第二章复习题
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b
a
z (a 2 z 2 )dz
[2.5]半径为a,质量为m的薄圆片，绕垂直于圆片并通过 圆心的竖直轴以匀角速 转动，求绕此轴的动量矩。
M [解] 如图薄圆盘，取一微元来自百度文库设面密度为 2 a
则此微元的质量为 rd dr dm n 由公式J ri mi vi
[解] 如图，u为m相对M的速度，V为M对地速度。以M，m系统 为研究对象，系统水平方向不受外力，动量守恒。
mvx MV 0 (1) vx 是m对地水平分速度
u a (2)
vx u cos V v y u sin
(3) (4)
v vx v y
2
2
M , m系统只有重力做功，机 械能守恒 设地面为零势能面，则
x r cos
xc
xdm dm
r dr cosd
2
a
0
rdr d
0
a
2 sin a 3
[证明]对于半圆片的质心，
2
4a 则xc 3
[2.2]如自半径为a的球上，用一与球心相距为b的平面， 切出一球形帽，求此球形帽的质心。
[解] 如图建立坐标系，设均匀球体密度为
则dm dv y 2dz (a 2 z 2 )dz
由对称性知，质心一定 z轴上，代入质心公式 在
zc
zdm dm
3(a 2 b 2 ) b a 4(2a b) (a 2 z 2 )dz
J r d (mv ) rrddr r
a M 2 2 d r 3dr 0 a 0 1 Ma 2 2 i 1
[2.7] 质量为M，半径为a的光滑半球，其底面放在光 滑的水平面上，有一质量为m的质点沿此半球面滑下。 设质点的初位置与球心的连线和竖直向上的直线间所 成之角为 ，并且起始时此系统是静止的，求此质点 滑到它与球心的连线和竖直向上直线间所成之角为 时 之值。
[2.1]求均匀扇形薄片的质心，此扇形的半径为a，所对 的圆心角为2 .并证半圆片的质心离圆心的距离为 4 a 3
[解]因扇形薄片是均匀的，设其面密度为 ，取对称 轴为 x 轴，由对称性可知质心一定在 x 轴上。
如图取一小面元 dS，则其质量
dm ds rddr
由质心公式可得
[解法一 ] 动能定理
n n 1 2 (e) (i ) dT d mi vi Fi dri Fi dri i 1 2 i 1 i 1 n
设链条质量为m,末端滑到桌边时速度为v
l 1 2 1 mg 2 mv 0 ( mg y )dy 0 2 2 l
3gl v 2
M' (M M ' )2 M 2 u g M 2m M
[解] 这是一道变质量问题 d dm (mv ) uF dt dt
(1)
F f N (M M 'mt) g
dM ' 质量变化率： m dt
d dM ' 代入（）式 [( M M 'mt )v] 1 u ( M M 'mt ) g dt dt
[解法二 ] 机械能守恒定律
链条下滑过程中，只有保守力作功，选桌面为零势能面
1 l l 1 2 ( mg ) mg mv 2 4 2 2
3gl v 2
[2.15] 机枪质量为M,放在水平地面上，装有质量为M’ 的子弹。机枪在单位时间内射出子弹的质量为m，其 相对于地面的速度则为u.如机枪与地面的摩擦因为 。 试证当M’全部射出后，机枪后退的速度为
v
0
d [( M M ' mt )v] dM ' u g ( M M ' mt )dt
0
u
M' m 0
M' M' 1 M' 2 ( M M 'm )v M ' u g ( M M ' ) gm ( ) m m 2 m
M' (M M ' )2 M 2 v u g M 2m M
1 2 1 mga cos mga cos mv mV 2 (5) 2 2
2 g cos cos (1 ~ 5 ）联立 a 1 m cos2 M m
[2.13] 长为l的均匀细链条伸直地平放在水平光滑桌面上， 其方向与桌边缘垂直，此时链条的一半从桌边下垂。起 始时，整个链条是静止的。试用两种不同的方法，求此 链条的末端滑到桌子的边缘时，链条的速度v.
a
z (a 2 z 2 )dz
[2.5]半径为a,质量为m的薄圆片，绕垂直于圆片并通过 圆心的竖直轴以匀角速 转动，求绕此轴的动量矩。
M [解] 如图薄圆盘，取一微元来自百度文库设面密度为 2 a
则此微元的质量为 rd dr dm n 由公式J ri mi vi
[解] 如图，u为m相对M的速度，V为M对地速度。以M，m系统 为研究对象，系统水平方向不受外力，动量守恒。
mvx MV 0 (1) vx 是m对地水平分速度
u a (2)
vx u cos V v y u sin
(3) (4)
v vx v y
2
2
M , m系统只有重力做功，机 械能守恒 设地面为零势能面，则
x r cos
xc
xdm dm
r dr cosd
2
a
0
rdr d
0
a
2 sin a 3
[证明]对于半圆片的质心，
2
4a 则xc 3
[2.2]如自半径为a的球上，用一与球心相距为b的平面， 切出一球形帽，求此球形帽的质心。
[解] 如图建立坐标系，设均匀球体密度为
则dm dv y 2dz (a 2 z 2 )dz
由对称性知，质心一定 z轴上，代入质心公式 在
zc
zdm dm
3(a 2 b 2 ) b a 4(2a b) (a 2 z 2 )dz
J r d (mv ) rrddr r
a M 2 2 d r 3dr 0 a 0 1 Ma 2 2 i 1
[2.7] 质量为M，半径为a的光滑半球，其底面放在光 滑的水平面上，有一质量为m的质点沿此半球面滑下。 设质点的初位置与球心的连线和竖直向上的直线间所 成之角为 ，并且起始时此系统是静止的，求此质点 滑到它与球心的连线和竖直向上直线间所成之角为 时 之值。
[2.1]求均匀扇形薄片的质心，此扇形的半径为a，所对 的圆心角为2 .并证半圆片的质心离圆心的距离为 4 a 3
[解]因扇形薄片是均匀的，设其面密度为 ，取对称 轴为 x 轴，由对称性可知质心一定在 x 轴上。
如图取一小面元 dS，则其质量
dm ds rddr
由质心公式可得
[解法一 ] 动能定理
n n 1 2 (e) (i ) dT d mi vi Fi dri Fi dri i 1 2 i 1 i 1 n
设链条质量为m,末端滑到桌边时速度为v
l 1 2 1 mg 2 mv 0 ( mg y )dy 0 2 2 l
3gl v 2
M' (M M ' )2 M 2 u g M 2m M
[解] 这是一道变质量问题 d dm (mv ) uF dt dt
(1)
F f N (M M 'mt) g
dM ' 质量变化率： m dt
d dM ' 代入（）式 [( M M 'mt )v] 1 u ( M M 'mt ) g dt dt
[解法二 ] 机械能守恒定律
链条下滑过程中，只有保守力作功，选桌面为零势能面
1 l l 1 2 ( mg ) mg mv 2 4 2 2
3gl v 2
[2.15] 机枪质量为M,放在水平地面上，装有质量为M’ 的子弹。机枪在单位时间内射出子弹的质量为m，其 相对于地面的速度则为u.如机枪与地面的摩擦因为 。 试证当M’全部射出后，机枪后退的速度为
v
0
d [( M M ' mt )v] dM ' u g ( M M ' mt )dt
0
u
M' m 0
M' M' 1 M' 2 ( M M 'm )v M ' u g ( M M ' ) gm ( ) m m 2 m
M' (M M ' )2 M 2 v u g M 2m M
1 2 1 mga cos mga cos mv mV 2 (5) 2 2
2 g cos cos (1 ~ 5 ）联立 a 1 m cos2 M m
[2.13] 长为l的均匀细链条伸直地平放在水平光滑桌面上， 其方向与桌边缘垂直，此时链条的一半从桌边下垂。起 始时，整个链条是静止的。试用两种不同的方法，求此 链条的末端滑到桌子的边缘时，链条的速度v.