电子科技大学 泛函分析(江泽坚) 作业题答案
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
P46:
第一章习题:
1.验证(),()d m 满足距离定义。
解:设{}i x ξ=,{}i y η=属于X ,α是数,()1
,sup .j j j d x y ξη≥=-
(1)对j ∀,有0j j ξη-≥,所以1
sup j j j ξη≥-,(),0d x y ≥,
且1
sup 00j j j j j j j ξηξηξη≥-=⇔
-=⇔=,即(),0d x y =当且仅当.x y =
(2) ()()1
1
,sup sup ,j j j j j j d x y d y x ξηηξ≥≥=-=-=;
(3)设{}i z ζ=
()()1
1
1
1
,sup sup ()()sup sup ,(,)
j j j j j j j j j j j j j j d x z d x y d y z ξζηξξζηξξζ≥≥≥≥=-≤-+-≤-+-=+综上(1),(2),(3),(),d 满足距离定义。
3.试证明:在空间()s 中的收敛等价于坐标收敛。 证:设{}()(),1,2,
n n j
x s n ξ=
∈=,{}()(0)0j
x s ξ=
∈,
()⇒若0n x x →,则必有()(0)lim ,1,2,n j j n j ξξ→∞
==,
否则,j N +
∃∈,00ε>,与正整数列的子序列{}1k k n ∞
=,使()(0)
0,1,2,
k n j j k ξξε-≥=,
因为()1t
f t t
=
+是单调递增, 所以()
()(0)0
0()(0)011,,1,2,2211k k k n j j n j j
n j j
d x x k ξξεεξξ-≥⋅≥⋅=++-,
这与()
0,0k n d x x →矛盾, 故()s 中的收敛可推出坐标收敛。
()⇐若()(0)lim ,1,2,n j j n j ξξ→∞==,则对j ∀,0ε∀>,0N N +
∃∈,0n N ∀>,
()(0)2
n j j
ε
ξξ-<,
()()
(0)
0()(0)
1111,,1,2,22
11n j j n j j n j j j j d x x k ξξε
εξξ∞
∞==-=⋅<⋅=++-∑∑,
由ε的任意性得()0,0.n d x x → 故命题得证。
4.证明:空间()c 是可分的。 证:令0s 表示所有形如12{,,
,,,,}m m m r r r r r 的元素的集合,m 为任意正整数,
(1,2,)j r j m =是任意的有理数,所以0s 可数。
故要证0s 在收敛序列空间()c 内是稠密,只需证明()x c ∀∈,0s ∃中序列{}1k k x ∞
=使
(,)0k d x x →。
对()x c ∀∈,x 为收敛序列, 所以对0ε∀>,m ∃∈,,i j m ≥时,有.3
i j ε
ξξ-<
当j m <时,构造{}
()1
k j k r ∞
=使0ε∀>,0K ∃∈
,0k K ∀>时有()
3
k j j r ε
ξ-<
,
令{
}()()()()12,,
,,,
k k k k k m m x r r r r =,则对0ε∀>,,m k ∃∈
,0k K ∀>恒有
()()()111(,)sup max sup ,sup k k k k j j j j j j
j j m
j m d x x r r r ξξξ≥≤≤≥+⎧
⎫=-=--⎨⎬⎩⎭ ()
1
max ,sup ()3
k m m m j j m r ε
ξξξ≥+⎧⎫≤-+-⎨⎬⎩⎭
max ,
333εεεε⎧⎫
≤+<⎨⎬⎩⎭
所以0s 在()c 中稠密,即()c 可分。
9.证明:(1)p
l p ≤<∞是完备的距离空间。 证:设()
()()
12(,,)n n n x
x x =是p l 中的Cauchy 序列,则对任意0ε>,存在0N >,使得当
,m n N >时,
()()
()()
1
.p
p m n m n p i i p
i x x x x ε∞
=-=-<∑
(1)
于是对每个固定的i ,,m n N >时,
()()()()
.m n m n i i p
x x x x ε-≤-<
这表明对每个固定的i ,{}
()
1
n i
n x ≥是Cauchy 数列。因此{}
()n i x 收敛。设当n →∞时
()(1,2,).n i i x x n →=
令12(,,
).x x x =下面证明p x l ∈并且().n x x →由(1)式知道,对任意1k ≥,当,m n N >时,
()()
1.k
p
m n p i i i x x ε=-<∑
在上式中固定n N >时,先令m →∞,再令k →∞,得到
()
1
.p
n p i i i x x ε∞
=-≤∑
(2)
这表明()
.n p x x
l -∈由于p l 是线性空间,故()().n n p x x x x l =-+∈而且式(2)还表明,当
n N >时
()
.n p
x x ε-≤
因此()
().n x x n →→∞故(1)p l p ≤<∞是完备的。
26.设T 是从赋范线性空间1
,
X 到赋范线性空间2
,
Y 的有界线性算子,证明
11221
1
sup sup x x T Tx Tx =≤==
证明:由
2
00
1
112
2
1
1sup
sup sup x x x Tx
T Tx T x x x x ≠≠≠⎛⎫
===
⎪ ⎪⎝⎭, 得
1112
2
221
1
1,0
1
1
sup sup sup
sup
x x x x x Tx
Tx
T Tx Tx T x x =≤≤≠≠≤≤≤≤=,
故式中“≤”均可改为等号,命题得证。