M M C ∞排队系统模型及其应用实例分析

M M C ∞排队系统模型及其应用实例分析

摘要:文章阐述了M/M/C/∞排队系统的理论基础,包括排队论的概念,排队系统的基本组成部分以及排队系统的模型。在理论分析的基础上,文章以建行某储蓄所M/M/C/∞排队系统为例,对该系统进行分析并提出了最优解决方案。

关键词:排队论;银行储蓄所;M/M/C/∞模型;最优解

1M/M/C/∞排队系统

1.1排队论的概念及排队系统的组成

上世纪20年代,丹麦数学家、电气工程师爱尔朗(A. K. Erlang)在用概率论方法研究电话通话问题时,开创了这门应用数学学科。排队论主要研究各种系统的排队队长,排队的等待时间及所提供的服务等各种参数,以便求得更好的服务。研究排队问题实质上就是研究如何平衡等待时间与服务台空闲时间。目前,排队论已经广泛应用于通信工程、交通运输、生产与库存管理、计算机系统设计、计算机通信网络、军事作战、柔性制造系统和系统可靠性等众多领域。

任意一个排队系统都是由三个基本部分构成,即输入过程、排队规则和服务机构。①输入过程是描述顾客来源以及顾客按什么规律达到排队系统。②排队规则描述的顾客到达服务系统时顾客是否愿意排队,以及在排队等待情形下的服务顺序。③服务机构描述服务台数目及服务规律。服务机构可分为单服务台和多服务台;接受服务的顾客是成批还是单个的;服务时间服从何种分布。

1.2M/M/C/∞排队模型

①排队系统模型的表示。目前排队模型的分类采用1953年由D. G. Kendall 提出的分类方法。他用3个字母组成的符号A/B/C表示排队系统。为了表示其它特征有时也用4～5个字母来表示如A/B/C/D/E。其中:A 顾客到达间隔时间的概率分布;B 服务时间的概率分布;C 服务台数目;D 系统容量限制(默认为∞);E 顾客源数目(默认为∞);概率分布的符号表示:M:泊松分布或负指数分布,D:定长分布,Ek:k阶爱尔朗分布,C:一般随机分布。

②排队系统的衡量指标。—所有服务设施空闲的概率;—系统中的顾客总数;—队列中的顾客总数;—顾客在系统中的停留时间;—顾客在队列中的等待时间。

③M/M/C/∞排队模型。排队系统模型大体上可以分为简单排队系统,特殊排队系统,休假排队系统及可修排队系统。纵观所有排队系统的模型,无非是系统的三个组成部分分别为不同情况时,进行的排列组合,并由此导致排队系统的数量指标的计算公式不一致。无论是何种排队系统,其研究实质都是如何平衡等待时间

与服务台空闲时间,只是等待与服务在不同的实例中被赋予了新的含义。M/M/C/∞排队模型指顾客的到达规律服从泊松到达,其顾客来源为无限源,服务时间服从负指数时间,服务机构为多服务台。简单排队系统的求解思路也可以在其它的排队系统中运用。故现以M/M/C/∞排队系统模型为例进行分析。

2M/M/C/∞排队系统模型应用实例分析

2.1建行某储蓄所M/M/C/∞排队系统基本情况

建行某专业支行现有场地最多可以设置6个单人临柜;支行可提供的工作人员最多6名;每天的期望业务量为600万元,根据测算,每人每天可完成工作量是200万元。建行总行规定,单笔存取款业务办理时间限制为3分钟以内,顾客到达情况具体选取了顾客到达比较集中有代表性的时间段作了15天的调查统计,频数如表1所示。每增加一个单人临柜工作间需追加投资10万元。根据储蓄所工作的特点结合顾客等待服务的期望值给出了排队系统指标的标准参考值为: Po=0.4,Ls=2,Ws=3。

2.2案例分析

一般说来储蓄所顾客到达的过程形成泊松流,而负指数概率分布能较好描述储蓄所排队系统里服务时间的概率分布情况,又知建行每天期望的业务量为600万元,每人每天可完成工作量为200万元,因而服务台数的取值范围为[3,6]。所以,该储蓄所的排队模型属于M/M/C/∞/∞模型。解答思路:①确定单位时间平均到达的顾客数;②确定平均服务率;③计算C 分最终确定最佳的服务台数。④综合投资额。

①计算单位时间平均到达的顾客数λ:λ=nf;根据表1中的数据可求得λ=0.71。

②计算平均服务率μ:题中规定服务的最大的时限为3min,所以可以假设系统一分钟平均处理了0.3个顾客,即平均服务率μ=0.3。

③C分别取3、4、5、6时Po、Lq 、Ls、Wq、Ws的值,并与标准参考值对比:各数量指标的计算公式如下所示:

Po=;

L= Po;

L=L+;W=;W=W+

C分别取3、4、5、6时, Po、Lq 、Ls、Wq、Ws的取值如表2所示。

④确定最佳的服务台数。

对比排队系统指标的标准参考值Po=0.4,Ls =2,Ws=3,可以发现,当C>=4时,满足系统对Po、Ls、Ws 这三项指标的要求。从直观上看,每增加一个服务台需要多花10万元,而当C取5、6时,各指标的取值情况同C取4时相比,并没有明显的改善,因此服务台应该设置4台。

参考文献:

[1] 唐应辉,唐小我.排队论基础与分析技术[M].北京:科学出版社,2006.

[2] 韩伯棠.管理运筹学(第二版)[M].北京:高等教育出版社, 2005.

[3]张文杰,李学伟,张可明.管理运筹学[M].北京:中国铁道出版社,2000.

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