高考数学压轴专题(易错题)备战高考《空间向量与立体几何》经典测试题及答案解析
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17．如图长方体中，过同一个顶点的三条棱的长分别为2、4、6， 点为长方体的一个顶点， 点为其所在棱的中点，则沿着长方体的表面从 点到 点的最短距离为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由长方体的侧面展开图可得有3种情况如下：①当 点所在的棱长为2；②当 点所在的棱长为4；③当 点所在的棱长为6，分别再求出展开图AB的距离即可得最短距离.
③由 ，根据共面向量定理知 四点不共面，故③错误；
④由 ，当 时，向量 与向量 ， 构成的平面共面，则 不能构成空间的一个基底，故④错误；
⑤利用反证法：若 不构成空间的一个基底，
设 ，整理得 ，即 共面，又因 为空间的一个基底，所以 能构成空间的一个基底，故⑤正确.
综上：①②⑤正确.
故选：D.
【点睛】
【点睛】
本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.
6．《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中一个寓言故事，通过讲述已知乌鸦喝水的故事，告诉人们遇到困难要运用智慧，认真思考才能让问题迎刃而解的道理，如图 所示，乌鸦想喝水，发现有一个锥形瓶，上面部分是圆柱体，下面部分是圆台，瓶口直径为 厘米，瓶底直径为 厘米，瓶口距瓶颈为 厘米，瓶颈到水位线距离和水位线到瓶底距离均为 厘米，现将 颗石子投入瓶中，发现水位线上移 厘米，若只有当水位线到达瓶口时乌鸦才能喝到水，则乌鸦共需要投入的石子数量至少是（）
本道题考查了三视图还原直观图，考查了组合体体积计算方法，难度中等．
2．如图，在长方体 中， ,而对角线 上存在一点 ，使得 取得最小值，则此最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
把面 绕 旋转至面 使其与对角面 在同一平面上，连接 并求出，就
是最小值．
【详解】
把面 绕 旋转至面 使其与对角面 在同一平面上，连接 ． 就是 的最小值，
【详解】
设圆锥底面圆的半径为r,圆锥母线长为l，则侧面积为 ，
侧面积与底面积的比为 ,则母线l=2r,圆锥的高为h= ,
则圆锥的体积为 ,
设外接球的球心为O,半径为R,截面图如图，则OB=OS=R,OD=h-R= ,BD=r,
在直角三角形BOD中，由勾股定理得 ,即 ,
展开整理得R= 所以外接球的体积为 ,
14．圆锥 （其中 为顶点， 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是 ，则圆锥 与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知条件求得圆锥母线与底面圆半径r的关系，从而得到圆锥的高与r关系，计算圆锥体积，由截面图得到外接球的半径R与r间的关系，计算球的体积，作比即可得到答案.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．
【详解】
解：设圆柱的半径为 ，高为 ，体积为 ，
则由题意可得 ，
，
圆柱的体积为 ，
则 ．
当且仅当 ，即 时等号成立．
圆柱的最大体积为 ，
故选： ．
【点睛】
本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，是中档题．
【分析】
根据三视图，可得三棱锥P-ABC的直观图，然后再计算可得.
【详解】
解：根据三视图，可得三棱锥P-ABC的直观图如图所示，
其中D为AB的中点， 底面ABC.
所以三棱锥P-ABC的体积为 ，
， ， ，
， 、 不可能垂直，
即 不可能两两垂直，
， .
三棱锥P-ABC的侧面积为 .
故正确的为C.
故选：C.
【详解】
如图，在 上取中点 ，在 上取中点 ，连接
， 且 ，
平面 平面 ，则动点 的轨迹是 （不含 两点）
又 平面 ，则当 时， 取得最小值
此时，
本题正确选项：
【点睛】
本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题，关键是能够通过面面平行关系得到动点的轨迹，从而找到最值取得的点.
12．已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列可以推出 的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三视图知该几何体是三棱锥与 圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可．
【详解】
解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与 圆锥体的组合体，
如图所示；
则该组合体的体积为 ；
所以对应不规则几何体的体积为 ．
故选B．
【点睛】
本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题．
本题考查空间向量基本运算，向量共面，向量共线等基础知识，以及空间基底的定义，共面向量的定义，属于基础题．
9．在三棱锥 中， 平面 ，且 为等边三角形， ，则三棱锥 的外接球的表面积为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
计算出 的外接圆半径 ，利用公式 可得出外接球的半径，进而可得出三棱锥 的外接球的表面积.
8．在以下命题中：
①三个非零向量 ， ， 不能构成空间的一个基底，则 ， ， 共面；
②若两个非零向量 ， 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 ， 共线；
③对空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，若 ，则 ， ， ， 四点共面
④若 ， 是两个不共线的向量，且 ，则 构成空间的一个基底
⑤若 为空间的一个基底，则 构成空间的另一个基底；
又圆锥的体积 ， ， ，
圆柱 的侧面积为 ，
圆锥 与圆柱 的侧面积之比为 .
故选： .
【点睛】
本题考查圆锥和圆柱侧面积的求解问题，涉及到圆锥和圆柱体积公式的应用，属于基础题.
4．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（）
.
故选：A.
【点睛】
本题考查数学文化与简单几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力.
5．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥 中， 为侧棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先通过作平行的辅助线确定异面直线 与 所成角的平面角，在 中利用余弦定理求出 进而求出CE，再在 中利用余弦定理即可得解.
【详解】
如图，取 的中点 ， 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ， ， ，
则 ， ，从而四边形 是平行四边形，则 ，
且 .
因为 是 的中点， 是 的中点，
所以 为 的中位线，所以 ，则 是异面直线 与 所成的角.由题意可得 ， .
在 中，由余弦定理可得 ，
则 ，即 .
在 中，由余弦定理可得 .
故选：D
对于D， ， ，又由 ，故D正确.
故选：D
【点睛】
本题考查空间中的平行、垂直关系的判定，还考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
13．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为 圆周，则该不规则几何体的体积为（）
， ， ．
所以
故选 ．
【点睛】
本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题．
3．已知圆锥 的高是底面半径的3倍，且圆锥 的底面直径、体积分别与圆柱 的底面半径、体积相等，则圆锥 与圆柱 的侧面积之比为（）.
A． B． C． D．
其中真命题的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据空间向量的运算法则，逐一判断即可得到结论.
【详解】
①由空间基底的定义知，三个非零向量 ， ， 不能构成空间的一个基底，则 ， ， 共面，故①正确；
②由空间基底的定义知，若两个非零向量 ， 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 ， 共线，故②正确；
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
A，有可能出现 ， 平行这种情况.B，会出现平面 ， 相交但不垂直的情况.C，根据面面平行的性质定理判断.D，根据面面垂直的判定定理判断.
【详解】
对于A， ， ，若 ，则 ，故A错误；
对于B，会出现平面 ， 相交但不垂直的情况，故B错误；
对于C，因为 ， ，则 ，又因为 ，故C错误；
11．如图，在棱长为2的正方体 中，点 是 的中点，动点 在底面 内（不包括边界），若 平面 ，则 的最小值是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
在 上取中点 ，在 上取中点 ，连接 ，根据面面平行的判定定理可知平面 平面 ，从而可得 的轨迹是 （不含 两点）；由垂直关系可知当 时， 取得最小值；利用面积桥和勾股定理可求得最小值.
【详解】
的外接圆半径为 ，
底面 ，所以，三棱锥 的外接球半径为 ，
因此，三棱锥 的外接球的表面积为 .
故选：B.
【点睛】
本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，选择合适的公式计算外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.
10．某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( )
【答案】A
【解析】
【分析】
设圆锥 的底面半径为 ，可求得圆锥的母线长，根据圆锥侧面积公式求得侧面积；由圆锥体积与圆柱体积相等可构造方程求得圆柱的高，进而根据圆柱侧面积公式求得圆柱侧面积，从而求得比值.
【详解】
设圆锥 的底面半径为 ，则高为 ， 圆锥 的母线长 ，
圆锥 的侧面积为 ；
圆柱 的底面半径为 ，高为 ，
【详解】
取 的中点 ，连接 ，则 ，所以 为异面直线 与 所成角，如下图所示：
设正四面体 的棱长为 ， ，
在 中， ，
在正四面体 中，易知 ，
所以在等腰三角形 中，
所以 所以异面直线 与 所成角可能为 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了异面直线成角，余弦定理的应用，考查了空间几何中的动态问题，考查学生的应用能力和空间想象能力，属于中档题.
A． 颗B． 颗C． 颗D． 颗
【答案】C
【解析】
【分析】
利用图形中的数据，分别算出石子的体积和空瓶的体积即可.
【详解】
如图，
所以 ，原水位线直径 ，投入石子后，水位线直径
则由圆台的体积公式可得石子的体积为：
空瓶的体积为：
所以需要石子的个数为：
所以至少需要4颗石子
故选：C
【点睛】
本题考查的是圆台和圆柱体积的算法，掌握其公式是解题的关键.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表面积公式计算即可.
【详解】
由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为 的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为 ，则该几何体的表面积为
【高中数学】单元《空间向量与立体几何》知识点归纳
一、选择题
1．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
结合三视图，还原直观图，得到一个圆锥和一个圆柱，计算体积，即可．
【详解】
结合三视图，还原直观图，得到
故体积 ，故选B．
【点睛】
7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
分析：先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果.
详解：几何体如图S-ABCD，高为1，底面为平行四边形，所以四棱锥的体积等于 ，
选B.
点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断求解.
故所求体积比为
故选：A
【点睛】
本题考查圆锥与球的体积公式的应用，考查学生计பைடு நூலகம்能力，属于中档题.
15．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（）
A．PA，PB，PC两两垂直B．三棱锥P-ABC的体积为
C． D．三棱锥P-ABC的侧面积为
【答案】C
【解析】
【点睛】
本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题.
16．在正四面体 中， 是 的中点， 是直线 上的动点，则直线 与 所成角可能为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，取 的中点 ，连接 ，则 ，所以 为异面直线 与 所成角，在利用余弦定理可得 ，易知 ，所以在等腰三角形 中 ，即可求出 进而求出结果.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由长方体的侧面展开图可得有3种情况如下：①当 点所在的棱长为2；②当 点所在的棱长为4；③当 点所在的棱长为6，分别再求出展开图AB的距离即可得最短距离.
③由 ，根据共面向量定理知 四点不共面，故③错误；
④由 ，当 时，向量 与向量 ， 构成的平面共面，则 不能构成空间的一个基底，故④错误；
⑤利用反证法：若 不构成空间的一个基底，
设 ，整理得 ，即 共面，又因 为空间的一个基底，所以 能构成空间的一个基底，故⑤正确.
综上：①②⑤正确.
故选：D.
【点睛】
【点睛】
本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.
6．《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中一个寓言故事，通过讲述已知乌鸦喝水的故事，告诉人们遇到困难要运用智慧，认真思考才能让问题迎刃而解的道理，如图 所示，乌鸦想喝水，发现有一个锥形瓶，上面部分是圆柱体，下面部分是圆台，瓶口直径为 厘米，瓶底直径为 厘米，瓶口距瓶颈为 厘米，瓶颈到水位线距离和水位线到瓶底距离均为 厘米，现将 颗石子投入瓶中，发现水位线上移 厘米，若只有当水位线到达瓶口时乌鸦才能喝到水，则乌鸦共需要投入的石子数量至少是（）
本道题考查了三视图还原直观图，考查了组合体体积计算方法，难度中等．
2．如图，在长方体 中， ,而对角线 上存在一点 ，使得 取得最小值，则此最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
把面 绕 旋转至面 使其与对角面 在同一平面上，连接 并求出，就
是最小值．
【详解】
把面 绕 旋转至面 使其与对角面 在同一平面上，连接 ． 就是 的最小值，
【详解】
设圆锥底面圆的半径为r,圆锥母线长为l，则侧面积为 ，
侧面积与底面积的比为 ,则母线l=2r,圆锥的高为h= ,
则圆锥的体积为 ,
设外接球的球心为O,半径为R,截面图如图，则OB=OS=R,OD=h-R= ,BD=r,
在直角三角形BOD中，由勾股定理得 ,即 ,
展开整理得R= 所以外接球的体积为 ,
14．圆锥 （其中 为顶点， 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是 ，则圆锥 与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知条件求得圆锥母线与底面圆半径r的关系，从而得到圆锥的高与r关系，计算圆锥体积，由截面图得到外接球的半径R与r间的关系，计算球的体积，作比即可得到答案.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．
【详解】
解：设圆柱的半径为 ，高为 ，体积为 ，
则由题意可得 ，
，
圆柱的体积为 ，
则 ．
当且仅当 ，即 时等号成立．
圆柱的最大体积为 ，
故选： ．
【点睛】
本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，是中档题．
【分析】
根据三视图，可得三棱锥P-ABC的直观图，然后再计算可得.
【详解】
解：根据三视图，可得三棱锥P-ABC的直观图如图所示，
其中D为AB的中点， 底面ABC.
所以三棱锥P-ABC的体积为 ，
， ， ，
， 、 不可能垂直，
即 不可能两两垂直，
， .
三棱锥P-ABC的侧面积为 .
故正确的为C.
故选：C.
【详解】
如图，在 上取中点 ，在 上取中点 ，连接
， 且 ，
平面 平面 ，则动点 的轨迹是 （不含 两点）
又 平面 ，则当 时， 取得最小值
此时，
本题正确选项：
【点睛】
本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题，关键是能够通过面面平行关系得到动点的轨迹，从而找到最值取得的点.
12．已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列可以推出 的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三视图知该几何体是三棱锥与 圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可．
【详解】
解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与 圆锥体的组合体，
如图所示；
则该组合体的体积为 ；
所以对应不规则几何体的体积为 ．
故选B．
【点睛】
本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题．
本题考查空间向量基本运算，向量共面，向量共线等基础知识，以及空间基底的定义，共面向量的定义，属于基础题．
9．在三棱锥 中， 平面 ，且 为等边三角形， ，则三棱锥 的外接球的表面积为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
计算出 的外接圆半径 ，利用公式 可得出外接球的半径，进而可得出三棱锥 的外接球的表面积.
8．在以下命题中：
①三个非零向量 ， ， 不能构成空间的一个基底，则 ， ， 共面；
②若两个非零向量 ， 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 ， 共线；
③对空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，若 ，则 ， ， ， 四点共面
④若 ， 是两个不共线的向量，且 ，则 构成空间的一个基底
⑤若 为空间的一个基底，则 构成空间的另一个基底；
又圆锥的体积 ， ， ，
圆柱 的侧面积为 ，
圆锥 与圆柱 的侧面积之比为 .
故选： .
【点睛】
本题考查圆锥和圆柱侧面积的求解问题，涉及到圆锥和圆柱体积公式的应用，属于基础题.
4．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（）
.
故选：A.
【点睛】
本题考查数学文化与简单几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力.
5．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥 中， 为侧棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先通过作平行的辅助线确定异面直线 与 所成角的平面角，在 中利用余弦定理求出 进而求出CE，再在 中利用余弦定理即可得解.
【详解】
如图，取 的中点 ， 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ， ， ，
则 ， ，从而四边形 是平行四边形，则 ，
且 .
因为 是 的中点， 是 的中点，
所以 为 的中位线，所以 ，则 是异面直线 与 所成的角.由题意可得 ， .
在 中，由余弦定理可得 ，
则 ，即 .
在 中，由余弦定理可得 .
故选：D
对于D， ， ，又由 ，故D正确.
故选：D
【点睛】
本题考查空间中的平行、垂直关系的判定，还考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
13．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为 圆周，则该不规则几何体的体积为（）
， ， ．
所以
故选 ．
【点睛】
本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题．
3．已知圆锥 的高是底面半径的3倍，且圆锥 的底面直径、体积分别与圆柱 的底面半径、体积相等，则圆锥 与圆柱 的侧面积之比为（）.
A． B． C． D．
其中真命题的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据空间向量的运算法则，逐一判断即可得到结论.
【详解】
①由空间基底的定义知，三个非零向量 ， ， 不能构成空间的一个基底，则 ， ， 共面，故①正确；
②由空间基底的定义知，若两个非零向量 ， 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 ， 共线，故②正确；
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
A，有可能出现 ， 平行这种情况.B，会出现平面 ， 相交但不垂直的情况.C，根据面面平行的性质定理判断.D，根据面面垂直的判定定理判断.
【详解】
对于A， ， ，若 ，则 ，故A错误；
对于B，会出现平面 ， 相交但不垂直的情况，故B错误；
对于C，因为 ， ，则 ，又因为 ，故C错误；
11．如图，在棱长为2的正方体 中，点 是 的中点，动点 在底面 内（不包括边界），若 平面 ，则 的最小值是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
在 上取中点 ，在 上取中点 ，连接 ，根据面面平行的判定定理可知平面 平面 ，从而可得 的轨迹是 （不含 两点）；由垂直关系可知当 时， 取得最小值；利用面积桥和勾股定理可求得最小值.
【详解】
的外接圆半径为 ，
底面 ，所以，三棱锥 的外接球半径为 ，
因此，三棱锥 的外接球的表面积为 .
故选：B.
【点睛】
本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，选择合适的公式计算外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.
10．某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( )
【答案】A
【解析】
【分析】
设圆锥 的底面半径为 ，可求得圆锥的母线长，根据圆锥侧面积公式求得侧面积；由圆锥体积与圆柱体积相等可构造方程求得圆柱的高，进而根据圆柱侧面积公式求得圆柱侧面积，从而求得比值.
【详解】
设圆锥 的底面半径为 ，则高为 ， 圆锥 的母线长 ，
圆锥 的侧面积为 ；
圆柱 的底面半径为 ，高为 ，
【详解】
取 的中点 ，连接 ，则 ，所以 为异面直线 与 所成角，如下图所示：
设正四面体 的棱长为 ， ，
在 中， ，
在正四面体 中，易知 ，
所以在等腰三角形 中，
所以 所以异面直线 与 所成角可能为 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了异面直线成角，余弦定理的应用，考查了空间几何中的动态问题，考查学生的应用能力和空间想象能力，属于中档题.
A． 颗B． 颗C． 颗D． 颗
【答案】C
【解析】
【分析】
利用图形中的数据，分别算出石子的体积和空瓶的体积即可.
【详解】
如图，
所以 ，原水位线直径 ，投入石子后，水位线直径
则由圆台的体积公式可得石子的体积为：
空瓶的体积为：
所以需要石子的个数为：
所以至少需要4颗石子
故选：C
【点睛】
本题考查的是圆台和圆柱体积的算法，掌握其公式是解题的关键.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表面积公式计算即可.
【详解】
由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为 的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为 ，则该几何体的表面积为
【高中数学】单元《空间向量与立体几何》知识点归纳
一、选择题
1．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
结合三视图，还原直观图，得到一个圆锥和一个圆柱，计算体积，即可．
【详解】
结合三视图，还原直观图，得到
故体积 ，故选B．
【点睛】
7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
分析：先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果.
详解：几何体如图S-ABCD，高为1，底面为平行四边形，所以四棱锥的体积等于 ，
选B.
点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断求解.
故所求体积比为
故选：A
【点睛】
本题考查圆锥与球的体积公式的应用，考查学生计பைடு நூலகம்能力，属于中档题.
15．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（）
A．PA，PB，PC两两垂直B．三棱锥P-ABC的体积为
C． D．三棱锥P-ABC的侧面积为
【答案】C
【解析】
【点睛】
本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题.
16．在正四面体 中， 是 的中点， 是直线 上的动点，则直线 与 所成角可能为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，取 的中点 ，连接 ，则 ，所以 为异面直线 与 所成角，在利用余弦定理可得 ，易知 ，所以在等腰三角形 中 ，即可求出 进而求出结果.