电子科技大学 泛函分析(江泽坚) 作业题答案

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P46:

第一章习题:

1.验证(),()d m 满足距离定义。

解:设{}i x ξ=,{}i y η=属于X ,α是数,()1

,sup .j j j d x y ξη≥=-

(1)对j ∀,有0j j ξη-≥,所以1

sup j j j ξη≥-,(),0d x y ≥,

且1

sup 00j j j j j j j ξηξηξη≥-=⇔

-=⇔=,即(),0d x y =当且仅当.x y =

(2) ()()1

1

,sup sup ,j j j j j j d x y d y x ξηηξ≥≥=-=-=;

(3)设{}i z ζ=

()()1

1

1

1

,sup sup ()()sup sup ,(,)

j j j j j j j j j j j j j j d x z d x y d y z ξζηξξζηξξζ≥≥≥≥=-≤-+-≤-+-=+综上(1),(2),(3),(),d 满足距离定义。

3.试证明:在空间()s 中的收敛等价于坐标收敛。 证:设{}()(),1,2,

n n j

x s n ξ=

∈=,{}()(0)0j

x s ξ=

∈,

()⇒若0n x x →,则必有()(0)lim ,1,2,n j j n j ξξ→∞

==,

否则,j N +

∃∈,00ε>,与正整数列的子序列{}1k k n ∞

=,使()(0)

0,1,2,

k n j j k ξξε-≥=,

因为()1t

f t t

=

+是单调递增, 所以()

()(0)0

0()(0)011,,1,2,2211k k k n j j n j j

n j j

d x x k ξξεεξξ-≥⋅≥⋅=++-,

这与()

0,0k n d x x →矛盾, 故()s 中的收敛可推出坐标收敛。

()⇐若()(0)lim ,1,2,n j j n j ξξ→∞==,则对j ∀,0ε∀>,0N N +

∃∈,0n N ∀>,

()(0)2

n j j

ε

ξξ-<,

()()

(0)

0()(0)

1111,,1,2,22

11n j j n j j n j j j j d x x k ξξε

εξξ∞

∞==-=⋅<⋅=++-∑∑,

由ε的任意性得()0,0.n d x x → 故命题得证。

4.证明:空间()c 是可分的。 证:令0s 表示所有形如12{,,

,,,,}m m m r r r r r 的元素的集合,m 为任意正整数,

(1,2,)j r j m =是任意的有理数,所以0s 可数。

故要证0s 在收敛序列空间()c 内是稠密,只需证明()x c ∀∈,0s ∃中序列{}1k k x ∞

=使

(,)0k d x x →。

对()x c ∀∈,x 为收敛序列, 所以对0ε∀>,m ∃∈,,i j m ≥时,有.3

i j ε

ξξ-<

当j m <时,构造{}

()1

k j k r ∞

=使0ε∀>,0K ∃∈

,0k K ∀>时有()

3

k j j r ε

ξ-<

令{

}()()()()12,,

,,,

k k k k k m m x r r r r =,则对0ε∀>,,m k ∃∈

,0k K ∀>恒有

()()()111(,)sup max sup ,sup k k k k j j j j j j

j j m

j m d x x r r r ξξξ≥≤≤≥+⎧

⎫=-=--⎨⎬⎩⎭ ()

1

max ,sup ()3

k m m m j j m r ε

ξξξ≥+⎧⎫≤-+-⎨⎬⎩⎭

max ,

333εεεε⎧⎫

≤+<⎨⎬⎩⎭

所以0s 在()c 中稠密,即()c 可分。

9.证明:(1)p

l p ≤<∞是完备的距离空间。 证:设()

()()

12(,,)n n n x

x x =是p l 中的Cauchy 序列,则对任意0ε>,存在0N >,使得当

,m n N >时,

()()

()()

1

.p

p m n m n p i i p

i x x x x ε∞

=-=-<∑

(1)

于是对每个固定的i ,,m n N >时,

()()()()

.m n m n i i p

x x x x ε-≤-<

这表明对每个固定的i ,{}

()

1

n i

n x ≥是Cauchy 数列。因此{}

()n i x 收敛。设当n →∞时

()(1,2,).n i i x x n →=

令12(,,

).x x x =下面证明p x l ∈并且().n x x →由(1)式知道,对任意1k ≥,当,m n N >时,

()()

1.k

p

m n p i i i x x ε=-<∑

在上式中固定n N >时,先令m →∞,再令k →∞,得到

()

1

.p

n p i i i x x ε∞

=-≤∑

(2)

这表明()

.n p x x

l -∈由于p l 是线性空间,故()().n n p x x x x l =-+∈而且式(2)还表明,当

n N >时

()

.n p

x x ε-≤

因此()

().n x x n →→∞故(1)p l p ≤<∞是完备的。

26.设T 是从赋范线性空间1

,

X 到赋范线性空间2

,

Y 的有界线性算子,证明

11221

1

sup sup x x T Tx Tx =≤==

证明:由

2

00

1

112

2

1

1sup

sup sup x x x Tx

T Tx T x x x x ≠≠≠⎛⎫

===

⎪ ⎪⎝⎭, 得

1112

2

221

1

1,0

1

1

sup sup sup

sup

x x x x x Tx

Tx

T Tx Tx T x x =≤≤≠≠≤≤≤≤=,

故式中“≤”均可改为等号,命题得证。

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