＋610－2＝－1.解法二：因为a ＝3－10，所以a －3＝－10，两边同时平方，得a 2－6a ＋9＝10，所以a 2－6a ＝1，所以a 2－6a －2＝－1.19．解：(1)制作长方体盒子的纸板的面积： (62)2－4×(2)2＝64(cm 2)．(2)长方体盒子的体积： (62－22)×(62－22)×2＝322(cm 3)．20．解：∵4x 2＋y 2－4x －6y ＋10＝0， ∴(2x －1)2＋(y －3)2＝0，∴x ＝12，y ＝3.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x 9x ＋y 2x y 3－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 21x－5xy x ＝⎝⎛⎭⎫2x x ＋xy －(x x －5xy)＝2xx ＋xy －xx ＋5xy＝x x＋6 xy.当x＝12，y＝3时，原式＝1212＋632＝24＋3 6.22.1～22.2一、选择题(每小题3分，共27分)1．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是( ) A.()x ＋82＝x ＋8 B ．x 2＋18x＝6 C ．ax 2＋bx ＋c ＝0 D ．x 2＋x ＋1＝x 2 2．一元二次方程4x 2＋1＝4x 的根的情况是( ) A ．没有实数根 B ．只有一个实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．有两个不相等的实数根3. 用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后所得的方程为( ) A ．(x ＋1)2＝0 B ．(x －1)2＝0 C ．(x ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＝24．下面是四名同学在解方程x(x ＋3)＝x 时的答案，结果正确的是( ) A ．x ＝－2 B ．x ＝0C ．x ＝0或x ＝2D ．x ＝0或x ＝－25．若关于x 的一元二次方程的两个根为x 1＝1，x 2＝2，则这个方程可能是( )A ．x 2＋3x －2＝0B ．x 2－3x ＋2＝0C ．x 2－2x ＋3＝0D ．x 2＋3x ＋2＝06．若关于x 的一元二次方程mx 2－2x ＋1＝0无实数根，则一次函数y ＝(m －1)x －m 的图象不经过( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0有一个根为0，则m的值为( )A．0 B．1或2C．1 D．28．若关于x的一元二次方程(k－1)x2－(2k＋1)x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )A．k＞－18B．k＞－18且k≠1C．k＜－18D．k≥－18且k≠09．已知m，n是方程x2＋3x－2＝0的两个实数根，则m2＋4m＋n＋2mn的值为( )A．1 B．3 C．－5 D．－9二、填空题(每小题4分，共20分)10．若关于x的方程ax2＋3x＝2x2＋4是一元二次方程，则a应满足的条件是________．11．已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一个根为__________．12．若代数式4x2＋5x＋6与－3x2－2的值互为相反数，则x的值为________．13．有一个数值转换机，其流程如图1－G－1所示．若输入a＝－6，则输出的x的值为________．图1－G－114．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝________，b＝________．三、解答题(共53分)15．(12分)解下列方程：(1)(x－2)2＝4; (2)x2－2x＝0；(3)(x＋2)2－9x2＝0; (4)x2－10x＋21＝0；(5)4x2＋8x＋1＝0; (6)x2－2x＝－4＋2x.16. (10分)已知关于x的方程x2＋2(2－m)x＋3－6m＝0.(1)若1是此方程的一个根，求m的值及方程的另一个根；(2)试说明：无论m取任何实数，此方程总有实数根．17．(10分)已知关于x的一元二次方程x2－ax＋2＝0的两实数根x1，x2满足x1x2＝x1＋x2－2.(1)求a的值；(2)求该一元二次方程的两实数根．18．(10分)已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．19．(11分)已知关于x的一元二次方程tx2－(3t＋2)x＋2t＋2＝0(t＞0)．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2(其中x1＜x2)，若y是关于t的函数，且y＝x2－2x1，求这个函数的表达式，并画出函数图象；(3)观察(2)中的函数图象，当y≥2t时，写出自变量t的取值范围．1．A 2．C 3．D 4.D 5.B 6.B 7.D8．B 9．C 10．a≠211．4 12．－1或－413．无解14．答案不唯一，如a＝1，b＝215．解：(1)∵x－2＝±4，∴x＝2±2，∴x1＝4，x2＝0.(2)原方程可化为x(x－2)＝0，∴x1＝0，x2＝2.(3)原方程可化为(x＋2)2－(3x)2＝0，∴(x＋2＋3x)(x＋2－3x)＝0，∴－4(2x＋1)(x－1)＝0，∴x1＝－12，x2＝1.(4)移项，得x2－10x＝－21，∴x2－10x＋25＝－21＋25，∴(x－5)2＝4，∴x－5＝±4，∴x＝5±2，∴x1＝7，x2＝3.(5)∵a＝4，b＝8，c＝1，∴b2－4ac＝82－4×4×1＝48>0，∴x ＝－8±482×4， ∴x 1＝－2＋32，x 2＝－2－32.(6)原方程可化为x 2－2x －2x ＋4＝0，即x 2－4x ＋4＝0，∴(x －2)2＝0，∴x 1＝x 2＝2.16．解：(1)把x ＝1代入方程，得1＋4－2m ＋3－6m ＝0，∴m ＝1.故方程为x 2＋2x －3＝0.设方程的另一个根是t ，则1·t ＝－3，∴t ＝－3.故m ＝1，方程的另一个根为－3.(2)∵在关于x 的方程x 2＋2(2－m)x ＋3－6m ＝0中，Δ＝4(2－m)2－4(3－6m)＝4(m ＋1)2≥0，∴无论m 取任何实数，此方程总有实数根．17．解：(1)∵x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝2，又x 1x 2＝x 1＋x 2－2，∴2＝a －2，∴a ＝4.(2)原方程为x 2－4x ＋2＝0，∴(x－2)2＝2，∴x－2＝±2，∴x1＝2＋2，x2＝2－ 2.18．解：(1)Δ＝b2－4ac＝4－4(2k－4)＝20－8k. ∵方程有两个不相等的实数根，∴20－8k>0，∴k<5 2 .(2)∵k为正整数，∴0<k<52且k为整数，即k的值为1或2.∵x1，2＝－1±5－2k，且方程的根为整数，∴5－2k为完全平方数．当k＝1时，5－2k＝3，不是完全平方数；当k＝2时，5－2k＝1，是完全平方数，∴k＝2.19．解：(1)证明：Δ＝(3t＋2)2－4t(2t＋2)＝(t＋2)2. ∵t＞0，∴(t＋2)2＞0，即Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)x＝3t＋2±（t＋2）2t，∵t＞0，∴x1＝1，x2＝2＋2 t ，∴y＝x2－2x1＝2＋2t－2×1＝2t，即y＝2t(t＞0)．函数图象如图：(3)当y≥2t时，0＜t≤1.22．1 一元二次方程知识点1 一元二次方程的定义及一般形式1．下列方程中是一元二次方程的是( ) A．2x＋1＝0 B．y2＋x＝0C．x2－x＝0 D. 1x＋x2＝02．将下列一元二次方程化成一般形式，并写出方程的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)2y2＝8；(2)3x2－2＝x；(3)2y(4y＋3)＝13; (4)(3x－1)(x＋2)＝1.知识点2 一元二次方程的解3．已知关于x的一元二次方程2x2－3mx－5＝0的一个根是－1，把x＝－1代入原方程得到关于m的方程为____________，解得m＝________．4．若关于x的方程32x2－2a＝0的一个根是2，则2a－1的值是多少？知识点3 根据实际问题列一元二次方程5．［教材“问题2”变式题］［2017·辽阳］共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的是( )A．1000(1＋x)2＝1000＋440B．1000(1＋x)2＝440C．440(1＋x)2＝1000D．1000(1＋2x)＝1000＋4406．［2017·兰州］王叔叔从市场上买了一块长80 cm、宽70 cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图22－1－1，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000 cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程_______________________________．图22－1－17．关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，若a＋b＋c＝0，则方程必有一根是( )A．－1 B．1 C．0 D．±18．已知m是一元二次方程x2＋2x－1＝0的一个根，则3m(m＋2)－2的值为________．9．［教材习题22.1第2题变式］已知关于x的方程(k－3)x|k|－3－x－2＝0是一元二次方程，求不等式kx－2k＋6≤0的解集．10．已知关于x的方程(k2－1)x2＋(k＋1)x－2＝0.(1)当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根；(2)当k取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数、一次项系数和常数项．1．C2．解：(1)移项，得一元二次方程的一般形式为2y2－8＝0，其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－8.(2)移项，得一元二次方程的一般形式为3x2－x－2＝0，其中二次项系数为3，一次项系数为－1，常数项为－2.(3)整理，得一元二次方程的一般形式为8y2＋6y－13＝0，其中二次项系数为8，一次项系数为6，常数项为－13.(4)整理，得一元二次方程的一般形式为3x2＋5x－3＝0，其中二次项系数为3，一次项系数为5，常数项为－3.3．2＋3m－5＝0 14．解：因为关于x的方程32x2－2a＝0的一个根是2，所以6－2a＝0，解得a＝3.当a＝3时，2a－1＝2×3－1＝5.5．A6．(80－2x)(70－2x)＝3000 [解析] 根据题意可知裁剪后的底面的长为(80－2x)cm，宽为(70－2x)cm，根据长方形的面积＝长×宽，可以列出方程(80－2x)(70－2x)＝3000.7．B8．1 [解析] 把x＝m代入方程x2＋2x－1＝0中，得m2＋2m－1＝0，变形得m2＋2m＝1，所以3m(m＋2)－2＝3(m2＋2m)－2＝3×1－2＝1.9．解：∵关于x的方程(k－3)x|k|－3－x－2＝0是一元二次方程，∴|k|－3＝2且k－3≠0，解得k＝±5.①当k ＝5时，不等式kx －2k ＋6≤0可化为5x －2×5＋6≤0，解得 x ≤45. ②当k ＝－5时，不等式kx －2k ＋6≤0可化为－5x ＋2×5＋6≤0，解得 x ≥165. 10．解：(1)当k ＝1时，此方程为一元一次方程；方程的根为x ＝1.(2)当k ≠±1时，此方程为一元二次方程；方程的二次项系数为k 2－1，一次项系数为k ＋1，常数项为－2.22.2.1 第1课时直接开平方法知识点1 用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的一元二次方程1．解方程：x2＝25.因为x是25的平方根，所以x＝________．所以原方程的解为x1＝________，x2＝________．2．一元二次方程x2－4＝0的解是( )A．x1＝2，x2＝－2 B．x＝－2C．x＝2 D．x1＝2，x2＝03．［教材例1变式］用直接开平方法解下列方程：(1)x2－5＝0; (2)16x2＝81；(3)5x2－125＝0; (4)x2－5＝4 9 .知识点2 用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程4．将方程(2x－1)2＝9的两边同时开平方，得2x－1＝________，即2x－1＝________或2x－1＝________，所以x1＝________，x2＝________．5．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是( )A．x2－3＝0 B．(x－1)2－4＝0C．x2＋2＝0 D．(x－1)2＝(－2)26．用直接开平方法解下列方程：(1)(x＋2)2＝27；(2)(x－3)2－9＝0；(3)(2x－8)2＝16；(4)9(3x－2)2＝64.7．若a ，b 为方程x 2－4(x ＋1)＝1的两根，且a ＞b ，则a b＝( ) A ．－5 B ．－4 C ．1 D ．38．［2016·深圳］给出一种运算：对于函数y ＝x n ，规定y ′＝nx n －1.例如：若函数y ＝x 4，则y ′＝4x 3.已知函数y ＝x 3，则方程y ′＝12的根是( )A ．x 1＝4，x 2＝－4B ．x 1＝2，x 2＝－2C ．x 1＝x 2＝0D ．x 1＝2 3，x 2＝－2 39．若(x 2＋y 2－1)2＝4，则x 2＋y 2＝________．10．已知直角三角形的两边长x ，y 满足||x 2－16＋y 2－9＝0，求这个直角三角形第三边的长．11．［2017·河北］对于实数p ，q ，我们用符号min {}p ，q 表示p ，q 两数中较小的数，如min {}1，2＝1.因此，min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－3＝________；若min {}（x －1）2，x 2＝1，则x ＝________．1．±5 5 －5 2.A3．解：(1)x2＝5，x＝±5，即x1＝5，x2＝－ 5.(2)∵x2＝8116，∴x＝±8116，即x1＝94，x2＝－94.(3)∵5x2＝125，∴x2＝25，∴x＝±5，即x1＝5，x2＝－5.(4)x2－5＝49，x2＝499，解得x1＝73，x2＝－73.4．±3 3 －3 2 －15．C [解析] x2－3＝0移项得x2＝3，可用直接开平方法求解；(x－1)2－4＝0移项得(x－1)2＝4，可用直接开平方法求解；(x－1)2＝(－2)2＝4，可用直接开平方法求解．故选C.6．解：(1)∵x＋2＝±27，∴x＝－2±3 3，∴x1＝－2＋3 3，x2＝－2－3 3.(2)∵(x－3)2－9＝0，∴(x－3)2＝9，∴x－3＝±3，∴x1＝6，x2＝0.(3)∵2x－8＝±16，∴2x＝8±4，∴x 1＝6，x 2＝2.(4)∵(3x －2)2＝649， ∴3x －2＝83或3x －2＝－83，解得x 1＝149，x 2＝－29. 7．A [解析] x 2－4(x ＋1)＝1，∴x 2－4x －4＝1，∴(x －2)2＝9，∴x 1＝5，x 2＝－1.∵a ，b 为方程x 2－4(x ＋1)＝1的两根，且a>b ，∴a ＝5，b ＝－1，∴a b ＝5－1＝－5. 故选A.8． B [解析] 由函数y ＝x 3得n ＝3，则y ′＝3x 2，∴3x 2＝12，则x 2＝4，∴x ＝±2，∴x 1＝2，x 2＝－2.故选B.9． 3 [解析] (x 2＋y 2－1)2＝4直接开平方得x 2＋y 2－1＝±2.解得x 2＋y 2＝3或x 2＋y 2＝－1.∵x 2≥0，y 2≥0，∴x 2＋y 2＝3.10．解：根据题意，得x 2－16＝0，y 2－9＝0，所以x ＝±4，y ＝±3.因为三角形的边长是正数，所以x＝4，y＝3.若第三边为斜边，则第三边的长为32＋42＝5；若第三边为直角边，则第三边的长为42－32＝7，所以这个直角三角形第三边的长为7或5.11．－ 3 2或－1 [解析] min{－2，－3}＝－ 3.∵min{(x－1)2，x2}＝1，当x＝0.5时，x2＝(x－1)2，不可能得出最小值为1，当x>0.5时，(x－1)2<x2，则(x－1)2＝1，x－1＝±1，即x－1＝1或x－1＝－1，解得x1＝2，x2＝0(不合题意，舍去)；当x<0.5时，(x－1)2>x2，则x2＝1，解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－1.综上所述，x的值为2或－1.22.2.1 第2课时因式分解法知识点1 解形如ab＝0的方程1．因为(x－1)(x＋2)＝0，所以x－1________0或x＋2________0，解得x1＝________，x2＝________．2．下列一元二次方程中，两根分别为5和－7的是( )A．(x＋5)(x＋7)＝0 B．(x－5)(x－7)＝0C．(x＋5)(x－7)＝0 D．(x－5)(x＋7)＝0知识点2 利用提公因式法解一元二次方程3．将方程4x2－3x＝0左边提公因式后，得x(4x－3)＝0，必有________＝0或________＝0，解这两个方程，得原方程的根为x1＝________，x2＝________．4．方程x2＝2x的根是( )A．x＝2 B．x1＝2，x2＝0C．x1＝2，x2＝0 D．x＝05．方程x(x－2)＋x－2＝0的根是( )A．x＝2 B．x1＝－2，x2＝1C．x＝－1 D．x1＝2，x2＝－16．用因式分解法解下列方程：(1)x(x－2)＝x；(2)3x(x－2)＝2(2－x)．知识点3 利用平方差公式、完全平方公式解一元二次方程7．由4y2－9＝0，可得(______)2－32＝0，则(2y＋3)(______)＝0，所以______＝0或______＝0，解得y1＝________，y2＝________．8．方程x2－4x＋4＝0的解是____________．9．运用平方差公式或完全平方公式解方程：(1)9y2－16＝0; (2)16(x－1)2＝225；(3)2x2－4x＝－2; (4)25x2＝10x－1.10．定义一种新运算：a▲b＝a(a－b)，例如4▲3＝4×(4－3)＝4.若x▲2＝3，则x的值是( )A．x＝3 B．x＝－1C．x1＝3，x2＝1 D．x1＝3，x2＝－111．已知方程x2＋px＋q＝0的两个根分别为2和－5，则二次三项式x2＋px＋q可分解为( )A．(x＋2)(x－5) B．(x－2)(x＋5)C．(x＋2)(x＋5) D．(x－2)(x－5)12．［2016·青海改编］已知一个等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程(x－2)(x－4)＝0的两个根，则该等腰三角形的周长为( )A．8 B．10C．8或10 D．1213．关于x的一元二次方程m(x－p)2＋n＝0(m，n，p均为常数，m≠0)的根是x1＝－3，x2＝2，则方程m(x－p＋5)2＋n＝0的根是____________．14．用因式分解法解下列方程：(1)［教材例2(2)变式］3(x－2)＝5x(2－x)；(2)［教材例3(2)变式］12(2x－5)2－2＝0；(3)x2＋3＝2(x＋1)；(4)x2－4x＋4＝(3－2x)2.15．小红解方程x(2x －5)＋4(5－2x)＝0的过程如下：先将方程变为x(2x －5)－4(2x －5)＝0，移项得x(2x －5)＝4(2x －5)，方程两边都除以(2x －5)得x ＝4.请你判断小红的解法是否正确，若不正确，请给出正确解法．16．先化简，再求值：x －1x ＋2·x 2－4x 2－2x ＋1÷1x 2－1，其中x 2－x ＝1. 17．如果方程ax 2－bx －6＝0与方程ax 2＋2bx －15＝0有一个公共根是3，求a ，b 的值，并分别求出两个方程的另一个根.18．阅读下面的材料，并回答问题．我们知道，把乘法公式(x ±y)2＝x 2±2xy ＋y 2和(x ＋y)(x －y)＝x 2－y 2的左右两边交换位置，就得到了因式分解的公式：x 2±2xy ＋y 2＝(x ±y)2和x 2－y 2＝(x ＋y)(x －y)．同样的道理，我们把等式(x ＋a)(x ＋b)＝x 2＋(a ＋b)x ＋ab 的左右两边交换位置后，得到x 2＋(a ＋b)x ＋ab ＝(x ＋a)(x ＋b)，也就是说，一个特殊形式的二次三项式也可以进行因式分解，如x 2＋3x ＋2＝(x ＋1)(x ＋2)．所以在解方程x 2＋3x ＋2＝0时，可以把方程变形为(x ＋1)(x ＋2)＝0，所以x 1＝－1，x 2＝－2.请模仿这种解法，解下列方程：(1)x 2－2x －3＝0； (2)x 2－5x ＋4＝0.教师详答1．＝＝ 1 －22. D3．x 4x －3 0 344．B [解析] x 2－2x ＝0，x(x －2)＝0，x ＝0或x －2＝0，所以x 1＝0，x 2＝2.故选B.5．D [解析] 提取公因式x －2，解方程即可．6．解：(1)移项，得x(x －2)－x ＝0，提公因式，得x(x －2－1)＝0，即x(x －3)＝0，解得x 1＝0，x 2＝3.(2)由原方程，得(3x ＋2)(x －2)＝0，所以3x ＋2＝0或x －2＝0，解得 x 1＝－23，x 2＝2. 7．2y 2y －3 2y ＋3 2y －3 －32 328．x 1＝x 2＝29．解：(1)原方程可化为(3y ＋4)(3y －4)＝0，∴3y ＋4＝0或3y －4＝0，∴y 1＝－43，y 2＝43. (2)∵16(x －1)2－152＝0，∴[4(x －1)＋15][4(x －1)－15]＝0，∴4x ＋11＝0或4x －19＝0，∴x 1＝－114，x 2＝194. (3)原方程可化为2x 2－4x ＋2＝0，两边同时除以2，得x 2－2x ＋1＝0，所以()x －12＝0，解得x 1＝x 2＝1.(4)原方程可化为25x 2－10x ＋1＝0，∴(5x －1)2＝0，∴x 1＝x 2＝15. 10．D [解析] ∵x ▲2＝3，∴x(x －2)＝3，整理得x 2－2x －3＝0，(x －3)(x ＋1)＝0，x －3＝0或x ＋1＝0，所以x 1＝3，x 2＝－1.故选D.11． B12． B[解析] ∵(x －2)(x －4)＝0，∴x 1＝4，x 2＝2.由三角形的三边关系可得腰长是4，底边长是2，所以该等腰三角形的周长是4＋4＋2＝10.故选B.13． x 1＝－8，x 2＝－3 [解析] ∵关于x 的一元二次方程m(x －p)2＋n ＝0(m ，n ，p 均为常数，m ≠0)的根是x 1＝－3，x 2＝2，将方程m(x －p ＋5)2＋n ＝0变形为m[(x ＋5)－p]2＋n ＝0，则此方程中x ＋5＝－3或x ＋5＝2，解得x ＝－8或x ＝－3.14．解：(1)原方程可化为3(x －2)＋5x(x －2)＝0， ∴(x －2)(3＋5x)＝0，∴x －2＝0或3＋5x ＝0， ∴x 1＝2，x 2＝－35. (2)原方程可化为(2x －5)2－22＝0，∴(2x －5＋2)·(2x －5－2)＝0，∴(2x －3)(2x －7)＝0，∴2x －3＝0或2x －7＝0，∴x 1＝32，x 2＝72. (3)原方程可化为x 2－2x ＋1＝0，∴(x －1)2＝0，∴x 1＝x 2＝1.(4)原方程可变形为(x －2)2＝(3－2x)2，∴(x －2)2－(3－2x)2＝0， ∴[(x －2)＋(3－2x)][(x －2)－(3－2x)]＝0，即(1－x)(3x －5)＝0，∴1－x ＝0或3x －5＝0，∴x 1＝1，x 2＝53. 15．小红的解法不正确．正确解法如下：x(2x －5)＋4(5－2x)＝0，x(2x －5)－4(2x －5)＝0，(2x －5)(x －4)＝0，2x －5＝0或x －4＝0，∴x 1＝52，x 2＝4. 16．原式＝x －1x ＋2·（x ＋2）（x －2）（x －1）2÷1（x ＋1）（x －1）＝x －1x ＋2·（x ＋2）（x －2）（x －1）2·(x ＋1)(x －1) ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2.∵x 2－x ＝1，∴原式＝1－2＝－1.17．把x ＝3分别代入两个方程，得⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b －6＝0，9a ＋6b －15＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.把a ＝1，b ＝1代入ax 2－bx －6＝0，得 x 2－x －6＝0，即(x －3)(x ＋2)＝0，解得x 1＝3，x 2＝－2，所以方程ax 2－bx －6＝0的另一个根为－2. 把a ＝1，b ＝1代入ax 2＋2bx －15＝0，得 x 2＋2x －15＝0,即(x －3)(x ＋5)＝0，解得x 1＝3，x 2＝－5，所以方程ax 2＋2bx －15＝0的另一个根为－5.18．解：(1)因为x 2－2x －3＝0，所以(x －3)(x ＋1)＝0，即x 1＝3，x 2＝－1.(2)因为x2－5x＋4＝0，所以(x－1)(x－4)＝0，即x1＝1，x2＝4.。

华东师范大学版初中数学九年级上册一课一练课堂精练同步练习册_1

概括
槡! ! !$ 表示非负数 ! 的算术平方根也就是说槡! ! ! $ 是一个非负数它的平方等于 ! 即有
槡 # ! ! $ ! ! $ 槡 % ! % #! ! ! $" 形如槡! ! ! $的式子叫做二次根式"
注意
开方在数槡必!须中是!非的负取数值"必须满足 ! ! $即二次根式的被
21"1 !二次根式
槡 !! !表示什么
! 应满足什么条件 !
在第 ## 章我们学习了平方根和算术平方根的意义引进了一个记号槡!"
回顾
的正当的平! 方是根正"数时槡! 表示 ! 的算术平方根即正数 ! 零的算当术! 是平零方时根"槡! 等于 $它表示零的平方根也叫做
当 ! 是负数时槡! 没有意义"
!!" 例 $是怎样的实数时二次根式槡$%# 有意义
!非!负" 数分"析要使二ห้องสมุดไป่ตู้根式有意义被开方数必须是
被开方数即 !!" 解
$%# ! $ $! #"
所以当 $! # 时二次根式槡$%# 有意义"
第章 "! !二次根式

华东师范大学版初中数学九年级上册一课一练课堂精练同步练习册_22

棵"已知这些学生在七年级时植树 ($$ 棵若平
均成活率为 )+G求这些学生后两年植树数的
第 - 题
平均年增长率"精确到 #G
!!一知识结构
第章 !一元二次方程"$#
!!二要点
#"本章我们研究一元二次方程的解法!经历了由简单到复杂'从
特殊到一般的认识过程"
首先通过简单的实例!学习了两种基本的方法$直接开平方法和
一元二次方程的根与系数的关系!给出了有关方程根的对称式的
十分美妙的结果"
'"应用一元二次方程解决实际问题!也像一元一次方程的应用那
样!要注重分析实际问题中的等量关系!列出方程%得到方程的根以
后!必须注意检验其是否符合题意!特别是一元二次方程通常有两个
实数根!更应引起重视!注意检验!决定取舍"
第章 "$$ !一元二次方程
$"学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为 +$ 平方米的矩形自行车棚"一边
利用图书馆的后墙并利用已有总长为 %+ 米的铁围栏"请你设计如何搭建较
合适
%"一块长 '$ 米宽 %$ 米的矩形操场现要将它的面积增加一倍但不改变操场的
长宽之比问长和宽应各增加多少米精确到 $"# 米
%"一元二次方程的根是由方程的系数确定的!求根公式最直接地
表明了这一事实"此外!求根公式的推导过程!还揭示了一元二次方程
根的判别式以及根与系数的关系"
一元二次方程的根有三种情况$有两个不相等的实数根%有两个相
等的实数根%没有实数根"一元二次方程根的判别式" #,% %(!-#!能

华东师范大学版初中数学九年级上册一课一练课堂精练同步练习册_38

第 # 题
#"已知-56?的三边长分别为和相 -*#$ -56? 似的的最 -5>6>?> 长边长为 '$"求-5&的大小"
$"使用三角尺画一个三角形其中两个角分别为与 -$O (+O再画一个与它相似的三角形"
%"依据下列各组条件判断-56?和-5>6>?>是否相似如果相似请给出证明
网假设球沿直线前进而且落在离网 ( 米的位置上求球拍击球的高度 9"精确到米 $"$#
第 - 题
如图是矩形的边上的一点于点 (" B
56?A
?6
5C1 AB C 561' 5A1%
证明并计算点 ?B1#" -5CA-A?B 5至直线 AB的距离"精确到 $"#
# 05#,$O06 #(-O05>#,$O0?>#-(O
厘米厘米厘米厘米厘 % 56 ##$ 6?##% 5?##+ 5>6>##+$ 6>?>##*$ 米厘米 5>?>#%%+
第章 !图形的相似"'%
上的高上的高 ! ' 06 #'+O6?##$6?
5A #,06>#'+O6>?>#+6>?>
5>A>#'"+"
&"在两个等腰三角形和 56? 中分别 5>6>?> 0505> 是顶角"试分别依据下列条件判断-56?和-5>6>?>是否相似如果相似请写出证明过程

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华东师大版九年级数学一课一练

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