高等数学第七章空间解析几何与向量代数第二节数量积向量积混合积

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课件7-1向量坐标

第一节向量及其线性运算
一、向量的概念
向量：既有大小又有方向的量.
M2 a
向量表示：a 或 M1M2
M1
几何上：以 M1为起点 M2 为终点的有向线段.
以坐标原点为起点的向量称为向径 r OM .
向量的模：向量的大小,记为
|
a
|或
MM 12
单位向量：模长为1的向量. a0 或
零向量：模长为0的向量.
a b (ax bx )i (ay by ) j (az bz )k

数乘：
(ax
bx ,
ay
by,
az
bz )
a (ax )i (ay ) j (az )k (ax , ay , az )
a (ax , ay , az )
有序数
R
C
z
B
M
xo y
Qy
xP
A
空间点 M r OM 11 有序数组 ( x, y, z)
称x, y, z为点M的坐标，记作M x, y, z .
也称x, y, z为向量r OM的坐标,记作r x, y, z.
z
特殊点的坐标表示:
坐标轴上的点 P, Q, R,
2,
cos z 3 z 3 1 z 4, z 2,
AB AB x2 x1 2 + y2 y1 2 + z2 z1 2
例5 设 P 在 x轴上，它到P1(0, 2,3)的距离为到点 P2(0,1,1)的距离的两倍，求点P 的坐标.
解因为P在x轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
2
PP1 ( x)2 2 32 x2 11,

(6)两向量的数量积向量积混合积

a b 0 a x bx a y by a z bz
当 a , b 0 cos
a b a b
2 y

ax bx a y by az bz a a a
2 x 2 y 2 z
b b b
2 x
2 z
二、两向量的向量积定义2 若由向量 a与 b 所确定的一个向量 c 满足下列条件： c的 b c 的方向既垂直于 a又垂直于（1） , b 来确定（如图） a 指向按右手规则从转向 c 的模为| c || a || b | sin （2） (其中为 a 与 b 的夹角 )，则称向量 c 为向量 a与 b 的向量积（或称外积、叉积），记为 c a b
（2）
3.数量积满足下列运算规律：
（1）交换律（2）分配律
（3）结合律
a b b a; (a b ) c a c b c ; (a b ) (a) b a (b )
1 V [ AB 6 AC AD] ,
x2 x1 AB x2 x1 , y 2 y1, z 2 z1 1 AC x x , y y , z z . V x3 x1 3 1 3 1 3 1 6 AD x x , y y , z z x4 x1 4 1 4 1 4 1
证略（右手，左手系）
证明：以空间任一点为始点作三个不共面的向量
a, b , c ，令 (a b ) r 则 r
表示以 a, b
为邻边的平行四边形OADB的面积S，而
[abc] r c r c cos S h V（这里h表示以

(整理)第七章空间解析几何

第七章空间解析几何与向量代数内容概要习题7-1★★1．填空：（1）要使b a b a -=+成立，向量b a , 应满足b a ⊥（2）要使b a b a +=+成立，向量b a , 应满足 //b a ，且同向★2．设c b a v c b a u-+-=+-=3 , 2，试用c b a , , 表示向量v u 32-知识点：向量的线性运算解：c b a c b a c b a v u 711539342232+-=+-++-=-★3．设Q , P 两点的向径分别为21 , r r ，点R 在线段PQ 上，且nmRQPR =，证明点R 的向径为 n m m n+=+r r r 12知识点：向量的线性运算证明：在OPQ ∆中，根据三角形法则PQ OP OQ =-，又)(21r r -+=+=nm mn m m ，∴nm m n n m mPR OP OR++=-++=+=22r r r r r 111)(★★4．已知菱形ABCD 的对角线b a AC ==B D , ，试用向量b a , 表示DA CD BC AB , , , 。

知识点：向量的线性运算解：根据三角形法则， b a ==-==+B , ，又ABCD 为菱形，∴=（自由向量），∴222AB AC BD AB CD DC AB --=-=-⇒=⇒=-=-=a b b aa b ∴2b a +==，2DA +=-a b★★5．把ABC ∆的BC 边五等分，设分点依次为4321 , , , D D D D ，再把各分点与点A 连接，试以a c ==BC AB , 表示向量 , , 321A D A D A D 和A D 4。

知识点：向量的线性运算解：见图7-1-5，根据三角形法则，)51(51 ,11111a c +-=-=⇒==+AD A D BC BD AD BD AB 同理：)54( ),53( ),52((432a c a c a c +-=+-=+-=D D D习题7-2★1在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(2 , 2 , 3)A -； 5) , 3 , 3(-B ； )4 , 2 , 3(--C ； 2) , 3 , 4(--D答：(2 , 2 , 3)A -在第四卦限，5) , 3 , 3(-B 在第五卦限，)4 , 2 , 3(--C 在第八卦限，2) , 3 , 4(--D 在第三卦限★2．在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？并指出下列各点的位置：A B C D -(2,3,0); (0,3,2); (2,0,0); (0,2,0)知识点：空间直角坐标答：在各坐标面上点的坐标有一个分量为零，坐标轴上点的坐标有两个分量为零，∴点A 在xoy 坐标面上；B 在yoz 坐标面上；C 在x 轴上；D 在y 轴上。

数量积向量积混合积

其中θ为F与的夹角. 由上例可见，这是一个由两个向量确定一个数量的运算，
关于这一类运算，在实际问题中很多，为此，给出向量数量积的定义．
一、向量的数量积
定义1
设有两个非零向量a与b，它们正向间的夹角为 θ(0≤θ≤π)，则称|a|·|b|·cosθ为两向量a与b的数量积（又称点积），记为a·b，即
【例1】
已知M1(0,2,－1),M2(1,0,1),M3(1,3,2),求解因为
所以
一、向量的数量积
【例2】
设力F={1,3,5}作用在一物体上，物体的位移是 s={2,－1,3}，求力F对物体做的功W．
解 W=F·s=1×2+3×(－1)+5×3=14．
一、向量的数量积
【例3】
已知三角形的三个顶点为 A(1,2,2),B(1,1,1),C(1,2,0),求证：△ABC为直角三角形，并求∠A．
而M的方向（按右手系法则确定）垂直于OA和F所确定的平面．根据此类实际问题研究的需要，我们引入向量积的定义．
二、向量的向量积
图 7-19
二、向量的向量积
定义2
设a，b为两个非零向量，我们定义向量a与b的向量积（又称叉积）．向量积是满足下面条件的一个向量，记为a×b，它的模和方向分别为
（1）|a×b|=|a|·|b| ·sinθ(θ为a与b夹角). （2） a×b垂直于a与b所确定的平面，且a，b，a×b符合右手规则（见图7-20），从几何上看|a×b|等于以a，b为邻边的平行四边形的面积．
三、向量的混合积
事实上，由图7-21可知［abc］=a·(b×c)=|a|·|b×c|cosθ=±|b×c|h，其中θ为a与b×c 的夹角，h为两平行底面间的距离．显然a在b×c方向的投影为 ±h，θ为锐角时取正，θ为钝角时取负．注意到|b×c|等于以b， c为邻边的平行四边形的面积，所以|b×c|h 为以a，b，c为棱的平行六面体的体积的值．如果a，b，c符合右手系法则，θ为锐角，［abc］>0；否则，θ为钝角，［abc］<0．

《高等数学》第7章空间向量与空间解析几何

它们之间的距离为d = |M1M2|. 过点 M1 、M2 各作三个平面分别垂直 z 于三个坐标轴,形成如图的长方体. z2
d 2 M1M2 2
M1Q2QM 22
（△M1QM2 是直角三角形） M 1P2P2 Q Q2 M 2
z1 M1
P
（△M1PQ都是直角三角形）
x1
M 1 P 2P M 2 2Q2 M 2 x2
标式来表示向量M1M 2 与 2M1M2 .
2.已知 O A 4,1,5与O B 1,8,0,求向量AB
与 OAOB的坐标.
7.2 向量的数量积与向量积
掌握向量的数量积和向量积的定义，能够灵活运用运算规律，并熟训练使用判断向量平行或垂直的条件.
7.2.1 向量的数量积
引例设一物体在常力F 作用下沿直线从点M1移动到点M2,以S 表示位移M1M 2,则力F 所做的功
C (2， 4， 7)，求 AB 的 C面积.
解：
根据向量积的定义，可
知 ABC 的面积为
S ABC
1 AB 2
AC sin A 1 AB AC . 2
由于 AB 2，2，2，AC 1，2，4，所以
i jk
AB AC 2 2 2 4 i 6 j 2 k
124
于是 S ABC
Oxyz ,点O 叫做坐标原点(或原点).
八封限
每两个坐标轴确定的平面称为坐标
平面,简称为坐标面.x 轴与y 轴所确定的坐标面称为xOy面,类似地, 有yOz面,zOx面.
z
Ⅲ
Ⅱ
Ⅳ
Ⅰ
O
Ⅶx
Ⅴ
Ⅷ
Ⅵy
这些坐标面把空间分成八个部分,每一个部分称
为一个卦限.x、y、z 轴的正半轴的卦限称为第

空间解析几何教案

空间解析几何教案教学目的：1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2、掌握向量的运算，掌握两个向量垂直和平行的条件。

3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

4、掌握平面方程和直线方程及其求法。

5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。

6、点到直线以及点到平面的距离。

7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。

9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。

教学重点：1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算；、两个向量垂直和平行的条件；、平面方程和直线方程；4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件；、点到直线以及点到平面的距离；、常用二次曲面的方程及其图形；7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；、空间曲线的参数方程和一般方程。

教学难点：1、向量积的向量运算及坐标运算；2、平面方程和直线方程及其求法；3、点到直线的距离；4、二次曲面图形；5、旋转曲面的方程；7? 1 向量及其线性运算一、向量概念向量? 在研究力学、物理学以及其他应用科学时? 常会遇到这样一类量? 它们既有大小? 又有方向? 例如力、力矩、位移、速度、加速度等? 这一类量叫做向量?在数学上? 用一条有方向的线段来表示向量? 有向线段的长度表示向量的大小? 有向线段的方向表示向量的方向.? 向量的符号?以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作AB? 向量可用粗体字母表示? 也可用上加箭头书写体字母表示? 例如? a、r、v、F或?a、r、v、F?自由向量? 由于一切向量的共性是它们都有大小和方向? 所以在数学上我们只研究与起点无关的向量? 并称这种向量为自由向量? 简称向量? 因此? 如果向量a和b的大小相等? 且方向相同? 则说向量a和b是相等的? 记为a ? b? 相等的向量经过平移后可以完全重合?向量的模? 向量的大小叫做向量的模?向量a、a、AB 的模分别记为|a|、|a|、|AB|?单位向量? 模等于1的向量叫做单位向量?零向量? 模等于0的向量叫做零向量? 记作0或0? 零向量的起点与终点重合? 它的方向可以看作是任意的?向量的平行? 两个非零向量如果它们的方向相同或相反? 就称这两个向量平行? 向量a与b平行? 记作a // b? 零向量认为是与任何向量都平行?当两个平行向量的起点放在同一点时? 它们的终点和公共的起点在一条直线上? 因此? 两向量平行又称两向量共线?类似还有共面的概念? 设有k个向量? 当把它们的起点放在同一点时? 如果k个终点和公共起点在一个平面上? 就称这k个向量共面?二、向量的线性运算1．向量的加法向量的加法? 设有两个向量a与b? 平移向量使b 的起点与a的终点重合? 此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和? 记作a+b? 即c?a+b . 三角形法则?上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则?平行四边形法则?当向量a与b不平行时? 平移向量使a与b的起点重合? 以a、b为邻边作一平行四边形? 从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a?b? ?cC bCAaBB向量的加法的运算规律?交换律a?b?b?a?结合律?c?a?? ?由于向量的加法符合交换律与结合律? 故n个向量a1? a2? ? ? ?? an相加可写成a1?a2? ? ? ??an?并按向量相加的三角形法则? 可得n个向量相加的法则如下? 使前一向量的终点作为次一向量的起点? 相继作向量a1? a2? ? ? ?? an? 再以第一向量的起点为起点? 最后一向量的终点为终点作一向量? 这个向量即为所求的和?负向量?设a为一向量? 与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量? 记为?a?向量的减法?我们规定两个向量b与a的差为b?a?b??即把向量?a加到向量b上? 便得b与a的差b?a? ? 特别地? 当b?a时? 有a?a?a??0?abbb?aab?a显然? 任给向量AB及点O? 有AB?AO?OB?OB?OA?因此? 若把向量a与b移到同一起点O? 则从a的终点A向b的终点B所引向量AB便是向量b与a的差b?a ?三角不等式?由三角形两边之和大于第三边的原理? 有|a?b|?|a|?|b|及|a?b|?|a|?|b|?其中等号在b与a同向或反向时成立?2．向量与数的乘法向量与数的乘法的定义?向量a与实数?的乘积记作?a? 规定?a是一个向量?它的模|?a|?|?||a|? 它的方向当?>0时与a相同? 当? 当??0时? |?a|?0? 即?a为零向量? 这时它的方向可以是任意的?特别地? 当1时? 有1a?a? a??a?运算规律?结合律 a；分配律 a??a??a； a??b?例1? 在平行四边形ABCD中? 设AB?a? AD?b?试用a和b表示向量MA、MB、MC、MD? 其中M是平行四边形对角线的交点?解由于平行四边形的对角线互相平分? 所以a?b?AC?2AM? 即 ??2MA? 于是 MA2DC因为MC??MA? 所以MC??2又因?a?b?BD?2MD? 所以MD?1?2B由于MB??MD? 所以MB??2向量的单位化? ?设a?0? 则向量a是与a同方向的单位向量? 记为ea? |a|于是a?|a|ea?向量的单位化?设a?0? 则向量a是与a同方向的单位向量? 记为ea? |a|于是a ? | a | ea?定理1 设向量a ? 0? 那么? 向量b平行于a的充分必要条件是? 存在唯一的实数?? 使 b ? ?a? ?证明? 条件的充分性是显然的? 下面证明条件的必要性?设b // a? 取|?|?|b|? 当b与a同向时?取正值? 当b与a反向时?取负值? 即b??a?|a|这是因为此时b与?a同向? 且|?a|?|?||a|?|b||a|?|b|?|a|再证明数?的唯一性? 设b??a? 又设b??a? 两式相减? 便得a?0? 即|||a|?0? 因|a|?0? 故||?0? 即给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴? 设点O及单位向量i确定了数轴Ox? 对于轴上任一点P? 对应一个向量OP? 由OP//i? 根据定理1? 必有唯一的实数x? 使OP?xi? 并知OP与实数x一一对应? 于是点P?向量OP? xi?实数x ?从而轴上的点P与实数x有一一对应的关系? 据此? 定义实数x为轴上点P的坐标?由此可知? 轴上点P的坐标为x的充分必要条件是OP? xi ? 三、空间直角坐标系在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k? 就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴? 依次记为x轴、y轴、z轴? 统称为坐标轴? 它们构成一个空间直角坐标系? 称为Oxyz坐标系?注: 通常三个数轴应具有相同的长度单位?通常把x 轴和y轴配置在水平面上? 而z轴则是铅垂线? 数轴的的正向通常符合右手规则?? 坐标面?在空间直角坐标系中? 任意两个坐标轴可以确定一个平面? 这种平面称为坐标面?x轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面? 另两个坐标面是yOz面和zOx面?《高等数学A》课程教案第七章空间解析几何一、教学目的与要求1、了解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

向量代数向量及其线性运算向量及其线性向量代数线性运算

第1讲向量代数—向量及其线性运算主要内容1 向量的概念2 向量的线性运算3空间直角坐标系4利用坐标进行线形运算5向量的模、方向角、投影讲解提纲：第七章空间解析几何与向量代数在平面解析中. 通过坐标法把平面上的点与一对有次序地数对应起来，就可以把平面上的图形和方程对应起来、统一起来，使得人们既可以用代数方法研究解决几何问题（这是解析几何的基本内容），也可以用几何方法解决代数问题.本章中我们先介绍向量的概念及向量的某些运算，然后再介绍空间解析几何，其主要内容包括平面和直线方程、一些常用的空间曲线和曲面的方程以及关于它们的某些基本问题.这些方程的建立和问题的解决是以向量作为工具的. 正像平面解析几何的知识对学习一元函数微积分是不可缺少的一样，本章的内容对以后学习多元函数的微分学和积分学将起到重要的作用.第一节向量及其线性运算一、向量的概念.既有大小，又有方向。

例如位移、速度、加速度等等。

二、向量的线性运算：向量的加减法, 向量与数的乘法定理1 设向量0≠a , 那末向量b 平行于a 的充分必要条件是: 存在唯一的实数λ, 使a b λ=.定理1是建立数轴的理论依据. 我们知道，确定一条数轴, 需要给定一个点、一个方向及单位长度. 由于一个单位向量既确定了方向, 又确定了单位长度, 因此, 只需给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴.三、空间直角坐标系特钲四、利用坐标进行线形运算(=+b ak b a j b a i b a z z y y x x )()()+++++(=-b ak b a j b a i b a z z y y x x )()()-+-+- (=aλk a j a i a z y x )()()λλλ++五、向量的模、方向角、投影性质1 ϕcos ||Pr a a j u = （ϕ为向量a与u 轴的夹角）;性质2 b j a j b a j u u uPr Pr )(Pr +=+;性质3 a j a j u uPr )(Pr λλ= （λ为实数）.例题选讲：1.向量的线性运算例1 化简 13325.25b a a b b ⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭例2 在平行四边形ABCD 中, 设,,AB a AD b == 试用a和b 表示向量,,MA MB MC 和MD, 这里M 是平行四边形对角线的交点.解：由对角线互相平分，所以()2,a b A C A M +==即()2,a b MA -+=于是1()2MA a b =-+，111(),(),()222MC a b MD b a MB a b =+=-=-例3 在x 轴上取定一点O 作为坐标原点. 设A , B 是x 轴上坐标依次为21,x x的两个点, i是与x 轴同方向的单位向量, 证明 21().AB x x i =-2.空间两点间的距离例4 已知点)10,3,4(),4,1,2(B A ，写出以线段AB 为直径的球面方程。

《高等数学》第七章-数量积-向量积-混合积

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3. 运算律
(1) 交换律 (2) 结合律
b a
a ( b)
( a ) ( b) a ( b)
(ab)
(3) 分配律
(a b) c
Pr jc a Pr jc b Pr jc ( a b)
事实上, 当 c 0 时, 显然成立 ; 当c 0时
a b c c Pr jc a b c Prjc a Prjc b
c Pr jc a c Pr jc b a c b c
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例1. 证明三角形余弦定理
c2 a2 b2 2abcos
证: 如图 . 设
i j jk ki 0
a b axbx ayby azbz
两向量的夹角公式当为非零向量时, 由于
a b cos , 得
cos

axbx ayby azbz
ab
a
2 x

a
2 y

az2
bx2 by2 bz2
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例2. 已知三点 M (1,1,1), A( 2, 2,1), B( 2,1, 2), 求
叉积:
i jk ab ax ay az
bx by bz
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ax ay az
混合积: a b c ( a b ) c bx by bz
2. 向量关系:
cx cy cz
ab 0
bx by bz ax ay az

空间解析几何与向量代数》知识点、公式总结

空间解析几何与向量代数》知识点、公式总结空间解析几何与向量代数是数学中非常重要的分支，它们在物理、工程、计算机科学等领域得到了广泛的应用。

以下是一些知识点和公式的总结:一、向量的数量积与向量积1. 向量的数量积：两个向量 a 和 b 的数量积 (也叫数量积或点积) 定义为一个新的向量，记作 a·b，其大小为|a|·|b|，方向遵循右手法则，即对于任意的向量 c,(a·b)·c=a·(b·c)。

2. 向量积：两个向量 a 和 b 的向量积 (也叫向量积或叉积)定义为一个新的向量，记作 a×b，其大小为|a|·|b|，方向遵循右手法则，即对于任意的向量 c,(a×b)·c=a·(b×c)。

二、向量的混合积1. 向量的混合积：三个向量的混合积 (也叫叉积) 定义为一个新的向量，记作 (ab)c，其大小为|a|·|b|，方向遵循右手法则，即对于任意的向量 d,(ab)c·d=a·(b·c)d。

2. 向量共面的条件：三个向量 a、b、c 共面的条件是它们对应的三条法向量共面。

三、空间平面及其方程1. 空间平面的方程：空间中两个不共线的平面的方程分别为Px+My+Nz=C 和 Px+My+Nz=D，其中 P、M、N 为平面上的任意三个点，C 和D 为已知常数。

2. 平面的点法式方程：设 M(x0,y0,z0) 为平面上的已知点，n(A,B,C) 为法向量，M(x,y,z) 为平面上的任一点，则平面的点法式方程为 A(x-x0)B(y-y0)C(z-z0)=0。

四、空间直线及其方程1. 空间直线的方程：空间中一条直线的方程为 x+My+Nz=C，其中 P、M、N 为直线上的任意三个点，C 为已知常数。

2. 空间直线的参数方程：空间中一条直线的参数方程为x=f(t),y=g(t),z=h(t),其中 t 为参数，f、g、h 分别为直线上的点的 x、y、z 坐标。

第2讲向量的数量积、向量积、混合积

ay,
az
)。
a
i
ax, ay , az 不同时为零
在 x 轴上：a ( ax , 0, 0 ) ；a yz 平面
a//
i
在 y 轴上：a ( 0, ay , 0 ) ；a xz 平面在 z 轴上：a ( 0, 0, az )。a xy 平面
a//
j
a//
k
ax, ay , az 不为零
1. 向量的向量积的概念向量积的物理模型
力矩的大小＝力的大小力臂的长度方向: 由力臂到力符合右手法则
设力
F
作用于杠杆上点
P 处,
F 与OP间的夹角为。
F
O P
Q
则力 F对点 O 产生的力矩为一个向量
M,
且
||
M
||
||
F ||
||
OQ
||
||
F ||
||
OP
||
sin
,
M
的方向是从OP
到
F 以不超过
|
a
b|
|
||
a||
||
b ||
cos
a,
b
|
||
a||
||
b ||
,
得
| axbx ayby azbz | ax2 ay2 az2 bx2 by2 bz2 。
(当
cos
a,
b
1
时等号成立,
此时
a// b。)
例 (a12 a22 an2 ) (b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbn )2
1 1 。
02 32 12
10

向量的数量积、向量积、混合积

混合积
混合积在解析几何中可以用于表示向量的旋转和缩放。例如，在三维空间中，混合积可以用来计算三个向量的旋转角度和缩放因子。
在物理学中的应用
向量积
在物理学中，向量积可以用于描述矢量场中的矢量线。例如，在电磁学中，向量积可以用来计算磁场中的矢量线。
混合积
在物理学中，混合积可以用于描述物体的转动惯量。例如，在刚体动力学中，混合积可以用来计算刚体的转动惯量。
性质
混合积为标量，其值与三个向量的顺序有关，但与向量的排列顺序无关。
几何意义
几何意义
向量$mathbf{a}$、$mathbf{b}$、 $mathbf{c}$的混合积等于以这三个向量为邻边的平行六面体的体积。
VS
特殊情况
当其中一个向量是零向量时，混合积为零；当两个向量共线时，混合积为零。
运算性质
交换律
$(mathbf{a}, mathbf{b}, mathbf{c}) = (mathbf{c}, mathbf{b}, mathbf{a})$
分配律
$(mathbf{a} + mathbf{b}, mathbf{c}, mathbf{d}) = (mathbf{a}, mathbf{c}, mathbf{d}) + (mathbf{b}, mathbf{c}, mathbf{d})$
运算性质
要点一
分配律
$mathbf{A} times (mathbf{B} + mathbf{C}) = mathbf{A} times mathbf{B} + mathbf{A} times mathbf{C}$。
要点二
结合律
$(mathbf{A} + mathbf{B}) times mathbf{C} = mathbf{A} times mathbf{C} + mathbf{B} times mathbf{C}$。

第2节数量积向量积混合积

第二节数量积、向量积和混合积
一、两向量的数量积二、两向量的向量积三、向量的混合积四、小结
1
一、两向量的数量积
实W到例点|M一F2物|，| s体以| c在sos表常示力位F移作(其，用中则下力沿为直FF线所与从s作的点的夹M功角1为移) 动
启示两向量作这样的运算, 结果是一个数量.
1、定义
a z bz
a b axbx ayby azbz
6
由此知
（1）
a
aa
a
2 x
a
2 y
a
2 z
(2)a
b
axbx
ayby
a z bz
0
5a、 b两向| a量||夹b |角co余s弦的坐co标s表示|式aa||bb |,
cos
axbx a yby azbz
ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz 2
m, n)
4 2 1 8,
依题意知m
n
与
p
同向，
(m n,p) 0
(m n)
p
|
m
n
|
|
p
|
cos
83
24.
20
三、向量的混合积
定义
设已知三个向量a 、 b
、c ，数量(a
b)
c
称为这三个向量的混合积，记为 [a b c] .
设
a
axi
a
yj
azk ,
b bxi by j bzk,
表达式
b bxi
by
j
bz
k
a
b
(axi
a
y
j
azk ) (bxi

2.2向量的内积,向量积与混合积

2.2向量的内积、叉积与混合积
2.2.1向量的内积
2.2.2向量的外积
2.2.3向量的混合积
2.2.1向量的内积
1.实例
到点
W
M一|2F物，|体|以s在s|c表常os示力位F 移作(，用其则下中力沿F为直F所线与作从s的点的功M夹为1角移)动
启示两向量作这样的运算, 结果是一个数量.
F
Fx
2.数量积的定义
于这杠杆上P 点处．力F 与OP 的夹角为，力
F 对支点O 的力矩是一向量M ，它的模
F
| M || OQ || F |
O
P Q
L
| OP || F | sin
M 的方向垂直于OP 与F 所决
定的平面, 指向符合右手系.
2.定义
向量a与b 的向量积为
c
a
b
|
c||
a||
b|
sin
(其中为a与b的夹角)
c的方向既垂直于
a ，又垂直于
b
，指向符
合右手系. 向量积也称为“叉积”、“外积”.
补充
| a b|表示以a和b 为邻边
的平行四边形的面积.
a
c
a
b
b
3.关于向量积的说明：
(1)
a
a
0.
( 0 sin 0)
(2)
a//
b
a
b
0.
(a
0,
b 0)
证
()
a
b
0,
| a| 0,
b
=_________；
2、已知（a
,
b）=2
，且
a
=1，b
=2，则

向量的内积、外积、混合积

结合律
$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot (mathbf{c} times mathbf{d}) = mathbf{a} cdot (mathbf{c} times mathbf{d}) + mathbf{b} cdot (mathbf{c} times mathbf{d})$。
向量的内积、外积、混合积
目录
CONTENTS
• 向量内积 • 向量的外积 • 向量的混合积 • 向量内积、外积、混合积的应用
01
CHAPTER
向量内积
定义
向量内积定义为两个向量$mathbf{a}$ 和$mathbf{b}$的数量积，记作 $mathbf{a} cdot mathbf{b}$。其计算公式为：$mathbf{a} cdot mathbf{b} = ||mathbf{a}|| times ||mathbf{b}|| times cos theta$，其中 $theta$是向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$之间的夹角。
04
CHAPTER
向量内积、外积、混合积的应用
在解析几何中的应用
计算向量的模
向量的模可以通过内积计算，即 $mathbf{u} cdot mathbf{u} = |mathbf{u}|^2$。
判断向量是否垂直
两个向量垂直当且仅当它们的内
积为0，即$mathbf{u}
cdot
mathbf{v} = 0$。
当两个向量正交时，它们的内积为0 。
向量的内积满足交换律和分配律，即 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$和 $(mathbf{a} + mathbf{c}) cdot mathbf{b} = mathbf{a} cdot mathbf{b} + mathbf{c} cdot mathbf{b}$。

高等数学第七章空间解析几何与向量代数第二节数量积向量积混合积

a ⋅ b = a x bx + a y b y + a z bz
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两向量夹角余弦的坐标表示式
a⋅b , a ⋅ b =| a || b | cosθ ⇒ cos θ = | a || b |
cosθ =
a x bx + a y b y + a z bz a x + a y + az
=0
∴ [(a ⋅ c )b − (b ⋅ c )a ]⊥c
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二、两向量的向量积
实例设 O 为一根杠杆 L 的支点，有一力 F 作用
于这杠杆上 P 点处．力 F 与 OP 的夹角为θ ，力
F 对支点 O 的力矩是一向量 M ，它的模
F
θ
| M |=| OQ || F |
定义
向量a 与b 的数量积记为a ⋅ b
a ⋅ b =| a || b | cosθ
b
θ
a ∵ | b | cos θ = Pr ja b ,
(其中θ 为a 与b 的夹角)
| a | cos θ = Pr jb a ,
∴ a ⋅ b =| b | Pr jb a = | a | Pr ja b .
§2. 数量积向量积
→
一、两向量的数量积
F
θ
→
s
实例一物体在常力 F 作用下沿直线从点 M 1 移动到点 M 2 ，以 s 表示位移，则力 F 所作的功为
W =| F || s | cosθ
(其中θ 为 F 与 s 的夹角)
启示两向量作这样的运算, 结果是一个数量.

课件：向量及其运算(15)

∴a(bc)0 ，故a,
b, c
共面。
B b
a
.a b 0
A
24
运算规律
1. a b b a;
反交换律
2.( a) b a ( b) (a b); 与数乘向量的结合律
3. (a b) c a c b c
分配律
c(a b) c a c b
例3 已知 a 2, b 3, 且a b 3, 则a b _____3______.
22
3)两个向量的向量积
(由两个向量造一个新的特殊的向量)
在并b,且许需要多要求方找面c另的,一模对个有于同某给时种定与特的a性两,.个b不垂共直线的l 的非非零零向向量量
a
,
c
,
如图, 由直观, 同时与 a ,
c B b
b 垂直的非零向量 c 在
O
直线 l 上,有无限多个,但方向可指向方上或下方.
三角形法则可推广到多个向量相加 .
4
s a1 a2 a3 a4 a5
a4
a5
a3 s
a2 a1
5
2. 向量的减法三角不等式
b
a
6
3. 向量与数的乘法
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
规定 :
总之:
a
a
运算律 : 结合律 ( a) ( a) a
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
3
二、向量的线性运算
1. 向量的加法平行四边形法则:
b ab
(a b) c
c
bc
a (bc)
a
三角形法则:
ab b

第7章空间解析几何与向量代数

在空间引入一直角坐标系，为一个向量，为了讨论方便， a
OM OA AP PM OA OB OC
称向量OA, OB, OC为OM 在x轴、y轴、z轴上的分向量。（又称基本单位向量）
记i, j , k分别为与x轴、y轴、z轴正向相同的单位向量。
设 Pr jx OM X , Pr j y OM Y , Pr jz OM Z 那么 OA X i , OB Y j , OC Z k 于是OM X i Y j Z k
cos X | OM | X X Y Z
2 2 2

而 Y Pr j y a | OM | cos , cos Y X 2 Y 2 Z2
同理 cos
Z X 2 Y 2 Z2
由于0 , , cos , cos , cos 唯一, 故称 cos , cos , cos为向量a 的方向余弦. 显然a
设向量 a, b 称 a b cos(a, b) 为向量 a, b 的数量积, 记作 a b 即a b a b cos(a, b)
由于 Pr ja b b cos(a, b) 所以 a b a Pr ja b b Pr jb a
点积的运算性质
(1) a a a
2
(2) cos(a, b)
a b ab
(3) a b a b 0
点积满足
交换律 a b b a
分配律 (a b) c a c b c ; ( a) b (a b)
5)向量与向量的向量积(又称为叉积)
设两个向量 a, b 称向量 a b sin(a, b) 为向量 a与b 的向量积, 记作 a b , 即 a b a b sin(a, b) 其中是单位向量, 的方向为按右手法则四指从a 的正向以不超过的角转动到b 的正向时大拇指所指的方 . 向

数量积向量积混合积

例 3 (a b ) ( a b ) aa b a ab b b 2a b .
例4 设向量 α β 不共线，若向量 3α + kβ 与 kα + 27 β 共线，求k的值. 解: (3α + kβ kα + 27 β 0 , 即
| c | 10 2 52 5 5 ,
c 2 1 0 c j k . |c | 5 5
例7 在顶点为 A(1,1,2) 、 B(5,6,2) 和C (1,3,1)
的三角形中，求 AC 边上的高BD .
解
AC (0,4,3)
2 2 2
bx b y bz
2
2
2
由此可知两向量垂直的充要条件为
a b a x bx a y b y a z bz 0
例2 已知 a (1, 1, 4) , b (1, 2 , 2) , 求 (1) a b ;(2)a 与 b 的夹角.
3α α +81α β + k 2 β α + 27kβ β 0
由于 α α β β 0，α β β α , 所以
(81 k 2 )α β 0
由于 α β 0, 故
k 9
例5 证明:
(α β )2 + | α β |2 | α |2 | β |
第二节
数量积
向量积
混合积
一、两向量的数量积 (Scalar Product)
例如: 设力 F 作用于某物体上, 物体有一段位移 S , 求功的表示式.
F
解: 由物理知, 与位移平行的分力作功, 与位移垂直的分力不作功. 于是

高等数学 第七章 空间解析几何与向量代数 第二节 数量积 向量积 混合积

课件7-1向量坐标

(6)两向量的 数量积 向量积 混合积

(整理)第七章 空间解析几何

数量积 向量积 混合积

《高等数学》第7章空间向量与空间解析几何

空间解析几何教案

向量代数向量及其线性运算向量及其线性向量代数线性运算

《高等数学》第七章-数量积-向量积-混合积

空间解析几何与向量代数》知识点、公式总结

第2讲 向量的数量积、向量积、混合积

向量的数量积、向量积、混合积

第2节 数量积 向量积 混合积

2.2向量的内积,向量积与混合积

向量的内积、外积、混合积

高等数学 第七章 空间解析几何与向量代数 第二节 数量积 向量积 混合积

课件：向量及其运算(15)

第7章 空间解析几何与向量代数

数量积 向量积 混合积

高等数学第七章空间解析几何与向量代数第二节数量积向量积混合积

(6)两向量的数量积向量积混合积

(整理)第七章空间解析几何

数量积向量积混合积

第2讲向量的数量积、向量积、混合积

第2节数量积向量积混合积

高等数学第七章空间解析几何与向量代数第二节数量积向量积混合积

第7章空间解析几何与向量代数

数量积向量积混合积