导数和微分的概念
导数与微分的区别与联系
导数与微分的区别与联系
(1)起源（定义）不同：导数起源是函数值随自变量增量的变化率,即△y/△x的极限.微分起源于微量分析,如△y可分解成A△x与
o(△x)两部分之和,其线性主部称微分.当△x很小时,△y的数值大小主要由微分A△x决定,而o(△x)对其大小的影响是很小的. (2)几何意义不同：导数的值是该点处切线的斜率,微分的值是沿切线方向上纵坐标的增量,而△y则是沿曲线方向上纵坐标的增量.可参考任何一本教材的图形理解.
(3)联系：导数是微分之商（微商）y' =dy/dx,微分dy=f'(x)dx,这里公式本身也体现了它们的区别.
(4)关系：对一元函数而言,可导必可微,可微必可导.。
三角函数的导数和微分
三角函数的导数和微分在高中数学的学习中，三角函数是必不可少的一部分，其中求导和微分是三角函数的重要内容。
在本文中，我们将探讨三角函数的导数和微分。
一、三角函数的基础知识在介绍三角函数的导数和微分之前，我们先来看一下三角函数的基础知识。
三角函数包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)和正切函数(tan)。
三角函数的取值范围是[-1, 1]，并且在1个周期(即2π)内，三角函数具有重复的性质。
二、三角函数的导数1. 正弦函数的导数在求解正弦函数(sin)的导数时，需要使用到极限的概念。
根据极限的定义，可以得到以下公式：公式1：$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin(x)}{\Delta x}=\cos(x)$$由此可得，正弦函数的导数为余弦函数(cos)。
2. 余弦函数的导数与正弦函数相似，余弦函数(cos)的导数也需要使用到极限的概念。
根据极限的定义，可以得到以下公式：公式2：$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\cos(x+\Delta x)-\cos(x)}{\Delta x}=-\sin(x)$$由此可得，余弦函数的导数为负的正弦函数(-sin)。
3. 正切函数的导数正切函数(tan)是由正弦函数(sin)和余弦函数(cos)组成的，因此，正切函数的导数是由正弦函数和余弦函数的导数组合而成。
具体公式如下：公式3：$$\frac{d}{dx}\tan(x)=\frac{d}{dx}\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\frac{\cos( x)\cos(x)+\sin(x)\sin(x)}{\cos(x)\cos(x)}=\frac{1}{\cos^2(x)}$$由此可得，正切函数的导数为$\frac{1}{\cos^2(x)}$。
三、三角函数的微分在求解三角函数的微分时，可以使用导数的概念，公式如下：公式4：$$dy=f'(x)dx$$其中，dy为微分值，f'(x)为导数，dx为微小变化量。
导数与微分的区别与联系
导数与微分的区别与联系
(1)起源(定义)不同：导数起源是函数值随自变量增量的变化率，即厶y/ △ x的极限•微分起源于微量分析，如厶y可分解成A A x与0( △ x)两部分之和，其线性主部称微分•当△ x很小时，△ y的数值大小主要由微分A A x 决定,而0( △ x)对其大小的影响是很小的.
⑵几何意义不同：导数的值是该点处切线的斜率，微分的值是沿切线方向上纵坐标的增量，而厶y则是沿曲线方向上纵坐标的增量.可参考任何一本教材的图形理解.
⑶联系：导数是微分之商(微商)y' =dy/dx,微分dy=f(x)dx,这里公式本身也体现了它们的区别.
(4)关系：对一元函数而言，可导必可微,可微必可导.
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第二章 导数与微分
由此可见,当|Δx|很小时,(Δx)^2的作用非常小,可以忽略不计 因此,函数y=x^2在x0有微小改变量Δx时,函数的改变量Δy约为 2x0·Δx, Δy≈2x0·Δx.
从图2-3中不难看出,Δy表示的是以x0为边长的正方形外围 的阴影部分面积,它为图示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ部分面积之和 2(x0·Δx)+(Δx)2，显然当|Δx|相对于x0很小时，(Δx)^2是微乎其 微的. 当f(x)=x2时，f′(x0)=2x0，因此Δy≈2x0·Δx可以写成 Δy≈f′(x0)·Δx. 由于f′(x0)·Δx是Δx的线性函数，所以通常把 f′(x0)·Δx叫做Δy的线性主部.
一般地，对于给定的可导函数y=f(x)，当自变量在x0处有 微小的改变量Δx时，函数值y的改变量Δy可用下式近似计算， 即
已知曲线方程y=f(x)，可以求过曲线上点M(x0，y0)处的 切线斜率.在M点的附近取点N(x0+Δx，y0+Δy)，其中Δx可正 可负，作割线MN，其斜率为(φ为倾斜角) tanφ=Δy/Δx=[f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx.当Δx→0时，割线MN将绕着 点M转动到极限位置MT,如图2-2所示.根据上面切线的定义， 直线MT就是曲线y=f(x)在点M处的切线.自然，割线MN的斜 率tanφ的极限就是切线MT的斜率tanα(α是切线MT的倾斜角).
以上两个问题，虽然它们所代表的具体内容不同，但从 数量上看，它们有共同的本质：都是计算当自变量的增量趋 于零时，函数的增量与自变量的增量之比的极限.在自然科学 、工程技术问题和经济管理中，还有许多非均匀变化的问题 ，也都可归结为这种形式的极限.因此，抽去这些问题的不同 的实际意义，只考虑它们的共同性质，就可得出函数的导数 定义.
微分运算和导数运算结果一样
微分运算和导数运算结果一样微分运算和导数运算是数学中重要的概念，它们有着不同的功能和应用，但它们的结果是相同的。
微分运算和导数运算有着不同的定义，考虑到它们的定义，它们的结果是相同的，但它们的用途完全不同。
首先，让我们了解微分运算和导数运算的定义。
微分运算是指计算函数中每一点上函数值变化率的计算过程，用于描述函数在某一点上的变化率。
而导数运算是指计算函数在每一点上函数的变化量，用于描述函数在某一点上的变化量。
从结果上来看，微分运算和导数运算的结果是一样的。
这是因为求函数中某一点上的变化率和变化量是同一个概念，是从另一个角度看的，并且它们的结果也是相同的。
因此，尽管微分运算和导数运算的定义不同，但它们的结果是一样的。
然而，微分运算和导数运算的用途完全不同。
微分运算的用途主要是用于求函数的极值，以及求解微分方程，它是一种重要的数学技术。
而导数运算则更多用于求解曲线的斜率，也就是曲线两点之间的变化量。
因此，微分运算和导数运算的计算结果可能是一样的，但它们的应用却完全不同。
此外，微分运算和导数运算也在现实应用中发挥着重要作用。
比如，微分运算在经济学中用于求解影响消费者行为的经济因素。
而在数学中，微分方程用于求解物理现象的变化，从而分析物理现象的习性。
另一方面，导数运算也可以为我们提供更多有用的信息，比如可以用来求解曲线和曲面的复杂计算问题，也可以用来求解曲线在某一点上的斜率和单位正切。
综上所述，微分运算和导数运算的结果是一样的，但它们的定义及应用却完全不一样。
函数的每一点上函数值变化率和变化量相同，微分运算和导数运算的定义不同，但它们的结果却是一样的，从实际应用来看，微分运算和导数运算也发挥着不同的作用，为我们提供各自独特的信息。
导数与微分的概念
导数与微分是微积分中最基本的概念之一，也是研究函数变化的重要工具。
导数和微分的概念的提出，极大地推动了数学的发展，对于物理学、经济学等其他学科的研究也起到了重要的作用。
导数是函数在某一点处的瞬时变化率，也可以理解为函数在某一点处的斜率。
以函数f(x)为例，它在x=a处的导数可以表示为f'(a)，读作"f prime of a"。
导数可以用极限的概念来定义，即导数等于函数值的增量与自变量增量的比值在自变量趋于0的极限。
导数的计算方式有很多，比如常用的基本导数公式、组合函数求导法则、乘积法则、商数法则等。
导数的概念使我们能够研究函数在不同点的变化情况，通过导数我们可以求得函数的最值、拐点、增减性等重要信息。
导数的计算和应用在实际问题中非常广泛，比如在物理学中，我们可以通过对位移函数求导得到速度函数和加速度函数，从而研究物体的运动情况；在经济学中，我们可以通过对需求函数或者产量函数求导来研究市场的供需关系和产量的优化问题。
微分是导数的一种应用形式，它是函数在某一点处的线性近似。
以函数f(x)为例，它在点x=a处的微分可以表示为df(a)，读作"differential of a"。
微分可以用导数来计算，即函数在某一点处的微分等于导数乘以自变量的增量。
微分在几何学上有着重要的意义，它可以表示函数在某一点处的切线，并且在近似计算中能够提供非常有用的信息。
微分的概念使人们能够更深入地理解函数的性质，通过微分我们可以求得函数在某一点处的切线方程，从而研究函数的凹凸性、极值问题等。
微分也具有很多应用，比如在工程学中，我们可以通过微分来计算误差的传播，进而评估产品和系统的可靠性；在金融学中，我们可以通过微分来建立风险模型，从而帮助投资者做出更明智的决策。
导数和微分的概念是微积分的基础，也是了解数学和相关学科的重要一步。
它们的提出和应用极大地推动了科学的发展。
无论是基础学科还是应用学科，导数和微分都扮演着重要的角色。
导数与微分的运算法则
导数与微分的运算法则在微积分学中，导数与微分是两个重要的概念，它们与函数的变化率密切相关。
在本文中，我们将介绍导数与微分的运算法则，以便更好地理解它们的性质和应用。
一、导数的基本定义导数表示函数在某一点处的变化率。
设函数y=f(x)，若在点x处函数y=f(x)的变化率存在有限的极限值，那么这个极限值就是函数y=f(x)在点x处的导数，记作f'(x)或dy/dx。
二、基本的导数运算法则在计算导数时，我们可以借助一些基本的运算法则，这些法则可以简化计算过程。
下面是常见的导数运算法则：1. 常数规则：对于常数c，它的导数为0，即d/dx(c) = 0。
2. 基本导数规则：a) 幂函数：对于幂函数y=x^n (n为常数)，其导数为d/dx(x^n) = nx^(n-1)。
b) 指数函数：对于指数函数y=a^x (a>0且a≠1)，其导数为d/dx(a^x) = a^x * ln(a)。
c) 对数函数：对于自然对数函数y=ln(x)，其导数为d/dx(ln(x)) = 1/x。
d) 三角函数：对于三角函数y=sin(x)，y=cos(x)，y=tan(x)等，它们的导数可以参考导数表进行推导。
3. 和差法则：设函数y=f(x)和g(x)均可导，那么它们的和、差的导数为d/dx(f(x) ± g(x)) = f'(x) ± g'(x)。
4. 积法则：设函数y=f(x)和g(x)均可导，那么它们的乘积的导数为d/dx(f(x) * g(x)) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
5. 商法则：设函数y=f(x)和g(x)均可导，且g(x)不等于0，那么它们的商的导数为d/dx(f(x) / g(x)) = [f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)] / [g(x)]^2。
6. 复合函数求导法则：若y=f(u)和u=g(x)均可导，那么复合函数y=f(g(x))的导数为d/dx[f(g(x))] = f'(g(x)) * g'(x)。
导数与微分的意义
导数与微分是微积分中的重要概念，它们不仅具有理论意义，还有实际应用意义。
导数表示了函数在某一点上的变化率，而微分则是导数的一种具体表示方式。
导数与微分的意义是深远的，它们在物理、经济学、工程等多个领域有着广泛的应用。
首先，导数与微分在物理学中有着重要的地位。
物理学中的许多基本规律和方程都可由导数与微分得到。
例如，牛顿第二定律 F=ma 中的加速度 a 就是速度v 对时间 t 的导数，位移 x 对时间的导数则是速度。
导数描述了物体在空间和时间上的变化规律，其在描述运动、力学以及连续媒介中的传热、传质等问题都发挥着关键作用。
而微分方程则是描述物理学中许多重要问题的数学工具，它能够通过微分运算将复杂的物理问题转化为可以求解的数学问题，例如描述弹簧振子、电路中的电流变化等问题。
因此，导数与微分对于理解和研究物理学中的运动、变化以及相互关系具有不可替代的意义。
其次，导数与微分在经济学中也具有重要意义。
经济学研究的对象是人们在资源有限的条件下作出的决策和行为，而这些决策和行为往往涉及到效率、边际成本等概念。
导数和微分在经济学中常被用于分析边际效应。
例如，在微观经济学中，家庭的消费行为通常涉及到效用最大化问题，而效用函数的边际效应正是通过导数和微分来描述的。
又如，企业的生产决策往往涉及到边际成本和边际效益的平衡，导数和微分在分析企业的最优生产决策时发挥着重要的作用。
在宏观经济学中，导数和微分也被广泛应用于经济指标的研究，例如国内生产总值、就业率等指标的增长率即是导数的一种具体表示，而指标的波动则可以通过微分运算来描述。
因此，导数与微分对于经济学的研究和实践都具有不可或缺的意义。
最后，导数与微分在工程学中也有着广泛的应用。
工程学研究的重点是设计和优化问题，而这些问题的解决离不开对变化率的分析与理解。
例如，在控制工程中，需要对系统的响应进行分析和控制。
导数和微分可以帮助工程师了解系统的动态性能、稳定性以及抗干扰能力，从而进行优化设计。
微分的基本概念与计算方法
微分的基本概念与计算方法微分是微积分学中一个重要的概念，它用于描述函数在某一点处的变化率。
微分的概念包括函数的导数、导函数以及微分的计算方法。
本文将介绍微分的基本概念和计算方法。
一、微分的基本概念微分的基本概念是描述函数在某一点处的变化率。
对于函数f(x)，它在点x处的微分可以表示为 df(x) = f'(x)dx，其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数，dx表示自变量x的增量。
微分可以理解为函数f(x)在点x处的线性逼近。
当dx趋近于0时，微分趋近于函数在该点的切线斜率。
二、微分的计算方法微分的计算方法主要有以下两种：几何法和代数法。
1. 几何法几何法是一种直观的计算微分方法，它通过绘制函数的图形和切线来计算微分。
具体步骤如下：（1）确定函数f(x)在点x处的切线；（2）切线与x轴的交点为(x, f(x))，将x的增量表示为dx，函数的增量表示为df(x)；（3）根据切线的斜率计算导数f'(x)；（4）得到微分df(x) = f'(x)dx。
2. 代数法代数法是一种通过运用导数的性质和规则来计算微分的方法。
具体方法如下：（1）根据函数f(x)的定义，求导数f'(x)；（2）将dx看作一个无穷小量，将f'(x)dx作为微分df(x)；（3）得到微分df(x) = f'(x)dx。
三、微分的应用微分在数学和其他应用领域中具有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：1. 极值问题通过微分可以求解函数的极值问题。
根据函数的导数和微分的性质，可以求解函数的最大值和最小值，并找到极值点的坐标。
2. 曲线的切线与法线微分的概念可以用来求解曲线在不同点处的切线和法线。
通过计算函数在给定点处的导数和微分，可以确定曲线在该点处的切线和法线的斜率和方程。
3. 速度和加速度微分的概念可以用来描述物体在运动过程中的速度和加速度。
通过求解位置函数的导数和微分，可以得到物体在某一时刻的速度和加速度。
导数与微分
第二章 导数与微分数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. . 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容.第一节 导数概念下列三类问题导致了微分学的产生： (1) 求变速运动的瞬时速度；(2) 求曲线上一点处的切线；(3) 求最大值和最小值.这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念. 内容要点： 1 导数的定义 2左右导数3导数的几何意义 4函数的可导性与连续性的关系一、引例1、直线运动速度设描述质点运动位置的函数为()s f t =，匀速时：tsv 时间路程=， 平均速度：tsv ∆∆=，因平均速度≠瞬时速度，则0t 到t 的平均速度为00()()f t f t v t t -=-，而0t 时刻的瞬时速度为000()()lim t t f t f t v t t →-=-2、切线问题（曲线在一点处切线的斜率）当点N 沿曲线C 趋于点M 时，若割线MN 绕点M 旋转而趋于极限位置MT ，直线MT 就称为曲线C 在点M 处的切线因0000()()tan y y f x f x yx x x x xφ--∆===--∆ [切线应为割线的极限]当N 沿曲线M C →时，0x x →，故0000()() lim lim x x x f x f x yk x x x ∆→→-∆==∆- 即为割线斜率的极限，即切线斜率。
瞬时速度000()()limt t f t f t v t t →-=-切线斜率000()()limx x f x f x k x x →-=-两个问题的共性:所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .二、导数的定义： 1、函数在一点处的导数设函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量x ∆（点0x x +∆仍在该邻域内）时，相应的函数y 取得增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；如果y ∆与x ∆之比当0x ∆→时极限存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，并称此极限为函数()y f x =在点0x 处的导数，记为：00000()()limlim x x x x f x x f x y y x x =∆→∆→+∆-∆'==∆∆或0()f x '，x x dy dx=或()x x df x dx =即：已知()f x ，构造yx∆∆，求此增量比的极限，若极限存在，则可导，不存在就不可导（此时切线必垂直于x 轴）。
导数和微分的定义
则 f ( x) 在点 x0 可导, 且 f '( x0 ) a.
例6. 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
解 f (0 x) f (0) x ,
x
x
lim f (0 x) f (0) lim x 1,
x0
x
h0 x
lim
f (0 x) f (0)
lim
x
1.
在 M 点处旳切线
割线 M N 旳极限位置 M T
(当
时)
切线 MT 旳斜率
o
y f (x)
N
CM
T
x0 x x
lim tan
割线 M N 旳斜率 tan
f (x) f (x0 ) x x0
k
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
瞬时速度 切线斜率
f (t0 )
o t0
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x2 , 当 x 在 x0 取
得增量x 时, 面积旳增量为
x x0x (x)2
有关△x 旳 x 0 时为
线性主部 高阶无穷小
x0 A x02
x0x
故
称为函数在 x0 旳微分
定义: 若函数
在点 x0 旳增量可表达为 Ax o(x)
( A 为不依赖于△x 旳常数)
3. 导数旳几何意义: 切线旳斜率;
4. 可导必连续, 但连续不一定可导;
5. 已学求导公式 :
(C) 0;
(ln x) 1
(cos x) sin x ;
x
不连续, 一定不可导. 6. 判断可导性 直接用导数定义;
看左右导数是否存在且相等.
导数和对数
导数和对数摘要：1.导数与微分2.对数与指数3.导数与对数的关系4.实际应用正文：1.导数与微分导数是微积分学中的一个重要概念，用于表示函数在某一点处的变化率。
简单来说，导数就是一个数，表示函数在某一点的切线斜率。
在数学符号中，导数通常用f"(x) 表示。
导数的求解需要用到微分，微分是导数的基础。
微分用来度量一个变量在某一点的变化量，可以用以下公式表示：Δy = f"(x) * Δx。
其中，Δy 表示y 的变化量，Δx 表示x 的变化量，f"(x) 表示函数f(x) 在x 点的导数。
2.对数与指数对数是数学中另一个重要概念，它与指数密切相关。
对数表示一个数以某个基数为底数的幂次，通常用log_a(b) 表示。
其中，a 表示底数，b 表示幂，log_a(b) 表示以a 为底b 的对数。
对数与指数的关系可以用换底公式表示：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)。
其中，c 表示另一个底数。
3.导数与对数的关系导数与对数之间有着密切的关系。
在微积分学中，对数函数的导数可以通过求导对数函数的底数得到。
具体来说，如果y = log_a(x)，那么y 的导数就是1/(xlna)。
此外，对数函数还可以用来求解某些复杂函数的导数。
例如，如果f(x) = a^x，那么f(x) 的导数就是a^x * ln(a)。
这里，ln(a) 表示以e 为底的对数。
4.实际应用导数和对数在实际应用中具有重要意义。
在物理学、化学、生物学等自然科学领域，导数常用来表示物体在某一时刻的速度、加速度等物理量。
而在对数函数中，对数常用来表示指数增长或减小的速率。
此外，在金融领域，对数函数也常用来表示资产的收益率。
总之，导数和对数是微积分学中的两个重要概念，它们在理论研究和实际应用中都具有重要意义。
微分和导数的区别
(1)起源（定义）不同：导数起源是函数值随自变量增量的变化率，即△y/△x的极限。
微分起源于微量分析，如△y可分解成A△x与o(△x)两部分之和，其线性主部称微分。
当△x很小时，△y的数值大小主要由微分A△x决定，而o(△x)对其大小的影响是很小的。
(2)几何意义不同：导数的值是该点处切线的斜率，微分的值是沿切线方向上纵坐标的增量，
|xn-a|<ε成立，那么称a是数列{xn}的极限。
函数极限标准定义：设函数f(x),|x|大于某一正数时有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，
总存在正整数X，使得当x>X时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在无穷大处的极限。
设函数f(x)在x0处的某一去心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正数δ，
而△y则是沿曲线方向上纵坐标的增量。
可参ห้องสมุดไป่ตู้任何一本教材的图形理解。
(3)联系：导数是微分之商（微商）y' =dy/dx, 微分dy=f'(x)dx，这里公式本身也体现了它们的区别。
(4)关系：对一元函数而言，可导必可微，可微必可导。
数列极限标准定义：对数列{xn}，若存在常数a，对于任意ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，
导数与微分课件
导数和微分都与函数的局部性质 有关，它们都可以用来研究函数 的单调性、极值和曲线的形状等
。
导数与微分的区别
导数主要关注函数在某一点的变化率，而微分则更关注函数在某一点附近的局部变 化趋势。
导数是函数值的增量之比，而微分则是函数值增量的近似值。
导数是一种数学运算，可以通过求导公式或法则进行计算；而微分则是一种近似计 算方法，常常用于近似计算函数的值。
总结词
函数单调性与导数正负相关
详细描述
如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在此区间内单调递增；如果导数小于 0，则函数单调递减。导数的正负可以判断函数的增减性。
极值与导数
总结词
导数变化与极值点的关系
详细描述
函数极值点处的一阶导数为0，但一阶导数为0的点不一定是极值点。需要进一步 判断二阶导数的正负来确定是否为极值点。
公式
$f'(x) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$
解释
其中$Delta y = f(x + Delta x) - f(x)$，表 示函数在$x$处的变化量，$Delta x$表示 自变量的变化量。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线的斜率， 表示函数图像在该点的切线。
二项式定理
对于多项式函数，可以使 用二项式定理进行近似计 算。
泰勒级数
将函数展开成泰勒级数， 可以用来近似计算函数的 值。
误差估计
导数与误差
导数可以用来估计函数值 的误差大小。
微分中值定理
利用微分中值定理，可以 估计函数在某区间的变化 量。
误差传播
在误差传播过程中，可以 利用微分知识来估计误差 的大小。
第二章 导数与微分
例4
求自由落体运动 s
=
1 2
gt 2
在时刻 t0
的瞬时速度 v(t0 )
.
解
Δs
=
1 2
g (t0
+
Δt)2
−
1 2
gt02
=
gt0Δt
+
1 2
g (Δt )2
Δs Δt
=
gt0Δt
+ 1 g (Δt )2
2 Δt
=
gt0
+
1 2
gΔt
lim
Δt → 0
Δs Δt
=
lim
Δt → 0
(
g
t
0
+
1 2
也随着变动而趋向于极限位置，即直线 M0T .称直线 M0T 为曲线 y = f (x) 在定点
29
M0 处的切线.显然，此时倾角ϕ 趋向于切线 M 0T 的倾角α ，即切线 M 0T 的斜率
为
tan α = lim tanϕ = lim Δy = lim f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) .
lim Δy = lim (2x + Δx) = 2x
Δx Δx→0
Δx→0
y′ = ( x2 )′ = 2x .
同理可得 (xn )′ = nxn−1 （ n 为正整数）
例 6 求 y = sin x 的导函数.
解 Δy = sin ( x + Δx) − sin x = 2 cos(x + Δx ) ⋅ sin Δx
d f (x)
dx
x= x0
这时称函数 y = f (x0 ) 在点 x0 处是可导的函数.
导数、微分、积分之间的区别与联系
导数、微分、积分之间的区别与联系展开全文儿子现在上高中物理竞赛，需要补充些微分的知识，我把孩子问到的问题讲解后用形象的语言整理了一下，恰好近期在整理初高中衔接知识点导数：曲线某点的导数就是该点切线的斜率，在物理学里体现了是瞬时速度，二阶导数则是加速度。
这个是由牛顿提出并研究的方向。
微分：也就是把函数分成无限小的部分，当曲线无限的被缩小后,可以近似当作直线对待,微分也就能表示为导数与dx的乘积。
这个是莱布尼兹提出并研究的方向。
其实导数和微分本质上说并无区别，只是研究方向上的差异。
积分：定积分就是求曲线与x轴所夹的面积；不定积分就是该面积满足的方程式,因此后者是求定积分的一种手段,本质上来说,不定积分就是变限的定积分。
换一个角度来说：导数y'是函数在某一点的变化率,微分是改变量,导数是函数微分与自变量微分之商,即y'=dy/dx,所以导数与微分的理论和方法统称为微分学（已知函数,求导数或微分）.积分则是微分学的逆问题。
极限是微分、导数、不定积分、定积分的基础,最初微积分由牛顿、莱布尼茨发现的时候,没有严格的定义,后来法国数学家柯西运用极限,使微积分有了严格的数学基础.极限是导数的基础,导数是极限的化简.微分是导数的变形。
微分：无限小块的增量可以看作是变化率，也就是导数。
积分：无限小块的面积和可以看作是整个面积。
可导必连续，闭区间上连续一定可积，可积一定有界。
拓展资料导数导数是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
微分学和导数的关系
微分学和导数的关系微分学和导数是数学中非常重要的概念之一。
微分学是研究函数在一点的微小变化量与自变量的微小变化量之间的关系，而导数则是描述函数在某一点的变化趋势。
微分学和导数之间有着密切的关联，正是导数理论的提出和发展推动了微分学的研究，两者相互依存、相辅相成。
微分学是从微积分的发展过程中逐步发展起来的。
在18世纪之前，微积分基本上停留在几何的阶段。
直到牛顿和莱布尼兹的提出，微积分从几何向运算和代数转化，渐渐形成了现代微积分的基本理论和方法。
微分学与导数的关系可以从两个方面来看。
一是“导数是微分的极限”，这个概念是微分学的基础。
当自变量x在x0处取得一个微小的增量△x时，函数y=f(x)也相应产生一个微小的增量△y，可以表示为△y=f(x+△x)-f(x)。
现实中，当自变量的增量越来越小，对应的函数增量也越来越小。
那么若将微小增量看作无穷小，其增量比△x更加的微小，它就被称为微分值，用dy 表示。
根据微分的定义可以得出，微分dy等于函数f(x)在点x0处的导数f'(x)与x-x0的乘积，即dy=f'(x0)(x-x0)。
因此，微分可以看作导数的一个乘积。
二是“微分和导数是倒数的关系”，这个关系展示了微分学和导数的紧密关联。
当微分值dy趋近于零时，对应的自变量增量dx也趋近于零。
这个时候，如果可以求出函数f(x)在x0处的导数f'(x0)，那么微分就可以表示为dy=f'(x0)dx，这样就可以用导数的值表示微分。
反过来，如果已知函数y=f(x)在某一点x0的微分值dy，那么可以根据dy=d(y/dx)dx，通过求导得到导数的值。
这表明微分和导数是互相可逆的，因为它们之间的关系具有对称性。
微分学和导数作为一组紧密关联的概念，已经广泛应用到物理、化学、工程、经济等各个领域，形成了微积分基础上的数学模型。
微分学的重大贡献在于它将研究某一物理量的变化转化为研究函数的导数，从而为研究物理变化求导奠定了基础。
导数与微分的基本概念
导数与微分的基本概念导数和微分是微积分中的两个核心概念。
它们以不同的方式描述了函数的变化率和近似值。
导数描述了函数在某一点的变化率，而微分则描述了函数在某一点的近似变化。
了解导数和微分的基本概念对理解微积分的其他内容至关重要。
一、导数的定义在微积分中，函数f(x)的导数可以用下式表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h这个式子表示的是当自变量x的增量h趋近于零时，函数f(x)的变化量与自变量变化量的比值的极限。
导数反映了函数在某一点的斜率，也可以理解为函数在这一点的瞬时变化率。
二、导数的几何意义导数的几何意义可以通过函数的图像进行理解。
在一个给定点上，函数图像的切线斜率等于该点处的导数值。
当导数大于零时，函数在该点递增；当导数小于零时，函数在该点递减；当导数等于零时，函数在该点取得极值。
三、微分的定义函数f(x)在点x处的微分可以用下式表示：df(x) = f'(x) * dx其中，dx表示自变量x的微小增量。
微分表示了函数在某一点的近似变化量。
通过微分，可以在给定点处用线性函数逼近原函数，进而研究函数的性质。
四、微分的应用微分在实际应用中有着广泛的应用。
例如，微分可以用来确定函数在某一点的近似值，从而进行数值计算。
微分还可以用于求解最优化问题，例如找到函数的最大值或最小值。
微分在物理学、工程学、经济学等领域都有重要作用。
五、导数与微分的关系导数和微分是密切相关的概念。
实际上，导数可以看作是微分的比值近似。
当自变量的增量趋近于零时，微分即为导数的极限。
因此，微分是导数的一个特例，可以通过导数来求解。
综上所述，导数和微分是微积分中的基本概念，它们描述了函数的变化率和近似值。
导数表示了函数在某一点的斜率，而微分表示了函数在某一点的近似变化。
了解导数和微分的基本概念对于深入理解微积分的其他内容至关重要。
在实际应用中，导数和微分有广泛的应用价值。
导数与微分的概念
13
例5 求曲线 y x 2在点(1, 1)处的切线方程
和法线方程 .
解 由导数的几何意义,得切线斜率为
k y
( x 2 ) x 1
x 1
2x
x 1
2.
所求切线方程为 y 1 2( x 1), 即 y 2 x 1. 1 法线方程为 y 1 ( x 1), 即 x 2 y 3 0. 2
y o( x ) 1 1 ( x 0). dy A x
(4) A是与x无关的常数但与f ( x )和x0有关; ,
(5) 当 x 很小时, y dy (线性主部 ).
19
定理1 函数 f ( x )在点 x0可微的充要条件是函
数 f ( x )在点 x0处可导, 且 A f ( x0 ).
当 x 很小时, 在 点 M的附近, 切线段 MP可近似代替曲线段MN . 即
o
y f ( x)
）
y
T N P M
o( x )
dy y
x
x0
x0 x
x
f ( x ) f ( x0 ) dy
x x0
f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
23
例8 求 ln 1.01的近似值 . 解
x x0
或 df ( x )
x x0
, 即dy
x x0
A x .
微分dy叫做函数增量y的线性主部(微分的实质) .
18
由定义知:
(1) dy是自变量的改变量x的线性函数 ;
(2) y dy o(x )是比x高阶无穷小 ;
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一元函数微分学
§1 导数和微分的概念
基本概念
1. 导数定义
00000)()(lim lim )()(lim 0x x x f x f x y x x f x x f x x x x --=∆∆=∆-∆+→→∆→∆ 0|)()(00x x dx
dy x y x f =='='= 几种极限形式都要掌握
函数在某点可导即上述极限存在，极限存在⇔左右极限都存在且相等，左极限为左导，右极限为右导，
)(lim
00x f x y x --→∆'=∆∆， )(lim 00x f x y x ++→∆'=∆∆ 导数定义是非常重要的概念，一定要灵活掌握。
2. 导函数)(x f ',dx
dy . f (x )在（a , b ）可导, f (x )在[a , b ]可导
3. 可导与连续的关系
可导一定连续，但连续不一定可导（如函数||x y =在x =0点处连续，但是不可导）
4. 导数的几何意义
切线方程：))((000x x x f y y -'=-； 法线方程：)()
(1000x x x f y y -'-
=- 0)(0≠'x f ， 5. 微分的定义
微分的几何意义
6. 微分与导数的关系
)(x f 在x 处可微⇔)(x f 在x 处可导，且dx x f dy )('=
同时 dx x f dy x x )(|00'==。
§2 导数与微分的计算
基本概念
1. 基本初等函数的导数、微分公式（书159页，166页）
2. 导数（微分）四则运算公式
)()())()((x g x f x g x f '±'='±，
)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，
特别地 )())((x f k x kf '='，
)
()()()()())()((2x g x g x f x g x f x g x f '-'=' 特别地 )
()())(1(2x f x f x f '-='。
后面两个公式不要记错。
3. 复合函数的求导法则
如何正确运用好复合函数求导法则（必须明确函数的复合过程），并且应到最后一层复合
4．高阶导数（计算同一阶导数）。
§3 中值定理
基本概念
1. 罗尔定理
若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且)()(b f a f =，则至少存在一点ξ，使得0)(='ξf 。
罗尔定理的几何解释
2. 拉格朗日中值定理
若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，则至少存在一点ξ，使得))(()()(a b f a f b f -'=-ξ，
或 )))((()()(a b a b a f a f b f --+'=-θ )10(<<θ。
拉格朗日中值定理的几何解释
罗尔定理 是拉格朗日中值定理的特殊情形
3. 拉格朗日中值定理的推论1
若函数)(x f 在区间I 上的导数恒为零，则)(x f 在区间I 上是一个常数。
4. 拉格朗日中值定理的推论2
若函数)(x f ，)(x g 在区间I 上每一点导数都相等，则这两个函数在区间I 上至多相差一个常数。
§4 导数的应用
基本概念
1. 罗比达法则：若函数)(x f ，)(x g 满足
（1）)(0)(lim )(lim 0
0∞==→→或x g x f x x x x ； （2）在极限点附近，)(x f '，)(x g '都存在，且0)(≠'x g ；
（3）)
()(lim 0x g x f x x ''→存在或为无穷大。
则有)
()(lim )()(lim 00x g x f x g x f x x x x ''=→→。
注（1） 罗比达法则运用的条件：00或∞
∞型不定式； （2）每次使用看之前是否能够化简或等价无穷小代换；
（3）只要符合罗比达法则条件，可多次使用。
2. 函数的单调性
用函数的一阶导数的符号判定单调性
3． 极值的概念 极值是局部性质
4. 极值存在的必要条件，驻点
5. 极值存在的充分条件
第一充分条件（用一阶导数即单调性来判断是否是极值以及是极大值还是极小值）
设函数)(x f 在点0x 的邻域内可导（可在点0x 不可导，但连续），当),(00x x x δ-∈时，0)(>'x f ，当),(00δ+∈x x x 时，0)(<'x f ，则函数)(x f 在点0x 处取得极大值；当),(00x x x δ-∈时，0)(<'x f ，当),(00δ+∈x x x 时，0)(>'x f ，则函数)(x f 在点0x 处取得极小值；当),(00δδ+-∈x x x 时，)(x f '不变号 ，则)(x f 在0x 处不是极值。
第二充分条件（用二阶导数来判断是否是极值以及是极大值还是极小值）
设函数)(x f 在点0x 处具有二阶导数，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ，则当0)(0<''x f 时，函数)(x f 在点0x 处取得极大值；当0)(0>''x f 时，函数)(x f 在点0x 处取得极小值。
两个充分条件各有利弊，第一条件对函数的要求较低，结论直观上非常好理解，而第二条件对函数要求较高（二阶导数要存在），运用较方便。
6. 函数的最值 最值是整体性质
若)(x f 在),(b a 内可导，且0x 点是)(x f 在),(b a 内唯一驻点，若0x 是)(x f 的极小（大）值点，则0x 必是)(x f 的最小（大）值点。
此结论在实际中非常有用。
7. 函数的凹凸性及其判定，拐点
若函数)(x f 在区间I 上0)(>''x f ，则)(x f 在区间I 上是凹的；若函数)(x f 在区间I 上0)(<''x f ，则)(x f 在区间I 上是凸的。
用函数的二阶导数的符号判定凹凸性，在连续曲线上，凹凸部分分界点称为曲线的拐点。
8. 曲线的渐近线
垂直渐近线 ：当0x x →（+→0x x 或-→0x x ）时，有∞→)(x f ，称0x x =是曲线的垂直渐近线；
水平渐近线：当∞→x （+∞→x 或-∞→x ）时，有c x f →)(，称c y =是曲线的水平渐近线。
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
请预览后才下载，期待您的好评与关注！）。