河南省2018年中考数学总复习课件解答题突破 专题11几何类比拓展探究题(中考22题)
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2018 河 南
ຫໍສະໝຸດ Baidu
解答题突破
专题十一
几何类比拓展探究题(中考22题)
考情分析 类比拓展探究题近 6 年均在第 22 题考查，分值为 10 分， 共 3 问．考查形式主要有两种：一是图形位置的变化，主要涉及线段、等 腰三角形、直角三角形等的旋转及平移；二是图形形状的变化，涉及特殊 三角形、平行四边形等．主要考查的知识点：三角形的性质、平行四边形 的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性 质等．
2 解：(2)OF＝ 2 EC. 1 2 证明：在等腰直角三角形ADE中，F为AD的中点，∴AF＝ 2 AD＝ 2 AE. 在等腰直角三角形ABC中，O为BC的中点， 2 如答图1，连接AO，∴AO＝ 2 AC，∠BAO＝∠CAO＝ 45° . ∵∠DAE＝45° ，∴∠DAE＝∠CAO.∴∠DAE－∠EAO＝ ∠CAO－∠EAO，即∠DAO＝∠CAE.
2 OF＝ 2 EC ___________________.
(2)类比延伸 将图1中△AED绕点A逆时针旋转到如图3所示的位置，请判断线段OF 与EC的数量关系，并给出证明． (3)拓展探究 将图1中△AED绕点A逆时针旋转，旋转角为α，0° ≤α≤90° ，AD＝ 2 ，△AED在旋转过程中，存在△ACD为直角三角形，请直接写出线段 CD的长．
例 已知，如图1，△ABC，△AED是两个全等 的等腰直角三角形(其顶点B，E重合)，∠BAC＝∠ AED＝90° ，O为BC的中点，F为AD的中点，连接OF. (1)问题发现
2 OF＝ 2 EC ①如图1，线段OF与EC的数量关系为________________ ；
②将△AED绕点A逆时针旋转45° ，如图2，OF与EC的数量关系为
∵∠AFB＝∠CFD，∴∠CAE＝∠D. ∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB. ∴AE＝BD，CE＝CB. ∵∠ECB＝90° ，∴△ECB 是等腰直角三角形．∴BE＝ 2CB. ∵BE＝AE－AB＝BD－AB，∴BD－AB＝ 2CB.
(3)【提示】如答图 5，过点 C 作 CE⊥CB 交 MN 于点 E， ∵∠ACD＝90° ，∠BCE＝90° ， ∴∠ACE＝90° －∠DCE，∠BCD＝90° －∠DCE. ∴∠ACE＝∠BCD.∵DB⊥MN， ∴∠CAE＝90° －∠AFC，∠BDC＝90° －∠BFD. ∵∠AFC＝∠BFD，∴∠CAE＝∠BDC.
(2)拓展探究 当MN绕点A旋转到如图5位置时，BD，AB，CB之间满足怎样的数量关 系？请写出你的猜想，并给予证明． (3)解决问题 当MN绕点A旋转到如图6位置时(点C，D在直线MN两侧)，∠BCD＝
6－ 2 30° ，BD＝2，则CB＝_____________.
解：(2)BD－AB＝ 2CB. 证明：如答图 4，过点 C 作 CN⊥CB 交 MN 于点 E， ∵∠ACD＝90° ，∠BCN＝90° ， ∴∠ACE＝90° ＋∠ACB，∠BCD＝90° ＋∠ACB. ∴∠ACE＝∠BCD. ∵DB⊥MN，∴∠CAE＝90° －∠AFB，∠D＝90° －∠CFD.
方法总结 解决类比拓展探究题时，第 1 问通过操作发现，找到解决 问题的思路和方法，主要利用全等和相似求解；第 2 问通常是在第 1 问的 基础上，改变其中的一个条件，只需观察变化的条件即可利用同样的解题 思路求解；第 3 问通常将题设的背景变化，将原题中的特殊情况推广到一 般情况，利用前两问的做题思路求解即可．
类型一 几何图形变化的探究问题 训练 1.已知∠ACD＝90° ，AC＝DC，MN 是过点 A 的直线，过点 D 作 DB⊥MN 于点 B，连接 CB. (1)问题发现 如图 4，过点 C 作 CE⊥CB，与 MN 交于点 E，则 BD 和 EA 之间的数
BD＋AB＝ 2CB BD＝AE ，BD，AB，CB 之间的数量关系为________________. 量关系为___________
AF AO OF AO ∵AE＝AC， ∴AF＝AO.∴AE＝AC.∴△AFO∽△AEC.∴EC＝AC＝ 2 2 2 .∴OF＝ 2 EC. (3)CD 的长为 3或 1.
【提示】△ACD 为直角三角形时，分两种情况：①当 AD 与 AB 重 合时，如答图 2，连接 CD，∵△ACD 为直角三角形，AD⊥AC，AD＝ 2， AC＝1，∴CD＝ 22＋12＝ 3.②当 AE 与 AC 重合时，如答图 3，△ ACD 为直角三角形，AC⊥CD，即将△ADE 逆时针旋转 90° ，此时 CD ＝AC＝1.
2.(1)问题发现 如图7，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝90° ，点B，C， D在一条直线上．
AD＝BE，AD⊥BE 填空：线段AD，BE之间的关系为____________________________.
(2)拓展探究 如图8，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝ 90° ，请判断AD，BE的关系，并说明理由．
∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB.∴AE＝BD，CE＝CB. ∴△BCE 为等腰直角三角形．∴∠BEC＝∠CBE＝45° . 过点 D 作 DH⊥BC 交 CB 延长线于点 H， ∵∠ABD＝90° ，∴∠DBH＝90° －∠CBE＝45° . ∴△DHB 是等腰直角三角形．∴BD＝ 2BH＝2.∴BH＝DH＝ 2. 在 Rt△CDH 中，∠BCD＝30° ，DH＝ 2， ∴CH＝ 3DH＝ 3× 2＝ 6.∴CB＝CH－BH＝ 6－ 2.
(3)解决问题 如图9，线段PA＝3，点B是线段PA外一点，PB＝5，连接AB，将 AB绕点A逆时针旋转90° 得到线段AC，随着点B的位置的变化，直接写 出PC的范围．
解：(2)AD＝BE，AD⊥BE. 理由：如答图 6，设 AD 交 BE 于 H，交 BC 于 O， ∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形， ∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90° . ∴∠ACD＝∠BCE.
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解答题突破
专题十一
几何类比拓展探究题(中考22题)
考情分析 类比拓展探究题近 6 年均在第 22 题考查，分值为 10 分， 共 3 问．考查形式主要有两种：一是图形位置的变化，主要涉及线段、等 腰三角形、直角三角形等的旋转及平移；二是图形形状的变化，涉及特殊 三角形、平行四边形等．主要考查的知识点：三角形的性质、平行四边形 的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性 质等．
2 解：(2)OF＝ 2 EC. 1 2 证明：在等腰直角三角形ADE中，F为AD的中点，∴AF＝ 2 AD＝ 2 AE. 在等腰直角三角形ABC中，O为BC的中点， 2 如答图1，连接AO，∴AO＝ 2 AC，∠BAO＝∠CAO＝ 45° . ∵∠DAE＝45° ，∴∠DAE＝∠CAO.∴∠DAE－∠EAO＝ ∠CAO－∠EAO，即∠DAO＝∠CAE.
2 OF＝ 2 EC ___________________.
(2)类比延伸 将图1中△AED绕点A逆时针旋转到如图3所示的位置，请判断线段OF 与EC的数量关系，并给出证明． (3)拓展探究 将图1中△AED绕点A逆时针旋转，旋转角为α，0° ≤α≤90° ，AD＝ 2 ，△AED在旋转过程中，存在△ACD为直角三角形，请直接写出线段 CD的长．
例 已知，如图1，△ABC，△AED是两个全等 的等腰直角三角形(其顶点B，E重合)，∠BAC＝∠ AED＝90° ，O为BC的中点，F为AD的中点，连接OF. (1)问题发现
2 OF＝ 2 EC ①如图1，线段OF与EC的数量关系为________________ ；
②将△AED绕点A逆时针旋转45° ，如图2，OF与EC的数量关系为
∵∠AFB＝∠CFD，∴∠CAE＝∠D. ∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB. ∴AE＝BD，CE＝CB. ∵∠ECB＝90° ，∴△ECB 是等腰直角三角形．∴BE＝ 2CB. ∵BE＝AE－AB＝BD－AB，∴BD－AB＝ 2CB.
(3)【提示】如答图 5，过点 C 作 CE⊥CB 交 MN 于点 E， ∵∠ACD＝90° ，∠BCE＝90° ， ∴∠ACE＝90° －∠DCE，∠BCD＝90° －∠DCE. ∴∠ACE＝∠BCD.∵DB⊥MN， ∴∠CAE＝90° －∠AFC，∠BDC＝90° －∠BFD. ∵∠AFC＝∠BFD，∴∠CAE＝∠BDC.
(2)拓展探究 当MN绕点A旋转到如图5位置时，BD，AB，CB之间满足怎样的数量关 系？请写出你的猜想，并给予证明． (3)解决问题 当MN绕点A旋转到如图6位置时(点C，D在直线MN两侧)，∠BCD＝
6－ 2 30° ，BD＝2，则CB＝_____________.
解：(2)BD－AB＝ 2CB. 证明：如答图 4，过点 C 作 CN⊥CB 交 MN 于点 E， ∵∠ACD＝90° ，∠BCN＝90° ， ∴∠ACE＝90° ＋∠ACB，∠BCD＝90° ＋∠ACB. ∴∠ACE＝∠BCD. ∵DB⊥MN，∴∠CAE＝90° －∠AFB，∠D＝90° －∠CFD.
方法总结 解决类比拓展探究题时，第 1 问通过操作发现，找到解决 问题的思路和方法，主要利用全等和相似求解；第 2 问通常是在第 1 问的 基础上，改变其中的一个条件，只需观察变化的条件即可利用同样的解题 思路求解；第 3 问通常将题设的背景变化，将原题中的特殊情况推广到一 般情况，利用前两问的做题思路求解即可．
类型一 几何图形变化的探究问题 训练 1.已知∠ACD＝90° ，AC＝DC，MN 是过点 A 的直线，过点 D 作 DB⊥MN 于点 B，连接 CB. (1)问题发现 如图 4，过点 C 作 CE⊥CB，与 MN 交于点 E，则 BD 和 EA 之间的数
BD＋AB＝ 2CB BD＝AE ，BD，AB，CB 之间的数量关系为________________. 量关系为___________
AF AO OF AO ∵AE＝AC， ∴AF＝AO.∴AE＝AC.∴△AFO∽△AEC.∴EC＝AC＝ 2 2 2 .∴OF＝ 2 EC. (3)CD 的长为 3或 1.
【提示】△ACD 为直角三角形时，分两种情况：①当 AD 与 AB 重 合时，如答图 2，连接 CD，∵△ACD 为直角三角形，AD⊥AC，AD＝ 2， AC＝1，∴CD＝ 22＋12＝ 3.②当 AE 与 AC 重合时，如答图 3，△ ACD 为直角三角形，AC⊥CD，即将△ADE 逆时针旋转 90° ，此时 CD ＝AC＝1.
2.(1)问题发现 如图7，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝90° ，点B，C， D在一条直线上．
AD＝BE，AD⊥BE 填空：线段AD，BE之间的关系为____________________________.
(2)拓展探究 如图8，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝ 90° ，请判断AD，BE的关系，并说明理由．
∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB.∴AE＝BD，CE＝CB. ∴△BCE 为等腰直角三角形．∴∠BEC＝∠CBE＝45° . 过点 D 作 DH⊥BC 交 CB 延长线于点 H， ∵∠ABD＝90° ，∴∠DBH＝90° －∠CBE＝45° . ∴△DHB 是等腰直角三角形．∴BD＝ 2BH＝2.∴BH＝DH＝ 2. 在 Rt△CDH 中，∠BCD＝30° ，DH＝ 2， ∴CH＝ 3DH＝ 3× 2＝ 6.∴CB＝CH－BH＝ 6－ 2.
(3)解决问题 如图9，线段PA＝3，点B是线段PA外一点，PB＝5，连接AB，将 AB绕点A逆时针旋转90° 得到线段AC，随着点B的位置的变化，直接写 出PC的范围．
解：(2)AD＝BE，AD⊥BE. 理由：如答图 6，设 AD 交 BE 于 H，交 BC 于 O， ∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形， ∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90° . ∴∠ACD＝∠BCE.