结构力学第三章-扭转
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4
D 4 15
由强度条件
Tmax 16Tmax 3 [ ] D 3 109 10 m 4 WP (1 )[ ]
由强度条件
Tmax 16Tmax 3 3 [ ] D 109 10 m 4 WP (1 )[ ]
Tmax 180 [ ] GI P
P2
D d
P3
P1 n
P4
A
B
C
D
解：由扭矩图，可知 Tmax 9.56KN .m
T
– 4.78 – 9.56
3 1 D 15 WP （ 1 4） （ 1 ( ) 4） 16 16 2 16 16
6.37
x
D3
D3
IP
D 4
（ 1 ） 32 32 16
G
G
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，
钢材的G值约为80 GPa 。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的
三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在关系：
E G 2(1 )
四、圆轴扭转时的强度计算 强度条件： 对于等截面圆轴：
max [ ]
Tmax [ ] WP
([] 称为许用剪应力。)
强度计算三方面： ① 校核强度： ② 设计截面尺寸：
max
③ 计算许可载荷：
3 实： D 16 Tmax 3 WP WP D 4 [ ] 空： （ 1 ） 16 Tmax WP [ ]
2、斜截面上的应力
´
´
x
´
η
转角规定：
x
´
轴正向转至截面外法线
ξ 由平衡方程：
逆时针：为“+” 顺时针：为“–”
F 0 ; dA (dAcos )sin ( dAsin )cos 0 F 0 ; dA (dAcos )cos ( dAsin )sin 0
第三章
§3–1 概述
扭 转
§3–2 薄壁圆筒的扭转
§3–3 传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
§3–4 等直圆杆扭转时的应力 ·强度条件
§3–5 等直圆杆扭转时的变形 ·刚度条件
§3–6 等直圆杆扭转时的应变能
§3–7 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形
§ 3–1
概 述
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、
就可以推算出来。
（推导详见后面章节）：
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量
§ 3–3
传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
一、传动轴的外力偶矩
传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
P M 9.55 (KN m) n P M 7.024 (KN m) n
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm） 其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
A2 4 2 A1 d1 4
2 2 ( D2 d2 )
0.512
三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力
低碳钢试件： 沿横截面断开。
铸铁试件： 沿与轴线约成45的 螺旋线断开。
因此，我们需要研究斜截面上的应力。
2、斜截面上的应力
M
点M的应力单元体如右图
´
1、切应力互等定理：
dz dy
1 D 4 G (1 4 ) [ ] 32 125.5 103 m 125.5m m Tmax 180
由刚度条件
综合强度条件与刚度条件可知
D 125 .5mm
§3–6 等直圆杆在扭转时的应变能
一、 应变能与应变能密度
单元体微功：
y a dy
T1 M 2 4.78kN m
A 1 B 2 C
n 3 D
T2 M 2 M 3 0 , T2 M 2 M 3 (4.78 4.78) 9.56kN m T3 M 4 0 , T3 M 4 6.37kN m
③绘制扭矩图
对于空心圆截面：
d
I p A 2 dA 2 d
2 D 2 d 2
d
O D
4 4 (D d ) 32 D4 4 (1 ) 32
d ( ) D
④ 应力分布
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，
对于实心圆截面： 对于空心圆截面：
WP I p R d 3 16 WP I p R D3 (1 4 ) 16
[例] 一个是实心圆截面I轴，一个是空心圆截面II轴，两轴材料、
扭转力偶矩 Me 和长度 l 均相等，最大切应力也相等。若空心圆 截面内、外直径比为 0.8 ，试求空心圆截面的外径与实心圆 截面直径之比以及两轴的重量比。
石油钻机中的钻杆等。
扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。 B
A
O
A
O B
m
m
工 程 实 例
§ 3–2
薄壁圆筒的扭转
略
扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。
切应变（）：直角的改变量。
剪切胡克定律： T=m
剪切胡克定律： 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ ≤τp)， 剪应力与剪应变成正比关系。
二、单位长度扭转角[ ] ：
d T dx GI p
(rad/m)
(/m)
或
d T 180 dx GI p
三、刚度条件
max
max
T GI p
(rad/m)
(/m)
或
T 180 GI p
[ ]称为许用单位长度扭转角。
Tmax [ ] WP
§3–5 等直圆杆在扭转时的变形 ·刚度条件
一、扭转时的变形 由公式
d T dx GI p
可知：长为 l 的一段杆两截面间相对扭转角 为
l
d
Tl GI p
0
T dx GI p
(若T值不变）
GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。
T
x
[例1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从
动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
P2
解：①计算外力偶矩
P3
P1 n
P4
P 500 A 1 M 1 9.55 9.55 n 300 15.9(kN m)
´
O
M
z
0
dzdy dx dxdz dy 故
上式称为切应力互等定理。
´
z
dx
该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然 成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方 向则共同指向或共同背离该交线。 单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用， 这种应力状态称为纯剪切应力状态。
d G G dx
代入上式得：
d G dx
3. 静力学关系：
dA
T A dA d A G dA dx d 2 G A dA dx
2
O
令
I p A 2dA
极惯性矩
d T GI p dx
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力： 1. 变形几何关系：
GG d tg dx dx
A
E
D D
d dx
距圆心为 任一点处的与到圆心的距离 成正比。
d —— 扭转角沿长度方向变化率。 dx
2. 物理关系：
剪切胡克定律：
G
d1
D2 d 2
解：
WP1
d
3 1
16
WP 2
D3 2
16
（ 1 4）
带入最大切应力公式：
可得：
max
T WP
T T WP1 WP 2 16T 3 D2 (1 4 ) D2 1.194 d1
即： 16T 3
d1
两轴重量比即为横截面积比
B
C
D
P2 150 M 2 M 3 9.55 9.55 4.78 (kN m) n 300 P4 200 M 4 9.55 9.55 6.37 (kN m) n 300
②求扭矩（扭矩按正方向设）
M 0 ,
T1 M 2 0
M2
1
M3
2
M1
3
M4
45 max , 45 0
Βιβλιοθήκη Baidu0 0 , 90 max
´
由此可见：圆轴扭转时，在横截 45° 面和纵截面上的切应力为最大值；在 方向角 = 45的斜截面上作用有最 大压应力和最大拉应力。根据这一结 论，就可解释前述的破坏现象。
代入物理关系式
d T dx GI p
d 得： G dx
T Ip
T Ip
— 横截面上距圆心为 处任一点切应力计算公式。
4. 公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
利用
解得：
sin 2 ; cos2
sin 2 ; cos2
分析： 当 = 0°时， 当 = 45°时， 当 = – 45°时， 当 = 90°时，
0 0 , 0 max 45 min , 45 0
T max 9.56 kN m
BC段为危险截面。
T
– – 9.56
6.37
x
4.78
§3–4 等直圆杆扭转时的应力 ·强度条件
①变形几何方面
等直圆杆横截面应力 ②物理关系方面 ③静力学方面 一、等直圆杆扭转实验观察：
1. 横截面变形后
仍为平面；
2. 轴向无伸缩；
3. 纵向线变形后仍为平行。
1 1 dW (dzdy) ( dx ) dV 2 2
´
b
c z
´
dx
应变能密度 ： x
d
dz
dV dW 1 dV dxdydz 2
2 1 G 2 2 2G
等直圆杆在扭转时应变能
结构轻便，应用广泛。
⑤ 确定最大切应力： 由
T Ip
max
T Ip d 2
知：当
R d , max
2
d ) 2
T Ip
T (令 WP I p d WP 2
max
T WP
WP — 抗扭截面系数（扭转截面系数），
几何量，单位：m3。
1PS=735.5N· m/s ,
1kW=1.36PS
二、扭矩及扭矩图 1 2 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 截面法求扭矩
M
x
0
T M 0 T M
3 扭矩的符号规定：
M
M
M
T
x
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目 的 ①扭矩变化规律； ②|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。
—该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
I p A 2dA
单位：m4
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是Ip值不同。 对于实心圆截面：
I p A dA
2
d
2 2 d
d 2 0
O
d
d4
32
刚度计算的三方面： ① 校核刚度：
max
Ip T
max
② 设计截面尺寸：
G[ ]
③ 计算许可载荷：
T
max
GI p [ ]
有时，还可依据此条件进行选材。
[例]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从
动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。该轴由45号钢制 成，为空心圆截面，内、外半径比为0.5，钢的许用切应力 [ ] =40Mpa,切变模量G=80Gpa,许可单位扭转角 [ ] 0.3 (/m) 。 试根据强度与刚度条件选择轴的半径。
D 4 15
由强度条件
Tmax 16Tmax 3 [ ] D 3 109 10 m 4 WP (1 )[ ]
由强度条件
Tmax 16Tmax 3 3 [ ] D 109 10 m 4 WP (1 )[ ]
Tmax 180 [ ] GI P
P2
D d
P3
P1 n
P4
A
B
C
D
解：由扭矩图，可知 Tmax 9.56KN .m
T
– 4.78 – 9.56
3 1 D 15 WP （ 1 4） （ 1 ( ) 4） 16 16 2 16 16
6.37
x
D3
D3
IP
D 4
（ 1 ） 32 32 16
G
G
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，
钢材的G值约为80 GPa 。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的
三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在关系：
E G 2(1 )
四、圆轴扭转时的强度计算 强度条件： 对于等截面圆轴：
max [ ]
Tmax [ ] WP
([] 称为许用剪应力。)
强度计算三方面： ① 校核强度： ② 设计截面尺寸：
max
③ 计算许可载荷：
3 实： D 16 Tmax 3 WP WP D 4 [ ] 空： （ 1 ） 16 Tmax WP [ ]
2、斜截面上的应力
´
´
x
´
η
转角规定：
x
´
轴正向转至截面外法线
ξ 由平衡方程：
逆时针：为“+” 顺时针：为“–”
F 0 ; dA (dAcos )sin ( dAsin )cos 0 F 0 ; dA (dAcos )cos ( dAsin )sin 0
第三章
§3–1 概述
扭 转
§3–2 薄壁圆筒的扭转
§3–3 传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
§3–4 等直圆杆扭转时的应力 ·强度条件
§3–5 等直圆杆扭转时的变形 ·刚度条件
§3–6 等直圆杆扭转时的应变能
§3–7 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形
§ 3–1
概 述
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、
就可以推算出来。
（推导详见后面章节）：
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量
§ 3–3
传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
一、传动轴的外力偶矩
传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
P M 9.55 (KN m) n P M 7.024 (KN m) n
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm） 其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
A2 4 2 A1 d1 4
2 2 ( D2 d2 )
0.512
三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力
低碳钢试件： 沿横截面断开。
铸铁试件： 沿与轴线约成45的 螺旋线断开。
因此，我们需要研究斜截面上的应力。
2、斜截面上的应力
M
点M的应力单元体如右图
´
1、切应力互等定理：
dz dy
1 D 4 G (1 4 ) [ ] 32 125.5 103 m 125.5m m Tmax 180
由刚度条件
综合强度条件与刚度条件可知
D 125 .5mm
§3–6 等直圆杆在扭转时的应变能
一、 应变能与应变能密度
单元体微功：
y a dy
T1 M 2 4.78kN m
A 1 B 2 C
n 3 D
T2 M 2 M 3 0 , T2 M 2 M 3 (4.78 4.78) 9.56kN m T3 M 4 0 , T3 M 4 6.37kN m
③绘制扭矩图
对于空心圆截面：
d
I p A 2 dA 2 d
2 D 2 d 2
d
O D
4 4 (D d ) 32 D4 4 (1 ) 32
d ( ) D
④ 应力分布
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，
对于实心圆截面： 对于空心圆截面：
WP I p R d 3 16 WP I p R D3 (1 4 ) 16
[例] 一个是实心圆截面I轴，一个是空心圆截面II轴，两轴材料、
扭转力偶矩 Me 和长度 l 均相等，最大切应力也相等。若空心圆 截面内、外直径比为 0.8 ，试求空心圆截面的外径与实心圆 截面直径之比以及两轴的重量比。
石油钻机中的钻杆等。
扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。 B
A
O
A
O B
m
m
工 程 实 例
§ 3–2
薄壁圆筒的扭转
略
扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。
切应变（）：直角的改变量。
剪切胡克定律： T=m
剪切胡克定律： 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ ≤τp)， 剪应力与剪应变成正比关系。
二、单位长度扭转角[ ] ：
d T dx GI p
(rad/m)
(/m)
或
d T 180 dx GI p
三、刚度条件
max
max
T GI p
(rad/m)
(/m)
或
T 180 GI p
[ ]称为许用单位长度扭转角。
Tmax [ ] WP
§3–5 等直圆杆在扭转时的变形 ·刚度条件
一、扭转时的变形 由公式
d T dx GI p
可知：长为 l 的一段杆两截面间相对扭转角 为
l
d
Tl GI p
0
T dx GI p
(若T值不变）
GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。
T
x
[例1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从
动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
P2
解：①计算外力偶矩
P3
P1 n
P4
P 500 A 1 M 1 9.55 9.55 n 300 15.9(kN m)
´
O
M
z
0
dzdy dx dxdz dy 故
上式称为切应力互等定理。
´
z
dx
该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然 成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方 向则共同指向或共同背离该交线。 单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用， 这种应力状态称为纯剪切应力状态。
d G G dx
代入上式得：
d G dx
3. 静力学关系：
dA
T A dA d A G dA dx d 2 G A dA dx
2
O
令
I p A 2dA
极惯性矩
d T GI p dx
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力： 1. 变形几何关系：
GG d tg dx dx
A
E
D D
d dx
距圆心为 任一点处的与到圆心的距离 成正比。
d —— 扭转角沿长度方向变化率。 dx
2. 物理关系：
剪切胡克定律：
G
d1
D2 d 2
解：
WP1
d
3 1
16
WP 2
D3 2
16
（ 1 4）
带入最大切应力公式：
可得：
max
T WP
T T WP1 WP 2 16T 3 D2 (1 4 ) D2 1.194 d1
即： 16T 3
d1
两轴重量比即为横截面积比
B
C
D
P2 150 M 2 M 3 9.55 9.55 4.78 (kN m) n 300 P4 200 M 4 9.55 9.55 6.37 (kN m) n 300
②求扭矩（扭矩按正方向设）
M 0 ,
T1 M 2 0
M2
1
M3
2
M1
3
M4
45 max , 45 0
Βιβλιοθήκη Baidu0 0 , 90 max
´
由此可见：圆轴扭转时，在横截 45° 面和纵截面上的切应力为最大值；在 方向角 = 45的斜截面上作用有最 大压应力和最大拉应力。根据这一结 论，就可解释前述的破坏现象。
代入物理关系式
d T dx GI p
d 得： G dx
T Ip
T Ip
— 横截面上距圆心为 处任一点切应力计算公式。
4. 公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
利用
解得：
sin 2 ; cos2
sin 2 ; cos2
分析： 当 = 0°时， 当 = 45°时， 当 = – 45°时， 当 = 90°时，
0 0 , 0 max 45 min , 45 0
T max 9.56 kN m
BC段为危险截面。
T
– – 9.56
6.37
x
4.78
§3–4 等直圆杆扭转时的应力 ·强度条件
①变形几何方面
等直圆杆横截面应力 ②物理关系方面 ③静力学方面 一、等直圆杆扭转实验观察：
1. 横截面变形后
仍为平面；
2. 轴向无伸缩；
3. 纵向线变形后仍为平行。
1 1 dW (dzdy) ( dx ) dV 2 2
´
b
c z
´
dx
应变能密度 ： x
d
dz
dV dW 1 dV dxdydz 2
2 1 G 2 2 2G
等直圆杆在扭转时应变能
结构轻便，应用广泛。
⑤ 确定最大切应力： 由
T Ip
max
T Ip d 2
知：当
R d , max
2
d ) 2
T Ip
T (令 WP I p d WP 2
max
T WP
WP — 抗扭截面系数（扭转截面系数），
几何量，单位：m3。
1PS=735.5N· m/s ,
1kW=1.36PS
二、扭矩及扭矩图 1 2 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 截面法求扭矩
M
x
0
T M 0 T M
3 扭矩的符号规定：
M
M
M
T
x
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目 的 ①扭矩变化规律； ②|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。
—该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
I p A 2dA
单位：m4
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是Ip值不同。 对于实心圆截面：
I p A dA
2
d
2 2 d
d 2 0
O
d
d4
32
刚度计算的三方面： ① 校核刚度：
max
Ip T
max
② 设计截面尺寸：
G[ ]
③ 计算许可载荷：
T
max
GI p [ ]
有时，还可依据此条件进行选材。
[例]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从
动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。该轴由45号钢制 成，为空心圆截面，内、外半径比为0.5，钢的许用切应力 [ ] =40Mpa,切变模量G=80Gpa,许可单位扭转角 [ ] 0.3 (/m) 。 试根据强度与刚度条件选择轴的半径。