物体平衡的临界与极值问题
第8讲 物体的动态平衡与临界极值问题
(3)相似三角形法 在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化， 且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角 形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。 (4)正弦定理法 三个力平衡时可以将三个力的图示组成一个闭合的三角形，如果知道 一个恒力，以及其他力的对角的变化情况，可以根据正弦定理判断其他力 的大小变化情况。
答案
解析 解法一：解析法 如图甲所示，因为 FN1＝FN1′＝tmangθ，FN2＝FN2′＝smingθ，随 θ 逐渐增 大到 90°，tanθ、sinθ 都增大，FN1、FN2 都逐渐减小，B 正确。
解析
解法二：图解法 如图乙所示，把 mg 按它的两个效果进行分解。在木板缓慢转动时，FN1 的方向不变，mg、FN1、FN2 构成一个闭合的矢量三角形，重力大小恒定， FN2 始终垂直于木板，随木板的转动而转动，由图可知，在木板转动时，FN2 变小，FN1 也变小，B 正确。
解析
3．(2017·全国卷Ⅰ)(多选)如图，柔软轻绳 ON 的一端 O 固定，其中间 某点 M 拴一重物，用手拉住绳的另一端 N。初始时，OM 竖直且 MN 被拉 直，OM 与 MN 之间的夹角为 αα>π2。现将重物向右上方缓慢拉起， 并保持夹角 α 不变。在 OM 由竖直被拉到水平的过程中( )
解析
解法二：图解法 先根据平衡条件和平行四边形定则画出如图乙所示的矢量三角形，在 θ 角减小的过程中，从图中可直观地看出，F1、F2 都会减小，A、D 正确。
解析
解决动态平衡问题常见的方法 (1)解析法 对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条 件列式求解，得到因变量与自变量的一般函数表达式，最后根据自变量的 变化确定因变量的变化。 (2)图解法 此法常用于求解三力平衡且有一个力是恒力、另外一个力方向不变的 问题。一般按照以下流程解题。
平衡中的临界极值问题
平衡中的临界和极值问题所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。
极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。
临界问题往往是和极值问题联系在一起的。
平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要被破坏但尚未被破坏的状态。
求解平衡的临界问题一般用极限法。
极限分析法是一种预测和处理临界问题的有效方法，它是指：通过恰当选择某个变化的物理量将其推向极端（“极大”、“极小”、“极右”或“极左”等）,从而把比较隐蔽的临界现象（或“各种可能性”）暴露出来，使问题明朗化，以便非常简捷地得出结论。
在平衡中最常见的临界问题有以下两类： 一、以弹力为情景1. 两接触物体脱离与不脱离的临界条件是：相互作用力为零。
2. 绳子断与持续的临界条件是：作用力达到最大值；绳子由弯到直（或由直变弯）的临界条件是：绳子的拉力等于零。
例1：如图所示，物体的质量为2kg ，两根轻绳AB 和AC 的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=60°的拉力F ，若要使两绳都能伸直，求拉力F 的大小范围。
解：作出A 受力图如图所示，由平衡条件有：F ．cos θ-F 2-F 1cos θ=0, F sin θ+F 1sin θ-mg =0要使两绳都能绷直，则有：F 10,02≥≥F 由以上各式可解得F 的取值范围为：N F N 33403320≤≤变式训练1：两根长度不一的细线a 和b ，一根连在天花板上，另一端打结连在一起，如图，已知a 、b 的抗断张力（拉断时最小拉力）分别为70N ，80N.它们与天花板的夹角分别为37°、53°， 现在结点O 处加一个竖直向下的拉力F ，(sin37°=cos53°=0.6, cos37°=sin53°=0.8) 求： (1)当增大拉力F 时，哪根细绳先断?(2)要使细线不被拉断，拉力F 不得超过多少？变式训练2两根长度相等的轻绳，下端悬挂一质量为m 的物体，上端分别固定在水平天花板上的M 、N 点，M 、N 两点间的距离为s ，如图所示，已知两绳所能承受的最大拉力均为T ，则每根绳的长度不得短于__ ____．例2：如图所示，半径为R ，重为G 的均匀球靠竖直墙放置，左下方有厚为h 的木块，若不计摩擦，用至少多大的水平推力F 推木块才能使球离开地面。
物体平衡的临界与极值问题
例6、光滑斜面上用细线吊着一重物G=10N，小球处于静止状态=300，=600直角劈形木块质量M=2kg，用外力顶靠在竖直墙上，已知木块与墙之间最大静摩擦力和木块对墙的压力成正比，即fm=kFN，比例系数k=0.5，则垂直作用于BC边的外力F应取何值木块保持静止。
f动=μ（mgcosθ±F） f静= mgsinθ
f动=μ（mgcosθ±Fsinθ） f静= |mgsinθ-Fcosθ|
例2、如图所示，物体m与斜面体M一起静止在水平面上．若将斜面的倾角θ稍微增大一些，且物体m仍静止在斜面上，则 ( ) 斜面体对物体的支持力变小 斜面体对物体的摩擦力变大 水平面与斜面体间的摩擦力变大 水平面与斜面体间的摩擦力变小
【解析】 对小球进行受力分析如图所示，根据物体的平衡条件有，当力F较小时，OB张紧，OC有可能松弛，当力F较大时，OC张紧，OB有可能松弛．由此可知，OC刚要松弛和OB刚要松弛是此问题的临界条件．
【例6】如图所示，用绳AC和BC吊起一重物，绳与竖直方向夹角分别为30°和60°，AC绳能承受的最大拉力为150N，而BC绳能承受的最大的拉力为100N，求物体最大重力不能超过多少？
例4．如右图所示，斜面小车M静止在光滑水平面上，一边紧贴墙壁．若再在斜面上加一物体m，且M、m相对静止，小车后来受力个数为 ( ) A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】 对M和m整体，它们必受到重力和地面支持力，因小车静止，由平衡条件知墙面对小车必无作用力，以小车为研究对象．如右图所示，它受四个力；重力Mg，地面的支持力FN1，m对它的压力FN2和静摩擦力Ff，由于m静止，可知Ff和FN2的合力必竖直向下，故B项正确． 【答案】 B
例3．如图所示，在水平力F作用下，A、B保持静止，若A与B的接触面是水平的，且F≠0，则关于B的受力个数可能为( ) 3 4 5 6
处于平衡状态中的极值问题和临界问题
处于平衡状态中的极值问题和临界问题预备知识：1、极值问题：平衡物体的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
解决临界问题的方法：是解析法，即根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据临界条件求极值。
另外图解法也是常用的一种方法，即根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平等四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。
2、临界问题：由某种物理现象变化灰另一种物理现象或由某种物理状态变化为另一种物理状态时，发生转折的状态叫临界状态，往往利用“恰好出现”或“恰好不出现”的语句来表述。
解决这类问题的基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后再根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。
例1（两物体刚好发生相对滑动模型）（单选）如图所示，在水平板左端有一固定挡板，挡板上连接一轻质弹簧，紧贴弹簧放一质量为m 的滑块，此时弹簧处于自然长度。
已知滑块与板的动摩擦因数及最大静摩擦因数均为3，现将板的右端缓慢抬起使板与水平面间的夹角为θ，最后直到竖直，此过程中弹簧的弹力大小F 随夹角θ的变化关系可能是图中的哪一个？分析：这是临界问题—两物体刚好发生相对滑动的模型。
由关键词“缓慢”，可知滑块处于动态平衡。
在板的右端缓慢抬起的过程中，可知在夹角θ较小时，滑块与板相对静止；夹角θ较大时，滑块相对板滑动。
进而分析可知，板与水平面的夹角存在一临界值α，此时滑块所受的摩擦力恰为最大静摩擦力。
易知，板与水平面的夹角小于临界角时，滑块所受的摩擦力为静摩擦力；大于临界角时，摩擦力为滑动力，从而问题得解。
解析：设板与水平面的夹角为α时，滑块相对于板刚要滑动。
则由sin cos mg mg αμα=得：tan αμ==，030α= 则θ在0030 的范围内，弹簧处于原长，弹力F ＝0。
当板与水平面的夹角大于α时，滑块相对板缓慢滑动，由平衡条件得：()()()()()sin sin cos sin cos sin cos cos (sin cos sin cos )sin sec sin cos cos F mg mg mg mg mg mg mg βθμθθμθθθβθββθθββθβββθβθβ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭=-=-=-=-=- (注意：其中tan βμ=)小结：解决这类问题的关键是寻找临界条件。
第7课时：动态平衡 临界状态和极值问题
第7课时：动态物体 平衡的临界状态和极值问题一、动态平衡二、平衡的临界状态所谓的临界状态是指一种物理现象转变为另一种物理现象，或者从一个物理过程转入到另一个物理过程的转折状态。
我们也可以将其理解为“恰好出现”或者“恰好不出现”某种现象的状态。
而平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要变化的状态。
3．如图所示，小球质量为m=2kg ，用两根轻绳AB ，AC 系好后，将绳固定在竖直墙上，在小球上加一个与水平方向夹角为60°的力F ，使小球平衡时，两绳均伸直，则力F 的大小应满足什么条件？8．如图所示放在光滑斜面上的小球，一端系于固定的O 点，现用外力缓慢将斜面在水平桌面上向左推移，使小球上升（最高点足够高），在斜面运动过程中，绳对球的拉力将（ ） A 先增大后减小 B 先减小后增大C 直接增大D 一直减小9．如图所示，用与竖直方向成θ角（θ＜45°）的倾斜轻绳ａ和水平轻绳ｂ共力为1T .现保持小球在原位置不动，使绳ｂ在原竖直同固定一个小球，这时绳ｂ的拉的拉力变为2T ；再转过θ角固定，绳ｂ的拉力为3T ，平面内逆时转过θ角固定，绳ｂ则（ ）A ．1T =3T ＞2TB ．1T ＜2T ＜3TC ．1T =3T ＜2TD ．绳ａ的拉力减小三、平衡的极值问题所谓极值问题是指研究平衡问题中某物理量变化情况时出现的最大值或者最小值。
研究物理极值问题和临界问题的基本观点有二：1、物理分析：通过对物理过程分析，抓住临界或者极值条件进行求解；2、数学讨论：通过对物理问题的分析，依据物理规律列出物理量之间的函数关系，用数学方法求极值。
这种方法一定要依据物理理论对解的合理性以及物理意义进行讨论或者说明。
研究临界问题的基本方法：一般采用先假设一种情况的存在，然后再根据平衡条件以及有关知识列方程求解。
研究平衡物体的极值问题有两种方法：1、解析法：根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值。
2025届高中物理专题13平衡中的临界和极值问题
专题13平衡中的临界和极值问题授课提示：对应学生用书20页1.如图所示，一工人手持砖夹提着一块砖匀速前进，手对砖夹竖直方向的拉力大小为F .已知砖夹的质量为m ，重力加速度为g ，砖夹与砖块之间的滑动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．若砖块不滑动，则砖夹与砖块一侧间的压力的最小值是()A ．F 2μB ．F μC ．F －mg 2μD ．F －mg μ答案：C解析：工人手持砖夹提着一块砖匀速前进，砖夹处于平衡状态，在竖直方向满足F ＝mg ＋2f ，砖夹与砖之间恰好达到最大静摩擦力f ＝μN ，联立解得，砖夹与砖块一侧间的压力的最小值为N ＝F －mg 2μ，C 正确． 2．(多选)如图所示，质量为m 的小球固定在一轻杆的一端，轻杆另一端通过光滑铰链固定于O 点．现给小球施加一拉力F ，使小球与轻杆在竖直平面内绕O 点缓慢转动，转动过程中拉力F 与轻杆的夹角始终为θ＝60°.则从小球刚好离开地面至轻杆转过90°的过程中()A ．拉力F 有最大值，为233mg B ．拉力F 有最小值，为233mg C ．轻杆对小球的弹力F N 先增大后减小 D ．轻杆对小球的弹力F N 先减小后增大答案：AC解析：选取小球运动过程某一状态，对其受力分析，作出支持力与拉力的合成图，如图所示，由题意知，α＋β＝120°在力的三角形中应用正弦定理得mg sin 60° ＝F sin β ＝F N sin α，从小球刚好离开地面至轻杆转过90°的过程中，β从90°减小到0，sin β逐渐减小，拉力F 逐渐减小，因此当β＝90°时，F 最大，此时F ＝233mg ，α从30°增加到120°，sin α先增大后减小，弹力F N 先增大后减小，当α＝90°时，F N 最大．综上所述，A 、C 正确，B 、D 错误．3.[2024·海南省白沙学校期末考试]如图所示，物体的质量为2kg ，两根轻细绳AB 和AC 的一端固定于竖直墙上，另一端系于物体上(∠BAC ＝θ＝60°)，在物体上另施加一个方向与水平线也成θ角的拉力F ，若要使绳都能伸直，下列F 中不可能的是(取g ＝10m/s 2)()A ．43 NB ．83 NC ．103 ND ．123 N答案：A解析：由平衡条件有，水平方向有T B cos θ＋T C ＝F cos θ，竖直方向有T B sin θ＋F sin θ＝mg ，整理有T B ＝mg sin θ －F ，T C ＝2F cos θ－mg cos θsin θ.若要使绳都能伸直，则T B 和T C 均大于零，所以应该有mg 2sin θ <F <mg sin θ ，解得2033 N<F <4033N ，本题选不可能的，故选A. 4.[2024·山东省青岛市第一中学校考阶段练习](多选)质量为M的木楔倾角θ为37°，在水平面上保持静止．当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑．如图所示，当用与木楔斜面成α角的力F拉木块，木块匀速上升(已知木楔在整个过程中始终静止).可取sin37°＝0.6.下列说法正确的有()A．物块与斜面间的动摩擦因数为0.75B．当α＝37°时F有最小值C．当α＝30°时F有最小值D．F的最小值为0.96mg答案：ABD解析：物块匀速下滑时，有mg sin37°＝μmg cos37°，解得μ＝0.75，A正确；物块匀速上升时，有F cosα＝mg sinθ＋μ(mg cosθ－F sinα)，整理得F＝mg sin 2θcos （θ－α），当α＝θ＝37°时F 有最小值，最小值为F＝0.96mg，B、D正确，C错误．5.[2024·江苏省无锡期中考试]如图所示，倾角θ＝37°的质量为m＝10kg的粗糙斜面体A，置于粗糙水平面上，A与地面间的动摩擦因数足够大，质量m2＝1kg的B物体经平行于斜面的不可伸长的轻质细线跨光滑定滑轮悬挂质量为m3的物块C.已知A、B间的动摩擦因数为0.5，视最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2，求：(1)若不悬挂物块C时，通过计算，判断B是否会自行下滑；(2)欲使B能静止在斜面A上，C的质量范围；(3)若m3＝0.5kg时，地面对A的摩擦力的大小．答案：(1)会自行下滑(2)0.2kg≤m3≤1kg(3)4N解析：(1)若不悬挂物块C时，通过受力分析可知，重力沿斜面向下方向分力为G x＝m2g sinθ＝6N重力沿垂直斜面向上方向分力为G y＝m2g cosθ＝8NA、B间的动摩擦因数为0.5，则摩擦力大小为f＝μF N＝μG y＝4N 明显G x>f可得B会自行下滑；(2)当悬挂物块C时，通过受力分析如图当摩擦力沿斜面向上时拉力T有最小值为T min＝G x－f＝2N解得质量m3min＝0.2kg当摩擦力沿斜面向下时拉力T有最大值为T min＝G x＋f＝10N解得质量m3max＝1kg得C的质量范围为0.2kg≤m3≤1kg(3)当m3＝0.5kg时，拉力T大小为T＝m3g＝5N地面对A的摩擦力f＝T cosθ＝4N。
平衡中的临界和极值
平衡中的临界和极值
【原创版】
目录
1.临界平衡状态的定义
2.压杆的临界力
3.提高压杆稳定性的方法
4.总结
正文
一、临界平衡状态的定义
临界平衡状态是指杆件从稳定平衡向不稳定平衡转化的极限状态。
在这个状态下，杆件的稳定性已经达到了极限，再稍有扰动就会失去平衡。
这种状态在物理学中被称为临界状态，对应的力称为临界力或临界载荷，用 Fcr 表示。
二、压杆的临界力
压杆是指在轴向压力作用下，两端固定且杆件截面呈圆形的杆。
当压杆所承受的轴向压力达到临界力时，压杆将处于临界平衡状态。
此时，压杆的稳定性已经非常差，任何微小的扰动都可能导致压杆失去平衡。
三、提高压杆稳定性的方法
为了提高压杆的稳定性，可以采取以下几种方法：
1.增加压杆的截面面积：通过增加压杆的截面面积，可以增大压杆的抗弯能力，从而提高其稳定性。
2.改变压杆的材料：选用高强度、高刚度的材料可以提高压杆的稳定性。
3.调整压杆的长度：缩短压杆的长度可以减小其弯曲变形，从而提高
稳定性。
4.添加支撑：在压杆的适当位置添加支撑，可以减小压杆的弯曲变形，提高稳定性。
四、总结
临界平衡状态是杆件从稳定平衡向不稳定平衡转化的极限状态。
在临界状态下，杆件的稳定性已经达到了极限，再稍有扰动就会失去平衡。
物理临界和极值问题总结
物理临界和极值问题总结
物理临界和极值问题是物理学中常见的一类问题，涉及到系统在特定条件下达到某种临界状态或取得极值的情况。
下面是对这两类问题的总结：
1. 物理临界问题：
- 物理临界指系统在某些参数达到临界值时出现突变或重要性质发生显著改变的情况。
- 临界问题常见于相变、相平衡和相变点等领域。
- 典型的物理临界问题包括：磁场的临界温度、压力、电流等；化学反应速率的临界浓度；相变时的临界温度和压力等。
2. 极值问题：
- 极值问题涉及到通过调整系统的参数找到使目标函数取得最大值或最小值的条件。
- 极值问题在物理学中广泛应用于优化、动力学和力学等领域。
- 典型的极值问题包括：能量最小原理和哈密顿原理，用于求解经典力学问题；费马原理，用于求解光路最短问题；鞍点问题，用于求解多元函数的极值等。
无论是物理临界还是极值问题，通常需要使用数学工具进行分析和求解。
对于物理临界问题，常用的方法包括热力学、统计物理和相变理论等；而对于极值问题，则常用的方法包括微积分、变分法和最优化等。
总结起来，物理临界和极值问题是物理学中重要的一类问题，涉及到系统在特定条件下达到临界状态或取得最值的情况。
这些问题需要使用数学工具进行分析和求解，以揭示系统的性质和寻找最优解。
平衡物体的临界状态与极值问题
3
3
解法二：由正交分解法列方程组
【总结提升】“极限法”求解临界问题时的注意事项 (1)求解平衡中的临界问题和极值问题时，首先要正确地 进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值 点. (2)临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态
来研究临界问题，而是把某个物理量推向极端，即极大和
极小，并依此做出科学的推理分析，从而给出判断或导出 一般结论.
2、极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化 过程中的最大值和最小值问题。解决这类问题的方法常用解 析法，即根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用 数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。另外，图解 法也是常用的一种方法，即根据物体的平衡条件作出力的矢 量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定 最大值或最小值。
A.3
B.2
C.1
不下滑时F=F1，此时物体
A有沿斜面下滑的趋势，则：
F1cosθ+μFN-Gsinθ=0 FN-F1sinθ-Gcosθ=0
F1 sin37 0.5 cos37 0.2 2 解得： G cos37 0.5 sin37 1.1 11
例1.如图所示，一根轻绳上端固定在O点，下端拴一个重为G的 钢球A，球处于静止状态．现对球施加一个方向向右的外力F， 使球缓慢偏移，在移动中的每一刻，都可以认为球处于平衡状 态，如果外力F方向始终水平，最大值为2G，试求：（1）轻绳 张力T的大小取值范围；（2）在乙图中画出轻绳张力与cosθ 的 关系图象． T O 解：（1）当水平拉力F=0时轻绳 处于竖直位置，绳子张力最小
设物体刚好不上滑时F=F2，此时物体A有沿斜面向上滑动 的趋势则： F2cosθ-μFN-Gsinθ=0
共点力的平衡条件物体平衡的临界与极值问题
物体平衡的极值问题
最小平衡条件
物体平衡时，满足最小平衡条件即使力矩最小 化。
最大平衡条件
物体平衡时，满足最大平衡条件即使力矩最大 化。
相关物理量的计算公式
质量
m
重力加速度
g
力
F
力臂
r
力矩
e
实例分析
我们将通过几个实例来更好地理解物体平衡的概念，并应用我们学习到的知 识解决实际问题。
总结和结论
通过本次学习，我们掌握了物体平衡的定义和共点力的平衡条件。我们了解了物体平衡的临界条件以及与物体 平衡相关的极值问题。此外，我们也学习了相关物理量的计算公式，并通过实例分析加深了对物体平衡的理解。
共点力的平衡条件物体平 衡的临界与极值问题
在本节中，我们将探讨物体平衡的关键概念。我们将讨论共点力的平衡条件， 物体平衡的临界条件以及与物体平衡相关的极值问题。我们还将分析实例， 并总结和得出结论。
物体平衡的定义
物体平衡是指物体处于静止或匀速直线运动状态时所具备的性质。在此状态下，物体的合外力和合外力矩都为 零。
共点力的平衡条件
1 力的平衡
2 力矩的平衡
物体所受的各个力的合力为零。
物体所受的各个力对某个轴的合力矩为零。Leabharlann 物体平衡的临界条件1
静电力下的临界条件
2
临界条件是指物体所受静电力等于零时
的平衡状态。
3
万有引力下的临界条件
临界条件是指物体所受万有引力等于零 时的平衡状态。
弹簧力下的临界条件
临界条件是指物体所受弹簧力等于零时 的平衡状态。
平衡中的临界和极值
平衡中的临界和极值在生活中，平衡是一个重要的概念。
无论是身体的平衡还是心灵的平衡，我们都需要在各个方面寻找一个稳定的状态。
然而，有时候平衡并不仅仅是指两个方向的均衡，而是涉及到临界与极值的问题。
临界是指我们在寻找平衡时，达到不可忽略的边界状态。
这种状态可能会引起突破或者转折，有时甚至可能导致平衡的破裂。
而极值则是指某一方向上的最大或最小值，是达到理想平衡状态的极限。
平衡中的临界与极值是一个复杂而微妙的主题，不同的领域和情境下有着不同的定义和解释。
在物理学中，临界点是指物质在一定条件下由一种状态转变为另一种状态的边界点。
当水温降低到0摄氏度时，水会从液态变为固态，这个临界点就是冰点。
而极值则可以用来描述物质的特性，比如熔点和沸点。
在生物学中，平衡中的临界与极值也有着重要的意义。
人体的各种生理指标，如体温、血压、血糖等，在一定范围内的波动是正常的，但一旦超出了临界值，就可能导致疾病的发生。
高血压和低血糖都会对身体健康产生重大影响。
此时，我们需要通过药物治疗或生活方式的改变来恢复平衡。
在心理学和哲学中，平衡中的临界与极值是更为抽象而深刻的概念。
心理学家卡尔·荣格提出的个体心理理论中，他认为个人必须在自我和集体无意识之间寻求平衡。
个体心理是我们日常意识所能察觉到的内容，而集体无意识则包含了我们的本能、冲动和潜意识。
荣格认为，只有当个体心理与集体无意识达到平衡时，我们才能达到身心的和谐。
在生活中，平衡中的临界与极值也经常存在。
我们在工作和生活之间寻求平衡时，常常会遇到工作压力和生活满足之间的临界点。
有时候我们会为了工作进入超负荷的状态，但如果长时间处于极限状态，可能会导致身心俱疲。
另放松和休息过多也可能导致懒惰和效率下降。
我们需要在工作和生活之间找到一个合适的平衡点，既能保持高效的工作状态，又能享受生活的乐趣。
与平衡中的临界和极值有关的还有人际关系。
在人际关系中，我们常常需要在个人的利益和集体的利益之间寻求平衡。
动态平衡问题专题——平衡物体的临界、极值问题分析
动态平衡问题专题——临界、极值问题平衡物体的临界问题：某种物理现象变化为另一种物理现象的转折状态叫做临界状态。
临界状态也可理解为“恰好出现”或“恰恰不出现”某种现象的状态。
平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要被破坏而尚未破坏的状态。
涉及临界状态的问题叫做临界问题，解答临界问题的基本思维方法是假设推理法。
平衡物体的极值问题：受几个力作用而处于平衡状态的物体，当其中某个力的大小或方向按某种形式发生改变时，为了维持物体的平衡，必引起其它某些力的变化，在变化过程中可能会出现极大值或极小值的问题。
研究平衡物体的极值问题常用解析法和图解法。
1跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和B，物体A放在倾角为θ的斜面上，如图。
已知物体A的质量为m，物体A与斜面间的动摩擦因数为μ(μ＜tanθ)，滑轮的摩擦不计，要使物体A静止在斜面上，求物体B的质量取值范围。
解析：先选物体B为研究对象，它受到重力m B g和拉力F T的作用，根据平衡条件有：F T＝m B g ①再选物体A为研究对象，它受到重力mg、斜面支持力F N、轻绳拉力F T和斜面的摩擦力作用，假设物体A处于将要上滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向下，这时A的受力情况如图乙所示，根据平衡条件有：F N－mg cosθ＝0 ②F T－F fm－mg sinθ＝0 ③由摩擦力公式知：F fm＝μF N ④联立①②③④四式解得m B＝m(sinθ＋μcosθ)．再假设物体A处于将要下滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向上，根据平衡条件有：F N－mg cosθ＝0 ⑤F T＋F fm－mg sinθ＝0 ⑥第1页联立①⑤⑥④四式解得m B＝m(sinθ－μcosθ)．故，物体B的质量的取值范围是：m(sinθ－μcosθ)≤m B ≤m(sinθ＋μcosθ)．2如图，不计重力的细绳AB与竖直墙夹角为60º，轻杆BC与竖直墙夹角为30º，杆可绕C自由转动，若细绳承受的最大拉力为200N，轻杆能承受的最大压力为300N，则在B点最多能挂多重的物体？解析：将物体对B点的拉力F进行分解，显然F=G假设绳与轻杆均被不拉断．当细绳承受的拉力F1最大时，轻杆所受的压力当轻杆承受的压力F2最大时，细绳所受的拉力由此可以当物体的重力逐渐增加时，轻杆承受的压力先达到最大．此时物体的重力达到最大．3半圆形支架BAD上悬着两细绳OA和OB，结于圆心O，下悬重为G的物体，使OA绳固定不动，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C的过程中，OA绳和OB绳所受的力大小如何变化？第2页第3页解析：OB绳的B 端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C 的过程中，物体始终处于平衡状态，找出不变的物理量，画出平行四边形进行分析．对结点O 受力分析如图：结点O 始终处于平衡状态，所以OB 绳和OA 绳上的拉力的合力大小保持不变，方向始终是竖直向上的．所以OA 绳受力大小变化情况：逐渐变小；OB 绳受力大小变化情况是：先变小后变大4如图，一倾角为θ的固定斜面上有一块可绕其下端转动的挡板P ，今在挡板与斜面间夹一个重为G 的光滑球，试分析挡板P 由图示位置逆时针转到水平位置的过程中，球对挡板的压力如何变化？解析：受力分析如图，将F 1与F 2合成，其合力与重力等大反向如图：挡板转动时，挡板给球的弹力F 1与斜面给球的弹力F 2合力大小方向不变，其中F 2的方向不变，作辅助图如上，挡板转动过程中，F 1第4页的方向变化如图中a 、b 、c 的规律变化，为满足平行四边形定则，其大小变化规律为先变小后变大，其中挡板与斜面垂直时为最小．与此对应，F 2的大小为一直减小．根据牛顿第三定律，球对挡板的压力是先减小后增加，对斜面的压力是不断减小。
平衡中的临界、极值问题
平衡中的临界、极值问题1.临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述.常见的临界状态有:(1)两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0(主要体现为两物体间的弹力为0)；(2)绳子断与不断的临界条件为作用力达到最大值；(3)存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大。
2.极值问题平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题.一般用图解法或解析法进行分析.3.解决临界问题和极值问题的方法(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小.(2)数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值).(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值.【例1】如图所示，轻绳OA、OB一端分别固定于天花板上的A、B两点，轻绳OC一端悬挂一重物。
已知OA、OB、OC能承受的最大拉力分别为150 N、100 N、200 N。
问悬挂的重物的重力不得超过多少?【例2】如图所示，质量为m 的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑.对物体施加一大小为F 水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F 多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求： (1)物体与斜面间的动摩擦因数； (2)这一临界角θ0的大小.【例3】如图所示，一球A 夹在竖直墙与三角劈B 的斜面之间，三角劈的重力为G ，劈的底部与水平地面间的动摩擦因数为μ，劈的斜面与竖直墙面是光滑的，设劈的最大静摩擦力等于滑动摩擦力.问：欲使三角劈静止不动，球的重力不能超过多少？【例4】如图将质量为m 的小球a 用轻质细线悬挂于O 点，用力F 拉小球a ，使整个装置处于静止状态，且悬线与竖直方向的夹角θ=30°，重力加速度为g ，则F 的最小值为( ) A.√33mg B.12mgC.√32mgD.√2mg随堂练习1.倾角为θ＝37°的斜面与水平面保持静止，斜面上有一重为G 的物体A ，物体A 与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5。
高中物理中的临界与极值问题
有关“物理”的临界与极值问题高中物理中的临界与极值问题涉及到多个知识点，包括牛顿第二定律、圆周运动、动量守恒等。
有关“物理”的临界与极值问题如下：1.牛顿第二定律与临界问题：●牛顿第二定律描述了物体的加速度与合外力之间的关系。
当物体受到的合外力为零时，物体处于平衡状态。
●在某些情况下，物体受到的合外力不为零，但物体仍然处于平衡状态，这是因为物体受到的合外力恰好等于某个临界值。
这种状态被称为“临界平衡”。
●在解决与临界平衡相关的问题时，通常需要考虑物体的平衡条件和牛顿第二定律。
通过分析物体的受力情况，可以确定物体是否处于临界平衡状态，以及需要施加多大的力才能使物体离开临界平衡状态。
2.圆周运动中的极值问题：●圆周运动中的极值问题通常涉及向心加速度和线速度的最大值和最小值。
●当物体在圆周运动中达到最大速度时，其向心加速度最小。
此时，物体的线速度最大，而向心加速度为零。
●当物体在圆周运动中达到最小速度时，其向心加速度最大。
此时，物体的线速度最小，而向心加速度为最大值。
●在解决与圆周运动中的极值问题相关的问题时，通常需要考虑向心加速度和线速度之间的关系，以及如何通过分析物体的受力情况来确定其最大速度和最小速度。
3.动量守恒与极值问题：●动量守恒定律描述了系统在不受外力作用的情况下，系统内各物体的动量之和保持不变。
●在某些情况下，系统受到的外力不为零，但系统仍然保持动量守恒。
这是因为系统受到的外力恰好等于某个临界值。
这种状态被称为“临界动量守恒”。
在解决与临界动量守恒相关的问题时，通常需要考虑系统的动量守恒条件和外力的作用。
通过分析系统的受力情况，可以确定系统是否处于临界动量守恒状态，以及需要施加多大的外力才能使系统离开临界动量守恒状态。
平衡中的临界与极值问题(解析版)
突破5平衡中的临界与极值问题1．临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述．常见的临界状态有：(1)两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0(主要体现为两物体间的弹力为0)；(2)绳子断与不断的临界条件为绳中张力达到最大值；绳子绷紧与松弛的临界条件为绳中张力为0；(3)存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大。
突破临界问题的三种方法(1)【解析】法根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值。
通常用到的数学知识有二次函数求极值、讨论分式求极值、三角函数求极值以及几何法求极值等。
(2)图解法根据平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值。
(3)极限法极限法是一种处理临界问题的有效方法，它是指通过恰当选取某个变化的物理量将问题推向极端(“极大”、“极小”、“极右”、“极左”等)，从而把比较隐蔽的临界现象暴露出来，使问题明朗化，便于分析求解。
2．极值问题平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．一般用图解法或【解析】法进行分析．处理极值问题的两种基本方法(1)【解析】法：根据物体的平衡条件列方程，通过数学知识求极值的方法．此法思维严谨，但有时运算量比较大，相对来说较复杂，而且还要依据物理情境进行合理的分析讨论．学%科网(2)图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量三角形，然后由图进行动态分析，确定极值的方法．此法简便、直观．【典例1】倾角为θ＝37°的斜面与水平面保持静止，斜面上有一重为G的物体A，物体A与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5。
现给A施加一水平力F，如图所示。
设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，如果物体A能在斜面上静止，水平推力F与G的比值不可能是()A.3B.2C.1D.0.5【答案】 A【典例2】如图所示，一球A夹在竖直墙与三角劈B的斜面之间，三角形劈的重力为G，劈的底部与水平地面间的动摩擦因数为μ，劈的斜面与竖直墙面是光滑的，问欲使三角劈静止不动，球的重力不能超过多大？(设劈的最大静摩擦力等于滑动摩擦力)【答案】：球的重力不得超过G【跟踪短训】1. 将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线悬挂于O点，如图所示。
平衡中的临界与极值问题
平衡中的临界与极值问题1．临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述．常见的临界状态有：(1)两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0(主要体现为两物体间的弹力为0)；(2)绳子断与不断的临界条件为绳中张力达到最大值；绳子绷紧与松驰的临界条件为绳中张力为0；(3)存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大．研究的基本思维方法：假设推理法．2．极值问题平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．一般用图解法或解析法进行分析．例1 重为G 的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，一人欲用最小的作用力F 使木块做匀速运动，则此最小作用力的大小和方向应如何？解析 木块在运动过程中受摩擦力作用，要减小摩擦力，应使作用力F 斜向上，设当F 斜向上与水平方向的夹角为α时，F 的值最小．木块受力分析如图所示，由平衡条件知：F cos α－μF N ＝0，F sin α＋F N －G ＝0解上述二式得：F ＝μG cos α＋μsin α令tan φ＝μ，则sin φ＝μ1＋μ2，cos φ＝11＋μ2可得F ＝μG cos α＋μsin α＝μG1＋μ2cos (α－φ) 可见当α＝φ时，F 有最小值，即F min ＝μG1＋μ2答案μG 1＋μ2与水平方向成α角且tan α＝μ 解决极值问题和临界问题的方法(1)图解法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值．(2)数学解法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)． 突破训练1 如图1 所示，质量均为m 的小球A 、B 用两根不可伸长的轻绳连接后悬挂于O 点，在外力F 的作用下，小球A 、B 处于静止状态．若要使两小球处于静止状态且悬线OA 与竖直方向的夹角θ保持30°不变，则外力F 的大小 ( )图1A ．可能为33mgB ．可能为52mgC ．可能为2mgD ．可能为mg答案 BCD 解析 本题相当于一悬线吊一质量为2m 的物体，悬线OA 与竖直方向夹角为30°，与悬线OA 垂直时外力F 最小，大小为mg ，所以外力F 大于或等于mg ，故B 、C 、D 正确．。
高考物理一轮复习导学：动态平衡、平衡中的临界和极值问题
§2．6 动态平衡、平衡中的临界和极值问【考点自清】一、平衡物体的动态问题(1)动态平衡：指通过控制某些物理量使物体的状态发生缓慢变化。
在这个过程中物体始终处于一系列平衡状态中。
(2)动态平衡特征：一般为三力作用，其中一个力的大小和方向均不变化，一个力的大小变化而方向不变，另一个力的大小和方向均变化。
(3)平衡物体动态问题分析方法：解动态问题的关键是抓住不变量，依据不变的量来确定其他量的变化规律，常用的分析方法有解析法和图解法。
解析法的基本程序是：对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出应变物理量与自变物理量的一般函数关系式，然后根据自变量的变化情况及变化区间确定应变物理量的变化情况。
图解法的基本程序是：对研究对象的状态变化过程中的若干状态进行受力分析，依据某一参量的变化(一般为某一角)，在同一图中作出物体在若干状态下的平衡力图(力的平形四边形或三角形)，再由动态的力的平行四边形或三角形的边的长度变化及角度变化确定某些力的大小及方向的变化情况。
二、物体平衡中的临界和极值问题1、临界问题：(1)平衡物体的临界状态：物体的平衡状态将要变化的状态。
物理系统由于某些原因而发生突变(从一种物理现象转变为另一种物理现象，或从一种物理过程转入到另一物理过程的状态)时所处的状态，叫临界状态。
临界状态也可理解为“恰好出现”和“恰好不出现”某种现象的状态。
(2)临界条件：涉及物体临界状态的问题，解决时一定要注意“恰好出现”或“恰好不出现”等临界条件。
高考物理第一轮复习同步导学平衡物体的临界问题的求解方法一般是采用假设推理法，即先假设怎样，然后再根据平衡条件及有关知识列方程求解。
解决这类问题关键是要注意“恰好出现”或“恰好不出现”。
2、极值问题：极值是指平衡问题中某些物理量变化时出现最大值或最小值。
平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
【重点精析】一、动态分析问题【例1】如图所示，轻绳的两端分别系在圆环A和小球B上，圆环A套在粗糙的水平直杆MN上。
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例4、如图所示.质量为m的物体静止在倾角为θ 的斜面上．当沿水平方向对物体施加一水平恒 力时,物体仍静止不动.下列判断正确的是 ( )
(A)物体对斜面的正压力肯定比原来的大 (B)物体对斜面的静摩擦力肯定比原来的小 (C)物体受到的静摩擦力方向可能发生变化 (D)上述说法都正确
例5、如图所示，物体A在水平外力F的作用下， 静止在斜面上，现在使水平外力F增大一些， 物体仍静止在斜面上，关于物体A所受斜面支 持力及静摩擦力的变化情况，下面几种说法中 正确的是 (A)支持力和摩擦力都一定增大 (B)支持力和摩擦力不一定都增大 (C)支持力增大摩擦力一定减小 (D)支持力一定增大， 摩擦力不一定增大
解析 整体分析可知A与墙之间无弹力，所以A仅受重力、 B对A的弹力及摩擦力3个力，应选B项.
例2、如图所示，竖直放置的轻弹簧一端固 定在地面上，另一端与斜面体P相连，P 与斜放在其上的固定档板MN接触且处于 静止状态，则斜面体P此刻受到的外力的 个数有可能是：
A.2 C．4 B．3 D、5
例3．如图所示，在水平力F作用下，A、B保 持静止，若A与B的接触面是水平的，且F≠0， 则关于B的受力个数可能为( ) A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】
应用隔离法对m受力分析，通过正交分解法分解重力，根据力的平衡条件可
得A、B正确．应用整体法分析M和m这个整体的受力可知，水平面与斜面体之间的摩擦
力一直为零．【答案】 AB
例3、如图所示，一个质量为m的物体放在倾 角为α的粗糙斜面上，保持静止，现用水平 力F推物体，当F由零增加稍许，而物体仍 保持静止，则（ ） A.物体受到的静摩擦力增加； B.物体所受合力增加； C.物体和斜面间的最大静摩擦力增加； D.斜面对物体的支持力增加；
例6、如图所示，物体M在竖直向上的拉力F
的作用下能静止在斜面上，关于M受力的个
数，下列说法中正确的是
(
)
A．M一定受两个力作用
B．M一定受四个力作用 C．M可能受三个力作用 D．M不是受两个力作用就是受四个力作用
【解析】
若拉力F大小等于物体的重力，则物体与斜面间没有相互作用力，此时物
共点力平衡条件的应用
物体平衡的临界与极值问题
物体平衡的临界与极值问题
1．动态平衡问题： 2．临界问题： 3．极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化 过程中的最大值和最小值问题．
临界问题是指：某种物理现象转化为另一种物
理 现象的转折状态称为临界状态。临界状态可理解为 “恰好出现”或“恰恰不出现”，至于是“出现” 还是“不出现”，需视具体问题而定。
【解析】 先选物体 B 为研究对象，它受到重力 mBg 和拉力FT 的作用，根据平衡条件有：FT＝mBg ① 再选物体A为研究对象，它受到重力mg、斜面支持力FN、轻绳 拉力FT和斜面的摩擦力作用，假设物体A处于将要上滑的临界 状态，则物体 A 受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向下，这 时A的受力情况如图所示，根据平衡条件有： FN－mgcosθ＝0 ② FT－Ffm－mgsinθ＝0 ③ 由摩擦力公式知：Ffm＝μFN ④ 联立①②③④四式解得mB＝m(sin θ＋μcos θ)． 再假设物体A处于将要下滑的临界状态，则物体A受的静摩擦 力最大，且方向沿斜面向上，根据平衡条件有： FN－mgcos θ＝0 ⑤ FT＋Ffm－mgsin θ＝0 ⑥ 由摩擦力公式知：Ffm＝μFN ⑦ 联立①⑤⑥⑦四式解得mB＝m(sin θ－μcosθ)． 综上所述，物体B的质量的取值范围是： m(sin θ－μcos θ)≤mB≤m(sin θ＋μcosθ)．
平衡问题的临界状态是指物体的所处的平衡状态将
要被破坏而尚未被破坏的状态。这类问题称为临界 问题。极值问题则是在满足一定的条件下，某物理 量出现极大值或极小值的情况。临界问题往往是和 极值问题联系在一起的
例1．跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体 A和物体B，物体A放在倾角为θ的斜面上，如 图所示．已知物体A的质量为m，物体A与斜 面的动摩擦因数为μ(μ＜tanθ)，滑轮的摩擦不 计，要使物体A静止在斜面上，求物体B的质 量的取值范围(按最大静摩擦力等于滑动摩擦 力处理)．
体受两个力作用；若拉力F大小小于物体的重力，则斜面对物体产生支持力和静摩擦
力，此时物体受四个力作用．【答案】
D
例7、如图所示，斜劈ABC放在粗糙的水平地面 上，在斜劈上放一重为G的物块，物块静止在 斜劈上，今用一竖直向下的力F作用于物块上， 下列说法正确的是 （ ）
A．斜劈对物块的弹力增大
取何值木块保持静止。
物体对斜面上的正压力及其所受到的摩擦力
m
θ
▼
→ FN1 = mgcosθ
f动=μ FN= μ mgcosθ
f静= mgsinθ
F
θ
m
▼
→ FN2 = mgcosθ
f动=μ mgcosθ
f静= |F-mgsinθ |
F
θ
m
▼
→ FN3 = mgcosθ ±F
f动=μ （mgcosθ ±F） f静= mgsinθ f动=μ （mgcosθ ±Fsinθ） f静= |mgsinθ -Fcosθ |
B．物块所受的合力不变
C．物块受到的摩擦力增大
D．当力F增大到一定程度时，物体会运动
4．ABC（在斜劈上放一重为G的物块，物块静止在斜劈上，应有物块与斜劈间的最大静摩擦力大于或等于重力沿斜面向下的分力。用一竖直向下的力F作用于物块上，物 块对斜劈的压力增大，则斜劈对物块的弹力增大，A正确；此时物块与斜劈间的最大静摩擦力仍大于或等于（G＋F）沿斜面向下的分力，物块不可能运动，D错误；物块 所受的合力不变，B正确；实际静摩擦力等于（G＋F）沿斜面向下的分力，物块受到的摩擦力增大，C正确。）
例4、沙堆的形成测出了沙粒之间的动摩擦因数。研究的过 程如下：研究小组通过观察沙堆的形成过程可以发现，由 漏斗落下的细沙总是在地面上形成一个小圆锥体，继续下 落时，细沙沿圆锥体表面下滑，当圆锥体的母线与底面夹 角达到一定角度时，细沙不再下滑，如图所示。经过反复 实验，研究小组得出结论：沙堆的形成与沙粒之间的动摩 擦因数有关。该小组只用一把皮卷尺就测定了沙粒之间的 动摩擦因数（假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力），则： （1）该小组必须测定的物理量是________。 2）动摩擦因数与这些物理量之间的关系是_____________。
直，求拉力F的大小范围。？
【解析】
对小球进行受力分析如图所示，根据物体的平衡条件有，当力
F较小时，OB张紧，OC有可能松弛，当力F较大时，OC张紧，OB有可能 松弛．由此可知，OC刚要松弛和OB刚要松弛是此问题的临界条件．
【例6】如图所示，用绳AC和BC吊起一 重物，绳与竖直方向夹角分别为30°和 60°，AC绳能承受的最大拉力为150N， 而BC绳能承受的最大的拉力为100N，求 物体最大重力不能超过多少？
下．【答案】 A
例6、光滑斜面上用细线吊着一重物G=10N，小 球处于静止状态=300，=600，求：细绳的拉 力，和斜面的弹力。
例7、直角劈形木块质量M=2kg，用外力顶靠
在竖直墙上，已知木块与墙之间最大静摩擦
力和木块对墙的压力成正比，即fm=kFN，比
例系数k=0.5，则垂直作用于BC边的外力F应
.例3、某公园要在儿童乐园中建一座滑梯，已知 斜面与物体间滑动摩擦因数μ= 0.75，那么倾角 θ至少要多少度儿童在斜面上才可以由静止开 始滑下？
要多少度 ？
此题答案：
倾角θ至少要37°
【分析】这是一个斜面问题。当θ增大时，重力沿斜面的分力增大 当此分力增大到等于最大静摩擦力时，物体处于动与不动的临界 状态。此时θ最小。 【解答】依题意， mgsinθ=μmgcosθ tgθ=μ ∴ θ≥arctgμ 说明：tgθ=μ是一重要临界条件。 其意义是：tgθ<μ时，重力沿斜面向下的分力小于滑动摩擦力； tgθ=μ时，重力沿斜面向下的分力等于滑动摩擦力； tgθ>μ时，重力沿斜面向下的分力大于滑动摩擦力； 1.将物体静止置于斜面上， 如tgθ≤μ，则物体保持静止； 如tgθ>μ，则物体不能保持静止，而加速下滑。 2.将物体以一沿斜面向下的初速度置于斜面上， 如tgθ<μ ，则物体减速，最后静止； 如tgθ=μ，则物体保持匀速运动； 如tgθ>μ，则物体做加速运动。 因此，这一临界条件是判断物体在斜面上会如何运动的一个条件。
例5、木箱重为G，与地面间的动摩擦因数为μ，用斜向上的力
F拉木箱，使之沿水平地面匀速前进，如图所示。问角α为何 值时拉力F最小？这个最小值为多大？
F θ
B、D
例7、如图所示，物体的质量为2kg，两根轻
绳oB和oC的一端连接于竖直墙上，另一端系
于物体上，在物体上另施加一个方向与水平
线 成 θ ＝ 60° 的 拉 力 F ， 若 要 使 两 绳 都 能 伸
F
θ
m
→ FN4 = mgcosθ ± Fsinθ
例2、如图所示，物体m与斜面体M一起静止 在水平面上．若将斜面的倾角θ稍微增大一 些，且物体m仍静止在斜面上，则 ( )
A．斜面体对物体的支持力变小 B．斜面体对物体的摩擦力变大 C．水平面与斜面体间的摩擦力变大
D．水平面与斜面体间的摩擦力变小
物体m，且M、m相对静止，小车后来受力个
数为 (
)
A．3
C．5
B．4
D．6
【解析】
对M和m整体，它们必受到重力和地面支持力，因小车静
止，由平衡条件知墙面对小车必无作用力，以小车为研究对象．如右