物体平衡的临界与极值问题

例4、沙堆的形成测出了沙粒之间的动摩擦因数。研究的过 程如下：研究小组通过观察沙堆的形成过程可以发现，由 漏斗落下的细沙总是在地面上形成一个小圆锥体，继续下 落时，细沙沿圆锥体表面下滑，当圆锥体的母线与底面夹 角达到一定角度时，细沙不再下滑，如图所示。经过反复 实验，研究小组得出结论：沙堆的形成与沙粒之间的动摩 擦因数有关。该小组只用一把皮卷尺就测定了沙粒之间的 动摩擦因数（假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力），则： （1）该小组必须测定的物理量是________。 2）动摩擦因数与这些物理量之间的关系是_____________。
F
θ
m
→ FN4 = mgcosθ ± Fsinθ

例2、如图所示，物体m与斜面体M一起静止 在水平面上．若将斜面的倾角θ稍微增大一 些，且物体m仍静止在斜面上，则 ( )

A．斜面体对物体的支持力变小 B．斜面体对物体的摩擦力变大 C．水平面与斜面体间的摩擦力变大
D．水平面与斜面体间的摩擦力变小
【解析】 先选物体 B 为研究对象，它受到重力 mBg 和拉力FT 的作用，根据平衡条件有：FT＝mBg ① 再选物体A为研究对象，它受到重力mg、斜面支持力FN、轻绳 拉力FT和斜面的摩擦力作用，假设物体A处于将要上滑的临界 状态，则物体 A 受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向下，这 时A的受力情况如图所示，根据平衡条件有： FN－mgcosθ＝0 ② FT－Ffm－mgsinθ＝0 ③ 由摩擦力公式知：Ffm＝μFN ④ 联立①②③④四式解得mB＝m(sin θ＋μcos θ)． 再假设物体A处于将要下滑的临界状态，则物体A受的静摩擦 力最大，且方向沿斜面向上，根据平衡条件有： FN－mgcos θ＝0 ⑤ FT＋Ffm－mgsin θ＝0 ⑥ 由摩擦力公式知：Ffm＝μFN ⑦ 联立①⑤⑥⑦四式解得mB＝m(sin θ－μcosθ)． 综上所述，物体B的质量的取值范围是： m(sin θ－μcos θ)≤mB≤m(sin θ＋μcosθ)．


例6、如图所示，物体M在竖直向上的拉力F
的作用下能静止在斜面上，关于M受力的个
数，下列说法中正确的是


(
)
A．M一定受两个力作用
B．M一定受四个力作用 C．M可能受三个力作用 D．M不是受两个力作用就是受四个力作用
【解析】
若拉力F大小等于物体的重力，则物体与斜面间没有相互作用力，此时物
共点力平衡条件的应用
物体平衡的临界与极值问题
物体平衡的临界与极值问题
1．动态平衡问题： 2．临界问题： 3．极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化 过程中的最大值和最小值问题．
临界问题是指：某种物理现象转化为另一种物
理 现象的转折状态称为临界状态。临界状态可理解为 “恰好出现”或“恰恰不出现”，至于是“出现” 还是“不出现”，需视具体问题而定。
确．

【答案】 B

例5．如右图所示，物体M在斜向右下方的推
力F作用下，在水平地面上恰好做匀速运动，
则推力F和物体M受到的摩擦力的合力方向是
(

)
A．竖直向下
Байду номын сангаас


B．竖直向上
C．斜向下偏左 D．斜向下偏右
【解析】 物体M受四个力作用，支持力和重力都在竖直方向上，故推力F与摩擦力的合力一
定在竖直方向上，由于推力F的方向斜向下，由此可断定力F与摩擦力的合力一定竖直向
例5、木箱重为G，与地面间的动摩擦因数为μ，用斜向上的力
F拉木箱，使之沿水平地面匀速前进，如图所示。问角α为何 值时拉力F最小？这个最小值为多大？
F θ
B、D

例7、如图所示，物体的质量为2kg，两根轻
绳oB和oC的一端连接于竖直墙上，另一端系
于物体上，在物体上另施加一个方向与水平
线 成 θ ＝ 60° 的 拉 力 F ， 若 要 使 两 绳 都 能 伸

.例3、某公园要在儿童乐园中建一座滑梯，已知 斜面与物体间滑动摩擦因数μ= 0.75，那么倾角 θ至少要多少度儿童在斜面上才可以由静止开 始滑下？
要多少度 ？
此题答案：
倾角θ至少要37°
【分析】这是一个斜面问题。当θ增大时，重力沿斜面的分力增大 当此分力增大到等于最大静摩擦力时，物体处于动与不动的临界 状态。此时θ最小。 【解答】依题意， mgsinθ=μmgcosθ tgθ=μ ∴ θ≥arctgμ 说明：tgθ=μ是一重要临界条件。 其意义是：tgθ<μ时，重力沿斜面向下的分力小于滑动摩擦力； tgθ=μ时，重力沿斜面向下的分力等于滑动摩擦力； tgθ>μ时，重力沿斜面向下的分力大于滑动摩擦力； 1.将物体静止置于斜面上， 如tgθ≤μ，则物体保持静止； 如tgθ>μ，则物体不能保持静止，而加速下滑。 2.将物体以一沿斜面向下的初速度置于斜面上， 如tgθ<μ ，则物体减速，最后静止； 如tgθ=μ，则物体保持匀速运动； 如tgθ>μ，则物体做加速运动。 因此，这一临界条件是判断物体在斜面上会如何运动的一个条件。
例4、如图所示.质量为m的物体静止在倾角为θ 的斜面上．当沿水平方向对物体施加一水平恒 力时,物体仍静止不动.下列判断正确的是 ( )
(A)物体对斜面的正压力肯定比原来的大 (B)物体对斜面的静摩擦力肯定比原来的小 (C)物体受到的静摩擦力方向可能发生变化 (D)上述说法都正确
例5、如图所示，物体A在水平外力F的作用下， 静止在斜面上，现在使水平外力F增大一些， 物体仍静止在斜面上，关于物体A所受斜面支 持力及静摩擦力的变化情况，下面几种说法中 正确的是 (A)支持力和摩擦力都一定增大 (B)支持力和摩擦力不一定都增大 (C)支持力增大摩擦力一定减小 (D)支持力一定增大， 摩擦力不一定增大
平衡问题的临界状态是指物体的所处的平衡状态将
要被破坏而尚未被破坏的状态。这类问题称为临界 问题。极值问题则是在满足一定的条件下，某物理 量出现极大值或极小值的情况。临界问题往往是和 极值问题联系在一起的

例1．跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体 A和物体B，物体A放在倾角为θ的斜面上，如 图所示．已知物体A的质量为m，物体A与斜 面的动摩擦因数为μ(μ＜tanθ)，滑轮的摩擦不 计，要使物体A静止在斜面上，求物体B的质 量的取值范围(按最大静摩擦力等于滑动摩擦 力处理)．

处理平衡物理中的临界问题和极值问题， 首先仍要正确受力分析，搞清临界条件 并且要利用好临界条件，列出平衡方程， 对于分析极值问题，要善于选择物理方 法和数学方法，做到数理的巧妙结合。 (bye)
例1.如图所示，物体A靠在竖直墙面上，在力F作 用下，A、B保持静止.物体A的受力个数为 （ ） A.2 B.3 C.4 D.5
下．【答案】 A

例6、光滑斜面上用细线吊着一重物G=10N，小 球处于静止状态=300，=600，求：细绳的拉 力，和斜面的弹力。

例7、直角劈形木块质量M=2kg，用外力顶靠
在竖直墙上，已知木块与墙之间最大静摩擦
力和木块对墙的压力成正比，即fm=kFN，比
例系数k=0.5，则垂直作用于BC边的外力F应
体受两个力作用；若拉力F大小小于物体的重力，则斜面对物体产生支持力和静摩擦
力，此时物体受四个力作用．【答案】
D

例7、如图所示，斜劈ABC放在粗糙的水平地面 上，在斜劈上放一重为G的物块，物块静止在 斜劈上，今用一竖直向下的力F作用于物块上， 下列说法正确的是 （ ）
A．斜劈对物块的弹力增大



【解析】
应用隔离法对m受力分析，通过正交分解法分解重力，根据力的平衡条件可
得A、B正确．应用整体法分析M和m这个整体的受力可知，水平面与斜面体之间的摩擦
力一直为零．【答案】 AB
例3、如图所示，一个质量为m的物体放在倾 角为α的粗糙斜面上，保持静止，现用水平 力F推物体，当F由零增加稍许，而物体仍 保持静止，则（ ） A.物体受到的静摩擦力增加； B.物体所受合力增加； C.物体和斜面间的最大静摩擦力增加； D.斜面对物体的支持力增加；
物体m，且M、m相对静止，小车后来受力个
数为 (


)
A．3
C．5
B．4
D．6

【解析】
对M和m整体，它们必受到重力和地面支持力，因小车静
止，由平衡条件知墙面对小车必无作用力，以小车为研究对象．如右
图所示，它受四个力；重力Mg，地面的支持力FN1 ，m对它的压力FN2 和静摩擦力Ff，由于m静止，可知Ff和FN2的合力必竖直向下，故B项正
解析 整体分析可知A与墙之间无弹力，所以A仅受重力、 B对A的弹力及摩擦力3个力，应选B项.
例2、如图所示，竖直放置的轻弹簧一端固 定在地面上，另一端与斜面体P相连，P 与斜放在其上的固定档板MN接触且处于 静止状态，则斜面体P此刻受到的外力的 个数有可能是：
A.2 C．4 B．3 D、5

例3．如图所示，在水平力F作用下，A、B保 持静止，若A与B的接触面是水平的，且F≠0， 则关于B的受力个数可能为( ) A．3 B．4 C．5 D．6

【解析】
以A为研究对象，根据平衡条件A对B有压力和摩擦力的作用， 以B为研究对象，B除受到A施加的压力和摩擦力外，还受到重力和斜面的支 持力作用，斜面与B之间可能存在摩擦力，也可能不存在摩擦力，故选B、C.

例4．如右图所示，斜面小车M静止在光滑水
平面上，一边紧贴墙壁．若再在斜面上加一
B．物块所受的合力不变
C．物块受到的摩擦力增大

D．当力F增大到一定程度时，物体会运动
4．ABC（在斜劈上放一重为G的物块，物块静止在斜劈上，应有物块与斜劈间的最大静摩擦力大于或等于重力沿斜面向下的分力。用一竖直向下的力F作用于物块上，物 块对斜劈的压力增大，则斜劈对物块的弹力增大，A正确；此时物块与斜劈间的最大静摩擦力仍大于或等于（G＋F）沿斜面向下的分力，物块不可能运动，D错误；物块 所受的合力不变，B正确；实际静摩擦力等于（G＋F）沿斜面向下的分力，物块受到的摩擦力增大，C正确。）
直，求拉力F的大小范围。？

【解析】
对小球进行受力分析如图所示，根据物体的平衡条件有，当力
F较小时，OB张紧，OC有可能松弛，当力F较大时，OC张紧，OB有可能 松弛．由此可知，OC刚要松弛和OB刚要松弛是此问题的临界条件．

【例6】如图所示，用绳AC和BC吊起一 重物，绳与竖直方向夹角分别为30°和 60°，AC绳能承受的最大拉力为150N， 而BC绳能承受的最大的拉力为100N，求 物体最大重力不能超过多少？
取何值木块保持静止。
物体对斜面上的正压力及其所受到的摩擦力
m
θ
▼
→ FN1 = mgcosθ
f动=μ FN= μ mgcosθ
f静= mgsinθ
F
θ
m
▼
→ FN2 = mgcosθ
f动=μ mgcosθ
f静= |F-mgsinθ |
F
θ
m
▼
→ FN3 = mgcosθ ±F
f动=μ （mgcosθ ±F） f静= mgsinθ f动=μ （mgcosθ ±Fsinθ） f静= |mgsinθ -Fcosθ |