高中数学函数图象高考题
高中数学-对数函数图像和性质及经典例题
对数函数的概念: 函数y 对数函数的图象和性质高中数学-对数函数图像和性质及经典例题第一部分：回顾基础知识点log a x(a 0,且a 1）叫做对数函数其中x是自变量，函数的定义域是（o, +3）.在同一坐标系中画岀下列对数函数的图象;(1) y log 2 x (2)y log! x2(3)y log3x(4)y log i x3 ■0 5 -・图象特征函数性质a 10 a 1 a 10 a 1函数图象都在y轴右侧函数的定义域为（0，+x）图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R函数图象都过定点（1 , 1） 1 1自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数第一象限的图象纵坐标都大于0第一象限的图象纵坐标都大于0x 1, log a x 00 x 1, log a x 0第二象限的图象纵坐标都小于0第二象限的图象纵坐标都小于00 x 1, log a x 0x 1, log a x 0 -1 --底数a是如何影响函数log a x 的.规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大第二部分：对数函数图像及性质应用例1 •如图，A , B , C 为函数y log i x 的图象上的三点，它们的横坐标分别是t , t +2, t +4(t 1).2⑴设 ABC 的面积为S 。
求S=f (t )； ⑵判断函数S=f (t )的单调性;解：(1 )过A,B,C,分别作AAi,BB i ,CC i 垂直于x 轴，垂足为 Ai,B i ,C i ，则 S =S 梯形 AA i B i B +S 梯形 BB 1C 1C — S上是减函数，且 1<u“ 2 (x 23) 3 解：(1 )••• f(x -3)=lg2,(x 3) 3••• f(x)=lg x —3l t24t汽6log 3(1 J )t 2 4t2(2)因为v= t4t 在[1,)上是增函数，且v 5,梯形 AA i C i C.S log 3 u 在上是增函数,所以复合函数 S=f (t )Iog 3(1t 2上是减函数(3)由(2)知t =1 时，S 有最大值, 最大值是f (1) log 39 52 log3 59例2 .已知函数f(x -3)=lg2x x 26(1)f(x)的定义域；⑵判断f(x)的奇偶性;⑶求f(x)的反函数；⑷若f[ (x)]=lgx,求(3)的值。
高中数学 2.3.1幂函数的图像、性质与应用练习 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学试题
【金版学案】2015-2016高中数学 幂函数的图像、性质与应用练习 新人教A 版必修1基础梳理1．形如y ＝x α(α∈R)的函数叫做________，其中α为常数，只研究α为有理数的情形．例如：函数y ＝x 2，y ＝x 4的幂函数，而函数y ＝2x 2不是幂函数．2．幂函数y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 2，y ＝x －1，y ＝x 3的图象，如下图所示．3．幂函数的性质．(1)过定点：y ＝x α恒过定点______．当α＞0时，所有幂函数都过定点____________．(2)单调性：当α＞0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调____；当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调____．(3)奇偶性：当α为整数且为奇数时，y ＝x α为______；当α为整数且为偶数时，y ＝x α为______；当x 为分数时可将y ＝x α化为根式再判断． 基础梳理1．幂函数 3.(1)(1，1) (0，0)和(1，1) (2)递增 递减 (3)奇函数 偶函数,思考应用1．我们知道，形如y ＝x α(其中幂指数α是常数)的函数叫幂函数，而形如y ＝a x(其中a 是大于0且不为1的常数)的函数叫指数函数，那么指数函数与幂函数的区别在哪里？解析：这两个函数都具有幂指数m n 的形式，但幂函数y ＝x α中，自变量在底数的位置，而指数函数y ＝a x中，自变量在幂指数的位置，这两个函数的自变量所在的位置不同．2．从幂函数的形式：y ＝x α来看，它的表达式中只含有一个常数字母，确定一个待定系数通常只要一个条件．若已知幂函数y ＝x α过某个定点，你能确定这个幂函数吗？解析：一般来说，由幂函数y ＝x α所经过的定点，可以确定这个幂函数．但若只告诉幂函数过原点，那我们只能判断幂指数α>0；若只告诉幂函数过点(1，1)，那告诉的这个点没有任何作用，因为所有的幂函数都过点(1，1)；若只告诉幂函数过点(－1，1), 那我们只能判断这个幂指数的图象关于y 轴对称，这个幂指数是偶函数．除这三个点之外，由幂函数所经过的定点，可以确定这个幂函数的表达式．3．如何根据幂函数的图象确定幂指数的大小？解析：作直线x ＝t (t >1)，它与各幂函数图象相交，交点在第一象限，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．自测自评1．下列函数中，定义域是R 的是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x 12C ．y ＝x 2D ．y ＝x －12．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．正比例函数3．已知幂函数f (x )的图象经过点(2，2)，则f (4)＝____ 自测自评1．解析：函数y ＝x －2，y ＝x －1的定义域为{x |x ∈R，x ≠0}，函数y ＝x 12的定义域为{x |x ≥0}，函数y ＝x 2的定义域为R.故选C.答案：C2．解析：本题考查幂的运算性质f (x )f (y )＝a x a y ＝a x ＋y＝f (x ＋y ). 答案：C3．解析：设f (x )＝x n ，则2＝2n，解得n ＝12.∴f (x )＝x 12，f (4)＝2.答案：2►基础达标1．下列所给出的函数中，属于幂函数的是( )A ．y ＝－x 3B ．y ＝x －3C ．y ＝2x 3D ．y ＝x 3－1 1．解析：由幂函数定义知选B. 答案：B2．已知函数：①y ＝x x ，②y ＝－x 2，③y ＝x 0，④y ＝2x ，⑤y ＝x 2＋1，⑥y ＝x ，其中幂函数的个数是( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．解析：由幂函数定义知③⑥是幂函数．故选A. 答案：A3．函数y ＝x －2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值是( )3．解析：∵y ＝x －2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调递减函数，∴当x ＝12时，y 有最大值4.答案：C A.14 B ．－14C ．4D ．－44．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：①2.334____2.434； ②0.3165____0.3565；③(2)－32____(3)－32； ④1.1－12____0.9－12.4．①＜ ②＜ ③＞ ④＜5．下图是幂函数y ＝x m 和y ＝x n在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜－1，0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＞1D ．n ＜－1，m ＞15．解析：利用幂函数图象的性质及图象的关系知n ＜－1，0＜m ＜1.故选B. 答案：B6．(2013·某某卷)函数f (x )＝x －12的大致图象是( )6．解析：∵y ＝x －12定义域为(0，＋∞)，故选A.答案：A7．求下列幂函数的定义域：(1)y ＝x 3；(2)y ＝x 13；(3)y ＝x 12；(4)y ＝x －2；(5)y ＝x －12.7．分析：含分数指数幂的要化归为根式的形式．解析：(1)y ＝x 3，定义域是R.(2)y ＝x 13＝3x ，定义域是R.(3)y ＝x 12＝x ，定义域是[0，＋∞)．(4)y ＝x －2＝1x2，定义域是{x |x ∈R，且x ≠0}．(5)y ＝x －12＝1x，定义域是(0，＋∞)．点评：考查函数的定义域要全面，如分母不为零，零次幂的底数不为零，偶次根号下不小于零，等等►巩固提高8．给出两个结论：(1)当α＝0时，幂函数y ＝x α的图象是一条直线；(2)幂函数y ＝x α的图象都经过(0，0)和(1，1)点，则正确的判断是( ) A ．(1)对(2)错 B ．(1)错(2)对 C ．(1)(2)都错 D ．(1)(2)都对 8．C 9.C 4，C 2，C 3，C 19．如图所示的曲线是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α分别取－1，1，12，2四个值，则相应图象依次为：____________.10．设f (x )＝(a －3)x (a ＋1)(a －2)，当a 为何值时，(1)f (x )为常数函数？ (2)f (x )为幂函数？ (3)f (x )为正比例函数？10．(1){3，－1，2} (2){4} (3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1－132，1＋1321．注意幂函数与指数函数的区别，幂函数中底数是自变量，指数函数中指数是自变量．2．将幂指式x nm 写成m x n可以看出x 的取值X 围．3．比较幂值的大小常利用相关函数的单调性．。
高中数学必修4三角函数常考题型正切函数的性质与图像
正切函数的性质与图像【知识梳理】1．正切函数的性质函数 y ＝tan x定义域 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z函数 y ＝tan x 值域 (－∞，＋∞)周期 T ＝π 奇偶性 奇函数单调性在每个开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数 2．(1)正切函数的图像：(2)正切函数的图像叫做正切曲线． (3)正切函数的图像特征：正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．【常考题型】题型一、正切函数的定义域、值域问题【例1】 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4；(2)y ＝3－tan x .[解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z )得，x ≠k π＋π4，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域为xx ≠k π＋π4，k ∈Z ，其值域为(－∞，＋∞)． (2)由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3.结合y ＝tan x 的图像可知，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上， 满足tan x ≤3的角x 应满足－π2<x ≤π3，所以函数y ＝3－tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2<x ≤k π＋π3，k ∈Z ，其值域为[0，＋∞)．【类题通法】求正切函数定义域的方法及求值域的注意点求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z .而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图像求解．解形如tan x >a 的不等式的步骤：【对点训练】 求函数y ＝11＋tan x的定义域．解：要使函数有意义，则有1＋tan x ≠0， ∴tan x ≠－1，∴x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .因此，函数y ＝11＋tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .题型二、正切函数的单调性及应用【例2】 (1)求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调区间； (2)比较tan ⎝⎛⎭⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎫－12π5的大小． [解] (1)由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )得，2k π－π2<x <2k π＋3π2，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋3π2(k ∈Z )． (2)由于tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋3π4＝tan 3π4＝－tan π4，tan ⎝⎛⎭⎫－12π5＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5＝－tan 2π5， 又0<π4<2π5<π2，而y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， 所以tan π4<tan 2π5，－tan π4>－tan 2π5，即tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭⎫－12π5. 【类题通法】1．求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω>0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2，求得x 的范围即可．(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan [－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．2．运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． 【对点训练】1．比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．解：因为tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)．又因为π2<2<π，所以－π2<2－π<0.因为π2<3<π，所以－π2<3－π<0.显然－π2<2－π<3－π<1<π2，又y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是增函数， 所以tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1， 即tan 2<tan 3<tan 1.2．求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调区间． 解：y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 由－π2＋k π<2x －π4<π2＋k π得，－π8＋k 2π<x <3π8＋k2π(k ∈Z )， 所以y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－π8＋k 2π，3π8＋k 2π(k ∈Z )．题型三、与正切函数有关的周期性、奇偶性问题【例3】 (1)求f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期； (2)判断y ＝sin x ＋tan x 的奇偶性． [解] (1)∵tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 即tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期是π2. (2)定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称， ∵f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )， ∴它是奇函数．【类题通法】与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略(1)一般地，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|，常常利用此公式来求周期．(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f (－x )与f (x )的关系．【对点训练】关于x 的函数f (x )＝tan(x ＋φ)有以下几种说法：①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②f (x )的图像关于⎝⎛⎭⎫π2－φ，0对称；③f (x )的图像关于(π－φ，0)对称；④f (x )是以π为最小正周期的周期函数．其中不正确的说法的序号是________．解析：①若取φ＝k π(k ∈Z )，则f (x )＝tan x ，此时，f (x )为奇函数，所以①错；观察正切函数y ＝tan x 的图像，可知y ＝tan x 关于⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )对称，令x ＋φ＝k π2得x ＝k π2－φ，分别令k ＝1,2知②、③正确，④显然正确．答案：①【练习反馈】1．函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z 的单调性为( ) A ．在整个定义域上为增函数 B ．在整个定义域上为减函数C ．在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上为增函数 D ．在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )上为增函数 解析：选C 由正切函数的图像可知选项C 正确． 2．函数y ＝tan(cos x )的值域是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π4，π4 B.⎣⎡⎦⎤－22，22 C ．[－tan 1，tan 1]D ．以上均不对解析：选C ∵－1≤cos x ≤1，且函数y ＝tan x 在[－1,1]上为增函数，∴tan(－1)≤tan x ≤tan 1.即－tan 1≤tan x ≤tan 1.3．函数y ＝5tan ⎝⎛⎭⎫－x2的最小正周期是________． 解析：T ＝π⎪⎪⎪⎪－12＝2π.答案：2π4．函数y ＝3tan(π＋x )，－π4<x ≤π6的值域为________．解析：函数y ＝3tan(π＋x )＝3tan x ，因为正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，所以－3<y ≤3，所以值域为(－3，3]．答案：(－3， 3 ]5．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域、周期及单调区间． 解：由12x －π6≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠4π3＋2k π，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠4π3＋2k π，k ∈Z .T ＝π12＝2π，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的周期为2π. 由－π2＋k π<12x －π6<π2＋k π，k ∈Z ，得－2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z . 所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－2π3＋2k π，4π3＋2k π(k ∈Z )．。
高中数学函数图象专题例题+练习
高中数学函数图象例1．作图：(1)y ＝a |x －1|，(2)y ＝log |(x －1)|a ，(3)y ＝|log a (x －1)|(a >1)．例2．函数y ＝ln 1|2x －3|的图象为( )例3．函数f (x )＝11＋|x |的图象是( )例4．若函数y ＝(12)|1－x |＋m 的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________．例5．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．1、设10<<a ，在同一直角坐标系中，函数xa y -=与)(log x y a -=的图象是（ ）2、函数||log 2x y =的图象大致是 ( )3、当1>a 时，在同一坐标系中函数xa y -=与xy a log =的图像（ ）4、 .函数y ＝1－11-x 的图象是( )5、已知下图①的图象对应的函数为y ＝f(x)，则图②的图象对应的函数在下列给出的四式中，只可能是( )A ．y ＝f(|x|)B ．y ＝|f(x)|C ．y ＝f(－|x|)D ．y ＝－f(|x|)6、二次函数b ax y +=2与一次函数)(b a b ax y >+=在同一个直角坐标系的图像为（ ）7、下列函数图象中，函数y a a a x =>≠()01且，与函数y a x =-()1的图象只能是（ ）y y y yO x O x O x O xA B C D11118、当a ≠0时，函数y a x b=+和y b a x=的图象只可能是 （ ）9.函数y=2x+1的图象是（ ）10、函数lg ||x y x=的图象大致是 ( )。
高中数学：指数函数的图像和性质练习及答案
高中数学：指数函数的图像和性质练习及答案指数函数的图象与性质1.指数函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x在同一坐标系内的图象如图所示，则a、b、c、d的大小顺序是( )A．b<a<d<cB．a<b<d<cC．b<a<c<dD．b<c<a<d2.已知1>n>m>0，则指数函数①y＝m x，②y＝n x的图象为( )A．B．C．D．3.函数y＝a x－(a>0，且a≠1)的图象可能是( )A．B．C．D．4.把函数y＝f(x)的图象向左，向下分别平移2个单位，得到y＝2x的图象，则f(x)的解析式是( ) A．f(x)＝2x＋2＋2B．f(x)＝2x＋2－2C．f(x)＝2x－2＋2D．f(x)＝2x－2－25.若关于x的方程|a x－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是( )A．(0，1)∪(1，＋∞)B．(0，1)C．(1，＋∞)D．(0，)6.已知函数f(x)＝|2x－1－1|.(1)作出函数y＝f(x)的图象；(2)若a<c，且f(a)>f(c)，求证：2a＋2c<4.指数函数的定义域7.已知函数f(x)的定义域是(1，2)，则函数f(2x)的定义域是( ) A．(0，1)B．(2，4)C．(，1)D．(1，2)8.函数y＝的定义域是________．指数函数的值域9.函数y＝的值域为________．10.当x∈[0，1]时，函数f(x)＝3x＋2的值域为________．指数函数的性质11.若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则( ) A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数12.关于指数函数，有下列几个命题：①指数函数的定义域为(0，＋∞)；②指数函数的值域是不包括1的；③指数函数f(x)＝2x和f(x)＝()x关于y轴对称；④指数函数都是单调函数．其中正确的命题有________(填写正确命题的序号)．13.指数函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)对于任意的x1、x2∈R，都有f(x1)f(x2)________f(x1＋x2)．(填“>”，“<”或“＝”)指数幂的大小比较14.a＝与b＝()5的大小关系是( )A．a>bB．a<bC．a＝bD．大小关系不定15.设<()b<()a<1，那么( )A．a a<a b<b aB．a a<b a<a bC．a b<a a<b aD．a b<b a<a a16.设函数f(x)定义在实数集上，且y＝f(x＋1)是偶函数，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有( ) A．f()<f()<f()B．f()<f()<f()C．f()<f()<f()D．f()<f()<f()指数方程的解法17.集合M＝{3，2a}，N＝{a，b}，若M∩N＝{2}，则M∪N等于( )A．{0，1，2}B．{0，1，3}C．{0，2，3}D．{1，2，3}18.方程2m·3n－3n＋1＋2m＝13的非负整数解(m，n)＝________.19.若方程()x＋()x－1＋a＝0有正数解，则实数a的取值范围是________．指数不等式的解法20.已知不等式为≤3x<27，则x的取值范围( )A．－≤x<3B．≤x<3C．RD．≤x<21.已知f(x)＝a－x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是( ) A．a>0B．a>1C．a<1D．0<a<122.不等式<2－2x的解集是________．指数函数的单调性23.函数y＝的递减区间为( )A．(－∞，－3]B．[－3，＋∞)C．(－∞，3]D．[3，＋∞)24.若函数y＝(1－2a)x是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围为( ) A．(，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，)D．(－，)25.已知函数f(n)＝是增函数，则实数a的取值范围是( )A．(0，1)B．(7，8)C．[7，8)D．(4，8)26.函数y＝的递增区间是________．27.已知函数f(x)＝.(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值．指数函数的最值28.已知函数y＝ax(a>1)在区间[1，2]上的最大值与最小值之差为2，则实数a的值为( ) A．B．2C．3D．429.已知函数y＝9x－2·3x－1，求该函数在区间x∈[－1，1]上的最大值和最小值．30.已知f(x)＝9x－2·3x＋4，x∈[－1，2]．(1)设t＝3x，x∈[－1，2]，求t的最大值与最小值；(2)求f(x)的最大值与最小值．与指数函数相关的函数的奇偶性31.函数y＝的图象( )A．关于原点对称B．关于直线y＝－x对称C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称32.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a x－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)等于( )A．2B．C．D．a233.函数f(x)＝k·a－x(k，a为常数，a>0且a≠1)的图象过点A(0，1)，B(3，8)，(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)＝，试判断函数g(x)的奇偶性，并给出证明．答案1.指数函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x在同一坐标系内的图象如图所示，则a、b、c、d的大小顺序是( )A．b<a<d<cB．a<b<d<cC．b<a<c<dD．b<c<a<d【答案】A【解析】作直线x＝1与各图象相交，交点的纵坐标即为底数，故从下到上依次增大．所以b<a<d<c.故选A.2.已知1>n>m>0，则指数函数①y＝m x，②y＝n x的图象为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由1>n>m>0可知①②应为两条递减指数函数曲线，故只可能是选项C或D，进而再判断①②与n和m的对应关系，不妨选择特殊点，令x＝1，则①②对应的函数值分别为m和n，由m<n知选C.故选C.3.函数y＝a x－(a>0，且a≠1)的图象可能是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】当a>1时，y＝a x－为增函数，且在y轴上的截距为0<1－<1，排除A，B.当0<a<1时，y＝a x－为减函数，且在y轴上的截距为1－<0，故选D.4.把函数y＝f(x)的图象向左，向下分别平移2个单位，得到y＝2x的图象，则f(x)的解析式是( ) A．f(x)＝2x＋2＋2B．f(x)＝2x＋2－2C．f(x)＝2x－2＋2D．f(x)＝2x－2－2【答案】C【解析】y＝2x向上，向右分别平移2个单位得f(x)的图象，所以f(x)＝2x－2＋2.5.若关于x的方程|a x－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是( )A．(0，1)∪(1，＋∞)B．(0，1)C．(1，＋∞)D．(0，)【答案】D【解析】方程|a x－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不相等的实数根转化为函数y＝|a x－1|与y＝2a有两个交点．①当0<a<1时，如图(1)，∴0<2a<1，即0<a<.②当a>1时，如图(2)，而y＝2a>1不符合要求．综上，0<a<.6.已知函数f(x)＝|2x－1－1|.(1)作出函数y＝f(x)的图象；(2)若a<c，且f(a)>f(c)，求证：2a＋2c<4.【答案】(1)f(x)＝其图象如图所示．(2)证明由图知，f(x)在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a<1.若c≤1，则2a<2，2c≤2，所以2a＋2c<4；若c>1，则由f(a)>f(c)，得1－2a－1>2c－1－1，即2c－1＋2a－1<2，所以2a＋2c<4.综上知，总有2a＋2c<4.7.已知函数f(x)的定义域是(1，2)，则函数f(2x)的定义域是( )A．(0，1)B．(2，4)C．(，1)D．(1，2)【答案】A【解析】根据题意可知1<2x<2，则0<x<1，所以函数f(2x)的定义域是(0，1)．8.函数y＝的定义域是________．【答案】(－∞，]【解析】要使函数y＝有意义，则必须()3x－1－≥0，即()3x－1≥()3，∴3x－1≤3，解得x≤.∴函数y＝的定义域是(－∞，]．故答案为(－∞，]．9.函数y＝的值域为________．【答案】[0，4)【解析】∵2x>0，∴0≤16－2x<16，则0≤<4，故函数y＝的值域为[0，4)．10.当x∈[0，1]时，函数f(x)＝3x＋2的值域为________．【答案】[3，5]【解析】因为指数函数y＝3x在区间[0，1]上是增函数，所以30≤3x≤31，即1≤3x≤3，于是1＋2≤3x＋2≤3＋2，即3≤f(x)≤5.11.若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则( )A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数【答案】B【解析】因为f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，所以f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，故选B.12.关于指数函数，有下列几个命题：①指数函数的定义域为(0，＋∞)；②指数函数的值域是不包括1的；③指数函数f(x)＝2x和f(x)＝()x关于y轴对称；④指数函数都是单调函数．其中正确的命题有________(填写正确命题的序号)．【答案】③④【解析】①指数函数的定义域为R，故①错误；②指数函数的值域是(0，＋∞)，故②错误；③∵f(x)＝()x＝2－x，∴指数函数f(x)＝2x和f(x)＝()x关于y轴对称，故③正确；④当a>1时，y＝ax是增函数；当0<a<1时，y＝ax是减函数，所以指数函数都是单调函数，故④正确．故答案为③④.13.指数函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)对于任意的x1、x2∈R，都有f(x1)f(x2)________f(x1＋x2)．(填“>”，“<”或“＝”)【答案】＝【解析】∵对于指数函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)，任意取x 1、x2∈R，有f(x1)f(x2)＝＝＝f(x1＋x2)．故答案为＝.14.a＝与b＝()5的大小关系是( )A．a>bB．a<bC．a＝bD．大小关系不定【答案】A【解析】考察函数y＝()x与y＝()x知，前者是一个增函数，后者是一个减函数，∴>()0＝1，()5<()0＝1，∴>()5，即a>b，故选A.15.设<()b<()a<1，那么( )A．a a<a b<b aB．a a<b a<a bC．a b<a a<b aD．a b<b a<a a【答案】C【解析】∵<()b<()a<1，且y＝()x在R上是减函数．∴0<a<b<1，∴指数函数y＝a x在R上是减函数，∴a b<a a，∴幂函数y＝x a在R上是增函数，∴a a<b a，∴a b<a a<b a，故选C.16.设函数f(x)定义在实数集上，且y＝f(x＋1)是偶函数，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有( ) A．f()<f()<f()B．f()<f()<f()C．f()<f()<f()D．f()<f()<f()【答案】B【解析】∵y＝f(x＋1)是偶函数，故函数的图象关于直线x＝1对称，则f()＝f()，f()＝f()，又∵当x≥1时，f(x)＝3x－1为增函数，且<<，故f()<f()<f()，即f()<f()<f()，故选B.17.集合M＝{3，2a}，N＝{a，b}，若M∩N＝{2}，则M∪N等于( )A．{0，1，2}B．{0，1，3}C．{0，2，3}D．{1，2，3}【答案】D【解析】因为2是它们的公共元素，所以2a＝2，a＝1，b＝2，因此M∪N＝{1，2，3}，选D.18.方程2m·3n－3n＋1＋2m＝13的非负整数解(m，n)＝________.【答案】(3，0)，(2，2)【解析】方程2m·3n－3n＋1＋2m＝13变形为3n(2m－3)＋2m＝13.(*)∵m，n为非负整数，∴当m＝0，1时，经验证无解，应舍去．当m＝2时，(*)化为3n＋22＝13，解得n＝2.此时方程的非负整数解为(2，2)．当m＝3时，(*)化为5·3n＋23＝13，即3n＝1，解得n＝0.当m≥4时，2m－3≥13，左边>右边，(*)无非负整数解．综上可知：方程2m·3n－3n＋1＋2m＝13的非负整数解(m，n)＝(3，0)，(2，2)．故答案为(3，0)，(2，2)．19.若方程()x＋()x－1＋a＝0有正数解，则实数a的取值范围是________．【答案】(－3，0)【解析】令()x＝t，∵方程有正根，∴t∈(0，1)．方程转化为t2＋2t＋a＝0，∴a＝1－(t＋1)2.∵t∈(0，1)，∴a∈(－3，0)．20.已知不等式为≤3x<27，则x的取值范围( )A．－≤x<3B．≤x<3C．RD．≤x<【答案】A【解析】由题意可得≤3x≤33，再根据函数y＝3x在R上是增函数，可得－≤x<3，故选A.21.已知f(x)＝a－x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是( )A．a>0B．a>1C．a<1D．0<a<1【答案】D【解析】∵f(－2)＝a2，f(－3)＝a3.f(－2)>f(－3)，即a2>a3，故0<a<1.选D.22.不等式<2－2x的解集是________．【答案】{x|x>3，或x<－1}【解析】原不等式化为<()2x，又y＝()x为减函数，故x2－3>2x，解得{x|x>3，或x<－1}．23.函数y＝的递减区间为( )A．(－∞，－3]B．[－3，＋∞)C．(－∞，3]D．[3，＋∞)【答案】B【解析】设u＝(x＋3)2，y＝()u，∵u＝(x＋3)2在(－∞，－3]上递减，在[－3，＋∞)上递增，而y＝()u在R上递减，∴y＝在[－3，＋∞)上递减．24.若函数y＝(1－2a)x是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围为( )A．(，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，)D．(－，)【答案】B【解析】由题意知函数为指数函数，且为实数集R上的增函数，所以底数1－2a>1，解得a<0.25.已知函数f(n)＝是增函数，则实数a的取值范围是( )A．(0，1)B．(7，8)C．[7，8)D．(4，8)【答案】D【解析】因为函数f(n)＝是增函数，所以解得4<a<8.26.函数y＝的递增区间是________．【答案】[2，＋∞)【解析】函数y＝的单调递增区间即为y＝x2－4x＋3的单调递增区间，∵y＝x2－4x＋3的单调递增区间为[2，＋∞)，故答案为[2，＋∞)．27.已知函数f(x)＝.(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值．【答案】(1)a＝1，得f(x)＝，∵∈(0，1)，∴f(x)的外层函数是一个递减的指数函数；令t＝x2－4x＋3，则其减区间为(－∞，2)，增区间为(2，＋∞)．∴f(x)的增区间为(－∞，2)，减区间为(2，＋∞)(2)∵f(x)有最大值为3，∈(0，1)，函数t＝ax2－4x＋3有最小值－1，∴函数t＝ax2－4x＋3在区间(－∞，)上是减函数，在区间(，＋∞)上是增函数由此可得，a>0且f()＝＝3，得－＋3＝－1，解之得a＝1.综上所述，当f(x)有最大值3时，a的值为1.28.已知函数y＝ax(a>1)在区间[1，2]上的最大值与最小值之差为2，则实数a的值为( ) A．B．2C．3D．4【答案】B【解析】y＝a x(a>1)在[1，2]上是增函数，最大值为a2，最小值为a1，所以a2－a1＝2，解得a＝2或a＝－1(舍)．29.已知函数y＝9x－2·3x－1，求该函数在区间x∈[－1，1]上的最大值和最小值．【答案】令3x＝t，∵－1≤x≤1，∴≤t≤3，∴y＝t2－2t－1＝(t－1)2－2(其中≤t≤3)．∴当t＝1时(即x＝0时)，y取得最小值－2，当t＝3时(即x＝1时)，y取得最大值2. 30.已知f(x)＝9x－2·3x＋4，x∈[－1，2]．(1)设t＝3x，x∈[－1，2]，求t的最大值与最小值；(2)求f(x)的最大值与最小值．【答案】(1)∵t＝3x在[－1，2]是单调增函数，∴t max＝32＝9，t min＝3－1＝.(2)令t＝3x，∵x∈[－1，2]，∴t∈[，9]，原方程变为：f(x)＝t2－2t＋4，∴f(x)＝(t－1)2＋3，t∈[，9]，∴当t＝1时，此时x＝0，f(x)min＝3，当t＝9时，此时x＝2，f(x)max＝67.题组10 与指数函数相关的函数的奇偶性31.函数y＝的图象( )A．关于原点对称B．关于直线y＝－x对称C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称【答案】A【解析】设函数y＝f(x)＝，则此函数的定义域为R.f(－x)＝＝＝－f(x)，故函数是奇函数，故它的图象关于原点O对称，故选A.32.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a x－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)等于( )A．2B．C．D．a2【答案】B【解析】∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴由f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，①得f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2，②①＋②，得g(x)＝2，①－②，得f(x)＝ax－a－x.又g(2)＝a，∴a＝2，∴f(x)＝2x－2－x，∴f(2)＝22－2－2＝.33.函数f(x)＝k·a－x(k，a为常数，a>0且a≠1)的图象过点A(0，1)，B(3，8)，(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)＝，试判断函数g(x)的奇偶性，并给出证明．【答案】(1)由已知得∴k＝1，a＝，∴f(x)＝2x.(2)函数g(x)为奇函数．证明：g(x)＝，其定义域为R，又g(－x)＝＝＝－＝－g(x)，∴函数g(x)为奇函数．。
高中数学-函数图像习题与解析39
课时作业(三十九)1．过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为()A ．8B ．16C ．32D ．642．直线y ＝kx －k 与抛物线y 2＝2px (p >0)的公共点个数是()A ．1B ．2C ．1或2D ．可能为03．过点(0，1)与抛物线y 2＝mx (m >0)只有一个公共点的直线有()A ．1条B ．2条C ．3条D ．由m 的取值确定4．若动点M (x ，y )到点F (4，0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点M 的轨迹方程是()A ．x ＋4＝0B ．x －4＝0C ．y 2＝8xD ．y 2＝16x5．过点(0，－2)的直线与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为2，则|AB |等于()A ．217 B.17C ．215 D.156．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A ，B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M (2，2)，则△ABF 的面积为________．7．已知动圆M 与直线y ＝2相切，且与定圆C ：x 2＋(y ＋3)2＝1外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．8．抛物线C ：y 2＝2x 的焦点F 的坐标是________；经过点P (4，1)的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为线段AB 的中点，则|AF |＋|BF |＝________．9．已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ，对称轴为x 轴，焦点为F ，抛物线上一点A 的横坐标为2，且FA →·OA →＝16.(1)求抛物线的方程；(2)过点M (8，0)作直线l 交抛物线于B ，C 两点，求证：OB ⊥OC .10．设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系Oxy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M P到x轴的距离大1 2 .(1)求点P的轨迹方程；(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝26，求实数k的值．11．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在12．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，A(－1，0)，点P是抛物线上的动点，则当|PF||PA|的值最小时，|PF|＝()A．1B．2C．22D．413．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．14．已知△ABC的三个顶点都在抛物线E：y2＝2x上，其中A(2，2)，△ABC的重心G是抛物线E的焦点，则BC边所在直线的方程为________．15．【多选题】已知点M(1，0)，直线l：x＝－2.若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是() A．点P的轨迹曲线是一条线段B．点P的轨迹是与直线l′：x＝－1没有交会的轨迹(即两个轨迹没有交点)C．y＝2x＋6不是“最远距离直线”D．y＝12x＋1是“最远距离直线”16．过抛物线y 2＝4ax (a ＞0)的焦点F ，作互相垂直的两条焦点弦AB 和CD ，求|AB |＋|CD |的最小值．1．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点M (－1，0)的直线在第一象限交抛物线于A ，B ，且满足AF →·BF →＝0，则直线AB 的斜率k ＝()A.2 B.22 C.3 D.332．【多选题】已知直线l ：3x －y －3＝0过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M ，N ，则下列说法错误的是()A ．抛物线的方程为y 2＝4xB ．线段AB 的长度为183C ．∠MFN ＝90°D ．线段AB 的中点到y 轴的距离为833．抛物线y ＝2x 2上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m 等于()A.32B ．2 C.52D ．34．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l ：x －2y －1＝0与C 交于P ，Q (P 在x 轴上方)两点，若PF →＝λFQ →，则实数λ的值为________．5．抛物线y 2＝2px (p ＞0)有一内接直角三角形，直角的顶点在原点，一直角边的方程是y ＝2x ，斜边长是53，此抛物线方程为________．6．已知M (a ，2)是抛物线y 2＝2x 上一定点，直线MP ，MQ 的倾斜角之和为π，且分别与抛物线交于P ，Q 两点，则直线PQ 的斜率为________．7．已知抛物线y2＝4x，其焦点为F.(1)求以M(1，1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程；(2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．。
三次函数图像与性质(解析版)
专题2-2三次函数图像与性质【题型1】求三次函数的解析式【题型2】三次函数的单调性问题【题型3】三次函数的图像【题型4】三次函数的最值、极值问题【题型5】三次函数的零点问题【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题【题型7】三次函数对称中心【题型8】三次函数的切线问题【题型9】三次函数根与系数的关系1/342/34【题型1】求三次函数的解析式（1）一般式：()³²f x ax bx cx d =+++（a ≠0）（2）交点式：()123()()()f x a x x x x x x =---（a ≠0）1．若三次函数()f x 满足()()()()00,11,03,19f f f f ''====，则()3f =（）A ．38B ．171C ．460D ．965【解析】待定系数法，求函数解析式设()³²f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，由题意可得：()()()()0011031329f d f a b c d f c f a b c ⎧==⎪=+++=⎪⎨==⎪⎪=+'=⎩'+，解得101230a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，则()3210123f x x x x =-+，所以()32310312333171f =⨯-⨯+⨯=.【题型2】三次函数的单调性问题三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、零点以及与其他函数的综合应用等方面。
以下是对三次函数常见考点的详细分析：1.三次函数的定义与形式∙定义：形如f (x )=ax 3+bx 2+cx +d （其中a ≠=0）的函数称为三次函数。
∙形式：注意系数a ,b ,c ,d 的作用，特别是a 的正负决定了函数的开口方向（a >0开口向上，a <0开口向下）。
高中数学高考总复习三角函数的图像与性质习题及详解
高中数学高考总复习三角函数的图像与性质习题及详解一、选择题1．(2010·枣庄模考)下列函数中，以π为最小正周期的偶函数，且在⎝⎛⎭⎫π2，π上为减函数的是( )A ．y ＝sin2x ＋cos2xB ．y ＝|sin x |C ．y ＝cos 2xD ．y ＝tan x[答案] B[解析] 由函数为偶函数，排除A 、D ；由⎝⎛⎭⎫π2，π上为减函数，排除C.2．(文)为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )A ．98π B.1972π C.1992πD ．100π[答案] B[解析] 由题意至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，∴4914·T ＝1974·2πω≤1，∴ω≥1972π，故选B.(理)有一种波，其波形为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x 的图象，若在区间[0，t ](t >0)上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 [答案] C[解析] ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x 的图象在[0，t ]上至少有2个波峰，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x 的周期T ＝4， ∴t ≥54T ＝5，故选C.3．(2010·深圳中学)函数y ＝lgsin ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的单调递减区间是( ) A ．[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )B ．[k π＋π3，k π＋5π6](k ∈Z )C ．[k π－π6，k π＋π12](k ∈Z )D ．[k π＋7π12，k π＋5π6](k ∈Z )[答案] C[解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x >0，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6<0， ∴2k π－π<2x －π6<2k π，k ∈Z ，∴k π－5π12<x <k π＋π12，k ∈Z ，又在(k π－5π12，k π－π6]上u ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6单减， 在[k π－π6，k π＋π12)上，u ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6单增， ∴函数y ＝lg sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的单调减区间为 [k π－π6，k π＋π12)，k ∈Z .4．(文)将函数y ＝sin x －3cos x 的图象沿x 轴向右平移a (a >0)个单位长度，所得函数的图象关于y 轴对称，则a 的最小值是( )A.7π6B.π2 C.π6D.π3[答案] C[解析] ∵y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，经平移后函数图象所对应的函数解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －a －π3，且其图象关于y 轴对称，∴－a －π3＝π2＋k π(k ∈Z )， ∴a min ＝π6.故选C.[点评] 考虑到偶函数的图象关于y 轴对称，又y ＝cos x 为偶函数，故可直接化y ＝sin x －3cos x ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，故只须向右平移π6个单位即可． (理)(2010·广东六校)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值是4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是( )A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2 [答案] D[解析] 由函数最小正周期是π2，排除B 选项；由最大值为4，最小值为0可排除A 选项；由x ＝π3为其一条对称轴可知选D.5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2.则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 B ．f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3D ．f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 [答案] A[解析] 由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2得A ＝2. 由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2得，T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在函数图象上得，2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－11π6.又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π6， 故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 6．(文)(2010·福建三明一中)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ≤2π)的部分图象如图所示，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4[答案] C[解析] 由图可知函数的最小正周期是8，根据最小正周期T ＝2πω可得ω＝π4，排除A 、B ，再根据0≤φ≤2π且当x ＝1时y ＝1，可知φ＝π4，故选C.(理)(2010·安徽马鞍山二中)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)的值为( )A ．2008 B.40172C ．2009D.40192[答案] D[解析] 由f (x )的图象可以得到A ＝12，b ＝1，T ＝4，所以ω＝π2，故f (x )＝12sin(π2x ＋φ)＋1，再由点⎝⎛⎭⎫1，32在f (x )的图象上，可得φ＝2k π，k ∈Z ， 所以f (x )＝12sin πx2＋1.所以f (1)＝12＋1，f (2)＝0＋1，f (3)＝－12＋1，f (4)＝0＋1，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝4，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＝2008＋f (2009)＝2008＋f (1)＝40192.7．(2010·山东东营模考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(|φ|<π2)的最小正周期为π，且其图象向左平移π6个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象( )A ．关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称 B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称D ．关于直线x ＝π12对称[答案] B[解析] ∵周期T ＝2πω＝π，∴ω＝2，将y ＝sin(2x ＋φ)的图象左移π6个单位后得到图象对应函数为y ＝sin[2(x ＋π6)＋φ]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ为奇函数，∴φ＝－π3，∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )得，x ＝k π2＋5π12，取k ＝0知x ＝5π12为其一条对称轴，故选B. 8．(2010·浙江金华十校)M 、N 是曲线y ＝πsin x 与曲线y ＝πcos x 的两个不同的交点，则|MN |的最小值为( )A ．π B.2π C.3πD ．2π [答案] C[解析] 其中与原点最近的两交点M ⎝⎛⎭⎫π4，2π2，N ⎝⎛⎭⎫5π4，－2π2，∴|MN |＝3π.9．(文)已知函数f (x )＝x ·sin x ，x ∈R .则f ⎝⎛⎭⎫－π4，f (1)及f ⎝⎛⎭⎫π3的大小关系为( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π4>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π3>f ⎝⎛⎭⎫－π4 C ．f ⎝⎛⎭⎫π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π4 D ．f ⎝⎛⎭⎫π3>f ⎝⎛⎭⎫－π4>f (1) [答案] C[解析] ∵f (x )为偶函数，且在⎣⎡⎦⎤0，π2上为增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π4＝f ⎝⎛⎭⎫π4，由于π3>1>π4， ∴f ⎝⎛⎭⎫π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π4＝f ⎝⎛⎭⎫－π4，故选C. (理)已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f (x )＝x ＋sin x ，则( ) A ．f (1)<f (2)<f (3) B ．f (2)<f (3)<f (1) C ．f (3)<f (2)<f (1) D ．f (3)<f (1)<f (2) [答案] D[解析] ∵f (x )＝f (π－x )， ∴f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，由条件知，f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上单调递减，∵π2<2<π－1<3<3π2，∴f (2)>f (π－1)>f (3)， ∴f (3)<f (1)<f (2)．故选D.10．(2010·山东肥城联考)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，－π2<φ<π2)的图象如图所示，若点A 是函数f (x )的图象与x 轴的交点，点B 、D 分别是函数f (x )的图象的最高点和最低点，点C ⎝⎛⎭⎫π12，0是点B 在x 轴上的射影，则AB →·BD →的值是( )A ．8B ．－8 C.π28－8D ．－π28＋8[答案] C[解析] 由图可知T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2，由2·π3＋φ＝π知，φ＝π3，从而A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，B ⎝⎛⎭⎫π12，2，D ⎝⎛⎭⎫7π12，－2，AB →＝⎝⎛⎭⎫π4，2，BD →＝⎝⎛⎭⎫π2，－4，∴AB →·BD →＝π28－8.二、填空题11．(文)(2010·山师大附中模考)将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是________．[答案] y ＝2cos 2x [解析] y ＝sin2x 错误!y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π4――→向上平移1个单位y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋1， 即y ＝cos2x ＋1＝2cos 2x .答案不惟一，只要结果可化为y ＝2cos 2x 的都正确．(理)(2010·福建莆田市质检)某同学利用描点法画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0,0<ω<2，－π2<φ<π2)的图象，列出的部分数据如下表：y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式应是________．[答案] y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π6[解析] ∵(0,1)和(2,1)关于直线x ＝1对称，故x ＝1与函数图象的交点应是最高点或最低点，故数据(1,0)错误，从而由(4，－2)在图象上知A ＝2，由过(0,1)点知2sin φ＝1，∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，再将点(2,1)代入得， 2sin ⎝⎛⎭⎫2ω＋π6＝1， ∴2ω＋π6＝π6＋2k π或2ω＋π6＝5π6＋2k π，k ∈Z ，∵0<ω<2，∴ω＝π3，∴解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π6.12．已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f (π6)＝f (π3)，且f (x )在区间(π6，π3)上有最小值，无最大值，则ω＝________.[答案]143[解析] ∵f (π6)＝f (π3)，∴sin(π6ω＋π3)＝sin(π3ω＋π3)，∴π3ω＋π3＝π6ω＋π3＋2k π (k ∈Z )① 或π3ω＋π3＝π－(π6ω＋π3)＋2k π (k ∈Z )② 由①得ω＝12k ，∵ω>0，k ∈Z ， ∴取k ＝1，ω＝12，周期T ＝2πω＝π6，故在(π6，π3)上既有最大值也有最小值，舍去．由②得ω＝4k ＋23，∵ω>0，k ∈Z ，∴取k ＝1，ω＝143，周期T ＝2π＝3π7，满足题设要求．13．(2010·山师大附中模考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________．[答案] y ＝2sin ⎝⎛⎫2x ＋π6[解析] 由图象最高点⎝⎛⎭⎫π6，2知A ＝2， 又T 4＝5π12－π6＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2， ∴y ＝2sin(2x ＋φ)，将⎝⎛⎭⎫π6，2代入得2＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ，∵|φ|≤π2，∴φ＝π6，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 14．(2010·上海大同中学模考)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4x －π2的部分图象如图所示，则(OA →＋OB →)·AB →＝________.[答案] 6[解析] y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4x －π2＝－cot π4x ，其周期T ＝ππ4＝4，∴A (2,0)，由－cot π4x ＝1及0<x <4得，x ＝3，∴B (3,1)，∴OA →＝(2,0)，OB →＝(3,1)，AB →＝(1,1)， ∴(OA →＋OB →)·AB →＝(5,1)·(1,1)＝6. 三、解答题15．(文)已知函数f (x )＝(3sin ωx ＋cos ωx )cos ωx －12(ω>0)的最小正周期为4π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．[解析] (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12－12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6 ∵T ＝2π2ω＝4π，∴ω＝14.(2)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6∵－π2＋2k π≤12x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z∴－43π＋4k π≤x ≤23π＋4k π，k ∈Z∴f (x )的单调递增区间为[－4π3＋4k π，2π3＋4k π](k ∈Z )． (理)(2010·湖北黄冈)已知函数f (x )＝2a cos 2x ＋b sin x cos x (a >0，b >0)，f (x )的最大值为1＋a ，最小值为－12.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间． [解析] (1)f (x )＝a (1＋cos2x )＋b2sin2x＝a 2＋b 24sin(2x ＋φ)＋a ，由题设知a 2＋b 24＝1，a －a 2＋b 24＝－12，所以a ＝12，b ＝ 3所以f (x )＝32sin2x ＋12cos2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12， 所以f (x )的最小正周期为π. (2)由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2得，k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z所以f (x )单调增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．16．(文)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(b,2a －c )，n ＝(cos B ，cos C )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)设f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －B 2＋sin ωx (ω>0)，且f (x )的最小正周期为π，求f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值．[解析] (1)由m ∥n 得，b cos C ＝(2a －c )cos B ， ∴b cos C ＋c cos B ＝2a cos B .由正弦定理得，sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos B ， 即sin(B ＋C )＝2sin A cos B .又B ＋C ＝π－A ，∴sin A ＝2sin A cos B . 又sin A ≠0，∴cos B ＝12.又B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由题知f (x )＝cos(ωx －π6)＋sin ωx＝32cos ωx ＋32sin ωx ＝3sin(ωx ＋π6)， 由已知得2πω＝π，∴ω＝2，f (x )＝3sin(2x ＋π6)，当x ∈[0，π2]时，(2x ＋π6)∈[π6，7π6]，sin(2x ＋π6)∈[－12，1]．因此，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值 3.当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－32.(理)(2010·广东佛山顺德区检测)已知电流I 与时间t 的关系式为I ＝A sin(ωt ＋φ)． (1)如图是I ＝A sin(ωt ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象，根据图中数据求I ＝A sin(ωt＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1100秒的时间内，电流I ＝A sin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？[解析] (1)由图可知A ＝300，周期 T ＝2×[1180－(－1900)]＝175∴ω＝2πT＝150π.又当t ＝1180时，I ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫150π·1180＋φ＝0 而|φ|<π2，∴φ＝π6.故所求的解析式为I ＝300sin(150πt ＋π6)．(2)依题意，周期T ≤1100，即2π≤1100，(ω>0)，∴ω≥200π>628，又ω∈N *，∴ωmin ＝629.17．(2010·湖北黄冈)已知a ＝(3，cos x )，b ＝(cos 2x ，sin x )，函数f (x )＝a ·b －32. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，求函数f (x )的取值范围； (3)函数f (x )的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为奇函数？[解析] (1)函数f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32 ＝3⎝⎛⎭⎫1＋cos2x 2＋12sin2x －32 ＝32cos2x ＋12sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ∴由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z 得 －5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，(k ∈Z ) (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6 ∴当2x ＋π3＝π2即x ＝π12时f (x )max ＝1 当2x ＋π3＝5π6即x ＝π4时，f (x )min ＝12，∴12≤f (x )≤1. (3)将f (x )的图象上所有的点向右平移π6个单位长度得到y ＝sin2x 的图象，则其对应的函数即为奇函数．(答案不唯一)。
高中数学复习：正切函数的图像和性质练习及答案
高中数学复习：正切函数的图像和性质练习及答案1.如下图所示，函数y ＝cos x |tan x |(0≤x ＜3π2且x ≠π2)的图象是( )A ．B ．C ．D ．2.函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间(π2,3π2)内的图象是( )A ．B ．C ．D ．3.函数f (x )＝tan x ＋1tanx ，x ∈{x|−π2<x <0或0＜x ＜π2}的图象为( )A ．B ．C ．D ．4.函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象在(－π2，π2)上的交点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．35.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)等于( )A．2＋√3 B．√3 C．√33D．2－√36.下列图象分别是函数①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在x∈(－3π2，?3π2)内的大致图象.那么图a、b、c、d依次对应的函数关系式应是( )A．①②③④ B．①③④② C．③②④① D．①②④③7.函数y＝tan(π4x－π2)的部分图象如图所示，则△AOB的面积等于( )A．1 B．2 C．4 D．928.使不等式tan x≥√3成立的x的集合为( )A．(kπ＋π6，kπ＋π2)(k∈Z) B．[kπ＋π6，kπ＋π2)(k∈Z)C．[kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z) D．(kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z)考点2 正切函数的定义域、值域9.函数y＝1tanx的定义域为( )A．{x|x≠0}B．{x|x≠kπ，k∈Z}C．{x|x≠kπ+π2，k∈Z}D．{x|x≠kπ2，k∈Z}10.函数y＝√sinx＋√tanx的定义域为( )A．{x|2kπ≤x＜2kπ＋π2,k∈Z}B．{x|2kπ＜x≤kπ＋π2,k∈Z}C．{x|2kπ≤x＜2kπ＋π2,k∈Z}∪{x|x＝2kπ＋π，k∈Z}D．{x|2kπ≤x＜2kπ＋π2且x≠2kπ＋π，k∈Z}11.函数y＝tan x(−π4≤x≤π4且x≠0)的值域是( )A．[－1,1] B．[－1,0)∪(0,1] C．(－∞，1] D．[－1，＋∞) 12.函数y＝tan(sin x)的值域为( )A．[−π4,π4]B．[−√22,√22]C．[－tan1，tan1] D．以上都不对13.(1)求函数y＝√tanx−√3的定义域；(2)已知f(x)＝tan2x－2tan x(|x|≤π3)，求f(x)的值域.14.函数y＝tanωx的最小正周期为π2，则实数ω的值为( )A．12B．1 C．2 D．415.已知函数y＝tanωx(ω＞0)的图象与直线y＝a相交于A，B两点，若AB长度的最小值为π，则ω的值为( )A ．4B ．2C ．1D ．3 16.函数y ＝tan 35x 是( )A ．周期为π的偶函数B ．周期为53π的奇函数 C ．周期为53π的偶函数 D ．周期为π的奇函数 17.下列函数中，为偶函数的是( ) A ．f (x )＝sin(2015π2＋x ) B ．f (x )＝cos(2015π2＋x ) C ．f (x )＝tan(2015π2＋x ) D ．f (x )＝sin(2014π2＋x )18.函数y ＝tan (x +π3)图象的对称中心的坐标是( ) A ．(k π−π3,0)(k ∈Z ) B ．(k 2π－π3，0)(k ∈Z )C ．(k π2，0)(k ∈Z ) D ．(k π，0)(k ∈Z )19.下列坐标所表示的点不是函数y ＝tan(x2－π6)的图象的对称中心的是( ) A ．(π3,0) B ．(−5π3,0) C ．(7π3,0) D ．(2π3,0)20.下列关于函数y ＝tan (x +π3)的说法正确的是( ) A ．在区间(−π6+5π6)上单调递增 B ．最小正周期是πC ．图象关于点(π4,0)成中心对称 D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称21.若函数f (x )＝2cos(4x ＋π7)－1与函数g (x )＝5tan(ax －1)＋2的最小正周期相同，则实数a ＝______.22.给出下列命题：①正切函数的图象的对称中心是唯一的； ②y ＝|sin x |，y ＝|tan x |的周期分别为π，π2；③若x1＞x2，则sin x1＞sin x2；④若f(x)是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f(－T2)＝0. 其中正确命题的序号是________.23.试判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)＝1－2cos x＋|tan x|；(2)f(x)＝x2tan x－sin2x.24.下列说法正确的是( )A．y＝tan x是增函数B．y＝tan x在第一象限是增函数C．y＝tan x在某一区间上是减函数D．y＝tan x在区间(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)上是增函数25.函数y＝tan(x＋π5)的单调递增区间是( )A．(−π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)B．(−7π10＋kπ，3π10＋kπ)(k∈Z)C．(−3π10＋kπ，7π10＋kπ)(k∈Z)D．(−π5+kπ，π5＋kπ)(k∈Z)26.关于函数f(x)＝－tan2x，有下列说法：①f(x)的定义域是{x∈R|x≠π2＋kπ，k∈Z}；②f(x)是奇函数；③在定义域上是增函数；④在每一个区间(－π4＋kπ2，π4＋kπ2)(k∈Z)上是减函数；⑤最小正周期是π.其中正确的是( )A ．①②③B ．②④⑤C ．②④D ．③④⑤ 27.已知函数f (x )＝√3tan πxω(ω＞0).(1)当ω＝4时，求f (x )的最小正周期及单调区间；(2)若|f (x )|≤3在x ∈[－π3，π4]上恒成立，求ω的取值范围.28.对于函数y ＝tan x2，下列判断正确的是( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π2的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为2π的偶函数29.已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4).(1)求该函数的定义域，周期及单调区间； (2)若f (θ)＝17，求2cos 2θ2−sinθ−12sin(θ＋π4)的值.30.已知函数y ＝tan(12x －π6).(1)作出此函数在一个周期开区间上的简图； (2)求出此函数的定义域、周期和单调区间；(3)写出此函数图象的渐近线方程和所有对称中心的坐标.31.已知关于实数x的不等式|x−(tanθ＋1)22|≤(tanθ−1)22，x2－3(tanθ＋1)x＋2(3tanθ＋1)≤0的解集分别为M，N，且M∩N＝∅，则这样的θ存在吗？若存在，求出θ的取值范围. 答案1.如下图所示，函数y＝cos x|tan x|(0≤x＜3π2且x≠π2)的图象是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】∵y＝cos x|tan x|＝{sinx,0≤x＜π2,−sinx,π2＜x≤πsinx,π＜x＜3π2.，∴函数y＝cos x|tan x|(0≤x＜3π2且x≠π2)的图象是C.2.函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间(π2,3π2)内的图象是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】当π2＜x＜π时，tan x＜sin x，y＝2tan x＜0；当x＝π时，y＝0；当π＜x＜3π2时，tan x＞sin x，y＝2sin x.故选D.3.函数f (x )＝tan x ＋1tanx ，x ∈{x|−π2<x <0或0＜x ＜π2}的图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为y ＝tan x 是奇函数，所以f (x )＝tan x ＋1tanx ，x ∈{x|−π2<x <0或0＜x ＜π2}是奇函数，因此B ，C 不正确，又因为f (x )＝tan x ＋1tanx ，0＜x ＜π2时函数为正数，所以D 不正确，A 正确.4.函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象在(－π2，π2)上的交点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】∵sin x ＜x ＜tan x ，x ∈(0，π2)， ∴在(0，π2)上无交点，又它们都是奇函数，故在(－π2，0)上无交点， 观察图象知两个函数的图象有1个交点.5.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)等于( )A ．2＋√3B ．√3C ．√33D ．2－√3【答案】B【解析】由图象知πω＝2×(3π8−π8)＝π2，ω＝2.又由于2×π8＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，φ＝k π＋π4(k∈Z )，又|φ|＜π2，所以φ＝π4.这时f (x )＝A tan (2x +π4).又图象过(0,1)，代入得A ＝1，故f (x )＝tan (2x +π4).所以f (π24)＝tan (2×π24+π4)＝√3，故选B.6.下列图象分别是函数①y ＝|tan x |；②y ＝tan x ；③y ＝tan(－x )；④y ＝tan|x |在x ∈(－3π2，?3π2)内的大致图象.那么图a 、b 、c 、d 依次对应的函数关系式应是( )A ．①②③④B ．①③④②C ．③②④①D ．①②④③ 【答案】D【解析】y ＝tan(－x )在(－π2，?π2)内是减函数，故选D.7.函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图象如图所示，则△AOB 的面积等于( )A ．1B ．2C ．4D ．92【答案】A【解析】函数的周期T＝ππ4＝4，则A(2,0)，∴△AOB的面积S＝12×2×1＝1.8.使不等式tan x≥√3成立的x的集合为( )A．(kπ＋π6，kπ＋π2)(k∈Z)B．[kπ＋π6，kπ＋π2)(k∈Z)C．[kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z)D．(kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z)【答案】C【解析】∵不等式tan x≥√3，由正切函数的性质可得kπ＋π3≤x＜kπ＋π2，k∈Z，∴使不等式成立的x的集合为{x|kπ＋π3≤x＜kπ＋π2，k∈Z}，即x∈[kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z).9.函数y＝1tanx的定义域为( ) A．{x|x≠0}B．{x|x≠kπ，k∈Z}C．{x|x≠kπ+π2，k∈Z}D．{x|x≠kπ2，k∈Z}【答案】D【解析】函数y＝1tanx 有意义，则{x≠kπ，k∈Z，x≠kπ+π2，k∈Z，可得函数的定义域为{x|x ≠k π2，k ∈Z}.10.函数y ＝√sinx ＋√tanx 的定义域为( ) A ．{x|2k π≤x ＜2k π＋π2,k ∈Z} B ．{x|2k π＜x ≤k π＋π2,k ∈Z}C ．{x|2k π≤x ＜2k π＋π2,k ∈Z}∪{x|x ＝2k π＋π，k ∈Z }D ．{x|2k π≤x ＜2k π＋π2且x ≠2k π＋π，k ∈Z} 【答案】C【解析】由{sinx ≥0tanx ≥0，即{2kπ≤x ≤2kπ＋πkπ≤x ＜kπ＋π2(k ∈Z )，得2k π≤x ＜2k π＋π2(k ∈Z )或x ＝2k π＋π(k ∈Z ).所以函数y ＝√sinx ＋√tanx 的定义域是{x|2k π≤x ＜2k π＋π2,k ∈Z}∪{x|x ＝2k π＋π，k ∈Z } 11.函数y ＝tan x (−π4≤x ≤π4且x ≠0)的值域是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞) 【答案】B【解析】根据正切函数图象，结合函数的单调性可得. 12.函数y ＝tan(sin x )的值域为( ) A ．[−π4,π4]B ．[−√22,√22]C ．[－tan1，tan1]D ．以上都不对 【答案】C【解析】∵sin x ∈[－1,1]，结合函数y ＝tan x 的图象可知，tan(－1)≤tan(sin x )≤tan1，即y ∈[－tan1，tan1].13.(1)求函数y ＝√tanx −√3的定义域；(2)已知f (x )＝tan 2x －2tan x (|x |≤π3)，求f (x )的值域.【答案】(1)要使函数有意义，必须使tan x －√3≥0，即tan x ≥√3， ∴k π＋π3≤x ＜k π＋π2，k ∈Z .∴函数y ＝√tanx −√3的定义域为[k π＋π3,k π＋+π2)(k ∈Z ). (2)令u ＝tan x ，∵|x |≤π3，∴u ∈[－√3，√3]， ∴函数化为y ＝u 2－2u . 对称轴为u ＝1∈[－√3，√3]. ∴当u ＝1时，y min ＝12－2×1＝－1. 当u ＝－√3时，y max ＝3＋2√3， ∴f (x )的值域为[－1,3＋2√3].14.函数y ＝tan ωx 的最小正周期为π2，则实数ω的值为( ) A ．12 B ．1 C ．2 D ．4 【答案】C【解析】因为函数y ＝tan ωx 的最小正周期为π2，所以π|ω|＝π2，考察选项可知，实数ω的值为2. 15.已知函数y ＝tan ωx (ω＞0)的图象与直线y ＝a 相交于A ，B 两点，若AB 长度的最小值为π，则ω的值为( )A．4 B．2 C．1 D．3【答案】C【解析】根据函数y＝tanωx(ω＞0)的图象特点可知，两点间的距离必是最小正周期的正整数倍，又由两点间长度的最小值为π，即函数最小正周期为π，所以π|ω|＝π.又由ω＞0，则ω＝1.16.函数y＝tan35x是( )A．周期为π的偶函数 B．周期为53π的奇函数C．周期为53π的偶函数 D．周期为π的奇函数【答案】B【解析】正切函数的周期T＝π35＝53π，函数y＝tan35x是奇函数.17.下列函数中，为偶函数的是( )A．f(x)＝sin(2015π2＋x)B．f(x)＝cos(2015π2＋x)C．f(x)＝tan(2015π2＋x)D．f(x)＝sin(2014π2＋x)【答案】A【解析】对于A，f(x)＝sin(2015π2＋x)＝sin(1007π＋π2＋x)＝sin(3π2＋x)＝－cos x，为偶函数，则A正确；对于B，f(x)＝cos(2015π2＋x)＝cos(1007π＋π2＋x)＝cos(3π2＋x)＝sin x，为奇函数，则B错误；对于C ，f (x )＝tan(2015π2＋x )＝tan(1007π＋π2＋x )＝tan(π2＋x )＝－cot x ，为奇函数，则C 错误；对于D ，f (x )＝sin(1007π＋x )＝sin(π＋x )＝－sin x ，为奇函数，故D 错误. 故选A.18.函数y ＝tan (x +π3)图象的对称中心的坐标是( ) A ．(k π−π3,0)(k ∈Z )B ．(k2π－π3，0)(k ∈Z ) C ．(k π2，0)(k ∈Z )D ．(k π，0)(k ∈Z )【答案】B【解析】函数y ＝tan (x +π3)的图象由函数y ＝tan x 的图象向左平移π3个单位得到， 又由函数y ＝tan x 的对称中心的坐标是(k π2，0)(k ∈Z )，∴函数y ＝tan(x ＋π3)的对称中心的坐标是(k2π－π3，0)(k ∈Z ).19.下列坐标所表示的点不是函数y ＝tan(x2－π6)的图象的对称中心的是( ) A ．(π3,0) B ．(−5π3,0) C ．(7π3,0) D ．(2π3,0)【答案】D 【解析】将π3，－5π3，7π3代入y ＝tan(x 2－π6)均为0，而2π3代入y ＝tan(x 2－π6)不为0，所以选D.20.下列关于函数y ＝tan (x +π3)的说法正确的是( ) A ．在区间(−π6+5π6)上单调递增B ．最小正周期是πC ．图象关于点(π4,0)成中心对称 D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称 【答案】B【解析】令k π－π2＜x ＋π3＜k π＋π2，解得k π－5π6＜x ＜k π＋π6，k ∈Z ，显然(−π6，5π6)不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确；令x ＋π3＝k π2，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z ，任取k 值不能得到x ＝π4，故C 错误；正切曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan (x +π3)的图象也没有对称轴，故D 错误.故选B.21.若函数f (x )＝2cos(4x ＋π7)－1与函数g (x )＝5tan(ax －1)＋2的最小正周期相同，则实数a ＝______. 【答案】±2【解析】函数f (x )＝2cos(4x ＋π7)－1的周期是π2，函数g (x )＝5tan(ax －1)＋2的最小正周期是π|a|， 因为周期相同，所以π|a|＝π2，解得a ＝±2. 22.给出下列命题：①正切函数的图象的对称中心是唯一的； ②y ＝|sin x |，y ＝|tan x |的周期分别为π，π2； ③若x 1＞x 2，则sin x 1＞sin x 2；④若f (x )是R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f (－T2)＝0. 其中正确命题的序号是________. 【答案】④【解析】①正切函数的图象的对称中心是唯一的，由正切函数的性质可知，①是错误的； ②y ＝|sin x |，y ＝|tan x |的周期分别为π，π2，前者正确，后者错误，②是错误的； ③若x 1＞x 2，则sin x 1＞sin x 2，如果x 1＝390°，x 2＝90°，sin x 1＜sin x 2，③是错误的；④若f(x)是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f(－T2)＝0，f(x＋T)＝f(x)，f(－T2＋π)＝f(－T2)＝－f(T2)，f(－T2)＝0，④是正确的.故答案为④.23.试判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)＝1－2cos x＋|tan x|；(2)f(x)＝x2tan x－sin2x.【答案】(1)函数的定义域为{x|x≠π2＋kπ，k∈Z}，f(－x)＝1－2cos(－x)＋|tan(－x)|＝1－2cos x＋|tan x|＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数.(2)函数的定义域为{x|x≠π2＋kπ，k∈Z}，f(－x)＝(－x)2tan(－x)－sin2(－x)＝－x2tan x－sin2x，∴函数f(x)是非奇非偶函数.24.下列说法正确的是( )A．y＝tan x是增函数B．y＝tan x在第一象限是增函数C．y＝tan x在某一区间上是减函数D．y＝tan x在区间(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)上是增函数【答案】D【解析】由正切函数的图象可知D正确.25.函数y＝tan(x＋π5)的单调递增区间是( )A．(−π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)B ．(−7π10＋k π，3π10＋k π)(k ∈Z ) C ．(−3π10＋k π，7π10＋k π)(k ∈Z ) D ．(−π5+k π，π5＋k π)(k ∈Z )【答案】B【解析】∵y ＝tan x 的单调递增区间为(−π2＋k π，π2＋k π)(k ∈Z )， 令k π－π2＜x ＋π5＜k π＋π2，解得k π－7π10＜x ＜k π＋3π10， ∴函数y ＝tan(x ＋π5)的单调递增区间是(−7π10＋k π，3π10＋k π)(k ∈Z ). 26.关于函数f (x )＝－tan2x ，有下列说法：①f (x )的定义域是{x ∈R |x ≠π2＋k π，k ∈Z }；②f (x )是奇函数；③在定义域上是增函数；④在每一个区间(－π4＋k π2，π4＋k π2)(k ∈Z )上是减函数；⑤最小正周期是π.其中正确的是( )A ．①②③B ．②④⑤C ．②④D ．③④⑤ 【答案】C【解析】①由正切函数的定义域可得，2x ≠π2＋k π，k ∈Z ，故①错误； ③由正切函数的定义域可知，函数y ＝－tan2x 在(－π4＋k π2，π4＋k π2)(k ∈Z )上是减函数，故③错误；⑤根据周期公式可得，T ＝π2，故⑤错误. 27.已知函数f (x )＝√3tan πx ω(ω＞0).(1)当ω＝4时，求f (x )的最小正周期及单调区间；(2)若|f (x )|≤3在x ∈[－π3，π4]上恒成立，求ω的取值范围. 【答案】(1)当ω＝4时，f (x )＝√3tan π4x ，则f (x )的最小正周期T ＝ππ4＝4，由k π－π2＜π4x ＜k π＋π2，k ∈Z .得4k －2＜x ＜4k ＋2，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为(4k －2,4k ＋2)，k ∈Z . (2)∵ω＞0，∴函数f (x )的周期T ＝ππω＝ω，∴若|f (x )|≤3在x ∈[－π3，π4]上恒成立， 则f (x )在x ∈[－π3，π4]上为单调递增函数， 满足－π3＞－12T ＝－ω2， ∴ω＞2π3，∵|f (－π3)|＞f (π4)，此时满足f (－π3)≥－3，即f (－π3)＝√3tan(－π3×πω)≥－3， 即tan(－π3×πω)≥－√3，则－π3×πω≥－π3， 则πω≤1，即ω≥π， 综上，ω≥π.28.对于函数y ＝tan x2，下列判断正确的是( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π2的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为2π的偶函数 【答案】A【解析】函数y ＝tan x 2的周期T ＝πω＝2π，再由tan(－x 2)＝－tan x2可得，此函数为奇函数. 29.已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4).(1)求该函数的定义域，周期及单调区间； (2)若f (θ)＝17，求2cos 2θ2−sinθ−12sin(θ＋π4)的值.【答案】(1)由题意得，T ＝π2. 由2x ＋π4≠π2＋k π(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π8，由－π2＋k π＜2x ＋π4＜π2＋k π(k ∈Z )，得k π2－3π8＜x ＜k π2＋π8，综上得，函数的周期是π2，定义域是{x |x ≠k π2＋π8，k ∈Z }，单调增区间是(k π2－3π8，k π2＋π8)(k ∈Z ).(2)2cos 2θ2−sinθ−1√2sin(θ＋π4)＝cosθ－sinθsinθ＋cosθ＝1－tanθtanθ＋1，①∵f (θ)＝17，∴tan(2θ＋π4)＝17， 则tan2θ＝tan[(2θ＋π4)－π4]＝17−11+17＝－34，由tan2θ＝2tanθ1－tan 2θ＝－34，得tan θ＝3或－13， 把tan θ＝3代入上式①得，2cos 2θ2−sinθ−1√2sin(θ＋π4)＝－12，把tan θ＝－13代入上式①得，2cos 2θ2−sinθ−1√2sin(θ＋π4)＝2.30.已知函数y ＝tan(12x －π6).(1)作出此函数在一个周期开区间上的简图； (2)求出此函数的定义域、周期和单调区间；(3)写出此函数图象的渐近线方程和所有对称中心的坐标. 【答案】(1)作出此函数在一个周期开区间上的简图：则对应的图象如图：(2)由12x －π6≠k π＋π2，得x ≠2k π＋4π3，即函数的定义域为{x |x ≠2k π＋4π3，k ∈Z }，函数的周期T ＝π12＝2π.由k π－π2＜12x －π6＜k π＋π2，k ∈Z ， 得2k π－2π3＜x ＜2k π＋4π3，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为(2k π－2π3，2k π＋4π3)，k ∈Z .(3)由12x －π6＝k π＋π2，得x ＝2k π＋4π3，k ∈Z ， 即函数图象的渐近线方程为x ＝2k π＋4π3，k ∈Z ，由12x －π6＝k π2，得x ＝k π＋π3，k ∈Z .即所有对称中心的坐标为(k π＋π3，0).31.已知关于实数x的不等式|x−(tanθ＋1)22|≤(tanθ−1)22，x2－3(tanθ＋1)x＋2(3tanθ＋1)≤0的解集分别为M，N，且M∩N＝∅，则这样的θ存在吗？若存在，求出θ的取值范围.【答案】假设θ存在.由|x−(tanθ＋1)22|≤(tanθ−1)22，得2tanθ≤x≤tan2θ＋1，∴M＝{x|2tanθ≤x≤tan2θ＋1}.∵x2－3(tanθ＋1)x＋2(3tanθ＋1)≤0，∴当tanθ≥13时，2≤x≤3tanθ＋1.当tanθ＜13时，3tanθ＋1≤x≤2.∵M∩N＝∅，∴当tanθ≥13时，有3tanθ＋1＜2tanθ或tan2θ＋1＜2，即tanθ＜－1或－1＜tanθ＜1，∴13≤tanθ＜1.①当tanθ＜13时，有2＜2tanθ或3tanθ＋1＞tan2θ＋1，即tanθ＞1或0＜tanθ＜3，∴0＜tanθ＜13.②由①②得0＜tanθ＜1，∴θ的取值范围是(kπ，kπ＋π4)，k∈Z.。
高中函数图像考试题及答案
高中函数图像考试题及答案一、选择题1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 的图像是一个：A. 直线B. 抛物线C. 双曲线D. 正弦曲线答案：B2. 函数 \( y = |x| \) 的图像在 \( x = 0 \) 处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -1D. 不存在答案：A3. 函数 \( y = \sin(x) \) 的图像是：A. 线性的B. 周期性的C. 单调的D. 常数的答案：B二、填空题4. 如果函数 \( f(x) \) 在 \( x = a \) 处取得极值，那么\( f'(a) \) 等于 _______ 。
答案：05. 函数 \( y = x^3 \) 的图像是关于 \( x \) 轴的 _______ 对称。
答案：不三、简答题6. 解释函数 \( y = \ln(x) \) 的图像为什么在 \( x = 0 \) 处没有定义。
答案：函数 \( y = \ln(x) \) 是自然对数函数，其定义域为\( x > 0 \)。
当 \( x = 0 \) 时，没有实数可以作为对数的底数，因为对数函数的底数不能为1，也不能为负数或0。
因此，\( x = 0 \) 处没有定义。
7. 描述函数 \( y = 1/x \) 的图像在第一象限和第三象限的行为。
答案：函数 \( y = 1/x \) 的图像在第一象限和第三象限都是递减的。
当 \( x \) 增大时，\( y \) 减小；当 \( x \) 减小时，\( y \) 增大。
这是因为当 \( x \) 的值增加时，其倒数 \( 1/x \) 的值会减少，反之亦然。
四、计算题8. 给定函数 \( f(x) = 2x^2 + 3x - 5 \)，求导数 \( f'(x) \) 并找到函数的极值点。
答案：导数 \( f'(x) = 4x + 3 \)。
令 \( f'(x) = 0 \) 解得\( x = -3/4 \)。
三角函数的图象与性质6大题型(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
三角函数的图象与性质6大题型【题型目录】题型一：三角函数的周期性题型二：三角函数对称性题型三：三角函数的奇偶性题型四：三角函数的单调性题型五：三角函数的值域题型六：三角函数的图像【典例例题】题型一：三角函数的周期性【例1】（2022·全国·兴国中学高三阶段练习（文））下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）．A ．tan y x =B ．sin 2y x =C ．sin cos y x x =D ．sin y x=【例2】（2022江西景德镇一中高一期中（文））下列函数中①sin y x =；②sin y x =；③tan y x =；④12cos y x =+，其中是偶函数，且最小正周期为π的函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，sin y x =是偶函数，但不是周期函数，∴排除①；②的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，sin y x =是偶函数，最小正周期是π，∴②正确；③的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，tan y x =是偶函数，最小正周期为π，∴③正确；④的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，12cos y x =+是偶函数，最小正周期为2π，∴排除④.故选：B.【例3】（2022·全国·高三专题练习）函数ππ()sin 2cos 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是（）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π【例4】设函数()c x b x x f ++=sin 2cos ，则()x f 的最小正周期()A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【答案】B【解析】因x y 2cos =的最小正周期为ππ==22T ，x y sin =的最小正周期为ππ212==T 所以当0≠b 时，()x f 的最小正周期为π2；当0=b 时，()x f 的最小正周期为π；【例5】（2022·全国·高一课时练习）函数22cos 14y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小正周期为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【例6】（2022·广西桂林·模拟预测（文））函数()2sin6cos6f x x x =+的最小正周期是（）A ．2πB ．3πC ．32πD ．6π【例7】（2022·全国·高一专题练习）()|sin ||cos |f x x x =+的最小正周期是（）A ．2πB ．πC ．2πD ．3π【题型专练】1.（2023全国高三题型专练）在函数①cos |2|y x =，②|cos |y x =，③πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，④πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（）A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】∵cos |2|y x ==cos2x ，∴T =22π=π；|cos |y x =图象是将y =cos x 在x 轴下方的图象对称翻折到x 轴上方得到，所以周期为π，由周期公式知，cos(2)6y x π=+为π，tan(2)4y x π=-为2π，故选：C .2.（2022·河北深州市中学高三阶段练习）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()()sin cos y x x ππ=+-C ．22cos cos 2y x x π⎛⎫=-+ ⎪D ．sin 2y x=3.（2022·北京昌平·高一期末）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 2y x =C ．sin cos y x x =D ．22cos sin y x x=-4.（2022·陕西渭南·高二期末（理））函数()2sin cos f x x x x =+的最小正周期是________．5．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()cos f x x x ωω=-(0)ω>的最小正周期为π，则ω=___．6．（2022·浙江·杭十四中高一期末）函数2cos cos cos 2y x x x π⎛⎫=+- ⎪的最小正周期为__________．题型二：三角函数对称性【例1】（江西省“红色十校”2023届高三上学期第一联考数学（文）试题）已知函数π()sin()0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的两个相邻的零点为12,33-，则()f x 的一条对称轴是（）A ．16x =-B ．56x =-C ．13x =D ．23x =，【例2】（2022全国高一课时练习）函数cos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．关于直线6x π=对称D ．关于直线3x π=对称【答案】D【解析】由题设，由余弦函数的对称中心为,2)0(k ππ+，令232x k πππ+=+，得212k x ππ=+，k Z ∈，易知A 、B 错误；由余弦函数的对称轴为x k π=，令23x k ππ+=，得26k x ππ=-，k Z ∈，当1k =时，3x π=，易知C 错误，D 正确；故选：D 【例3】（2022·江西省万载中学高一阶段练习）把函数4πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（）A ．5π6B ．2π3C ．5π12D ．π6【例4】（2023福建省福州屏东中学高三开学考试多选题）已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线3x π=对称，则（）A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的图像向右平移()0a a >个单位长度得到的函数图像关于6x π=对称，则a 的最小值是3πD ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥上有2个不同实根12,x x ，则12x x -的最大值为2π故结合正弦函数的性质可知，若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根12,x x ，不妨设12x x <，则12x x -取得最大值时满足1266x ππ-=且25266x ππ-=，所以，12x x -的最大值为3π，故错误.故选：AC【例5】(2023江西省高三月考)若函数y cos 6x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(ω∈N +)图象的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则ω的最小值为()A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】B 【解析】当6x π=时，0y =，即cos 066πωπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，()662k k Z πωπππ∴+=+∈，解得62k ω=+，N ω*∈ ，故当0k =时，ω取最小值2.【例6】【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）（A ）()26k x k Z ππ=-∈（B ）()26k x k Z ππ=+∈（C ）()212k x k Z ππ=-∈（D ）()212k x k Z ππ=+∈【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B.【题型专练】1.(2020·四川省泸县第四中学高三开学考试)已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为()A ．,4x k k Z ππ=-∈B ．+,4x k k Z ππ=∈C ．1,2x k k Z π=∈D ．1+,24x k k Zππ=∈【答案】C【解析】由已知，()cos 2f x x =，令2,π=∈x k k Z ，得1,2x k k Z π=∈.故选：C.2.【2017·天津卷】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5(28f π=，(08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则A ．23ω=，12ϕπ=B ．23ω=，12ϕ11π=-C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕ<π得12ϕπ=，故选A ．3．（2023·全国·高三专题练习）将函数sin 22y x x =的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（）A ．712πB ．4πC ．12πD ．6π4.【2018·江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ5．（2022·广西南宁·高二开学考试多选题）把函数()sin f x x =的图像向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图像，下列关于函数()g x 的说法正确的是（）A ．最小正周期为πB ．单调递增区间5πππ,π()1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．图像的一个对移中心为π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．图像的一条对称轴为直线π12x =题型三：三角函数的奇偶性【例1】（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）已知函数()sin 2sin 23f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭向左平移θ个单位后为偶函数，其中0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦.则θ的值为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π【例2】（2022·广东·执信中学高一期中）对于四个函数sin y x =，cos y x =，sin y x =，tan y x =，下列说法错误的是（）A ．sin y x =不是奇函数，最小正周期是π，没有对称中心B ．cos y x =是偶函数，最小正周期是π，有无数多条对称轴C ．sin y x =不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴D ．tan y x =是偶函数，最小正周期是π，没有对称中心由图可知，函数sin y x =不是奇函数，最小正周期是π，没有对称中心，A 对；对于B 选项，如下图所示：由图可知，cos y x =是偶函数，最小正周期是π，有无数多条对称轴，B 对；对于C 选项，如下图所示：由图可知，sin y x =不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴，C 对；对于D 选项，如下图所示：由图可知，函数tan y x =是偶函数，不是周期函数，没有对称中心，D 错.故选：D.【例3】（2022·陕西师大附中高一期中）已知函数2π()sin ()24f x x =++，若(lg5)a f =，1(lg 5b f =，则（）A ．0a b +=B ．0a b -=C ．5a b +=D ．5a b -=【例4】（2022·江西省铜鼓中学高二开学考试）将函数()sin 22f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度得到一个偶函数，则ϕ的最小值为（）A ．12πB ．6πC ．3πD ．56π【例5】（2022·四川成都·模拟预测（理））函数2()ln(2)sin(1)211f x x x x x x -=+--+++在[0,2]上的最大值与最小值的和为（）A ．-2B ．2C ．4D ．6【例6】（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知函数()2cos(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象关于原点对称，则ϕ=（）A ．3πB ．4πC ．6πD ．12π【例7】（2022·陕西·定边县第四中学高三阶段练习（理））已知函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=处取到最大值，则4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．奇函数B ．偶函数C ．关于点(),0π中心对称D ．关于2x π=轴对称【例8】（2023·全国·高三专题练习）写出一个最小正周期为3的偶函数()f x =___________.【题型专练】1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，既为偶函数又在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增的是（）A ．cos y x =B ．cos y x=C ．sin 2y x π⎛⎫=- ⎪D ．tan cos y x x=-2.（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（文））已知函数()e e sin x xf x x a -=-++，若()1ln 1,ln 3f m f m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则=a （）A ．1B ．2C ．1-D ．2-3.（2022·湖南·周南中学高二期末）函数为()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭偶函数的一个充分条件是（）A ．6π=ϕB ．3πϕ=C ．2ϕπ=D ．()3k k πϕπ=+∈Z故选：A4．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））已知函数()πcos 2(0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（）A ．6πB ．π4C ．π3D ．π25.（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1f x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（）A ．1B ．2C ．3D ．4可得()h t 的最大值与最小值之和为0，那么()g t 的最大值与最小值之和为2．故选：B ．6.（2022辽宁丹东·高一期末）写出一个最小正周期为1的偶函数()f x =______．【答案】cos2πx【解析】因为函数cos y x ω=的周期为2π||ω，所以函数cos 2πy x =的周期为1.故答案为：cos2πx .（答案不唯一）7.（2022·全国·高三专题练习）已知()2sin()cos f x x x α=++是奇函数，则sin α的值为______．8．（2022·河南·高二开学考试）将函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移4π个单位长度后得到偶函数()g x 的图像，则ω的最小值是______．【答案】1039.（2022·全国·高一单元测试）写出一个同时具有性质①()02f =；②()()πf x f x +=的函数()f x =______（注：()f x 不是常数函数）．题型四：三角函数的单调性【例1】（湖南省永州市2023届高三上学期第一次高考适应性考试数学试题）将函数2()cos cos 1f x x x x =+-的图象向右平移6π个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则()g x 的单调递增区间是（）A ．ππππ,(Z)12262k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．ππ5ππ,(Z)242242k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．π2π2π,2π(Z)33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥D ．π5π2π,2π(Z)66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥故选：A【例2】（2022·陕西师大附中高一期中）sin1,sin 2,sin 3按从小到大排列的顺序为（）A ．sin3sin2sin1＜＜B ．sin3sin1sin2＜＜C ．sin1sin2sin3＜＜D ．sin2sin1sin3＜＜【例3】（2022·全国·高一单元测试）下列四个函数中，以π为周期且在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增的偶函数有（）A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =C ．tan y x =D ．lg sin y x=也是以【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()cos 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭＞，，4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6当ππ,π2u k k ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈时，函数sin y u =递增．即πππ,π42x k k ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，解得：πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，所以函数sin()4πy x =+的单调递增区间是πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.故答案为：πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.【例6】（2023·全国·高三专题练习）函数πsin(2)3y x =-+的单调递减区间是（）A ．π5π[π,π],Z 1212k k k -+∈B ．π5π[2π,2π],Z 1212k k k -+∈C ．π5π[π,πZ66k k k -+∈D ．π5π[2π,2πZ66k k k -+∈【题型专练】1．（2022·辽宁·新民市第一高级中学高一阶段练习）已知函数2sin()y x ωθ=+为偶函数(0)θπ<<，其图像与直线2y =的两个交点的横坐标分别为12x x 、，若21||x x -的最小值为π，则该函数的一个单调递增区间为（）A ．ππ,24⎛⎫-- ⎪B ．ππ,44⎛⎫- ⎪C ．π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭2.（2022·四川省成都市新都一中高二开学考试（理））已知函数()sin(),022f x x ππωϕϕω⎛⎫=+-<<> ⎪⎝⎭，若()00166f x f x ππ⎛⎫⎛⎫==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0min6x ππ-=，则函数()f x 的单调递减区间为（）A ．2,()63k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z B ．22,2()63Z k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭C ．,()36Z k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪D ．2,2()36Z k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪3.（2022六盘山高级中学）函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为（）A ．5,()212212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．5,()212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭C ．5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．5,()1212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为函数tan y x =的单调递增区间为,()22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，所以2()223,k k k x Z πππππ-<-<+∈，解得5,()212212k k x k Z ππππ-<<+∈，所以函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为5,()212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭.故选：B 4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中()0,2πϕ∈，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于一切R x ∈恒成立，则()f x 的单调递增区间是（）A ．,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z B ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z C ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥()k ∈Z D ．,2k k πππ⎡⎤-⎢⎥()k ∈Z 5.（2022·全国·高二单元测试）已知函数()cos f x x x =，()()g x f x '=，则（）．A ．()g x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()g x 图像的一条对称轴是π6x =C ．()g x 在5π5π,66⎛⎫- ⎪上递减D ．()g x 在ππ,33⎛⎫- ⎪的值域为(0,1)6．(2022天津市静海区大邱庄中学高三月考)设函数()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，给出下列结论：①()f x 的一个周期为π②()y f x =的图象关于直线12x π=对称③()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称④()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减其中所有正确结论的编号是()A ．①④B ．②③C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】对于①，2T ππω==，故①正确；对于②，12x π=时，(112f π=，函数取得最大值，故②正确；对于③，6x π=-时，()06f π-=，故③正确；对于④，2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，当712x π=时，7112f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数取得最小值，()f x ∴在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有增有减，故④不正确.故选：C ．7．（2022·全国·高一课时练习）关于函数1()sin sin f x x x=+，下列说法正确的是（）A ．()f x 的一个周期是πB ．()f x 的最小值为2C ．()f x 在π(0,2上单调递增D ．()f x 的图象关于直线π2x =对称上单调递减，而8．（2022·内蒙古包头·高三开学考试（文））若()sin cos f x x x =+在[]0,a 是增函数，则a 的最大值是（）A ．4πB ．2πC ．34πD ．π9．（2022·全国·高一专题练习）若函数()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()cos 4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭都在区间()(),0πa b a b <<<上单调递减，则b a -的最大值为（）A ．π3B ．π2C ．6πD ．π10．（2022·全国·高三专题练习）将函数()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,64ππ-上为增函数，则ω最大值为（）A ．32B ．2C ．3D ．11．（2022·全国·高一课时练习多选题）已知直线8x =是函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<图象的一条对称轴，则（）A ．π8f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数B ．3π8x =是()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 在ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．当π2x =时，函数()f x 取得最小值题型五：三角函数的值域【例1】（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（文））下列函数中，最大值是1的函数是（）A ．|sin ||cos |=+y x xB ．2cos 4sin 4y x x =+-C ．cos tan y x x =⋅D ．y =【例2】（2022·全国·高三专题练习）函数1ππ()sin()cos()363f x x x =++-的最大值是（）A ．43B ．23C ．1D ．13【答案】8【解析】【分析】由题意可得()22sin sin 1f x x x =-++,令[]sin 0,1x t ∈＝,可得[]221,0,1y t t t =-++∈,利用二次函数的性质可求f (x )的最大值．【详解】解:()22cos 2sin 2sin sin 12sin sin 1f x x x x x x x =+=-++=-++,令[]sin 0,1x t ∈＝,可得[]2219212,0,148y t t t t ⎛⎫=-++=--+∈ ⎪⎝⎭,当14t =时,y 取得最大值为98,故答案为:98．【例4】（2022·江西·高三开学考试（文））已知函数()()2πsin sin 022f x x x x ωωωω⎛⎫+--> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为（）A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．22⎡-⎢⎥⎣⎦C ．⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．⎡-⎢⎣⎦【例5】（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知函数()sin()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在区间,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且对任意实数x 均有4()33f f x f ππ⎛⎫⎛⎫≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则ϕ=（）A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()22sin s ()3in f x x x π+=+，则()f x 的最小值为（）A ．12B ．14C ．D ．2【例7】（2022·全国·高三专题练习）函数2()cos 2f x x x =+-0,2x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是__________．【答案】14-##-0.25【解析】【详解】22()1sin 2sin 1f x x x x x =--=--=21sin24x ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以当sin x =时，有最大值14-．故答案为14-.【例8】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++，则（）A ．()f x 的最大值为3，最小值为1B ．()f x 的最大值为3，最小值为-1C ．()f x的最大值为3，最小值为34D ．()f x的最大值为33【例9】（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的方程2cos sin 20x x a -+=在02π⎛⎤⎥⎝⎦，内有解，那么实数a 的取值范围（）A ．58a -≤B ．102a -≤≤C ．1122a -＜≤D ．12a -＜≤0【题型专练】1．（2022·江西九江·高一期末）函数()193sin cos 2R 24y x x x =+-∈的最小值是（）A ．14B ．12C ．234-D ．414-2．（2022·河南焦作·高一期末）函数2cos22cos y x x =+的最小值为（）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【答案】C【分析】利用二倍角的降幂公式化简函数解析式，利用余弦型函数的有界性可求得结果.【详解】2cos 22cos cos 2cos 212cos 21y x x x x x =+=++=+ ，min 211y ∴=-+=-.故选：C.3.【2018·北京卷】设函数f （x ）=πcos(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以π4f ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值，所以()()ππ22π 8463k k k k -=∈∴=+∈Z Z ，ωω，因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为23.4．（2022·广西南宁·高二开学考试）已知函数ππ()sin ,0,36f x x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢，则函数()f x 的最大值为__________．5．（2022·全国·高一课时练习）函数()1sin cos =++f x x x的值域为_____________．6．（2022·全国·高一专题练习）若奇函数()f x 在其定义域R 上是单调减函数，且对任意的R x ∈，不等式2(cos 3sin )(sin )0f x x f x a -+-≤恒成立，则a 取值范围是_________.【答案】(,2]-∞-【分析】根据给定条件，脱去法则“f ”，再利用含sin x 的二次函数求解作答.【详解】因奇函数()f x 在R 上单调递减，则R x ∀∈，2(cos 3sin )(sin )0f x x f x a -+-≤2(cos 3sin )(sin )f x x f a x ⇔-≤-22cos 3sin sin cos 2sin x x a x a x x ⇔-≥-⇔≤-，令222cos 2sin sin 2sin 1(sin 1)2y x x x x x =-=--+=-++，而1sin 1x -≤≤，因此当sin 1x =时，min 2y =-，即有2a ≤-，所以a 取值范围是(,2]-∞-.故答案为：(,2]-∞-【点睛】思路点睛：涉及求含正(余)的二次式的最值问题，可以换元或整体思想转化为二次函数在区间[-1,1]或其子区间上的最值求解.7.【2018·全国Ⅲ】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【答案】3【解析】0πx ≤≤ ，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知πππ3π336262x x +=+=，或π5π362x +=，解得π4π,99x =，或7π9，故有3个零点.8.（2022·上海市第十中学高一期末）已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-（R x ∈）.求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥上的最大值和最小值.9．（2022·湖南·雅礼中学高一期末）已知函数()2cos sin 4f x x a x a =-++-，[]0,x π∈．(1)求()f x 的最小值()g a ；(2)若()f x 在[]0,π上有零点，求a 的取值范围，并求所有零点之和．题型六：三角函数的图像【例1】（2022·陕西师大附中高三开学考试（理））函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将函数()y f x =的图象（）A ．向左平移6π个单位长度B ．向左平移12π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度【例2】（2022·陕西·延安市第一中学高一期中）函数()()sin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()2f π的值为（）A ．B ．C ．D ．1-的部分图象知，【例3】（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）如图表示电流强度I 与时间t 的关系()()()sin 0,0I A x A ωϕω=+>>在一个周期内的图像，则下列说法正确得是（）A ．50πω=B ．π6ϕ=C ．0=t 时，I =D ．1300100t I ==时，【例4】（2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习多选题）已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，则（）A ．2ω=B ．()f x 的图象关于直线23x π=对称C ．()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()f x 在5[,63ππ--上的值域为[2,1]-【例5】（2022·河北·沧县风化店中学高二开学考试多选题）函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且满足223f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，现将()f x 图象沿x 轴向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象.下列说法正确的是（）A ．()g x 在,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数B ．()g x 的图象关于56x π=对称C ．()g x 是奇函数D ．()g x 的最小正周期为23π【例6】（2022·福建·高三阶段练习多选题）函数()sin()(0,0,02π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图像如图所示，则（）A ．3π2ωϕ+=B ．(2)2f -=-C ．()f x 在区间()0,2022上存在506个零点D ．将()f x 的图像向右平移3个单位长度后，得到函数π()cos 4g x x ⎛⎫=- ⎪的图像【例7】（2022·江苏南通·高三开学考试多选题）已知函数()()sin 20,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象向右平移π12个单位后得到sin2y x =的图象C ．()f x 在区间π,2π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递増D ．π6f x ⎛⎫+ ⎪为偶函数【例8】（2022·全国·高一单元测试多选题）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，下列说法错误的是（）A ．()f x 的图象关于直线23x π=-对称B ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称C ．将函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度得到函数()f x 的图象D ．若方程()f x m =在,02π⎡⎤-⎢⎥上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,-【题型专练】1．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习多选题）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()f x 的图象向右平移316π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则（）A ．()2sin 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()g x 的图象关于直线8x π=-对称C ．()g x 的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．函数()()f x g x +的最小值为4-2．（2022·湖北·襄阳市襄州区第一高级中学高二阶段练习多选题）函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()12sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．若把()f x 图像上的所有点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，则函数()g x 在[],ππ-上是增函数C ．若把函数()f x 的图像向左平移2π个单位长度，得到函数()h x 的图像，则函数()h x 是奇函数D ．,33x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥，若()332f x a f π⎛⎫+≥ ⎪恒成立，则a 的取值范围为)2,+∞3．（2022·安徽·高三开学考试）已知函数π()2sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中ππ,2,,0123A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列说法错误的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后关于原点对称C ．()f x 在2ππ,3⎡⎤--⎢⎣⎦上单调递减D ．直线7π12x =为()f x 图象的一条对称轴4．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）已知函数π()sin()(R,0,0,)2f x A x x A ωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．直线πx =是()f x 图象的一条对称轴B ．()f x 图象的对称中心为π(π,0)12k -+，Z k ∈C ．()f x 在区间ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．将()f x 的图象向左平移π12个单位长度后，可得到一个奇函数的图象5．（2022·江苏省如皋中学高三开学考试多选题）函数()()sin 0,0,0πy A x A ωϕωϕ=+>><<在一个周期内的图象如图所示，则（）．A ．该函数的解析式为2π2sin 33y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．该函数图象的对称中心为ππ,03k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Zk ∈C ．该函数的单调递增区间是5ππ3π,3π44k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Zk ∈D ．把函数π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪的图象上所有点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变，可得到该函数图象6．（2021·福建·福州十八中高三开学考试多选题）已知函数()sin()(010f x x ωϕω=+<<，0π)ϕ<<的部分图象。
高考高中数学 正弦函数的图像与性质训练 试题
HY 中学2021高中数学 正弦函数的图像与性质训练1、函数y =sin ()32π+x 的最小正周期是〔 〕A ．2πB ．4πC ．4πD ．π2．以下函数中，周期为2π的是〔 〕A ．sin2x y = B ．sin 2y x = C ．4sinxy = D ．x y 4sin =3．函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是〔 〕 A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=4．函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象〔 〕 A ．关于点π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 B ．关于直线π4x =对称 C ．关于点π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 D ．关于直线π3x =对称5.以下函数中，最小正周期为π，且图像关于直线3x π=对称的是〔 〕A.)32sin(π-=x y B.)62sin(π-=x y C.)62sin(π+=x y D. )62sin(π+=x y 6．设函数()sin(2),2f x x x Rπ=-∈，那么()f x 是〔 〕A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数2sin()16y x π=++，]2,2[ππ-∈x 的最大值为〔 〕A ．3B ．2C ．3D ．312-+2sin sin 1y x x =+-的值域为A ．[1,1]-B ．5[,1]4--C ．5[,1]4-D ．5[1,]4- 9．函数)32sin(π--=x y 的单调递增区间是 ()2sin(2)6f s x π=+(1)求函数()f x 的单调增区间；(2)当[0,]4x π∈时，求函数()f x 的值域；励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
厚积薄发，一鸣惊人。
关于努力学习的语录。
自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。
函数图象组卷
函数图象一．选择题（共23小题）1．函数的图象是（）．C D．2．函数的图象关于（）3．（2011•潍坊模拟）若函数y=f（x）的图象如图所示，则函数y=f （1﹣x）的图象大致为（）．C D．．C D．．C D．2x+12x向右平移向左平移个单位8．（2011•哈尔滨模拟）已知函数，则函数y=f（x）的大致图象为（）．C D．9．函数f（x）=的图象（）f（x）的表达式10．（2008•朝阳区二模）若函数y=f（x）的图象与函数g（x）=3x+1的图象关于y轴对称，则函数x．C D．．C D．215．（2013•浙江模拟）如图，函数y=f（x）的图象为折线ABC，设g （x）=f[f（x）]，则函数y=g（x）的图象为（）．C D．17．命题甲：已知函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），则f（x）图象关于x=1对称；命题乙：函数f（1+x）与函|x|2．C D．19．函数的图象（）20．函数f（x）=的大致图象是（）．C D．22．（2013•金华模拟）如图，函数y=f（x）的图象为折线OAB，设g（x）=f[f（x）]，则满足方程g（x）=x的根的个数为（）23．函数y=f（|x|）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象不可能是（）．C D．二．填空题（共3小题）24．函数f（x）=32x﹣1的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到函数 _________的图象25．已知函数，则方程的实根个数为_________．26．（2013•烟台一模）函数f（x）=cosx﹣log8x的零点个数为_________．三．解答题（共4小题）27．作函数f（x ）=|log3x|的图象，并求f（x）＞f（2）的x的范围．28．已知函数f（x）=．（Ⅰ）讨论函数的f（x）奇偶性，并说明理由；（Ⅱ）当λ=1时，讨论方程f（x）=μ（μ∈R）在x∈[﹣1，1]上实数解的个数情况，并说明理由．29．将函数y=lgx的图象向左平移一个单位长度，可得函数f（x）的图象；将函数y=cos（2x﹣）的图象向左平移个单位长度，可得函数g（x）的图象．（1）在同一直角坐标系中画出函数f（x）和g（x）的图象．（2）判断方程f（x）=g（x）解的个数．30．已知函数f（x）对任意实数x都有f（x+1）+f（x）=1，且当x∈[0，2]时，f（x）=|x﹣1|．（1）当x∈[2k，2k+2]（k∈Z）时，求f（x）的表达式．（2）证明f（x）是偶函数．（3）试问方程是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由．2013年10月panpan781104的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共23小题）1．函数的图象是（）．C D．进行讨论将函数）2．函数的图象关于（．C D．．C D．．C D．，得出函数）在（6．（2011•泉州模拟）函数f（x）=x+sinx+1的图象（）2x+12x向右平移向左平移个单位=）的图象经过向右平移个单位，即可得到函数8．（2011•哈尔滨模拟）已知函数，则函数y=f（x）的大致图象为（）．C D．9．函数f（x）=的图象（）==f10．（2008•朝阳区二模）若函数y=f（x）的图象与函数g（x）=3x+1的图象关于y轴对称，则函数f（x）的表达式x12．（2006•松江区模拟）已知函数f（x）=2x﹣2，则函数y=|f（|x|）|的图象可能是（）．C D．．C D．215．（2013•浙江模拟）如图，函数y=f（x）的图象为折线ABC，设g （x）=f[f（x）]，则函数y=g（x）的图象为（）．C D．，解得17．命题甲：已知函数f （x ）满足f （1﹣x ）=f （1+x ），则f （x ）图象关于x=1对称；命题乙：函数f （1+x ）与函，因为|x|2．CD ．19．函数的图象（）=f20．函数f（x）=的大致图象是（）．C D．，分离常数后，可将函数看成是由反比例函数=可由函数22．（2013•金华模拟）如图，函数y=f（x）的图象为折线OAB，设g（x）=f[f（x）]，则满足方程g（x）=x的根的个数为（）=23．函数y=f（|x|）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象不可能是（）．C D．二．填空题（共3小题）24．函数f（x）=32x﹣1的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到函数f（x）=32（x﹣1）的图象25．已知函数，则方程的实根个数为2．26．（2013•烟台一模）函数f（x）=cosx﹣log8x的零点个数为3．三．解答题（共4小题）27．作函数f（x）=|log3x|的图象，并求f（x）＞f（2）的x的范围．x|=28．（一、二级达标校做）已知函数f（x）=．（Ⅰ）讨论函数的f（x）奇偶性，并说明理由；（Ⅱ）当λ=1时，讨论方程f（x）=μ（μ∈R）在x∈[﹣1，1]上实数解的个数情况，并说明理由．=t+t+==，显然=，∴=t+在[（=t+＞μ≤29．将函数y=lgx的图象向左平移一个单位长度，可得函数f（x）的图象；将函数y=cos（2x﹣）的图象向左平移个单位长度，可得函数g（x）的图象．（1）在同一直角坐标系中画出函数f（x）和g（x）的图象．（2）判断方程f（x）=g（x）解的个数．）的图象向左平移）﹣]30．已知函数f（x）对任意实数x都有f（x+1）+f（x）=1，且当x∈[0，2]时，f（x）=|x﹣1|．（1）当x∈[2k，2k+2]（k∈Z）时，求f（x）的表达式．（2）证明f（x）是偶函数．（3）试问方程是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由．，构造两个函数，画出函数的图象，即可判断方程是否有实数根，指出）方程化为。
高考数学母题题源系列专题07三角函数图像与应用理
考点：三角函数性质
10．【江苏省启东中学高三上学期期中模拟数学试卷】将函数 （ ）的图象，向左平移 个单位，得到 函数的图象，若 在 上为增函数，则 的最大值为_____ _____．
【答案】
考点：三角函数图像及性质
【母题原题4】【2016江苏，理14】在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是▲.
【答案】8
【考点】三角恒等变换，切的性质应用
【名师点睛】消元与降次是高中数学中的主旋律，利用三 角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形 中恒有 ，这类同于正、余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时应多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识．此类问题的求解有两种思路：一是边化角，二是角化边．
7.求解三角函数对称性的方法：
（1）求函数 的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题：①由 的对称中心是 ， ，所以 的中心，由方程 解出 即可；②因为 的对称轴是 ， ，所以可由 解出 ，即为函数 的对称轴；注意 的对称中心为 ；
（2） 对于函数 ，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函 数的零点，因此在判 断直线 或点 是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 的值进行判断．
【命题规律】1.高考对三角函数的图象与性质的考查往往集中于正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质，主要考查三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶性、最值、对称性、图象平移及变换等)．
2.高考中主要涉及如下题型：(1)考查周期、单调性、极 值等简单性质；(2)考查与三角函数有关的零点问题；(3)考查图象的识别．
【考点】两角和正切公式
2023年高考数学微专题练习专练20函数y=Asinωx φ的图像及三角函数模型含解析理
专练20 函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图像及三角函数模型命题范围：三角函数的解析式、三角函数的图像变换．[基础强化]一、选择题1．要得到函数y ＝sin (4x －π3)的图像，只需将函数y ＝sin4x 的图像( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位2．把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是( )3．将函数y ＝sin (2x ＋π5)的图像向右平移π10个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0上单调递减C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减 4.函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则( ) A ．y ＝2sin (2x －π6)B ．y ＝2sin (2x －π3)C ．y ＝2sin (x ＋π6)D ．y ＝2sin (x ＋π3)5．[2022·江西省南昌市第十中学月考]将函数y ＝sin2x ＋3cos2x 的图像沿x 轴向左平移φ(φ>0)个单位后，得到关于y 轴对称的图像，则φ的最小值为( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．5π12 6.函数y ＝2sin (ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π37．[2021·全国乙卷]把函数y ＝f (x )图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin (x －π4)的图像，则f (x )＝( )A.sin (x 2－7π12)B.sin (x 2＋π12)C.sin (2x －7π12)D.sin (2x ＋π12)8．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin (2x ＋2π3)，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 29．[2022·安徽省示范高中皖北协作区联考]将函数f (x )＝2sin (2x －π3)的图像向右平移π6个单位后所得到的函数记为g (x )，则下列结论中正确的是( )A ．g (x )的对称中心为(k π2＋π6，0)(k ∈Z )B ．g (x )＝2sin (2x ＋π3)C ．g (x )在(π12，7π12)上单调递减D ．g (x )的图像关于x ＝π12对称二、填空题 10.已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图像如图所示，则函数f (x )的解析式为f (x )＝________．11．[2022·南昌市模拟]已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图像与x 轴在原点右侧的第一个交点为(1，0)，在y 轴右侧的第一个最高点为(3，2)，则f (－1)＝________．12．将函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像，则f (π6)＝________．[能力提升]13．[2022·安徽芜湖模拟]已知函数f (x )＝A cos (ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π2)的大致图像如图所示，将函数f (x )的图像上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移π2个单位长度，得到函数g (x )的图像，则函数g (x )的单调递增区间为( )A ．[－3π2＋3k π，3k π](k ∈Z )B ．[3k π，3k π＋3π2](k ∈Z )C.[－7π4＋3k π，－π4＋3k π](k ∈Z )D ．[－π4＋3k π，5π4＋3k π](k ∈Z )14．[2022·陕西省西安中学模拟]已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图像如图所示，现将f (x )的图像向左平移π12个单位长度得到y ＝g (x )的图像，则方程2g (x )＝2在[0，2π]上实数解的个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．815．[2022·西南大学附中模拟]水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A (3，－33)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为(x ，y )，其纵坐标满足y ＝f (t )＝R sin (ωt ＋φ)(t ≥0，ω>0，|φ|<π2)，则下列叙述正确的是( )A ．水斗作周期运动的初相为－π6B ．在水斗开始旋转的60秒(含)中，其高度不断增加C ．在水斗开始旋转的60秒(含)中，其最高点离平衡位置的纵向距离是3 3D ．当水斗旋转100秒时，其和初始点A 的距离为616．[2022·全国甲卷(理)，11]设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，136B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，196C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤136，83D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤136，196 专练20 函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的 图像及三角函数模型1．B ∵y ＝sin (4x －π3)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4（x －π12），∴要得到y ＝sin (4x －π3)的图像，只需将y ＝sin4x 的图像向右平移π12个单位．2．A y ＝cos2x ＋1――→横坐标伸长2倍纵坐标不变y ＝cos x ＋1――→向左平移1个单位长度y ＝cos (x ＋1)＋1――→向下平移1个单位长度y ＝cos (x ＋1).函数图像过(π2－1，0)，结合选项可知，选A.3．A 将y ＝sin (2x ＋π5)的图像向右平移π10个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －π10）＋π5＝sin2x ，令2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π4≤x ≤k π＋π4(k ∈Z )，∴y ＝sin2x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )上单调递增，当k ＝0时，得到y ＝sin2x 的一个单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，故A 正确，B 不正确，由2k π＋π2≤2x ≤2k π＋32π(k ∈Z )，得y ＝sin2x 的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋34π(k ∈Z )，结合选项可知C 、D 不正确．4．A 由图知A ＝2，T 2＝π3－(－π6)＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2.将(π3，2)坐标代入，得2×π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π6，k ∈Z .取k ＝0，得φ＝－π6.5．A ∵函数y ＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin (2x ＋π3)，将函数y ＝sin2x ＋3cos2x 的图像沿x 轴向左平移φ个单位后，得到函数y ＝2sin (2x ＋2φ＋π3)，因为函数是偶函数，∴2φ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )∴φ＝k π2＋π12(k ∈Z ).当k ＝0时，φ＝π12.则φ的最小值为π12.6．A 由题意得512π＋π3＝34T ，∴T ＝π，又T ＝2πω，∴ω＝2，又当x ＝512π时，2sin (2×512π＋φ)＝2，∴φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，∴φ＝－π3.7．B 依题意，将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图像向左平移π3个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f (x )的图像，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4将其图像向左平移π3个单位长度→y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12的图像――→所有点的横坐标扩大到原来的2倍f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋π12的图像．8．D y ＝sin (2x ＋2π3)＝cos (2x ＋2π3－π2)＝cos (2x ＋π6)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋π12），由y ＝cos x 的图像得到y ＝cos2x 的图像，需将曲线C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变；由y ＝cos2x 的图像得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋π12）的图像，需将y ＝cos2x 的图像上的各点向左平移π12个单位长度，故选D.9．D 函数f (x )＝2sin (2x －π3)的图像向右平移π6个单位得到g (x )＝2sin [2(x －π6)－π3]＝2sin (2x －2π3)， g (x )＝2sin (2x －2π3)＝2sin (2x ＋π3－π)＝－2sin (2x ＋π3)，B 选项错误． 2x ＋π3＝k π，x ＝k π2－π6，所以g (x )的对称中心为(k π2－π6，0)(k ∈Z )，A 选项错误．π12<x <7π12，π6<2x <7π6，π2<2x ＋π3<3π2，所以g (x )＝－2sin (2x ＋π3)在(π12，7π12)上递增，C 选项错误．g (π12)＝－2sin (π6＋π3)＝－2sin π2＝－2，所以g (x )的图像关于x ＝π12对称，D 选项正确．10．2sin (2x ＋3π4)解析：由题图可知，f (x )max ＝2，f (x )min ＝－2， 故A ＝2， 最小正周期T ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8－（－π8）＝π，故ω＝2ππ＝2，所以f (x )＝2sin (2x ＋φ). 又曲线y ＝f (x )过点(－π8，2)，所以2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×（－π8）＋φ＝2， 即φ－π4＝π2＋2k π，k ∈Z .又|φ|<π，所以φ＝3π4.故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin (2x ＋3π4).11．－2解析：由与x 轴在原点右侧的第一个交点为(1，0)，在y 轴右侧的第一个最高点为(3，2)知T 4＝3－1，T ＝8，或3T 4＝3－1，T ＝83，当T ＝8时，ω＝2πT ＝π4，A ＝2，∴f (x )＝2sin (π4x ＋φ)，代入点(1，0)，2sin (π4＋φ)＝0，又|φ|<π2，∴φ＝－π4，f (x )＝2sin (π4x －π4)，f (－1)＝－2；当T ＝83时，ω＝2πT ＝3π4，A ＝2，∴f (x )＝2sin (3π4x ＋φ)，代入点(1，0)， 2sin (3π4＋φ)＝0，又|φ|<π2，∴φ＝π4，f (x )＝2sin (3π4x ＋π4)，f (－1)＝－2.综上，f (－1)＝－2. 12.22解析：由题意得将y ＝sin x 的图像向左平移π6个单位，得到y ＝sin (x ＋π6)，再纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝sin (12x ＋π6)，即f (x )＝sin (12x ＋π6)，∴f (π6)＝sin π4＝22.13．C 依题意，⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝1，－A ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，b ＝－1，故f (x )＝2cos (ωx ＋φ)－1， 而f (π12)＝1，f (π3)＝－1，∴T 4＝π3－π12＝π4， 故T ＝π＝2πω，则ω＝2；∴2cos (π6＋φ)－1＝1，故π6＋φ＝2k π(k ∈Z )， 又|φ|<π2，故φ＝－π6，∴f (x )＝2cos (2x －π6)－1；将函数f (x )的图像上点的横坐标拉伸为原来的3倍后， 得到y ＝2cos (23x －π6)－1，再向左平移π2个单位长度，得到g (x )＝2cos (23x ＋π3－π6)－1＝2cos (23x ＋π6)－1，令－π＋2k π≤23x ＋π6≤2k π(k ∈Z )，故－7π4＋3k π≤x ≤－π4＋3k π(k ∈Z )，故函数g (x )的单调递增区间为[－7π4＋3k π，－π4＋3k π](k ∈Z ). 14．B 根据函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)，(A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图像， 可得12·2πω＝11π12－7π12，∴ω＝3.所以f (x )＝A sin (3x ＋φ),结合五点法作图，3×7π12＋φ＝2π＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π4＋2k π，k ∈Z ，因为|φ|<π，∴φ＝π4，故f (x )＝A sin (3x ＋π4).再把点(π2，－1)代入，可得－1＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋π4，即－1＝－A cos π4，∴A ＝2，所以f (x )＝2sin (3x ＋π4).现将f (x )的图像向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝g (x )＝2sin [3(x ＋π12)＋π4]＝2cos3x ，因为2g (x )＝2，即cos3x ＝12，所以3x ＝π3＋2k 1π，k 1∈Z 或3x ＝－π3＋2k 2π，k 2∈Z ，解得x ＝π9＋2k 1π3，k 1∈Z 或x ＝－π9＋2k 2π3，k 2∈Z ，因为x ∈[0，2π]，所以x ＝π9或7π9或13π9或5π9或11π9或17π9， 故方程2g (x )＝2在[0，2π]上实数解的个数为6个． 15．D 由A (3，－33)， 知R ＝32＋（－33）2＝6， 又T ＝120，所以ω＝2πT ＝π60.当t ＝0时，点P 在点A 位置，有－33＝6sin φ， 解得sin φ＝－32， 又|φ|<π2，所以φ＝－π3，故A 错误；可知f (t )＝6sin (π60t －π3)，当t ∈(0，60]时，π60t －π3∈(－π3，2π3]，所以函数f (t )先增后减，故B 错误； 当t ∈(0，60]时，π60t －π3∈(－π3，2π3]，sin (π60t －π3)∈(－32，1]， 所以点P 到x 轴的距离的最大值为6，故C 错误；11 当t ＝100时，π60t －π3＝4π3， P 的纵坐标为y ＝－33，横坐标为x ＝－3，所以|PA |＝|－3－3|＝6，故D 正确．16．C 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，结合选项，只考虑ω＞0.当ωx ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，即x ＝π6ω＋k πω(k ∈Z )时，f (x )取得极值．又因为f (x )在区间(0，π)上恰有三个极值点，所以⎩⎪⎨⎪⎧π6ω＋2πω＜π，π6ω＋3πω≥π，解得136＜ω≤196.当ωx ＋π3＝k π(k ∈Z )，即x ＝－π3ω＋k πω(k ∈Z )时，f (x )＝0.又因为f (x )在区间(0，π)上恰有两个零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧－π3ω＋2πω＜π，－π3ω＋3πω≥π，解得53＜ω≤83.综上可得，ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤136，83.故选C.。
高中数学复习：对数函数的图像和性质练习及答案
高中数学复习：对数函数的图像和性质练习及答案1.已知函数f (x)＝133,1log,1x xx x⎧≤⎪⎨>⎪⎩则函数y＝f (1－x)的大致图象是（）A. B. C.D.【答案】D【解析】先画出函数f (x)＝133,1log,1x xx x⎧≤⎪⎨>⎪⎩的草图，令函数f (x)的图象关于y轴对称，得函数f (－x)的图象，再把所得的函数f (－x)的图象，向右平移1个单位，得到函数y＝f (1－x)的图象，故选：D.2.函数f（x）=10x与函数g（x）=lgx的图象A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于y=x 对称 【答案】D【解析】因为f （x ）=10x 与函数g （x ）=lgx 是一对反函数，所以其图象关于y=x 对称.故选D.3.函数f （x ）=ln|11x x +-|的大致图象是（ ） A. B. C. D.【答案】D【解析】因为()()11ln ln 11x x f x f x x x-+-==-=-+-，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，可排除,A C ；由()2ln30f =>,可排除B ，故选D.4.函数f （x ）=log 2（x+1）与g （x ）=2﹣x +1在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】定义域为，函数为增函数；定义域为，函数为减函数，所以结合指数函数对数函数的性质可知B 图像正确5.已知函数f(x)＝－x 2＋2，g(x)＝log 2|x |，则函数F(x)＝f(x)·g(x)的图象大致为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，函数()(),f x g x 为偶函数，∴函数()()()F x f x g x =为偶函数，其图象关于y 轴对称，故只需考虑0x >时的情形即可.由函数()(),f x g x 的取值情况可得，当0x >时，函数()F x 的取值情况为先负、再正、再负， 所以结合各选项得B 满足题意.故选B.6.设函数()()21ln 11f x x x =+-+，则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A.1,13⎛⎫⎪⎝⎭ B.()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C.11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.11,,33⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】A【解析】因为函数()()21ln 11f x x x =+-+定义域为R ，关于原点对称， 且()()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x x x -=+--=+-=++-， 所以函数()f x 是偶函数，又()f x 在()0,∞+是增函数，所以()()21f x f x >-等价于()()21fx f x >-， 所以2213410x x x x >--+<，， 解得113x <<， 故选：A7.函数2()ln(1)x xe ef x x --=+在[3,3]-的图象大致为（ ） A. B. C.D.【答案】C 【解析】函数2()ln(1)x x e e f x x --=+， 则2()()ln(1)x xe ef x f x x ---==-+，所以()f x 为奇函数，排除B 选项； 当x →+∞时，2()ln(1)x xe ef x x --=→+∞+，所以排除A 选项； 当1x =时，11 2.720.37(1) 3.4ln(11)ln 20.69e e e ef -----==≈≈+， 排除D 选项；综上可知，C 为正确选项，故选：C.8.函数()1ln 1y x x=-+的图象大致为（ ） A. B. C. D.【答案】A【解析】0x >时，函数为减函数，排除B ，10x -<<时，函数也是减函数，排除D ，又1x =时，1ln 20y =->，排除C ，只有A 可满足.故选：A.9.函数()()22ln 11x f x x +=+的大致图像为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为()()22ln 11x f x x +=+是由()22ln x g x x=向左平移一个单位得到的， 因为()22ln ()(0)()x g x g x x x --==≠-， 所以函数()22ln x g x x =为偶函数，图像关于y 轴对称， 所以()f x 的图像关于1x =-对称，故可排除A ，D 选项；又当2x <-或0x >时，2ln 10x +>，()210x +>，所以()0f x >，故可排除C 选项故选：B .10.在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ） A. B. C. D.【答案】D【解析】当01a <<时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.故选：D11.函数()24ln x f x x =的部分图象大致为（ ） A. B. C. D.【答案】A【解析】因为()24ln x f x x =是偶函数，排除B ，当01x <<时，ln 0x <，()204ln x f x x=<，排除C ， 当x e =时()214e f e =>，排除D. 故选：A.12.已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）=x 2﹣2x ﹣3，求当x ≤0时，不等式f （x ）≥0整数解的个数为（ ）A.4B.3C.2D.1【答案】A【解析】由函数为奇函数可知当x ≤0时，不等式f （x ）≥0整数解的个数与0x ≥时()0f x ≤的个数相同，由奇函数可知()00f =，由2230x x --≤得()()320x x -+≤，所以整数解为1,2，3，所以满足题意要求的整数点有4个 13.若x 1，x 2是方程2x ＝12⎛⎫⎪⎝⎭+1-1x 的两个实数解，则x 1＋x 2＝________.【答案】-1【解析】∵2x ＝1112x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，∴2x ＝112x - ，∴x ＝1x－1，∴x 2＋x －1＝0.∴x 1＋x 2＝－1.故答案：－114.已知函数()lg f x x =. (1)画出函数()y f x =的草图,并根据草图求出满足()1f x >的x 的集合；(2)若0a b <<,且()()f a f b >,求证：1ab <.【答案】(1)图见解析，(0，110)∪(10，＋∞).(2)证明见解析 【解析】(1)画出函数()y f x =的草图,如图所示：令()1f x =,则lg 1,lg 1x x ==±,可得10x =或110x =. 故满足()1f x >的x 的集合为1(0,)(10,)10⋃+∞. (2)证明：若0a b <<,且()()f a f b >,则lg lg a b >.当01a b <<≤时, lg lg a b >显然成立且1ab <.当01a b <≤≤,因为lg lg a b >则lg lg lg +lg 0lg 01a b a b ab ab -><⇒<⇒<，成立 当1a b ≤<时, lg lg a b >不成立.综上所述1ab <成立.15.已知函数2()4||3f x x x =-+，（1）试证明函数()f x 是偶函数；（2）画出()f x 的图象；（要求先用铅笔画出草图，再用黑色签字笔描摹，否则不给分）（3）请根据图象指出函数()f x 的单调递增区间与单调递减区间；（不必证明）（4）当实数k 取不同的值时，讨论关于x 的方程24||3x x k -+=的实根的个数；（不必求出方程的解）【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）增区间()()+∞-,2,0,2减区间)2,0(),2,(--∞（4）①当1k <-时，方程无实数根；②当1k =-或3k >时，方程有两个实数根；③当3k =时，方程有三个实数根；④当13k -<<时，方程有四个实数根【解析】（1）()f x 的定义域为R ,且2()()4||3f x x x -=---+24||3()x x f x =-+=故()f x 为偶函数；（2）如图（3）递增区间有：()()+∞-,2,0,2递减区间有：)2,0(),2,(--∞（4）根据图象可知，①当1k <-时，方程无实数根；②当1k =-或3k >时，方程有两个实数根；③当3k =时，方程有三个实数根；④当13k -<<时，方程有四个实数根；16.已知函数f (x )＝x ln x －x .（1）设g (x )＝f (x )＋|x －a |，a ∈R.e 为自然对数的底数.①当32a e =-时，判断函数g (x )零点的个数； ②1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数g (x )的最小值. （2）设0＜m ＜n ＜1，求证：()2201m f n m +<+ 【答案】（1）① g (x )有且仅有两个零点.②a －e.（2）证明见解析【解析】（1）①当32a e =-时， g (x )＝x ln x －x ＋|x ＋32e |＝x ln x ＋32e ， g ′(x )＝1＋ln x ，当0＜x ＜1e 时，g ′(x )＜0；当x ＞1e时，g ′(x )＞0； 因此g (x )在(0，1e )上单调递减，在(1e ，＋∞)上单调递增， 又434412424g =0e e e e e -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，g (1e )＝－1e ＋23322e e e-=＜0，g (1)＝32e ＞0， 所以g (x )有且仅有两个零点.②（i ）当a ≤1e 时，g (x )＝x ln x －x ＋x －a ＝x ln x －a ， 因为x ∈[1e，e ]，g ′(x )＝1＋lnx ≥0恒成立， 所以g (x )在[1e ，e ]上单调递增，所以此时g (x )的最小值为g (1e )＝－1e－a . （ii ）当a ≥e 时，g (x )＝x ln x －x ＋a －x ＝x ln x －2x ＋a ，因为x ∈[1e，e]，g ′(x )＝ln x －1≤0恒成立， 所以g (x )在[1e，e ]上单调递减，所以此时g (x )的最小值为g (e )＝a －e . （iii ）当1e＜a ＜e 时， 若1e ≤x ≤a ，则g (x )＝x ln x －x ＋a －x ＝x ln x －2x ＋a ， 若a ≤x ≤e ，则g (x )＝x ln x －x ＋x －a ＝x ln x －a ，由（i ），（ii ）知g (x )在[1e，a ]上单调递减，在[a ，e ]上单调递增， 所以此时g (x )的最小值为g (a )＝a ln a －a ，综上有：当a ≤1e 时，g (x )的最小值为－1e－a ；当1e＜a ＜e 时，g (x )的最小值为a ln a －a ； 当a ≥e 时，g (x )的最小值为a －e . （2）设h (x )＝221x x +， 则当x ∈(0，1)时，h ′(x )＝()()222211x x -+＞0，于是h (x )在(0，1)单调递增， 又0＜m ＜n ＜1，所以h (m )＜h (n )，从而有()()()2222ln 111m f n f n h n n n m n ⎛⎫+<+=-+ ⎪++⎝⎭设φ(x )＝22ln 11n n -++，x ＞0 则φ′(x )＝()()()222222114011x x x x x x --=≥++因此φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，因为0＜n ＜1，所以φ(n )＜φ(1)＝0，即ln n －1＋221n +＜0， 因此()2222ln 1011m f n n n m n ⎛⎫+<-+< ⎪++⎝⎭ 即原不等式得证.17.已知函数f (x )＝xln x ，g (x )＝－x 2＋ax －2(e 为自然对数的底数，a ∈R ).（1）判断曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与曲线y ＝g (x )的公共点个数；（2）当1[,]x e e ∈时，若函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）3＜a ≤e ＋2e＋1. 【解析】（1）()1f x lnx '=+，所以切线的斜率()11k f ='=，又()10f =，所以曲线在点(1,0)处的切线方程为1y x =-， 由221y x ax y x ⎧=-+-⎨=-⎩，得2(1)10x a x +-+=，由△22(1)423(1)(3)a a a a a =--=--=+-可得， 当△0>时，即1a <-或3a >时，有两个公共点， 当△0=时，即1a =-或3a =时，有一个公共点， 当△0<时，即13a -<>时，没有公共点， （2）2()()2y f x g x x ax xlnx =-=-++， 由0y =，得2a x lnx x=++， 令2()h x x lnx x=++，则2(1)(2)()x x h x x -+'=，当1[x e∈，]e 时，由()0h x '=，得1x =，所以()h x 在1[e，]e 上单调递减，在[1，]e 上单调递增，因此()()13min h x h ==， 由11()21h e e e =+-，()21h e e e =++，比较可知()1h h e e ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以，结合函数图象可得， 当231a e e<++时，函数()()y f x g x =-有两个零点. 18.根据函数f(x)＝log 2x 的图像和性质解决以下问题： (1)若f(a)>f(2)，求a 的取值范围； (2)求y ＝log 2(2x －1)在[2,14]上的最值.【答案】(1) (2，＋∞) (2) 最小值为log 23，最大值为log 227【解析】（1）由函数2()log f x x =的单调性及()(2)f a f >，即可求出a 的取值范围；（2）根据定义域为[2,14]，表示出21x -的取值范围，结合对数函数的性质，即可求得最值. 试题解析：函数f (x )＝log 2x 的图象如图：(1)因为f (x )＝log 2x 是增函数，故f (a )>f (2)，即log 2a >log 22，则a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞). (2)∵2≤x ≤14，∴3≤2x －1≤27， ∴log 23≤log 2(2x －1)≤log 227.∴函数y ＝log 2(2x －1)在[2,14]上的最小值为log 23，最大值为log 227.19.已知定义在R 上的函数()y f x =满足()()()111f x f x f x -=+=-，当[]12x ∈，时，2()log f x x =，若方程()0f x ax -=在()0+∞，上恰好有两个实数根，则正实数a 的值为（ ） A.2log eeB.1ln 2e C.12D.2【答案】C【解析】由()()()111f x f x f x -=+=-，可知()f x 为偶函数，且一条对称轴为1x =， 再由()()11f x f x +=-，可得()2()f x f x +=，即函数()f x 的周期为2.根据[]12x ∈，时，2()log f x x =作出函数()f x 的草图，如图所示：方程()0f x ax -=在()0+∞，上恰好有两个实数根， ∴函数y ax =与()y f x =的图象在y 轴右侧有两个交点，设y ax =与2log y x =相切时，切点坐标为()020log x x ，， 由1ln2y x '=，得2000log 1ln2x x x =，解得02x e =>.∴由图象可知，当直线y ax =过点()21，时，方程()0f x ax -=在()0+∞，上恰好有两个实数根， 12a ∴=. 故选：C .20.已知函数2|1|,0()log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3122341x x xx x++的取值范围是（）.A.(1,)-+∞ B.[1,1)- C.(,1)-∞ D.(]1,1-【答案】D【解析】函数()21,0|log,0x xf xx x⎧+⎪=⎨>⎪⎩，的图象如下：根据图象可得：若方程()f x a=有四个不同的解1x，2x，3x，4x，且1234x x x x<<<，则11x a+=-，21x a+=，23log x a=-，24log x a=.(01)a<≤122x x+=-，32ax-=，42ax=∴则31222344()22221222a aa a ax x xx x---++=-⋅+=-⋅.令2a t，(1t∈，2]，而函数2y tt=-在(1，2]单调递增.所以211tt-<-≤，则21212aa∴-<-.故选：D.21.函数()log1xaf x a x=-有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A.()1,10 B.()1,+∞C.0,1D.()10,+∞【答案】B【解析】函数()f x有两个零点等价于1xya⎛⎫= ⎪⎝⎭与log ay x=的图象有两个交点，当01a<<时同一坐标系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当1a>时同一坐标系中做出两函数图象如图（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B.22.已知函数()2,11,12x a x f x x a x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，其中a R ∈.如果函数()f x 恰有两个零点，则a 的取值范围为（ ）A.1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B.[)2,-+∞C.12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D.12,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】当1x ≤时，(]2,2xy a a a =+∈+，当1x >时，11,22y x a a ⎛⎫=+∈++∞ ⎪⎝⎭， 两段均为增函数，函数()f x 恰有两个零点，可得102200a a a ⎧+<⎪⎪⎨+≥⎪⎪<⎩，解得12,2a ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭. 故选：D23.给出下列四个结论：(1)若集合A ={x,y }，B ={0，2x },且A=B ,则x =1,y =0;(2)若函数f (x )的定义域为（-1,1），则函数f (2x +1)的定义域为（-1，0); (3)函数1()f x x=的单调减区间是{}0x x ≠； (4)若()()()f x y f x f y +=⋅，且(1)2f =，则(2)(4)(2014)(2016)(2018)2018(1)(3)(2013)(2015)(2017)f f f f f f f f f f +++++=其中不正确的有______.【答案】（3）【解析】（1）因为A=B ，所以20,0,1x y x x x ≠==∴=，故（1）正确；（2）因为函数f (x )的定义域为（-1,1），所以121110x x -<+<∴-<<，故（2）正确； （3）函数1()f x x=的单调减区间是(,0)-∞和(0,)+∞，故（3）错误； （4）因为()()()f x y f x f y +=⋅，所以(1)()(1)2()f x f x f f x +=⋅=， 因此(2)(4)(2014)(2016)(2018)210092018(1)(3)(2013)(2015)(2017)f f f f f f f f f f +++++=⨯=，故（4）正确；故答案为：（3） 24.已知1275a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1357b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，25log 7c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）. A.b a c << B.c b a <<C.c a b <<D.b c a <<【答案】C 【解析】12125757a -⎛⎫=⎛⎫= ⎝⎭⎪⎭⎪⎝<135()7b =，225log log 107c =<= 因此c a b << 故选：C.25.函数()log (2)a f x ax =-（0a >且1a ≠）在[]0,3上为增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A.2,13⎛⎫⎪⎝⎭B.(0,1)C.20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D.[)3,+∞ 【答案】C【解析】因为0a >且1a ≠，令2t ax =-，所以函数2t ax =-在[]0,3上为减函数， 所以函数log a y t =应是减函数，()f x 才可能是增函数， ∴01a <<，因为函数()f x 在[]0,3上为增函数， 由对数函数性质知230a ->，即23<a ，综上023a <<. 故选：C .26.设3log 7a =， 1.12b =， 3.10.8c =，则（ ） A.b a c << B.a c b <<C.c b a <<D.c a b <<【答案】D【解析】因为333log 7(log 3,log 9)a =∈，所以(1,2)a ∈； 1.122b =>； 3.100.80.81c =<=； 所以c a b <<， 故选D.27.三个数0.76，60.7，0.7log 6的大小顺序是（ ）A.60.70.7log 60.76<<B.60.70.70.76log 6<< C.0.760.7log 660.7<<D.60.70.70.7log 66<<【答案】A【解析】因为0.70661>=，6000.70.71<<=，0.70.7log 6log 10<=；所以60.70.7log 60.76<<.故选：A.28.已知0.42x =，2lg 5y =，0.425z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A.x y z << B.y z x << C.z y x << D.z x y <<【答案】B 【解析】0.4221x =>=，2lg lg105y =<=，0.421525z ⎛⎫<= ⎪⎝⎫⎭⎭⎛=⎪⎝，又0z >，即01z <<. 因此，y z x <<. 故选：B.考点1函数的反函数1.函数y＝ln x＋1(x>0)的反函数为( )A．y＝e x＋1(x∈R)B．y＝e x－1(x∈R)C．y＝e x＋1(x>1)D．y＝e x－1(x>1)【答案】B【解析】由y＝ln x＋1，得x＝e y－1.又因为函数y＝ln x＋1的值域为R，于是y＝ln x＋1的反函数为y＝e x－1(x∈R)．故选B.2.函数f(x)＝(x－1)2＋1(x<1)的反函数为( )A．f－1(x)＝1＋(x>1)B．f－1(x)＝1－(x>1)C．f－1(x)＝1＋(x≥1)D．f－1(x)＝1－(x≥1)【答案】B【解析】∵x<1⇒y＝(x－1)2＋1，∴(x－1)2＝y－1⇒x－1＝－，∴反函数为f－1(x)＝1－(x>1)．3.已知指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，f(x)的反函数记为y＝g(x)，且g(x)过点(4,2)，则f(x)的解析式是( )A．f(x)＝log4xB．f(x)＝log2xC．f(x)＝2xD．f(x)＝4x【答案】C【解析】指数函数的解析式为：f(x)＝a x(a>0，a≠1)，∵f(x)的反函数记为y＝g(x)函数的图象经过(4,2)点，∴f(x)的图象经过(2,4)点，∴4＝a2，a＝2，∴指数函数的解析式为y＝2x.故选C.4.已知函数f(x)的反函数为g(x)＝log2x＋1，则f(2)＋g(2)等于( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】因为函数f(x)的反函数为g(x)＝log2x＋1，所以f(2)＋g(2)＝f(2)＋2.而根据反函数的图象与性质可知f(2)＝2，因此选D.5.函数y＝f(x)的图象与y＝2x的图象关于直线y＝x对称，则函数y＝f(4x－x2)的递增区间是________．【答案】(0,2)【解析】∵函数y＝f(x)的图象与y＝2x的图象关于直线y＝x对称，∴y＝f(x)与y＝2x互为反函数，∵y＝2x的反函数为y＝log2x，∴f(x)＝log2x，f(4x－x2)＝log2(4x－x2)．令t＝4x－x2，则t>0，即4x－x2>0，∴x∈(0,4)，又∵t＝4x－x2的对称轴为x＝2，且对数的底数大于1，∴y＝f(4x－x2)的递增区间为(0,2)．6.设f－1(x)为f(x)＝2x－2＋，x∈[0,2]的反函数，则y＝f(x)＋f－1(x)的最大值为________．【答案】4【解析】由题意得：f(x)在[0,2]上单调递增，值域为[，2]，所以f－1(x)在[，2]上单调递增，因此y ＝f(x)＋f－1(x)在[，2]上单调递增，其最大值为f(2)＋f－1(2)＝2＋2＝4.7.函数f(x)＝a x＋log a(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为( )A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】函数f(x)＝a x＋log a(x＋1)，令y1＝a x，y2＝log a(x＋1)，显然在[0,1]上，y1＝a x与y2＝log a(x＋1)同增或同减．因而[f(x)]max＋[f(x)]min＝f(1)＋f(0)＝a＋log a2＋1＋0＝a，解得a＝.8.设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a等于( ) A．－1 B．1 C．2 D．4【答案】C【解析】设(x，y)是函数y＝f(x)的图象上任意一点，它关于直线y＝－x对称点为(－y，－x)，由已知知(－y，－x)在函数y＝2x＋a的图象上，∴－x＝2－y＋a，解得y＝－log2(－x)＋a，即f(x)＝－log2(－x)＋a，∴f(－2)＋f(－4)＝－log22＋a－log24＋a＝1，解得a＝2.9.方程log2x＋log2(x－1)＝1的解集为M，方程22x＋1－9·2x＋4＝0的解集为N，那么M与N的关系是( ) A．M＝N B．M N C．M N D．M∩N＝∅【答案】B【解析】由log2x＋log2(x－1)＝1，得x(x－1)＝2，解得x＝－1(舍)或x＝2，故M＝{2}；由22x＋1－9·2x＋4＝0，得2·(2x)2－9·2x＋4＝0，解得2x＝4或2x＝，即x＝2或x＝－1，故N＝{2，－1}，因此有M N.10.已知函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)【答案】C【解析】①当a>0时，f(a)＝log2a，f(－a)＝，f(a)>f(－a)，即log2a>＝log2，∴a>，解得a>1.②当a<0时，f(a)＝，f(－a)＝log2(－a)，f(a)>f(－a)，即>log2(－a)＝，∴－a<，解得－1<a<0，由①②得－1<a<0或a>1.11.若函数f(x)＝x2lg a－2x＋1的图象与x轴有两个交点，则实数a的取值范围是( ) A．0<a<10B．1<a<10C．0<a<1D．0<a<1或1<a<10【答案】D【解析】lg a≠0且Δ＝4－4lg a>0，解得0<a<1或1<a<10，故选D.12.已知集合A＝{x|x2≥1，x∈R}，B＝{x|log2x<2，x∈R}，则∁R A∩B等于( ) A．[0,1]B．(0,1)C．(－3,1)D．[－3,1]【答案】B【解析】集合A＝{x|x2≥1，x∈R}＝{x|x≥1，或x≤－1}，B＝{x|log2x<2，x∈R}＝{x|0<x<4}，∴∁R A＝(－1,1)，∴∁R A∩B＝(0,1)，故选B.13.已知函数f(x)＝log a(x－1)(a>0，且a≠1)，g(x)＝log a(3－x)(a>0，且a≠1)．(1)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的定义域；(2)利用对数函数的单调性，讨论不等式f(x)≥g(x)中x的取值范围．【答案】(1)要使函数h(x)＝f(x)－g(x)＝log a(x－1)－log a(3－x)有意义，需有解得1<x<3，故函数h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为(1,3)．(2)因为不等式f(x)≥g(x)，即log a(x－1)≥log a(3－x)，当a>1时，有解得2≤x<3.当0<a<1时，有解得1<x≤2.综上可得，当a>1时，不等式f(x)≥g(x)中x的取值范围为[2,3)；当0<a<1时，不等式f(x)≥g(x)中x 的取值范围为(1,2]．14.已知函数f(x)＝log a(1＋x)，g(x)＝log a(1－x)，(a>0，且a≠1)．(1)设a＝2，函数f(x)的定义域为[3,63]，求函数f(x)的最值；(2)求使f(x)－g(x)>0的x的取值范围．【答案】(1)当a＝2时，函数f(x)＝log2(x＋1)为[3,63]上的增函数，故f(x)max＝f(63)＝log2(63＋1)＝6，f(x)min＝f(3)＝log2(3＋1)＝2.(2)f(x)－g(x)>0，即log a(1＋x)>log a(1－x)，①当a>1时，1＋x>1－x>0，得0<x<1.②当0<a<1时，0<1＋x<1－x，得－1<x<0.15.下列函数关系中，可以看成是指数型函数y＝ka x(k∈R，a＞0且a≠1)模型的是( )A．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)B．我国人口年自然增长率为1%，我国人口总数随年份的变化关系C．如果某人t s内骑车行进了1km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系D．信件的邮资与其重量间的函数关系【答案】B【解析】A：竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系，是二次函数关系；B：我国人口年自然增长率为1%，我国人口总数随年份的变化关系，是指数型函数关系；C：如果某人t s内骑车行进了1km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系，是反比例函数关系；D：信件的邮资与其重量间的函数关系，是正比例函数关系．故选B.16.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为如图所示的( )A．B．C．D．【答案】D【解析】设原来森林蓄积量是a，则a(1＋10.4%)y＝ax,1.104y＝x，所以y＝log1.104x，故选D.17.如图是某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积会超过30m2；③野生水葫芦从4m2蔓延到12m2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延至2m2、3m2、6m2所需的时间分别为t1、t2、t3则有t1＋t2＝t3；其中正确的说法有________．(请把正确的说法的序号都填在横线上)【答案】①②④【解析】∵其关系为指数函数，图象过(4,16)点，∴指数函数的底数为2，故①正确；当t＝5时，s＝32＞30，故②正确；4对应的t＝2，经过1.5月后面积是23.5＜12，故③不正确；∵t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴有t1＋t2＝t3，故④正确．综上可知，①②④正确．故答案为①②④.18.我国辽东半岛普兰附近的泥炭层中，发掘出的古莲子，至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可用放射性碳法．在动植物的体内都含有微量的放射性14C，动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变，经过5570年(叫做14C的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半，经过科学家测定知道，若14C的原始含量为a，则经过t年后的残余量a′(与a之间满足a′＝a·e－kt)．现测得出土的古莲子中14C残余量占原量的87.9%，试推算古莲子的生活年代．【答案】因为a′＝a·e－kt，即＝e－kt.两边取对数，得lg＝－kt lge．①又知14C的半衰期是5570年，即当t＝5570时，＝.故lg＝－5570k lge，即k lge＝.代入①式，并整理，得t＝－.这就是利用放射性碳法计算古生物年代的公式．现测得古莲子的是0.879，代入公式，得t＝－≈1036.即古莲子约是1036年前的遗物．19.诺贝尔奖发放方式为：每年一次，把资金总额平均分成6份，奖励在6个领域(物理学、化学、文学、经济学、医学或生理学、和平事业)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%，资料显示：1999年诺贝尔奖发放后基金总额约为19800万美元，设f(x)表示为第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，…，依此类推)．(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.03129≈1.32,1.031210≈1.36)【答案】(1)由题意知f(2)＝f(1)(1＋6.24%)－f(1)×6.24%＝f(1)×(1＋3.12%)，f(3)＝f(2)(1＋6.4%)－f(2)×6.24%＝f(1)(1＋3.12%)2，∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x－1(x∈N*)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3.12%)9≈26107(万美元)．2009年诺贝尔奖各项金额为×f(10)×6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元．故该新闻是假的．20.某城市现有人口总数为100万，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数解析式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年后该城市人口总数将达到120万人．(精确到1年)[参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)15≈1.196，(1＋1.2%)16≈1.210]【答案】(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；2年后该城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；3年后该城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)3…故x年后该城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)x.(2)10年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人)．(3)令y＝120，则有100(1＋1.2%)x＝120，解得x≈16.即大约16年后该城市人口总数将达到120万人．。
高中数学高考题选-已知三角函数图像求解析式
高考题选——已知三角函数图像求解析式湖北省天门中学 薛德斌 2022年1月 1．【2021年全国甲卷文T15/16】 已知函数()()2cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________．【答案】 【详解】由题意可得：313341234T πππ=-=，T π=，2ω=±， 当2ω=时，1312x π=时，()131322,2126x k k k Z πωϕϕπϕππ+=⨯+=∴=-∈， 令1k =可得：6πϕ=-，()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭； 当2ω=-时，1312x π=时，()131322,2126x k k k Z πωϕϕπϕππ+=-⨯+=∴=+∈， 令1k =-可得：6πϕ=，()2cos 22cos 266f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 综上所述，()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．∴()52cos 2,2cos 22cos 62266f x x f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⨯-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：2．【2021年全国甲卷理T16/16】已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74(()())(()())043f x f f x f ππ--->的最小正整数x 为________．【答案】2 【详解】由题意可得：313341234T πππ=-=，T π=，2ω=±， 当2ω=时，1312x π=时，()131322,2126x k k k Z πωϕϕπϕππ+=⨯+=∴=-∈， 令1k =可得：6πϕ=-，()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭； 当2ω=-时，1312x π=时，()131322,2126x k k k Z πωϕϕπϕππ+=-⨯+=∴=+∈， 令1k =-可得：6πϕ=，()2cos 22cos 266f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 综上所述，()2cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭． 解法一：T π=， ∴74(()())(()())0(()())(()())04343f x f f x f f x f f x f ππππ--->⇔-->， 结合图形可知，((1)())((1)())043f f f f ππ--<， ∴满足条件的最小正整数应该满足()0f x <，即cos 206x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭， 解得,36k x k k π5ππ+<<π+∈Z ，令0k =，可得536x <<ππ， 可得x 的最小正整数为2．故答案为：2． 解法二：因为7()2cos 143f π11π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，()2cos 032f 4π5π⎛⎫== ⎪⎝⎭；所以由74(()())(()())043f x f f x f ππ--->可得()1f x >或()0f x <； 因为()12cos 22cos 1626f πππ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)2cos 406f π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，符合题意，可得x 的最小正整数为2．故答案为：2．3．【2016年全国Ⅱ卷文T3/12】函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则 （ A ）A .π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B .π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C .π2sin 6y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ D .π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4．【2015年全国I 卷理文T8/12】函数()()cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13,44k k ⎛⎫π-π+ ⎪⎝⎭，k ∈Z B ．132,244k k ⎛⎫π-π+ ⎪⎝⎭，k ∈Z C ．13,44k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z D ．132,244k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z解：由题可得511244T =-=，即2T =，所以2Tωπ==π． 由图可知034x =，所以324k ϕπ+=π+π，解得24k ϕπ=π+，k ∈Z ， 所以()cos 4f x x π⎛⎫=π+⎪⎝⎭． 令224k x k πππ+π+π，解得132244k x k -+． 故选D ．5．【2020年全国Ⅰ卷理文T7/12】设函数()cos π()6f x x ω=+在[,]ππ-的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为（ ）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C 解：点4(,0)9π-在曲线()cos π()6f x x ω=+上，∴4962k πππωπ-⋅+=+，3(13)4k ω=-+，k Z ∈． 【注1：由点4(,0)9π-得“42962k πππωπ-⋅+=-+，3(13)2k ω=-，k Z ∈”是错误的，事实上，当0ω>时，42962k πππωπ-⋅+=-+，3(13)2k ω=-，k Z ∈，0k ≤； 当0ω<时，ππ()()6()cos cos 6f x x x ωω=-=+-，4()2962k πππωπ-⨯--=-+，3(16)4k ω=-+，k Z ∈，0k ≤． 比如，若令4962πππω-⋅+=，34ω=-，3π(()cos )46f x x +-=也过点4(,0)9π-，如图【注2：只由在4[,0]9π-上的图象也可以解出结果．由图可得，4492T Tπ<<，81699Tππ<<，∴9984ω<<，∴3(13)49984k-<<+，33213k+<<，∴1k=-，∴32ω=，43Tπ=，故选C．】。
高三数学函数试题答案及解析
高三数学函数试题答案及解析1.已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x是函数f(x)＝ln x－的零点，则[x]等于________．【答案】2【解析】∵函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴函数f′(x)＝＋>0，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．由f(2)＝ln 2－1<0，f(e)＝ln e－>0，知x0∈(2，e)，∴[x]＝2.2.设角的终边在第一象限，函数的定义域为，且，当时，有，则使等式成立的的集合为．【答案】【解析】令得：，令得：，由得：，又角的终边在第一象限，所以因而的集合为.【考点】抽象函数赋值法3.下图揭示了一个由区间到实数集上的对应过程：区间内的任意实数与数轴上的线段（不包括端点）上的点一一对应（图一），将线段围成一个圆，使两端恰好重合（图二），再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为（图三）.图三中直线与轴交于点，由此得到一个函数，则下列命题中正确的序号是（）；是偶函数；在其定义域上是增函数；的图像关于点对称.A．（1）（3）（4）.B．（1）（2）（3）.C．（1）（2）（4）.D．（1）（2）（3）（4）.【答案】A【解析】由题意得：对应点为，此时直线与轴交于坐标原点，所以成立，由于函数定义区间为，所以是偶函数不成立，由题意得：直线与轴的交点从左到右，因此在其定义域上是增函数成立，根据直线与轴的交点关于原点对称，而由知的图像关于点对称成立.【考点】函数对应关系4.已知函数，则使函数有零点的实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意方程有解，即有解，的取值范围就是函数的值域，当时，，当时，是增函数，取值范围是，即函数的值域是，这就是的取值范围．【考点】方程有解与函数的值域．5.设函数，其中，为正整数，，，均为常数，曲线在处的切线方程为.（1）求，，的值；（2）求函数的最大值；（3）证明：对任意的都有.（为自然对数的底）【答案】（1）;（2）;（3）见解析.【解析】（1）在切点处的的函数值，就是切线的斜率为，可得；根据切点适合切线方程、曲线方程，可得，.（2）求导数，求驻点，讨论区间函数单调性，确定最值.（3）本小题有多种思路，一是要证对任意的都有只需证；二是令，利用导数确定，转化得到．令，证明．（1）因为， 1分所以，又因为切线的斜率为，所以 2分，由点（1,c）在直线上，可得，即 3分4分（2）由（1）知，，所以令，解得，即在（0，+上有唯一零点 5分当0<<时，，故在（0，）上单调递增； 6分当>时，，故在（，+上单调递减； 7分在（0，+上的最大值=== 8分（3）证法1：要证对任意的都有只需证由（2）知在上有最大值，=，故只需证 9分，即① 11分令，则，①即② 13分令，则显然当0<t<1时，，所以在（0，1）上单调递增，所以，即对任意的②恒成立，所以对任意的都有 14分证法2：令，则． 10分当时，，故在上单调递减；而当时，，故在上单调递增．在上有最小值，．，即. 12分令，得，即，所以，即.由（2）知，，故所证不等式成立． 14分【考点】导数的几何意义，直线方程，应用导数研究函数的单调性、最（极）值、证明不等式，转化与化归思想，分类讨论思想，应用导数研究恒成立问题.6.设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2,［］=1）,对于给定的n N*,定义x,则当x时，函数的值域是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，，故；当时，，故，因为，故，综上函数的值域是．【考点】函数的值域．7.若直角坐标平面内两点满足条件：①点都在的图象上；②点关于原点对称，则对称点对是函数的一个“兄弟点对”(点对与可看作一个“兄弟点对”).已知函数, 则的“兄弟点对”的个数为( )A．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】设，则点关于原点的对称点为，于是，，只需判断方程根的个数，即与图像的交点个数，函数图像如下：所以的“兄弟点对”的个数为5个.【考点】1.函数的值；2.新定义题；3.函数的零点.8.已知函数满足，当，，若在区间内，函数有三个不同零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，则，于是，故，如图所示，作出函数的图像，观察图像可知：要使函数有三个不同零点，则直线应在图中的两条虚线之间，于是.【考点】1.导数求切线斜率；2.函数的图像9.已知函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数，所以函数在上是增函数，由得，解得或，所以选C.【考点】函数的单调性.10.已知函数，给出下列命题：（1）必是偶函数；（2）当时，的图象关于直线对称；（3）若，则在区间上是增函数；（4）有最大值.其中正确的命题序号是（）A．（3）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（2）（3）【答案】A【解析】当时，不是偶函数，（1）错；取可得，但图象不关于直线对称，（2）错;当时，，其对称轴为，开口向上在区间上是增函数，（3）正确；因为开口向上无最大值，所以也无最大值，（4）错,所以正确的是（3），选A.【考点】函数奇偶性、二次函数图象.11.若直角坐标平面内不同的两点满足条件：①都在函数的图像上；②关于原点对称，则称点对是函数的一对“友好点对”（注：点对与看作同一对“友好点对”）．若函数，则此函数的“友好点对”有（）对．A．B．C．D．【答案】C【解析】函数关于坐标原点对称的函数为与函数的交点个数（如下图）即为“友好点对”的个数，从图象上可知有两个交点.【考点】求函数解析式,函数的奇偶性,二次函数,对数函数的图象.12.已知函数设表示中的较大值,表示中的较小值,记得最小值为得最大值为,则 ( )A．B．C．D．【答案】C.【解析】即，当时，取最小值；当时，取最大值,所以，选C.【考点】分段函数求最值.13.对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．（Ⅰ）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；（Ⅱ）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；（Ⅲ）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）是，理由详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）判断方程是否有解；（Ⅱ）在方程有解时，通过分离参数求取值范围；（Ⅲ）在不便于分离参数时，通二次函数的图象判断一元二次方程根的分布. 试题解析：为“局部奇函数”等价于关于的方程有解．（Ⅰ）当时，方程即有解，所以为“局部奇函数”． 3分（Ⅱ）当时，可化为，因为的定义域为，所以方程在上有解． 5分令，则．设，则，当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，． 7分所以时，．所以，即． 9分（Ⅲ）当时，可化为．设，则，从而在有解即可保证为“局部奇函数”． 11分令，1°当，在有解，由，即，解得； 13分2°当时，在有解等价于解得． 15分（说明：也可转化为大根大于等于2求解）综上，所求实数m的取值范围为． 16分【考点】函数的值域、方程解的存在性的判定.14.对于函数与和区间D，如果存在，使，则称是函数与在区间D上的“友好点”．现给出两个函数①，②，③，④，其中在区间上存在“友好点”的有（）A．①②B．②③C．③④D．①④【答案】C【解析】对于①，不符合；对于②，，不符合；对于③，=，，函数在（0，+∞）上是单调减函数，当时，，所以，存在，使成立；对于④令得令，得所以，时，函数取得极大值，且为最大值，最大值为，所以，存在，使成立；故选C.【考点】新定义问题，配方法、导数法求函数的值域.15.已知函数若直线与函数的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围是 .【答案】.【解析】如下图所示，作出函数的图象如下图所示，当直线与函数的图象有两个不同的交点，则.【考点】分段函数的图象、函数的零点16.已知函数，（，.若,且函数的图像关于点对称，并在处取得最小值，则正实数的值构成的集合是 .【答案】【解析】由于函数的最小正周期为，由于函数的图象关于点对称，并在处取得最小值，即直线是函数的一条对称轴，故是的奇数倍，即，其中，解得，故正实数的取值集合为.【考点】三角函数的对称性、周期性17.设，定义，则+2等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设终边过点的角（不妨设）则，其中是终边过的角（不妨设）．当时，有+2．故选A．【考点】三角函数的性质点评：主要是考查了三角函数的求解，属于基础题。
2020年高考数学复习 专题11 函数的图像 (2)
I ．题源探究·黄金母题例 1 下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事． （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．【解析】图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化；图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速；图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修1第23页练习第2题【母题评析】本题考查了函数的表示法之一—图像法，意在培养学生的数形结合思想，也考察了学生的分析问题和解决问题的能力，同时告诉了学生生活之中处处有数学，数学来源于生活又应用与生活。
【思路方法】数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图像是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式。
例2．函数()r f p =的图象如图所示． （1）函数()r f p =的定义域是什么？（2）函数()r f p =的值域是什么？ （3）r 取何值时，只有唯一的p值与之对应？【解析】（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2-；（2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应．例3．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4-=-，[2.1]2=．当(2.5,3]x ∈-时，写出函数()f x 的解析式，并作出函数的图象．【解析】3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下精彩解读【试题来源】人教版A 版必修1第25页习题1.2B 组第1题【母题评析】本题以分段函数的图像为载体考察了函数定义域、值域的求法，加强学生对函数概念及函数三要素的理解，这对以后学习函数的性质有很大的帮助。
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函数图象B1 .函数y = a| x | (a > 1)的图象是( )
1 1 1
B（）
A B C D
B3．当a>1时，函数y=log a x和y=(1－a)x的图象只可能是（）
A4．已知y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示
则函数F(x)=f(x)·g(x)的图象可以是(A)
B5．函数(1)
||
x
xa
y a
x
=>的图像大致形状是（）
D6．已知函数
⎩
⎨
⎧
>
≤
=1
1
2
)
(
2
1x
x
log
x
x
f
x
，则f（1－x）的图象是（）
x
y
y
y
y
1 -1 1 -1
x x
x o
o
o
o
x
)
(x
f
y=
y
O
x
)
(x
g
y=
y
O
x
y
O
A
x
y
O
B
x
y
O
C
x
y
D
O
x
y
O x
y
O
y
x
O
C
y
x
O
D
y
y y y
y
o x
y y y
o o o
x x x
A B C D
A
B
C
D
D 7．函数x x y cos -=的部分图象是( )
A 8．若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限，则函数f /(x)的图象是 （ ）
A 9．一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)
(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*
1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是 （ ）
A B C D
C 10．函数y=kx+k 与y=x k
在同一坐标系是的大致图象是（ ）
A 11．设函数f （x ）=1－2
1x -（－1≤x ≤0）的图像是（ ）
x
y
o
A x
y
o D
x
y
o C
x
y
o B
x y
O x y
O x y
O x y
O
A 12． 当a >1时，在同一坐标系中，函数y =a －
x 与y =log a x 的图像（ ）
B 13. 函数1
1
1--=x y 的图象是（ ）
D 14．函数b
x a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是
（ ）
A ．0,1<>b a
B ．0,1>>b a
C ．0,10><<b a
D ．0,10<<<b a
C 15．设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图象如图，
则导函数)('x f 的图象可能是（ ） （A ）
（B ）
（C ）
（D ）
16．奇函数y =f （x ）（x ≠0），当x ∈（0，+∞）时，f （x ）=x －1，则函数f （x －1）的图象为（ D ）
17．函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是( C )
x
y
O 1
1
(A)
x
y
O
11
(B)x
y
O -1
1
(C)
x
y
O
-1
1
(D)
18. 已知函数y =f （x ）是偶函数，y =g （x ）是奇函数，它们的定义域为［－π，π］，且它们在x ∈［0，π］上的图象如下图所示，则不等式
)
()
(x g x f ＞0的解集为( D ) A.（－
3π，0）∪（3π，π） B.（－π，－3π）∪（3π
，π） C.（－4π，0）∪（4π，π） D.（－π，－3π）∪（0，3
π）。