电路原理-相量法

j >0， u超前i，或i 落后u ，u 比i先到达最大值。 u, i u i
u i
j
O
t
j <0， i 超前 u，或u 滞后 i ，i 比 u 先到达最大值。
特殊相位关系：
①j ＝ 0， 同相 u, i u i ②j = (180 ) ，反相 u, i u 0 u, i u i 0 i t
除法：模相除，角相减
(3.41 j3.657) (9.063 j 4.226)
12.47 j 0.569 12.48 2.61
③ 旋转因子
Im
复数 ejθ =cosθ +jsinθ =1∠θ
F• e j 相当于F逆时针旋转一个角度θ ， ejθ 称为旋转因子。
o
0
t
③j = /2，正交
t
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
例
计算下列两正弦量的相位差。
(1)
i1 ( t ) 10cos(100 t 3 4) i2 ( t ) 10cos(100 t 2)
j 3 4 ( 2) 5 4 0
j 2 5 4 3 4
0
1 2
不能比较相位差
i2 (t ) 3 cos(100t 1500 )
j 300 (1500 ) 1200
i2 ( t ) 3cos(100 t 300 )
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号， 且在主值范围比较。
4. 周期性电流、电压的有效值 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了 衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。
0 Im
jI
F• ej

F Re
而模不变。故把
几种不同值时的旋转因子
I
0
jI


2
e
j

2
cos

2

2
j sin

2
j


2
e
j
cos( ) j sin( ) j 2 2


I
Re
j e cos( ) j sin( ) 1
两种表示法的关系
2 2
F a jb
F | F |
Im b 0
-b F |F|
| F | a b a | F | cos 或 b θ arctg b |F|sin a
几个常用概念

a
Re
F*
Re[F] a Im[F] b
2. 复数运算
F a jb | F |
*
①加减运算——必须采用代数形式 Im 若 则 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 F1+F2=(a1+a2)+j(b1+b2)
0 F2
平行四边 形法
F1
Re
② 乘除运算——宜采用极坐标形式
F1 | F1 | 1
F2 | F2 | 2
则: F1 F2 F1 e j1 F2 e j2 F F e j (1 2 ) 1 2
j1
F1 F2 1 2 乘法：模相乘，角相加
F1 j (1 2 ) F1 F1 F1 e e 1 2 j 2 F2 F2 F2 e F2
例1. 547 10 25 ? 解
周期电流、电压有效值(effective value)定义
物 理Baidu Nhomakorabea意 义
直流I
R
交流i
R
W RI T
2
W Ri (t )dt
2 0
T
电流有效 值定义为
1 T 2 I i (t )dt T 0
def
有效值也称均方根值 (root-mean-square)
1 同样，可定义电压有效值： U T
(2)
i1 ( t ) 10cos(100 t 30 )
0
i2 (t ) 10 cos(100t 1050 )
j 300 (1050 ) 1350
i2 ( t ) 10sin(100 t 150 ) (3) u1 ( t ) 10cos(100 t 300 ) u2 ( t ) 10cos(200 t 450 ) (4) i1 ( t ) 5cos(100 t 30 )
8.1 复数
1. 复数的表示形式
Im b 向量 0 a Re 0 F
F=a+jb
( j 1 为虚单位）
Im b F |F|

①代数形式 ②三角形式
F a jb F | F | (cos j sin )
F | F | e j
F | F |
a
Re
③指数形式
④极坐标形式
2. 正弦量的三要素
i(t)=Imcos( t+ i)
(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im 反映正弦量变化幅度的大小。 (2) 角频率(angular frequency)ω 相位随时间变化的角速度。 相位： t+ i 峰峰值=2Im
2 f 2 T
8.2
正弦量
1. 正弦量 电路中按正弦规律变化的电压或电流
i 瞬时值表达式： 波形： T O
i(t)=Imcos(w t+i)
周期T (period)和频率f (frequency) :
i
t
1 f T
周期T ：重复变化一次所需的时间。单位：s，秒 频率f ： 每秒重复变化的次数。 单位：Hz，赫兹
def

T
0
u ( t )dt
2
正弦电流、电压的有效值
设 i(t)=Imcos( t+ )
1 I T


T
0
T
I cos ( t ) dt
2 m 2
0
1 cos 2( t ) 1 dt t 2 2
T 0
t=0时的相位，
单位：rad/s，弧度/秒
i Im O T 2
(3) 初相位(initial phase angle) i
i 180

i
tt
3. 同频率正弦量的相位差 (phase difference)
设 u(t)=Umcos(wt+u), i(t)=Imcos(wt+ i) 则 相位差 ： j = (wt+ u )- (wt+ i )= u - i 等于初相位之差 规定： |j | (180°)