初中数学分形课件

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《分形理论及其应用》课件

群算法等，这些算法在人工智能领域有重要的应用价值。
03
分形在机器学习中的应用
分形理论在机器学习中也有一定的应用价值，如分形神经网络、分形特
征提取等，这些方法有助于提高机器学习的性能和效率。
05
分形理论的未来展望
分形理论与其他学科的交叉研究
物理学
分形理论在物理学的多个领域，如混沌理论、量子力学和统计物理中有着广泛的应用。通过与其他学科的交叉研究，可以进一步揭示分形现象的本质和规律。
分形在时间序列分析中的应用
时间序列数据中往往存在分形现象，利用分形理论可以更准确地预测和分析时间序列数据的未来趋势。
分形在人工智能领域的应用
01
分形在计算机图形中的应用
分形理论在计算机图形学中有着广泛的应用，如分形图像的生成、分形
自然现象的模拟等。
02
分形优化算法
分形理论为优化算法的设计提供了新的思路和方法，如遗传算法、粒子
在规律。
迭代函数系统由一组压缩映射和转移函数组成，通过迭代地应用这些函数，可以生成复杂的分形
图形。
分数布朗运动
分数布朗运动是一种随机过程，其轨迹具有分形结构。
分数布朗运动通过随机游走的方式，在时间和空间上呈现出连续但非光滑的轨迹，具有长期依赖性和自相似性等特征。
它模拟了布朗运动的特性，但适用于描述具有非整数维度的分形现象。
分形理论在解决实际问题中的应用前景
图像处理
增强等方面具有优异的表现。随着数字图像处理技术的发展，分形理论在图像处理领域的应用前景将更加广阔。
分形理论在处理非线性数据和预测复杂系统行为方面具有独特的优势。在金融、气象、交通等领域，分形理论可以帮助我们更好地理解和预测数据的内在规律和趋势。

《分形几何学实践》课件

分形几何学实践
汇报人：
目录
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分形几何学概述
分形几何学的基本概念
分形几何学的常见类型
分形几何学在实践中的应用
分形几何学的未来发展
添加章节标题
分形几何学概述
分形几何学是一种研究不规则、复杂形状
的数学方法
分形几何学中的形状具有自相似性，即局部与整体相似
分形几何学中的形状具有尺度不变性，即无论放大或缩小，形状保持
应用领域：分形几何在生物、医学、工程等领域的应用研究
理论研究：分形几何的理论基础、性质和定理的研究
计算方法：分形几何的计算方法和算法的研究
交叉学科：分形几何与其他学科的交叉研究，如分形几何与混沌理论、分形几何与量子力学等
数学：分形几何学与数学中的拓扑学、微分几何等学科有密切联系，可以应用于解决数学问题。
生物学：描述生物形态和生长过
程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
物理学：描述物理现象和过程
计算机科学：用于图像处理、动
画制作等领域
数学：用于研究几何学、拓扑学
等领域
艺术：用于创作分形艺术作品
建筑学：用于设计建筑和城市规
划
分形几何学的基本概念
定义：在任意尺度下，具有相同或相似的
形状或结构
特点：自相似性是分形几何学的核心概念
之一
应用：在自然界、数学、物理学等领域都
有广泛应用
例子：雪花、海岸线、山脉等自然现象都具有自相似性
定义：通过重复应用同一种操作或规则，生成复杂结构的方法
特点：自相似性、精细结构、无限复杂性
应用：分形几何学、计算机图形学、图像处理等领域
例子：曼德布罗特集合、谢尔宾斯基三角形等

分形理论简介ppt

进一步对形成的9条子线段作分割和“日” 字型折线框形构造，便形成81条子折线，而每条折线的长度为1/9；如此分割构造下去便得到了皮亚诺曲线。
分割次数越多，得到的皮亚诺曲线就越密。

由于皮亚诺曲线最终可以穿行（遍历）一个平面上的每一个点，因此它也被称作空间填充曲线。
例子6：谢尔宾斯基三角垫
Nr A 1/ r d
则称d为A的盒计数维数

盒维数为d，当且仅当存在一个正数k使得 lim r 0
lim log Nr A d log r log k
r 0
N r A k 1 rd
d lim
log k log N r A log N r A lim r 0 r 0 log r log r

自仿射性

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
自仿射性是自相似性的一种拓展和延伸，如果局部到整体在各个方向上的变换比率是相同的，那么就是自相似性变换；而当局部到整体在不同方向上的变换比率不一定相同时，就称为自仿射性变换。自相似性变换是自仿射性变换的特例。
分形几何与欧氏几何的区别
11
两种几何学欧氏几何
描述对象人类创造的简单标准物体（连续、光滑、规则、可微）大自然创造的复杂的真实物体（不连续、粗糙、不规则、不可微）

N×r3=1
小正方体的测量数目为N(r)=r -3
分形维数：相似维数
14

线、面、体的维数为1、2、3，归纳为 N (r ) r D
两边取对数 D
log N r 1 log r

相似维数的定义：如果一个分形对象 A（整体）可以划分为 N(A,r) 个同等大小的子集（局部单元），每个子集以相似比 r 与原集合相似，则分形集 A 的相似维数 Ds 定义为

分形课件02

第讲/microwave/《分形》课件下载地址：注：从电子工程学院主页登陆欢迎同学们提出宝贵意见。

第讲西安电子科技大学2009年3月17日非线性科学与孤子(II)梁昌洪教授第讲现在，我们再转移一个课题，即来讨论Soliton和它的产生背景。

如果说，对大多数人来说，孤子还是一个陌生而新鲜的概念，那么可以形象地比喻这个陌生人已叩开了很多新领域的大门，甚至径自闯入，大胆地与众多不同学科结合。

现在研究非线性物理世界，将无法回避孤子的概念和方法。

1987年12月28日《光明日报》以显著标题《孤波将成为美国超导机理研究的焦点》报道了美国科学家对高温超导体的研究，正在逐步把注意力集中在孤子，不可毁灭的独特电波中。

在长距离光纤通讯中采用孤波传输业已成为事实。

1990年底Bell实验室报道，孤波传输可以作6000公里的信号光纤通讯。

这一突破更使人们对孤子刮目相看。

四、孤立子的产生背景第讲现在大家都在议论神经系统之间的讯号有孤子或类孤子特性。

采用孤子信号作成的Radar或许会带来本质的变化。

总之，孤子的研究又成了当前世界前沿科学的一股热潮。

对于孤子的产生背景大多数文献都是从1834年John Scott Russell在英国河边观察开始的：“我认为，介绍孤立波的最合适的方法是描述我第一次认识这一现象时的情景。

我正在观察由两匹马拉着的一只航船在狭窄河道中疾速行驶时的运动。

船突然停止前进，但被船所推动的河水并不停止。

它积聚在船头，汹涌翻腾，然后呈圆滑的、轮廊分明的孤立突起波形，突然以巨大的速度滚滚向前，离船而去。

这个波沿着河道继续前进，显然，并不改变其形状也不减少其速度。

我骑马跟踪并且追上了它，它仍然以每小时大约8至9英里的速度滚滚向前，并保持它原来1—1.5英尺高、30英尺长的外形。

第讲Fig.-5 Union运河边的Russell观察者水波高度渐渐减小。

追逐了1—2英里之后，它消失在河道的拐角处。

这就是在1834年8月间我第一次偶然见到的奇妙而又美丽的景象。

《分形几何学》课件

分形风险管理：评估和管理金融市场的风险
分形投资策略：基于分形理论的投资策略，如分形交易策略、分形投资组合管理等
分形在物理学中的应用
分形几何学的未来展望
分形几何学的发展趋势
应用领域：分形几何学在计算机图形学、图像处理、生物医学等领域的应用将越来越广泛
理论研究：分形几何学的理论研究将更加深入，包括分形维数的计算、分形几何的拓扑性质等
添加标题
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特点：具有自相似性，即无论放大或缩小，其形状保持不变
性质：具有无限长度，但面积却为零，是一种典型的分形图形
分形几何学的应用实例
分形在图像压缩中的应用
分形压缩算法：基于分形几何学的图像压缩算法压缩效果：提高压缩比，降低图像质量损失应用场景：适用于图像传输、存储和显示等领域技术挑战：如何平衡压缩比和图像质量损失，提高压缩算法的效率和稳定性
发展：1977年，数学家哈肯提出分形几何学的基本理论
应用：分形几何学在物理学、生物学、经济学等领域得到广泛应用现状：分形几何学已成为现代数学的一个重要分支，对科学研究和实际应用具有重要意义
分形几何学的应用领域
分形几何学的基本概念
自相似性
定义：在任意尺度下，具有相同或相似的
结构或模式
特点：自相似性是分形几何学的核心概念
科赫曲线的生成过程：将一条线段分为三等份，去掉中间一段，然后将剩下的两段分别替换为两个新的科赫曲线
科赫曲线的应用：在计算机图形学、动画制作等领域有广泛应用
科赫曲线的性质：具有自相似性、无限长度和面积、分形维数等性质
皮亚诺曲线
定义：由意大利数学家皮亚诺提出的一种分形图形

浙教版九年级数学上册分形理论及其应用课件

X1 ： (x1，x2，，xm )

X X
2 3
： (x2，x3，，xm1 ) ： (x3，x4，，xm2 )

X
4
： (x4，x5，，xm3 )

把相点X1，X2，…，Xi，…，依次连起来就是一条轨线。因为点与点之间的距离越近，相互关联
的程度越高。设由时间序列在m维相空间共生成
分形维数的定义和测算
维数是几何对象的一个重要特征量，传统的欧氏几何学研究、立方体等非常规整的几何形体。按照传统几何学的描述，点是零维，线是一维，面是二维，体是三维。但仔细观看，对于大自然用分型维数来描
述可能会更接近实际。
几种测定分维数
(1)拓扑维数
一个几何对象的拓扑维数等于确定其中一个点的位置所需要的独立坐标数目。
若r取得太大，所有点对的距离都不会超过它，
C(r)=1，lnC(r)=0。测量不出相点之间的关联。
适当缩小测量尺度r，可能在r的一段区间内有
C(r) r D
如果这个关系存在，D就是一种维数，把它称
为关联维数，用D2表示，即
D2

lim
r 0
ln C(r) ln r
标度律与多重分形
(1)标度律
个相点X1，X2，…，XN，给定一个数r，检查有多少点对(Xi，Xj)之间的距离|Xi-Xj|小于r，把距离小于r的点对数占总点对数N2的比例记作C(r)，
C(r) 1
N
(r
N2 i, j1
Xi X j
)
i j

(
x)

1，x 0，x

0 0
为Heaviside阶跃函数

分形几何课件

稳定的固态型或象树枝状。
21
分形几何
22
分形几何
❖ 分形的获取 1. 关于复数
由于承认“负数也能开平方”将会带来很多幽雅和便利的结论，因此我们发明了虚数，用 i 来表示 -1 的平方根（即虚数单位），并把实数扩展为复数（即一切形如 a + b i 的数）。
23
分形几何
❖ 正如实数可以用数轴上的点来表示一样，复数可以用平面直角坐标系上的点来表示。令 x 轴表示复数的实数部分，令 y 轴表示复数的虚数部分，则 a + b i 就对应了平面上的点 (a, b) 。我们把这个平面直角坐标系叫做“复平面”。
27
❖ f(z) = |z2|
分形几何
28
分形几何 ❖可以看到，这一操作让模的变化更剧烈了，
等高线变得更加密集了。外面浩瀚的蓝色空间，就对应着那些模已经相当大了的复数。
29
分形几何
❖如果对上图中的每个点再加上某个数，比如 0.3 ，那么整个图会怎样变化呢？
❖对于模相同的复数来说，给实数部分加上 0.3 ，这对实数部分本来就较大的数影响会更大一些。因此，上图将会变得更扁，整个图形会在水平方向上拉伸。这也就是 f(z) = |z2 + 0.3| 的等高线地形图。见下图（为便于观察，对图像进行了旋转）。
❖ 可以看到，此时得到的点集已经非常接近之前给出的 z → z2 - 1 的 Julia 集了。
56
分形几何
❖ 右图则是反推 12 次后的结果，它基本上可以看作是 z → z2 - 1 的 Julia 集了。
57
分形几何
❖ 我们再来看一个无法构成连通区域的 Julia 集的例子。取 c = - 1 - 0.9 i ，让我们来看看逆推的过程。还是先画出半径为 2 的圆盘。

分形理论ppt课件

X
分形理论在图象压缩中的应用
为什么分形理论能用于图象压缩
图象压缩：指在没有明显失真的前提下，将图象的
位图信息转变成另外一种能将数据量缩减的表达形式。首先，尽管图象中数据量很大，但数据之间不是完全独立的，图象中存在着各种各样的相关性或冗余信息。即一部分数据可以由另一部分数据完全推算出来。其次，大部分图象视频信号的最终接收者都是人眼，人眼对图象中的不同部分的敏感程度是不同的。
(3)通常分形集的“分形维数”比它的拓扑维数要大；－－－说明了分形的复杂性
(4)许多情况下，分形集是非常简单的，或者是递归的。－－－说明了分形的生成机制－－－自相似性是分形的灵魂它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息
X
分形理论简介
五、分形的应用范围
分形观念的引入并非仅是一个描述手法上的改变，
（2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形
X
分形理论简介
四、分形的特点
(1)分形的最基本特征是所谓的“自相似性”。如图1
(2)该集有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。如图2
(3)通常分形集的“分形维数”比它的拓扑维数要大；－－－说明了分形的复杂性
(4)许多情况下，分形集是非常简单的，或者是递归的。－－－说明了分形的生成机制－－－自相似性是分形的灵魂它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息
分形理论
X
X
分形理论简介
一、什么是分形？ 1、问题的引入－－英国的海岸线有多长
2、欧氏几何的局限性－－欧氏几何主要是基于中小尺度上的点、线、面之间的关系
3、分形----自然几何
X
分形理论简介
二、分形的发展
萌芽：1919年以前

分形理论PPT课件

分形理论非线性科学三大理论前沿乊一前言一非线性复杂系统一什么是分形fractal二自相似性三标度丌变性二非欧氏几何学分形几何学三分形理论的应用结束语自然界大部分丌是有序的平衡的稳定的呾确定性的而是处亍无序的丌稳定的非平衡的呾随机的状态乊中它存在着无数的非线性过程如流体中的湍流就是其中一个例子
分形理论
球等简单形状加以组合，就能很好地与其构造近似。
二、非欧氏几何学（分形几何学）
欧几里德几何学（简称欧氏几何学），是一门具有
2000多年历史的数学分支，它是以规整几何图形为研
究图象。所谓规整几何图形就是我们熟悉的点、直线与
线段；平面与平面上的正方形、矩形、梯形、菱形、各
种三角形以及正多边形等。空间中的正方体、长方体、
人类在认识世界和改造世界的活动中离不开几何学。在历史上，科学技术的发展与几何学的进步始终是密切相关的。在生产实践和科学研究中，人们用以描述客观世界的几何学是欧几里德几何学，以及解析几何、射影几何、微分几何等，它们能有效地描述三维世界的许多现象，如各种工业产品的现状，建筑的外形和结构等。但是，自然界大多数的图形都是十分复杂而且不规则的。例如：海岸线、山形、河川、岩石、树木、森林、云团、闪电、海浪等等，例如图1.1、图1.2和图1.3所示。用欧几里德几何学是无能为力的。
精品ppt
6
图1.1 布达拉宫中藏族壁画中的云的形状
图1.2 日本传统精绘品画ppt中对海浪的描述
7
图1.3 山脉的复杂形态
另外，在科学研究中，对许多非规则性对象建模分析，如星系分布、渗流、金融市场的价格浮动等复杂对象，都需要一种新的几何学来描述。
所以, 一般地可把“分形”看作大小碎片聚集的状态，是没有特征长度的图形和构造以及现象的总称。描述分形的几何，称为分形几何精，品又ppt称为描述大自然的几何。 8

分形几何学.ppt

一、什么是分形几何学
通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，称为自相似性。例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。又如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。
随机康托尔集都是随机分形，著名的随机分形还有布朗（R.Brown）粒子运动的轨迹
（2）Sierpinski地毯：三分康托尔集等数学怪物的出现，使相当一部分传统数学家感到“直觉的危机”的同时，也引起了一些数学家的兴趣.1915~1916年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)将三分康托尔集的构造思想推广到二维平面，构造出谢尔宾斯基 “垫片”：设E0是边长为1的等边三角形区域，将它均分成四个小等边三角形，去掉中间一个得E1，对E1的每个小等边三角形进行相同的操作得E2，……，这样的操作不断继续下去直到无穷，所得图形F称为谢尔宾斯基“垫片”（图）.它被用作超导现象和非晶态物质的模型
⑴ 康托尔三分集 1883年，德国数学家康托尔(G.Cantor)构造了一个奇异集合：取一条长度为1的直线段E0，将它三等分，去掉中间一段，剩下两段记为E1，将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段记为E2，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，得到一个离散的点集F（图），称为康托尔三分集. 在康托尔三分集的构造过程中，如果每一步都用掷骰子的方法来决定去掉被分成的三段中的哪一段，或来选择子区间的长度，就会得到很不规则的随机康托尔集（如图），它被当时在美国 IBM公司任职的曼德尔布罗特用作描述通讯线路中噪声分布的数学模型，如今在现代非线性动力学的理论研究中有重要地位.

分形课件05

第讲分数维（Ⅰ）—分数维否定微分，这在历史上恐怕也是划时代的。

高安秀树第讲一、分数阶的发展史在分形几何的发展中，分数维有着关键的作用。

正如我们学习平面几何（二维几何），立体几何（三维几何）。

那么任何一种分形几何亦有着这特定的维数。

这一概念在提炼的过程中十分艰难，同时也很不容易获得一般人的承认。

第讲在分数维出现之前，对于分数维的研究，远远早得多。

它反映人们由整数转向分数或一般实数的概念发展。

分数阶研究的一个突出例子是Newton 的一般二项式定理。

第讲图2-1Newton第讲早在中国宋朝杨辉，伺后的欧洲巴斯卡都发现了整数型二项式展开系数——即所谓的“杨辉三角”。

图2-2杨辉三角它表示中各项对应的分数。

(1)nx +(1)nx +第讲Newton 的学术生涯，首先是从分数阶一般二项式定理着手的。

他作了两个大胆的推广：•广义组合，其中是分数。

n p C p 1(1)(1)!n p p p p n n C =−⋅⋅⋅−+（2-1）第讲•把二项式定理，实际上即级数推广到无限项：2331(1)1(1)2!1(1)(2)(2)3!p x px p p x p p p x p x ……+=++−+−−+−+（2-2）也即0(1)n p n n p x C x ∞==∑+（2-3）第讲这一分数阶的推广有着重要的历史意义。

尽管Newton 并没有严格的证明，但是他却巧妙地证明了1122(1)(1)x x =++2311111111()(2)(22)122481628x x x x +++−⋅+⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅=+（2-4）第讲123421115(1)12816128x x x x x +=+−+−+⋅⋅⋅（2-5）式中且。

这是跨越分数维的伟大一步。

1x <第讲伺后是分数维积分与微分的出现。

Newton发明微积分是数学史上最重要的事件之一。

法国数学家J.Liouville刘维尔试图把微积分的维数推广到分数情况。

第6讲--分形几何学

第6讲分形几何学主要内容：一、概述二、分维的测定方法（重点内容）三、分维应用实例（重点内容）四、问题讨论一、概述分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，被誉为大自然的几何学，它是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。

分形理论与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。

分形理论是用来研究自然界中没有特征长度但又具有自相似性的图形和现象。

自然界的许多事物和现象均表现出极为复杂的形态，并非是一种严格的数学分形，而是具有统计意义上的自相似性。

分形几何学是应用数学的一个重要组成部分，在数学、物理、化学、生物、医学、地质、材料、工程技术等学科中得到广泛的应用。

近年来，对分形几何的研究发展很快，在—些前沿课题上取得了较大的进展。

1、基本概念（1）整数维与分数维“维”(dimension)是几何学及空间理论的基本概念，是能有效度量几何物体的标准体所需要的独立坐标的数目，是表示几何体形状与分布特征的重要参数。

在拓朴学和欧几里得几何学中，维数只能是整数。

如直线是一维的，平面是二维的，普通空间是三维的。

如果在三维空间中引入直角坐标，就可用三个实数(x，y，Z)代表空间的一点：n维空间的一点一般可用n个实数(x1，x2,…，xn)来表示。

在相对论中，所讨论的时空是四维空间，时空的点，可用坐标(x，y，z,t)来表示，其中t表示时间。

可见时空空间的维数也是整数。

然而，欧氏空间只是对现实空间的一个最简单的近似描述。

正如B．B．Mandelbrot在其1982年出版的《自然分形几何学》一书中所说：“山峰并不是圆锥形，海岸线不是圆弧形，闪电的传播也不是直线的”。

为了更确切地描述自然界的无规则现象，法国数学家Benoit B．Mandelbrot于1977年首次提出了不是整数的维数——分数维(fractal dimension)的新例如,英国海岸线的维数D为1.25，宇宙中物质分布的D为1.2。

分形课件09

混沌与分形（Ⅲ）混沌和分数维的发现，使我们能从一个似乎是杂乱无章的时间序列中计算出它的分数维，表征其结构。

同时，我们还可以从一个时间序列中得到有关可预测值的信息。

—《分形和分维理论》刘式达，刘式适第讲一.再从Cantor 集合谈起大家知道，一个典型的例子往往包含着丰富的内涵，使人们百谈不厌。

Cantor 集合就是这样一个例子。

Cantor 集合的重要背景是海岸线的测量。

作为最简单的例子，如果海岸线如图8-1为L =1的一条直线。

那么我们用r 尺寸去量它，所得长度总为1。

第讲Fig8.1海岸线为L =1的直线段第讲1=L可以得到（8-1）已经知道，线段的维数D =1，即1维情况。

我们大胆猜测（8-2）即D =1（注记：猜测还有一个方案是，但后边实际情况要求，即可排除）。

现在再画出Koch 曲线如图8-2所示第讲0r L =D r L −=11D r −0≥DFig8-2Koch 海岸线第讲31)(=r a 91)31()(2==r b第讲91)31(2==r 916)34(L 2==0≥D 对于这种海岸线，若尺寸r=1/3，那么量出来的长度为L=4/3。

若，则，……我们可以理解为图形本身是无限复杂的，而用粗糙尺子去丈量，对小的细节量不出来。

一般地，若尺寸，则对应长度。

n r )31(=n L )34(=第讲r r N r L D •==−)(1n D D n n ])31[(])31[()34(11−−==换句话说，尺寸r 越小，对应的海岸线长度L 就越长。

我们假设L 和r 的一般关系与（8-2）相同（8-3）在（8-3）式中N （r ）表示用尺寸r 去丈量所获得的段数。

代入Koch 曲线的一般情况（8-4）很易导出最后得到（8-5）由于海岸线的曲折，使维数大于1维。

再一次考虑（8-3）式第讲)34ln()1()31ln(D −=2618.13ln 4ln ==D rr N r D )(1=−于是有（8-6）又得到（8-7）第讲D rr N −=)()1ln()(ln r r N D =在计算分维问题中（8-7）是一个非常重要的公式，它表示当尺度r 的变化造成N(r)的变化，典型地则由（8-6）和（8-7）式可知我们以图8-3 考察公式（8-8）第讲111222 N(r )=N N(r )=N r r r r =⎧⎨=⎩时对应时对应 2112ln () (8-8)ln ()N N D r r =第讲（a）线（b）面（c）体Fig 8-3 典型的线面体对于线的情况对于面的情况12212,2r Nr N==ln21 (8-9)ln2D==12212,4r Nr N==ln42 (8-10)ln2D==第讲对于体的情况公式(8-8)把整数维与分数维统一了起来。

分形课件07

第讲混沌与分形To see a world in a Grain of SandAnd a Heaven in A World FlowerHold infinity in the palm of your handAnd Eternity in an hour—(W.Blake,1757-1827)第讲布雷克的不朽名句至今传诵于世界各地。

存在着各种翻译，我认为下述译句较真实反映作者原意：一粒砂里有一个世界，一朵花里有一个天堂，把无穷无尽握于手掌，永恒宁非是刹那时光。

第讲它从哲学上阐述了从小见大、从短见长；有空间的问题，又有时间的问题。

它还从根本上论及了自相似的原理，甚至砂粒与世界是自相似的；花朵与天堂也自相似；我们短暂的时光与浩瀚的历史长河本质也自相似。

而我们所研究的分形几何—自相似正是它的本质特征。

在前面我们讨论了代数与几何的对应：数列与图列。

第讲Fig.1 数列与图列并且给出了差比系数，即定义数列(6-1),......,,2421n a a a a第讲中(6-2)规定常数数列，等差数列(6-3)等比数列(6-4)n n n n n a a a a K −−=22/0≡n K 1=n K q K n 1=第讲式中，是公比。

由此可见，差比系数反映一大类数列的本质特征。

广义地，有一类数列差比系数存在极限，即(6-5)式中，是一确定常数。

我们把为常数，或者存在极限为常数的数列称之为—广义自相似数列，这是本讲所研究的重点。

nnKK∞→=limnKnKqk第讲一、斐波那契数列—广义自相似数列我们已经深入讨论过斐波那契数列：(1) (6-6)(2) (6-7)且具体是1，1，2，3，5，8，13，21…(6-8)121==u u 11−++=n n n u u u第讲其通项公式是(6-9)很易写出（6-10）⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=nn n u 25125151⎩⎨⎧=−=−−+−−1121n n n n n n u u u u u u第讲于是差比系数(6-11)十分特殊的是：斐波那契数列的差比系数即为通项之比，且有：（6-12）1211−−+−=−−=n n n n n n n u u u u u u K n K 510.6180339882lim n n K K →∞−===第讲也即著名的黄金分割。