沪科版九年级上数学测试卷及答案《第23章 二次函数(23.1—23.5)》测试卷
沪科版九年级数学上册第23章测试题(含答案)
沪科版九年级数学上册第23章测试题（含答案）(考试时间：120分钟满分：150分)姓名：______班级：______分数：______一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．1．计算：2sin 30°＝(A) A．1 B. 2 C．2 D．222．在Rt△ABC，∠C＝90°，sin B＝35，则sin A的值是(B)A.35 B.45 C.53 D.543．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，若BC＝m，则AB 的长为(A)A.mcos αB．m·cosαC．m·sin αD．m·tan α4．某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i＝1 ∶3，坝外斜坡的坡度i＝1 ∶1，则两个坡角的和为( C) A．90°B．60°C．75°D．105°5．如图，要测量小河两岸相对的A，B两点之间的距离，可以在小河边取AB的垂线BC上的一点D，若测得BD＝60米，∠ADB＝40°，则AB等于(A) A．60tan 40°米B．60tan 50°米C．60sin 40°米D．60sin 50°米第5题图第6题图第8题图6．如图，已知在平面直角坐标系x Oy内有一点A(2，3)，那么OA与x轴正半轴的夹角α的余弦值是(D)A.32 B.23 C.31313 D.213137．在△ABC中，cos B＝sin(∠B－30°)＝sin(90°－∠A)，那么△ABC是(B) A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形8．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4 km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船与观测站之间的距离(即OB的长)为(C) A．4 3 km B．(3＋1)kmC．2(3＋1)km D．(3＋2)km9．在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，则cos A的值等于(C)A.35 B.74 C.45或74 D.45或27710．★如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，E为AC上一点，连接DE，并过点D作FD⊥ED，垂足为D，交BC于点F.若AC＝BC＝14，AE∶EC＝4 ∶3，则tan∠EFC的值为(D)A.23 B.32 C.43 D.34第10题图第13题图第14题图二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．已知：tan α＝33，则锐角α＝30° .12．比较大小：cos 35°＜sin 65°.13．如图，河流两岸a，b互相平行，点A，B是河岸a上的两座建筑物，点C，D是河岸b上的两点，A，B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC＝75°，∠BPD＝30°，则河流的宽度约为100 米．14．★如图，点D在钝角△ABC的边BC上，连接AD，∠B＝45°，∠CAD＝∠CDA，CA ∶CB＝5 ∶7，则∠BAD的余弦值为25 5.三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15．计算：(1)cos245°＋sin 60°·tan 30°－tan 30°；解：原式＝12＋12－33＝1－3 3.(2)sin 60°＋tan 45°cos 30°－2sin 30°.解：原式＝32＋1 32－1＝－7－4 3.16.在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)已知∠A＝60°，b＝103，求a，c；(2)已知c＝23，b＝3，求a，∠A.解：(1)a＝b tan 60°＝30；c＝bcos 60°＝20 3.(2)a＝c2－b2＝ 3.∵sin A＝ac＝12，∴∠A＝30°.四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．如图，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AB＝32，AD⊥BC于D，求CD.解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ADB中，∵∠B＝45°，∴AD＝BD＝AB sin B＝3.在Rt△ADC中，∵∠C＝60°，∴CD＝ADtan C＝ 3.18．某商场为了方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式扶梯AB长为10 m，坡角∠ABD＝30°；改造后斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB＝9°，请计算改造后的斜坡AC的长度．(结果精确到0.01，参考数据：sin 9°≈0.156，cos 9°≈0.988，tan 9°≈0.158)解：在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝10 m，∴AD＝AB sin∠ABD＝10×sin 30°＝5(m)，在Rt△ACD中，∠ACD＝9°，sin 9°＝AD AC，∴AC＝5sin 9°＝50.156≈32.05(m)，答：改造后的斜坡AC的长度为32.05米．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD 的A，C两点测得该塔顶端F的仰角分别为α和β，矩形建筑物宽度AD＝20 m，高度DC＝33 m.(1)试用α和β的三角比表示线段CG的长；(2)如果α＝48°，β＝65°，请求出信号发射塔顶端到地面的高度FG的值．(结果精确到1 m，参考数据：sin 48°＝0.7，cos 48°＝0.7，tan 48°＝1.1，sin 65°＝0.9，cos 65°＝0.4，tan 65°＝2.1)解：(1)过D作DE⊥FG于E，设CG＝x m，由图可知EF＝(x＋20)·tan α，FG＝x·tan β，则(x＋20)tan α＋33＝xtan β，解得x＝33＋20tan αtan β－tan α.∴CG＝33＋20tan αtan β－tan αm.(2)x＝33＋20tan αtan β－tan α＝33＋20×1.12.1－1.1＝55，则FG＝x·tan β＝55×2.1＝115.5≈116.答：该信号发射塔顶端到地面的高度FG约是116 m. 20．如图，一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上，之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？错误!解：过C作AB的垂线，交直线AB于点D，得到Rt△ACD与Rt△BCD.设CD＝x海里，在Rt△BCD中，tan∠CBD＝CD BD，∴BD＝xtan 63.5°，在Rt△ACD中，tan A＝CD AD，∴AD＝xtan 21.3°，∴AD－BD＝AB，即xtan 21.3°－xtan 63.5°＝60，解得x＝30.BD＝30tan 63.5°＝15.答：轮船继续向东航行15海里，距离小岛C最近．六、(本题满分12分)21．某工厂生产某种多功能儿童车，根据需要可变形为图①的滑板车或图②的自行车，已知前后车轮半径相同，AD＝BD＝DE＝30 cm，CE＝40 cm，车杆AB与BC所成的∠ABC ＝53°，图①中B，E，C三点共线，图②中的座板DE与地面保持平行．问变形前后两轴心BC的长度有没有发生变化？若不变，请写出BC的长度；若变化，请求出变化量．(参考数据：sin 53°≈45，cos 53°≈35，tan 53°≈45)解：如图①，过点D作DF⊥BE于点F，由题意知BD＝DE＝30 cm，∴BF＝BD cos∠ABC＝30×35＝18(cm)，∴BE＝2BF＝36 cm，则BC＝BE＋CE＝76 cm，如图②，过点D作DM⊥BC于M，过点E作EN⊥BC于点N，由题意知四边形DENM是矩形，∴MN＝DE＝30 cm，在Rt△DBM中，BM＝BD cos∠ABC＝30×35＝18(cm)，EN＝DM＝BD sin∠ABC＝30×45＝24(cm)，在Rt△CEN中，∵CE＝40 cm，∴由勾股定理可得CN＝32 cm，则BC＝18＋30＋32＝80 cm，80－76＝4 cm.答：BC的长度发生了改变，增加了4 cm.七、(本题满分12分)22．如图，在△ABC中，∠A＝90°，sin B＝35，点D在边AB上，若AD＝AC，求tan∠BCD的值．解：作DH⊥BC于H.∵∠A＝90°，sin B＝ACBC＝35，设AC＝3k，BC＝5k，则AB＝4k.∵AC＝AD＝3k，∴BD＝k.∵∠B＝∠B，∠DHB＝∠A，∴△BHD∽△BAC，BDBC＝DHAC＝BHAB，∴DH＝35k，BH＝45k，∵CH＝BC－BH＝215k，∴tan∠BCD＝DHCH＝17.八、(本题满分14分)23．【阅读新知】三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即：如图①，在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，则有：a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.利用这个结论可求解下列问题：例：在△ABC中，已知a＝23，b＝22，c＝6＋2，求∠A.解：∵a2＝b2＋c2－2bc cos A，cos A＝b2＋c2－a22bc＝（22）2＋（6＋2）2－（23）22×22×（6＋2）＝12.∴∠A＝60°.【应用新知】(1)在△ABC中，已知b＝c cos A，a＝c sin B，试判断△ABC 的形状；(2)如图②，某客轮在A处看港口D在客轮的北偏东50°，A 处看灯塔B在客轮的北偏西30°，距离为2 3 海里，客轮由A处向正北方向航行到C处时，再看港口D在客轮的南偏东80°，距离为6海里．求此时C处到灯塔B的距离．解：(1)∵b＝c cos A，a＝c sin B，∴cos A＝bc，sin B＝ac，∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－2bc×b c＝c2－b2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∴a＝c sin B＝b，∴△ABC是等腰直角三角形．(2)∵∠ADC＝180°－80°－50°＝50°，∴CA＝CD＝6，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(23)2＋62－2×23×6×3 2＝12，∴BC＝2 3.答：C处到灯塔B的距离为2 3 海里．。
泸科版九年级数学上册第23章达标检测卷附答案
泸科版九年级数学上册第23章达标检测卷一、选择题(每题4分，共40分)1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sin B的值是()A.512 B.125 C.513 D.12132．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则cos A的值是()A.45 B.35 C.34 D.133．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sin A＝35，则斜边上的高等于()A.165 B.125 C.6425 D.48254．如图是边长为1的小正方形组成的网格图，其中点A，B，C均为格点，则sin ∠BAC为()A.22 B.55 C.105 D.10105．如图，在△ABC中，sin B＝13，tan C＝2，AB＝3，则AC的长为()A. 2B.52 C. 5 D．26．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝8，BC＝10，则tan∠EFC等于()A.34 B.43 C.35 D.457．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一条隧道(B，C在同一水平面上)．为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为()A．100 3 m B．50 2 m C．50 3 m D.1003 3 m8．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1：2，则等腰三角形顶角的度数为( )A ．30°B ．150°C ．60°或120°D ．30°或150°9．如图，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，在斜边CB 上取点M ，N (不与C ，B 两点重合)，且tan B ＝tan C ＝tan ∠MAN ＝1，设MN ＝x ，BM ＝n ，CN ＝m ，则以下结论能成立的是( ) A ．m ＝nB ．x ＝m ＋nC ．x ＞m ＋nD ．x 2＝m 2＋n 210．如图，在一个宽度为AB 长的小巷内，一个梯子的长为a ，梯子的底端位于AB 上的点P 处，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点C 处，点C 到AB 的距离(BC 的长)为b ，梯子的倾斜角∠BPC 为45°；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点D 处，点D 到AB 的距离(AD 的长)为c ，且此时梯子的倾斜角∠APD 为75°，则AB 的长等于( ) A ．aB ．bC.b ＋c2D ．c二、填空题(每题5分，共20分)11．已知△ABC ，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A －12与(tan B －3)2互为相反数，则∠C 的度数是________．12．已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A ，B 两点，将这条抛物线的顶点记为C ，连接AC ，BC ，则tan ∠CAB 的值为________．13．如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，M ，N 两点关于对角线AC 对称，若DM ＝1，则tan ∠ADN ＝________．14．如图，已知点A (5 3，0)，直线y ＝x ＋b (b ＞0)与y 轴交于点B ，连接AB .若α＝75°，则b ＝________．三、解答题(15～18题每题8分；19，20题每题10分；21，22题每题12分；23题14分，共90分)15．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1＋(π－3)0＋|1－2|＋tan 45°； (2)(cos 60°)－1÷(－1)2 022＋|2－8|－22＋1×(tan 30°－1)0.16．根据下列条件，求出Rt △ABC (∠C ＝90°)中未知的边和锐角．(1)BC ＝8，∠B ＝60°； (2)∠B ＝45°，AC ＝ 6.17．如图，将一副三角尺叠放在一起，测得AB ＝12，试求阴影部分的面积．18．如图，已知▱ABCD，E是BC边上的一点，将边AD延长至点F，使∠AFC ＝∠DEC.(1)求证：四边形DECF是平行四边形；(2)若AB＝13，DF＝14，tan A＝125，求CF的长．19．如图，合肥市某中学九年级数学兴趣小组要测量校园主教学楼AB的高度．由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点D，用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为30°，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E 处(D，E，B三点在同一直线上)，又测得主教学楼顶端A的仰角为60°，已知测角器CD的高度为1.6米，请计算主教学楼AB的高度．(3≈1.73，结果精确到0.1米)20．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC，AD＝7，tan A＝2.求CD的长．21．如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆．拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米处安置测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°.已知测角仪AB的高为1.5米，求拉线CE的长．(结果保留根号)22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋ax＋b交x轴于A(1，0)，B(3，0)两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C.(1)求抛物线y＝－x2＋ax＋b的表达式；(2)当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，求sin∠OCB的值．23．如图，有一艘渔船在作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附近两个小岛A，B上的观测点进行观测．从A岛测得渔船在南偏东37°方向的C处，B 岛在南偏东66°方向；从B岛测得渔船在正西方向．已知两个小岛间的距离为72海里．A岛上维修船的速度为20海里/时，B岛上维修船的速度为28.8海里/时．为及时赶到维修，调度中心应派遣哪个岛上的维修船前去维修？(参考数据：cos 37°≈0.8，sin 37°≈0.6，sin 66°≈0.9，cos 66°≈0.4)答案一、1.D2．B 【点拨】由余弦定义可得cos A ＝AC AB ，∵AB ＝10，AC ＝6，∴cos A ＝610＝35，故选B. 3．D 4.D5．B 【点拨】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，如图，则∠ADC ＝∠ADB ＝90°.∵tan C ＝2＝AD DC ，sin B ＝13＝AD AB ， ∴AD ＝2DC ，AB ＝3AD . ∵AB ＝3， ∴AD ＝1，DC ＝12.在Rt △ADC 中，由勾股定理得AC ＝AD 2＋DC 2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52，故选B.6．A 7.A8．D 【点拨】有两种情况．当顶角为锐角时，如图①，sin A ＝12，所以∠A ＝30°；当顶角为钝角时，如图②，sin (180°－∠BAC )＝12，所以180°－∠BAC ＝30°，所以∠BAC ＝150°.9．D10．D 【点拨】过点C 作CE ⊥AD 于点E ，如图，则四边形ABCE 是矩形，∴AB ＝CE ，∠CED ＝∠DAP ＝90°. ∵∠BPC ＝45°，∠APD ＝75°，∴∠CPD ＝180°－45°－75°＝60°. 又∵CP ＝DP ＝a ， ∴△CPD 是等边三角形． ∴CD ＝DP ，∠PDC ＝60°. ∵∠ADP ＝90°－75°＝15°， ∴∠EDC ＝15°＋60°＝75°. ∴∠EDC ＝∠APD . 在△EDC 和△APD 中，⎩⎨⎧∠CED ＝∠DAP ，∠EDC ＝∠APD ，CD ＝DP ，∴△EDC ≌△APD (AAS )． ∴CE ＝AD .∴AB ＝AD ＝c .故选D .二、11.90° 【点拨】由题意得sin A ＝12，tan B ＝3，因为是在△ABC 中，所以∠A ＝30°，∠B ＝60°，所以∠C 的度数是90°. 12．213.43 【点拨】如图，过点N 作NG ⊥AD 于点G .∵正方形ABCD 的边长为4，点M ，N 关于AC 对称，DM ＝1，∴MC ＝NC ＝3，∴GD ＝3.而GN ＝AB ＝4，∴tan ∠ADN ＝GN GD ＝43.14．5 【点拨】设直线y ＝x ＋b (b ＞0)与x 轴交于点C ， 易得C (－b ，0)，B (0，b )， ∴OC ＝OB ＝b ，∴∠BCO ＝45°. 又∵α＝75°， ∴∠BAO ＝30°.在Rt △AOB 中，∠BAO ＝30°，又易知OA ＝5 3， ∴OB ＝OA ·tan ∠BAO ＝5 3×33＝5，∴b ＝5. 三、15.解：(1)原式＝－2＋1＋2－1＋1＝2－1.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1÷1＋22－2－2(2－1)×1＝2＋22－2－22＋2＝2.16．解：(1)∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°. ∵sin A ＝BCAB ，BC ＝8， ∴sin 30°＝8AB ＝12， ∴AB ＝16， 又∵cos A ＝AC AB ， ∴cos 30°＝AC 16＝32， ∴AC ＝8 3.(2)∵∠B ＝45°，∠C ＝90°， ∴∠A ＝45°， ∴BC ＝AC ＝6，∴AB ＝BC 2＋AC 2＝2 3.17．解：∵∠B ＝30°，∠ACB ＝90°，AB ＝12， ∴AC ＝6.易知BC ∥ED ， ∴∠AFC ＝∠ADE ＝45°， ∴AC ＝CF ＝6. ∴S △ACF ＝12×6×6＝18， 即阴影部分的面积为18.18．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC . ∴∠ADE ＝∠DEC . 又∵∠AFC ＝∠DEC ， ∴∠AFC ＝∠ADE ， ∴DE ∥FC .∴四边形DECF 是平行四边形．(2)解：过点D 作DH ⊥BC 于点H ，如图．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠BCD ＝∠A ，AB ＝CD ＝13. 又∵tan A ＝125＝tan ∠DCH ＝DH CH ， ∴DH ＝12，CH ＝5.∵四边形DECF 是平行四边形， ∴DF ＝EC ，DE ＝CF . ∵DF ＝14， ∴CE ＝14.∴EH ＝9. ∴DE ＝92＋122＝15. ∴CF ＝DE ＝15.19．解：在Rt △AFG 中，tan ∠AFG ＝AGFG ， ∴FG ＝AG tan ∠AFG ＝33AG ，在Rt △ACG 中，tan ∠ACG ＝AGCG ， ∴CG ＝AGtan ∠ACG ＝3AG .又∵CG －FG ＝24米， 即3AG －33AG ＝24米， ∴AG ＝123米，∴AB ＝123＋1.6≈22.4(米)， 即主教学楼AB 的高度约为22.4米． 20．解：如图，延长AB ，DC 交于点E ， ∵∠ABC ＝∠D ＝90°， ∴∠A ＋∠DCB ＝180°， 又∵∠ECB ＋∠DCB ＝180°， ∴∠A ＝∠ECB ， ∴tan A ＝tan ∠ECB ＝2. ∵AD ＝7，∴DE ＝AD ·tan A ＝14，设BC ＝AB ＝x ，则BE ＝BC ·tan ∠ECB ＝2x ，∴AE ＝3x ，CE ＝5x .在Rt △ADE 中，由勾股定理得：(3x )2＝72＋142，解得x ＝73 5，∴CE ＝5×73 5＝353，则CD ＝14－353＝73.21．解：如图，过点A 作AM ⊥CD ，垂足为M .∴AM ＝BD ＝6米， MD ＝AB ＝1.5米．在Rt △ACM 中，tan 30°＝CMAM ，∴CM ＝AM ·tan 30°＝6×33＝2 3(米)． ∴CD ＝CM ＋MD ＝(2 3＋1.5)米． 在Rt △CED 中，sin 60°＝CD CE ， 即32＝2 3＋1.5CE ， ∴CE ＝(4＋3)米．故拉线CE 的长为(4＋3)米．22．解：(1)将点A ，B 的坐标分别代入y ＝－x 2＋ax ＋b 可得， ⎩⎨⎧0＝－12＋a ＋b ，0＝－32＋3a ＋b ， 解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－3，∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋4x －3. (2)∵点C 在y 轴上， ∴点C 的横坐标为0， ∵点P 是线段BC 的中点， ∴点P 的横坐标为x P ＝0＋32＝32， ∵点P 在抛物线y ＝－x 2＋4x －3上，∴y P ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋4×32－3＝34， ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，34.(3)∵点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，34，且点P 是线段BC 的中点，∴点C 的纵坐标为2×34－0＝32， ∴点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，∴BC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋32＝352， ∴sin ∠OCB ＝OB BC ＝3352＝255.23．解：如图，作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于点D .在Rt △ADB 中，AD ＝AB ·cos ∠BAD ＝72×cos 66°≈72×0.4＝28.8(海里)， BD ＝AB ·sin ∠BAD ＝72×sin 66°≈72×0.9＝64.8(海里)． 在Rt △ADC 中，AC ＝AD cos ∠DAC≈28.8cos 37°≈28.80.8＝36(海里)．CD ＝AC ·sin ∠CAD ≈36×sin 37°≈36×0.6＝21.6(海里)， ∴BC ＝BD －CD ≈64.8－21.6＝43.2(海里)， ∴A 岛上维修船赶到C 处需要的时间 t A ＝AC 20≈3620＝1.8(时)，B 岛上维修船赶到C 处需要的时间 t B ＝BC 28.8≈43.228.8＝1.5(时)． ∵t A ＞t B ，∴调度中心应派遣B 岛上的维修船前去维修．沪科版九年级数学上册期末测试卷一、选择题(每题4分，共40分)1.2sin 60°的值等于()A．1 B. 2 C. 3 D．22．下列函数属于二次函数的是()A．y＝2x－1 B．y＝x2＋2x－3C．y＝1x2＋3 D．y＝5x3．抛物线y＝3x2－3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为() A．y＝3(x－3)2－3 B．y＝3x2C．y＝3(x＋3)2－3 D．y＝3x2－64．在R t△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝15，则∠A＝() A．90°B．60°C．45°D．30°5．若点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)都是反比例函数y＝－1x图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是()A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x2＜x1＜x3D．x2＜x3＜x16．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶9，则S△BDE与S△CDE的比是()A．1∶3 B．1∶2C．1∶4 D．1∶97．下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：x 1 1.1 1.2 1.3 1.4y－1 －0.49 0.04 0.59 1.16那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是()A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.38．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论中正确的是() A．abc＞0 B．2a－b＝0C．2a＋b＝0 D．a－b＋c＞0(第8题) (第9题)9．如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A2 020A2 021，过点A1、A2、A3、…、A2 020、A2 021分别作x轴的垂线与反比例函数y＝2x(x≠0)的图象相交于点P1、P2、P3、…、P2 020、P2 021，得直角三角形OP1A1、A1P2A2、A2P3A3、…、A2 020P2 021A2 021，并设其面积分别为S1、S2、S3、…、S2 020、S2 021，则S2 021的值为()A.12 020 B.12 021 C.11 010 D.22 02110．如图，正方形ABCD的边长为3 cm，动点P从B点出发以3 cm/s的速度沿着边BC→CD→DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，则y关于x的函数图象是()二、填空题(每题5分，共20分)11．若抛物线y＝ax2＋k与y＝3x2的形状和开口方向相同，且其顶点坐标是(0，1)，则其表达式为____________________．12．若ab＝cd＝ef＝2，且b＋d＋f＝4，则a＋c＋e＝________．13．已知α是锐角，若sin α＝cos 15°，则α＝________°.14．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，AD ＝2 cm ，AB ＝7 cm ，BC ＝3 cm ，试在AB 边上确定P 的位置，使得以P 、A 、D 为顶点的三角形与以P 、B 、C 为顶点的三角形相似，则AP 的长是__________________________． 三、(每题8分，共16分)15．计算：2cos 45°－tan 60°＋sin 30°－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12 .16．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在AC 上，∠BDC ＝45°，BD ＝102，AB ＝20. (1)求BC 的长； (2)求AC 的长； (3)求∠A 的大小．四、(每题8分，共16分)17．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 的一些对应值如表：x … －1 0 1 2 3 4 … y ＝ax 2＋bx ＋c…3－13…(1)根据表格中的数据，确定二次函数的表达式；(2)补全表格中空白处的对应值并利用表格，用五点作图法，在图中画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象；(不必重新列表)(3)根据图象回答：①当1≤x≤4时，求y的取值范围；②当x取何值时，y＞0?18．如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°，现有一架长为6 m的梯子AB，当梯子底端离墙面的距离AC＝2 m时，此时人是否能够安全地使用这架梯子？(参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26)五、(每题10分，共20分)19．如图，已知△ABD∽△ACE.求证：(1)∠DAE＝∠BAC；(2)△DAE∽△BAC.20．如图，已知A(－4，2)，B(n，－4)是一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝mx(m≠0)的图象的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)根据图象写出使一次函数的函数值小于反比例函数的函数值的x的取值范围．六、(12分)21．如图，图中的小方格是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．(1)画出位似中心点O；(2)求出△ABC与△A′B′C′的相似比；(3)以点O为位似中心，在图中画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比等于3∶2.七、(12分)22．某公司生产a型活动板房的成本是每个425元．图①表示a型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4 m，宽AB＝3 m，抛物线的最高点E到BC的距离为4 m.(1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2＋m(k≠0)表示．求该抛物线的函数表达式；(2)现将a型活动板房改造为b型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2.已知GM＝2 m，求每个b型活动板房的成本是多少？(每个b型活动板房的成本＝每个a型活动板房的成本＋一扇窗户FGMN的成本)(3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的b型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个b型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n(元)定为多少时，每月销售b 型活动板房所获利润w(元)最大？最大利润是多少？八、(14分)23．如图，R t△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB ＝∠BPC＝135°.(1)求证：△P AB∽△PBC；(2)求证：P A＝2PC；(3)若点P到三角形的三边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证：h12＝h2·h3.答案一、1．C2．B 点拨：A.y ＝2x －1是一次函数，故A 错误；B.y ＝x 2＋2x －3是二次函数，故B 正确；C.y ＝1x 2＋3中自变量x 的指数为－2，故C 错误；D.y ＝5x 是反比例函数，故D 错误．故选B. 3．A4．D 点拨：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝15，∴tan A ＝BC AC ＝515＝33.又∵tan 30°＝33， ∴∠A ＝30°.故选D.5．D 点拨：∵反比例函数y ＝－1x 中k ＝－1＜0，∴此函数的图象在第二、四象限，且在每一象限内y 随x 的增大而增大． ∵y 1＜0＜y 2＜y 3，∴点(x 1，y 1)在第四象限，(x 2，y 2)、(x 3，y 3)两点均在第二象限， ∴x 2＜x 3＜x 1.故选D. 6．B 点拨：∵DE ∥AC ，∴△DOE ∽△COA . 又S △DOE ∶S △COA ＝1∶9， ∴DE AC ＝13. ∵DE ∥AC ， ∴BE BC ＝DE AC ＝13， ∴BE CE ＝12，∴S △BDE 与S △CDE 的比是1∶2.故选B. 7．C8．C 点拨：A.由抛物线的开口向下知a ＜0，∵对称轴为直线x ＝－b2a ＞0，a＜0，∴a 、b 异号，即b ＞0.∵由图象知抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0， ∴abc ＜0，故本选项不符合题意； B ．∵a ＜0，b ＞0，∴2a －b ＜0，故本选项不符合题意； C ．由图象可知，对称轴是直线x ＝1， ∴－b2a＝1，∴2a ＋b ＝0，故本选项符合题意；D ．根据图象的对称性可知当x ＝－1时，y ＜0，即a －b ＋c ＜0，故本选项不符合题意，故选C.9．B 点拨：因为OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝A 3A 4＝A 4A 5，所以由k 的几何意义得，S 1＝1，S 2＝12S 1＝12， S 3＝13S 1＝13， S 4＝14S 1＝14， S 5＝15S 1＝15，… 依次类推：S n 的值为1n . 当n ＝2 021时，S 2 021＝12 021. 故选B.10．C 点拨：由题意可得BQ ＝x .①0≤x ≤1时，P 点在BC 边上，BP ＝3x ， 则△BPQ 的面积＝12BP ·BQ ， 即y ＝12·3x ·x ＝32x 2，故A 选项错误； ②1＜x ≤2时，P 点在CD 边上， 则△BPQ 的面积＝12BQ ·BC ，即y ＝12·x ·3＝ 32x ，故B 选项错误；③2＜x ≤3时，P 点在AD 边上，AP ＝9－3x ， 则△BPQ 的面积＝12AP ·BQ ，即y ＝12·(9－3x )·x ＝92x －32x 2，故D 选项错误．故选C. 二、11．y ＝3x 2＋112．8 点拨：由a b ＝c d ＝ef ＝2及等比性质知，a ＋c ＋e b ＋d ＋f＝a ＋c ＋e 4＝2，∴a ＋c ＋e ＝8. 故答案为8.13．75 点拨：∵sin α＝cos 15°，∴α＝90°－15°＝75°. 故答案为75. 14.145 cm 或1 cm 或6 cm点拨：设AP ＝x ，则BP ＝7－x . ∵AD ∥BC ，∠A ＝90°， ∴∠B ＝∠A ＝90°.当∠APD ＝∠BPC 时，△APD ∽△BPC ， ∴AP BP ＝AD BC ，即x 7－x ＝23，解得x ＝145；当∠APD ＝∠BCP 时，△APD ∽△BCP ，∴AP BC ＝AD PB ，即x 3＝27－x，解得x ＝1或x ＝6.综上所述，当AP 的长为145 cm 或1 cm 或6 cm 时，以P 、A 、D 为顶点的三角形与以P 、B 、C 为顶点的三角形相似．故答案为145 cm 或1 cm 或6 cm.三、15．解：原式＝2×22－3＋12－12＝2－ 3. 16．解：(1)在Rt △BCD 中，∵sin ∠BDC ＝BC BD ，∴BC ＝BD ·sin ∠BDC ＝102×22＝10.(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝20，BC ＝10， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝10 3. (3)在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AB ＝12， 又∵∠A 为锐角，∴∠A ＝30°.四、17.解：(1)∵由表格可知，x ＝0时，y ＝3；x ＝2时，y ＝－1；x ＝4时，y ＝3，∴⎩⎨⎧c ＝3，4a ＋2b ＋c ＝－1，16a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝3.∴二次函数的表达式为y ＝x 2－4x ＋3. (2)补全表格：x … －1 0 1 2 3 4 … y ＝ax 2＋bx ＋c …83－13…函数图象如图所示：(3)①由(2)的函数图象可知，当 1≤x ≤4时，y 的取值范围是－1≤y ≤3； ②由函数图象可知，当x ＜1或x ＞3时，y ＞0. 18．解：在Rt △ABC 中，∵cos α＝AC AB ， ∴AC ＝AB ·cos α，当α＝50°时，AC ＝AB ·cos 50°≈6×0.64＝3.84(m)， 当α＝75°时，AC ＝AB ·cos 75°≈6×0.26＝1.56(m)．即要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子底端离墙面的距离应该在1.56 m ～3.84 m 之间，故当梯子底端离墙面的距离AC ＝2 m 时，人能够安全地使用这架梯子．五、19.证明：(1)∵△ABD ∽△ACE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，∴∠BAD ＋∠BAE ＝∠BAE ＋∠CAE ， ∴∠DAE ＝∠BAC . (2)∵△ABD ∽△ACE ， ∴AD AE ＝AB AC ， ∴AD AB ＝AE AC .又∵∠DAE ＝∠BAC ， ∴△DAE ∽△BAC .20．解：(1)把A (－4，2)代入y ＝mx 中，得m ＝－8，则反比例函数的表达式是y ＝－8x . 把(n ，－4)代入y ＝－8x ，得n ＝2， 则点B 的坐标是(2，－4)．把A (－4，2)，B (2，－4)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧－4k ＋b ＝2，2k ＋b ＝－4，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝－2，则一次函数的表达式是y ＝－x －2.(2)由图象及(1)可知使一次函数的函数值小于反比例函数的函数值的x 的取值范围是－4＜x ＜0或x ＞2.六、21．解：(1)如图所示，点O 即为所求．(2)△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为OA OA ′＝612＝12. (3)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求．七、22．解：(1)∵AD ＝4 m ，∴D (2，0)．由题意知EH ＝4 m ，OH ＝AB ＝3 m ， ∴EO ＝EH －OH ＝4－3＝1(m)， ∴E (0，1)．把点D (2，0)，E (0，1)的坐标代入y ＝kx 2＋m ，得⎩⎨⎧0＝4k ＋m ，1＝m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，m ＝1，∴该抛物线的函数表达式为y ＝－14x 2＋1. (2)∵GM ＝2 m ， ∴OM ＝OG ＝1 m ，当x ＝1时，y ＝－14×12＋1＝34， ∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34，∴MN ＝34 m ，∴S 长方形FGMN ＝MN ·GM ＝34×2＝32(m 2)， ∴每个b 型活动板房的成本是 425＋32×50＝500(元)． (3)根据题意，得w ＝(n －500)⎣⎢⎡⎦⎥⎤100＋20（650－n ）10＝－2(n －600)2＋20 000， ∵每月最多能生产160个b 型活动板房， ∴100＋20（650－n ）10≤160，解得n ≥620，∵－2＜0，∴当n ≥620时，w 随n 的增大而减小， ∴当n ＝620时，w 有最大值，W 最大值＝19 200.答：公司将销售单价定为620元时，每月销售b 型活动板房所获利润最大，最大利润是19 200元．八、23．证明：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°＝∠PBA＋∠PBC.又∵∠APB＝135°，∴∠P AB＋∠PBA＝45°，∴∠PBC＝∠P AB.又∵∠APB＝∠BPC＝135°，∴△P AB∽△PBC.(2)∵△P AB∽△PBC，∴P APB＝PBPC＝ABBC.在R t△ABC中，AB＝AC2＋BC2＝2BC，∴ABBC＝2，∴PB＝2PC，P A＝2PB，∴P A＝2PC.(3)如图，过点P作PD⊥BC交BC于点D，PE⊥AC交AC于点E，PF⊥AB 交AB于点F，∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3.∵∠CPB＋∠APB＝135°＋135°＝270°，∴∠APC＝360°－270°＝90°，∴∠EAP＋∠ACP＝90°.又∵∠ACB＝∠ACP＋∠PCD＝90°，∴∠EAP＝∠PCD.又∵∠AEP＝∠CDP＝90°，∴R t△AEP∽R t△CDP，∴PEDP＝APPC＝2，即h3h2＝2，∴h3＝2h2.∵△P AB∽△PBC，∴h1h2＝ABBC＝2，∴h1＝2h2，∴h12＝2h22＝2h2·h2＝h2h3，即h12＝h2·h3.。
第23章 解直角三角形数学九年级上册-单元测试卷-沪科版(含答案)
第23章解直角三角形数学九年级上册-单元测试卷-沪科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左边），它的顶点为C 点．连接AC、BC，则tan∠CAB的值是（）A. B. C. D.22、如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（）A.2 cmB. cmC. cmD.1cm3、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=m，∠A=α，那么AC的长为（）A.m•sinαB.m•cosαC.m•tanαD.m•cotα4、如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为（）A. B.2 C. D.35、某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（）A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元6、如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°．若BC＝3 ，则弧BC的长为（）A. πB. πC. πD.3 π7、如图所示，从山顶A望地面C、D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD=100m，点C在BD上，则山高AB为（）A.100mB.100 mC.50 mD. m8、某校积极开展综合实践活动，一次九年级数学小组发现校园里有一棵被强台风摧折的大树，其残留的树桩DC的影子的一端E刚好与倒地的树梢重合，于是他们马上利用其测量旁边钟楼AB的高度．如图是根据测量活动场景抽象出的平面图形．活动中测得的数据如下：①大树被摧折倒下的部分DE＝10m；②tan∠CDE＝；③点E到钟楼底部的距离EB＝7m；④钟楼AB的影长BF＝（20 +8）m；⑤从D点看钟楼顶端A点的仰角为60°．（点C，E，B，F在一条直线上）．请你选择几个需要的数据，用你喜欢的方法求钟楼AB的高度，则AB＝（）A.15 mB.（15 +6）mC.（12 +6）mD.15m9、如图，一天晚上，小颖由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续往前走到D处时，测得此时影子DE的一端E到路灯A的仰角为45º，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯A的高度AB为( )A.3米B.4.5米C.6米D.8米10、四位学生用计算器求sin62°20′的值正确的是（）A.0 .8857B.0 .8856C.0 .8852D.0 .885111、如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC=2 ，∠AEO=120°，则EF的长度为（）A.1B.2C.D.12、如图，嘉淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60°的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地，且C地恰好位于A地正东方向上，则下列说法正确的是（）A.B地在C地的北偏西40°方向上B.A地在B地的南偏西30°方向上C.D.∠ACB＝50°13、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，则下列三角函数表示正确的是（）A.sinA=B.cosA=C.tanA=D.tanB=14、在4×5网格中，A，B，C为如图所示的格点（小正方形的顶点），则下列等式正确的是（）A.sinA=B.cosA=C.tanA=D.cosA=15、如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为60m，这栋高楼BC的高度为（）A.80 mB.60 mC.40 mD.30 m二、填空题(共10题，共计30分)16、某飞机的飞行高度为1500m，从飞机上测得地面控制点的俯角为60°，此时飞机与这地面控制点的距离为________m．17、如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B 在北偏西45°方向上，测得A在北偏东30°方向上，又测得A、C之间的距离为100米，则A、B之间的距离是________米（结果保留根号形式）.18、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2 ，则sin =________．19、已知∠A为锐角，且cosA≤，那么∠A的范围是________20、一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28km/时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东30°方向，此时，灯塔M与渔船的距离是________．21、如图，AB是⊙O的直径，已知AB=2，C，D是⊙O的上的两点，且+ = ，M 是AB上一点，则MC+MD的最小值是________．22、将一副直角三角板拼成如图所示的四边形ABCD，一边重合，若∠CAB=45°，∠CAD=30°，连接BD，则tan∠DBC=________.23、在△ABC中，∠B=30°，AB=8，AC=2 ，则BC的长为________。
沪科版九年级数学上册 第23章 测评卷及答案
沪科版九年级数学上册 第23章 测评卷及答案(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是( D )A ．sin A ＝32B ．tan A ＝12C ．cos B ＝32D ．tan B ＝ 32．计算cos60°＋33·tan60°的值是( C ) A.72 B.56 C.32 D.3＋223．已知等腰三角形的底边长为10 cm ，周长为36 cm ，那么底角的余弦等于( A )A.513B.1213C.1013D.5124．已知α为锐角，且3tan 2α－(1＋3)tan α＋1＝0，则α的度数为( C )A ．30°B ．45°C ．30°或45°D ．45°或60°5．如图所示，在数轴上点A 所表示的数的范围是( D )A.32sin30°＜x ＜sin60°B ．cos30°＜x ＜32cos45° C.32tan30°＜x ＜tan45°D.32tan45°＜x ＜4sin30°6．已知α是锐角，且tan α＝5，那么α的取值范围是( A )A ．60°＜α＜90°B ．45°＜α＜60°C ．30°＜α＜45°D ．0°＜α＜30°7．★如图所示，在△ABC 中，∠A ＝30°，tan B ＝32，AC ＝23，则AB 的长为( C )A ．3＋ 3B ．2＋2 3C ．5D ．4.58．在Rt △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠C ＝90°，∠A ＝30°，斜边上的高为1，则三角形的三边长分别是( C )A ．a ＝3，b ＝7，c ＝3B ．a ＝2，b ＝233，c ＝433C ．a ＝233，b ＝2，c ＝433D ．a ＝2，b ＝23，c ＝49．★小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上．如图所示，此时测得地面上的影长为8 米，坡面上的影长为4 米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2 米，则树的高度为( A )A ．(6＋3) 米B ．12 米C ．(4＋23) 米D ．10 米10．★某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，如图是它的侧面示意图．已知自动扶梯AB 的坡度为1∶2.4，AB 的长度是13 米，MN 是二楼楼顶，MN ∥PQ ，C 是MN 上处在自动扶梯顶端B 点正上方的一点，BC ⊥MN ，在自动扶梯底端A 处测得C 点的仰角为42°，则二楼的层高BC 约为(精确到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90)( D )A ．10.8 米B ．8.9 米C ．8.0 米D ．5.8 米第10题图第11题图第12题图二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠C ＝30°，BC ＝2＋3，tan B ＝12，那么AD 等于__1__．12．如图，一船以每小时20 海里的速度沿正东方向航行，上午八时位于A 处，这时灯塔S 位于船的北偏东45°方向，上午九时三十分位于B 处，这时灯塔S 位于船的北偏东30°处，若继13．★在直角坐标系中，有如图所示的Rt △ABO ，AB ⊥x轴于点B ，斜边AO ＝10，sin ∠AOB ＝35，反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象经过AO 的中点C ，且与AB 交于点D ，则点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫8，32．第13题图第14题图14．如图，河流两岸a 、b 互相平行，点A 、B 是河岸a 上的两座建筑物，点C 、D 是河岸b 上的两点，A 、B 的距离约为200 米．某人在河岸b 上的点P 处测得∠APC ＝75°，∠BPD ＝30°，则河流的宽度约为__100__米．三、解答题(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．计算cos 60°＋sin 60°cos 30°－sin 30°＋cos 245°－tan 45°·tan 30°. 解：原式＝12＋3232－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222－1×33＝3＋13－1＋12－33 ＝2＋3＋12－33＝52＋233.16．化简求值：（cos70°＋1）2－2（cos60°＋sin60°）2＋|sin20°－1|.解：原式＝cos70 °＋1－2(cos60 °＋sin60 °)＋1－sin20 °＝sin20 °＋1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32＋1－sin20 ° ＝1－ 3.四、解答题(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．根据下列条件，求出Rt △ABC (∠C ＝90°)中未知的边和锐角．(1)BC ＝8，∠B ＝60°；(2)∠B ＝45°，AC ＝ 6.解：(1)∠A ＝90 °－60 °＝30 °，∵sinA ＝BC AB ，∴sin30 °＝8AB ， ∴AB ＝16，∴AC ＝162－82＝83；(2)∵∠B ＝45 °，∴∠A ＝45 °，∴AC ＝BC ＝6，AB ＝2 3.18．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 在边AC 上，若DB ＝6，AD ＝12CD ，sin ∠CBD ＝23，求AD 的长和tan A 的值．解：在Rt△DBC中，∠C＝90 °，sin∠CBD＝23，DB＝6，∴CD＝DB·sin∠CBD＝6×23＝4，∴CB＝BD2－CD2＝62－42＝25，又AD＝12CD＝12×4＝2，∴AC＝AD＋CD＝2＋4＝6，在Rt△ABC中，tanA＝CBAC＝256＝53.五、解答题(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝10 km，∠CAB＝25°，∠CBA＝37°，因城市规划的需要，将在A，B两地之间修建一条笔直的公路．(1)求改直后的公路AB的长；(2)问公路改直后比原来缩短了多少千米？(参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75)(1) 解：作CH⊥AB于点H，在Rt△ACH中，CH＝AC·sin∠CAB＝AC·sin25 °≈10×0.42＝4.2(千米)，AH＝AC·cos∠CAB＝AC·cos25 °≈10×0.91＝9.1(千米)，在Rt△BCH中，BH＝CH÷tan37 °≈4.2÷0.75＝5.6(千米)，∴AB＝AH＋BH＝9.1＋5.6＝14.7(千米)．(2)在Rt△BCH中，BC＝CH÷sin37 °≈4.2÷0.60＝7.0(千米)，∴AC＋BC－AB＝10＋7－14.7＝2.3(千米)．答：改直后比原来缩短了2.3千米．20．某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，AB⊥BD，∠BAD＝18°，C在BD上，BC＝0.5 m，根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．则限高高度CE是多少米．(结果精确到0.1 m，其中sin18°＝0.3090，cos18°＝0.9511，tan18°＝0.3249)解：限高高度CE是2.6 m.六、解答题(本题满分12分)21．如图所示，在电线杆上的C 处引拉线CE ，CF 固定电线杆．拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6 米处安置测角仪AB ，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°.已知测角仪AB 的高为1.5 米，求拉线CE 的长．(结果保留根号)解：过点A 作AM ⊥CD ，垂足为M.∴AM ＝BD ＝6，AB ＝MD ＝1.5.在Rt △ACM 中，tan30 °＝CM AM， ∴CM ＝AM·tan30 °＝6×33＝23， ∴CD ＝CM ＋MD ＝23＋1.5.在Rt △CED 中，sin60 °＝CD CE， 即32＝23＋1.5CE， ∴CE ＝43＋33＝4＋ 3. 答：拉线CE 的长为(4＋3)米．七、解答题(本题满分12分)22．如图所示(图①为实景侧视图，图②为安装示意图)，在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB和CD(均与水平面垂直)，再将集热板安装在AD上．为使集热板吸热率更高，公司规定：AD与水平面夹角为θ1，且在水平面上的射影AF为1.4 m，现已测量出屋顶斜坡面与水平面夹角为θ2，并已知tanθ1＝1.082，tanθ2＝0.412.如果安装工人已确定支架AB高为25 cm，求支架CD的高．(结果精确到1 cm)解：过A作AE∥BC，交DC于点E.则∠EAF＝∠CBG＝θ2，且EC＝AB＝25 cm，在Rt△DAF中，∠DAF＝θ1，∴DF＝AFtanθ1.在Rt△EAF中，∠EAF＝θ2，∴EF＝AFtanθ2，∴DE＝DF－EF＝AF(tanθ1－tanθ2)．又∵AF＝140 cm，tanθ1＝1.082，tanθ2＝0.412，∴DE＝140×(1.082－0.412)＝93.8(cm)，∴DC＝DE＋EC＝93.8＋25＝118.8≈119(cm)．答：支架DC的高为119 cm.八、解答题(本题满分14分)23．如图，已知斜坡AB长60 m，坡角(即∠BAC)为30°，BC⊥AC.现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE(结果都精确到0.1 米，参考数据：3≈1.732)．(1)若修建的斜坡BE的坡角(即∠BEF)不大于45°，则平台DE的长最多为________m；(2)一座建筑物GH距离坡角A点27 m远(即AG＝27 m)，小明在点D测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°.点B，C，A，G，H在同一个平面内，点C，A，G在同一条直线上，且HG⊥CG，则建筑物GH高多少米？解：(1)11.0.(2)过点D作DP⊥AC，垂足为P.在Rt△DPA中，DP＝12AD＝12×30＝15，PA＝AD·cos30 °＝32×30＝15 3.在矩形DPGM中，MG＝DP＝15，DM＝PG＝153＋27，在Rt△DMH中，HM＝DM·tan30 °＝33(153＋27)＝15＋9 3.∴GH＝HM＋MG＝15＋93＋15≈45.6(m)．答：建筑物GH高约45.6 m.。
沪科版初中九年级上册数学单元检测 第23章 解直角三角形
解直角三角形测试题与答案一．选择题（共12小题）1．（•义乌市）如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是（）A．1B．1.5 C．2D．32．（•巴中）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．3．（•凉山州）在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．105°4．（•随州）如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（）A．100米B．50米C．米D．50米5．（•凉山州）拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC=10m，则坡面AB的长度是（）A．15m B．20m C．10m D．20m 6．（•百色）从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（）A．（6+6）米B．（6+3）米C．（6+2）米D．12米7．（•苏州）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A．4km B．2km C．2km D．（+1）km8．（•路北区二模）如图，△ABC的项点都在正方形网格的格点上，则cosC 的值为（）A．B．C．D．9．（•长宁区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sinB的（）A．B．C．D．（•工业园区一模）若tan（α+10°）=1，则锐角α的度数是（）10．A．20°B．30°C．40°D．50°11．（•鄂州四月调考）在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB 的值是（）A．B．C．D．12．（•邢台一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）13．（•济宁）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB 的长为_________ ．14．（•徐汇区一模）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AD⊥BD，若CD=1，BC=3，那么∠A的正切值为_________ ．15．（•虹口区一模）计算：cos45°+sin260°=_________ ．16．（•武威模拟）某人沿坡度为i=3：4斜坡前进100米，则它上升的高度是_________ 米．17．（•海门市模拟）某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量一幢建筑物AB的高度．如图，他们先在点C处测得建筑物AB 的顶点A的仰角为30°，然后向建筑物AB前进20m到达点D处，又测得点 A的仰角为60°，则建筑物AB的高度是_________ m．18．（•扬州）在△ABC中，AB=AC=5，sin∠ABC=0.8，则BC= _________ ．三．解答题（共6小题）19．（•盘锦）如图，用一根6米长的笔直钢管弯折成如图所示的路灯杆ABC，AB垂直于地面，线段AB与线段BC所成的角∠ABC=120°，若路灯杆顶端C到地面的距离CD=5.5米，求AB长．20．（•遵义）如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1：，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）21．（•哈尔滨）如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．（1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．22．（•邵阳）一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）23．（•射阳县三模）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡度为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，求树的高度．24．（•崇川区一模）如图，某登山队在山脚A处测得山顶B处的仰角为45°，沿坡角30°的斜坡AD前进1000m后到达D处，又测得山顶B处的仰角为60°．求山的高度BC．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（•义乌市）如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是（）A．1B．1.5 C．2D．3考点：锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．专题：数形结合．分析：根据正切的定义即可求解．解答：解：∵点A（t，3）在第一象限，∴AB=3，OB=t，又∵tanα==，∴t=2．故选：C．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．2．（•巴中）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．考点：互余两角三角函数的关系．专题：计算题．分析：根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA=，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B．解答：解：∵sinA=，∴设BC=5x，AB=13x，则AC==12x，故tan∠B==．故选：D．点评：本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用．3．（•凉山州）在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．105°考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数．解答：解：由题意，得 cosA=，tanB=1，∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°．故选：C．点评：此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些特殊角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理．4．（•随州）如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（）A．100米B．50米C．米D．50米考点：解直角三角形的应用．专题：几何图形问题．分析：过B作BM⊥AD，根据三角形内角与外角的关系可得∠ABC=30°，再根据等角对等边可得BC=AC，然后再计算出∠CBM的度数，进而得到CM长，最后利用勾股定理可得答案．解答：解：过B作BM⊥AD，∵∠BAD=30°，∠BCD=60°，∴∠ABC=30°，∴AC=CB=100米，∵BM⊥AD，∴∠BMC=90°，∴∠CBM=30°，∴CM=BC=50米，∴BM=CM=50米，故选：B．点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明AC=BC，掌握直角三角形的性质：30°角所对直角边等于斜边的一半．5．（•凉山州）拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC=10m，则坡面AB的长度是（）A．15m B．20m C．10m D．20m考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：计算题．分析：在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．解答：解：Rt△ABC中，BC=10m，tanA=1：；∴AC=BC÷tanA=10m，∴AB==20m．故选：D．点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．6．（•百色）从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（）A．（6+6）米B．（6+3）米C．（6+2）米D．12米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：几何图形问题．分析：在Rt△ABC求出CB，在Rt△ABD中求出BD，继而可求出CD．解答：解：在Rt△ACB中，∠CAB=45°，AB⊥DC，AB=6米，∴BC=6米，在Rt△ABD中，∵tan∠BAD=，∴BD=AB•tan∠BAD=6米，∴DC=CB+BD=6+6（米）．故选：A．点评：本题考查仰角俯角的定义，要求学生能借助仰角俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度一般．7．（•苏州）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A．4km B．2km C．2km D．（+1）km考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：几何图形问题．分析：过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=2，再由△ABD 是等腰直角三角形，得出BD=AD=2，则AB=AD=2．解答：解：如图，过点A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4，∴AD=OA=2．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°，∴BD=AD=2，∴AB=AD=2．即该船航行的距离（即AB的长）为2km．故选：C．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．8．（•路北区二模）如图，△ABC的项点都在正方形网格的格点上，则cosC 的值为（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．专题：网格型．分析：先构建格点三角形ADC，则AD=2，CD=4，根据勾股定理可计算出AC，然后根据余弦的定义求解．解答：解：在格点三角形ADC中，AD=2，CD=4，∴AC===2，∴cosC===．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值．也考查了勾股定理．9．（•长宁区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sinB的（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．分析：利用两角互余关系得出∠B=∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出即可．解答：解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD，∴sinB===，故不能表示sinB的是．故选：B．点评：此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题关键．10．（•工业园区一模）若tan（α+10°）=1，则锐角α的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．50°考点：特殊角的三角函数值．分析：根据tan30°=解答即可．解答：解：∵tan（α+10°）=1，∴tan（α+10°）=．∴α+10°=30°．∴α=20°．故选A．点评：熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键．11．（•鄂州四月调考）在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（）A．B．C．D．考点：解直角三角形．分析：首先延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，进而得出AD，CD，BC 的长，再利用锐角三角函数关系求出即可．解答：解：延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，∵∠CAB=120°，∴∠DAC=60°，∴∠ACD=30°，∵AB=4，AC=2，∴AD=1，CD=，BD=5，∴BC==2，∴sinB===．故选：B．点评：此题主要考查了解直角三角形，作出正确辅助线构造直角三角形是解题关键．12．（•邢台一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（）A．B．C．D．考点：解直角三角形．分析：在直角三角形ABC中，由AB与sinA的值，求出BC的长，根据勾股定理求出AC的长，根据面积法求出CD的长，即为斜边上的高．解答：解：根据题意画出图形，如图所示，在Rt△ABC中，AB=4，sinA=，∴BC=ABsinA=2.4，根据勾股定理得：AC==3.2，∵S△ABC=AC•BC=AB•CD，∴CD==．故选C．点评：此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．二．填空题（共6小题）13．（•济宁）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB 的长为3+．考点：解直角三角形．专题：几何图形问题．分析：过C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根据含30度角的直角三角形求出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案．解答：解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC=∠BDC=90°，∵∠B=45°，∴∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD，∵∠A=30°，AC=2，∴CD=，∴BD=CD=，由勾股定理得：AD==3，∴AB=AD+BD=3+．故答案为：3+．点评：本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．14．（•徐汇区一模）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AD⊥BD，若CD=1，BC=3，那么∠A 的正切值为．考点：锐角三角函数的定义．分析：求出∠ABC=∠ADB=90°，根据三角形内角和定理求出∠A=∠DBC，解直角三角形求出即可．解答：解：∵AB∥CD，AB⊥BC，∴DC⊥BC，∠ABC=90°，∴∠C=90°，∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°，∴∠DBC+∠ABD=∠A+∠ABD=90°，∴∠A=∠DBC，∵CD=1，BC=3，∴∠A的正切值为tanA=tan∠DBC==，故答案为：3．点评：本题考查了锐角三角函数的定义，三角形内角和定理的应用，关键是求出∠A=∠DBC和求出tan∠DBC=．15．（•虹口区一模）计算：cos45°+sin260°=．考点：特殊角的三角函数值．分析：将cos45°=，sin60°=代入求解．解答：解：原式=×+（）2=1+=．故答案为：．点评：本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟记几个特殊角的三角函数值．16．（•武威模拟）某人沿坡度为i=3：4斜坡前进100米，则它上升的高度是60 米．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：根据坡度的定义可以求得AC、BC的比值，根据AC、BC的比值和AB 的长度即可求得AC的值，即可解题．解答：解：由题意得，AB=100米，tanB==3：4，设AC=3x，则BC=4x，则（3x）2+（4x）2=1002，解得：x=20，则AC=3×20=60（米）．故答案为：60．点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，坡度的定义及直角三角形中三角函数值的计算，属于基础题．17．（•海门市模拟）某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量一幢建筑物AB的高度．如图，他们先在点C处测得建筑物AB 的顶点A的仰角为30°，然后向建筑物AB前进20m到达点D处，又测得点 A的仰角为60°，则建筑物AB 的高度是m．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：应用题．分析：设AB=x，在Rt△ABC中表示出BC，在Rt△ABD中表示出BD，再由CD=20米，可得关于x的方程，解出即可得出答案．解答：解：设AB=x，在Rt△ABC中，∠C=30°，则BC==x，在Rt△ABD中，∠ADB=60°，则BD==x，由题意得，x﹣x=20，解得：．故答案为：10．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是熟练掌握三角函数的定义，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．18．（•扬州）在△ABC中，AB=AC=5，sin∠ABC=0.8，则BC= 6 ．考点：解直角三角形；等腰三角形的性质．分根据题意做出图形，过点A作AD⊥BC于D，根据AB=AC=5，析：sin∠ABC=0.8，可求出AD的长度，然后根据勾股定理求出BD的长度，继而可求出BC的长度．解答：解：过点A作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BD=CD，在Rt△ABD中，∵sin∠ABC==0.8，∴AD=5×0.8=4，则BD==3，∴BC=BD+CD=3+3=6．故答案为：6．点评：本题考查了解直角三角形的知识，难度一般，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形以及勾股定理的应用．三．解答题（共6小题）19．（•盘锦）如图，用一根6米长的笔直钢管弯折成如图所示的路灯杆ABC，AB垂直于地面，线段AB与线段BC所成的角∠ABC=120°，若路灯杆顶端C到地面的距离CD=5.5米，求AB长．考点：解直角三角形的应用．专题：几何图形问题．分析：过B作BE⊥DC于E，设AB=x米，则CE=5.5﹣x，BC=6﹣x，根据30°角的正弦值即可求出x，则AB求出．解答：解：过B作BE⊥DC于E，设AB=x米，∴CE=5.5﹣x，BC=6﹣x，∵∠ABC=120°，∴∠CBE=30°，∴sin30°==，解得：x=5，答：AB的长度为5米．点评：考查了解直角三角形，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．20．（•遵义）如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1：，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：应用题．分析：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，根据CE=20米，坡度为i=1：，分别求出EF、CF的长度，在Rt△AEH中求出AH，继而可得楼房AB的高．解答：解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，在Rt△CEF中，∵i===tan∠ECF，∴∠ECF=30°，∴EF=CE=10米，CF=10米，∴BH=EF=10米，HE=BF=BC+CF=（25+10）米，在Rt△AHE中，∵∠HAE=45°，∴AH=HE=（25+10）米，∴AB=AH+HB=（35+10）米．答：楼房AB的高为（35+10）米．点评：本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是解题关键．21．（•哈尔滨）如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．（1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：几何图形问题．分析：（1）根据题意得：BD∥AE，从而得到∠BAD=∠ADB=45°，利用BD=AB=60，求得两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；（2）延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形，根据AF=BD=DF=60，在Rt△AFC中利用∠FAC=30°求得CF，然后即可求得CD的长．解答：解：（1）根据题意得：BD∥AE，∴∠ADB=∠EAD=45°，∵∠ABD=90°，∴∠BAD=∠ADB=45°，∴BD=AB=60，∴两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；（2）延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形，∴AF=BD=DF=60，在Rt△AFC中，∠FAC=30°，∴CF=AF•tan∠FAC=60×=20，又∵FD=60，∴CD=60﹣20，∴建筑物CD的高度为（60﹣20）米．点评：考查解直角三角形的应用；得到以AF为公共边的2个直角三角形是解决本题的突破点．22．（•邵阳）一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：几何图形问题．分析：过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．先解Rt△ACD得出CD=AC=40海里，再解Rt△CBD中，得出BC=≈50，然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到大事故船C处所需的时间．解答：解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里，∴CD=AC=40海里．在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°﹣37°=53°，∴BC=≈=50（海里），∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：50÷40=（小时）．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．23．（•射阳县三模）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡度为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，求树的高度．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可．解答：解：延长AC交BF延长线于D点，则∠CFE=30°，作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4m，∴CE=2（米），EF=4cos30°=2（米），在Rt△CED中，∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，CE=2（米），CE：DE=1：2，∴DE=4（米），∴BD=BF+EF+ED=12+2（米）在Rt△ABD中，AB=BD=（12+2）=（6+）（米）．答：树的高度为：（6+）（米）．点评：本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的性质．解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长．24．（•崇川区一模）如图，某登山队在山脚A处测得山顶B处的仰角为45°，沿坡角30°的斜坡AD前进1000m后到达D处，又测得山顶B处的仰角为60°．求山的高度BC．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：过点D作DE⊥AC，△ACB是等腰直角三角形，直角△ADE中满足解直角三角形的条件．在直角△BDF中，根据三角函数可得BF，进一步得到BC，即可求出山高．解答：解：过D分别作DE⊥AC与E，DF⊥BC于F．∵在Rt△ADE中，AD=1000m，∠DAE=30°，∴DE=AD=500m．∵∠BAC=45°，∴∠DAB=45°﹣30°=15°，∠ABC=90°﹣45°=45°．∵在Rt△BDF中，∠BDF=60°，∴∠DBF=90°﹣60°=30°，∴∠DBA=45°﹣30°=15°，∵∠DAB=15°，∴∠DBA=∠DAB，∴BD=AD=1000m，∴在Rt△BDF中，BF=BD=500m，∴山的高度BC为（500+500）m．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题的应用，根据已知得出FC，BF的长是解题关键．。
沪科版九年级上《第23章解直角三角形》测试题含答案
第23章 解直角三角形一、选择题(每小题4分，共40分) 1．在△ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝22，则sin B 等于( ) A. 12B. 22C. 32D ．1 2．如图23－Z －1，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边AC 的长是( ) A ．m ·sin35° B ．m ·cos35° C. m sin35° D. mcos35°图23－Z －13．△ABC 在网格中的位置如图23－Z －2所示(每个小正方形的边长为1)，AD ⊥BC 于点D ，下列选项中，错误．．的是( ) A ．sin α＝cos α B ．tan ∠ACD ＝2 C ．sin β＝cos β D ．tan α＝1图23－Z －24．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝4，c ＝5，则tan A 的值是( )A. 34B. 43C. 35D. 45 5．下列式子中不成立的是( ) A. 2cos45°＝2sin30°B ．sin30°×cos60°＝12sin 245°C ．cos45°－sin45°＝0D ．sin(30°＋30°)＝sin30°＋sin30°6．如图23－Z －3，已知45°＜∠A ＜90°，则下列各式中成立的是( ) A ．sin A ＝cos A B ．sin A ＞cos A C ．sin A ＞tan A D ．sin A ＜cos A图23－Z －37．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝35，D 是AB 的中点，则 tan ∠BCD ＋ tan ∠ACD 等于( )A. 2512B.75C. 43D. 838．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0，3)，点B 在x 轴上，且sin ∠OAB ＝45，则点B 的坐标为( )A ．(4，0)B ．(－4，0)C ．(4，0)或(－4，0)D ．(5，0)或(－5，0)9．如图23－Z －4所示，小明从A 地沿北偏东30°方向走100 3m 到B 地，再从B 地向正南方向走200 m 到C 地，此时小明离A 地( )A ．60 mB ．80 mC ．100 mD ．120 m图23－Z －410．如图23－Z －5，在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA ＝15，则AD 的长为( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1图23－Z －5二、填空题(每小题5分，共20分)11．如图23－Z －6，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tan A ＝158，则AB ＝________.图23－Z －612.如图23－Z －7，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD ⊥AB ，垂足为D ，则 tan ∠BCD 的值是________．图23－Z －713．如图23－Z－8，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，已知EC＝1, cos B＝513，则这个菱形的面积是________．图23－Z－814．如图23－Z－9，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，tan∠DCA＝错误!，AC＝8，则AB的长度是________．图23－Z－9三、解答题(共40分)15．(8分)如图23－Z－10，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 3，求AB的长．图23－Z－1016．(8分)如图23－Z－11是某小区的一个健身器材的示意图，已知BC＝0.15 m，AB＝2.70 m，∠BOD＝70°，求端点A到底面CD的距离．(结果精确到0.1 m．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)图23－Z－1117．(12分)如图23－Z－12，某小区①号楼与⑪号楼隔河相望．李明家住在①号楼，他很想知道⑪号楼的高度，于是他测量了一些数据．他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算⑪号楼的高度CD.图23－Z－1218．(12分)如图23－Z －13，台风中心位于点O 处，并沿北偏东45°方向﹙OC 方向﹚以40千米/时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O 的正东方向，距离60 2千米的地方有一城市A .(1)A 市是否会受到此台风的影响？为什么？(2)在点O 的北偏东15°方向上，距离80千米的地方还有一城市B ，则B 市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受影响，请说明理由．图23－Z －131. B2．B [解析] cos A ＝AC AB ，即cos 35°＝ACm，∴AC ＝m·cos 35°.3．C [解析] 先构建直角三角形，再根据三角函数的定义，sin α＝cos α＝22 2＝22，tan ∠ACD ＝21＝2，sin β＝cos (90°－β)，故选C .4．A 5.D6．B [解析] 根据锐角的正弦值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小判断．也可用特殊值检验．7．A [解析] 如图，由sin A ＝35，设BC ＝3k ，AB ＝5k.由勾股定理得AC ＝4k.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得CD ＝AD ＝BD ，∴∠BCD ＝∠B，∠ACD ＝∠A，故tan ∠BCD ＋tan ∠ACD ＝43＋34＝2512.8．C [解析] ①如图，点B 在x 轴的正半轴上． ∵sin ∠OAB ＝45，∴设OB ＝4x ，AB ＝5x ，∴由勾股定理，得32＋(4x)2＝(5x)2，解得x ＝1，∴OB ＝4. 则点B 的坐标是(4，0)；②同理，当点B 在x 轴的负半轴上时，点B 的坐标是(－4，0)． 则点B 的坐标是(4，0)或(－4，0)． 9．C10．A [解析] 如图，过点D 作DE⊥AB，垂足为E.易证△ADE 为等腰直角三角形，AE ＝DE.在Rt △BDE 中，tan ∠DBA ＝DE BE ＝AE BE ＝15，所以BE ＝5AE.在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，由勾股定理可求出AB ＝6 2，所以AE ＝ 2.在等腰直角三角形ADE 中，利用勾股定理可求出AD 的长为2.故选A .11．17 [解析] ∵tan A ＝BC AC ，即158＝15AC ，∴AC ＝8.根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝82＋152＝17.12.34 [解析] 在Rt △ABC 与Rt △BCD 中，∵∠A ＋∠B＝90°，∠BCD ＋∠B＝90°，∴∠A ＝∠BCD.∴tan ∠BCD ＝tan A ＝BC AC ＝68＝34.故答案为34.13.3916 [解析] 设BE ＝5x ，由cos B ＝513，得AB ＝13x ，AE ＝12x ，则13x ＝5x ＋1，解得x ＝18.所以菱形的面积＝BC·AE＝13x·12x＝3916. 14．6 [解析] 由题意，得∠DCA＝∠DAC＝∠ACB.在Rt △ABC 中求解．15．解：如图，过点C 作CD⊥AB 于点D ，则∠ADC＝∠BDC＝90°. ∵∠B ＝45°，∴∠BCD ＝∠B＝45°，∴CD ＝BD. ∵∠A ＝30°，AC ＝2 3， ∴CD ＝3，∴BD ＝CD ＝ 3. 由勾股定理得AD ＝AC 2－CD 2＝3， ∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋ 3.16．解：如图，过点A 作AE⊥直线CD 于点E ，过点B 作BF⊥AE 于点F. ∵OD ⊥CD ，∠BOD ＝70°，∴AE ∥OD ， ∴∠A ＝∠BOD＝70°.在Rt △ABF 中，∵AB ＝2.7，∴AF ＝2.7×cos 70°≈2.7×0.34＝0.918(m )，∴AE ＝AF ＋BC≈0.918＋0.15＝1.068≈1.1(m )．答：端点A 到底面CD 的距离约是1.1 m .17．解：如图，过点A 作AE⊥CD 于点E. 在Rt △BCD 中，∵tan ∠CBD ＝CDBD ，∴CD ＝BD·tan 60°＝3BD. 在Rt △ACE 中，∵tan ∠CAE ＝CEAE ，∴CE ＝AE·tan 30°＝BD·tan 30°＝33BD. ∵CD －CE ＝AB ， 即3BD －33BD ＝42， ∴BD ＝21 3. ∴CD ＝3BD ＝63(米)． 答：⑪号楼的高度CD 为63米．18．解：(1)不会．理由：如图，过点A 作AE⊥OC 于点E.在Rt △AOE 中，sin 45°＝AEOA ，∴AE ＝60 2×22＝60(千米)． ∵60千米＞50千米，∴A 市不会受到此台风的影响．(2)会．如图，过点B 作BF⊥OC 于点F.精品 Word 可修改 欢迎下载 在Rt △BOF 中，∵∠BOF ＝45°－15°＝30°，sin 30°＝BF OB，∴BF ＝80×12＝40(千米)． ∵40千米＜50千米，∴B 市会受到台风的影响．如图，以B 为圆心，50千米为半径作圆交OC 于点G ，H.在Rt △BGF 中，∵BF ＝40千米， ∴GF ＝502－402＝30(千米)．同理，FH ＝30千米．∴GH ＝60千米，60÷40＝1.5(时)，∴B 市受到台风影响的时间为1.5小时．。
沪科版数学九年级(上) 第23章 解直角三角形 单元综合测试卷 (含答案)
第23章解直角三角形单元综合测试卷题号一二三总分得分第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题）1．cos60°的相反数是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣2．如图，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC的长为6米，∠ACB=50°，则拉线AC的长为（）A．B．C．6cos50°D．3．如图，为了测量河岸A、B两点的距离，在与AB垂直的方向点C 处测得AC=a，∠ACB=50°，那么AB等于（）A．asin50°B．atan50°C．acos50°D．4．如图是边长为1的小正方形组成的网格图，其中点A，B，C均为格点，则sin∠BAC为（）A．B．C．D．5．下列计算错误的个数是（）①sin60°﹣sin30°=sin30°②sin245°+cos245°=1③（tan60°）2=④tan30°=A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30日，在A点测得D点的仰角∠EAD=45°，在B点测得D点的仰角为∠CBD=60°，测得甲、乙这两座建筑物的高度分别为（）米．A．10√3，30 B．30，30√3C．30√3﹣3，30 D．30√3﹣30，30√37．△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD ⊥BC于D，下列选项中，错误的是（）A．sinα=cosαB．tanC=2 C．sinβ=D．tanα=1 8．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠BAC的值为（）A．2 B．C．D．9．如图，Rt△ABC中，∠CAB=90°，在斜边CB上取点M，N（不包含C、B两点），且tanB=tanC=tan∠MAN=1，设MN=x，BM=n，CN=m，则以下结论能成立的是（）A．m=n B．x=m+n C．x＞m+n D．x2=m2+n2 10．“新中梁山隧道”于2019年11月21日开放通行，原中梁山隧道将封闭升级，扩容改造工程预计2019年3月全部完工，届时将实现双向8车道通行，隧道通行能力将增加一倍，沿线交通拥堵状况将有所缓解．图中线段AB表示该工程的部分隧道．无人勘测机从隧道侧的A点出发时，测得C点正上方的E点的仰角为45°，无人机飞行到E点后，沿着坡度i=1：3的路线EB飞行，飞行到D点正上方的F点时，测得A点的俯角为12°，其中EC=100米，A、B、C、D、E、F在同一平面内，则隧道AD段的长度约为（）米，（参考数据：tan12°≈0.2，cosl2°≈0.98）A．200 B．250 C．300 D．540第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共5小题）11．△ABC中，AB=AC，sinA=，则tanB=．12．如图，在四边形ABCD中，AB=，AD=7，BC=8，tan∠B=，∠C=∠D，则线段CD的长为．13．如图，在△ABC中，AB=AC，tan∠ACB=2，D在△ABC内部，且AD=CD，∠ADC=90°，连接BD，若△BCD的面积为10，则AD的长为．14．如图，在笔直的海岸线l上有两个观测点A和B，点A在点B 的正西方向，AB=2km．若从点A测得船C在北偏东60°的方向，从点B测得船C在北偏东45°的方向，则船C离海岸线l的距离为km．（结果保留根号）15．如图，D是△ABC的边AC上一点，CD=2AD，AE⊥BC于点E，若BD=8，sin∠CBD=，则AE的长为．三．解答题（共8小题）16．计算或化简：（1）sin45°•cos60°﹣cos45°•sin30°；（2）5tan30°﹣2（cos60°﹣sin60°）；（3）（tan30°）2019•（2sin45°）2019；（4）（2cos45°﹣tan45°）﹣（tan60°+sin30°）0﹣（2sin45°﹣1）﹣1．17．由下列条件解题：在Rt△ABC中，∠C=90°：（1）已知a=4，b=8，求c．（2）已知b=10，∠B=60°，求a，c．（3）已知c=20，∠A=60°，求a，b．18．如图，已知BC⊥AD于C，DF⊥AB于F，=9，∠BAE=α，求sinα+c osα的值．[来源:学&科&网]19．如图所示，某村要设计修建一条引水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道底面宽0.8m，渠道内坡度是1：0.5．引水时，水面要低于渠道上沿0.2m，水流的横断面（梯形ABFE）的面积为1.3m2，求．20．为了测量某教学楼CD的高度，小明在教学楼前距楼基点C，12米的点A处测得楼顶D的仰角为50°，小明又沿CA方向向后退了3米到点B处，此时测得楼顶D的仰角为40°（B、A、C在同一水平线上），依据这些数据小明能否求出教学楼的高度？若能求，请你帮小明求出楼高；若不能求，请说明理由．（取2.24）21．如图，一勘测人员从B点出发，沿坡角为15°的坡面以5千米/时的速度行至D处，用了12分钟，然后沿坡角为20°的坡面以3千米/时的速度到达山顶A点处，用了10分钟，求山高（即AC 的长度）及（即BC的长）（精确到0.01千米）．22．如图，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上（如图），求此时货轮距灯塔A的距离AB．23．如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向内旋转35°到达ON位置，此时点A，C的对应位置分别是点B，D，测量出∠ODB=25°，点D到点O的距离为30cm，求滑动支架BD的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）[来源:学&科&网Z&X&X&K]参考答案一．选择题1．A．2．B．3．B．4．D．5．C．6．D．7．C．8．B．9．D．10．B．二．填空题11．12．．[来源:学§科§网Z§X§X§K] 13．5．．14．1+．15．9．[来源:ZXXK]三．解答题16．解：（1）原式=×﹣×=0；（2）原式=5×﹣2（﹣）=﹣2×=﹣1+（3）原式=（×）2019•（2×）2019=（）2019•（2）2019=（）2019•22019•（4）原式=（2×﹣1）﹣（+）0﹣（2×﹣1）﹣1 =2﹣﹣1﹣=1﹣﹣（+1）=﹣2．17．解：（1）c===4；（2）a=b×cotB=10×=，c====；（3）a=c×sinA=20×=10，b=c×cos60°=20×=10．18．解：∵∠B+∠BAC=∠D+∠BAC=90°，∠B=∠D，∴Rt△DAF∽Rt△BEF，∵==（）2=9∴AF=3EF∴AE==EF•，∴sinα+cosα=+==．19．解：作AM⊥EF于M，BN⊥EF于N．如图，四边形AMNB为矩形．MN=0.8m．由题意得=1÷0.5=2．∴AM=2ME．设ME为x，则AM=2x．∴EF=2x+0.8．∴×（0.8+2x+0.8）×2x=1.3．解得x=或x=﹣1.3（舍去）．∴AM=2×=1．∴h=1+0.2=1.2（m）．答：水渠的深度h为1.2m．20．解：能求．△ACD与△DCB中，有∠ADC=∠DBC=40°；∠DAC=∠BDC=50°；故有△ACD∽△DCB，∴．CD2=AC•B C=12×15=180，∴CD=13.44（米）．答：该教学楼的高度约为13.44米．21．解：BD=5×=1（千米），AD=3×=0.5（千米），则山高AC=BD•sin15°+AD•sin20°≈0.43（千米），A，B两点间的水平距离BC=BD•cos15°+AD•cos20°≈1.44（千米）．答：A，B两点间的水平距离约为1.44千米．22．解：由示意图可知：∠ACB=60°，由平行线的性质可知∠ABC=180°﹣30°﹣75°=75°，∴∠A=180°﹣∠C﹣∠B=45°，BC=60×=30（海里），过B作BD⊥AC于D，则∠BDC=90°，∠DBC=30°，∴DC=BC=15海里，由勾股定理得：BD=15海里，∵∠A=45°，∠ADB=90°，∴∠ABD=∠A=45°，∴AD=BD=15海里，由勾股定理得：AB==15（海里），答：此时货轮距灯塔A的距离AB为15海里．23．解：在Rt△BOE中，∠BOE=55°，tan55°=，∴OE=，在Rt△BDE中，∠BDE=25°，tan25°=，∴DE=，∴DO=30，∴DO=DE+OE=+=30，解得，BE≈10.6，在Rt△BDE中，∠BDE=25°，sin25°=，∴BD=≈25，答：滑动支架BD的长大约为25cm．。
沪科版九年级数学上册试题 第23章《解直角三角形》章节测试卷(含解析)
第23章《解直角三角形》章节测试卷一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）1．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA =32，cosB =12，则△ABC 是（ ）.A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形2．直角三角形纸片ABC ，两直角边BC =4，AC =8，现将△ABC 纸片按如图那样折叠，使A 与电B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是（ ）A ．12B ．34C ．1D ．433．如图，△ABC 的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则sin ∠BAC 的值为（ ）A ．5B ．55C ．12D ．2534．如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 、E 分别在BC 、AC 上，AD 、BE 交于F ，若BD=CD =CE ，AF =DF ，则tan ∠ABC 的值为( )A ．12B ．23C ．34D ．455．一块直角三角板ABC 按如图放置，顶点A 的坐标为(0,1)，直角顶点C 的坐标为(−3,0)，∠B =30°，则点B 的坐标为（ ）A. (−3−33,33)B ．(−3+3,3)C ．(−3+33,33)D ．(−3−3,33)6．在Rt △ABC 中，∠A =90°，有一个锐角为60°，BC =6，若点P 在直线AC 上（不与点A 、C 重合），且∠ABP =30°，则CP 的长为（ ）A ．6或23B ．6或43C ．23或43D ．6或23或437．如图，延长等腰Rt ΔABC 斜边AB 到D ，使BD =2AB ，连接CD ，则tan ∠BCD 的值为（ ）A ．23B ．1C ．13D ．128．如图，在△ABC 中，∠ACB =90∘，分别以AB ，AC ，BC 为边向外作正方形，连结CD ，若sin∠BCD=35，则tan ∠CDB 的值为（ ）A ．23B ．34C ．710D ．9139．如图1是由四个全等的直角三角形组成的“风车”图案，其中∠AOB =90°，延长直角三角形的斜边恰好交于另一直角三角形的斜边中点，得到如图2，若IJ =2，则该“风车”的面积为（ ）A ．2+1B ．22C ．4−2D ．42二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）10．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点D ，E 分别在AC ，BC 边上，且AD =3，BE =4，连接AE ，BD ，交于点F ，BD=10，cos ∠AFD=32，则AE 的长为 ．11．如图，在菱形ABCD 中，tan ∠ABC =43，AE ⊥BC 于点E ，AE 的延长线与DC 的延长线交于点F ，则S △ECF :S 四边形ADCE = ．（S 表示面积）12．如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4，E是对角线BD上一动点（点E不与点B，D重合），当△ABE是等腰三角形时，DE=．13．如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD，DC延长线的垂线，垂足分别为点E，F．若∠ABC=120°，AB=6，则PE−PF的值为．14．如图，在正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，P是线段MN上的一点，BP的延长线交4D 于点E，连接PD，PC，将△DEP绕点P顺时针旋转90°得△GFP，则下列结论：①CP=GP，②tan∠CGF=1；③BC垂直平分FG；④若AB=4，点E在AD边上运动，则D，F两点之间距离的2．其中结论正确的序号有．最小值是3215．如图，△A B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…是等边三角形，直线y=33x+2经过它们的顶点A，A1，A2，A3，…，点B1，B2，B3，…在x轴上，则线段B2022B2023的长度是．16．如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH=CF，AE=CG，∠EHF=60°，∠GHF=45°，若AH=2，AD=5+3，则四边形EFGH的周长为．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）计算：(1)2sin60°−tan45°2−tan30°⋅tan60°−2cos30°+6sin245°． (2)(π−1)0+4sin45°−8+|−3|．18．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD=6，BC=12，tan∠ACD=32．求：(1)CD的长；(2)sin∠ABC的值．19．（8分）（2023春·河南南阳·九年级统考期中）如图，已知点A（7，8）、C（0，6），AB⊥x轴，垂足为点B，点D在线段OB上，DE∥AC，交AB于点E，EF∥CD，交AC于点F．（1）求经过A、C两点的直线的表达式；（2）设OD＝t，BE＝s，求s与t的函数关系式；（3）是否存在点D，使四边形CDEF为矩形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．20．（8分）（1）在如图1的正方形网格图中，每个小正方形的边长为1，A，B，C，D均为格点（小正方形的顶点)．求证：∠ABC=∠D．（2）在如图2所示的正方形网格图中，每个小正方形的边长为1，A，B，C均为格点，请你仅用无刻度的直尺在线段AC上求作一点P，使得∠PBA=∠C，并简要说明理由．21．（9分）如图，小明为测量宣传牌AB的高度，他站在距离建筑楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°．同时测得建筑楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上．）然后，小明沿坡度为i=1:2.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行，小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°．(1)填空：∠DAF=__________度，∠BDC=__________度；(2)求F距离地面CE的高度（结果保留根号）；(3)求宣传牌AB的高度（结果保留根号）．22．（9分）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），如图①，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=底边腰=BCAB．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad90°=________．(2)对于0°<A<180°，∠A的正对值sadA的取值范围是________．(3)如图②，已知sinA=35，其中∠A为锐角，试求sadA的值．23．（9分）已知：△ABC 中，AB =AC ，D 为直线BC 上一点．(1)如图1，BH ⊥AD 于点H ，若AD =BD ，求证：BC =2AH ．(2)如图2，∠BAC =120°，点D 在CB 延长线上，点E 在BC 上且∠DAE=120°，若AB =6，DB=23，求CE 的值．(3)如图3，D 在CB 延长线上，E 为AB 上一点，且满足：∠BAD=∠BCE ，AE BE=23，若tan ∠ABC =34，BD =5，求BC 的长．答案解析一.选择题1．B【分析】根据特殊角的三角函数值求出∠A=60°，∠B=60°，然后利用三角形内角和定理求出∠C的度数，即可解答．【详解】解：∵sinA=32，cosB=12，∴∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=180°−∠A−∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，故选：B．2．B【分析】根据折叠的性质得出BE=AE，设CE=x，则BE=AE=8−x，在Rt△BCE中，根据勾股定理得出B C2+C E2=B E2，列出方程求出x的值，最后根据正切的定义，即可解答．【详解】解：∵△ADE沿DE折叠得到△BDE，∴BE=AE，设CE=x，则BE=AE=8−x，在Rt△BCE中，根据勾股定理可得：B C2+C E2=B E2，即42+x2=(8−x)2，解得：x=3，∴tan∠CBE=CEBC =34，故选：B．3．B【分析】过B作BD⊥AC于点D，根据勾股定理得出AB,AC的值，再利用面积公式求出BD的值，由sin∠BAC=BDBA可得角的正弦值．【详解】解：如图，过B作BD⊥AC于点D根据勾股定理得：AB =32+42=5，AC =32+62=35∴S ΔABC =12AC ⋅BD =4×6−12×3×1−12×3×4−12×6×3=152, ∴BD =5∴sin ∠CAB=BD AB =55故选：B ．4．C 【分析】如图，过A 作AG ∥BC ，交BE 的延长线于G ，证明△AGF ≌△DBF (AAS )，则AG =BD =12BC ，证明△AEG ∽△CEB ，则AE CE =AG BC =12，解得AE =12CE ，AC =32CE ，根据tan ∠ABC =ACBC，计算求解即可．【详解】解：如图，过A 作AG ∥BC ，交BE 的延长线于G ，∴∠G =∠DBF ，在△AGF 和△DBF 中，∵{∠G =∠DBF∠AFG =∠DFB AF =DF，∴△AGF ≌△DBF (AAS )，∴AG =BD =12BC ，∵∠G =∠CBE ，∠AEG =∠CEB ，∴△AEG ∽△CEB ，∴AE CE =AG BC=12，解得AE =12CE ，∴AC =32CE ，∴tan ∠ABC=AC BC =32CE 2CE =34，故选：C ．5．D【分析】过点B 作BE ⊥OC 于点E ，根据ΔABC 为直角三角形可证明ΔBCE ∽ΔCAO ，求出AC =10，求出BC ，再由比例线段可求出BE ，CE 长，则答案可求出．【详解】解：过点B 作BE ⊥OC 于点E ，∵△ABC 为直角三角形，∴∠BCE +∠ACO =90°，∴ΔBCE ∽ΔCAO ，∴ BE OC =BC AC =EC OA ，在Rt △ACO 中，AC =A O 2+C O 2=12+32=10，在Rt △ABC 中，∠CBA=30°，∴ tan ∠CBA=CA BC ，∴ BC =CA tan ∠CBA =10tan30°=30，∴ BE3=3010=EC1，解得BE =33，EC =3，∴ EO =EC +CO =3+3，∴点B 的坐标为(−3−3，33)．故选：D ．6．D【分析】根据点P在直线AC上的不同位置，∠ABP=30°，利用特殊角的三角函数进行求解．【详解】如图1：当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；如图2：当∠C=60°时，∠ABC=30°，∵∠ABP=30°，∴∠CBP=60°，∴△PBC是等边三角形，∴CP=BC=6；如图3：当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°−30°=30°，∴PC=PB，∵BC=6，∴AB=3，∴PC=PB=3cos30°=332=23如图4：当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°+30°=90°，∴PC=BCcos30°=632=43故选：D7．A【分析】过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，设AC=BC=a，根据勾股定理得AB=2a，由等腰直角三角形的性质得∠ABC=∠BAC=45°，从而得BD=2AB=22a，在Rt△BDE中，解直角三角形得DE=2a，BE=2a，进而求得CE=BC+BE=3a即可求得tan∠BCD．【详解】解：过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，如下图，设AC=BC=a，∵AC⊥BC，AC=BC=a，∴AB=A C2+B C2=2a，∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC=∠BAC，∴∠ABC=∠BAC=45°，BD=2AB=22a，∴∠DBE=∠ABC=45°，∵DE⊥CE，∴DE=BD·sin∠DBE=22a·sin45°=2a，BE=BD·cos∠DBE=22a·cos45°=2a，∴CE=BC+BE=3a，∴tan∠BCD=DECE =2a3a=23，故选：A．8．D【分析】过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，可得△ABC，△BED，△BEC，△BCF都是直角三角形，根据sin∠BCE＝BEBC =35，设BE＝3a，BC＝5 a，得CE＝B C2−B E2＝4 a，过点C作DB延长线于点G，得矩形CFBG，设AC＝x，AB＝y，然后利用勾股定理和三角形的面积可得y2−9＝133，进而利用锐角三角函数即可解决问题．【详解】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，∴△ABC，△BED，△BEC，△BCF都是直角三角形，∵sin∠BCD＝35，∴sin∠BCE＝BEBC =35，设BE＝3a，BC＝5a，∴CE＝B C2−B E2＝4a，过点C作DB延长线于点G，得矩形CFBG，∴BF＝CG，设AC＝x，AB＝y，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB2﹣AC2＝BC2，∴y2﹣x2＝25a2，∵S△ABC＝12×AB•CF＝12×AC•BC，∴y•CF＝5ax，∴CF＝5axy，在Rt△BCF中，根据勾股定理，得BF＝B C2−C F2＝25a2−(5axy )2＝25ya，∴BF＝CG＝25ya，在正方形ABDH中，AB＝BD＝y，在Rt△BDE中，根据勾股定理，得DE＝B D2−B E2＝y2−9a2，∴CD＝CE+ED＝4a +y2−9a2，∵S△CBD＝12×CD•BE＝12×BD•CG，∴CD•BE＝BD•CG，∴(4a +y2−9a2)×3＝y×25ya，∴y2−9a2＝133a，∴tan∠CDB＝tan∠EDB＝BEDE ＝3ay2−9a2＝913．故选：D．9．B【分析】连接AC,由题意可得Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH，进而说明△OAC为等腰直角三角形，再说明分CD、GI垂直平分AB，进而说明∠OBH=∠OHB=45°，然后再运用解直角三角形求得AI，然后再求得三角形AOB的面积，最后求风车面积即可．【详解】解：如图：连接AC由题意可得：Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH∴OA=OC, ∠OAB= ∠OCD∵∠AOC=∠AOB=90°∴△OAC为等腰直角三角形又∵∠OAB= ∠OCD：∴∠AJD=180°-∠ADJ-∠OAB=180°-∠ODC-∠OCD=90°，即AJ⊥CD又∵CJ=DJ∴AJ垂直平分CD同理：GI垂直平分AB∴AC=AD,AJ是等腰三角形顶角∠CAD的角平分线即∠DAJ=12∠CAD=12×45°=22.5°易得IH=BJ,IJ=IB+BJ=IB+IH 又∵IB=IA∴IJ=IB+BJ=IH+IA= 2在Rt△ABO中，∠ABH=∠BAH=22.5°∴∠OBH=OHB=45°设OB=OH=a，即AH=BH=2OB=2a∴tan∠A=BOAO =aa+2a=2−1∴IHIA=tan∠A=2−1设IH=（2−1）x，AI=x ∴IH+IA=2x=2，即x=1∴S△ABH =12×AB×IH=2−1又∵SΔBOHSΔABH =OHAH=12∴S△BOH =1−22∴S△AOB =S△ABH+S△BOH=2−1+1−22=22∴S风车=4S△AOB=4×22=22．故选B．二．填空题10．53【分析】过点A作AG∥BE，BG∥AE交于点G，连接DG，勾股定理求得DG，过点D作DH⊥BG，证明G,H重合，进而勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点A作AG∥BE，BG∥AE交于点G，连接DG，则四边形AGBE是平行四边形，∴AG=BE=4，∵∠C=90°，则BC⊥AC∴AG⊥AC∴△ADG是直角三角形，∴DG=5∵cos∠AFD=32∴∠AFD=30°∵AE∥BG∴∠DBG=30°∵DG=5,DB=10过点D作DH⊥BG，∵sin∠DBG=12∴DH=12DB=5,∴G,H重合，∴AE=BG=BH=53故答案为：53．11．4:21【分析】设AE=4k，则BE=3k，根据勾股定理求出AB=5k，然后证明△CEF∽△DAF，最后根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解∶∵tan∠ABC=43，AE⊥BC，∴tan∠ABC=43=AEBE，设AE=4k，则BE=3k，∴AB =A E 2+B E 2=5k ，∵四边形ABCD 是菱形，∴CB ∥AD ，AD =BC =AB =5k ，∴CE =BC −BE =2k ，∵CB ∥AD ，∴△CEF ∽△DAF ，∴S △CEF S△DAF =(CE DA )2=(2k 5k )2=425，∴S △CEFS 四边形ADCE =S △CEF S △DAF −S △CEF =425−4=421．故答案为：4:21．12．2或52或75【分析】分AB =AE,BE =BA,EA =EB 三种情况，分别画出图形，即可求解．【详解】解：在矩形ABCD 中，AB =3,AD =4，∴∠BAD=90°，∴BD =A B 2+A D 2=32+42=5，当AB =AE 时，过点A 作AF ⊥AD 于点F ，则AF ⊥BD ，∴cos ∠ABD=AB BD =BF AB ，∴BF =AB 2BD =95∴DE =BD −BE =BD −2BF =5−185=75，当BA =BE 时，DE =BD −BE =5−3=2，当EA =EB 时，过点E 作EG ⊥AB 于点G ，∴EG ∥AD ，AG =GB ，∴BE ED=BG AG =1，∴DE =12BD=52，综上所述DE = 2或52或75，故答案为：2或52或75．13．33【分析】如图，延长BC 交EP 于M ，由菱形的性质可知，CP 为∠BCD ，∠FCM 的平分线，则PF =PM ，PE −PF =PE −PM =EM ，由题意知，EM 为△ABD 底边AD 上的高，由菱形ABCD ，∠ABC=120°，AB =6，可得∠BAD=60°，根据EM=AB ⋅sin ∠BAD ，计算求解，进而可得结果．【详解】解：如图，延长BC 交EP 于M ，由菱形的性质可知，CP为∠BCD，∠FCM的平分线，∵PF⊥CF，PM⊥CM，∴PF=PM，∴PE−PF=PE−PM=EM，由题意知，EM为△ABD底边AD上的高，∵菱形ABCD，∠ABC=120°，AB=6，∴∠BAD=60°，∴EM=AB⋅sin∠BAD=33，∴PE−PF=33，故答案为：33．14．①②③【分析】延长GF交AD于点H，连接FC，FB，FA，由已知可得MN为AB，CD的垂直平分线，由垂直平分线的性质和图形旋转的性质可得①的结论正确；利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质计算可得∠BCG=45°，由四边形内角和定理通过计算可得∠EHF=90°；利用平行线的性质可得BC⊥FG，则∠CGF=45°，可说明②的结论正确；通过证明点A，B，E，F在以点P为圆心，PA为半径的同一个圆上，利用圆周角定理可得∠FAB=45°，得到A，F，C三点共线，得到△CGF为等腰直角三角形，则③的结论正确；由题意点F在对角线AC上运动，当EF⊥AC时，EF的值最小，连接AC，解直角三角形的知识可得④的结论不正确．【详解】解：延长GF交AD于点H，连接FC，FB，FA，如图，∵正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN是线段BA，CD的垂直平分线．∴PD=PC，PA=PB．∵△FPG是△PED绕点P顺时针旋转90°得到，∴△FPG≌△PED，∴PD=PG．∴PC=PG．∴①的结论正确；∵PD=PC，∴∠PDC=∠PCD=1(180°−∠DPC)．2∵PC=PG，∴∠PCG=∠PGC=1(180°−∠CPG)．2∴∠PCD+∠PCG=1[360°−(∠DPC+∠CPG)]．2∵∠DPC+∠CPG=90°，∴∠PCD+∠PCG=135°．∵∠BCD=90°，∴∠BCG=45°．∵△FPG≌△PED，∴∠DEP=∠GFP．∵∠HFP+∠PFG=180°，∴∠DEP+∠HFP=180°．∵∠DEP+∠HFP+∠EHF+∠EPF=360°，∴∠EHF+∠EPF=180°．∴∠EPF=90°，∴∠EHF=90°．即GH⊥AD．∵AD//BC，∴GF⊥BC．∴∠CGF=45°．∴tan∠CGF=1．∴②的结论正确；∵PA=PB，PM⊥AB，∴∠APM=∠BPM，∵PM//AE，∴∠PEA=∠BPM，∠PAE=APM．∴∠PEA=∠PAE．∴PA=PE．∵PE=PF，∴PA=PB=PE=PF．∴点A，B，E，F在以点P为圆心，PA为半径的同一个圆上．∴∠FAB=12∠FPB=12×90°=45°．∴点F在对角线AC上，∴∠FCB=45°．∵∠BCG=∠CGF=45°，∴△FCG为等腰直角三角形．∵BC平分∠FCG，∴BC垂直平分FG．∴③的结论正确；由以上可知：点F在正方形的对角线AC上运动，∴当EF⊥AC时，EF的值最小．此时点E与点D重合，∴DF=AD⋅sin45°=4×22=22．∴④的结论不正确．综上，结论正确的序号有：①②③，故答案为：①②③．15．220233【分析】设直线y=33x+2与x轴交于点C，求出点A、C的坐标，可得OA=2,OC=23，推出∠C B1A1=90°，∠C B1A=30°，然后求出C B1=2O B1=43=22×3，C B2=2C B1=83=23×3，C B3=2C B2=163=24×3，…，进而可得C B2022=22023×3，C B2023=22024×3，再求出B2022B2023即可．【详解】解：如图所示，设直线y =33x +2与x 轴交于点C ，当x =0时，y =2；当y =0时，x =−23，∴ A (0,2)，C (−23,0)，∴ OA=2，OC =23，∴ tan ∠ACO =OA OC=223=33，∴ ∠ACO=30°，∵ △A B 1A 1是等边三角形，∴ ∠A A 1B 1=∠A B 1A 1=60°，∴ ∠C B 1A 1=90°，∠C B 1A =30°，∴ AC =A B 1，∵ AO⊥C B 1，∴ O B 1=OC =23，∴ C B 1=2O B 1=43=22×3，同理，C B 2=2C B 1=83=23×3，C B 3=2C B 2=163=24×3，……，∴ C B 2022=22023×3，C B 2023=22024×3，∴ B 2022B 2023=22024×3−22023×3=220233，故答案为：220233．16．8+46【分析】先构造15° 的直角三角形，求得15° 的余弦和正切值；作EK ⊥FH ，可求得EH:EF =2:6；作∠ARH=∠BFT =15°，分别交直线AB 于R 和T ，构造“一线三等角”，先求得FT 的长，进而根据相似三角形求得ER ，进而求得AE ，于是得出∠AEH =30°，进一步求得结果．【详解】解：如图1，Rt △PMN 中，∠P =15°，NQ =PQ ，∠MQN =30°，设MN=1，则PQ =NQ =2，MQ=3，PN =6+2，∴cos15°=6+24，tan15°=2−3，如图2，作EK ⊥FH 于K ，作∠AHR =∠BFT =15°，分别交直线AB 于R 和T ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C ，在△AEH 与△CGF 中，{AE =CG ∠A =∠C AH =CF，∴△AEH ≌△CGF(SAS)，∴EH =GF ，同理证得△EBF ≌△GDH ，则EF =GH ，∴四边形EFGH 是平行四边形，设HK=a ，则EH=2a ，EK =3a ，∴EF =2EK =6a ，∵∠EAH =∠EBF =90°，∴∠R=∠T =75°，∴∠R=∠T=∠HEF=75°，可得：FT=BFcos15°=3+36+24=26，AR=AH⋅tan15°=4−23，△FTE∽△ERH，∴FTER =EFEH，∴26ER =62，∴ER=4，∴AE=ER−AR=23，∴tan∠AEH=223=33，∴∠AEH=30°，∴HG=2AH=4，∵∠BEF=180°−∠AEH−∠HEF=75°，∴∠BEF=∠T，∴EF=FT=26，∴EH+EF=4+26=2(2+6)，∴2(EH+EF)=4(2+6)，∴四边形EFGH的周长为：8+46，故答案为：8+46．三．解答题17．（1）原式=2×32−12−33×3−2×32+6×(22)2=3−12−1−3+6×12=3−1−3+3=2．（2）原式=1+4×22−22+3 =1+22−22+3=4．18．（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADC中，tan∠ACD=ADCD =32，AD=6，∴CD=4；（2）解：由（2）得CD=4，∴BD=BC−CD=8，∴AB=A D2+B D2=10，在Rt△ABD中，sin∠ABD=ADAB =35，即sin∠ABC=35．19．解：（1）设直线AC的表达式为y＝kx+b 将点A、C的坐标代入，得得：{7k+b=8b=6，解得：{k=27b=6，故直线AC的表达式为：y＝27x+6；（2）∵OD＝t，BE＝s，AB⊥x轴∴则点D（t，0），点E（7，s）∵DE∥AC可设直线DE的解析式为y＝27x+c将点D的坐标代入0＝27t+c解得：c=﹣27t∴直线的表达式为：y＝27x﹣27t，将点E的坐标代入，得s＝2﹣27t（根据点D在线段OB上，可得0＜t＜7）；（3）存在，理由：设点D（t，0），由（2）BE＝2﹣27t，四边形CDEF为矩形，则∠CDE＝90°，∵∠EDB +∠CDO ＝90°，∠CDO +∠OCD ＝90°，∴∠OCD ＝∠BDE ，∴tan ∠OCD ＝tan ∠BDE ，∴ODOC ＝BE BD即t 6＝2−27t 7−t，解得：t ＝127或7（因为0＜t ＜7，故舍去7），故点D 的坐标为（127，0）．20．（1）如图所示，取格点E ，F ，连接BF,AF ，AE,CE ，∵BF =12+12=2，DF =32+32=32，∴tan ∠D =BF DF=232=13，∵CE =1，BE =3，∴tan ∠ABC=CE BE=13，∴tan ∠D =tan ∠ABC ，∴∠ABC=∠D ；（2）解：如图，取格点D ，E ，同理（1）可得，在Rt△AEC中，tan∠ACE=1，2，在Rt△ABD中，tan∠ABD=12∴tan∠ACE=tan∠ABD，∴∠ACE=∠ABD，直线BD与AC的交点为所求的点P．21．（1）解：由题意，得AD⊥DF，∴∠ADF=90°∴∠DAF=90°−∠AFD=90°−45°=45°，由题意，得FD∥CE，∴∠CDF=∠ECD=30°∴∠BDC=∠ADF+∠CDF=90°+30°=120°．（2）解：如图，过点F作FG⊥EC于G，由题意得，FG∥DE,DF∥GE,∠FGE=90°，∴四边形DEGF是矩形．∴FG=DE．在Rt △CDE 中，DE =CE ⋅tan ∠DCE=6×tan30°=23（米），∴FG =23（米）．答：F 距离地面CE 的高度为23米；（3）解：∵斜坡CF 的坡度为i =1:2.5，∴Rt △CFG 中，CG = 2.5FG =23× 2.5=53（米），∴FD =EG =(53+6)（米）．∴在Rt △AFD 中，∠AFD=45°，∴AD =FD =(53+6)米．在Rt △BCE 中，BE =CE ⋅tan ∠BCE =6×tan60°=63（米），∴AB =AD +DE −BE =53+6+23−63=(6+3)（米）．答：宣传牌AB 的高度约为(6+3)米．22．（1）解：如图，∠BAC=90°,AB =AC ,sad90°=BC AB ,∵cos45°=AB BC=22,∴sad90°=BCAB = 2.（2）解：如图，点A 在BC 的中垂线上，当点A 向BC 靠近时，∠A 增大，逐渐接近180°，腰长AB 接近12BC ，AB >12BC 相应的sadA =BC AB <2；当点A 远离BC 时，∠A 减小，逐渐接近0°，腰长AB 逐渐增大，相应的sadA =BCAB 逐渐接近0，sad A =BCAB >0；∴0<sadA <2（3）解：如图，在AB 上截取AH=AC ，过H 作HD ⊥AC 于D ，sinA =35=DH AH ，设HD =3x,AH =AC =5x ，则，AD =A H 2−H D 2=4x ,∴DC =AC −AD =5x −4x =x ．Rt △HDC 中，HC =C D 2+H D 2=10x ，∴sadA =CH AH =10x 5x =105．23．（1）解：证明：如图1，过点A 作AN ⊥BC 于N ，∵AB =AC ，∴BN =12BC ，∵AD =BD ，∴∠ABD =∠BAD ，在△ABN 和△BAH 中，{∠ANB=∠BHA=90°∠ABD=∠DABAB=BA，∴△ABN≌△BAH(AAS)，∴BN=AH，∴12BC=AH，∴BC=2AH；（2）如图2，在AC上取一点F，使EF=EC，连接EF，∵∠BAC=∠DAE=120°，∴∠DAB=∠EAC，∵AB=AC，∴∠ABE=∠C=∠CFE=30°，∴∠ABD=∠AFE=150°，∴△ABD∽△AFE，∴ABAF =BDEF，即6AF=23EF，∴AFEF=3，设EF=a，则AF=3a，∵EF=CE=a，∠C=30°，∴CF=2EF·cos30°=3a，∴6−3a=3a，∴a=3，∴CE=EF=3；（3）如图3，过点A作AP⊥BC于P，作AG∥CE交BC的延长线于G，设AE=2m，BE=3m，则AB=AC=5m，∵tan∠ABC=34=AP BP ，∴ BP AB =45，∴BP =CP =4m ，BC =8m ，∵∠BAD =∠BCE =∠G ，∠ABD =∠GCA ，∴△ABD ∽△GCA ，∴ CG AB =AC BD ，即CG 5m =5m 5，∴CG =5m 2，∵AG ∥CE ，∴ BE AE =BC CG ，∴ 3m 2m =8m5m 2，∴m =1615，∴BC =8m =12815．。
2023年沪科版九年级上册数学第23章综合测试试卷及答案
第23章综合练习
七、(本题满分12分) 22.如图,在大楼AB正前方有一个斜坡CD,坡度i＝1∶3, 楼高AB＝60米,在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为 60°,当太阳光线与水平线的夹角为45°时,通过楼顶B 的光线恰好经过斜坡的顶端D.求斜坡CD的长度.(结果保 留根号)
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第23章综合练习
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第23章综合练习
解:过点E作EN⊥BC于点N,交HG于点M. 根据题意,得∠AHF＝∠EMF＝∠EMG＝90°,EN＝40. ∵HG∥BC,∴∠EGM＝∠ECB＝36°. 在Rt△AHF中,∠AFH＝40°,AF＝50, ∴AH＝AF·sin ∠AFH≈50×0.64＝32. 在Rt△FEM和Rt△EMG中,设MG＝m,则FM＝7－m, ∴EM＝MG·tan ∠EGM≈0.73m,EM＝FM·tan ∠EFM≈0.47(7－m), ∴0.73m＝0.47(7－m),解得m≈2.7,∴EM≈2.0, ∴AB＝AH－EM＋EN≈70(米). 答:此大跳台最高点A距地面BD的距离约为70米.
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第23章综合练习
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.已知α是锐角,sin(α＋15°)＝ 23,则cos α＝
2 2
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12.在Rt△ABC中,∠C＝90°.若AB＝100,sin A＝35, 则AC的长为 80 .
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第23章综合练习
13.如图,小明在距离地面30米的P处测得山顶A处的 俯角为15°,山脚B处的俯角为60°.若斜面坡度i＝ 1∶ 3,则斜坡AB的长是 20 3 米.
第23章综合练习
第23章综合练习
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分) 1.已知∠α为锐角,且sin α＝12,则∠α＝( A ) A.30° B.45° C.60° D.90°
沪科版九年级上册数学第二十三章二次函数与反比例函数练习题(附解析).doc
学习必备欢迎下载第二十三章二次函数与反比例函数练习题（附解析）考试范围： xxx；考试时间：100 分钟；命题人：xxx 学校： ___________姓名： ___________班级： ___________考号： ___________ 题号一二三四五总分得分注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上分卷 I分卷I注释评卷人得分一、单选题(注释)21、二次函数y=ax +bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是A． a＜ 0B． b2﹣ 4ac＜ 0C．当﹣ 1＜ x＜3 时， y＞ 0D．2、若反比例函数的图象经过点（﹣2，m），则 m 的值是A．B．C．D．3、如图， A、B、 C 是反比例函数线 l 的距离之比为3： 1：1，则满足条件的直线图象上三点，作直线l 共有l ，使A、B、C到直A．4 条B．3 条C．2 条D．1 条4、二次函数y=x2﹣ 4x+5 的最小值是A．﹣ 1B．1C．3D． 55、某地资源总量Q 一定，该地人均资源享有量与人口数的函数关系图象是A．B．C．D．26、已知二次函数y=ax +bx+c（ a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是A． a＞ 0B．3 是方程 ax2+bx+c=0 的一个根C． a+b+c=0D．当 x＜ 1 时， y 随 x 的增大而减小7、为了更好保护水资源，造福人类，某工厂计划建一个容积V（ m3）一定的污水处理池，池的底面积 S（ m2）与其深度 h（ m）满足关系式： V=Sh（ V≠0），则 S 关于 h 的函数图象大致是A．B．C．D．8、反比例函数的图象如图所示，则k 的值可能是（）A．﹣ 1 B．C． 1 D． 29、已知反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而减小，则k 的范围（）A．B．C．D．10、下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（）A． y=﹣B． y=﹣C． y=D． y=11、已知长方形的面积为10，则它的长y 与宽 x 之间的关系用图象大致可表示为图中的（）A．B．C．D．12、一项市政工程，需运送土石方106米3，某运输公司承办了这项运送土石方的工程，3则运送公司平均每天的工作量y（米/ 天）与完成运送任务所需时间x（天）之间的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．A13、在函数 y=中，自变量x 的取值范围是（）A． x＞ 0B． x≠0C． x＞ 1D． x≠114、已知反比例函数的图象经过点（1，2），则此函数图象所在的象限是（）A．一、三B．二、四C．一、三D．三、四15、反比例函数的图象如图所示，则当x＞ 1 时，函数值y 的取值范围是（）A． y＞ 1 B． 0＜ y＜ 1 C． y＜ 2 D． 0＜ y＜ 216、若反比例函数图象经过点（﹣1， 6），则下列点也在此函数上的是（）A．（﹣ 3， 2）B．（ 3， 2）C．（ 2， 3）D．（ 6， 1）17、如果矩形的面积为6cm2，那么它的长ycm 与宽 xcm 之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C．D．18、下列函数中，属于反比例函数的是（）A．B．C． y=5﹣ 2x2 D． y=x +119、如图，直线l 和双曲线交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、 B 重合），过点 A、B、P 分别向 x 轴作垂线，垂足分别为C、D、 E，连接 OA、 OB、0P，设△ AOC的面积为S1、△ BOD 的面积为S2、△ POE的面积为S3，则（）A． S1＜S2＜ S3B． S1＞ S2＞ S3C． S1=S2＞S3 D． S1=S2＜ S3学习必备欢迎下载分卷 II分卷 II 注释评卷人得分二、填空题 ( 注释 )20、已知反比例函数的图象的一支位于第一象限，则常数m的取值范围是．21、函数 y l=x（ x≥0），（x＞0）的图象如图所示，则结论：① 两函数图象的交点A 的坐标为（ 3，3）；② 当 x＞ 3 时， y2＞ y1；③ 当 x=1 时， BC=8；④ 当 x 逐渐增大时，y l随着 x 的增大而增大，y2随着 x 的增大而减小．其中正确结论的序号是．22、若函数是y关于x的反比例函数，则k=．23、如图，是二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①abc ＜ 0；②b＞ 2a；③ a+b+c=0④ax 2+bx+c=0 的两根分别为﹣ 3 和 1；⑤ 8a+c ＞ 0．其中正确的命题是．24、反比例函数的图象在第二、四象限内，那么m 的取值范围是．25、双曲线 y=经过点（2，﹣3），则k=．26、如果我们把横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点，那么反比例函数在第四象限的图象上的整点个数共有个．27、已知某个反比例函数的图象经过点（ 3 ， 6）和点（ m，﹣ 2），则 m 的值是．28、若点 A（﹣ 2， a）， B（﹣ 1， b）， C（ 3， c）在双曲线（k＞0）上，则a、b、c 的大小关系为（用“＜”将 a、b、c 连接起来）．29、 y=（ m﹣ 2）是反比例函数，则m 的值为．30、反比例函数y=的图象经过点（﹣2， 3），则 k 的值为．31、如图，正方形ABOC的面积为4，反比例函数的图象过点A，则 k＝．32、若抛物线y=x2+bx+c 与 x 轴只有一个交点，且过点 A（ m，n），B（ m+6，n），则 n=．33、函数与y=x﹣2图象交点的横坐标分别为a， b，则的值为．34、在温度不变的条件下，一定质量的气体的压强p 与它的体积V 成反比例，当V=200 时， p=50，则当 p=25 时， V=．35、如图，菱形OABC的顶点 O 是原点，顶点 B 在 y 轴上，菱形的两条对角线的长分别是 6 和 4，反比例函数的图象经过点C，则 k 的值为．36、如图，在以点 O 为原点的直角坐标系中，一次函数的图象与x 轴交于 A、与 y 轴交于点 B，点 C 在直线 AB 上，且 OC= AB，反比例函数的图象经过点C，则所有可能的k 值为.37、两个反比例函数，在第一象限内的图像如图所示，点，，，，在函数的图像上，它们的横坐标分别是，，，，，纵坐标分别是 1， 3，5 ，，共 2013 个连续奇数，过点，，，，分别作y轴的平行线，与函数的图像交点依次是（，），（，），（，），，（，），则.38、已知双曲线经过点（－1，2），那么k的值等于.39、在平面直角坐标系xOy 中，一次函数与反比例函数的图象交点的横坐标为x0．若 k＜x0＜ k+1，则整数 k 的值是．评卷人得分三、计算题 ( 注释 )40、如图，是反比例函数的图象的一支．根据给出的图象回答下列问题：（ 1）该函数的图象位于哪几个象限？请确定m 的取值范围；（ 2）在这个函数图象的某一支上取点A（x1， y1）、B（ x2， y2）．如果 y1＜ y2，那么 x1 与 x2有怎样的大小关系？41 、已知一次函数的图象与反比例函数图象交于点 P（4， n）。
最新沪科版九年级上数学《二次函数》单元测试题及答案
最新沪科版九年级上数学《二次函数》单元测试题及答案九年级数学二次函数单元测试题及答案一、选择题(每题3分，共30分)1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)()A. B. C. D.2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是()A. (1，-4)B.(-1，2)C. (1，2)D.(0，3)3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在()A. 第一象限B. 第二象限C. x轴上D. y轴上4. 抛物线的对称轴是()A. x=-2B.x=2C. x=-4D. x=45. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是()A. ab>0，c>0B. ab>0，c<0C. ab<0，c>0D. ab<0，c<06. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限()A. 一B. 二C. 三D. 四7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是()A. 4+mB. mC. 2m-8D. 8-2m8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是()9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3)是直线上的点，且-1<x1<x2，x3<-1，则y1，y2，y3的大小关系是()< p="">A. y1<y2<y3< p="">B. y2<y3<y1< p="">C. y3<y1<y2< p="">D. y2<y1<y3< p="">10.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是()A.B.C. D.二、填空题(每题4分，共32分)11. 二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________.12. 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=________.13. 若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_________.14. 抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y 轴于C点，且△ABC 是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________.16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：(其中g是常数，通常取10m/s2).若v0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m.17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________.18. 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是_________.三、解答下列各题(19、20每题9分，21、22每题10分，共38分)19. 若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过A(0，-4)和B(4，0)(1)求此二次函数图象上点A关于对称轴对称的点A′的坐标；(2)求此二次函数的解析式；20.在直角坐标平面内，点O为坐标原点，二次函数y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图象交x轴于点A(x1，0)、B(x2，0)，且(x1+1)(x2+1)=-8.(1)求二次函数解析式；(2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积.21.已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B 两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M为它的顶点.(1)求抛物线的解析式；(2)求△MCB的面积S△MCB.22.某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.请你分析，销售单价多少时，可以获利最大.答案与解析：一、选择题1..选A.2. 答案选C.解析：法一，直接用二次函数顶点坐标公式求.法二，将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y=a(x-h)2+k的形式，顶点坐标即为(h，k)，y=x2-2x+3=(x-1)2+2，所以顶点坐标为(1，2)，3. 解析：可以直接由顶点式形式求出顶点坐标进行判断，函数y=2(x-3)2的顶点为(3，0)，所以顶点在x轴上，答案选C.4. 考点：数形结合，二次函数y=ax2+bx+c的图象为抛物线，其对称轴为.解析：抛物线，直接利用公式，其对称轴所在直线为答案选B.5.解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上方，答案选C.6. 考点：数形结合，由抛物线的图象特征，确定二次函数解析式各项系数的符号特征.解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上方，在第四象限，答案选D.7. 解析：因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，所以抛物线对称轴所在直线为x=4，交x轴于点D，所以A、B两点关于对称轴对称，因为点A(m，0)，且m>4，所以AB=2AD=2(m-4)=2m-8，答案选C.</y1<y3<></y1<y2<></y3<y1<></y2<y3<></x1<x2，x3<-1，则y1，y2，y3的大小关系是()<>。
沪科版九年级数学上学期第23章解直角三角形单元综合测试卷含答案
年级上册数学单元综合测试卷（第23章 解直角三角形）注意事项：本卷共8大题23小题，满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tan B 的值是（ ）A .13B .3CD . 2.在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cos A 的值是（ ）A .34B .43C .35D .453.如果∠α为锐角，且sin α＝0.6，那么α的取值范围是（ ）A .0°＜α≤30°B .30°＜α＜45°C .45°＜α＜60°D .60°＜α≤90° 4.若α为锐角，且sin α＝45，则tan α的值为（ ） A .925 B .35 C .34 D .435.如图，在平面直角坐标系中，P 是第一象限内的点，其坐标为（3，m ），且OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值是43，则sin α的值为（ ） A .45 B .54 C .35 D .53第5题图 第8题图 第9题图 第10题图6. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin B ＝1213，则cos A 的值为（ ） A .512 B .125 C .1213 D .13127.在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，则sin B 的值是（ ）A B C D8.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，点D 为BC 的中点，DE ⊥AC 于点E ，则tan ∠CDE 的值等于（ ） A .1013 B .1310 C .512 D .1259.如图，两条宽度均为40 m 的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（ ） A .1600sin α(m 2) B .1600cos α(m 2) C .1600sin α(m 2) D .1600cos α(m 2)10.如图，一个小球由地面沿着坡度i ＝1：2的坡面向上前进了10m ，此时小球距离地面的高度为（ ）A .5mB .103m C . D .二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11.如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝30°，∠C ＝90°，∠ADB ＝105°，sin ∠BDC ＝2，AD ＝4．则DC ＝___________.第11题图 第12题图 第13题图 第14题图12.如图，在A 处看建筑物CD 的顶端D 的仰角为α，且tan α＝0.7，向前行进3米到达B 处，从B 处看D 的仰角为45°（图中各点均在同一平面内，A 、B 、C 三点在同一条直线上，CD ⊥AC ），则建筑物CD 的高度为___________米．13.如图，已知点A （0），直线y ＝x +b （b ＞0）与x 轴、y 轴分别相交于点C 、B ，连接AB ，∠α＝75°，则b ＝________．14.如图，正方形ABCD 中，E 是CD 中点，FC ＝14BC ，则tan ∠EAF ＝________. 三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.计算：（1）2sin602cos 60︒︒+2sin45°－22cos45tan 60︒+︒；（2）sin30°tan60°－(-tan4516.如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，AB ＝6，AC ＝A ＝30°. （1）求BD 和AD 的长； （2）求tan C 的值.四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量某河段的宽度．小明同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据计算出河宽．（精确到0.01 1.414 1.732）18.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求tan B的值.五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH＝2CH．（1）求sin B的值；（2）如果CD BE的值．20.已知，△ABC中，D是BC上的一点，且∠DAC＝30°，过点D作ED⊥AD交AC于点E，AE＝4，EC＝2．（1）求证：AD＝CD；（2）若tan B＝3，求线段AB的长﹒六、（本题满分12分）21.如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个码头，A在B的正东方向，一艘小船从A码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P处，此时从B码头测得小船在它的北偏东45°的方向．求此时小船到B码头的距离（即BP的长）和A、B两个码头间的距离（结果都保留根号）﹒七、（本题满分12分）22.如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测角器高度忽略不计，结果保留根号形式）八、（本题满分14分）23.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3，BC＝5，点M是边CD的中点，连接AM、BM.（1）求△ABM的面积；（2）求sin∠MBC的值.第23章《解直角三角形》单元综合测试题参考答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DDBDACBCAD二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11.2. 12. 7 . 13. 5 . 14.12. 三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解答：（1）2sin602cos 60︒︒+2sin45°－22cos45tan 60︒+︒；＝23212()2⨯+2×2－2232⨯+，＝3+2－32+＝3+2－23+22 ＝32－3；（2）sin30°tan60°－(-tan45)2016+2(tan301)︒-.＝12×3－(－1)2016+23(1)3- ＝3－1+1－3＝3.16.解答：（1）∵BD ⊥AC ，AB ＝6，∠A ＝30°， ∴BD ＝12AB ＝3， 在Rt △ABD 中，AD ＝AB cos A ＝6×3＝33； （2）∵AC ＝53，AD ＝33， ∴CD ＝AC －AD ＝23，在Rt △BCD 中，tan C ＝BD CD ＝23＝3.四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.解答：过C 作CE ⊥AB 于E ，设CE ＝x 米，在Rt △AEC 中：∠CAE ＝45°， ∴AE ＝CE ＝x在Rt △BCE 中，∠CBE ＝30°，BE ＝3CE ＝3x ， ∵BE ＝AE +AB ， ∴3x ＝x +50，解得：x ＝253+25≈68.30． 答：河宽为68.30米．18.解答：∵∠C ＝90°，MN ⊥AB ， ∴∠C ＝∠ANM ＝90°， 又∵∠MAN ＝∠BAC ， ∴△AMN ∽△ABC ， ∴AC AB ＝ANAM＝34，设AC ＝3x ，AB ＝4x ，由勾股定理得：BC ＝22AB AC ＝7x ， 在Rt △ABC 中，tan B ＝AC BC ＝7x＝37.五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.解答：（1）∵∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，∴CD ＝BD ， ∴∠B ＝∠BCD ， ∵AE ⊥CD ，∴∠CAH +∠ACH ＝90°， 又∠ACB ＝90°，∴∠BCD +∠ACH ＝90°，∴∠B ＝∠BCD ＝∠CAH ，即∠B ＝∠CAH ， ∵AH ＝2CH ，∴由勾股定理得AC ＝5CH ， ∴CH ：AC ＝1：5， ∴sin B ＝55；（2）∵sin B ＝5， ∴AC ：AB ＝1：5， ∴AC ＝2，∵∠CAH ＝∠B ， ∴sin ∠CAH ＝sin B ＝5， 设CE ＝x （x ＞0），则AE ＝5x ，则x 2+22＝(5x )2， ∴CE ＝x ＝1，AC ＝2，在Rt △ABC 中，AC 2+BC 2＝AB 2， ∵AB ＝2CD ＝25，∴BC ＝4，∴BE ＝BC －CE ＝3． 20.解答：（1）证明：∵ED ⊥AD ， ∴∠ADE ＝90°．在Rt △ADE 中，∠DAE ＝30°，AE ＝4， ∴∠DEA ＝60°，DE ＝12AE ＝2， ∵EC ＝2， ∴DE ＝EC ，∴∠EDC ＝∠C ．又∵∠EDC +∠C ＝∠DEA ＝60°， ∴∠C ＝30°＝∠DAE ， ∴AD ＝CD ；（2）解：如图，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，则∠AFC ＝∠AFB ＝90°， ∵AE ＝4，EC ＝2， ∴AC ＝6．在Rt △AFC 中，∠AFC ＝90°，∠C ＝30°， ∴AF ＝12AC ＝3． 在Rt △AFB 中，∠AFB ＝90°，tan B ＝3， ∴BF ＝tan AFB＝1， ∴AB ＝22AF BF ＝10． 六、（本题满分12分）21.解答：过P 作PM ⊥AB 于M ， 则∠PMB ＝∠PMA ＝90°，∵∠PBM ＝90°﹣45°＝45°，∠P AM ＝90°﹣60°＝30°，AP ＝20海里， ∴PM ＝12AP ＝10海里，AM ＝AP cos30°＝103海里，∴∠BPM ＝∠PBM ＝45°， ∴PM ＝BM ＝10海里，∴AB ＝AM +BM ＝（10+103）海里， ∴BP ＝sin 45PM︒＝102海里，即小船到B 码头的距离是102海里，A 、B 两个码头间的距离是（10+103）海里． 七、（本题满分12分）22.解答：作PE ⊥OB 于点E ，PF ⊥CO 于点F ， 在Rt △AOC 中，AO ＝100，∠CAO ＝60°， ∴CO ＝AO tan60°＝1003（米）． 设PE ＝x 米， ∵tan ∠P AB ＝PE AE ＝12， ∴AE ＝2x ．在Rt △PCF 中，∠CPF ＝45°，CF ＝1003﹣x ，PF ＝OA +AE ＝100+2x ， ∵PF ＝CF ，∴100+2x ＝1003﹣x ， 解得x ＝100(31)-（米）， 答：电视塔OC 高为1003米，点P 的铅直高度为100(31)3-（米）． 八、（本题满分14分）23.解答：（1）延长AM 交BC 的延长线于点N ， ∵AD ∥BC ，∴∠DAM ＝∠N ，∠D ＝∠MCN ， ∵点M 是边CD 的中点， ∴DM ＝CM ，∴△ADM ≌△NCM （AAS ）， ∴CN ＝AD ＝3，AM ＝MN ＝12AN ， ∴BN ＝BC +CN ＝5+3＝8， ∵∠ABC ＝90°，∴S △ABN ＝12×AB BN ＝12×4×8＝16， ∴S △ABM ＝12S △ABN ＝8；∴△ABM 的面积为8；（2）过点M 作MK ⊥BC ，∵∠ABC ＝90°， ∴MK ∥AB ，∴△NMK ∽△NAB ，∴MK AB ＝MN AN＝12，∴MK ＝12AB ＝2，在Rt △ABN 中，AN∴BM ＝12AN ＝在Rt △BKM 中，sin ∠MBC ＝MKBM ，∴∠MBC 的正弦值为5．。
沪科版九年级数学上 第23章 解直角三角形单元检测卷(含答案)
第23章 解直角三角形单元检测卷（满分：150分 时间：120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.如图，在平面直角坐标系的第一象限内有一点A ，它的坐标为（x ，y ），直线AO 与x 轴正半轴的夹角为α，则α的正弦值为……………………………………………【 】A . x yB . y xC . 22y x y +D .2.在Rt △ABC 中，若将各边的长都扩大为原来的n 倍，则锐角A 的余弦值将………【 】A . 扩大为原来的n 倍B . 缩小为原来的n 倍C .没有变化D .不能确定3.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则下列关系式：①0＜sin A ＜1；②sin A ＋sin B ＞1；③sin 2A ＋sin 2B ＝1；④sin A ＝sin B ·tan A .其中正确的有……………………………………【 】 A .①②③④ B .①② C .245D .6第1题图CB第4题图A第7题图4.如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝10，sin ∠CAB ＝0.6，则AC 边上的高为……………【 】A .9.8B .9.6C .8D .6 5.在△ABC 中，AC ＝5，AB ＝13，则tan A 的值为……………………………………【 】A .125 B . 513 C . 1213D .不确定 6. 在△ABC 中，AB＝12，BC ＝AD 是BC 边上的高，AD ＝6，则tan C 的值为【 】ABCD .2A .1︰43 B . 1︰0.75 C .35D . 0.8 30°CB第8题图A135°252m25mCB第9题图A第10题图D CBA8.如图，我校准备从地面A 点向国旗杆底座上部B 点修建阶梯AB ，已知AC ＝1.5m ，每阶的高不超过15cm1.732，最后一阶的高不足15cm 时按一阶计）…………………………………………………………………………………【 】 A .4阶 B .5阶 C .6阶 D .7阶 9.如图，我市和平小学准备在一块如图所示的三角形空地上种植花草以美化校园，若请园林工人种植花草需2元/m 2，,学校发动师生自己动手种植花草需1.5元/m 2，则学校发动师生自己动手种植花草可节约资金…………………………………………【 】 A .468.75元 B .312.5元 C .156.25元 D .625元10.如图，某水渠的横断面为四边形ABCD ，AB ∥CD ，∠DAB ＝∠CBA ＝120°，设AD ＝x ，四边形ABCD 的周长为 y ，在水流速度一定的情况下，水流量与水渠横断面面积成正比，要使水渠的流量最大，则x 与y 应满足的关系是……………………………【 】 A .y ＝3x B . y ＝4x C . y ＝5x D . y ＝6x二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.已知在△ABC 中，∠C ＝90°，两直角边分别为a 、b ，且a 、b 满足方程a 2－4ab ＋3b 2＝0，则sin B ＝___________.12.如图，在□ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，∠BDE ＝30°，DE ＝1，则DB ＝_____________. 13.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，D 为AC 上一点，若tan ∠DBA ＝14，则tan ∠DBC ＝ _______________.14.如图，为了测量我市电视塔MN 的高度，在塔前的平地上选择一点P ，测得看塔顶的仰角为30°，从P 点向塔底N 走100m 到达Q 点，测得看塔顶的仰角为45°，则电视塔MN 的高度为____________m .O第12题图E DC BA第13题图DC B AQ 第14题图MP三、（本大题共两小题，每小题8分，满分16分）15．计算：﹣2﹣2°－sin 245°＋21cos 60-︒.16.如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，∠CDE ＝∠α，DA ＝8，DC ＝15，试求∠α的三个三角函数值.αEDCBA17.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°.（1）求证：tan A＝sincosAA；（2）运用上述结论，解决下列问题，已知α为锐角，且tanα＝2，试求sin2cos 3sin4cosαααα＋－的值.18.如图，将两块三角板按如图所示放置，其中∠ACB＝∠ADF＝90°，∠AFD＝45°，∠ABC＝30°，AF＝BC＝3，试求四边形ACED的周长.F EDCBA19.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，M 是AB 边的中点，AN ⊥CM ，交CM 的延长线于点N ，BC ＝9，cos B ＝35. （1）求AN 的长；（2）求sin ∠CAN 的值.CBAN M20.如图，我市风景区有两个景点A 、B ，为了方便游客，风景区管理处决定在相距2千米的A 、B 两景点之间修一条笔直的公路（即图中的线段AB ），经测量，在A 点的北偏东60°方向、B 点的西偏北45°方向的C 处有一个半径为0.8千米的小水塘，试问小水塘会不会影响公路的修建？请说明理由.45°60°CBA21.如图，为了测量我校教学楼前的一座景观石的高度，在教学楼二楼的C点处测得顶部A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°，又在五楼的D点测得顶部A点的俯角为60°，已知CD＝10m，试求景观石AB1.7，结果保留整数）.30°45°60°CBAED22.如图，我市防汛指挥部发现在我市的长江段有一处长300m ，高6m ，背水坡的坡角为45°的防洪大堤急需加固，其横截面为梯形ABCD ，防汛专家制定方案：背水坡面用土石进行加固，使上底加宽1m ，加固后背水坡EF 的坡比i ＝1︰2. （1）求加固后坝底增加的宽度BE 的长； （2）求完成这项工程需要土石多少立方米？CB AF ED23.如图，池塘中央有一棵大树，在数学活动课上余老师带领同学们去测量这棵大树的高度，现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，测出这棵树的高度AB，要求：（1）请你画出测量示意图并写出测量步骤（测量所得数据均用字母表示）；（2）根据（1）中的数据计算这棵树的高度AB.B参考答案1.D 解析：如下图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，则OB ＝x ＝x ，AB ＝y ＝y ，在Rt △OAB中，由勾股定理得OA ，∴sin α＝ABOA ，∴D 对.2.C 解析：锐角三角函数值的大小只与角的度数有关，与其他因素无关，∴C 对.3.A 解析：∵a ＜c ，∴0＜a c ＜1，∵sin A ＝a c ，∴0＜sin A ＜1，∴①正确；∵sin A ＝ac，sin B ＝b c ，∴sin A ＋sin B ＝a c ＋b c ＝a b c +，∵a ＋b ＞c ，∴a b c+＞1，∴sin A ＋sin B ＞1，∴②正确；∵sin A ＝a c ，sin B ＝b c ，∴sin 2A ＋sin 2B ＝22a c ＋22b c ＝222a b c +，∵a 2＋b 2＝c 2，∴222a b c +＝1，∴sin 2A ＋sin 2B ＝1，∴③正确；∵sin A ＝a c ，sin B＝b c ，tan A ＝a b ，∴sin B ·tan A ＝b c ×a b ＝ac＝sin A ，∴④正确.∴A 对. 4.B 解析：如下图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，过点B 作BE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ，∵AC ＝BC ，∴AD ＝BD ，在Rt △CAD 中，sin ∠CAD ＝CDCA＝0.6，∴CD ＝0.6×CA ＝0.6×10＝6，由勾股定理得AD 8，∴AB ＝16，∵S △ABC ＝12×AB ×CD ＝12×AC ×BE ，∴BE ＝AB CD AC ⨯＝16610⨯＝9.6，,∴B 对.5.D 解析：∵△ABC 不一定是直角三角形，∴tan A 的值不能确定，∴D 对.CD ＝BC －BD ＝在Rt △ADC 中，tan C ＝AD CDAD 在△ABC 外部时，如下图②，在Rt △ABD 中，由勾股定理得BD∴CD ＝BC ＋BD ＝在Rt △ADC 中，tan C ＝AD CD＝7.∴综上，tan C7.∴B 对. 图①CBA图②DCB A7.A 解析：如下图，斜坡AB ＝10，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，此时斜坡高度BC ＝6，在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC8，∴斜坡坡度i ＝BC AC ＝68＝34＝1︰43∴A 对.8.C 解析：在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝1.5，∵tan A ＝BCAC，∴BC ＝AC ·tan A ＝1.5×0.15≈6（阶），∴C 对. 9.C 解析：如下图，过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于点D ，∵∠ACB ＝135°，∴∠ACD ＝45°，又AC ＝Rt △ACD 中由si n ∠ACD ＝ADAC得AD ＝AC ×sin45°＝2＝25，∴S △ABC ＝12×BC ×AD ＝12×25×25＝312.5，135°252m 25mD CBA10.B 解析：如下图，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥CD 于点F ，由题意得Rt△AED ≌△BFC ，四边形ABFE 为矩形，∵∠DAB ＝∠CBA ＝120°，∴∠D ＝∠C ＝60°，∵AD ＝BC ＝x ，∴DE ＝CF ＝12x ，由勾股定理得AE ＝BF＝，设水渠流量为z ，则z ＝12（y －2x2＋xyx －14y ）2y 2，当x ＝14y 时，z 最大，∴当y ＝4x 时，水渠的流量最大，∴B 对.11.2或10解析：解方程a 2－4ab ＋3b 2＝0，得a ＝b 或a ＝3b ，当a ＝b 时，c，∴sin B ＝b c＝2；当a ＝3b 时，c，∴sin B ＝b c＝10.∴sin B＝2. 12.解析：在Rt △ODE 中，cos ∠ODE ＝DE OD ，∵∠BDE ＝30°，DE ＝1，∴OD ＝cos30DE ︒2ABCD 为平行四边形，∴DB ＝2DO.13.35解析：如下图，过点D作DE⊥AB于点E，在Rt△ABC中，AC＝BC＝5，由勾股定理得AB＝Rt△ADE中，设AD＝DE＝x，则由勾股定理得AD，在Rt△DEB中，tan∠DBE＝DEBE＝14，∴BE＝4x，∴AB＝BE ＋AE＝5x＝xAD＝2，∴CD＝3，∴在Rt△DBC中，tan ∠DBC＝DCBC＝35.14.（50）解析：在Rt△MNQ中，设MN＝x，∵∠MQN＝45°，tan∠MQN＝MNQN，∴QN＝tan45x︒＝x，在Rt△MNP中，MN＝x，∵∠MPN＝30°，tan∠MPN＝MNPN，∴PN＝tan30x︒，∵PN－QN＝PQ，∴－x＝100，解得x＝50＝MN.15.解：原式＝﹣14＋2＋211()2-＝﹣14＋2－12＋34＝2.16.解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠CDA＝90°，在Rt△ADC中，DA＝8，DC＝15，∴由勾股定理得AC17，∵DE⊥AC，∴∠α＝∠CDA，∴sin∠α＝sin∠CDA＝DCAC＝1517，cos∠α＝cos∠CDA＝DAAC＝817，tan∠α＝tan∠CDA＝DCDA＝158.17.解：（1）∵sin A＝ac，cos A＝bc，∴sincosAA＝acc＝ac×cb＝ab，∵tan A＝ab，∴tan A＝sincosAA；（2）由（1）得tanα＝sincosαα，又tanα＝2，∴sincosαα＝2，∴sinα＝2 cosα，代入得sin2cos3sin4cosαααα＋－＝2cos2cos6cos4cosαααα＋－＝2.18.解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，BC＝3，tan∠B＝ACBC，∴AC＝BC×tan30°＝3FC＝AF－AC＝3Rt△ADF中，∠F＝45°，AF＝3，sin∠F＝ADAF，∴AD＝AF×sin45°＝3＝DF，又在等腰Rt△FCE中，∠F＝45°，FC＝EC＝3cos∠F＝FCFE，∴FE＝cos45FC︒＝∴DE＝DF－EF＝2－2，∴AC＋EC＋DE＋AD33ACED的周长为3（2）在Rt△AMN中，由勾股定理得MN2.1，∴CN＝CM＋MN＝7.5＋2.1＝9.6，∴在Rt△ACN中，sin∠CAN＝ANAC＝9.612＝45.20.解：小水塘会影响公路的修建，理由如下：如下图，过点C作CD⊥AB于点D，设CD＝x，在Rt△CDB中，∠CDB＝90°，∠CBD＝45°，tan∠CBD＝CDBD，∴BD＝tan 45CD ︒＝x ，在Rt △CDA 中，∠CDA ＝90°，∠CAD ＝30°，tan ∠CAD ＝CDAD，∴AD ＝tan 30CD︒，又AB ＝AD ＋BD ＝2＋x ＝2，解得x1，1≈0.732＜0.8，小水塘会影响公路的修建.45°60°CBA21.解：如下图，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，∵∠ADC ＝90°－60°＝30°，∠ACD ＝90°－30°＝60°，∴∠CAD ＝90°，∵CD ＝10，∴AC ＝12CD ＝5，在Rt △ACF 中，AF ＝AC sin30°＝5×12＝52，CF ＝AC cos30°＝5，在Rt △BCF 中，∵∠BCF ＝45°，BF ＝AC tan30°＝5，∴AB ＝AF ＋BF ＝52≈9（m ）.答：景观石AB 的高度约为9m.22.解：（1）如下图，过点A 作AQ ⊥BC 于点Q ，过点F 作FP ⊥BC 于点P ，则AF ＝PQ＝1，AQ ＝FP ＝6，在Rt △ABQ 中，∠ABQ ＝45°，tan ∠ABQ ＝AQBQ，∴BQ ＝tan 45AQ ︒＝6，∴BP ＝BQ －PQ ＝6－1＝5，在Rt △EFP 中，i ＝1︰2＝FPEP，∴EP ＝2FP ＝12，∴EB ＝EP －BP ＝12－5＝7；（2）S梯形AFEB＝12（F A ＋EB ）×FP ＝12（1＋7）×6＝24，24×300＝7200（m 3）∴完成这项工程需要土石7200立方米.Q P CB AF ED23.解：（1）测量示意图如下图；测量步骤：①用皮尺测出测角仪的高度h ；②在地面上选择点C 安装测角仪并测出此时树顶A 点的仰角∠ADE ＝α；③沿CB 前进到点F ，用皮尺测出点C 、F 之间的距离CF ＝l ；④在点F 处安装测角仪，测得此时树顶A 点的仰角∠AGE ＝β.（2）观察测量示意图，设AE ＝x ，在Rt △ADE 中，tan ∠ADE ＝AE DE ，∴DE ＝－tan xα，在Rt △AGE 中，tan ∠AGE ＝AE GE ，∴GE ＝tan xβ，∵DE －GE ＝DG ＝CF ＝l ，∴tan x αtan x β＝l ，解得x ＝tan tan tan tan l αββα∙-，∴AB ＝AE ＋EB ＝AE ＋CD ＝tan tan tan tan l αββα∙-＋h .。
沪科版九年级数学上册第23章达标测试卷附答案
沪科版九年级数学上册第23章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1.在R t△ABC中，∠C＝90°，BC＝7，AC＝24，则s i n B的值是()A.724 B.247 C.725 D.24252．已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则cosα等于()A.12 B.22 C.32 D.333．当30°＜∠A＜90°时，s i n A的值()A．大于32B．小于32C．小于12D．大于12，小于14．如图，在R t△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，若AC＝5，BC＝2，则s i n∠ACD的值为()A.53 B.2 55 C.52 D.23(第4题)(第5题)(第6题)(第7题)5．如图，AC是电线杆的一根拉线，测得BC＝6 m，∠ACB＝52°，则拉线AC 的长为()A.6sin 52°m B.6tan 52°m C．6 cos 52° m D.6cos 52°m6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，定义：斜边与∠A的邻边的比叫做∠A的正割，用“sec A”表示，如设该直角三角形各边长为a，b，c，则sec A＝cb，则下列说法正确的是() A．sec B·sin A＝1B．sec B＝b cC．sec A·cos B＝1 D．sec2A·sec2B＝17.如图，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近．同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为()A．103海里/时B．30海里/时C．203海里/时D．303海里/时8．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30 m，斜坡的倾斜角是∠BAC.若tan ∠BAC＝25，则此斜坡的水平距离AC为()A．75 m B．50 mC．30 m D．12 m(第8题)(第9题)(第10题)9．如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满水，乙杯是空的．若把甲杯中的水全部倒入乙杯，则乙杯中的水面与图中点P的距离是()A．2 cm B．4 3 cmC．6 cm D．8 cm10．如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝12BD，连接AC，若tanB＝53，则tan ∠CAD的值为()A.33 B.35 C.13 D.15二、填空题(每题3分，共18分)11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，那么sin B＝________．12．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos B＝23，则sin B的值为________．13．如图，在△ABC中，BC＝6＋2，∠C＝45°，AB＝2AC，则AC的长为________．(第13题)(第14题)(第15题)(第16题) 14.如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan (α＋β)________tanα＋tanβ.(填“＞”“＜”或“＝”)15．如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是____________________．16.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M.若经过点M的反比例函数y＝kx(x＜0)的图象交AB于点N，S矩形OABC＝32，tan ∠DOE＝1 2，则BN的长为________．三、解答题(21，22题每题10分，其余每题8分，共52分)17．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，S△ABC＝12.试求tan B的值．18．已知α为锐角，且s i n2α－52s i nα＋1＝0，求s i nα的值．19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan B＝cos ∠DAC.(1)求证：AC＝BD；(2)若sin C＝1213，AD＝24，求BC的长．20．如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED＝58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE＝7米，升旗台坡面CD的坡度i＝1∶0.75，坡长CD＝2米，若旗杆底部B点处到坡面CD顶端C点处的水平距离BC＝1米，旗杆AB的高度约为多少？(参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60，计算结果保留一位小数)21．如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，2≈1.4，3≈1.7等数据信息，解答下列问题：(1)公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？(2)为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．施工队原计划每天修建多少千米？22．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，P为BC边上一点，△APD为等腰三角形．(1)小明画出了一个满足条件的△APD，其中P A＝PD，如图①，则tan∠BAP的值为________；(2)请你在图②中再画出一个满足条件的△APD(与小明画的不同)，并求此时tan∠BAP的值．答案一、1．D 2．B 3．D 4．A 5．D 6．A7．D 点拨：∵∠CAB ＝10°＋20°＝30°，∠CBA ＝80°－20°＝60°，∴∠C ＝90° . ∵AB ＝20海里，∴AC ＝AB ·cos 30°＝103海里．∴救援船航行的速度为103÷2060＝303(海里/时)．故选D.8．A 点拨：∵∠BCA ＝90° ，tan ∠BAC ＝25，BC ＝30 m ，∴tan ∠BAC ＝BC AC ＝30AC ＝25，解得AC ＝75 m ，故选A. 9．C10．D 点拨：如图，过点C 作CE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，∵tan B ＝53，即AD AB ＝53， ∴设AD ＝5x ，则AB ＝3x . ∵∠CDE ＝∠BDA ， ∠CED ＝∠BAD ＝90°， ∴△CDE ∽△BDA ， ∴CE AB ＝DE AD ＝CD BD ＝12， ∴CE ＝32x ，DE ＝52x ， ∴AE ＝152x ，∴tan ∠CAD ＝CE AE ＝15，故选D.二、11．12 12．53 13．214．＞ 点拨：如图，易知△ABC 是等腰直角三角形，∴tan (α＋β)＝tan 45°＝1，tan α＋tan β＝DE AD ＋CD AD ＝CEAD ＜1， ∴tan (α＋β)＞tan α＋tan β.15.3＜BC ＜2 316．3 点拨：∵S 矩形OABC ＝32，∴AB ·BC ＝32.∵矩形OABC 绕点O 顺时针旋转，使点B 落在y 轴上，得到矩形ODEF ， ∴AB ＝DE ，OD ＝OA .在Rt △ODE 中，tan ∠DOE ＝DE OD ＝12，∴OD ＝2DE ， ∴DE ·2DE ＝32，解得DE ＝4，∴AB ＝4，OA ＝8. 在Rt △OCM 中，∵tan ∠COM ＝MC OC ＝12，而OC ＝AB ＝4，∴MC ＝2， ∴M (－2，4)．把M (－2，4)的坐标代入y ＝kx ，得k ＝－2×4＝－8，∴反比例函数表达式为y ＝－8x .当x ＝－8时，y ＝－8－8＝1，则N (－8，1)，∴BN ＝4－1＝3.故答案为3.三、17．解：如图，过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于D ，则S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×AD ＝12，解得AD ＝4. 在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝82－42＝4 3， ∴tan B ＝AD BD ＝44 3＝33.18．解：由题意，得sin α＝2或sin α＝12.∵α为锐角，∴0＜sin α＜1. ∴sin α＝12.19．(1)证明： 在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，tan B ＝AD BD ，cos ∠DAC ＝ADAC .∵tan B ＝cos ∠DAC ， ∴AD BD ＝ADAC ，∴AC ＝BD .(2)解：在Rt △ADC 中，sin C ＝AD AC ，则AC ＝AD s i n C ＝ 241213 ＝26，∴CD ＝AC 2－AD 2＝262－242＝10. ∴BC ＝BD ＋CD ＝AC ＋CD ＝26＋10＝36.20．解：如图，延长AB 交ED 的延长线于M ，过点C 作C J ⊥DM 于J.则四边形BMJC 是矩形．由题意得在R t △C J D 中，CJ DJ ＝10.75＝43， 设CJ ＝4k 米，DJ ＝3k 米，∵CD ＝2米， ∴(3k )2＋(4k )2＝22， ∴k ＝25(负值舍去)，∴BM ＝CJ ＝85米，BC ＝MJ ＝1米，DJ ＝65米，∴EM ＝MJ ＋DJ ＋DE ＝465米． 在Rt △AEM 中，tan ∠AEM ＝AM EM ， ∴tan 58°＝AB ＋85465≈1.60，解得AB ≈13.1米．故旗杆AB 的高度约为13.1米．21．解：(1)如图，过点C 作AB 的垂线CD ，垂足为D .∵在Rt △BCD 中，∠B ＝30°，BC ＝100千米， ∴CD ＝BC ·sin 30°＝100×12＝50(千米)， BD ＝BC ·cos 30°＝100×32＝50 3(千米)． ∵在Rt △ACD 中，∠A ＝45°， ∴∠ACD ＝45°＝∠A ， ∴AD ＝CD ＝50千米，AC ＝CD s i n A ＝50s i n 45°＝50 2(千米)， ∴AB ＝AD ＋BD ＝50＋50 3(千米)， ∴AC ＋BC －AB ＝50 2＋100－(50＋503)＝50＋502－503≈35(千米)．答：从A 地到景区B 旅游可以少走约35千米． (2)设施工队原计划每天修建x 千米，依题意得 50＋50 3x －50＋50 3（1＋25%）x ＝50， 解得x ≈0.54，经检验x ≈0.54是原分式方程的解． 答：施工队原计划每天修建约0.54千米． 22．解：(1)1(2)(画法一)如图①所示． ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝90°.∵AP ＝AD ＝6，AB ＝3，∴在Rt △ABP 中，BP ＝AP 2－AB 2＝3 3.∴tan ∠BAP ＝BPAB ＝ 3.(画法二)如图②所示．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°.∵PD＝AD＝BC＝6，CD＝AB＝3，∴在Rt△CPD中，CP＝PD2－CD2＝3 3. ∴BP＝BC－CP＝6－3 3.∴tan ∠BAP＝BPAB＝2－ 3.沪科版九年级数学上册期末测试卷一、选择题(每题4分，共40分)1.2sin 60°的值等于()A．1 B. 2 C. 3 D．22．下列函数属于二次函数的是()A．y＝2x－1 B．y＝x2＋2x－3C．y＝1x2＋3 D．y＝5x3．抛物线y＝3x2－3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为() A．y＝3(x－3)2－3 B．y＝3x2C．y＝3(x＋3)2－3 D．y＝3x2－64．在R t△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝15，则∠A＝() A．90°B．60°C．45°D．30°5．若点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)都是反比例函数y＝－1x图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是() A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x2＜x1＜x3D．x2＜x3＜x16．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶9，则S△BDE与S△CDE的比是()A．1∶3 B．1∶2C．1∶4 D．1∶97．下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：x 1 1.1 1.2 1.3 1.4y－1 －0.49 0.04 0.59 1.16那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是()A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.38．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论中正确的是() A．abc＞0 B．2a－b＝0C．2a＋b＝0 D．a－b＋c＞0(第8题) (第9题)9．如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A2 020A2 021，过点A1、A2、A3、…、A2 020、A2 021分别作x轴的垂线与反比例函数y＝2x(x≠0)的图象相交于点P1、P2、P3、…、P2 020、P2 021，得直角三角形OP1A1、A1P2A2、A2P3A3、…、A2 020P2 021A2 021，并设其面积分别为S1、S2、S3、…、S2 020、S2 021，则S2 021的值为()A.12 020 B.12 021 C.11 010 D.22 02110．如图，正方形ABCD的边长为3 cm，动点P从B点出发以3 cm/s的速度沿着边BC→CD→DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x (s )，△BPQ 的面积为y (cm 2)，则y 关于x 的函数图象是( )二、填空题(每题5分，共20分)11．若抛物线y ＝ax 2＋k 与y ＝3x 2的形状和开口方向相同，且其顶点坐标是(0，1)，则其表达式为____________________．12．若a b ＝c d ＝ef ＝2，且b ＋d ＋f ＝4，则a ＋c ＋e ＝________． 13．已知α是锐角，若sin α＝cos 15°，则α＝________°.14．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，AD ＝2 cm ，AB ＝7 cm ，BC ＝3 cm ，试在AB 边上确定P 的位置，使得以P 、A 、D 为顶点的三角形与以P 、B 、C 为顶点的三角形相似，则AP 的长是__________________________． 三、(每题8分，共16分)15．计算：2cos 45°－tan 60°＋sin 30°－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12 .16．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在AC 上，∠BDC ＝45°，BD ＝102，AB ＝20. (1)求BC 的长； (2)求AC 的长； (3)求∠A 的大小．四、(每题8分，共16分)17．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c与x的一些对应值如表：x…－1 0 1 2 3 4 …y＝ax2＋bx＋c… 3 －1 3 …(1)根据表格中的数据，确定二次函数的表达式；(2)补全表格中空白处的对应值并利用表格，用五点作图法，在图中画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象；(不必重新列表)(3)根据图象回答：①当1≤x≤4时，求y的取值范围；②当x取何值时，y＞0?18．如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°，现有一架长为6 m的梯子AB，当梯子底端离墙面的距离AC＝2 m时，此时人是否能够安全地使用这架梯子？(参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26)五、(每题10分，共20分)19．如图，已知△ABD∽△ACE.求证：(1)∠DAE＝∠BAC；(2)△DAE∽△BAC.20．如图，已知A(－4，2)，B(n，－4)是一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝mx(m≠0)的图象的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)根据图象写出使一次函数的函数值小于反比例函数的函数值的x的取值范围．六、(12分)21．如图，图中的小方格是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．(1)画出位似中心点O；(2)求出△ABC与△A′B′C′的相似比；(3)以点O为位似中心，在图中画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比等于3∶2.七、(12分)22．某公司生产a型活动板房的成本是每个425元．图①表示a型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4 m，宽AB＝3 m，抛物线的最高点E到BC的距离为4 m.(1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2＋m(k≠0)表示．求该抛物线的函数表达式；(2)现将a型活动板房改造为b型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2.已知GM＝2 m，求每个b型活动板房的成本是多少？(每个b型活动板房的成本＝每个a型活动板房的成本＋一扇窗户FGMN的成本)(3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的b型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个b型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n(元)定为多少时，每月销售b型活动板房所获利润w(元)最大？最大利润是多少？八、(14分)23．如图，R t△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB ＝∠BPC＝135°.(1)求证：△P AB∽△PBC；(2)求证：P A＝2PC；(3)若点P到三角形的三边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证：h12＝h2·h3.答案一、1．C2．B 点拨：A.y ＝2x －1是一次函数，故A 错误；B.y ＝x 2＋2x －3是二次函数，故B 正确；C.y ＝1x 2＋3中自变量x 的指数为－2，故C 错误；D.y ＝5x 是反比例函数，故D 错误．故选B. 3．A4．D 点拨：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝15，∴tan A ＝BC AC ＝515＝33.又∵tan 30°＝33， ∴∠A ＝30°.故选D.5．D 点拨：∵反比例函数y ＝－1x 中k ＝－1＜0，∴此函数的图象在第二、四象限，且在每一象限内y 随x 的增大而增大． ∵y 1＜0＜y 2＜y 3，∴点(x 1，y 1)在第四象限，(x 2，y 2)、(x 3，y 3)两点均在第二象限， ∴x 2＜x 3＜x 1.故选D. 6．B 点拨：∵DE ∥AC ，∴△DOE ∽△COA . 又S △DOE ∶S △COA ＝1∶9， ∴DE AC ＝13. ∵DE ∥AC ， ∴BE BC ＝DE AC ＝13， ∴BE CE ＝12，∴S △BDE 与S △CDE 的比是1∶2.故选B. 7．C8．C 点拨：A.由抛物线的开口向下知a ＜0，∵对称轴为直线x ＝－b2a ＞0，a＜0，∴a 、b 异号，即b ＞0.∵由图象知抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0， ∴abc ＜0，故本选项不符合题意； B ．∵a ＜0，b ＞0，∴2a －b ＜0，故本选项不符合题意； C ．由图象可知，对称轴是直线x ＝1， ∴－b2a＝1，∴2a ＋b ＝0，故本选项符合题意；D ．根据图象的对称性可知当x ＝－1时，y ＜0，即a －b ＋c ＜0，故本选项不符合题意，故选C.9．B 点拨：因为OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝A 3A 4＝A 4A 5，所以由k 的几何意义得，S 1＝1，S 2＝12S 1＝12， S 3＝13S 1＝13， S 4＝14S 1＝14， S 5＝15S 1＝15，… 依次类推：S n 的值为1n . 当n ＝2 021时，S 2 021＝12 021. 故选B.10．C 点拨：由题意可得BQ ＝x .①0≤x ≤1时，P 点在BC 边上，BP ＝3x ， 则△BPQ 的面积＝12BP ·BQ ， 即y ＝12·3x ·x ＝32x 2，故A 选项错误； ②1＜x ≤2时，P 点在CD 边上， 则△BPQ 的面积＝12BQ ·BC ，即y ＝12·x ·3＝ 32x ，故B 选项错误；③2＜x ≤3时，P 点在AD 边上，AP ＝9－3x ， 则△BPQ 的面积＝12AP ·BQ ，即y ＝12·(9－3x )·x ＝92x －32x 2，故D 选项错误．故选C. 二、11．y ＝3x 2＋112．8 点拨：由a b ＝c d ＝ef ＝2及等比性质知，a ＋c ＋e b ＋d ＋f＝a ＋c ＋e 4＝2，∴a ＋c ＋e ＝8. 故答案为8.13．75 点拨：∵sin α＝cos 15°，∴α＝90°－15°＝75°. 故答案为75. 14.145 cm 或1 cm 或6 cm点拨：设AP ＝x ，则BP ＝7－x . ∵AD ∥BC ，∠A ＝90°， ∴∠B ＝∠A ＝90°.当∠APD ＝∠BPC 时，△APD ∽△BPC ， ∴AP BP ＝AD BC ，即x 7－x ＝23，解得x ＝145；当∠APD ＝∠BCP 时，△APD ∽△BCP ，∴AP BC ＝AD PB ，即x 3＝27－x，解得x ＝1或x ＝6.综上所述，当AP 的长为145 cm 或1 cm 或6 cm 时，以P 、A 、D 为顶点的三角形与以P 、B 、C 为顶点的三角形相似．故答案为145 cm 或1 cm 或6 cm.三、15．解：原式＝2×22－3＋12－12＝2－ 3. 16．解：(1)在Rt △BCD 中，∵sin ∠BDC ＝BC BD ，∴BC ＝BD ·sin ∠BDC ＝102×22＝10.(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝20，BC ＝10， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝10 3. (3)在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AB ＝12， 又∵∠A 为锐角，∴∠A ＝30°.四、17.解：(1)∵由表格可知，x ＝0时，y ＝3；x ＝2时，y ＝－1；x ＝4时，y ＝3，∴⎩⎨⎧c ＝3，4a ＋2b ＋c ＝－1，16a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝3.∴二次函数的表达式为y ＝x 2－4x ＋3. (2)补全表格：x … －1 0 1 2 3 4 … y ＝ax 2＋bx ＋c …83－13…函数图象如图所示：(3)①由(2)的函数图象可知，当 1≤x ≤4时，y 的取值范围是－1≤y ≤3； ②由函数图象可知，当x ＜1或x ＞3时，y ＞0. 18．解：在Rt △ABC 中，∵cos α＝AC AB ， ∴AC ＝AB ·cos α，当α＝50°时，AC ＝AB ·cos 50°≈6×0.64＝3.84(m)， 当α＝75°时，AC ＝AB ·cos 75°≈6×0.26＝1.56(m)．即要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子底端离墙面的距离应该在1.56 m ～3.84 m 之间，故当梯子底端离墙面的距离AC ＝2 m 时，人能够安全地使用这架梯子．五、19.证明：(1)∵△ABD ∽△ACE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，∴∠BAD ＋∠BAE ＝∠BAE ＋∠CAE ，∴∠DAE ＝∠BAC .(2)∵△ABD ∽△ACE ， ∴AD AE ＝AB AC ，∴AD AB ＝AE AC .又∵∠DAE ＝∠BAC ，∴△DAE ∽△BAC .20．解：(1)把A (－4，2)代入y ＝m x 中，得m ＝－8，则反比例函数的表达式是y ＝－8x .把(n ，－4)代入y ＝－8x ，得n ＝2，则点B 的坐标是(2，－4)．把A (－4，2)，B (2，－4)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧－4k ＋b ＝2，2k ＋b ＝－4， 解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝－2，则一次函数的表达式是y ＝－x －2.(2)由图象及(1)可知使一次函数的函数值小于反比例函数的函数值的x 的取值范围是－4＜x ＜0或x ＞2.六、21．解：(1)如图所示，点O 即为所求．(2)△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为OA OA ′＝612＝12.(3)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求．七、22．解：(1)∵AD ＝4 m ，∴D (2，0)．由题意知EH ＝4 m ，OH ＝AB ＝3 m ，∴EO ＝EH －OH ＝4－3＝1(m)，∴E (0，1)．把点D (2，0)，E (0，1)的坐标代入y ＝kx 2＋m ，得⎩⎨⎧0＝4k ＋m ，1＝m ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，m ＝1，∴该抛物线的函数表达式为y ＝－14x 2＋1.(2)∵GM ＝2 m ，∴OM ＝OG ＝1 m ，当x ＝1时，y ＝－14×12＋1＝34，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34， ∴MN ＝34 m ，∴S 长方形FGMN ＝MN ·GM ＝34×2＝32(m 2)，∴每个b 型活动板房的成本是425＋32×50＝500(元)．(3)根据题意，得w ＝(n －500)⎣⎢⎡⎦⎥⎤100＋20（650－n ）10＝－2(n －600)2＋20 000， ∵每月最多能生产160个b 型活动板房，∴100＋20（650－n ）10≤160，解得n ≥620，∵－2＜0， ∴当n ≥620时，w 随n 的增大而减小，∴当n ＝620时，w 有最大值，W 最大值＝19 200.答：公司将销售单价定为620元时，每月销售b 型活动板房所获利润最大，最大利润是19 200元．八、23．证明：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°＝∠PBA＋∠PBC.又∵∠APB＝135°，∴∠P AB＋∠PBA＝45°，∴∠PBC＝∠P AB.又∵∠APB＝∠BPC＝135°，∴△P AB∽△PBC.(2)∵△P AB∽△PBC，∴P APB＝PBPC＝ABBC.在R t△ABC中，AB＝AC2＋BC2＝2BC，∴ABBC＝2，∴PB＝2PC，P A＝2PB，∴P A＝2PC.(3)如图，过点P作PD⊥BC交BC于点D，PE⊥AC交AC于点E，PF⊥AB 交AB于点F，∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3.∵∠CPB＋∠APB＝135°＋135°＝270°，∴∠APC＝360°－270°＝90°，∴∠EAP＋∠ACP＝90°.又∵∠ACB＝∠ACP＋∠PCD＝90°，∴∠EAP＝∠PCD.又∵∠AEP＝∠CDP＝90°，∴R t△AEP∽R t△CDP，∴PEDP＝APPC＝2，即h3h2＝2，∴h3＝2h2.∵△P AB∽△PBC，∴h1h2＝ABBC＝2，∴h1＝2h2，∴h12＝2h22＝2h2·h2＝h2h3，即h12＝h2·h3.。
2020沪科版数学九年级上册第23章达标检测试题及答案
点 C 处 ，测得这棵树顶端 D 的仰角为 60° .已知点 A 的高度 AB 为 3 m， 台阶 AC 的坡度为
1∶ 3， 且 B， C，E 三点在同一条直线上 ， 那么这棵树 DE 的高度为 ( ) A． 6 m B． 7 m C． 8 m D． 9 m 二、填空题 (每题 5 分 ， 共 20 分 ) 11． 若∠ A 是锐角 ， 且 sinA 是方程 2x 2－ x ＝ 0 的一个根 ，则 sinA ＝ ________．
第 23 章达标检测卷
(150 分 ，90 分钟 ) 题号 一 二 三 总分 得分
一、选择题 (每题 4 分 ， 共 40 分 )
1． (2015 ·天津 )cos 45°的值等于 ( )
1
2
3
A.2 B. 2 C. 2 D . 3
2． 在 Rt△ABC 中 ，∠ C＝ 90° ，AB ＝ 10， AC ＝6， 则 cos A 的值是 ( )
)
A． 0°＜∠ A＜ 30° B． 30°＜∠ A ＜ 60° C． 60°＜∠ A ＜ 90° D ． 30°＜∠ A ＜ 90 °
10．如图 ，小叶与小高欲测量公园内某棵树 DE 的高度．他们在这棵树正前方的一座楼 亭前的台阶上的点 A 处测得这棵树顶端 D 的仰角为 30° ，朝着这棵树的方向走到台阶下的
(第 20 题 ) 5
17． (2015
·襄阳 )如图 ，AD
是△ ABC
的中线
，
tan
B＝
1， 3
cos
C＝
2， AC ＝ 2
2.求：
(1)BC 的长；
(2)sin ∠ ADC 的值．
(第 17 题)
18． 如图 ， 在△ ABC 中 ， AD 是 BC 边上的高 ， tanB＝ cos∠ DAC. (1)求证： AC ＝BD ；
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孙疃中心学校集体备课专用纸年级 九 学科 数学 时间2010、9、20 主备教师 王 杰 审核人______ 年级组长签名__________班级_____________ 学生姓名___________《第23章 二次函数（23.1—23.5）》测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题３分，共30分）1．下列函数不属于二次函数的是（ ）A.y=(x －1)(x+2)B.y=21(x+1)2 C. y=1－3x 2 D. y=2(x+3)2－2x 22. 函数y=-x 2-4x+3图象顶点坐标是（ ）A.（2，-1）B.（-2，1）C.（-2，-1）D.（2， 1）3. 抛物线()12212++=x y 的顶点坐标是（ ）A ．（2，1）B ．（-2，1）C ．（2，-1）D ．（-2，-1）4. y=(x －1)2＋2的对称轴是直线（ ）A ．x=－1B ．x=1C ．y=－1D ．y=1 5．已知二次函数)2(2-++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值为 （ ）A ． 0或2B ． 0C ． 2D ．无法确定6. 二次函数y ＝x 2的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ）A. y ＝x 2＋3B. y ＝x 2－3C. y ＝(x ＋3)2D. y ＝(x －3)27．函数y=2x 2-3x+4经过的象限是（ ）A.一、二、三象限B.一、二象限C.三、四象限D.一、二、四象限 8．下列说法错误的是（ ）A ．二次函数y=3x 2中，当x>0时，y 随x 的增大而增大B ．二次函数y=－6x 2中，当x=0时，y 有最大值0 C ．a 越大图象开口越小，a 越小图象开口越大D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y=ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点9．如图，小芳在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝－15x 2＋3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是（ ）A ．3.5mB ．4mC ．4.5mD ．4.6m 10．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）A ．a ＞0．B ．b ＞0．C ．c ＜0．D ．abc ＞0．(第9题) (第10题)二、填空题（本大题共4小题，每小题３分，共12分）11．一个正方形的面积为16cm 2，当把边长增加x cm 时，正方形面积为y cm 2， 则y 关于x 的函数为 。
12．若抛物线y ＝x 2－bx ＋9的顶点在x 轴上，则b 的值为 。
13．抛物线y=x 2-2x-3关于x 轴对称的抛物线的解析式为 。
14．如图所示,在同一坐标系中,作出①23x y =②221x y =③2x y =的图象,则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是(填序号) 。
三、（本题共2小题，每小题5分，满分10分）15．一个二次函数,它的对称轴是y 轴,顶点是原点,且经过点(1,-3)。
(1)写出这个二次函数的解析式；(2)图象在对称轴右侧部分,y 随x 的增大怎样变化? (3)指出这个函数有最大值还是最小值,并求出这个值。
16．拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为231x y -=，当水面离桥顶的高度为325m 时，水面的宽度为多少米？四、（本题共2小题，每小题5分，满分10分）17．已知二次函数的顶点坐标为(4，－2)，且其图象经过点(5，1)，求此二次函数的解析式。
xyo2.53.05mlxyOxy o18.用长为20cm 的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm ，面积为ycm 2。
(1)求出y 与x 的函数关系式。
（2）当边长x 为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？ 五、（本题共2小题，每小题6分，满分12分）19．在平面直角坐标系中，△AOB 的位置如图5所示.已知∠AOB＝90°，AO ＝BO ，点A 的坐标为(－3，1)。
（1）求点B 的坐标；（2）求过A ，O ，B 三点的抛物线的解析式；（3）设点B 关于抛物线的对称轴l 的对称点为B l ，求△AB 1 B 的面积。
20．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数。
有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度v(km/h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式s=0.01v 2确定；雨天行驶时，这一公式为s=0.02v 2。
(1)如果汽车行驶速度是70 km/h ，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米？ (2)如果汽车行驶速度分别是60 km/h 与80 km/h ，那么同在雨天行驶(相同的路面)相比，刹车距离相差多少？(3)根据上述两点分析，你想对司机师傅说些什么？ 六、（本大题满分8分） 21.已知二次函数y ＝（m 2－2）x 2－4mx ＋n 的图象的对称轴是x ＝2，且最高点在直线y ＝21x ＋1上，求这个二次函数的解析式。
七、（本大题满分8分）22．已知抛物线y ＝ax 2＋6x －8与直线y ＝－3x 相交于点A(1，m)。
（1）求抛物线的解析式；（2）请问(1)中的抛物线经过怎样的平移就可以得到y ＝ax 2的图象？八、（本大题满分10分）23．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O 恰好在水面中心，安装在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流 在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上， 抛物线的形状如图(1)和(2)所示，建立直角坐标系，水流喷出的高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系式是y ＝－x 2+2x+54，请你寻求： （1）柱子OA 的高度为多少米?（2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少?（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外。
(1)0(2)xB y A图5《第23章 二次函数（23.1—23.5）》测试卷答案一、选择题1-5DABBC, 6-10 DBCBB. 二、填空题11． y= (x+4)2。
12．±6。
13． y=-x 2+2x+3 。
14.①③②三、15．解：(1) y=-3x 2；(2) y 随x 的增大而减小；(3)∵a=-3<0，∴函数有最大值。
当x=0时，函数最大值为0。
16．10m 。
四、17． 设此二次函数的解析式为2)4(2--=x a y 。
∵其图象经过点(5，1)， ∴12)45(2=--a ， ∴3=a ，∴462432)4(322+-=--=x x x y 。
18.（1）210x x y -=；（2）25)5(2+--=x y ，所以当x=5时，矩形的 面积最大，最大为25cm 2。
五、19．（1）如图，作AC⊥x 轴，BD⊥x 轴，垂足分别为C ，D ，则∠ACO＝∠ODB＝90°.所以∠AOC +∠OAC＝90°.又∠AOB＝90°， 所以∠AOC +∠BOD＝90°。
所以∠OAC＝∠BOD .又AO ＝BO ， 所以△ACO≌△ODB .所以OD ＝AC ＝1，DB ＝OC ＝3。
所以点B 的坐标为(1，3)。
（2）抛物线过原点，可设所求抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx.将A(－3，1)，B(1，3)代入，得931,3.a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得5,613.6a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故所求抛物线的解析式为y ＝56x 2+136x 。
20．(1)v=70 km/h,s 晴=0.01v 2=0.01×702=49(m), s 雨=0.02v 2=0.02×702=98(m), s 雨－s 晴=98－49=49(m)。
(2)v 1=80 km/h,v 2=60 km/h 。
s 1=0.02v 12=0.02×802=128(m)，s 2=0.02v 22=0.02×602=72(m)。
刹车距离相差：s 1－s 2=128－72=56(m)。
(3)在汽车速度相同的情况下，雨天的刹车距离要大于晴大的刹车距离。
在同是雨天的情况下，汽车速度越大，刹车距离也就越大。
请司机师傅一定要注意天气情况与车速。
六、21. 当x ＝2时， y ＝21x ＋1=2，抛物线的顶点坐标为（2，2），这个二次函数的解析式为242y x x =-+-。
七、22．解：（1）∵点A(1,m)在直线y ＝－3x 上，∴m ＝－3×1＝－3。
把x ＝1，y ＝－3代入y ＝ax 2＋6x －8，求得a ＝－1。
∴抛物线的解析式是y ＝－x 2＋6x －8。
（2）y ＝－x 2＋6x －8＝－(x －3)2＋1．∴顶点坐标为(3,1)。
∴把抛物线y ＝－x 2＋6x －8向左平移3个单位长度得到y ＝－x 2＋1的图象，再把y ＝－x 2＋1的图象向下平移1个单位长度(或向下平移1个单位再向左平移3个单位)得到y ＝－x 2的图象。
八、23．(1)当x ＝0时，y ＝54，故OA 的高度为1.25米。
(2)∵y＝－x 2+2x+54＝－(x －1)2+2.25，∴顶点是(1，2.25)，故喷出的水流距水面的最大高度是2.25米。
(3)解方程－x 2+2x+54＝0,得1215,22x x =-=.∴B 点坐标为5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭。
∴OB＝52。
故不计其他因素，水池的半径至少要2.5米，才能使喷出 的水流不至于落在水池外。