第六章 6.3 测量误差及数据处理
测量误差及数据处理.
第一章测量误差及数据处理物理实验的任务不仅是定性地观察各种自然现象，更重要的是定量地测量相关物理量。
而对事物定量地描述又离不开数学方法和进行实验数据的处理。
因此，误差分析和数据处理是物理实验课的基础。
本章将从测量及误差的定义开始，逐步介绍有关误差和实验数据处理的方法和基本知识。
误差理论及数据处理是一切实验结果中不可缺少的内容，是不可分割的两部分。
误差理论是一门独立的学科。
随着科学技术事业的发展，近年来误差理论基本的概念和处理方法也有很大发展。
误差理论以数理统计和概率论为其数学基础，研究误差性质、规律及如何消除误差。
实验中的误差分析，其目的是对实验结果做出评定，最大限度的减小实验误差，或指出减小实验误差的方向，提高测量质量，提高测量结果的可信赖程度。
对低年级大学生，这部分内容难度较大，本课程尽限于介绍误差分析的初步知识，着重点放在几个重要概念及最简单情况下的误差处理方法，不进行严密的数学论证，减小学生学习的难度，有利于学好物理实验这门基础课程。
第一节测量与误差物理实验不仅要定性的观察物理现象，更重要的是找出有关物理量之间的定量关系。
因此就需要进行定量的测量，以取得物理量数据的表征。
对物理量进行测量，是物理实验中极其重要的一个组成部分。
对某些物理量的大小进行测定，实验上就是将此物理量与规定的作为标准单位的同类量或可借以导出的异类物理量进行比较，得出结论，这个比较的过程就叫做测量。
例如，物体的质量可通过与规定用千克作为标准单位的标准砝码进行比较而得出测量结果；物体运动速度的测定则必须通过与二个不同的物理量，即长度和时间的标准单位进行比较而获得。
比较的结果记录下来就叫做实验数据。
测量得到的实验数据应包含测量值的大小和单位，二者是缺一不可的。
国际上规定了七个物理量的单位为基本单位。
其它物理量的单位则是由以上基本单位按一定的计算关系式导出的。
因此，除基本单位之外的其余单位均称它们为导出单位。
如以上提到的速度以及经常遇到的力、电压、电阻等物理量的单位都是导出单位。
测量学第六章 测量误差及数据处理的基本
测量误差及数据处理的基本知识
第6章
测量误差及数据处理的基本知识
6．1 概述
6．1．1 测量与观测值
通过一定的仪器和方法在一定的环境下游操作人员 对某量进行量测，称为观测，获得的数据称为观测值。 6．1．2 观测与观测值的分类
1．同精度观测和不同精度观测
构成测量工作的要素包括观测者、测量仪器和外界条 件，通常将这些测量工作的要素统称为观测条件。
在实际测量工作中，以三倍中误差作为偶然误差的 容许值，称为容许误差。
6．4．4 相对误差
相对误差是中误差与观测值之比．是个无量纲数，在测 量上通常将其分子化为1，即用K＝1/N的形式来表示。 如：1/1000，1/5000等。 显然．相对中误差愈小(分母越大)．说明观测结果的精 度愈高，反之愈低。 相对中误差的分子也可以是闭合差或容许误差，这时分别称 为相对闭合差及相对容许误差。
该曲线称为高斯偶然误差分布曲线。 在概率论中，称为正态分布曲线。 在一定的观测条件下，对应着一个 确定的误差分布。 曲线的纵坐标y=概率/间距，它是 偶然误差⊿的函数，记为f(⊿)。
f(⊿ i)d⊿是偶然误差出现在微小区间(⊿ i + d⊿/2, ⊿ i +-d⊿/2) 内的概率，记为
p(⊿ i)= f(⊿ i)d⊿
6．1．3 测量误差及其来源
1．测量误差的定义 测量中的被观测量，客观上都存在着一个真实 值．简称真值。 对该量进行观测得到观测值。观测值与真值之差， 称为真误差．即
真误差＝观测值-真值
2．测量误差的反映
“必要观测”：为确定某一个被观测量或几何形体 所需要的最少的观测。
“多余观测”：在确定某一个被观测量或几何形体 所进行的观测过程中超过必要观测的观测。
08结63-测量学-章6-测量误差及数据处理的基本知识
三、最可靠值（最或是值）的精度评定 单位权中误差
权为1的观测值 中误差
m0
pvv
n 1
vi=li-x
测回数
最可靠值的中误差
Mx
加权平均值 的中误差
m0 p
pvv p n 1
举例
在水准测量中，已知从三个已知高程点A、B、C 出发，测得E点的三个高程观测值及各水准路线
偶然误差 – 在一定的观测条件下，单个误差的出现没有一定的规律性， 其数值大小和符号都不固定，大量的误差有统计规律的误差 – 偶然误差决定了观测结果的精密度； – 研究测量误差主要是针对偶然误差而言
二、研究目的
（1） 求取最可靠值（最或是值） （2） 衡量精度（结果的可靠性） 三、研究误差的出发点或原则： （1）根据不同的测量目的，允许在测量结果中含有一定程度 的测量误差 （2）目标并不是简单地使测量误差越小越好，而是要设法将 误差限制在与测量目的相适应的范围内 （3）分析测量误差，制定出衡量观测成果质量的标准，并求 得未知量的最合理最可靠的结果
等精度直接观测值的最可靠值
观测值
一、求最可靠值（最或是值）
最可靠值 证明
l1 l2 ln l x n n
观测次数
∵
△1=l1－X △2=l2－X
0 lin
n l X n
Hale Waihona Puke n ……… … △n=ln－X
l nX
n n n
§6.2
举例 ： b a c
偶然误差特性
一、偶然误差的四个特性
△i=ai+bi+ci-180°
（i=1,2, ··· ··· ··358）
测量学第6章测量误差及数据处理的基本知识
d
2 m
误差出现在K倍中误差区间内的概率为：
km
P( km)
1
e
2 2m2
d
km 2 m
将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在
一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：
P(|| m)=0.683=68.3 P(||2m)=0.954=95.5 P(||3m)=0.997=99.7
3.算术平均值的中误差式
函数式 全微分
x
l
n
1 n
l1
1 n
l2
1 n
ln
dx
1 n
dl1
1 n
dl2
1 n
dln
中误差式 mx
1 n2
m12
1 n2
m22
1 n2
mn2
由于等精度观测时，m1 m2 mn m ，代入上式：
(g)
由偶然误差的抵偿性知：
i j
lim xix j 0
n
n
(g)式最后一项极小于前面各项， 可忽略不计，则：
2
K
f12
x12 K
f22
x22 K
f
2 n
xn2 K
即
mz2
f12mx21
f
2 2
mx22
安徽工业大学
土木工程系
23
2020年1月9日星期四
二 .几种常用函数的中误差
1.倍数函数的中误差 设有函数式 Z Kx
(x为观测值，K为x的系数)
测量误差和数据处理技术规范
测量误差及数据处理技术规范JJG 1027—1991本技术规范对测量误差和数据处理中比较常遇到的一些问题做出统一的规定，以便正确地给出和使用测量结果。
本规范适用于测量不确定度的评定，计量器具准确度的评定，及其评定结果的表达。
本规范所研究的测量结果的方差是有限的例如，在晶振频率的误差中，由于噪声导致理论方差发散，而是非有限的*。
除非特别指明，本规范所述处理方法与误差的分布无关。
一测量结果的误差评定1 一般原理由于存在一些不可避免对测量有影响的原因，导致测量结果中存在误差。
误差的准确值、总体标准差都是未知的，但可以通过重复条件或复现条件下的有限次数测量列的统计计算或其它非统计方法得出它们的评定值。
计算得到的误差和(或)已确定的系统误差，应尽量消除或对结果进行修正。
无法修正的部分，在测量不确定度评定中作为随机误差处理。
2 测量误差的种类测量误差是指测量结果与被测量真值之差。
它既可用绝对误差表示，也可以用相对误差表示。
按其出现的特点，可分为系统误差、随机误差和粗大误差。
2.1 系统误差在同一被测量的多次测量过程中，保持恒定或以可预知方式变化的测量误差的分量。
按其变化规律可分为两类：a 固定值的系统误差。
其值(包括正负号)恒定。
如，采用天平称重中标准砝码误差所引起的测量误差分量。
b 随条件变化的系统误差。
其值以确定的，并通常是已知的规律随某些测量条件变化。
如，随温度周期变化引起的温度附加误差。
2.2 随机误差在同一量的多次测量过程中，以不可预知方式变化的测量误差分量。
它引起对同一量的测量列中各次测量结果之间的差异，常用标准差表征。
对标准差以及系统误差中不可掌握的部分的估计，是测量不确定度评定的主要对象。
2.3 粗大误差指明显超出规定条件下预期的误差。
它是统计的异常值，测量结果带有的粗大误差应按一定规则剔除。
3 误差来源及分解任何详细的误差评定报告，应包括各误差项的完整材料，其中应有评定方法的说明。
3.1 误差来源设被测量的真值为Y0，而测量结果为Y，则绝对误差ΔY可表示为：ΔY＝Y－Y0 (1.1) 本条叙述由测量绝对误差ΔY分解成可以评定的误差分量ΔYk的法则。
测量误差及数据处理
x0
x
相对误差ε是一个无量纲的数据，通常以百分数的形式表
示。相对误差比绝对误差能更好地说明测量的精确程度。例如，
在上面的例子中，ε1＝0.002/20×100%＝0.01%，ε2＝ 0.02/250×100%＝0.008%，可以看出，后者的测量精度更高。
1.2 测量误差的来源
计量器具 误差
计量器具误差是指计量器具本身在设计、制造和使用
（2）随机误差的评定指标
① 算术平均值 。对同一被测量进行n次等精度测量，测
量结果为x1、x2、…、xn，则算术平均值x 为：
x
x1 x2 xn n
1 n
n i1
xi
测量次数n越大，算术平均值 越趋近于真值x0。因此，用
算术平均值 x 作为最后测量结果是可靠的、合理的。
② 标准偏差σ。
用算术平均值 x 表示测量结果虽然可靠，但不能全面反
映测量精度。例如，有两组测得值： 第一组：12.005，11.996，12.003，11.994，12.002； 第二组：11.90，12.10，11.95，12.05，12.00。
两组测得值的算术平均值 x1＝ x2＝12，但第一组测得
值比较集中，第二组测得值比较分散，也就是说，第一组的 每一个测得值比第二组的更接近于算术平均值，第一组测得 值的测量精度比第二组高。此时，算术平均值就不能准确地 反映测量精度了，而常用标准偏差σ来反映测量精度的高低。
源
误差
所引起的误差。环境条件主要包括温度、湿度、气压、振
动和灰尘等，其中，温度对测量结果的影响最大。
测量人员 误差
测量人员误差是指由测量人员的主观因素所引起的误
差。例如，测量人员技术不熟练、测量瞄准不准确、估读 判断错误和测量习惯等引起的误差。
八年级上册物理【教案】6.3 测量液体和固体的密度
第3节测量液体和固体的密度教材分析一、课标分析会测量液体和固体的密度。
二、内容和地位分析本节课的内容是物理人教版八年级上册第六章第三节《测量液体和固体的密度》。
这是一节测量型实验课,是对天平、量筒、密度等知识的综合运用,通过这节课的探究活动,让学生进一步熟悉和掌握天平和量筒的正确使用,并能够通过实验让学生对密度公式有进一步的理解,使学生有目的、有计划、有步骤地完成实验。
学情分析教材要求学生自己设计实验步骤、实验数据记录表格等,并要求学生对实验数据进行处理,培养学生的科学探究能力,对学生能力的要求比较高。
虽然学生已经有了探究的经历,有一定的实际操作经验,但是考虑到学生的动手操作机会少,因此学生在本节内容的学习中可能存在三个方面的困难:不能很好地设计实验步骤和实验数据记录表格;在实验操作中,可能会出现对天平、量筒的读数错误;根据实验数据计算密度时存在一定的困难,尤其是在密度的单位上。
教学目标会用量筒测量液体的体积;会用天平和量筒测量液体和固体的密度。
核心素养通过实验探究,经历探究过程,并学会利用物理公式间接测量物理量的科学方法,从而提高学生的探究能力。
重点难点重点:测量固体和液体的密度。
难点:测量固体和液体的密度。
教学过程续表续表积V 。
(5)根据密度公式计算盐水的密度。
教师:请大家根据讨论得出的实验步骤设计出实验数据记录表。
实验数据记录表:答调量会残留一些盐水或者说盐水没有倒完。
交流、设计表格个别续表教学环节教学内容学生活动教学意图教师总结。
2.实验仪器:天平、量筒、水等。
3.实验步骤(1)调节天平,并测量出小石块的质量m。
(2)在量筒中倒入适量的水,读出示数V1。
(3)将小石块放入水中,读出示数V2。
(4)小石块的体积为V=V2-V1。
(5)小石块的密度为ρ=mV =mV2-V1。
4.实验数据记录表教师:下面大家就根据上面的实验步骤,来测量一下桌子上小石块的密度。
教师在教室中巡视,并及时指正学生实验过程中的问题。
极限配合与测量技术第六章 6.3 测量误差及数据处理
例如，机械比较仪为简化结构采用近似设计，测量杆的直线位移与 指针杠杆的角位移不成正比，这时，若标尺的等分刻度代替其理论上的 不等分刻度，就会产生原理性的示值误差。
又如，传动系统元件制造不准确所引起的放大比误差；传动系统元 件接触间隙引起读数不稳定误差以及磨损等因素都会产生测量误差。
（2）测量方法误差。
f1
0.01 100% 0.01% 100
f2
0.01 100% 0.001% 1000
显然，ƒ1>ƒ2表示后者的精确度比前者高。
3．测量误差产生的原因
综上所述，绝对误差和相对误差都用来判断测量的精确度。 由于存在测量误差，测得值不能真实地反映被测量的大小，这就 有可能歪曲了客观存在。
测量方法误差是测量方法不完善所产生的误差，它包括计算
公式不精确、测量方法不当和工件安装不合理等。
例如，对同一个被测几何量分别用直接测量法和间接测量法会产 生不同的方法误差。
再如，先测出圆的直径d，然后按公式：S=d计算出周长，由于 π取近似值，所以计算结果中带有方法误差。
（3）环境误差。
环境误差是指测量时，环境不符合标准状态所引起的测量误差。
2．测量误差的表示方法 （1）绝对误差δ。
绝对误差δ是测量结果x与其真值xo之差，即δ=x−xo由于测量
结果可大于或小于真值，因此绝对误差可能是正值或负值，即xo=x±δ。 这说明，测量误差的大小决定了测量的精确度。 δ越大精确度越低，反之则越高。 绝对误差可用来评定大小相同的被测几何量的测量精确度。 当被测尺寸不同时，要比较其精确度的高低，需采用相对误差。
6.3.2 测量误差的分类及其处理方法
根据测量误差出现的规律，可以将其分为系统误差、随机误差 和粗大误差3种基本类型。 1．系统误差及其处理方法 （1）系统误差。
测量误差及数据处理技术规范
测量误差及数据处理技术规范JJG 1027-1991本技术规范对测量误差和数据处理中比较常遇到得一些问题做出统一规定，以便正确地给出和使用测量结果。
本规范适用于测量不确定度的评定，计量器具准确度的评定，及其平时结果的表达。
本规范所研究的测量结果的方差是有限的，例如，在品振频率的误差中，由于噪声导致理论方差发散，而是非有限的*。
除非特别指明，本规范所述处理方法与误差分布无关。
1.一般原理由于存在一些不可避免对测量有影响的原因，导致测量结果中存在误差。
误差的准确值、总体标准差都是未知的，但可以通过重复条件或复现条件下的有限次数测量列的统计计算或其它非统计方法得出它们的评定值。
2.测量误差的种类测量误差是指测量结果与被测量真值之差，它既可用绝对误差表示，也可以用相对误差表示。
按其出现的特点，可分为系统误差、随机误差和粗大误差。
2．1系统误差在同一被测量的多次测量过程中，保持恒定或以可预知方式变化的测量误差的分量。
按其变化可分为两类：a 固定值的系统误差。
其值（包括正负号）恒定。
如，采用天平称重中标准砝码误差所引起的测量误差分量。
b 随条件变化的系统误差。
其值以确定的，并通常是已知的规律随某些测量条件变化。
如，随温度周期变化引起的温度附加误差。
2．2随机误差在同一被测量的多次测量过程中，以不可预知方式变化的测量误差的分量。
它引起对同一量的测量列中各次测量结果之间的差异，常用标准差表征。
对标准差以及系统误差中不可掌握的部分的估计，是测量不确定度评定的主要对象。
2.3粗大误差指明显超出规定条件下预期的误差。
它是统计的异常值，测量结果带有的粗大误差应该按一定规则剔除。
3.误差来源及分解任何详细的误差评定报告，应包括各项误差的完整材料，其中应有评定方法的说明。
3.1误差来源及分解设被测量的真值为0Y ，而测量结果为Y ，则绝对误差Y ∆可表示为：0Y Y Y -=∆ （1.1）本条叙述由测量绝对误差Y ∆分解成可以评定的误差分量K Y ∆的法则。
第6章 测量误差
x
带有随机误差的一系列等精度测量,算术平均值 可作为测量的真值。
_
算数平均值： x
n
x1 x 2 n
n
xn
n
i 1
xi n
i xi A0
n
i 1 _
i
i 1
xi n A0 （ 0 抵偿性）
A0
i 1
xi
n
x
检测技术
第六章 测量误差分析
x
检测技术
第六章 测量误差分析
（3）测量的极限误差
随机误差落在规定误差范围内的概率趋近于1的极 端误差称为极限误差。
极限误差的确定
随 机 误 差 落 在 - 1 之 间 概 率 为 1
f(δ)
0.135% 0 99.73% 0.135%
2
2 2
e
2
d 1
的 概 率 为 P
5 10 i
M
i 1
i8
i
0 .2 3 0 .2 3 0 .4 6 C
画出残余误差与测量次数关系图。
检测技术
第六章 测量误差分析
周期性系统误差判定（阿卑-赫梅特准则）
n 1
设
A
i i 1
i 1
若A
n 1
2
测量列中含周期性系统误差。
B、测电动势EX k置于2端。 调 RP使检流计为0
E x IR Pab ES RK R Pab
图6.6电位差计原理图
检测技术
第六章 测量误差分析
误差及数据处理
误差与数据处理一、名词解释1）误差：测量结果与被测量真值之差。
2）精密度：在确定的条件下重复测定的数值之间相互接近的程度。
用重复性和再现性表示。
重复性（repeatability）：同一实验室，分析人员用相同的分析法在短时间内对同一样品重复测定结果之间的相对标准偏差；再现性（reproducibility）：不同实验室的不同分析人员用相同分析对同一被测对象测定结果之间的相对标准偏差。
3）准确度：测量结果与被测真值之间的一致程度。
4）真值：与给定的特定量的定义一致的值。
5）绝对误差：测量结果与被测量（约定）真值之差。
6）绝对差值：两个数值之差的绝对值。
7）相对误差：测量误差除以被测量（约定）真值。
8）算数平均值：数值的总和除以其个数。
9）加权算数平均值：给每个数值指定一个称为“权”的非负系数，各个数值与相应的乘积之和除以权的总和。
10）标准值：由特定机关或组织以一定的精密度决定并保证的标准物质物理性能或组成的数值。
11）方差、标准差：各测定值和平均值之差的平方和除以自由度（测定数量减1）而得的商叫方差。
标准差为方差的正平方根。
12）极差：一个定量特征的观测值中最大值和最小值之差。
13）系统误差：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。
14）随机误差：测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。
15）测量不确定度：表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。
16）变异系数：标准偏差在样本均值中所占的百分数，又称相对标准偏差。
即标准偏差与测量结果算术平均值的比值。
17）偏差：一个值减去其参考值。
18）绝对偏差：个别测定值与平均值之差。
19）相对偏差：绝对偏差相对于测量平均值的百分数。
20）平均偏差：各单次测量偏差的绝对值之和与测量次数之比。
用d表示。
21）置信界限：真实值落在平均值的一个指定的范围内，这个范围就称为置信界限。
高中物理：测量误差及数据处理
高中物理侧脸误差及数据处理一、测量的误差1误差的分类物理实验是以测量为基础的。
研究物理现象、了解物质特性、验证物理原理都要进行测量。
测量分直接测量和间接测量等。
“直接测量”指无需对被测的量与其他实测的量进行函数关系的辅助计算而直接测出被测量的量。
例如用米尺测物体的长度，用天平和砝码测物体的质量，用电流计测线路中的电流，都是直接测量。
“间接测量”指利用直接测量的量与被测的量之间已知的函数关系，从而得到该被测量的量。
例如测物体密度时，先测出该物体的体积和质量，再用公式算出物体的密度。
在物理实验中进行的测量，有许多是间接测量。
实践证明，测量结果都存在有误差，误差自始至终存在于一切科学实验和测量的过程之中。
因为任何测量仪器、测量方法、测量环境、测量者的观察力等等都不能做到绝对严密，这些就使测量不可避免地伴随有误差产生。
因此分析测量中可能产生的各种误差，尽可能消除其影响，并对测量结果中未能消除的误差作出估计，就是物理实验和许多科学实验中必不可少的工作。
为此我们必须了解误差的概念、特性、产生的原因和估计方法等有关知识。
测量误差就是测量结果与被测量的真值（或约定真值）之间的差值，测量误差的大小反映了测量结果的准确程度。
测量误差可以用绝对误差表示，也可以用相对误差表示。
-100%E ==⨯绝对误差测量结果被测量的真实值测量的绝对误差相对误差被测量的真值被测量的真值是一个理想概念，一般说来实验者对真值是不知道的。
在实际测量中常用被测量的实际值或已修正过的算术平均值来代替真值，称为约定真值。
测量中的误差主要分为两种类型，即系统误差和随机误差。
它们的性质不同，需分别处理。
二、系统误差系统误差是指在多次测量同一被测量的过程中，保持恒定或以可预知方式变化的测量误差的分量。
例如实验装置和实验方法没有（或不可能）完全满足理论上的要求，有的仪器没有达到应有的准确程度，环境因素（温度、湿度等）没有控制到预计的情况等。
只要这些因素与正确的要求有所偏离，那么在测量结果中就会出现其绝对值和符号均为恒定的或以可预知方式变化的误差分量。
测量误差分析及数据处理
2. 基本误差和附加误差
任何测量装置都有一个正常的使用环境要求，这就是测量装置的规 定使用条件。根据测量装置实际工作的条件，可将测量所产生的误差分 为基本误差和附加误差。测量装置在规定使用条件下工作时所产生的误 差，称为基本误差。而在实际工作中，由于外界条件变动，使测量装置 不在规定使用条件下工作，这将产生额外的误差，这个额外的误差称为 附加误差。
3．投标阶段。投标人取得招标书之后，经过仔细的研究，可以 根据自己的意愿决定进入投标阶段。
4．评标阶段。招标方收到投标书后，只有在招标会那天，投标 人到达会场，才将投标书邮件交招标人检查，签封完好后，由招 标人当面打开，并宣布各投标人的标的，按招标文件中确定的程 序由全体评标人员进行分析评比，最后通过投票或打分方式选出 中标人。
5
（二）采购分类及方法
1．招标采购 2．询价采购 3．比价采购 4．议价采购 5．定价收购 6．公开市场采购
6
二、企业采购部门的建立、工作目标与工 作事项描述
（一）采购部门的建立 1．按物品类别建立 2．按采购地区建立 3．按采购价值或重要性建立 4．按采购过程建立 5．混合式的建立
29
七、采购绩效管理
（一）采购绩效的构成 由采购行为所产生的业绩和效果以及效率的
综合程度就是采购绩效。 （二)采购绩效的考核与评估的指标体系 1．采购绩效考核与评估的指标 2．采购绩效考核与评估方式 （1）定期绩效考核与评估 （2）不定期绩效考核与评估
（一）质量管理的方法 1．PDCA循环 （二）提高采购商品质量的途径 1．选择合适的供应商 2．正确评审供应商资格 3．制定并执行联合质量计划，建立良好供需
第六章 测量误差基本知识
0 . 05 m
，并测得倾斜角
m 3 0 ,
15 0 0 0 0
，
4其中误差 m 3 0s ，求相应水平距离D及其中误差。05 m .丈量倾斜距离 50 . 00 m , 其中误差 m s 0 .
15 0 0 0 0 ，其中误差
设某未知量的观测值为： l1 , l2 , , ln 该量的算术平均值为：
x l1 l2 ln n [l ] n
则该量的改正数： v i
[l ] n
li x li
[VV ] n 1
m
经推算：观测值的中误差
m
n
证明两式根号内相 等
1 l1 X
m1 L1 1 ,
2
1
,
m1
2
10000
L2
2000 L1
L2
即前者的精度比后者高。 有时，求得真误差和容许误差后，也用相对误差来表示。例如，在 本书以后要介绍的导线测量中，假设起算数据没有误差时，求出的全 长相对闭合差也就是相对真误差；而规范中规定全长相对闭合差不能 超过1／2000或1／15000，它就是相对容许误差。
x
Z x1 x 2
m
2 x1
m
2 x2
Z k 1 x 1 k 2 x 2 ... k n x n k m
2 2 2 x2
2 2 k1 m x1
... k m
2 n
2 xn
例
丈量了斜距S=50.00m，其中误差 m s
并测得倾斜角 求相应水平距离 解： D s cos D s D cos cos 15
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（2）系统误差处理方法。 定值系统误差可用对比检定法消除，变值系统误差可用对 称法或半周期法消除。
2．随机误差及其处理方法
（1）随机误差。
随机误差是指在相同条件下多次重复测量同一几何量时，误差
的大小和符号以不可预定的方式变化的测量误差。
随机误差主要是由测量中一些偶然因素或不稳定因素引起的。 测量结果中随机误差大小的程度可以用测量精密度表示。 例如，计量器具传动机构的间隙、摩擦测量力的不稳定以及温度 波动等引起的误差。
所以，只有知道测量误差或其范围，这样的测量才有意义。
2．测量误差的表示方法
（1）绝对误差δ。
绝对误差δ是测量结果x与其真值xo之差，即δ=x−xo由于测量
结果可大于或小于真值，因此绝对误差可能是正值或负值，即xo=x±δ。 这说明，测量误差的大小决定了测量的精确度。
δ越大精确度越低，反之则越高。
绝对误差可用来评定大小相同的被测几何量的测量精确度。 当被测尺寸不同时，要比较其精确度的高低，需采用相对误差。
测量方法误差是测量方法不完善所产生的误差，它包括计算
公式不精确、测量方法不当和工件安装不合理等。
例如，对同一个被测几何量分别用直接测量法和间接测量法会产 生不同的方法误差。
再如，先测出圆的直径d，然后按公式：S=d计算出周长，由于 π取近似值，所以计算结果中带有方法误差。
（3）环境误差。
环境误差是指测量时，环境不符合标准状态所引起的测量误差。
（2）相对误差ƒ。
相对误差ƒ是测量的绝对误差δ与其真值之比，即 f xo ，
由于被测量的真值是不可知的，实际中以被测几何量的量值代替真值 进行估算，即
f 100% x
（6.2）
相对误差是无量纲的数值，通常用百分数表示。
【例6.3】 测量一个长100mm尺寸的误差为0.01mm；测量另一 个长1000mm尺寸的误差也为0.01mm。根据绝对误差表示不出它们精 确度的差别，用相对误差表示时：
若发现有粗大误差，应按一定准则设法消除。
6.3.3 等精直接测量的数据处理
等精度直接测量就是在同一条件下（即等精度条件），对
某一量值进行n次重复测量而获得一系列的测量值。 在这些测量值中，可能同时含有系统误差、随机误差和粗大误差。 为了获得正确的测量结果，应对各类误差分别进行处理。
1．数据处理的步骤
在实际生产中，就可能使合格品报废，也可能使废品判为合格品。
因此，必须分析测量误差的产生原因，尽量减小测量误差，提高 测量精度。测量误差产生的原因可归纳为下列几种。
（1）计量器具误差。
计量器具误差是由计量器具本身在设计、制造、装配和使用调
整中的不准确而引起的。
这些误差综合表现为示值误差和示值变化性上。
3．粗大误差及其处理方法
（1）粗大误差。
粗大误差是指超出在规定条件下预计的测量误差。
粗大误差的产生是由于某些不正常的原因所造成的。
例如，测量者的粗心大意、测量仪器和被测工件的突然振动、读 数和记录错误等。
由于粗大误差一般数值较大，它会明显歪曲测量结果，因此，是 绝对不允许存在的。
（2）粗大误差处理方法。
（1）判断系统误差。
首先查找并判断测得值中是否含有系统误差，如果存在系统误差， 则应采取措施加以消除。
（2）随机误差处理方法。
所谓随机是指它在单次（某一次）测量中误差出现是无规律可
循的，但若进行多次重复测量时，则可发现随机误差符合正态分布规律， 因此常用概率统计方法和通过改善测量方法估计误差范围，但不能将其 消除或校正。
系统误差和随机误差是测量过程中的常见误差现象，通常用准确 度来表示测量结果中系统误差和随机误差的综合，表示测量结果与真 值的一致程度。
影响环境的因素有温度、湿度、振动和灰尘等。
其中温度引起的误差最大。
因此规定：测量的标准温度为20℃，高精度测量应在恒温条件下 进行；
当室温与标准温度差异为测量精度所许可，而且被测工件、量仪 及调整标准器的温度达到平衡后才进行测量，这时由温度变化所引起的 测量误差，可减少到最小程度或忽略不计。
（4）人员误差。
6.3 测量误差与数据处理
6.3.1 测量误差的基本概念及其表示方法
1．测量误差的基本概念
由于计量器具与测量条件的限制或其他因素的影响，每一个测得 值，往往只是在一定程度上近似于真值，这种近似程度在数值上则表现 为测量误差。
所以测量误差是指测量结果与被测量的真值之间的差异。
可以说，任何测量过程总是不可避免地存在测量误差。
人员误差是测量人员的主观因素引起的误差，它包括技术熟
练程度、分辨能力、思想情绪、连续工作时间长短和工作责任心等。
例如，计量器具调整不正确和量值估读错误等因素引起的测量误 差。
为了减少上述误差，减轻测量人员的疲劳，愈来愈多地采用数字 显示及计算机打印等读数方法。
总之，造成测量误差的因素有很多，测量者应对一些可能产生测 量误差的原因进行分析，设法消除或减少其对测量结果的影响，以提高 测量的精确度。
0.01 f1 100 100% 0.01%
0.01
f2
100% 1000
0.001%
显然，ƒ1>ƒ2表示后者的精确度比前者高。
3．测量误差产生的原因
综上所述，绝对误差和相对误差都用来判断测量的精确度。 由于存在测量误差，测得值不能真实地反映被测量的大小，这就
有可能歪曲了客观存在。
6.3.2 测量误差的分类及其处理方法
根据测量误差出现的规律，可以将其分为系统误差、随机误差 和粗大误差3种基本类型。
1．系统误差及其处理方法
（1）系统误差。
系统误差是指在相同条件下多次重复测量同一几何量时，误差
的大小和符号均不变，或按一定规律变化的测量误差。
前者称定值系统误差，后者称变值系统误差，例如，千分尺的零 位不正确引起的误差是定值系统误差，分度盘偏心所引起的按正弦规律 周期变化的误差是变值系统误差。
例如，机械比较仪为简化结构采用近似设计，测量杆的直线位移与 指针杠杆的角位移不成正比，这时，若标尺的等分刻度代替其理论上的 不等分刻度，就会产生原理性的示值误差。
又如，传动系统元件制造不准确所引起的放大比误差；传动系统元 件接触间隙引起读数不稳定误差以及磨损等因素都会产生测量误差。
（2）测量方法误差。