建筑力学(王志)第5章1

5.3 拉（压）杆横截面及斜截面上的应力
拉（压）杆横截面上的正应力的计算式：
当轴力为正（拉力）时，正应力也为正，称 为拉应力；轴力为负（压缩）时，正应力也 为负，称为压应力。
具有最大正应力σmax的截面称为杆件的危险截面。
5.3 拉（压）杆横截面及斜截面上的应力
例7 AB阶梯状直杆的受力情况如下图所示，试求此杆的 最大工作应力。 A1=400mm2 A2=200mm2 A C 30kN N 10kN B
解： 求OA段内力FN1：设截面如图
X =0
FD + FC - FB + FA - FN1 = 0
FN1 = 2F
F + 4F - 8F + 5F - FN1 = 0
O
A
FA
B
FB B FB FN3
C
FC C FC C FC FN4
D
FD D FD D FD D FD
求AB 段内力：
X =0
C
F
以轴向拉压为主要变形的杆件，称为拉压杆或轴向承载杆。
第五章 轴向拉伸与压缩
F
轴向拉伸：轴向伸长，横向缩短。
F
杆件在一对大小相等、方向相反的拉力作用下发生伸长变形。
F
轴向压缩：轴向缩短，横向变粗。
F
杆件在一对大小相等、方向相反的压力作用下发生缩短变形。
第五章 轴向拉伸与压缩
内力：指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之 间分布内力系的合成（附加内力）。其实是构件对 变形的抗力。
轴力图：轴力沿轴线变化的图形
x坐标轴平行杆件轴线， F 表示相应的横截面的位 置；纵坐标表示内力值， 如果内力为拉力，则画 在x轴上方，反之画在 下方。
F N
+ x
轴力图的意义
① 直观反映轴力与截面位置变化关系； ② 确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截面位置，为 强度计算提供依据。
例1：作图示杆件的轴力图，并指出| N |max
m F4
应力的概念
DV
F1
DF
B DN DA
F1
F3
F2
m
F2
取左边为脱离体，可知截面上必有分布内力与外力F1，F2平衡。分
布内力并不一定在截面上均匀分布，B处ΔA面积上的合力为ΔF，则 B处ΔA面积上的平均应力为： 当ΔA—>0时取极限值即B点的应力：
5.2
F1
应力的概念
t B
p
s
F2 垂直于截面的应力σ称为正应力，引起材料的分离破坏；平行于截 面的应力τ称为切应力，引起材料的滑移破坏。将ΔA面积上的分布 内力ΔF分解为垂直截面的分布内力ΔN与平行截面的分布内力ΔV， 取极限有B点的正应力与切应力：
5.2
应力特征 ：
应力的概念
（1）必须明确截面及点的位置；
（2）是矢量；
（3）单位：Pa(帕)和MPa(兆帕)
1MPa=106Pa
5.3 拉（压）杆横截面及斜截面上的应力
a c f
e
g b 受力前 a’ F e’ g’ b’
h d
c’ f’ h’ F
d’ 受力后
5.3 拉（压）杆横截面及斜截面上的应力
=45°
F
x
y
dy x z dx dz
5.4 拉（压）杆内的应力单元体
单向应力状态：
s s=N/A
x
5.4 拉（压）杆内的应力单元体
例9 拉杆受到轴向拉力F＝10kN作用，拉杆横截面直径 d=10mm。取杆内C点，C点单元体的斜截面与x轴夹角为 45°，计算C点单元体各面的应力方向与应力值。 F B
5.4 拉（压）杆内的应力单元体
例11 如图所示木架。木架左右立柱的横截面面积A＝ 10cm*10cm。试作立柱的轴力图，并求立柱各段横截面上的 应力。 F1=12kN B A F2=3kN C E 1m 3m D
K 1m
F1=12kN
A B
F左上 1m 3m
F右上
F1=12kN A B D F2=3kN
I
50kN
II
150kN 100kN
I 50kN I II N2 II 100kN N2= -100kN N1 N1=50kN
I 50kN N
II
+ 100kN
| N |max=100kN
例2：作图示杆的轴力图。
O 5kN N 2kN + 8kN 5kN + 1kN x 4kN 1kN
– 3kN
例3 一直杆受下图所示几个轴向外力作用。画 轴力图。

s p
t
5.3 拉（压）杆横截面及斜截面上的应力
当α=0时，σα=σmax，τα＝0，此时最大正应力 发生在垂直于 杆轴的横截面上。
当α=45°时，σα=σ/2，τα＝τmax=σ/2，最大切应力 τmax发生在 与垂直横截面成45°的斜截面上，大小为最大正应力的一半 。
当α=90°时，σα=0，τα＝0，即纵向面上，正应力与切 应力都为0 。
各直线虽然发生变形，但变形之后仍然是直线。
平面假设：杆件的横截面变形前是平面，变形后 仍保持为平面。
变形之后，两横截面仅仅相对平移了一个距离， 这两横截面间各纵向线的伸长变形相等，表明横 截面上的法向内力是均匀分布的。
5.3 拉（压）杆横截面及斜截面上的应力
F
s
N
横截面上各点分布内力的集度均相等，横截面上分 布内力的合力为N。 积分（ σ 在横截面上各点均相等）
材料力学的任务
强度问题
材料力学的任务
强度问题
材料力学的任务
刚度问题
材料力学的任务
刚度问题
材料力学的任务
wk.baidu.com稳定性问题
材料力学的任务
稳定性问题
第五章 轴向拉伸与压缩
轴向拉伸与压缩的概念
（1）受力特点： 外力合力作用线与杆轴线重合。 （2）变形特点：杆沿轴线方向伸长或缩短。 N1
B A
N1
N2 N2
轴力图如下图示
O
A
FA
B
FB 5F 3F
C
FC F
D FD
FN
2F
x
例6 求下图中杆件的轴力，并画轴力图。
q=P/l P l/2 l
+
+
5.2
P
应力的概念
N 哪个先破坏？
P
N
强度内力应力
应力：构件受到外力作用，其内部截面上某点分布内力 的集度。应力的大小反映了该点分布内力的强弱程度。
5.2
C
F左下
1m
3m
F右下 1m
5.4 拉（压）杆内的应力单元体
例12 图示所有各杆钢制，横截面面积都为3*10-3m2，力P＝ 100kN，求各杆应力。
P 3m A 4m D C 2m B
P
B
P C
4m FCD FAB
B
HA RA
A
FCB
FBC C FAC FCD
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5-3 5-7 5-11 5-15 5-18 5-20 5-23
压缩—压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。
F N （＋） N F
F
N （－） N
F
5.1 拉（压）杆横截面上的内力、轴力图
1.截开
在需求内力的截面处，用假 想的截面将构件截开为两部 分。
留下一部分（取脱离体）， 弃去一部分，并以内力代替 弃去部分对保留部分的作用。
截面法
2.代替
3.平衡
对脱离体建立静力平衡 方程式，求解未知内力。
5.3 拉（压）杆横截面及斜截面上的应力
正负号规定： σα——以拉应力为正，压应力为负。 τα ——有使脱离体顺时针转动趋势的切应力为正，反之 为负。
s (+)
s ( -)
t ( +)
t (-)
5.4 拉（压）杆内的应力单元体
任取拉杆的B点，将其放大为正六面体，称为单元体。 F B 假设应力单元体各面上的 应力是均匀分布的，且互 相平行的两个面上的应力 值相等。 取x面为横截面，y面为纵 截面，z面与纸平面平行。 C
FN2
FN 2 + FB - FC - FD = 0
FN2= –3F，
求BC段内力：
X = 0 FN 3 - FC - FD = 0
FN3= 5F，
求CD段内力：
X =0
FN 4 - FD = 0
FN4= F
FN1 = 2F ,
FN2= –3F， FN3= 5F， FN4= F
FN1 = 2F , FN2= –3F， FN3= 5F， FN4= F
求 内 力
5.1 拉（压）杆横截面上的内力、轴力图
截面法
F
I
II
F
① 截 开
x
② 代 替
③ 平 衡
F
I
N’
N
符号 II
F x
I: SFX=0：N-F=0； N=F
II: SFX=0：-N’+F=0； N’=F
5.1 拉（压）杆横截面上的内力、轴力图
轴力的正负规定:
拉伸—拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面。
1kN
A N
+ ○
4kN B 1kN
○
5kN C
+ ○
2kN
D 2kN x 3kN
例4 求下图中杆件指定截面的轴力，并画轴 力图。
例5
图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为FA = 5 F、 FB =
8 F、 FC = 4 F、 FD= F 的力，方向如图，试求各段内力并画出杆
的轴力图。
O A FA FN1 A FA B FB B FB C FC C FC D FD D FD
α截面
m F n
p
m

F
F

N
变形假设：平面假设仍 成立。 推论：斜截面上各点处 轴向分布内力的集度相 同。
5.3 拉（压）杆横截面及斜截面上的应力
其中在α截面上Nα均匀分布， α截面面积Aα，则α截面上均匀 分布的应力为：
平衡条件
5.3 拉（压）杆横截面及斜截面上的应力
可以将pα分解为正应力和切应力：
A d 2m C a a 3m P

B
NAB NCB
y
X = 0
- N AB cos + N CB = 0
x

B
Y = 0
N ABsin - P = 0
P
N AB = P / sin = 50 / 0.5547 = 90.14
N CB = N AB cos = 90.14 0.83205= 75
C
=45°
F
x
解：A=? s =？ s = ？ t=？
5.4 拉（压）杆内的应力单元体
可知有，切应力互等定律：单元体互相垂直平面上的切应力 大小相等，其方向都指向或背离平面的交线。τα=-τβ
5.4 拉（压）杆内的应力单元体
例 10 如图所示支架。其中斜杆AB为圆截面的钢杆，直径 d=27mm，水平杆CB为正方形截面的木杆，边长a=90mm。 荷载P＝50kN。求AB、BC杆的应力。
20kN
+
+
20kN
例 8 等直杆BC , 横截面面积为A , 材料密度为r , 画 杆的轴力图，求最大轴力
解：1. 轴力计算
FN x = Argx
2. 轴力图与最大轴力 轴力图为直线
FN 0 = 0
FN l = lArg
FN,max = lArg
5.3 拉（压）杆横截面及斜截面上的应力