江苏南通2020 高考数学冲刺小练(2)

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江苏省南通市如皋中学2020届高三数学下学期第一次模拟冲刺试题创新班含解析

【解析】
【分析】
（1）先用二倍角公式化简，再根据正弦定理即可解出 ;
（2）用正弦定理分别表示，再用三角形内角和及和差公式化简，转化三角函数求最值。
【详解】(1）由及二倍角公式得，
又即 ,所以 ;
(2）由正弦定理得 ,
周长:
，
又因为，所以。
因此周长的取值范围是 .
【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，三角形求边长取值范围常用的方法：1、转化为三角函数求最值；2、基本不等式.
分别是的中点，，则，，所以，又，所以，所以，，
所以， ,同理 , ，
所以截面周长为．
故答案为: ．
【点睛】本题考查求正方体截面周长，解题关键是作出正方体的截面，根据是平面的基本性质．掌握平面基本性质是解题基础．
10。已知数列满足 ,则 ________
【答案】
【解析】
【分析】
16。多面体中，，，是边长为2的等边三角形，四边形是菱形，，分别是的中点。
(1)求证: 平面 ;
（2）求证:平面平面 .
【答案】（1)见解析.
（2)见解析.
【解析】
分析：（1）先证明平面平面 ,再证明平面 .(2)先证明平面
，再证明平面平面 .
详解：（1)证明：取的中点，连接
【详解】，由正弦定理可得: ,
，
, ，
，
，
，
为锐角三角形, ， ,
（当且仅当，即时取等号)，
的最小值为。
故答案为: .
【点睛】本题考查解三角形中的最值问题的求解,涉及到正弦定理边化角、两角和差正弦和正切公式的应用等知识；关键是能够利用一个变量表示出所求式子，进而得到符合基本不等式的形式,利用基本不等式求得和的最小值。

2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷(二)

2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷（二）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）设集合{|32}A x x =-剟，{|2121}B x k x k =-+剟，且A B ⊇，则实数k 的取值范围是．2．（5分）若复数1z i =+，则zzi= ． 3．（5分）某校高二年级有1000名学生，其中文科生有300名，按文理生比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为50的样本，则应抽取的理科生人数为． 4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是．5．（5分）函数1()15f x x x =+--的定义域是 6．（5分）将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为7．（5分）已知函数()y f x x =+是偶函数，且f （3）1=，则(3)f -= ．8．（5分）若双曲线22154x y -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为．9．（5分）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S = ． 10．（5分）若直线1:cos 20l x y θ+=与直线2:3sin 30l x y θ++=垂直，则sin 2θ= ． 11．（5分）如图，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，若正方形ABCD 内接于底面圆O ，则四棱锥P ABCD -侧面积为．12．（5分）已知圆221:20C x y x m +-+=与圆222:(3)(3)36C x y +++=内切，且圆1C 的半径小于6，点P 是圆1C 上的一个动点，则点P 到直线:51280l x y ++=距离的最大值为．13．（5分）已知,a b r r 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c r 满足1||2c a -=r r ，则||2||a b c c b +-+-r rr r r 的最小值为．14．（5分）已知a ，b R ∈，()x f x e ax b =-+，若()1f x …恒成立，则b aa-的取值范围是二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos a c B b C -=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若,24A a π==，求ABC ∆的面积．16．（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，点M 为棱11A B 的中点．求证：（1）//AB 平面11A B C ；（2）平面1C CM ⊥平面11A B C ．17．（14分）一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以5v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，经弹射器以6v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．设AOE θ∠=弧度，小球从A 到F 所需时间为T ．（1）试将T 表示为θ的函数()T θ，并写出定义域；（2）当θ满足什么条件时，时间T 最短．18．（16分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，ABO ∆3（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上的一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：||||AN BM g 为定值．19．（16分）己知数列{}n a 中，0n a >，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22n n na S a +=．（1）求2S ，3S ，并求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设21n n n b S S +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若220n T k -…对任意的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围．20．（16分）已知函数()2()f x lnx ax a R =+∈，2()12()g x x f x =+- （1）当1a =-时，①求函数()f x 在点(1A ，f （1）)处的切线方程； ②比较()f m 与1()f m的大小；（2）当0a >时，若对(1,)x ∀∈+∞时，()0g x …，且()g x 有唯一零点，证明：34a <．【选做题】（在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）已知矩阵30[]2A a=，A 的逆矩阵11[]31A b -=，求A 的特征值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，设直线l 过点)6A π，(3,0)B ，且直线l 与曲线:cos (0)C a a ρθ=>有且只有一个公共点，求实数a 的值．五、解答题（共2小题，满分20分）23．（10分）已知抛物线2:2(02)C x py p =<<的焦点为F ，0(2,)M y 是C 上的一点，且5||2MF =．（1）求C 的方程；（2）直线l 交C 于A 、B 两点，2OA OB k k =-g 且OAB ∆的面积为16，求l 的方程． 24．（10分）某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0，1，2，3，将这个玩具抛掷n 次，记第n 次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为n a ，数列{}n a 的前n 和为n S ．记n S 是3的倍数的概率为()P n ．（1）求P （1），P （2）；（2）求()P n ．2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷（二）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）设集合{|32}A x x =-剟，{|2121}B x k x k =-+剟，且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 112k-剟．【解答】解：因为A B ⊇B ∴≠∅，∴213212k k --⎧⎨+⎩……，解得112k-剟故答案为：112k-剟 2．（5分）若复数1z i =+，则zzi= 1- ．【解答】解：Q 复数1z i =+，∴1z i =-，∴111(1)1z i izi i i i --===-+-．故答案为1-．3．（5分）某校高二年级有1000名学生，其中文科生有300名，按文理生比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为50的样本，则应抽取的理科生人数为 35 ．【解答】解：理科生人数占的比例为10003007100010-=，则应抽取的理科生人数为为7503510⨯=人，故答案为：35．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 20 ．【解答】解：赋值5a =，1S =，判断54a =…成立，执行155S =⨯=，1514a a =-=-=，判断44a =…成立，执行5420S =⨯=，1413a a =-=-=，判断34a =…不成立，算法结束，输出20S =．故答案为：20． 5．（5分）函数1()15f x x x =+--的定义域是 {|1x x …且5}x ≠ 【解答】解：要使函数有意义，则1050x x -⎧⎨-≠⎩…得15x x ⎧⎨≠⎩…，即1x …且5x ≠，即函数的定义域为{|1x x …且5}x ≠，故答案为：{|1x x …且5}x ≠ 6．（5分）将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为49【解答】解：将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，基本事件总数339n =⨯=，黑白两球均不在1号盒子包含的基本事件总数224m =⨯=，∴黑白两球均不在1号盒子的概率为49m p n ==．故答案为：49． 7．（5分）已知函数()y f x x =+是偶函数，且f （3）1=，则(3)f -= 7 ．【解答】解：Q 函数()y f x x =+是偶函数，()()f x x f x x ∴--=+，即()()2f x f x x -=+，f Q （3）1=，(3)f f ∴-=（3）23167+⨯=+=，故答案为：7．8．（5分）若双曲线22154x y -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 6 ．【解答】解：由双曲线22154x y -=，得25a =，24b =，则3c =，则双曲线22154x y -=的左焦点为(3,0)-，抛物线22y px =的准线方程为2p x =-，则32p=，6p =．故答案为：6．9．（5分）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S = 49 ．【解答】解：2617a a a a +=+Q∴1777()492a a s +== 故答案是4910．（5分）若直线1:cos 20l x y θ+=与直线2:3sin 30l x y θ++=垂直，则sin 2θ= 1213- ．【解答】解：Q 直线1:cos 20l x y θ+=与直线2:3sin 30l x y θ++=垂直，3cos 2sin 0θθ∴+=，2cos sin 3θθ∴=-，22222413sin cos 199sin sin sin θθθθθ∴+=+==，解得sinθ=，cos θ=sin θ=cos θ=12sin 22sin cos 213θθθ∴==-=-．故答案为：1213-． 11．（5分）如图，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，若正方形ABCD 内接于底面圆O ，则四棱锥P ABCD -侧面积为．【解答】解：Q 圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，∴设底面半径为r ，则高为2r ，母线长2245l r r r =+， ∴圆锥的侧面积5S rl r r πππ==⨯=，解得15r =41555l =Q 正方形ABCD 内接于底面圆O ， 2AB r ∴=，∴四棱锥P ABCD -侧面积为：22144()22PAB ABS S AB PA ∆==⨯⨯-2221652256625r r r r =-==．65 12．（5分）已知圆221:20C x y x m +-+=与圆222:(3)(3)36C x y +++=内切，且圆1C 的半径小于6，点P 是圆1C 上的一个动点，则点P 到直线:51280l x y ++=距离的最大值为 2 ．【解答】解：根据题意，圆22:20C x y x m +-+=化为标准方程为22(1)1x y m -+=-，其圆心为(1,0)，半径1r m =- 2212||435C C =+，又由圆1C 与圆2C 内切，且圆1C 的半径小于6，则有615m -，解可得0m =，圆心1(1,0)C 到51280x y ++=的距离|58|125144d +==+，点P 是圆1C 上的一个动点，则点P 到直线:51280l x y ++=距离的最大值为112+=；故答案为：2．13．（5分）已知,a b r r 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c r 满足1||2c a -=r r ，则||2||a b c c b +-+-r rr r r 的最小值为．【解答】解：如图，(1,0)A ，(0,1)B ，(1,1)D ，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，则向量c r 满足1||2c a -=r r ，设OC c =u u u r r ，所以点C 为以A 为圆心，以12为半径的圆上的一点，所以||||||a b c OD OC CD +-=-=u u u r u u u r r r r ，同理2||2||c b BC -=rr ，取点1(1,)4E ，则AE ACAC AD =，又因CAE DAC ∠=∠，所以AEC ACD ∆∆∽，所以12CE CD =，即2CD CE =，所以||2||2222()a b c c b CD BC CE BC BC CE +-+-=+=+=+r rr r r ，由三角形的三边关系知223552()221()2442BC CE BE +=+=⨯=…．故填：52．14．（5分）已知a ，b R ∈，()x f x e ax b =-+，若()1f x …恒成立，则b aa-的取值范围是 [1-，)+∞【解答】解：()x f x e ax b =-+Q ， ()x f x e a ∴'=-，当0a …时，()0f x '>恒成立，则()f x 单调递增，()1f x …不恒成立，当0a >时，令()0x f x e a '=-=，解得x lna =，当(,)x lna ∈-∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当(,)x lna ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， ()()min f x f lna a alna b ∴==-+，()1f x Q …恒成立，1a alna b -+Q … 1b alna a ∴-+…，∴2112b a alna a lna a a a--+=+-…，设g （a ）12lna a=+-，0a > g ∴'（a ）22111a a a a-=-=，令g '（a ）0=，解得1a =，当(0,1)a ∈时，g '（a ）0<，函数g （a ）单调递减，当(1,)x ∈+∞时，g '（a ）0>，函数g （a ）单调递增，g ∴（a ）0121min =+-=-，∴1b aa--…，故答案为：[1-，)+∞二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos a c B b C -=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若,24A a π==，求ABC ∆的面积．【解答】解：（Ⅰ）(2)cos cos a c B b C -=Q ，由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos A C B B C ∴-=． ⋯（2分）2sin cos sin cos sin cos sin()sin A B C B B C B C A ∴=+=+=，⋯（4分） (0,)A π∈Q ，sin 0A ∴≠．1cos 2B ∴=．又0B π<<Q ，3Bπ∴=． ⋯（6分）（Ⅱ）由正弦定理sin sin a bA B=，得32262b ⨯==． ⋯（8分） 4A π=Q ，3B π=，512C π∴=，sin sin C ∴= 5sin()sin cos 12646ππππ=+= cos 4π+ 4πsin 626π+=． ⋯（11分） 116233sin 2622S ab C ++∴==⨯⨯⨯=g ． ⋯（13分） 16．（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，点M 为棱11A B 的中点．求证：（1）//AB 平面11A B C ；（2）平面1C CM ⊥平面11A B C ．【解答】证明：（1）11//AA BB Q ，11AA BB =，∴四边形11AA B B 是平行四边形，11//AB A B ∴，又AB ⊂/平面11A B C ，11A B ⊂平面11A B C ，//AB ∴平面11A B C ．（2）由（1）证明同理可知11AC AC =，11BC B C =，AB BC =Q ，1111A B B C ∴=，M Q 是11A B 的中点，111C M A B ∴⊥，1CC ⊥Q 平面111A B C ，11B A ⊂平面111A B C ， 111CC B A ∴⊥，又111CC C M C =I ， 11B A ∴⊥平面1C CM ，又11B A ⊂平面111A B C ，∴平面1C CM ⊥平面11A B C ．17．（14分）一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以5v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，经弹射器以6v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．设AOE θ∠=弧度，小球从A 到F 所需时间为T ．（1）试将T 表示为θ的函数()T θ，并写出定义域；（2）当θ满足什么条件时，时间T 最短．【解答】解：（1）连接CO 并延长交半圆于M ，则4AOM COD π∠=∠=，故4πθ…，同理可得34πθ…，[4πθ∴∈，3]4π．过O 作OG BC ⊥于G ，则1OG =，||2GOF πθ∠=-，11sin cos ||2OF πθθ∴==-，又¶AE θ=， 11()566sin T vv v θθθ∴=++，[4πθ∈，3]4π．（2）22222 1cos65cos65cos6 ()563030sin cosTv vsin vsin vsinθθθθθθθθθ---+'=-==，令()0Tθ'=可得26cos5cos60θθ--+=，解得2cos3θ=或3cos2θ=-（舍)．设2cos3θ=，[4πθ∈，3]4π，则当4πθθ<…时，()0Tθ'<，当34πθθ<…时，()0Tθ'>，∴当θθ=，()Tθ取得最小值．故2cos3θ=时，时间T最短．18．（16分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12，(,0)A a，(0,)B b，(0,0)O，ABO∆3（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C上的一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：||||AN BMg为定值．【解答】解：（1）由题意可知，12cea==，132S a b=⨯⨯222a b c=+，所以2a=，3b=，1c=，所以椭圆方程为22143x y+=；（2）证明：方法一：由（1）知，(2,0)A，3)B，由题意可得，因为(P x，)y，则2200143x y+=，直线PA的方程为0(2)2yy xx=--令0x=，得022Myyx=--．从而02|||3||3|2MyBM yx==-．直线PB的方程为033yy-=+令0y =，得0033N x x y =--．从而003|||2||2|3N x AN x y =-=+-．0032|||||2||3|23x y AN BM x y ∴=++--g g 2200000000003443128312||3223x y x y x y x y x y ++--+=--+0000000043128324||433223x y x y x y x y --+==--+．所以||||AN BM g 为定值．方法二：如图所示：设P 的坐标为(2cos ,3sin )θθ，由(2,0)A ，(0,3)B ，则直线AP 的方程为3sin (2)y x θ=-，令0x =时，则3sin y θ=，即3sin (0,)M θ，所以3sin cos 1sin |||3|3||1cos BM θθθθ--=+=-，同理可得2cos (1sin N θθ-，0)，所以2cos 1sin cos |||2|2||1sin 1sin AN θθθθθ--=-=--，所以|1sin cos ||1sin cos |(1sin )(1cos )||||2323243(1sin )(1cos )(1sin )(1cos )AN BM θθθθθθθθθθ------==⨯⨯=----g g ，所以||||AN BM g为定值．19．（16分）己知数列{}n a 中，0n a >，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22n n na S a +=．（1）求2S ，3S ，并求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设21n n n b S S +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若0n k -…对任意的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围．【解答】解：（1）数列{}n a 中，0n a >，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22n n na S a +=，可得1111222S a a a ==+，解得1a =由2222)a a a =+，解得22a =-可得22S =；由33322(2)a a a +=+，解得32a =，即有3S = 由2n …时，1n n n a S S -=-，可得1122n n n n n S S S S S ---+=-，化为11()()2n n n n S S S S ---+=，即2212n n S S --=，则222(1)2nS n n =+-=，由0n a >，可得n S由22n n na S a +==，可得n a =；（2）21n n n b S S +===+，可得11n T =，由10n n T T +->，可得n T 在*n N ∈递增，n T的最小值为1T =，0n k -…对任意的正整数n都成立，可得11k =…，则实数k 的取值范围为(-∞1]．20．（16分）已知函数()2()f x lnx ax a R =+∈，2()12()g x x f x =+- （1）当1a =-时，①求函数()f x 在点(1A ，f （1）)处的切线方程； ②比较()f m 与1()f m的大小；（2）当0a >时，若对(1,)x ∀∈+∞时，()0g x …，且()g x 有唯一零点，证明：34a <．【解答】解：（1）①当1a =-时，()2f x lnx x =-，1()2f x x'=-，f '（1）1=-，又(1,2)A ，∴切线方程为2(1)y x +=--，即10x y ++=；②令1122()()()2()22h m f m f lnm m ln lnm m m m m m=-=---=-+，则222222(1)()20m m h m m m m -+'=--=-<，()h m ∴在(0,)+∞上单调递减．又h （1）0=，∴当01m <<时，()0h m >，即1()()f m f m>；当1m =时，()0h m =，即1()()f m f m =；当1m >时，()0h m <，即1()()f m f m<．证明：（2）由题意，21240x lnx ax +--…，而222(21)()24x ax g x x a x x --'=--=，令()0g x '=，解得x a =±0a >Q ，∴1a ，()g x ∴'在(1,)+∞上有唯一零点0x a =+．当0(1,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 在0(1,)x 上单调递减，当0(x x ∈，)+∞时，()0g x '>，()g x 在0(x ，)+∞上单调递增． 0()()min g x g x ∴=．()0g x Q …在(1,)+∞恒成立，且()0g x =有唯一解，∴00()0()0g x g x '=⎧⎨=⎩，即00200022401240x a x x lnx ax ⎧--=⎪⎨⎪+--=⎩，消去a ，得200000212(2)0x lnx x x x +---=，即200230lnx x --+=．令2000()23h x lnx x =--+，则0002()2h x x x '=--，0()0h x '<Q 在(1,)+∞上恒成立，0()h x ∴在(1,)+∞上单调递减，又h （1）20=>，h （2）2210ln =--<，012x ∴<<． 0011()2a x x =-Q 在(1,2)上单调递增，34a ∴<．【选做题】（在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）已知矩阵30[]2A a=，A 的逆矩阵110[]31A b -=，求A 的特征值．【解答】解：Q 矩阵30[]2A a=，A 的逆矩阵11[]31A b -=，111030032213AA a ab a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，解得1a =，23b =-，3021A ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦． 30||(3)(1)021E A λλλλλ-⎡⎤-==--=⎢⎥--⎣⎦，解得A 的特征值为1或3． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，设直线l 过点)6A π，(3,0)B ，且直线l 与曲线:cos (0)C a a ρθ=>有且只有一个公共点，求实数a 的值．【解答】解：直线l过点)6A π，(3,0)B 转化为直角坐标为：3(2A，(3,0)B ，则直线l的方程为：30x +-=．曲线:cos (0)C a a ρθ=>转化为直角坐标方程为：222()24a a x y -+=，直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，则：|3|222a a -= 解得：2a =（负值舍去）．实数a 的值为2．五、解答题（共2小题，满分20分）23．（10分）已知抛物线2:2(02)C x py p =<<的焦点为F ，0(2,)M y 是C 上的一点，且5||2MF =．（1）求C 的方程；（2）直线l 交C 于A 、B 两点，2OA OB k k =-g 且OAB ∆的面积为16，求l 的方程．【解答】解：（1）将0(2,)M y 代入22x py =得02y p =，又025||()222p p MF y p =--=+=，1p ∴=， ∴抛物线的方程为22x y =，（2）直l 的斜率显然存在，设直线:l y kx b =+，1(A x ，1)y 、2(B x ，22)2y由22y kx b x y =+⎧⎨=⎩得：2220x kx b --= 122x x k ∴+=，122x x b =-由，121212242OA OB y y x x b k k x x ===-=-g ，4b ∴= ∴直线方程为：4y kx =+，所以直线恒过定点(0,4)，原点O 到直线l的距离d =，11||1622OAB S d AB ∴=⨯=，243264k ∴+=，解得k =±所以直线方程为：4y =±+．24．（10分）某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0，1，2，3，将这个玩具抛掷n 次，记第n 次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为n a ，数列{}n a 的前n 和为n S ．记n S 是3的倍数的概率为()P n ．（1）求P （1），P （2）；（2）求()P n ．【解答】解：（1）抛掷一次，出现一个0和一个3时符合要求，故P （1）12=，抛掷两次，出现12+，21+，00+，33+，03+，30+时，符合要求，故计6种情况，故P （2）63168==．（2）设n S 被3除时余1的概率为1()p n ，n S 被3除时余2的概率为2()P n ，则12111(1)()()()244P n P n P n P n +=++，① 112111(1)()()()424P n P n P n P n +=++，② 212111(1)()()()442P n P n P n P n +=++，③ ①(-②+③)，得：12121(1)[(1)(1)][()()]2P n P n P n P n P n +-+++=-+，化简，得4(1)()1P n p n +=+， 111(1)[()]343P n P n ∴+-=-，又P （1）12=， 121()334n P n ∴=+⨯．。

江苏省2020南通名师高考原创卷数学压轴卷含附加题(含答案)

2020南通名师高考原创卷压轴卷数学 (含附加题)数学I参考公式:圆柱的侧面积S= 2πrl,其中r 为底面半径,l 为母线长.球的面积24,S R π=其中R 为球的半径.一、填空题:本大题共14小题，每小题5分,共70分.1.已知集合A={x|2x -4<0} ,B= {x|log 2x>-1},则A∩B=___2.若复数z 满足(1-2i)z=5(其中i 为虚数单位) ,则z 的模是___3.右图是一个算法流程图,若输人3πθ=−，则输出的y 的值是___4.用系统抽样方法从400名学生中抽取容量为40的样本,将400名学生随机地编号为1~400, 按编号顺序平均分成40个组(1~10号,11~20号,......391~400号).若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为3,则第10组抽取的号码是____5.将分别写有“中”“国”“梦”的3张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是_____6.已知a 1(0,),cos()233ππα∈+=，则cos(2)6πα+的值是____ 7.已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项和，若47103115,62a a a S ++==,则d 的值是____8.在△ABC 中,,3B AC π==若△ABC ABC 的周长是_____ 9.制作一个如图所示的密封饮料罐，需要将一个高为9 cm,底面直径为6 cm 的圆柱体的底部改为内凹的半球面，则该密封饮料罐的表面积为____cm².10.在平面直角坐标系xOy 中12,F F 分别是双曲线2221(0,0)zx y a b a b−=>>的左、右焦点,过1F 作圆222x y a +=的切线l 与双曲线的右支交于点P,且22()0OP OF F P +⋅= ，则该双曲线的离心率是____11.在平面直角坐标系xOy 中,C 为直线x-2y=0在第一象限内的点,以C 为圆心的圆C 与y 轴相切,且截x 轴所得弦长为则圆C 的标准方程为____12. 已知正三角形ABC 的边长为EF 为△ABC 的外接圆O 的一条直径,点M 在△ABC 的边上运动,则ME MF ⋅ 的最小值是____13.已知函数f(x)的定义域为(0, +∞),f(1)=0,且()()f x xf x ′<在(0,+∞)内恒成立(()f x ′为f(x)的导函数),则关于t 的不等式f(t)<0的解集为____ 14. 已知x,y ∈R ,且x+y>0,则2232x xy y x y++++的最小值为___ 二、解答题:本大题共6小题，共计90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

江苏省南通基地2020年高考数学密卷(2)理

甲乙 8 9 79 01398 210 （第5题）江苏省南通基地2020年高考数学密卷（2）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合A ={1，4}，B ={|13x x ≤≤}，则A ∩B = ▲ ． 2．设复数2(2i)z =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲ ． 3．函数的y =定义域为 ▲ ．4．阅读下面的伪代码，由这个算法输出的结果为 ▲ ．5．如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为 ▲ ．6．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，将函数cos 2y x =的图象向右平移6π个单位得到()g x 的图象，则()2g π的值为 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2214y x -=的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为 ▲ ． 9．若()πtan 34x +=-，则sin 2cos 3sin 4cos x x x x++的值为 ▲ ． 10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的 x ∈R 都有f (x +4)= f (x )+ f (2)，f (1)= 4，则f (3)+ f (10)的值为 ▲ ．11．已知n S 为数列{a n }的前n 项和，且22111n n n a a a ++-=-，21313S a =，则{a n }的首项的所有s ←0t ←1For I From 1 To 3 s ←s +I t ←t ⨯I End For r ←s ⨯t Print r（第4题）可能值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:3450l x y -+=与圆22:100C x y x +-=交于A ，B 两点，P 为x 轴上一动点，则△ABP 周长的最小值为 ▲ ．13．已知函数22()3x x a x a f x x x a x a ⎧-+-⎪=⎨++<-⎪⎩≥，，，．记{|()0}A x f x ==，若(2)A -∞≠∅I ，，则实数a 的取值范围为 ▲ ．14．若△ABC 中，ABBC =8，B ∠=45°，D 为△ABC 所在平面内一点且满足()()4AB AD AC AD ⋅⋅⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，则AD 长度的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ⊥AB 于D ，且12BD AD c -=．（1）求证：sin 2sin()C A B =-；（2）若3cos 5A =，求tan C 的值．16．（本小题满分14分）在正四棱锥V ABCD -中，E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点．（1）求证：EF ∥平面ABCD ；（2）求证：平面VBD ⊥平面BEF ．17．(本小题满分14分)如图所示的某种容器的体积为90πcm 3，它是由圆锥和圆柱两部分连接而成，圆柱与圆锥ACBD（第16题）VE FCADB（第15题）h 1rh 2（第17题）45° 的底面半径都为r cm ．圆锥的高为h 1 cm ，母线与底面所成的角为o45；圆柱的高为h 2 cm ．已知圆柱底面的造价为2a 元/cm 2，圆柱侧面造价为a 元/cm 2，a元/cm 2．（1）将圆柱的高h 2表示为底面半径r 的函数，并求出定义域；（2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径r 为多少？18．（本小题满分16分）已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)y x ab a b+=>>，其短轴长为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k =-，AD DP λ=u u u r u u u r，AE EQ μ=u u u r u u u r （λμ，为非零实数），求22λμ+的值．19．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，121n n S S +-=（*n ∈N ）．（1）求证：数列{}n a 为等比数列；（2）若数列{}n b 满足：11b =，1112nn n b b a ++=+． ① 求数列{}n b 的通项公式；（第18题）② 是否存在正整数n ，使得14ni i b n ==-∑成立？若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数*()ln k f x x x k =∈N ，，()1g x cx c =-∈R ，．（1）当1k =时，①若曲线()y f x =与直线()y g x =相切，求c 的值；②若曲线()y f x =与直线()y g x =有公共点，求c 的取值范围．（2）当2k ≥时，不等式2()()f x ax bx g x +≥≥对于任意正实数x 恒成立，当c 取得最大值时，求a ，b 的值．2020年高考模拟试卷（2）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在．．．．．．．相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，ABCD 为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点E ，F ．M ，N 为AB ，CD 上两点，EM ＝EN ，点F 在MN 的延长线上．求证：∠BFM ＝∠AFM ．B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形A B C D ''''，其中 (11)A ，，(11)B -，，(11)C --，，(33)A '，，(11)B '-，，(11)D '-，．（1）求矩阵M ；（2）求向量DC 'u u u u r的坐标．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长．D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x >0，y >0，z >0，221x y z ++=，求证：135xy yz zx ++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛．已知该同学数学获一等奖的概率为23，物理，化学，生物获一等奖的概率都是12，且四门学科是否获一等奖相互独立．（1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率；（2）用随机变量X 表示该同学获得一等奖的总数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．23．（本小题满分10分）已知函数2()1f x x x =-+，记1()()f x f x =，当12()(())n n n f x f f x -=≥时，．（1）求证：2()f x 在(1)+∞，上为增函数；（2）对于任意*N n ∈，判断()n f x 在(1)+∞，上的单调性，并证明．2020年高考模拟试卷（2）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． {1}【解析】依题意，A ∩B ={1}2． 34i -【解析】由于2(2i)34i z =+=+，所以z 的共轭复数为34i -． 3． (]0,8【解析】由23log 0x -≥，解得08x <≤．4． 36【解析】1236s =++=，1236t =⨯⨯=，输出的结果6636r =⨯=． 5． 2【解析】由茎叶图可知，8889909192905x ++++==，所以甲的方差为52211()25i i s x x ==-=∑；同理乙的方差为4，所以比较稳定的是甲．6． 49【解析】所有等可能的基本事件总数为339⨯=种，“黑白两球均不在1号盒子”有224⨯=种，所以概率为49．7． 12-【解析】()()cos 23g x x π=-，所以()1()cos 232g ππ=π-=-．8． 45【解析】一条渐近线2y x =与右准线5x =的交点为525(,)，其到另一条渐近线2y x =-的距离为45．9． 25【解析】由()ππ31tan tan 2441(3)x x --⎡⎤=+-==⎢⎥+-⎣⎦，得sin 2cos tan 223sin 4cos 3tan 45x x x x x x ++==++．10． 4【解析】令f (x +4)= f (x )+ f (2)中x =2，得f (2)= f (2)+ f (2)，所以f (2)=0，又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (2)=0，所以f (x +4)= f (x )，所以f (x )是周期为4的周期函数，所以f (3)+ f (10)= f (1) + f (2)= f (1)+0= 4．11． 34-，【解析】因为22111n n n a a a ++-=-，所以22111n n a a a ++-=-，所以222211a a a -=-，223321a a a -=-，…，221313121a a a -=-，将以上各式相加，得2213113112S a a a --=-，又21313S a =，所以211120a a --=，获解．Cxy O BA （第12题）P B 'Q12． 14【解析】设直线l 与圆C 的一个交点B （5，5）关于x 轴的对称点为B '，易知B B '恰为圆C 的直径，记A B '与x 轴交于点Q ，则PA PB PA PB AB ''+=+≥，所以△ABP 的周长的最小值为AB AB '+，易求得结果为14. 13． (14⎤-∞⎦，在(2)-∞，所以方程2|x x =所以函数()g x =注意到函数(h x 14．2设()D x y ，，所以(11)AB =--，(71)AC =-，()AD x =，所以()()()(7)4AB AD AC AD x y x y ⋅⋅⋅=---=u u u r u u u r u u u r u u u r ，即()(7)4x y y x +-=，令7x y m y x n +=⎧⎨-=⎩，则1()81(7)8x m n y m n ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，所以mn =4，所以22222211()(7)5021288AD x y m n m n m n mn =+-++++ 222225*********m n mn +++≥．当且仅当5m =n =5±AD 2 二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分14分）（1）证明：因为12BD AD c -=，所以1cos cos 2a Bb Ac -=， …… 3分由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，所以sin 2sin()C A B =-． …… 6分（2）解：由（1）得，sin()2sin()A B A B +=-， …… 8分Cx yA B D（第14题）CADB（第15题）所以sin cos cos sin 2(sin cos cos sin )A B A B A B A B +=-，化简，得3cos sin sin cos A B A B =． …… 10分又3cos 5A =，所以4sin 5A =，所以4tan 3A =，4tan 9B =， …… 12分所以44tan tan 4839tan tan()1tan tan 4411139A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅． …… 14分16．（本小题满分14分）（1）因为E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点，所以EF ∥AC ， …… 3分又因为EF ABCD ⊄平面，AC ABCD ⊂平面，所以EF ∥平面ABCD ． …… 6分（2）连结AC ，BD 交于点O ，连结VO ．因为V ABCD -为正四棱锥，所以VO ABCD ⊥平面．又AC ABCD ⊂平面，所以VO AC ⊥．…… 8分又因为BD AC ⊥，EF ∥AC ，所以EF ⊥VO ，EF ⊥BD ． …… 10分又VO BD VBD ⊂，平面，=VO BD O ∩，所以EF VBD ⊥平面， …… 12分又EF BEF ⊂平面，所以平面VBD ⊥平面BEF ．…… 14分17．（本小题满分14分）（1）解：因为圆锥的母线与底面所成的角为o 45，所以1h r =，圆锥的体积为231111ππ33V r h r ==，圆柱的体积为222πV r h =． …… 2分因为1290πV V +=，所以23221π90ππ3V r h r ==-，所以32222709033r r h r r-==-． …… 4分因为311π90π3V r =<，所以r <0r <<．所以32222709033r r h r r -==-，定义域为{|0r r <<． …… 6分 ACBD（第16题）VE FO（2）圆锥的侧面积21πS r r ==，圆柱的侧面积222πS rh =，底面积23πS r =． …… 8分容器总造价为1232y aS aS =++2222π2π2πr a rh a r a =++2222π()a r rh r =++()22902π23r a r r r⎡⎤=+-⎣⎦ ()210π543a r r=+． …… 10分令254()f r r r =+，则254()2f r r r '=-．令()0f r '=，得3r =．当03r <<时，()0f r '<，()f r 在(0 3)，上为单调减函数；当3r <<时，()0f r '>，()f r在(3上为单调增函数．因此，当且仅当3r =时，()f r 有最小值，y 有最小值90πa 元．…… 13分所以，总造价最低时，圆柱底面的半径为3cm ． …… 14分18．（本小题满分16分）（1）解：因为短轴长2b =2，所以b =1，…… 2分又离心率c a =a =， …… 4分所以222222()a c ab ==-，所以22a =，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．…… 6分（2）由（1），点A (0)，设1100()()P x y D x y ，，，，则111020y k x y k x ==，，因为AD DP λ=u u u r u u u r，所以010010()()x x x y y y λλ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩L L L L ①②， …… 8分由①得，011+x x λλ=- 由②得，101+y y λλ=，所以1120211+(k x k x k x λλ==， …… 11分两边同时乘以k 1得，21112111((2k x k k x x ==-，所以11x =1121(12)y k λ=+，代入椭圆的方程得，221112k λ=+， …… 14分同理可得，()22122221121112121122k k k k μ===+++-，所以221λμ+=． …… 16分19．（本小题满分16分）（1）解：由121n n S S +-=，得121n n S S --=（2n ≥），两式相减，得120n n a a +-=，即12n na a +=（2n ≥）． …… 2分因为11a =，由121()21a a a +-=，得22a =，所以212a a =，所以12n na a +=对任意*n ∈N 都成立，所以数列{}n a 为等比数列，首项为1，公比为2． ……4分（2）① 由（1）知，12n n a -=，由1112n n nb b a ++=+，得1122n n nbb +=+， …… 6分即11221n n n n b b -+=+，即11221n n n n b b -+-=，因为11b =，所以数列{}12n n b -是首项为1，公差为1的等差数列． …… 8分所以121(1)1n n b n n -=+-⨯=，所以12n n n b -=． …… 10分 ② 设1nn i i T b ==∑，则012111111()2()3()()2222n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯L ，所以123111111()2()3()()22222n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯L ，两式相减，得0121111111()()()()()222222n n n T n -=++++-⨯L 11()12()1212nn n -=-⨯-12(2)()2n n =-+⨯，所以14(24)()2n n T n =-+⨯． …… 12分由14ni i b n ==-∑，得14(24)()42n n n -+⨯=-，即122n n n -+=．显然当2n =时，上式成立，设12()2n n f n n-+=-（*n ∈N ），即(2)0f =．因为11322(1)()(2)(2)201(1)n n n n n f n f n n n n n --⎡⎤+++-=---=-+<⎢⎥++⎣⎦，所以数列{}()f n 单调递减，所以()0f n =只有唯一解2n =，所以存在唯一正整数2n =，使得14ni i b n ==-∑成立． …… 16分20．（本小题满分16分）（1）解：当1k =时，()ln f x x x =，所以()1ln f x x '=+．①设切点为00()P x y ，，则0000001ln ln 1x c y x x y cx +=⎧⎪=⎨⎪=-⎩①②③…… 2分由②③得，0001ln cx x x -=④由①得0ln 1x c =-代入④得，001(1)cx x c -=-所以011x c ==，． …… 4分 ②由题意，得方程ln 1x x cx =-有正实数根，即方程1ln 0x c x+-=有正实数根，记1()ln h x x c x =+-，令22111()x h x x x x-'=-=，当01x <<时，()0h x '<；当1x >时，()0h x '>；所以()h x 在(01)，上为减函数，在(1)∞，+上为增函数；所以min ()(1)1h x h c ==-． …… 6分若1c <，则()(1)10h x h c =->≥，不合；若1c =，由①知适合；若1c >，则(1)10h c =-<，又11(e )0e e c c ch c c =+-=>，所以(1)(e )0c h h ⋅<，由零点存在性定理知()h x 在(1e )(0)c ⊆+∞，，上必有零点．综上，c 的取值范围为[1)∞，+． …… 9分（2）由题意得，当2k ≥时，ln 1k x x cx -≥对于任意正实数x 恒成立，所以当2k ≥时，11ln k c x x x -+≤对于任意正实数x 恒成立，由（1）知，1ln 1x x+≥，两边同时乘以x 得，ln 1x x x +≥①，两边同时加上1x得，11ln 12x x x x x +++≥≥②，所以1ln 1x x x +≥（*），当且仅当1x =时取等号．对（*）式重复以上步骤①②可得，21ln 1x x x +≥，进而可得，31ln 1x x x +≥，41ln 1x x x+≥，……，所以当2k ≥，*N k ∈时，11ln 1k x x x -+≥，当且仅当1x =时取等号．所以1c ≤． …… 12分当c 取最大值1时，2ln 1k x x ax bx x +-≥≥对于任意正实数x 恒成立，令上式中1x =得， 00a b +≥≥，所以0a b +=，所以21ax ax x --≥对于任意正实数x 恒成立，即2(1)10ax a x -++≥对于任意正实数x 恒成立，所以0a >，所以函数2(1)1y ax a x =-++的对称轴102a x a+=>，所以2(1)40a a ∆=+-≤，即2(1)0a -≤，所以1a =，1b =-． …… 14分又由21ln 1k x x x-+≥，两边同乘以x 2得，2ln k x x x x +≥，所以当1a =，1b =-时，2ln k x x ax bx +≥也恒成立，综上，得1a =，1b =-． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）证明：因为EM ＝EN ，所以∠EMN ＝∠ENM ， …… 3分因为ABCD 为圆内接四边形，所以∠FCN ＝∠A ，…… 6分又因为∠EMN ＝∠AFM ＋∠A ，∠ENM ＝∠BFM ＋∠FCN ，所以∠AFM ＝∠BFM ． …… 10分B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）（1）解：设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则有13111311a b a b c d c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，， …… 2分故3311a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩ 解得2112a b c d ====，，，，所以2112M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．…… 5分（2）由21131213--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，知(33)C '--，，易求12133=1233M -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， …… 7分由211133121133⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎣⎦，得(11)D -，，所以=(42)DC '--u u u u r ，． …… 10分C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）解：直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －3 (t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －3，…… 2分圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0． …… 5分圆C 的圆心(2，0)到直线x －y －3＝0的距离为d ＝12＝． …… 7分又圆C 的半径r ＝2，所以直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝14． …… 10分D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）证明：因为222151(22)5(3)()(2)044x y z xy yz zx x y x y z ++-++=-++-≥，…… 5分所以2(22)5(3)x y z xy yz zx ++++≥，又因为221x y z ++=，所以135xy yz zx ++≤． …… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）（1）解：记“该同学获得i 个一等奖”为事件i A ，01i =，，则()021111(1)(1)(1)(1)322224P A =-⨯-⨯-⨯-=，()31213212115(1)(1)(1)3232224P A C =⨯-+-⨯⨯⨯-=，所以该同学至多有一门学科获得一等奖的概率为()()0115124244P A P A +=+=． …… 4分（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，()()01024P X P A ===，()()15124P X P A ===，()12223321121132(1)(1)()(1)3223228P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯⨯-=，()2233332112173()(1)(1)()3223224P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯=，()32114()3212P X ==⨯=，所以X 的概率分布为故()15972130123424242424246E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． …… 10分23．（本小题满分10分）（1）证明：因为22()(())(1)f x f f x f x x ==-+，所以22()(21)(1)f x x f x x ''=--+，因为1x >，所以210x ->，211x x -+>，所以22(1)2(1)10f x x x x '-+=-+->，所以2()0f x '>，所以2()f x 在(1)+∞，上为增函数． …… 4分（2）结论：对于任意*N n ∈，()n f x 在(1)+∞，上均为增函数．证明：①当n =1时，结论显然成立；②假设当n =k 时结论也成立，即()k f x 在(1)+∞，上为增函数，所以当1x >时，()0k f x '>在(1)+∞，上恒成立．当n =k +1时，21()(())(1)k k k f x f f x f x x +==-+，所以21()(21)(1)k k f x x f x x +''=--+ 又当1x >时，210x ->，211x x -+>，所以2(1)0k f x x '-+>在(1)+∞，上恒成立，所以21()(21)(1)0k k f x x f x x +''=--+>在(1)+∞，上恒成立，所以1()k f x +在(1)+∞，上为增函数．由①②得证，对于任意*N n ∈，()n f x 在(1)+∞，上均为增函数．…… 10分。

2020届江苏省南通市高三下学期高考考前模拟卷(九)数学试题 (2)

14.
已知
x
0
，
y
0，
x
4 y
3 2
1 x
y
15 2
，则
x
y
的最小值为________．
【答案】-1
13. 若在 Rt△ABC 中， ABC 90， AB 2 ， BC 3．在△ABD 中， ADB 45 ，则 CD 的取
值范围是________．
【答案】 5 2, 17 2
【解析】【分析】
建立平面直角坐标系，设 D(x, y) ，D 在第一象限或第二象限，根据 ADB=45 ，求出 D 的轨迹方程为
则 n m 的最小值是 14 2 8 ，
3
3
故答案为： 8 ． 3
【点睛】本题主要考查由函数 y Asin(x ) 的部分图象求解析式，正弦函数的单调性的应用，属于中档
题．
8. 已知正六棱柱的侧面积为 36cm2 ，高为 3cm ，则它的外接球的体积为________ cm3 ．【答案】 125
x 2, y 4 时， 2 x 2和 z y 2 同时取得最大值，进而计算可得答案.
x2
【详解】解： m 2x2 4x y 2 2 x 22 4 x 2 y 2 2 x 2 y 2 4
x2
x2
x2
令 z y 2 ，则 z 表示可行域中的点 x, y 与点 D2, 2 所在直线的斜率，
3 / 24
【答案】 8 3
【解析】
【分析】
由函数的最值求出 A ，由周期求出，由五点法作图求出的值，求得 f (x) 2sin( x) ．根据函数在
4
[2 ， 14] 上是减函数， 3
f
（2） 2 ，

2020高考数学三轮冲刺专题二项分布及其应用练习(含解析)

二项分布及其应用一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为A. B. C. D.（正确答案）B【分析】本题考查条件概率，考查相互独立事件概率公式，属于中档题．求出甲获得冠军的概率、比赛进行了3局的概率，即可得出结论．【解答】解：由题意，甲获得冠军的概率为，其中比赛进行了3局的概率为，所求概率为，故选B．2. 小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4 个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则A. B. C. D.（正确答案）A【分析】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键这是求小赵独自去一个景点的前提下，4 个人去的景点不相同的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论，属于中档题．【解答】解：小赵独自去一个景点，有4个景点可选，则其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为种所以小赵独自去一个景点的可能性为种因为4 个人去的景点不相同的可能性为种，所以．故选A．3. 2016年鞍山地区空气质量的记录表明，一天的空气质量为优良的概率为，连续两天为优良的概率为，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良的概率是A. B. C. D.（正确答案）C解：一天的空气质量为优良的概率为，连续两天为优良的概率为，设随后一天空气质量为优良的概率为p，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良，则有，，故选：C．设随后一天的空气质量为优良的概率是p，利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．4. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为A. B. C. D.（正确答案）A解：由题意可知：同学3次测试满足X∽，该同学通过测试的概率为．故选：A．判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．5. 设某种动物由出生算起活到10岁的概率为，活到15岁的概率为现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是A. B. C. D.（正确答案）C解：记该动物从出生起活到10岁为事件A，从出生起活到15岁的为事件AB，而所求的事件为，由题意可得，，由条件概率公式可得，故选C．活到15岁的概率是在活到10岁的概率的情况下发生的，故可用条件概率来求解这个题．本题考点是条件概率，理清楚事件之间的关系是解决问题的关键，属中档题．6. 在10个球中有6个红球和4个白球各不相同，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为A. B. C. D.（正确答案）D解：先求出“第一次摸到红球”的概率为：，设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为，根据条件概率公式，得：，故选：D．事件“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率等于事件“第一次摸到红球”的概率乘以事件“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率根据这个原理，可以分别求出“第一次摸到红球”的概率和“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率，再用公式可以求出要求的概率．本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解，属于中档题看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键．7. 将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是A. B. C. D.（正确答案）A解：根据题意，将4个不同的小球装入4个不同的盒子，有种不同的放法，若没有空盒，有种放法，有1个空盒的放法有种，有3个空盒的放法有种，则至少一个盒子为空的放法有种，故“至少一个盒子为空”的概率，恰好有两个盒子为空的放法有种，故“恰好有两个盒子为空”的概率，则则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率；故选：A．根据题意，由分步计数原理计算可得“将4个不同的小球装入4个不同的盒子”的放法数目，进而由排列、组合数公式计算“没有空盒”、“有1个空盒的放法”、“有3个空盒”的放法数目，由古典概型公式计算可得“至少一个盒子为空”以及“恰好有两个盒子为空”的概率，最后由条件概率的计算公式计算可得答案．本题考查条件概率的计算，涉及排列、组合的应用，关键是求出“至少一个盒子为空”以及“恰好有两个盒子为空”的概率．8. 在区间内随机投掷一个点其坐标为，若，则A. B. C. D.（正确答案）A解：根据题意，得，因此，事件AB对应的区间长度为，结合总的区间长度为1，可得又，同理可得因此，故选：A由题意，算出且，结合条件概率计算公式即可得到的值．本题给出投点问题，求事件A的条件下B发生的概率，着重考查了条件概率及其应用的知识，属于基础题．9. 九江气象台统计，5月1日浔阳区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风，那么A. B. C. D.（正确答案）B解：由题意，，，，故选B．确定，，，再利用条件概率公式，即可求得结论．本题考查概率的计算，考查条件概率，考查学生的计算能力，属于基础题．10. 从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假币的概率为A. B. C. D.（正确答案）D解：解：设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率即．又，，由公式．故选：D．设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，所求的概率即先求出和的值，再根据，运算求得结果．本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意条件概率的合理运用．11. 如图，和都是圆内接正三角形，且，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在内”，B表示事件“豆子落在内”，则A.B.C.D.（正确答案）D解：如图所示，作三条辅助线，根据已知条件这些小三角形全等，所以，故选：D．作三条辅助线，根据已知条件这些小三角形全等，即可求出．本题考查概率的计算，考查学生的计算能力，正确作出图形是关键．12. 下列说法中正确的是设随机变量X服从二项分布，则已知随机变量X服从正态分布且，则；．A. B. C. D.（正确答案）A解：设随机变量X服从二项分布，则，正确；随机变量服从正态分布，正态曲线的对称轴是．，，，正确；利用积分的几何意义，可知，正确；故不正确．故选：A．分别对4个选项，分别求解，即可得出结论．考查二项分布、正态分布以及定积分的几何意义，考查学生的计算能力，知识综合性强．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 如果，当取得最大值时， ______ ．（正确答案）50解：，当，由组合数知，当时取到最大值．故答案为：50．根据变量符合二项分布，写出试验发生k次的概率的表示式，在表示式中，只有是一个变量，根据组合数的性质，当时，概率取到最大值．本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型，考查概率的最值，考查组合数的性质，是一个比较简单的综合题目．14. 抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”则当已知蓝色骰子点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率为______ ．（正确答案）解：设x为掷红骰子得的点数，y为掷蓝骰子得的点数，则所有可能的事件与建立对应，显然：，，．．故答案为：由题意知这是一个条件概率，做这种问题时，要从这样两步入手，一是做出蓝色骰子的点数为3或6的概率，二是两颗骰子的点数之和大于8的概率，再做出两颗骰子的点数之和大于8且蓝色骰子的点数为3或6的概率，根据条件概率的公式得到结果．本题考查条件概率，条件概率有两种做法，本题采用概率来解，还有一种做法是用事件发生所包含的事件数之比来解出结果，本题出现的不多，以这个题目为例，同学们要认真分析．15. 从标有1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到偶数的条件下，第二次抽到奇数的概率为______．（正确答案）解：在第一次抽到偶数时，还剩下1个偶数，3个奇数，在第一次抽到偶数的条件下，第二次抽到奇数的概率为．故答案为：．根据剩下4个数的奇偶性得出结论．本题考查了条件概率的计算，属于基础题．16. 若随机变量，且，则 ______ ．（正确答案）解：随机变量，且，可得，正态分布曲线的图象关于直线对称．，，故答案为：．由条件求得，可得正态分布曲线的图象关于直线对称求得的值，再根据，求得的值．本题主要考查正态分布的性质，正态曲线的对称性，属于基础题．三、解答题（本大题共3小题，共40分）17. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．Ⅰ求甲至少有1次未击中目标的概率；Ⅱ记甲击中目标的次数为，求的概率分布及数学期望；Ⅲ求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．（正确答案）解：记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件，由题意知两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，射击3次，相当于3次独立重复试验，故．故甲至少有1次未击中目标的概率为；由题意知X的可能取值是0，1，2，3，，，，X的概率分布如下表：X 0 1 2 3P设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件，则，，为互斥事件甲恰好比乙多击中目标2次的概率为由题意知，两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；甲每次击中目标的概率为，射击3次，相当于3次独立重复试验，根据独立重复试验概率公式得到结果．根据题意看出变量的可能取值，根据变量对应的事件和独立重复试验的概率公式，写出变量对应的概率，写出分布列，做出期望值．甲恰比乙多击中目标2次，包括甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次，这两种情况是互斥的，根据公式公式得到结果．本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查互斥事件的概率，是一个基础题，这种题目解题的关键是看清题目事件的特点，找出解题的规律，遇到类似的题目要求能做．18. 袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率是现从两个袋子中有放回的摸球从A中摸球，每次摸出一个，共摸5次求：恰好有3次摸到红球的概率；设摸得红球的次数为随机变量X，求X的期望；Ⅱ从A中摸出一个球，若是白球则继续在袋子A中摸球，若是红球则在袋子B中摸球，若从袋子B中摸出的是白球则继续在袋子B中摸球，若是红球则在袋子A中摸球，如此反复摸球3次，计摸出的红球的次数为Y，求Y的分布列以及随机变量Y的期望．（正确答案）解：Ⅰ由题意知本题是在相同的条件下进行的试验，且事件发生的概率相同，可以看作独立重复试验，根据独立重复试验公式得到，恰好有3次摸到红球的概率：．由题意知从A中有放回地摸球，每次摸出一个，是独立重复试验，根据独立重复试验公式得到：，．随机变量Y的取值为0，1，2，3；且：；；；；随机变量Y的分布列是：的数学期望是．由题意知本题是在相同的条件下进行的试验，且事件发生的概率相同，可以看作独立重复试验，根据独立重复试验公式得到结果．由题意知从A中有放回地摸球，每次摸出一个，是独立重复试验，根据独立重复试验公式得到答案．由题意知计摸出的红球的次数为Y，随机变量Y的取值为0，1，2，3；由独立试验概率公式得到概率，写出分布列和期望．解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．19. 某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为，乙的命中率为，在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；若，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数，如果，求的取值范围．（正确答案）解：，，根据“先进和谐组”的定义可得该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的包括两人两次都射中，两人恰好各射中一次，该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率该小组在一次检测中荣获先进和谐组”的概率而，所以由知，解得：根据甲的命中率为，乙的命中率为，两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；我们可以求出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；由已知结合的结论，我们可以求出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率含参数，由，可以构造一个关于的不等式，解不等式结合概率的含义即可得到的取值范围．本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，二项分布与n次独立重复试验的模型，中关键是要列举出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的所有可能性，的关键是要根据，可以构造一个关于的不等式．。

2020年江苏南通高三下学期高考模拟数学试卷

，
．
，
，求函数的单调增区间．
16. 如图，在四棱锥
锐角
所在平面
中，底面
底面
，
为梯形，
，
，交于，
，点在侧棱上，且
．
2
（ 1 ）求证：（ 2 ）求证：
平面
．
．
17. 在平面直角坐标系中，圆
，直线
点，弦过点，过点作的垂线交于点．
（1）若
，求
的面积．
（ 2 ）判断直线与圆的位置关系，并证明．
2 若对任意，
，必存在
使得
，求数列的通项公式．
（，，为常
，已知
，且
20. 若实数满足（ 1 ）求函数
，则称
为函数
的不动点．
的不动点．
3
（ 2 ）设函数
1若
时，存在一个实数
，其中，，为实数．
，使得
既是
点（
是函数的导函数），求实数的取值范围．
2令
，若存在实数，使，
，
为正数的等比数列，求证：函数存在不动点．
，，
，，
，所以直线
，与圆相切，得证．
时，体积最大．
设
，则
，
，
若以为底、为高，则圆柱底面半径
，
，
，
，
当
时，
，当
时，
，
所以
，
若以为底，为高，则圆柱底面半径
，
，
，
当所以
时，
，令
，得
、
，
，当
时，
，
，

2025高考数学冲刺分层训练专题3-2、三角函数小题(二)

专题3-2、三角函数小题（二）一、单选题1．（2024·江苏南通·统考模拟预测）在ABC 中，“ABC 是钝角三角形”是“tan tan 1A B <”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【详解】若ABC 是钝角三角形，为钝角时，tan C =−0,tan 0,B >1时，当tan 为钝角，ABC 为钝角三角形0=时，tan 为钝角，ABC 为钝角三角形，所以是必2．（2024·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）已知sin 21cos θθ=+，则tan θ=（）A ．43B ．23−C ．43−D ．233．（2024·广东梅州·统考一模）已知π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫−=⎪⎝⎭（） A ．79− B ．79 C．D4．（2024·湖北·荆州中学校联考二模）已知0w >，函数()π3sin 24f x wx ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则w 的取值范围是（） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(]0,2C ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．（2024·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）将函数()2sin 21f x x =−图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，并沿x 轴向左平移()0ϕϕ>个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数()g x 的图象．若对于任意的1π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在2π,04x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =，则ϕ的值可能是（）A ．π6B ．5π24C ．π4D ．2π36．（2024·湖南常德·统考一模）将函数()2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的图像向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图像，若函数(y g x =）的一个极值点是π6，且在ππ,36⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的值为（） A ．23B ．43C ．83D ．1637．（2024·湖南岳阳·统考二模）已知函数()()2sin 2N ,2f x x +⎛⎫=+∈< ⎪⎝⎭ωϕωϕ的最小正周期3π3π,42T ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图像向右平移π6个单位长度，所得图像关于原点对称，则下列关于函数()f x 的说法错误的是（）A ．函数()f x 的图像关于直线5π12x =−对称 B ．函数()f x 在ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在13π0,12⎛⎫⎪⎝⎭上有两个极值点D ．方程()1f x =在[]0,π上有3个解8．（2024·江苏南通·二模）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧．若在B ，C 处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC = 100 m ，则该球体建筑物的高度约为（）（cos10° ≈ 0.985）A ．49.25 mB ．50.76 mC ．56.74 mD ．58.60 m设球的半径为,3,tan10RR AB R AC ==︒3100tan10RBC R =−=︒， 100100sin101tan10R ︒∴==9．（2024·广东·校联考模拟预测）若函数()2sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的减函数，则ω的取值范围是（）A ．5,3⎛⎤−∞− ⎥⎝⎦B ．5,03⎡⎫−⎪⎢⎣⎭C ．7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．70,3⎛⎤⎥⎝⎦【详解】函数10．（2024·江苏常州·校考一模）意大利数学家斐波那契于1202年写成《计算之书》，其中第12章提出兔子问题，衍生出数列：1，1，2，3，5，8，13，….记该数列为{}n F ，则121F F ==，21n n n F F F ++=+，*n ∈N .如图，由三个图（1）中底角为60°等腰梯形可组成一个轮廓为正三角形（图（2））的图形，根据改图所揭示的几何性质，计算22202520212022202320232024F F F F F F −=+（）A ．1B ．3C ．5D ．7由此可推断出20212022,F F所以()2202320241sin 602F F +整理可得(2202520223F F =⨯+所以2220252021F F F F F F −+=3A B C ．D ．12．（2024·浙江·校联考模拟预测）已知函数()sin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且()2f f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω=（）A ．53B ．43C ．23D ．1313．（2024·江苏南通·二模）记函数()()sin 04f x x ωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭>的最小正周期为T ．若ππ2T <<，且π()3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则ω= （）A ．34B ．94C ．154D ．274二、多选题14．（2024·江苏南通·统考模拟预测）已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列说法正确的有（）A ．()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．若()()1212f x f x ==，则21π,Z 3k x x k −=∈C ．函数()f x 的图象可以由cos2y x =向右平移π3个单位得到D ．若函数(0)2x y f ωω⎛⎫=> ⎪⎝⎭在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上恰有两个极大值点，则(]7,13ω∈15．（2024·江苏·统考一模）已知函数()()ππsin sin cos 066f x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫=++−+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论正确的有（）A ．将函数2sin y x ω=的图象向左平移π6个单位长度，总能得到()y f x =的图象B ．若3ω=，则当2π0,9x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围为[]1,2C ．若()f x 在区间()0,2π上恰有3个极大值点，则131966ω<≤D ．若()f x 在区间π5π,312⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则1615ω≤≤16．（2024·山东枣庄·统考二模）已知函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的图象过点0,2A M ⎛⎫⎪⎝⎭和()π,0N ，()f x 的最小正周期为T ，则（）A ．T 可能取12π7B ．()f x 在()0,4π上至少有3个零点C ．直线8π11x =可能是曲线()y f x =的一个对称轴 D ．若函数()f x 的图象在[]0,2π上的最高点和最低点共有4个，则116ω=17．（2024·湖北·统考模拟预测）已知函数()()2sin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，()()1232f x f x ==−，则（）A ．函数()y f x =在[]2,4上单调递减B ．函数()y f x =在[]3,6上的值域为[]1,1−C ．()21π3cos 64x x ⎡⎤−=⎢⎥⎣⎦D ．曲线()y f x =在=1x −18．（2024·湖南株洲·统考一模）关于函数()()cos sin 0f x x a x a =+≠有以下四个选项，正确的是（）A ．对任意的a ，()f x 都不是偶函数B ．存在a ，使()f x 是奇函数C ．存在a ，使()()πf x f x +=D ．若()f x 的图像关于π4x =对称，则1a =19．（2024·湖南郴州·统考三模）设函数()sin (0)g x x ωω=>向左平移π5ω个单位长度得到函数()f x ，已知()f x 在[]0,2π上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 在()0,2π上有且只有5个极值点C ．()f x 在π0,10⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭20．（2024·广东广州·统考一模）已知函数()sin(2)22f x x ϕϕ⎛⎫=+−<< ⎪⎝⎭的图像关于直线π8x =对称，则（）A ．函数()y f x =的图像关于点π,08⎛⎫− ⎪⎝⎭对称B ．函数()y f x =在[0,]π有且仅有2个极值点C ．若()()122f x f x −=，则12x x −的最小值为π4D ．若ππ1882f f αβ⎛⎫⎛⎫−−= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()()cos21cos2αβαβ−=++21．（2024·广东湛江·统考一模）已知0ω>，函数()cos 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列选项正确的有（）A ．若()f x 的最小正周期2T =，则πω=B ．当2ω=时，函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度后得到()cos 2g x x =的图象C ．若()f x 在区间2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．若()f x 在区间()0,π上只有一个零点，则ω的取值范围是17,66⎛⎤⎥⎝⎦22．（2024·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知函数()2cos 233ππf x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则（） A ．()f x 的周期为π B ．()f x 为奇函数C ．()g x 的图象关于点17π,024⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()g x 的取值范围为⎡−⎢⎣⎦23．（2024·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知函数()()()sin 0,0,ππf x A x A ωϕωϕ=+>>−<<的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．π3ϕ=−B ．()π12f x f ⎛⎫≤− ⎪⎝⎭C ．()f x 在4ππ,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．()f x 在[]0,2π上有且仅有四个零点三、填空题24．（2024·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式.在ABC 中，设,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 的对边，S 表示ABC 的面积，其公式为S =若sin sin a B C =，b =2S =，则c =______. 【详解】在ABC 中，由正弦定理得，故3sin sin B =2sin ,C a ∴32S =可得25．（2024·浙江·模拟预测）已知函数()()πsin 0,2f x A x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，()π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，()4π03f x f x ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭，()f x 在ππ,366⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则正整数ω的最大值为____________．【详解】()f x ≤4π()3f x f x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭122ππ436k T +∴=−2π2π,21T k k ω∴==+2k ω∴=+26．（2024·江苏南通·校联考模拟预测）已知函数()2sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪上单调递增，则ω的取值范围是_________．所以欲使得()f x 是增函数，则必须对于ππ42t <≤ ，即ππ44x ω<+ππ⎛27．（2024·山东济南·一模）已知函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=−> ⎪⎝⎭在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围为__________． ()f x 在即ω的取值范围为故答案为：28．（2024·湖南·校联考模拟预测）已知ππ,sin 2cos 2sin cos 122βαβααβ−<−<+=−=，则πcos 3α⎛⎫+= ⎪___________.29．（2024·湖南张家界·统考二模）已知α为锐角，11sin α，则α=__________．30．（2024·广东佛山·统考一模）已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中0ω>，π2ϕ<）.T 为()f x的最小正周期，且满足1132f T f T⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.若函数()f x在区间()0,π上恰有2个极值点，则ω的取值范围是______.。

2020届江苏省高考数学南通名师冲刺模拟卷

绝密★启用前2020届江苏省高考数学南通名师冲刺模拟卷数学Ⅰ卷注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1. 设复数z满足(2i)1iz-=+（i为虚数单位），则复数z=▲．2. 已知集合{}1,0A=-，{}0,2B=，则A B共有▲个子集．3. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为▲．4. 某地区连续5天的最低气温（单位：°C）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为▲．5. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的渐近线方程为，且它的一个焦点为，则双曲线的方程为▲．6. 函数()f x的定义域为▲ ．7. 若函数的部分图象如图所示，则的值为▲．8. 现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们的大小和颜色完相同．从中随机抽取2张组成两位数，则该两位数为奇数的概率为▲ ．9. 已知F是抛物线C：28y x=的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M是FN的中点，则FN的长度为▲．xOy C xy±=Csin()(0)y xωϕω=+>ω（第3题）（第11题）A BCMN（第12题）ABCB 1C 1A 1MN（第16题）10. 若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x x =，则不等式()e f x <-的解集为 ▲ ．11. 钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）．现将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为 ▲ ．12. 如图，在△ABC 中，点M 为边BC 的中点，且2AM =，点N 为线段AM 的中点，若74AB AC ⋅=，则NB NC ⋅的值为 ▲ ． 13. 已知正数x y ，满足11910x y x y +++=，则1x y+的最小值是 ▲ ． 14. 若方程有四个不同的实数根，且，则的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量1(sin 22x =，m ，1(3)22x =，n ，函数()f x =⋅m n ．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若//m n ，且(0,)2x π∈，求(4)f x 的值． 16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，已知，分别为线段，的中点，与所成角的大小为2|21|0x x t ---=1234,,,x x x x 1234x x x x <<<41322()()x x x x -+-111ABC A B C -M N 1BB 1A C MN 1AA90°，且．求证：（1）平面平面；（2）平面．17．（本小题满分14分）某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为1万元，每生产x （百套）的销售额（单位：万元）20.4 4.20.805()914.7 5.3x x x P x x x ⎧-+-<⎪=⎨->⎪-⎩≤，，，（1）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？（2）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润．（注：利润=销售额-成本，其中成本=设计费+生产成本）18．（本小题满分16分）已知在平面直角坐标系中，椭圆C ：，其短轴长为2．1MA MC =1A MC ⊥11A ACC //MN ABCxOy 22221(0)y x a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为，，且，，（为非零实数），求的值．19．（本小题满分16分）设数列{a n }的前n 项和为，且满足：．（1）若，求a 1的值；（2）若成等差数列，求数列{a n }的通项公式．20．（本小题满分16分）已知函数()e (1)xf x a x =-+，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；（2）已知0a >，b ∈R ，若()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，求ab 的最大值；（3）设()(e)g x a x =+，若存在0x ∈R ，使得00()()f x g x =成立，求a 的取值范围．1k 2k 1212k k =-AD DP λ=AE EQ μ=λμ，22λμ+n S ()()2*0n n n a S a p n p >=+∈∈N R ，，29p =123a a a ，，。

【试题】2020届江苏省南通市高三年级第三次高考全真经典冲刺模拟卷数学试题

2020届江苏省南通市高三年级第三次高考全真经典冲刺模拟卷数学试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．设集合A ＝{1，x }，B ＝{2，3，4}，若A I B ＝{4}，则x 的值为． 2．已知复数z 满足z i＝1＋i （i 为虚数单位），则复数z ﹣i 的模为．3．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30)的为一等品，在区间[20，25)和[30，35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为．第3题第5题4．幂函数2()f x x -=的单调增区间为．5．根据图中所示的伪代码，可知输出的结果S 为． 6．设实数x ，y 满足0121x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3x ＋2y 的最大值为．7．已知双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，且它的一个焦点在直线l 上，则双曲线C 的方程为．8．已知双曲线2214y x -=的左、右顶点为A 、B ，焦点在y 轴上的椭圆以A 、B 为顶点，且离心率为3，过A 作斜率为k 的直线交双曲线于另一点M ，交椭圆于另一点N ，若AN NM =u u u r u u u u r ，则k 的值为．9．已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-，若2()f α=，则cos(2)4πα-的值为．10．已知函数2()2x f x x +=+，x ∈R ，则2(2)(2)f x x f x -<-的解集是． 11．定义在[﹣1，1]上的函数()sin f x x ax b =-+(a ＞1)的值恒非负，则a ﹣b 的最大值为．12．在△ABC 中，若352115CA AB AB BC BC CA==⋅⋅⋅u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则cosC 的值为．13．若△ABC 中，AB ，BC ＝8，∠B ＝45°，D 为△ABC 所在平面内一点且满足(AB AD)(AC AD)4⋅⋅⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AD 长度的最小值为．14．已知偶函数()y f x =满足(2)(2)f x f x +=-，且在x ∈[﹣2，0]时，2()1f x x =-+，若存在1x ，2x ，…，n x 满足0≤1x ＜2x ＜…＜n x ，且1223()()()()f x f x f x f x -+-+1()()2017n n f x f x -+-=L ，则n x 最小值为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）已知函数()Asin()f x x ϕ=+(A ＞0，0＜ϕ＜π)的最小值是﹣2，其图象经过点M(3π，1)．（1）求()f x 的解析式；（2）已知α，β∈(0，2π)，且8()5f α=，24()13f β=，求()f αβ-的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，∠BAD ＝90°，AD ∥ BC ，AD ＝2BC ，AB ⊥PA ．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若E 为PD 的中点，求证：CE //平面PAB ．有一块以点O为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O百米的D点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D修一条笔直小路交草坪圆周于A，B两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA，OB，其中小路的宽度忽略不计．（1）若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；（2）若要在△ABO区域内（含边界）规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．（结果保留根号和π）18．（本小题满分16分）如图，点A，B，F分别为椭圆C：22221x ya b+=(a＞b＞0)的左、右顶点和右焦点，过点F的直线交椭圆C于点M，N．（1）若AF＝3，点F与椭圆C左准线的距离为5，求椭圆C的方程；（2）已知直线BN的斜率是直线MA斜率的2倍．①求椭圆C的离心率；②若椭圆C 的焦距为2，求△AMN面积的最大值．已知数列{}n a 的首项1a a =(a ＞0)，其前n 项和为n S ，设1n n n b a a +=+(n N *∈)．（1）若21a a =+，322a a =，且数列{}n b 是公差为3的等差数列，求2n S ；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足2n T n =．①求数列{}n a 的通项公式；②若对∀n N *∈，且n ≥2，不等式1(1)(1)2(1)n n a a n +--≥-恒成立，求a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数()ln kf x x x =，N k *∈，()1g x cx =-，c ∈R ．（1）当k ＝1时，①若曲线()y f x =与直线()y g x =相切，求c 的值；②若曲线y ()f x =与直线()y g x =有公共点，求c 的取值范围．（2）当k ≥2时，不等式2()()f x ax bx g x ≥+≥对于任意正实数x 恒成立，当c 取得最大值时，求a ，b 的值．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换已知点A 在变换T ：2 x x x y y y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦作用后，再绕原点逆时针旋转90° ，得到点B ．若点B 的坐标为(﹣3，4)，求点A 的坐标．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，设P 为曲线C ：ρ＝2上任意一点，求点P 到直线l ：sin()33πρθ-=的最大距离．C ．选修4—5：不等式选讲已知正数a ，b ，c 满足2a ＋3b ＋6c ＝2，求321a b c++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AB ⊥AC ，AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝3，D 是线段BC 的中点．（1）求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值；（2）求二面角B 1—A 1D —C 1的大小的余弦值．23．（本小题满分10分）（1）求证：11()k k n k n k kC n k C ----=-；（2）求证：100820170(1)120172017nn n n C n -=-=-∑．。

江苏省南通市2020高考数学二轮冲刺小练(2)

江苏南通2020高考数学二轮冲刺小练（2）班级学号姓名1．计算：2(1)i i += ．2．已知集合2{|23},{|2}A x x x B x x =-<=≤，则A B I = ．3．某中学部分学生参加市高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩（成绩都为整数，满分120分），并且绘制了“频数分布直方图”（如图），若90分以上（含90分）获奖，则该校参赛学生的获奖率为．4．若2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+= ．5．已知向量(0,1),(,),(1,3)OA OB k k OC ===u u u r u u u r u u u r ，若//AB AC u u u r u u u r ，则实数k = ．6．命题“2,2390x x ax ∃∈-+<R ”为假命题，则实数a 的取值范围为．7．已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >，,a b 为常数），若()f x 的图象如右图所示，则函数()x g x a b =+在区间[－1，1]上的最大值是． 8．若椭圆221(,0)x y m n m n+=>的离心率为12，一个焦点恰好是抛物线28y x =的焦点，则椭圆的标准方程为．9．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km （不超过3km 按起步价付费）；超过3km 但不超过8km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了 km.．10．已知函数()f x 的导函数()29f x x '=-，且(0)f 的值为整数，若当(,1]x n n ∈+*()n ∈N 时，()f x 的值为整数的个数有且只有1个，则n = ．11．已知函数2()1sin cos ,()cos ()12f x x x g x x π=+=+．（1）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求)(0x g 的值；（2）求使2()()()(0)[,]2233x x h x f g ωωππω=+>在区间-上是增函数的ω的最大值． 60 120 分数人数 2 4 5 6 7 812．已知数列{a n }的前n 项的和n S 满足23(*)n n S a n n =-∈N ．（1）求证：{a n +3}为等比数列，并求{a n }的通项公式；（2）数列{a n }是否存在三项，它们按原顺序可以构成等差数列？若存在，求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．。

2020年高考模拟江苏省南通市(3月份)高考数学模拟测试试卷含解析

2020年高考模拟（3月份）高考数学模拟试卷一、填空题1．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∪B＝．2．设复数z满足（2﹣i）z＝1+i（i为虚数单位），则复数z＝．3．某路口一红绿灯东西方向的红灯吋间为45s，黄灯吋间为3s，绿灯时间为60s，从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为．4．在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的，且第一组数据的频数为25，则样本容量为．5．如图是一个算法的流程图，则输出的k的值为．6．棱长均为2的正四棱锥的体积为．7．将函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位后，所得图象关于直线x＝π对称，则ω的最小值为．8．已知f（x）是定义在R上的偶函数．当x≥0时，f（x）＝，则不等式f（lnx）＜l的解集为．9．已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝6，若a1，a3，a7成等比数列，则S8的值为．10．若椭圆+＝1的焦点在x轴上，过点（1，）作圆x2+y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是．11．已知函数f（x）＝mlnx图象与函数g（x）＝2图象在交点处切线方程相同，则m的值为12．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y＝mx与曲线f（x）＝2x3+x从左到右依次交A、B、C三点，若直线l2：y＝kx+2上存在P满足||＝1，则实数k的取值范围是．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2＝1，圆C：（x﹣4）2+y2＝4，动点P在直线x+y﹣2＝0上的两点E，F之间，过点P分别作圆O，C的切线，切点为A，B，若满足PB≥2PA，则线段EF的长度为．14．若△ABC中，AB＝，BC＝8，∠B＝45°，D为△ABC所在平面内一点且满足（），则AD长度的最小值为．二、解答题15．如图，在△ABC中，a，b，c为A，B，C所对的边，CD⊥AB于D，且．（1）求证：sin C＝2sin（A﹣B）；（2）若，求tan C的值．16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知M，N分别为线段BB1，A1C的中点，MN⊥AA1，且MA1＝MC．求证：（1）平面A1MC⊥平面A1ACC1．（2）MN∥平面ABC．17．已知点O为坐标原点，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，点I，J分别是椭圆C的右顶点、上顶点，且△IOJ的边IJ上的中线长为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点H（﹣2，0）的直线交椭圆C于A，B两点，若AF1⊥BF1，求直线AB的方程．18．（16分）某校有一块圆心O，为半径为200米，圆心角为的扇形绿地OPQ，半径OP，OQ的中点分别为M，N，A为弧PQ上的一点，设∠AOQ＝α，如图所示，拟准备两套方案对该绿地再利用．．（1）方案一：将四边形绿地OMAN建成观赏鱼池，其面积记为S1，试将S1表示为关于α的函数关系式；并求α为何值时，S1取得最大？（2）方案二：将弧AQ和线段AN，NQ围成区域建成活动场地，其面积记为S2，试将S2表示为关于α的函数关系式；并求α为何值时，S2取得最大？19．（16分）已知正项数列{a n}，其前n项和为S n，满足2S n＝a n2+a n，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）如果对任意正整数n，不等式﹣＞都成立，求证：实数c的最大值为1．20．（16分）已知函数f（x）＝（其中a，b∈R）．（1）当a＝1时，若函数y＝f（x）在[0，+∞）上单调递减，求b的取值范围；（2）当b＝1，a≠0时，①求函数y＝f（x）的极值；②设函数y＝f（x）图象上任意一点处的切线为l，求l在x轴上的截距的取值范围．【选做题】本题包括21、22、23三个小题，请选定其中两个小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）21．已知矩阵A的逆矩阵A﹣1＝．求矩阵A的特征值和相应的特征向量．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）22．在极坐标系中，已知圆C的圆心极坐标为（2，），且圆C经过极点，求圆C的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a，b，c为正实数，+++27abc的最小值为m．24．把编号为1，2，3，4，5的五个大小、形状相同的小球，随机放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里．每个盒子里放入一个小球．（1）求恰有两个球的编号与盒子的编号相同的概率；（2）设小球的编号与盒子编号相同的情况有X种，求随机变量X的分布列与期望．25．设P（n，m）＝（﹣1）k，Q（n，m）＝，其中m，n∈N*．（1）当m＝1时，求P（n，1），Q（n，1）的值；（2）对∀x∈N+，证明：P（n，m）•Q（n，m）恒为定值．参考答案一、填空题1．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∪B＝（0，+∞）．解：∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＞1}；∴A∪B＝（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．2．设复数z满足（2﹣i）z＝1+i（i为虚数单位），则复数z＝i．解：由（2﹣i）z＝1+i，得：．故答案为．3．某路口一红绿灯东西方向的红灯吋间为45s，黄灯吋间为3s，绿灯时间为60s，从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为．解：某路口一红绿灯东西方向的红灯吋间为45s，黄灯吋间为3s，绿灯时间为60s，∴从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为p＝＝．故答案为：．4．在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的，且第一组数据的频数为25，则样本容量为150．解：设第一个小矩形面积为x，由6x＝1，得x＝，∴样本容量为25×6＝150．故答案为：150．5．如图是一个算法的流程图，则输出的k的值为7．解：在执行循环前：K＝1，S＝1，执行第一次循环时：S＝1，K＝3，执行第二次循环时，S＝3，K＝5，执行第三次循环时，S＝15，K＝7．由于：S＞10，输出K＝7，故答案为：76．棱长均为2的正四棱锥的体积为．【解答】解设正四棱锥的底面中心为O，连结OP，则PO⊥底面ABCD．∵底面四边形ABCD是正方形，AB＝2，∴AO＝．∴OP＝＝．∴正四棱锥的体积V＝＝＝．故答案为：．7．将函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位后，所得图象关于直线x＝π对称，则ω的最小值为．解：将函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位后，可得函数y ＝sin（ωx+﹣）的图象；再根据所得图象关于直线x＝π对称，可得ωπ+﹣＝kπ+，k∈Z，∴当k＝0时，ω取得最小值为，故答案为：．8．已知f（x）是定义在R上的偶函数．当x≥0时，f（x）＝，则不等式f（lnx）＜l的解集为（，e4）．解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴不等式f（lnx）＜l等价为f（|lnx|）＜l，当x≥0时，f（x）＝＝＝2﹣，则函数f（x）为增函数，由f（x）＝＝1，得x＝4，即f（4）＝1，则不等式f（|lnx|）＜l等价为f（|lnx|）＜f（4），则|lnx|＜4，即﹣4＜lnx＜4，即＜x＜e4，即不等式的解集为（，e4），故答案为：（，e4）9．已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝6，若a1，a3，a7成等比数列，则S8的值为88．解：设公差不为零的等差数列{a n}的公差为d，∵a2＝6，a1，a3，a7成等比数列，∴a1+d＝6，＝a1a7，即，d≠0．解得a1＝4，d＝2．则S8＝＝88．故答案为：88．10．若椭圆+＝1的焦点在x轴上，过点（1，）作圆x2+y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是．解：设过点（1，）的圆x2+y2＝1的切线为l：y﹣＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+＝0①当直线l与x轴垂直时，k不存在，直线方程为x＝1，恰好与圆x2+y2＝1相切于点A（1，0）；②当直线l与x轴不垂直时，原点到直线l的距离为：d＝＝1，解之得k＝﹣，此时直线l的方程为y＝﹣x+，l切圆x2+y2＝1相切于点B（，）；因此，直线AB斜率为k1＝＝﹣2，直线AB方程为y＝﹣2（x﹣1）∴直线AB交x轴交于点A（1，0），交y轴于点C（0，2）．椭圆+＝1的右焦点为（1，0），上顶点为（0，2）∴c＝1，b＝2，可得a2＝b2+c2＝5，椭圆方程为故答案为：．11．已知函数f（x）＝mlnx图象与函数g（x）＝2图象在交点处切线方程相同，则m的值为e解：设函数f（x）和g（x）的交点为（x0，y0），则由f（x）＝mlnx，得，∴f（x）在（x0，y0）处的切线方程的斜率，同理，函数g（x）在（x0，y0）处的切线方程的斜率，∵f（x）和g（x）在交点处切线方程相同，∴k1＝k2，即①，又y0＝f（x0）＝mlnx0②，③，由①②③解得，m＝e．故答案为：e．12．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y＝mx与曲线f（x）＝2x3+x从左到右依次交A、B、C三点，若直线l2：y＝kx+2上存在P满足||＝1，则实数k的取值范围是k≥或k≤﹣．解：y＝mx与曲线f（x）＝2x3+x，可得它们的图象关于原点对称，即有A，C关于原点对称，由||＝1，结合平行四边形法则可得||＝1，且PD以O为中点，即有|OP|＝，由直线y＝kx+2与圆x2+y2＝有交点，即有≤，解得k≥或k≤﹣．故答案为：k≥或k≤﹣．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2＝1，圆C：（x﹣4）2+y2＝4，动点P在直线x+y﹣2＝0上的两点E，F之间，过点P分别作圆O，C的切线，切点为A，B，若满足PB≥2PA，则线段EF的长度为．解：如图，圆O：x2+y2＝1的圆心为O（0，0），半径为1，圆C：（x﹣4）2+y2＝4的余弦为C（4，0），半径为2．设P（x，y），由PB≥2PA，得PB2≥4PA2，即PC2﹣4≥4（PO2﹣1），∴（x﹣4）2+y2﹣4≥4（x2+y2﹣1），整理得：3x2+3y2+8x﹣16≤0．又x+y﹣2＝0，∴x2+x﹣3≤0，即＝．∴|EF|＝|x1﹣x2|＝．故答案为：．14．若△ABC中，AB＝，BC＝8，∠B＝45°，D为△ABC所在平面内一点且满足（），则AD长度的最小值为．解：建立如图的平面坐标系如图，则B（﹣1，﹣1），C（7，﹣1），设D（x，y），则＝（﹣1，﹣1），＝（7，﹣1），则＝（x，y），∴＝﹣x﹣y，＝7x﹣y，∵（），∴（﹣x﹣y）（7x﹣y）＝4，即（x+y）（y﹣7x）＝4，设得mn＝4，且，则|AD|＝＝＝≥＝＝＝＝，当且仅当50m2＝2n2，即5m＝n时取等号，即AD长度的最小值为，故答案为：二、解答题：共6小题，15-17每小题14分，18-20每小题14分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15．如图，在△ABC中，a，b，c为A，B，C所对的边，CD⊥AB于D，且．（1）求证：sin C＝2sin（A﹣B）；（2）若，求tan C的值．解：（1）∵．且BD+AD＝c，∴BD＝c，AD＝c，∵，CD⊥AB∴在直角三角形ACD中，tan A＝，在直角三角形BCD中，tan B＝，则＝＝3，即tan A＝3tan B，则＝，即sin A cos B＝3cos A sin B，则sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝sin A cos B+cos A sin B+sin A cos B﹣3cos A sin B ＝2sin A cos B﹣2cos A sin B＝2sin（A﹣B），（2）∵，∴sin A＝，则tan A＝，tan B＝，则tan C＝﹣tan（A+B）＝﹣＝﹣＝﹣．16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知M，N分别为线段BB1，A1C的中点，MN⊥AA1，且MA1＝MC．求证：（1）平面A1MC⊥平面A1ACC1．（2）MN∥平面ABC．【解答】证明：（1）∵MA1＝MC，且N是A1C的中点，∴MN⊥A1C，又MN⊥AA1，AA1∩A1C＝A1，A1C，AA1⊂平面A1ACC1，∴MN⊥平面A1ACC1，∵MN⊂平面A1MC，∴平面A1MC⊥平面A1ACC1．（2）取AC中点P，连结NP，BP，∵N是A1C中点，P为AC中点，∴PN∥AA1，且BB1＝AA1，又M为BB1中点，∴BM∥AA1，且BM＝AA1，∴PN∥BM，且PN＝BM，∴四边形PNMB是平行四边形，∴MN∥BP，∵MN⊄平面ABC，BP⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC．17．已知点O为坐标原点，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，点I，J分别是椭圆C的右顶点、上顶点，且△IOJ的边IJ上的中线长为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点H（﹣2，0）的直线交椭圆C于A，B两点，若AF1⊥BF1，求直线AB的方程．解：（Ⅰ）由题意可得：＝，a2＝b2+c2，＝，联立解得：a2＝2，b＝c＝1．∴椭圆C的标准方程为：+y2＝1．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），过点H（﹣2，0）的直线方程为x＝ky﹣2，代入椭圆方程中，消x可得（k2+2）y2﹣4ky+2＝0则△＝16k2﹣8（k2+2）＞0，解得k＞或k＜﹣2，∴y1+y2＝，y1y2＝，∴x1x2＝（ky1﹣2）（ky2﹣2）＝k2y1y2﹣2k（y1+y2）+4，x1+x2＝k（y1+y2）﹣4，∵AF1⊥BF1，∴•＝0，∴（x1+1）（x2+1）+y1y2＝x1x2+（x1+x2）+1+y1y2＝k2y1y2﹣2k（y1+y2）+4+k（y1+y2）﹣4+1+y1y2＝（1+k2）y1y2﹣k（y1+y2）+1＝0即﹣+1＝0，解得k＝±2，故直线AB的方程的方程为x＝±2y﹣2，即x±2y+2＝018．（16分）某校有一块圆心O，为半径为200米，圆心角为的扇形绿地OPQ，半径OP，OQ的中点分别为M，N，A为弧PQ上的一点，设∠AOQ＝α，如图所示，拟准备两套方案对该绿地再利用．．（1）方案一：将四边形绿地OMAN建成观赏鱼池，其面积记为S1，试将S1表示为关于α的函数关系式；并求α为何值时，S1取得最大？（2）方案二：将弧AQ和线段AN，NQ围成区域建成活动场地，其面积记为S2，试将S2表示为关于α的函数关系式；并求α为何值时，S2取得最大？解：（1）由已知，∠AOQ＝α，，S1＝S△OAN+S△OAM；故S1＝×100×200sinα+×100×200sin（﹣α）＝10000（sinα+cosα+sinα）＝10000（sinα+cosα），整理得（平方米），∴当时，（平方米）．（2）由已知，S2＝S扇形AOQ﹣S△ONA，∴，即S2＝10000（2α﹣sinα）；∴S'2（α）＝10000（2﹣cosα），故S'2（α）＞0；∴S2（α）在上为增函数，∴当时，（平方米）．19．（16分）已知正项数列{a n}，其前n项和为S n，满足2S n＝a n2+a n，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）如果对任意正整数n，不等式﹣＞都成立，求证：实数c的最大值为1．【解答】（1）解：由题意，当n＝1时，2a1＝，解得a1＝0（舍去），或a1＝1．由，可得，两式相减，可得，即，整理，得（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）＝0，∵数列{a n}各项均为正数，∴a n+1﹣a n﹣1＝0，即a n+1﹣a n＝1．∴数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，∴数列{a n}的通项公式为a n＝n，n∈N*．（2）证明：由题意，对任意正整数n，不等式﹣＞都成立，可等价转化为，对任意正整数n，不等式•（﹣）＞c都成立．∵，∴c的最大值为1≤c max＜•（﹣）．另一方面，当任取实数a＞1时，＝．①当a≥2时，对任意的正整数n，都有；②当1＜a＜2时，只要，即（2﹣a）2（n+2）＜a2n，也就是时，就有．∴满足条件的c≤1，从而c max≤1．综上所述，可得c的最大值为1．20．（16分）已知函数f（x）＝（其中a，b∈R）．（1）当a＝1时，若函数y＝f（x）在[0，+∞）上单调递减，求b的取值范围；（2）当b＝1，a≠0时，①求函数y＝f（x）的极值；②设函数y＝f（x）图象上任意一点处的切线为l，求l在x轴上的截距的取值范围．解：（1）a＝1时，的导函数，∴由题意知对任意x∈（0，+∞）有，即﹣x+1+b≤0，∴b≤（x﹣1）min，即b≤﹣1；（2）b＝1时，的导函数，①（i）当a＞0时，有；，∴函数y＝f（x）在单调递增，单调递减，∴函数y＝f（x）在取得极大值，没有极小值．（ii）当a＜0时，有；，∴函数y＝f（x）在单调递减，单调递增，∴函数y＝f（x）在取得极小值，没有极大值．综上可知：当a＞0时，函数y＝f（x）在取得极大值，没有极小值；当a＜0时，函数y＝f（x）在取得极小值，没有极大值，②设切点为，则曲线在点T处的切线l方程为，当时，切线l的方程为，其在x轴上的截距不存在，当时，∴令y＝0，得切线l在x轴上的截距为：∴当时，，当时，，∴当切线l在x轴上的截距范围是．【选做题】本题包括21、22、23三个小题，请选定其中两个小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）21．已知矩阵A的逆矩阵A﹣1＝．求矩阵A的特征值和相应的特征向量．解：由，得，由特征多项式＝（λ﹣1）2﹣4＝0，得λ1＝3，λ2＝﹣1，所以特征值λ1＝3对应的特征向量，特征值λ2＝﹣1对应的特征向量．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）22．在极坐标系中，已知圆C的圆心极坐标为（2，），且圆C经过极点，求圆C的极坐标方程．解：方法一设圆C上任意一点的极坐标P（ρ，θ），过OC的直径的另一端点为B，连接PO，PB．则在直角三角形OPB中，．所以，即为圆C的极坐标方程．方法二的直角坐标为（），半径，所以圆C的直角坐标方程为，即，故圆C的极坐标方程为，即．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a，b，c为正实数，+++27abc的最小值为m．解：根据题意，a，b，c为正实数，则＝，当且仅当时，取“＝”，故+++27abc的最小值为18；所以m＝18．24．把编号为1，2，3，4，5的五个大小、形状相同的小球，随机放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里．每个盒子里放入一个小球．（1）求恰有两个球的编号与盒子的编号相同的概率；（2）设小球的编号与盒子编号相同的情况有X种，求随机变量X的分布列与期望．解：（1）记恰有2个小球与盒子编号相同为事件A，将5个小球随机放入五个盒子中，每个盒子放一个共有即120种不同的放法，事件A 共有×2＝20种放法，∴，答：恰有2个盒子与小球编号相同的概率为．（2）随机变量X的可能值为0，1，2，3，5．，，，．可得分布列：x01235P∴．25．设P（n，m）＝（﹣1）k，Q（n，m）＝，其中m，n∈N*．（1）当m＝1时，求P（n，1），Q（n，1）的值；（2）对∀x∈N+，证明：P（n，m）•Q（n，m）恒为定值．解：（1）当m＝1时，，；（2）＝＝＝＝＝，即，由累乘，易求得，又，所以P（n，m）•Q（n，m）＝1为定值．。

2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷(二)(有解析)

2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷(二)一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={x|x<3}，集合B={x|x<m}，且A⊆B，则实数m满足的条件是______．2.已知复数z满足|z|−z.=2−4i，则z=______ ．3.已知高二年级共有1500名学生，其中文科生600名，理科生900名．现采用分层抽样的方法抽取25名学生，则需要从文科生中抽取学生人数为________．4.一算法的流程图如图所示，则输出S为______ ．+√3−x的定义域为______ ．5.函数f(x)=11−x26.编号为1，2，3，4的四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个不同的盒子中，每个盒子放一个球，则其中至多有一个球的编号与盒子的编号相同的概率为___________．7.已知y=f(x)是偶函数，且f(x)=g(x)−2x，g(3)=3，则g(−3)=______．8.已知双曲线C1：x2−y2=1，若抛物线C2：x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离3为1，则抛物线C2的方程为______．9.已知{a n}是等差数列，a4+a7+a10=15，则其前13项和S13=______．10.已知sinθ=4，sinθ−cosθ>1，则sin2θ=_________．511.若圆锥底面半径为1，高为√3，则其侧面积为______．12.已知圆O：x2+y2=1，圆M：(x−a)2+(y−2)2=2.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围为______．13.已知a⃗是平面内的单位向量，若向量b⃗ 满足b⃗ ·(a⃗−b⃗ )=0，则|b⃗ |的取值范围是________．14.已知函数f(x)=e x−1+x−2(e为自然对数的底数).g(x)=x2−ax−a+3.若存在实数x1，x2，使得f(x1)=g(x2)=0.且|x1−x2|≤1，则实数a的取值范围是______．二、解答题（本大题共10小题，共130.0分）15.已知△ABC的内角A、B的对边分别为a、b，A=45°，cosC=3．5(Ⅰ)求sin B；(Ⅱ)若a+b=12，求△ABC的面积．16.如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，且BC=2AD，AD⊥CD，PB⊥CD，点E在棱PD上，且PE=2ED．(1)求证：平面PCD⊥平面PBC；(2)求证：PB//平面AEC．17.如图，PQ为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ相切，记其圆心为O，切点为G.为参观方便，现新修建两条道路CA、CB，分别与圆O相切于D、E两点，同时与PQ 分别交于A、B两点，其中C、O、G三点共线且满足CA=CB，记道路CA、CB长之和为L．(1)①设∠ACO=θ，求出L关于θ的函数关系式L(θ)；②设AB=2x米，求出L关于x的函数关系式L(x)．(2)若新建道路每米造价一定，请选择(1)中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少．18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是√22，且过点P(√2,1).直线y=√22x+m与椭圆C相交于A，B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)求△PAB的面积的最大值；(3)设直线PA，PB分别与y轴交于点M，N.判断|PM|，|PN|的大小关系，并加以证明．19.已知数列{a n}的前n项和S n，S n=3a n−1．2(1)求a n；(2)若b n=(n−1)a n，且数列{b n}的前n项和为T n，求T n．20.函数f(x)=xlnx−ax+1在点A(1,f(1))处的切线斜率为−2．(1)求实数a的值；(2)求f(x)的单调区间．21.已知矩阵A=[12−1x]的一个特征值为2，求矩阵A的逆矩阵．22.在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ(a>0)，直线l：ρcos(θ−π3)=32，C与l有且只有一个公共点，求a．23.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点D(2,y0)在抛物线C上，且|DF|=3，直线y=x−1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．(1)求抛物线C的方程；(2)求△OAB的面积．24.某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．【答案与解析】1.答案：m ≥3,解析：本题考查子集，关键是明确集合端点值间的关系，是基础题．解：∵A ={x|x <3}，集合B ={x|x <m }，A ⊆B∴m ≥3,故答案为m ≥3,2.答案：3−4i解析：解：设z =a +bi(a,b ∈R)，∵|z|−z .=2−4i ，∴√a 2+b 2−(a −bi)=2−4i ，∴√a 2+b 2−a =2，b =−4，解得b =−4，a =3．则z =3−4i ．故答案为：3−4i ．设z =a +bi(a,b ∈R)，|z|−z .=2−4i ，可得√a 2+b 2−(a −bi)=2−4i ，可得√a 2+b 2−a =2，b =−4，解出即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.答案：10解析：本题主要考查分层抽样的应用，利用分层抽样的定义建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．根据分层抽样的定义，即可得到结论．解：设从文科生中抽取学生人数为x ，则x 25=6001500，解得：x =10,故从文科生中抽取学生人数为10人，故答案为10．4.答案：12解析：初始条件：i =1，s =1；判断1<10，成立，1次循环：i =4，s =5；判断4<10，成立，2次循环：i =7，s =12；判断12<10，不成立，输出S =12．故填空：12．按流程线方向演算出赋值的结果，判断是否符合终止条件，若符合，则循环；若不符合，则输出最后算出的S 的值．考查了算法程序框图，循环结构，赋值语句，属于基础题．5.答案：{x|x ≤3且x ≠±1}解析：解：要使函数有意义，则{1−x 2≠03−x ≥0，即{x ≠±1x ≤3，即函数的定义域为{x|x ≤3且x ≠±1}，故答案为：{x|x ≤3且x ≠±1}根据函数成立的条件即可求函数的定义域．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．6.答案：1724解析：本题考查了概率问题，算出总的情况，再计算出至多有一个球的编号与盒子的编号相同的情况，即可得出答案．解：不考虑任何条件限制，放法总数为24种．恰由一个球的号码与盒子号码相同，其放法有8种．没有球的号码与盒子号码相同，其放法总数有9种，故P=8+924=1724．故答案为1724．7.答案：−9解析：本题考查了函数的奇偶性，考查了学生的分析与计算能力，属于基础题．可得f(−3)=g(−3)+6，f(3)=g(3)−6，又f(−3)=f(−3)，g(3)=3，则g(−3)=−9．解：∵y=f(x)是偶函数，且f(x)=g(x)−2x，∴f(−3)=g(−3)+6，f(3)=g(3)−6又f(−3)=f(−3)，g(3)=3，则g(−3)=−9．故答案为：−9．8.答案：x2=8y解析：本题考查抛物线与双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．求出双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．解：双曲线C1：x2−y23=1，的渐近线：√3x±y=0，抛物线的焦点坐标为：(0,p2)，抛物线C2：x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，可得：p2√1+3=1，解得p=4，抛物线C2：x2=8y．故答案为：x2=8y．9.答案：65解析：解：{a n}是等差数列，a4+a7+a10=15，∴3a7=15，∴a7=5，∴S13=a7×13=65故答案为：65根据等差数列的性质，以及数列前n项和的公式即可求解．本题主要考查了等差数列的求和公式及等差数列的性质的应用，属于基础试题．10.答案：−2425解析：本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式及应用，属于基础题．由题意cosθ<0，利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式求解．解：因为sinθ=4，sinθ−cosθ>1，5所以cosθ<0，则cosθ=−√1−sin2θ=−3，5．则sin2θ=2sinθcosθ=−2425．故答案为−242511.答案：2π解析：解：圆锥的高位√3，底面半径为1，所以圆锥的母线为：2，×2π×2=2π圆锥的侧面积：12故答案为：2π．先求圆锥的母线，然后直接利用圆锥侧面积公式求解即可．本题考查圆锥的侧面积公式，是基础题．12.答案：[−2,2]解析：解：根据题意，圆O：x2+y2=1，若过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，若OA⊥PA，OB⊥PB，又由PA⊥PB，则四边形OAPB为正方形，则|OP|=√2，则P的轨迹是以O为圆心，半径r=√2的圆，其方程为x2+y2=2；若圆M上存在这样的点P，则圆M与x2+y2=2有公共点，则有√2−√2≤√a2+4≤√2+√2，解可得：−2≤a≤2，即a的取值范围为[−2,2]；故答案为：[−2,2]．根据题意，由圆的切线性质分析可得四边形OAPB为正方形，则|OP|=√2，据此分析可得P的轨迹是以O为圆心，半径r=√2的圆，其方程为x2+y2=2；进而可得若圆M上存在这样的点P，则圆M与x2+y2=2有公共点，则有√2−√2≤√a2+4≤√2+√2，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查圆的方程的应用，涉及圆与圆的位置关系，关键是分析P的轨迹．13.答案：[0,1]解析：本题考查了向量的数量积，属于基础题．设a⃗与b⃗ 的夹角θ，(0≤θ≤π)，由题意得a⃗·b⃗ −b⃗ 2=|a⃗||b⃗ |cosθ−|b⃗ |2=0，所以|b⃗ |=cosθ即可求解．解：设a⃗与b⃗ 的夹角θ，(0≤θ≤π)，∵b⃗ ·(a⃗−b⃗ )=0，∴a⃗·b⃗ −b⃗ 2=|a⃗||b⃗ |cosθ−|b⃗ |2=0，∵|a⃗|=1∴|b⃗ |=cosθ∴|b⃗ |∈[0,1]．故答案为[0,1]．14.答案：[2,3]解析：解：函数f(x)=e x−1+x−2的导数为f′(x)=e x−1+1>0，f(x)在R上递增，由f(1)=0，可得f(x1)=0，解得x1=1，存在实数x1，x2，使得f(x1)=g(x2)=0.且|x1−x2|≤1，即为g(x2)=0且|1−x2|≤1，即x2−ax−a+3=0在0≤x≤2有解，即有a=x2+3x+1=(x+1)+4x+1−2在0≤x≤2有解，令t=x+1(1≤t≤3)，则t+4t−2在[1,2]递减，[2,3]递增，可得最小值为2，最大值为3，则a的取值范围是[2,3]．故答案为：[2,3]．求出函数f(x)的导数，可得f(x)递增，解得f(x)=0的解为1，由题意可得x2−ax−a+3=0在0≤x≤2有解，即有a=x2+3x+1=(x+1)+4x+1−2在0≤x≤2有解，求得(x+1)+4x+1−2的范围，即可得到a的范围．本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查参数分离法和运算能力，属于中档题．15.答案：解：(Ⅰ)∵在△ABC中，cosC=35，∴sinC=√1−cos2C=45，∵B=180°−(A+C)，A=45°，∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=√22×35+√22×45=7√210；(Ⅱ)∵sinA=√22，sinB=7√210，∴由正弦定理asinA =bsinB得：ab=sinAsinB=√227√210=57，即7a=5b①，又a+b=12②，联立①②解得：a=5，b=7，则S△ABC=12absinC=12×5×7×45=14.解析：(Ⅰ)由C为三角形的内角及cos C的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin C的值，由诱导公式及三角形的内角和定理得到sinB=sin(A+C)，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出sin B的值；(Ⅱ)由sin A和sin B的值，利用正弦定理得出a与b的关系式7a=5b，与已知的a+b=12联立求出a与b的值，再由a，b及sin C的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，正弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．16.答案：证明：(1)∵AD//BC，AD⊥CD，∴CD⊥BC，又CD⊥PB，BC⊂平面PBC，PB⊂平面PBC，BC∩PB=B，∴CD⊥平面PBC，又CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PBC．(2)连结BD交AC于O，连结EO．∵AD//BC，∴△AOD∽△COB，∴DOOB =ADBC=12，又PE=2ED，即DEPE =12，∴OE//PB，∵OE⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，∴PB//平面AEC．解析：(1)由CD⊥BC，CD⊥PB得出CD⊥平面PBC，故而平面PCD⊥平面PBC；(2)连结BD交AC于O，连结EO.利用三角形相似得出ODOB =DEPE=12，从而得到OE//PB，得出结论．本题考查了线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．17.答案：解：(1)①在中，，所以，所以，在中，所以其中θ∈(0,π2)②设AC=y，则在RtΔAGC中CG=√y2−x2，由RtΔCDO与RtΔAGC相似得，COCA =ODAG，即√y2−x2−20y=20x，即x√y2−x2−20x=20y，即x√y2−x2=20(x+y)，即x√y−x=20√x+y即x2(y−x)= 400(x+y)，化简得CA=y=x3+400xx2−400，其中x∈(20,+∞)(2)选择(1)中的第一个函数关系式研究．令L′(θ)=0，得sinθ=√5−12．令sinθ0=√5−12，当θ∈(0,θ0)时，L′(θ)<0，所以L(θ)递减；当θ∈(θ0,π2)时，L′(θ)>0，所以L(θ)递增，所以当sinθ=√5−12时，L(θ)取得最小值，新建道路何时造价也最少．解析：本题考查函数的模型的应用，以及利用导数求实际问题，属于中档题．(1)根据已知条件可得对应的关系，然后利用相似求出解析式；(2)利用求导，结合单调性和定义域求出最值．18.答案：解：(Ⅰ)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的半焦距为c ，由椭圆C 的离心率是e =ca=√1−b 2a 2=√22，即a 2=2b 2，将点P(√2,1)代入椭圆方程：x 22b 2+y 2b 2=1. 解得{a 2=4b 2=2， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1；(Ⅱ)由{y =√22x +mx 24+y 22=1，消去y ，整理得x 2+√2mx +m 2−2=0．令△=2m 2−4(m 2−2)>0，解得−2<m <2．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−√2m ，x 1x 2=m 2−2．∴丨AB 丨=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√3⋅√4−m 2，点P(√2,1)到直线x −√2y +√2m =0的距离为d =√2−√2+√2m √1+(√2)2=√2丨√3．∴△PAB 的面积S =12丨AB 丨⋅d =√22丨m 丨⋅√4−m 2，=√22√−(m 2−2)2+4≤√2，当且仅当m =±√2时，S =√2，此时满足△>0，则△PAB 的面积的最大值√2； (Ⅲ)丨PM 丨=丨PN 丨．证明如下：设直线PA ，PB 的斜率分别是k 1，k 1，则k 1+k 2=y 1−1x −√2+y 2−1x −√2=(y 1−1)(x 2−√2)+(y 2−1)(x 1−√2)(x −√2)(x −√2)，由(Ⅱ)得(y 1−1)(x 2−√2)+(y 2−1)(x 1−√2)=(√22x 1+m −1)(x 2−√2)+(√22x 1+m −1)(x 1−√2) =√2x 1x 2+(m −2)(x 1+x 2)−2√2(m −1)=√2(m 2−2)+(m −2)(−√2m)−2√2(m −1)=0， ∴直线PA ，PB 的倾斜角互补． ∴∠1=∠2， ∴∠PMN =∠PNM ．∴丨PM丨=丨PN丨．解析：略19.答案：解：(1)由已知可得，2S n=3a n−1，①所以2S n−1=3a n−1−1(n≥2)，②①−②得，2(S n−S n−1)=3a n−3a n−1，化简为a n=3a n−1(n≥2)，即a na n−1=3(n≥2)，在①中，令n=1可得，a1=1，所以数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，从而有a n=3n−1．(2)b n=(n−1)⋅3n−1，T n=0⋅30+1⋅31+2⋅32+⋯+(n−1)⋅3n−1，③则3T n=0⋅31+1⋅32+2⋅33+⋯+(n−1)⋅3n.④③−④得，−2T n=31+32+33+⋯+3n−1−(n−1)⋅3n，=3−3n1−3−(n−1)⋅3n=(3−2n)⋅3n−32．所以，T n=(2n−3)⋅3n+34．解析：(1)由已知可得2(S n−S n−1)=3a n−3a n−1，推出数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，然后求解通项公式．(2)b n=(n−1)⋅3n−1，利用错位相减法，转化求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力．20.答案：解：(1)∵f(x)=xln x−ax+1，∴f′(x)=lnx+1−a，∴函数f(x)=xln x−ax+1在点A(1,f(1))处的切线斜率为k=f′(1)=1−a=−2，解得a=3;(2)由(1)可得f(x)=xlnx−3x+1,x∈(0,+∞)，故f′(x)=lnx−2,x∈(0,+∞)，令f′(x )>0得x >e 2，令f′(x )<0得0<x <e 2，故f (x )的增区间为(e 2,+∞)，减区间为(0,e 2)．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性和利用导数研究曲线上某点切线方程，是基础题． (1)求出函数的导数，利用导函数值与斜率的关系，即可求出a 的值;(2)求出f(x)的解析式，得到函数的导数，解关于导函数的不等式，求出单调区间即可．21.答案：解：矩阵A 的特征多项式为f(λ)=|λ−1−21λ−x|=(λ−1)(λ−x)+2，因为λ1=2是方程f(λ)=0的一个根，所以x =4，故A =[12−14]．设矩阵A 的逆矩阵为A −1=[abcd ]，则[12−14][a bcd]=[1001]，即{a +2c =1,b +2d =0−a +c =0,−b +4d =1,，解得所以矩阵A 的逆矩阵A −1=[23−131616]．解析：本题考查矩阵的特征值以及逆矩阵的计算，属于基础题．矩阵A 的特征多项式为f(λ)=|λ−1−21λ−x|，由2是一个特征值，可知f(2)=0，从而可求得x =4，先计算矩阵对应的行列式的值，再利用逆矩阵的公式即可求出答案．22.答案：解：曲线C ：ρ=2acosθ(a >0)，即ρ2=2aρcosθ(a >0)，∴x 2+y 2=2ax ，配方可得：C 的直角坐标方程为(x −a)2+y 2=a 2．直线l ：ρcos(θ−π3)=32，展开为12ρcosθ+√32ρsinθ=32，可得直角坐标方程：x +√3y −3=0．由直线与圆相切可得：|a−3|2=a ，a >0．解得：a =1．解析：把极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的充要条件即可得出．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.答案：解：(1)根据题意，D(2,y 0)在抛物线y 2=2px 上且|DF|=3，由抛物线定义得2+p2=3，∴p =2 故抛物线的方程为y 2=4x ；(2)由方程组{y =x −1y 2=4x ，消去y 得x 2−6x +1=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=6； ∵直线y =x −1过抛物线y 2=4x 的焦点F ，∴|AB|=x 1+x 2+p =6+2=8又O 到直线y =x −1的距离d =√22，∴△ABO 的面积S =12|AB|d =2√2．解析：(1)根据题意，由抛物线的定义，可得2+p2=3，解可得p =2，代入标准方程，即可得答案； (2)联立直线与抛物线的方程，消去y 得x 2−6x +1=0，进而设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由一元二次方程根与系数的关系可得x 1+x 2=6，结合抛物线的几何性质，可得|AB|的长，由点到直线距离公式可得O 到直线y =x −1，进而由三角形面积公式计算可得答案．本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与抛物线的位置关系，关键是利用抛物线的几何性质求出其标准方程．24.答案：解：(1)两次记录的数为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(3,3)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，满足xy ≤3，有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，共5个， ∴小亮获得玩具的概率为516；(2)小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率；理由如下：满足xy ≥8，(2,4)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(3,3)，(4,4)共6个，∴小亮获得水杯的概率为6；16小亮获得饮料的概率为，∴小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．解析：本题考查古典概型的计算和应用．(1)利用列举法求出基本事件的总数，然后求出满足xy≤3的基本事件的个数，然后由古典概型的概率计算公式即可求解；(2)求出满足xy≥8的基本事件的个数，求出小亮获得水杯的概率与获得饮料的概率，即可得出结论．。

江苏省南通市2020届高三数学下学期二模考前综合练习试题含解析

江苏省南通市2020届高三数学下学期二模考前综合练习试题（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.记复数z ＝a +bi （i 为虚数单位）的共轭复数为()z a bi a b R =-∈，，已知z ＝2+i ，则2z =_____．【答案】3﹣4i 【解析】【分析】计算得到z 2＝（2+i ）2＝3+4i ，再计算2z 得到答案. 【详解】∵z ＝2+i ，∴z 2＝（2+i ）2＝3+4i ，则234z i =-．故答案为：3﹣4i ．【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，意在考查学生的计算能力. 2.已知集合U ＝{1,3,5,9}，A ＝{1,3,9}，B ＝{1,9}，则∁U (A∪B)＝________. 【答案】{5} 【解析】易得A∪B＝A ＝{1,3,9}，则∁U (A∪B)＝{5}．3.某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为_____．【答案】30 【解析】【分析】直接根据分层抽样的比例关系得到答案. 【详解】分层抽样的抽取比例为801160020=，∴抽取学生的人数为600120⨯=30．故答案为：30．【点睛】本题考查了分层抽样的计算，属于简单题.4.角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P （1，2），则sin （π﹣α）的值是_____．【答案】25【解析】【分析】计算si nα255y r ==，再利用诱导公式计算得到答案. 【详解】由题意可得x ＝1，y ＝2，r 5=，∴sinα25y r ==，∴sin （π﹣α）＝sinα25=．故答案为：25．【点睛】本题考查了三角函数定义，诱导公式，意在考查学生的计算能力. 5.执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是：_____．【答案】28 【解析】【分析】根据程序框图直接计算得到答案.【详解】程序在运行过程中各变量取值如下所示：是否继续循环 i x 循环前 1 4 第一圈是 4 4+2 第二圈是 7 4+2+8 第三圈是 10 4+2+8+14退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：28故答案为：28．【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.6.设α、β为互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若m ∥n ，则m ∥α；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ；④若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，m ⊥n ，则n ⊥β；其中正确命题的序号为_____．【答案】④ 【解析】【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【详解】对于①，当m ∥n 时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出m ∥α，①错误；对于②，当m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β时，由两平面平行的判定定理，不能得出α∥β，②错误；对于③，当α∥β，且m ⊂α，n ⊂β时，由两平面平行的性质定理，不能得出m ∥n ，③错误；对于④，当α⊥β，且α∩β＝m ，n ⊂α，m ⊥n 时，由两平面垂直的性质定理，能够得出n ⊥β，④正确；综上知，正确命题的序号是④．故答案为：④．【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.7.已知函数f(x)＝322{102x x x x ≥，，（－），＜＜，若关于x 的方程f(x)＝kx 有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．【答案】10,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由图可知，当直线y ＝kx 在直线OA 与x 轴(不含它们)之间时，y ＝kx 与y ＝f(x)的图像有两个不同交点，即方程有两个不相同的实根．8.已知关于x 的不等式（ax ﹣a 2﹣4）（x ﹣4）＞0的解集为A ，且A 中共含有n 个整数，则当n 最小时实数a 的值为_____．【答案】-2 【解析】【分析】讨论0,0,0a a a <=>三种情况，a ＜0时,根据均值不等式得到a 4a +=-（﹣a 4a-）≤﹣()4a a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭4，计算等号成立的条件得到答案. 【详解】已知关于x 的不等式（ax ﹣a 2﹣4）（x ﹣4）＞0， ①a ＜0时，[x ﹣（a 4a +）]（x ﹣4）＜0，其中a 4a+＜0，故解集为（a 4a+，4），由于a 4a +=-（﹣a 4a-）≤﹣()4a a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭4，当且仅当﹣a 4a=-，即a ＝﹣2时取等号， ∴a 4a +的最大值为﹣4，当且仅当a 4a+=-4时，A 中共含有最少个整数，此时实数a 的值为﹣2；②a ＝0时，﹣4（x ﹣4）＞0，解集为（﹣∞，4），整数解有无穷多，故a ＝0不符合条件；③a ＞0时，[x ﹣（a 4a +）]（x ﹣4）＞0，其中a 4a+≥4， ∴故解集为（﹣∞，4）∪（a 4a+，+∞），整数解有无穷多，故a ＞0不符合条件；综上所述，a ＝﹣2．故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了解不等式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.9.已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的两个焦点为102F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、202F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，点P 是第一象限内双曲线上的点，且1212tan PF F ∠=，tan ∠PF 2F 1＝﹣2，则双曲线的离心率为_____．【答案】5【解析】【分析】根据正弦定理得1212122PF sin PF F PF sin PF F ∠==∠，根据余弦定理得2212PF PF +-2PF 1•PF 2cos ∠F 1PF 2212F F ==3，联立方程得到12PF PF ==算得到答案.【详解】∵△PF 1F 2中，sin ∠PF 1F 2═5，sin ∠PF 1F 2═5，∴由正弦定理得1212122PF sin PF F PF sin PF F ∠==∠，① 又∵1212tan PF F ∠=，tan ∠PF 2F 1＝﹣2， ∴tan ∠F 1PF 2＝﹣tan （∠PF 2F 1+∠PF 1F 2）123214122-=-=+⨯，可得cos ∠F 1PF 245=， △PF 1F 2中用余弦定理，得2212PF PF +-2PF 1•PF 2cos ∠F 1PF 2212F F ==3，②①②联解，得12PF PF ==，可得12PF PF -=∴双曲线的2a =，结合2c =，得离心率22c e a ==.. 【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力. 10.记S k ＝1k +2k +3k +……+n k ，当k ＝1，2，3，……时，观察下列等式：S 112=n 212+n ，S 213=n 312+n 216+n ，S 314=n 412+n 314+n 2，……S 5＝An 612+n 5512+n 4+Bn 2，…可以推测，A ﹣B ＝_____．【答案】14【解析】【分析】观察知各等式右边各项的系数和为1，最高次项的系数为该项次数的倒数，据此计算得到答案. 【详解】根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1，最高次项的系数为该项次数的倒数，∴A 16=，A 15212B +++=1，解得B 112=-，所以A ﹣B 1116124=+=．故答案为：14．【点睛】本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力.11.设函数()f x x x a =-，若对于任意的1x ，2x ∈[2，)+∞，1x ≠2x ，不等式1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是．【答案】2a ≤ 【解析】试题分析：由题意得函数()f x x x a =-在[2，)+∞上单调递增，当2a ≤时()()f x x x a =-在[2，)+∞上单调递增；当2a >时()f x x x a =-在[,)a +∞上单调递增；在[2,)a 上单调递减，因此实数a 的取值范围是2a ≤ 考点：函数单调性12.已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ，b 的夹角等于3π，且（a c -）•（b c -）＝0，则|c |的取值范围是_____．【答案】22⎣⎦，【解析】【分析】计算得到|a b +|=27c =|c |cosα﹣1，解得cosα2c=，根据三角函数的有界性计算范围得到答案.【详解】由（a c -）•（b c -）＝0 可得 2c =（a b +）•c a b -⋅=|a b +|•|c |cosα﹣1×2cos3π=|a b +|•|c |cosα﹣1，α为a b +与c 的夹角．再由 ()222a ba b +=++2a •b =1+4+2×1×2cos3π=7 可得|a b +|=∴27c =|c |cosα﹣1，解得cosα2c=．∵0≤α≤π，∴﹣1≤cosα2c≤1，即27c -|c |+1≤0，解得2≤|c |72≤，故答案为⎣⎦．【点睛】本题考查了向量模的范围，意在考查学生的计算能力，利用三角函数的有界性是解题的关键.13.在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆()22211x y a a+=＞上，其中A （0，1）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为278，则实数a 的值为_____．【答案】3 【解析】【分析】设直线AB 的方程为y ＝kx +1，则直线AC 的方程可设为y 1k=-x +1，（k ≠0），联立方程得到B（22221a k a k -+，222211a k a k -+），故S 442221211a k ka a k k +=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，令t 1k k =+，得S 42222(1)a a a t t=-+，利用均值不等式得到答案.【详解】设直线AB 的方程为y ＝kx +1，则直线AC 的方程可设为y 1k=-x +1，（k ≠0）由22211y kx x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得（1+a 2k 2）x 2+2a 2kx ＝0，所以x ＝0或x 22221a k a k -=+ ∵A 的坐标（0，1），∴B 的坐标为（22221a k a k -+，k •22221a k a k -++1），即B （22221a k a k -+，222211a k a k-+），因此AB ==22221a k a k+，同理可得：AC =22221a kak+.∴Rt △ABC 的面积为S 12=AB •AC =•44422422221221111a k a ka a k a a k k k +=⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令t 1k k =+，得S ()4422422222(1)12a t a a a a t a tt==-++-+. ∵t 1k k =+≥2，∴S △ABC442(1)a a a ≤=-.2=，即t 21a a-=时，△ABC 的面积S 有最大值为4227(1)8a a a =-. 解之得a ＝3或a 316=.∵a 3297+=时，t 21a a -=＜2不符合题意，∴a ＝3.故答案为：3.【点睛】本题考查了椭圆内三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 14.设f （x ）＝e tx（t ＞0），过点P （t ，0）且平行于y 轴的直线与曲线C ：y ＝f （x ）的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，若S （1，f （1）），则△PRS 的面积的最小值是_____．【答案】2e【解析】【分析】计算R （t 1t -，0），PR ＝t ﹣（t 1t -）1t =，△PRS 的面积为S 2te t =，导数S ′()212t e t t-=，由S ′＝0得t ＝1，根据函数的单调性得到最值.【详解】∵PQ ∥y 轴，P （t ，0），∴Q （t ，f （t ））即Q （t ，2t e ），又f （x ）＝e tx （t ＞0）的导数f ′（x ）＝te tx ，∴过Q 的切线斜率k ＝t 2t e ，设R （r ，0），则k 220t t e te t r-==-，∴r ＝t 1t -，即R （t 1t -，0），PR ＝t ﹣（t 1t -）1t=，又S （1，f （1））即S （1，e t），∴△PRS 的面积为S 2te t=，导数S ′()212t e t t -=，由S ′＝0得t ＝1，当t ＞1时，S ′＞0，当0＜t ＜1时，S ′＜0，∴t ＝1为极小值点，也为最小值点， ∴△PRS 的面积的最小值为2e ．故答案为：2e ．【点睛】本题考查了利用导数求面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若()31sin ,tan 53A AB =-=，角C 为钝角， 5.b =（1）求sin B 的值；（2）求边c 的长. 【答案】（1）10sin 10B = （2）13c = 【解析】【分析】（1）由()sin sin B A A B ⎡⎤=--⎣⎦，分别求得sin cos A A ，，()()sin cos A B A B --，得到答案；（2）利用正弦定理sin sin a A b B=得到 310a =13c =．【详解】(1)因为角C 为钝角，3sin 5A = ，所以24cos 1sin 5A A =-= ，又()1tan 3A B -= ，所以02A B π<-< ，且()()sin 1010A B A B -=-= ，所以()()()sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A A B ⎡⎤=--=---⎣⎦3455101010=⨯-⨯= . (2)因为sin 310sin a A b B ==，且5b = ，所以310a = ，又()cos cos cos cos sin sin 510C A B A B A B =-+=-+=-，则2222cos 952523105169510c a b ab C ⎛=+-=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭ ，所以 13c = .16.如图，四棱锥V ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 交于点O ，VO ⊥平面ABCD ，E 是棱VC 的中点．（1）求证：VA ∥平面BDE ；（2）求证：平面VAC ⊥平面BDE ．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）连结OE ，证明VA ∥OE 得到答案.（2）证明VO ⊥BD ，BD ⊥AC ，得到BD ⊥平面VAC ，得到证明. 【详解】（1）连结OE ．因为底面ABCD 是菱形，所以O 为AC 的中点，又因为E 是棱VC 的中点，所以VA ∥OE ，又因为OE ⊂平面BDE ，VA ⊄平面BDE ，所以VA ∥平面BDE ；（2）因为VO ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以VO ⊥BD ，因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又VO∩AC＝O，VO，AC⊂平面VAC，所以BD⊥平面VAC．又因为BD⊂平面BDE，所以平面VAC⊥平面BDE．【点睛】本题考查了线面平行，面面垂直，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.17.已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29＝0相切．（1）求圆的方程；（2）设直线ax﹣y+5＝0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（x﹣1）2+y2＝25．（2）（512+∞，）．（3）存在，34a=【解析】【分析】（1）设圆心为M（m，0），根据相切得到42955m-=，计算得到答案.（2）把直线ax﹣y+5＝0，代入圆的方程，计算△＝4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0得到答案.（3）l的方程为()124y xa=-++，即x+ay+2﹣4a＝0，过点M（1，0），计算得到答案. 【详解】（1）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29＝0相切，且半径为5，所以42955m-=，即|4m﹣29|＝25．因为m为整数，故m＝1．故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2＝25．（2）把直线ax﹣y+5＝0，即y＝ax+5，代入圆的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1＝0，由于直线ax﹣y+5＝0交圆于A，B两点，故△＝4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a512＞，所以实数a的取值范围是（512+∞，）．（3）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为1a -，l的方程为()124y xa=-++，即x+ay+2﹣4a＝0，由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，所以1+0+2﹣4a＝0，解得34a=．由于35412⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，，故存在实数34a=使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.18.如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m和20m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD＝60°．（1）求BC的长度；（2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的视角分别为∠APB ＝α，∠DPC＝β，问点P在何处时，α+β最小？【答案】（1）3m；（2）当BP为202103t=时，α+β取得最小值．【解析】【分析】（1）作AE⊥CD，垂足为E，则CE＝10，DE＝10，设BC＝x，根据()2tan CAD tan CAE∠=∠232010030x x--=，解得答案.（2）设BP＝t，则(1030103CP t t=＜＜，故()210103103200ttant tαβ+=-+-()2103103200tf tt t+=-+-，求导得到函数单调性，得到最值.【详解】（1）作AE⊥CD，垂足为E，则CE＝10，DE＝10，设BC＝x，则()22202210011tan CAEx tan CAD tan CAE tan CAE x ∠∠=∠===-∠-2200x --=，解之得，x =x =（舍），（2）设BP ＝t，则(0CP t t =＜＜， ()101t tan t αβ+===-设()f t =，()2'200f t t =-+-，令f '（t ）＝0，因为0t ＜＜t =当(0t ∈，时，f '（t ）＜0，f （t ）是减函数；当(t ∈时，f '（t ）＞0，f （t）是增函数，所以，当t =f （t ）取得最小值，即tan （α+β）取得最小值，因为22000t -+-＜恒成立，所以f （t ）＜0，所以tan （α+β）＜0，2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，因为y ＝tanx 在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上是增函数，所以当t =-时，α+β取得最小值．【点睛】本题考查了三角恒等变换，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19.设首项为1的正项数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{}2na 的前n 项和为T n，且()243n n S p T --=，其中p 为常数．（1）求p 的值；（2）求证：数列{a n }为等比数列；（3）证明：“数列a n ，2xa n +1，2ya n +2成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“x ＝1，且y ＝2”．【答案】（1）p ＝2；（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）取n ＝1时，由()24113p --=得p ＝0或2，计算排除p ＝0的情况得到答案.（2）241(2)33n n T S =--，则21141(2)33n n T S ++=--，相减得到3a n +1＝4﹣S n +1﹣S n ，再化简得到2112n n a a ++=，得到证明. （3）分别证明充分性和必要性，假设a n ，2xa n +1，2ya n +2成等差数列，其中x 、y 均为整数，计算化简得2x ﹣2y ﹣2＝1，设k ＝x ﹣（y ﹣2），计算得到k ＝1，得到答案. 【详解】（1）n ＝1时，由()24113p --=得p ＝0或2，若p ＝0时，243n n S T -=，当n ＝2时，()22224113a a-++=，解得a 2＝0或212a =-，而a n ＞0，所以p ＝0不符合题意，故p ＝2；（2）当p ＝2时，241(2)33n n T S =--①，则21141(2)33n n T S ++=--②， ②﹣①并化简得3a n +1＝4﹣S n +1﹣S n ③，则3a n +2＝4﹣S n +2﹣S n +1④， ④﹣③得2112n n a a ++=（n ∈N *），又因为2112a a =，所以数列{a n }是等比数列，且112n n a -=；（3）充分性：若x ＝1，y ＝2，由112n n a -=知a n ，2x a n +1，2y a n +2依次为112n -，22n ，142n +，满足112142222n n n -+⨯=+，即a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列；必要性：假设a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列，其中x 、y 均为整数，又112n n a -=，所以11111222222x y n n n -+⋅⋅=+⋅，化简得2x ﹣2y ﹣2＝1，显然x ＞y ﹣2，设k ＝x ﹣（y ﹣2），因为x 、y 均为整数，所以当k ≥2时，2x ﹣2y ﹣2＞1或2x ﹣2y ﹣2＜1，故当k ＝1，且当x ＝1，且y ﹣2＝0时上式成立，即证．【点睛】本题考查了根据数列求参数，证明等比数列，充要条件，意在考查学生的综合应用能力.20.已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，123,,x x x R ∈，且123x x x <<．（1）当123012x x x ===，，时，求函数()f x 的减区间；（2）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（3）若方程()0f x '=的两个实数根是()αβαβ<，，试比较122x x +，232x x +与αβ，的大小，并说明理由．【答案】（1）(1（2）详见解析（3）231222x x x x αβ++<<< 【解析】【详解】试题分析：（1）当123012x x x ===，，时，322()(1)(2)=32,()362,f x x x x x x x f x x x =---+=-+'，由()0f x <得()f x 减区间(1-+；（2）因为32123122331123()()()f x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，所以2123122331()32()()f x x x x x x x x x x x x =-+++'++，因为2221223312[()()()]0x x x x x x ∆=-+-+->所以，方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（3）因为21221()()024x x x x f +-=-<'，22323()()024x x x x f +-=-<'，所以231222x x x x αβ++<<< 试题解析：（1）当123012x x x ===，，时，322()(1)(2)=32,()362,f x x x x x x x f x x x =---+=-+'，由()0f x <得()f x 减区间(1-+；（2）法1：32123122331123()()()f x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，2123122331()32()()f x x x x x x x x x x x x =-+++'++2221223312[()()()]0x x x x x x ∆=-+-+->，123x x x <<，所以，方程()0f x '=有两个不相等的实数根；法2：122331()()()()()()()f x x x x x x x x x x x x x =--+---'-+，22321()()()0f x x x x x -'=-<，()f x 是开口向上的二次函数，所以，方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（3）因为21221()()024x x x x f +-=-<'，22323()()024x x x x f +-=-<'，又()f x 在(,)α-∞和(,)β+∞增，()f x 在(,)αβ减，所以231222x x x x αβ++<<<．考点：利用导数求函数减区间，二次函数与二次方程关系本题包括A ，B 共1小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． [选修4-2：矩阵与变换]21.试求曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，N 10201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦．【答案】y ＝2sin 2x ．【解析】【分析】计算MN 11100022020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，计算得到函数表达式. 【详解】∵M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，N 10201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，∴MN 11100022020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ∴在矩阵MN 变换下，x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦→1'2'2x x y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的函数解析式为y ＝2sin 2x ．【点睛】本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计算能力. [选修4-4：极坐标与参数方程] 22.已知直线l 的极坐标方程为63sin πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，圆C 的参数方程为1010x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（1）请分别把直线l 和圆C 的方程化为直角坐标方程；（2）求直线l 被圆截得的弦长．【答案】（1120y -+=．x 2+y 2＝100．（2）16 【解析】【分析】（1）直接利用极坐标方程和参数方程公式化简得到答案. （2）圆心()0,0到直线的距离为1262d ==，故弦长为222r d -得到答案. 【详解】（1）sin 63πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即13sin cos 62ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，即1362y x -=，即3120x y -+=.10cos 10sin x y θθ=⎧⎨=⎩，故22100x y +=. （2）圆心()0,0到直线的距离为1262d ==，故弦长为22216r d -=. 【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程，圆的弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，∠BAF ＝90°，AD ＝2，AB ＝AF ＝2EF ＝2，点P 在棱DF 上．（1）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值；（2）若二面角D ﹣AP ﹣C 的正弦值为63，求PF 的长度．【答案】（1）23015．（22．【解析】【分析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系，则BE =（﹣1，0，2），CP =（﹣2，﹣1，1），计算夹角得到答案.（2）设FP FD λ=，0≤λ≤1，计算P （0，2λ，2﹣2λ），计算平面APC 的法向量n =（1，﹣1，222λλ-），平面ADF 的法向量m =（1，0，0），根据夹角公式计算得到答案.【详解】（1）∵BAF ＝90°，∴AF ⊥AB ，又∵平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB ， ∴AF ⊥平面ABCD ，又四边形ABCD矩形，∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵AD ＝2，AB ＝AF ＝2EF ＝2，P 是DF 的中点，∴B （2，0，0），E （1，0，2），C （2，2，0），P （0，1，1）， BE =（﹣1，0，2），CP =（﹣2，﹣1，1），设异面直线BE 与CP 所成角的平面角为θ，则cosθ155BE CP BE CP⋅===⋅，∴异面直线BE 与CP 所成角的余弦值为15．（2）A （0，0，0），C （2，2，0），F （0，0，2），D （0，2，0），设P （a ，b ，c ），FP FD λ=，0≤λ≤1，即（a ，b ，c ﹣2）＝λ（0，2，﹣2），解得a ＝0，b ＝2λ，c ＝2﹣2λ，∴P （0，2λ，2﹣2λ）， AP =（0，2λ，2﹣2λ），AC =（2，2，0），设平面APC 的法向量n =（x ，y ，z ），则()2220220n AP y z n AC x y λλ⎧⋅=+-=⎨⋅=+=⎩，取x ＝1，得n =（1，﹣1，222λλ-），平面ADP 的法向量m =（1，0，0）， ∵二面角D ﹣AP ﹣C 的正弦值为， ∴|cos m n ＜，＞|2(m n m n⋅===⋅+ 解得12λ=，∴P （0，1，1），∴PF 的长度|PF |222(00)(10)(12)2=-+-+-=．【点睛】本题考查了异面直线夹角，根据二面角求长度，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 24.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1,,2a a (01)a <<，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ.（1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率()P i ξ=(i =0，1，2，3)中, 若(1)P ξ=的值最大, 求实数a 的取值范围. 【答案】（1）412a +，ξ的分布列为 ξ123P12(1－a)212(1－a 2)12(2a －a 2)22a（2）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】(1)P(ξ)是“ξ个人命中，3－ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0、1、2、3.P(ξ＝0)＝01C 112⎛⎫-⎪⎝⎭02C (1－a)2＝12(1－a)2； P (ξ＝1)＝11C ·122C (1－a)2＋01C 112⎛⎫- ⎪⎝⎭12C a(1－a)＝12(1－a 2)； P(ξ＝2)＝11C ·1212C a(1－a)＋01C 112⎛⎫- ⎪⎝⎭22C a 2＝12(2a －a 2)；P(ξ＝3)＝11C·1222C a 2＝22a . 所以ξ的分布列为ξ的数学期望为E(ξ)＝0×12(1－a)2＋1×12(1－a 2)＋2×12(2a －a 2)＋3×22a ＝412a +.(2)P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝12[(1－a 2)－(1－a)2]＝a(1－a)； P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝12[(1－a 2)－(2a －a 2)]＝122a -；P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝12[(1－a 2)－a 2]＝2122a -.由2(1)0,12{0,21202a a a a-≥-≥-≥和0＜a ＜1，得0＜a≤12，即a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦.。

2020年江苏省南通市高考数学考前模试卷(二)(含解析)

2020年江苏省南通市高考数学考前模试卷(二)一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.设集合A={1,2，3}，B={x|x2−x−2≤0}，则A∩B=______2.若复数z满足i⋅z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的虚部为______．3.若某程序框图如图所示，则运行结果为______．4.某校从2名男生和3名女生中随机选出3名学生做义工，则选出的学生中男女生都有的概率为．5.已知双曲线x2a2−y29=1中心在原点，右焦点与抛物线y2=16x的焦点重合，则该双曲线的离心率为____________．6.为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50,150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50,75)中的频数为100，则n的值为______．7.已知平面向量a⃗=(−3,4)与A(1,m)，B(2,1)，且a⃗//AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m的值为______．8. 高为√63的正四面体的表面积为． 9. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4a 1，2a 2，a 3成等差数列，则数列{a n }的公式q =______，如果a 1=1，则S 4=______．10. 已知函数f(x)=x 3−3x +lnx ，曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为______．11. 已知tan (α−π4)=2，则cos2α的值是_________．12. 设D 为△ABC 的BC 边上一点，AD ⊥AB ，BC =√3BD ，AD =1，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O:x 2+y 2=1，O 1:(x −4)2+y 2=4，动点P 在直线:x +√3y −b =0上，过P 分别作圆O ，O 1的切线，切点分别为A ，B ，若满足PB =2PA 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．14. 已知f(x)={x 2+ax,x ≤0,ln(x +1),x >0F(x)=2f(x)−x 有2个零点，则实数a 的取值范围是．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分） 15. 已知，正三棱柱ABCA 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD ．16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足asinB +√3bcos(B +C)=0，a =√19．(1)求A ；(2)若b =2，求△ABC 的面积．17.在边长为4的正方形ABCD中，点E,F分别为边AB,AD的中点，以CE和CF为折痕把ΔDFC和ΔBEC折起，使点B,D重合于点P位置，连结PA，得到如图所示的四棱锥P−AECF．(1)在线段PC上是否存在一点G，使PA与平面EFG平行，若存在，求PGGC的值；若不存在，请说明理由(2)求点A到平面PEC的距离18.平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，且点(√3,12)在椭圆C上.椭圆C的左顶点为A．(1)求椭圆C的方程；(2)过点A作直线l与椭圆C交于另一点B.若直线l交y轴于点C，且OC=BC，求直线l的斜率．19.设函数f(x)=x3+3ax2−9x+5，若f(x)在x=1处有极值．(1)求实数a的值；(2)求函数f(x)的极值；(3)若对任意的x∈[−4,4]，都有f(x)<c2，求实数c的取值范围．20.已知数列{a n}的前n项和S n=n2(n∈N∗)，数列{b n}为等比数列，且满足b1=a1，2b3=b4(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)求数列{a n b n}的前n项和．21. 在平面直角坐标系xOy 中，先对曲线C 作矩阵A =[cosθ−sinθsinθcosθ](0<θ<2π)所对应的变换，再将所得曲线作矩阵B =[100k](0<k <1)所对应的变换，若连续实施两次变换所对应的矩阵为[0−1120]，求k ，θ的值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =4t 2,y =4t(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ⋅cosθ−√3ρ⋅sinθ−1=0．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)求直线l 被曲线C 所截的弦长．23. 已知a 、b 是正实数，求证：a 2b +b 2a ≥a +b ．24.抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点是F，直线y=2与C的交点到F的距离等于2．(Ⅰ)求抛物线C的方程；(Ⅱ)一直线l：x=ky+b(b≠1,k≠0)交C于A，B两点，其中点(b,k)在曲线(x−3)2−4y2=8上，求证：FA与FB斜率之积为定值．25.设数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=2−S n(n∈N∗).(1)求a1，a2，a3，a4的值并写出其通项公式；(2)用三段论证明数列{a n}是等比数列．-------- 答案与解析 --------1.答案：{1,2}解析：解：∵集合A={1,2，3}，B={x|x2−x−2≤0}={x|−1≤x≤2}，∴A∩B={1,2}．故答案为：{1,2}．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：−1解析：本题考查复数的概念和复数的运算，属于简单题．求出z后，即可得其虚部．=2−i．解：∵i⋅z=1+2i，∴z=1+2ii∴z的虚部为−1．故答案为−1．3.答案：6解析：解：模拟程序的运行，可得S=0，n=0执行循环体，n=1，S=2不满足条件S≥100，执行循环体，n=2，S=2+4=6不满足条件S≥100，执行循环体，n=3，S=6+8=14不满足条件S≥100，执行循环体，n=4，S=14+16=30不满足条件S≥100，执行循环体，n=5，S=30+32=62不满足条件S≥100，执行循环体，n=6，S=62+64=126满足条件S≥100，退出循环，输出n的值为6．故答案为：6．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当S=126时满足条件，退出循环，输出n的值为6．本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值是解题的关键，属于基本知识的考查．4.答案：910解析：本题考查古典概率的计算．解：从2名男生和3名女生中随机选出3名学生做义工，则选出的学生中男女生都有的概率为P=1−C33 C53=910．故答案为910．5.答案：4√77解析：本题考查抛物线和双曲线的几何性质，利用抛物线求出焦点坐标，得到双曲线中c的值，再由b求得a，即可求得离心率．【焦点】解：∵抛物线y2=16x的焦点是(4,0)，∴c=4，a2=16−9=7，∴e=ca =√7=4√77．故答案为4√77．6.答案：1000解析：解：阅读时间在[50,75)中的频率为：0.004×25=0.1，样本容量为：n=100÷0.1=1000．故答案为：1000．根据直方图中的各个矩形的面积代表了频率，先求出阅读时间在[50,75)中的频率，再根据频率与频数的关系进行求解．本题考查频率分布直方图的相关知识．直方图中的各个矩形的面积代表了频率，样本容量=频数÷频率．7.答案：73解析：本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题．根据平面向量的坐标表示与共线定理，列方程求出m 的值．解：平面向量a⃗ =(−3,4)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1−m)，又a ⃗ //AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则−3(1−m)−4×1=0，解得m =73．故答案为：73． 8.答案：√3解析：本题考查正四面体内的有关计算和表面积，属基础题，根据条件计算出棱长是关键解：设棱长a ，如图所示，设正四面体的高为AF ，E 为BC 边的中点，则ED =√32a ，DF =23DE =√33a ， Rt △AFD 中，根据勾股定理，AF =√AD 2−DF 2=√63a 根据已知高为√63，∴a =1， ∴DE =√32，S △BCD =12BC ×DE =√34， ∴表面积S =4，S △BCD =√3，。

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交 y 轴于 M , N ，且 ON 3OM ，则双曲线的离心率为
.
7．已知动圆 M 与圆 C1 : (x 1)2 y2 1 ，圆 C2 : (x 1)2 y2 25 均内切，则动圆圆心 M 的
轨迹方程是
.
8．设点 A1, 2 ，非零向量 a m, n ，若对于直线 3x y 4 0 上任意一点 P ， AP a 恒为
P
（2） FG ∥平面 EBO ．
E
F
A
G O
C
B
12. 数列{an}的前 n 项和为 Sn，若存在正整数 r，t，且 r＜t，使得 Sr＝t，St＝r 同时成立，则称数列{an}为“M(r，t)数列”．（1）若首项为 3，公差为 d 的等差数列{an}是“M(r，2r)数列”，求 d 的值；（2）已知数列{an}为等比数列，公比为 q．若数列{an}为“M(r，2r)数列”，r≤4，求 q 的值．
2
a2 a3，a3 a4，a4 a5 成等差数列，则 q 的值为
.
6．在平面直角坐标
xOy
中，双曲线 C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
的左右焦点分别为 F1, F2 , A, B
分别为
左，右顶点，点 P 为双曲线上一点，且满足 PF2 F1F2 ，点 Q 为 PF2 上一点，直线 QF1, BQ 分别
.
是 i 100 否
N N 1 i
S N T
4．高三某班级共 48 人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按 1 至 48 的学号用系统抽样方法抽取 6 人进行
T
T
i
1 1
输出 S 结束
调查，若抽到的最大学号为 45，则抽到的最小学号为
.
5．已知各项均为正数的数列 {an} 满足 an2 qan （ q 1 ， n N* ），若 a2 3a) 8 ，则实数 m 的取值范围是
.
9
1
11．如图，平面 PAC 平面 ABC ，点 E、F、O 分别为线段 PA、PB、AC 的中点，点 G 是线段
CO 的中点， AB BC AC 4 ， PA PC 2 2 ．
求证：（1） PA 平面 EBO ；
定值，则 m
.
n
9. 已知数列an 满足：当 n 2 且 n N* 时，有 an an1 1n 3 .则数列an 的前 200 项的
和为
.
10．设函数 f (x) 的定义域为 R，满足 f (x 1) 2 f (x) ，且当 x (0,1] 时， f (x) x(x 1) .若对任意
江苏南通 2020 高考数学冲刺小练（2）
班级
学号
姓名
1．命题“ x 2 ，都有 x2 2 ”的否定是
.
开始
2．函数 f (x) ln(x2 x 2) 的单调递减区间为
.
N 0, T 0 i 1
3．为计算 S 1 1 1 1 1 1 ，设计了如图的
234
99 100
程序框图，则在空白框中应填入