导数与微分测试题及答案一

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导数与微分习题及答案

导数与微分习题及答案

导数与微分习题及答案第二章导数与微分(A)1 .设函数y 二f x ,当自变量x 由x 0改变到x 0 * e x 时,相应函数的改变量 y =()A. f x 0 : =x B . fx^_x C . f x 0 : =x f x 0D . f x 0 x2. 设f(x )在 x 处可,则曲区弋ix °)= () A. - f x oB . f -X 。

C . f x oD . 2f x o3 .函数f x 在点x 0连续,是f x 在点x 0可导的( )A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.设函数y = f u 是可导的,且u =x 2,则dy=()dxA. f x 2B . xf x 2C . 2xf x 2D . x 2f x 25. 若函数f x 在点a 连续,则f x 在点a () A .左导数存在;B .右导数存在;C .左右导数都存在D .有定义6 . f(x)=x-2在点x=2处的导数是() A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y =2x 3 -5x 2 ? 4x -5在点2,-1处切线斜率等于()A . 8B . 12C . -6D . 68. 设y=e f 卜且f(x 二阶可导,则y"=() A . e f (x ) B . e f *)f "(x )C . e f (x )〔f "(x f "(x jD . e f (x X 【f *(x 9 + f*(x 》e axx < 09. 若f"〔b+sin2x, x,0在x=°处可导'则a,b的值应为()717118.10. 若函数f x 在点X o 处有导数,而函数 g x 在点X o 处没有导数,则 F X 二 f X g X , G X A f X — g X 在x ° 处()A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .恰有一个有导数D .至少一个有导数11. 函数fx 与g X 在X o 处都没有导数,则Fx 二fx^gx , G x i=f x -g x 在 X o 处()A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .至少一个有导数D .至多一个有导数12. 已知F x 二f !g x 1,在x 二X 。

导数与微分练习题及解析

导数与微分练习题及解析

导数与微分练习题及解析在微积分学中,导数和微分是最基本的概念之一。

它们可以帮助我们研究函数的变化率和性质,广泛应用于物理、经济、工程等各个领域。

为了帮助你更好地理解导数和微分的概念,以下是一些练习题及其解析。

练习题1:求函数f(x) = x^2 + 3x + 2在x = 2处的导数和切线方程。

解析:首先,我们求函数f(x)的导数。

使用求导法则,对于多项式函数来说,可以将每一项的指数与系数相乘,并将指数减一,得到函数的导数。

f'(x) = 2x + 3接下来,我们计算x = 2处的导数值。

f'(2) = 2(2) + 3 = 7切线方程的一般形式为y = mx + b,其中m代表斜率,b代表截距。

根据导数的定义,导数即为切线的斜率。

所以切线的斜率为m = 7。

将切点的坐标代入切线方程,我们可以得到b的值。

2 = 7(2) + b2 = 14 + bb = -12最终的切线方程为y = 7x - 12。

练习题2:求函数f(x) = e^x * sin(x)的导数。

解析:考虑到函数f(x) = e^x * sin(x)是两个函数的乘积,我们可以使用乘积法则来求导。

乘积法则的公式为:(uv)' = u'v + uv'对于e^x和sin(x)两个函数,它们的导数分别为e^x和cos(x)。

根据乘积法则,我们可以将这两个导数与原函数进行组合,得到最终的导数为:f'(x) = (e^x * cos(x)) + (e^x * sin(x))练习题3:求函数f(x) = ln(x^2 + 1)的导数和微分。

解析:首先,我们求函数f(x)的导数。

根据链式法则,可以分别计算外函数和内函数的导数。

设内函数为u = x^2 + 1,则内函数的导数为du/dx = 2x。

外函数为f(u) = ln(u),则外函数的导数为df/du = 1/u。

根据链式法则,函数f(x)的导数为:f'(x) = df/du * du/dx= (1/u) * (2x)= 2x / (x^2 + 1)接下来,我们计算函数f(x)的微分。

MPA公共管理硕士综合知识数学微积分(导数与微分)-试卷1

MPA公共管理硕士综合知识数学微积分(导数与微分)-试卷1

MPA公共管理硕士综合知识数学微积分(导数与微分)-试卷1(总分:54.00,做题时间:90分钟)一、数学部分(总题数:30,分数:54.00)1.选择题__________________________________________________________________________________________2.已知g(x)=且复合函数f(g(x))对x的导数为,那么.A.1√D.2由已知条件[f(g(x))]’=f"(g(x)).g’(x)=f"(g(x)).即(C).3.f(x)在(一∞,+∞)内可导,若一x)],则( )是奇函数.A.g(x)B.g(一x)C.g’(x) √D.1+∫0x g(t)dt由已知得g(一x)=g(x),故g(x) g’(x)=一g’(一x) 故g’(x)是奇函数.4.设函数f(x)可导,则的导数y’等于( )A.B.C.D. √5.设函数f(x)在区间(一δ,δ)内有定义,若当x∈(一δ,δ)时,恒有|f(x)|≤x 2,则x=0必是f(x)的( ).A.间断点B.连续但不可导的点C.可导的点,且f"(0)=0 √D.可导的点,且f’(0)≠0令x=0,由|f(0)|≤0知f(0)=0.而0≤|f(x)一f(0)|=|f(x)|≤x 2,由夹逼定理可知所以f(x)在x=0处连续.再讨论f(x)在x=0处的左、右导数,由|f(x)|≤x 2,得一x 2≤f(x)≤x 2.6.设f"(x)=(x一1)(2x+1),x∈(一∞,+∞),则在区间1)内有( ).A.函数f(x)单调减少,且曲线y=f(x)为凹的√B.函数f(x)单调增加,且曲线y=f(x)为凹的C.函数f(x)单调减少,且曲线y=f(x)为凸的D.函数f(x)单调增加,且曲线y=f(x)为凸的因为时,f"(x)=(x一1)(2x+1)<0,f"(x)=4x一1>0 f(x)单调减少且曲线y=f(x)为凹的.7.设函数f(x)对任意的x均满足f(1+x)=af(x),且有f"(0)=b,其中a,b为非零常数,则f(x)在x=1处( ).A.不可导B.可导且f"(1)=aC.可导且f"(1)=bD.可导且f"(1)=ab √在f(1+x)=af(x)中,令x=0,得f(1)=af(0)8.设对任意的x,总有φ(x)≤f(x)≤g(x),且.则A.存在且等于零B.存在但不一定为零C.一定不存在D.不一定存在√举反例说明.比如φ(x)=e -|x|,f(x)=2e -|x|,g(x)=3e -|x|,则有φ(x)≤f(x)≤g(x),且存在.但若取φ(x)=e -|x| +x,f(x)=2e -|x| +x,g(x)=3e -|x| +x,则有9.设f(x),g(x)在[a,b]上可导,且f"(x)g(x)+f(x)g’(x)<0,则当x∈(a,b)时,有( ).A.f(x)g(x)>f(b)g(a)B.f(x)g(x)>f(b)g(a)C.f(a)g(b)>f(b)g(a)D.f(x)g(x)>f(b)g(b) √令F(x)=f(x)g(x),则由题设可知 F’(x)=f"(x)g(x)+f(x)g’(x)<0 (a≤x≤b).于是,F(x)在[a,b]上单调减少,故当x∈(a,b)时,F(x)>F(b),即f(x)g(x)>f(b)g(b).10.下述极限中,等于e的是( )A.B. √C.D.11.设函数f(x)在(a,b)内可微,则( ).A.在[a,b]上连续B.若f(x)在(a,b)上严格单调递增,则f"(x)≠0C.若f(x)严格单调递增,且f(x)≠0√D.在(a,b)内f(x)必存在极限.因为f(x)严格递增,所以f"(x)≥012.填空题__________________________________________________________________________________________13.若函数f(x)在x 0点可导,则填空项1:__________________ (正确答案:正确答案:3f"(x 0 ).)0 )+2f"(x 0 ) =3f"(x 0 ).14.设函数f(x)在x 0点可导,填空项1:__________________ (正确答案:正确答案:不能确定.)因为由f"(x 0 )存在,可知因此,若f(x 0 )=0,则有若f(x 0 )≠0,则有原极限值不能确定.15.设函数f(x)在(一∞,+∞)上满足2f(1+x)+f(1一x)=e x,则f"(1)= 1.填空项1:__________________ (正确答案:正确答案:[*])先求f(x)的表达式.令x=一t,则等式变为由此可解得 3f(1+t)=2e t—e -t,再令1+t=x,可得于是有16.函数f(x)=(x 2 +2x-3)|x 4 -x|的不可导的点的个数是 1.填空项1:__________________ (正确答案:正确答案:1)由|x 4一x|=|x||x一1|(x 2 +x+1),可知f(x)的不可导点至多有两个点:x 1 =0,x 2 =1.下面我们来分析这两点是否不可导.在x 1=0点处,在x 2=1点处所以f(x)在x 2=1点可导,因此f(x)的不可导点只有一个.17.函数y=y(x)是由方程e xy +x一y一2=0所确定,则y’(0)= 1.填空项1:__________________ (正确答案:正确答案:0)在等式e xy +x—y一2=0两边求导,有 e xy (y+xy’)+1一y’=0,由此可得又由方程知y(0)=一1,于是有18.设函数y=y(x)由方程x y =y x所确定,则y’(1)= 1.填空项1:__________________ (正确答案:正确答案:1)利用对数求导法,有ylnx=xlny,上式两边对x x=1时,可解得y(1)=1,代入上式,有y’(1)=1.19.当x≠0时,函数f(x)满足f(x 3,则f"(1)= 1.填空项1:__________________ (正确答案:正确答案:一1)先求函数f(x)的表达式:令等式化为 f"(1)=一1.20.已知填空项1:__________________因f"(x)=而21.计算题__________________________________________________________________________________________22.设f(x)与φ(x)在x=0处均连续,求φ(0)和φ’(0).__________________________________________________________________________________________正确答案:(正确答案:因为f(x)在x=023.求函数x=0点处的左、右导数f - "(0)与f + "(0).__________________________________________________________________________________________正确答案:(y=|x|在x=0点处左、右导数都存在,但不相等.因此,此函数在x=0点处导数不存在.)24.已知f"(a)=a 2,__________________________________________________________________________________________正确答案:(25.__________________________________________________________________________________________正确答案:(正确答案:先将函数化为简单函数的和差,再用导数的四则运算计算更为简单,即所以可得)26.求函数y=ln|x|的导数。

导数与微分习题及答案

导数与微分习题及答案

第二章 导数与微分(A)1.设函数()x f y =,当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时,相应函数的改变量=∆y ( )A .()x x f ∆+0B .()x x f ∆+0C .()()00x f x x f -∆+D .()x x f ∆02.设()x f 在0x 处可,则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim ( ) A .()0x f '- B .()0x f -' C .()0x f ' D .()02x f '3.函数()x f 在点0x 连续,是()x f 在点0x 可导的 ( )A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.设函数()u f y =是可导的,且2x u =,则=dxdy ( ) A .()2x f ' B .()2x f x ' C .()22x f x ' D .()22x f x5.若函数()x f 在点a 连续,则()x f 在点a ( )A .左导数存在;B .右导数存在;C .左右导数都存在D .有定义6.()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( )A .1B .0C .-1D .不存在7.曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( )A .8B .12C .-6D .68.设()x f e y =且()x f 二阶可导,则=''y ( )A .()x f eB .()()x f e x f ''C .()()()[]x f x f e x f '''D .()()[](){}x f x f e x f ''+'2 9.若()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导,则a ,b 的值应为( ) A .2=a ,1=b B . 1=a ,2=bC .2-=a ,1=bD .2=a ,1-=b10.若函数()x f 在点0x 处有导数,而函数()x g 在点0x 处没有导数,则()()()x g x f x F +=,()()()x g x f x G -=在0x 处( )A .一定都没有导数B .一定都有导数C .恰有一个有导数D .至少一个有导数11.函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数,则()()()x g x f x F +=,()()()x g x f x G -=在0x 处( )A .一定都没有导数B .一定都有导数C .至少一个有导数D .至多一个有导数12.已知()()[]x g f x F =,在0x x =处可导,则( )A .()x f ,()x g 都必须可导B .()x f 必须可导C .()x g 必须可导D .()x f 和()x g 都不一定可导13.xarctg y 1=,则='y ( ) A .211x +- B .211x + C .221x x +- D . 221x x + 14.设()x f 在点a x =处为二阶可导,则()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( ) A .()2a f '' B .()a f '' C .()a f ''2 D .()a f ''- 15.设()x f 在()b a ,内连续,且()b a x ,0∈,则在点0x 处( )A .()x f 的极限存在,且可导B .()x f 的极限存在,但不一定可导C .()x f 的极限不存在D .()x f 的极限不一定存在16.设()x f 在点a x =处可导,则()()=--→hh a f a f n 0lim 。

大学高等数学导数与微分 自测自检题 含参考解答

大学高等数学导数与微分  自测自检题  含参考解答

第二章 导数与微分自测自检题参考解答一、填空题1、设()(1)(2)()f x x x x x n =+++ ,则()0f '= 解法一:由定义000()(0)(1)(2)()0(0)limlim0lim(1)(2)()!x x x f x f x x x x n f x x x x x n n →→→-+++-'==-=+++= 解法二:由于()(1)(2)()()f x x x x n x '=++++ ,因此()0f '=!n .2、设()01f x '=-,则()()00lim2h hf x h f x h →---=解:()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()0000000000000000000000000200lim21lim 21lim21lim 2(2)212lim(2)lim 212(2)lim lim2h h h h h h h h hf x h f x h f x h f x h hf x h f x f x f x h hf x h f x f x h f x h hf x h f x f x h f x h hf x h f x f x h f x h →→→→→→-→-→---=---=--+--=+--+---⋅+--=+--+---⋅+--=+--+---+-()()()000121hf x f x -=''-+=3、设()y y x =由方程cos()0x y e xy +-=所确定,则0d x y==解:对方程两边直接求微分,得到()d cos()0x y e xy +-=,即()()()d d sin d d 0x y e x y xy y x x y +++⋅+=,解出()()sin d d sin x y x ye y xy y x e x xy +++=-+. 在方程cos()0x y e xy +-=中,当0x =时,0y =,因此()()0sin d d d sin x y x y x x y e y xy y x x e x xy ++===+=-=-+.4、曲线arctan y x =在1x =处的切线方程是 ,法线方程是 解:由于(1)4y π=,()21111(1)arctan 12x x y x x ==''===+,因此曲线arctan y x =在1x =处的切线方程为()1142y x π-=-,法线方程为()214y x π-=--,即曲线的切线方程为2420x y π-+-=,法线方程为8480x y π+--=.5、设()f x 在0x 可导,0x x x ∆=-,()()0y f x f x ∆=-,则0lim x y ∆→∆=解:()f x 在0x 可导,则()f x 在0x 连续,由连续的定义,0lim x y ∆→∆=0.二、选择题1、设可导函数()f x 是奇函数,则()f x '是( )A 偶函数B 奇函数C 非奇非偶函数D 不能确定解:因为()f x 是奇函数,因此()()f x f x -=-,即()()f x f x =--,所以()f x '=()()()()()1f x f x f x '''--=---=-,亦即,()()f x f x ''-=,()f x '是偶函数。

导数与微分习题及答案

导数与微分习题及答案

C . a =—2 , b =1D . a = 2 , b = —1第二章导数与微分(A)1. 设函数y = f (x ),当自变量x 由x o 改变到Xo +A X 时,相应函数的改变量A. f (x 0+A x )B. )+i xC. f (x 0+A x )—)D. f(x 0 2 .设 f (x 准 X 0 处可,则匹 f (X0-")—f (X0)=()A. — f '(x0)B. f '(—X0)C. f '(x0)D. 2f '(X0) 3.函数f (x 在点x 0连续,是f (x )在点x 0可导的( )5.若函数f(x )在点a 连续,则f(x )在点a ( )A.左导数存在;B.右导数存在; C .左右导数都存在 D .有定义 6.f (x )=x -2|在点x=2处的导数是() A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在7.曲线y =2x 3 -5x 2+4x -5在点(2,-1 )处切线斜率等于( )A. 8B. 12C. -6D. 6 &设y=e 逹且f(x 厂阶可导,则/=() B . e f*)f “(X ) C . e f (X f (x )r(x » D . e f (XX f (x 护 +f “(x 9B . a =1, b = 2A .必要不充分条件 B. 充分不必要条件C.充分必要条件4.设函数y = f(u 是可导的,且UA . f '(X 2 )B . xf T x 2 )C . 既不充分也不必要条件 =x 2,则 ¥=()dx2xf T x 2 ) D . X 2 f (X 2 )A . e f(x9.若f (x )才axe ,b +sin2x, X <0X >0在x=0处可导,则a , b 的值应为( )10. 若函数f(x )在点X o 处有导数,而函数 g(x )在点X o 处没有导数,则 F(x )= f (x )+g (x ), G(x )= f (X )—g(x )在 x 处( )11. 函数f (x )与g (x )在x o 处都没有 导数,贝U F (x )= f (x )+g (x ), G(x )= f (X )—g(x 在 X o 处( )12.已知 F (x )=f [g (x )],在 x = x o 处可导,则()113. y = arctg ,则 y'=()Xf (a +hf (a )——h ——=() hA. 乎 B .3 C. 2f® D . —f®15.设f (x )在(a, b 内连续,且X o 巳a, b ),则在点x o 处( )A. f (x )的极限存在,且可导B. f (x )的极限存在,但不一定可导16.设f (x )在点x = a 处可导,则『八3h L设函数y = y (x )由方程xy-eX +e y=0所确定,则y'(0) =A .一定都没有导数 B •—定都有导数 C.恰有一个有导数D.至少一个有导数A .一定都没有导数 B. —定都有导数 C.至少一个有导数D .至多一个有导数A. f(x ), g(x 都必须可导B. f (x )必须可导C. g(x )必须可导D. f (X )和g(x )都不一定可导 B.1 1+x 2C.2X1 +x 22X 1 +14.设f(x )在点x = a 处为二阶可导,则 lh m o C. f(x )的极限不存在D . f(x )的极限不一定存在17. 函数y = X +1导数不存在的点 18.设函数 f (x )=sin 〔2x +巴〕 I 2丿19.若函数 y=eX(cosx+sinx ),贝U dy = 若 f (x )可导,y = f {f 【f (x W ,则―25.讨论下列函数在x=0处的连续性与可导性: -1 Cxsin- , X H 0 x0, X =0设 y = f (g x e f (X )且 f '(X )存在,求 dy 。

高数 导数与微分习题及答案

高数  导数与微分习题及答案

3、若函数 f ( x ) 在点 x 0 不连续,则 f ( x ) 在 x 0 ( (A)必不可导; (B)必定可导; (C)不一定可导; (D)必无定义. 4、如果 f ( x ) =( ) ,那么 f ( x ) 0 . (A) arcsin 2 x arccos x ; (B) sec 2 x tan 2 x ; (C) sin 2 x cos 2 ( 1 x ) ; (D) arctan x arc cot x . 5、如果 (A) a (C) a
一、 选择题: 1、函数 f ( x ) 在点 x 0 的导数 f (A)
f (x0 x) f (x0 ) x f (x0 x) f (x0 ) x f (x) f (x0 ) x f (x) f (x0 )
x x0
测验题
( x 0 ) 定义为(


(B) lim (C) lim (D) lim
x x0

x x0
; ;
x x0
2、若函数 y f ( x ) 在点 x 0 处的导数 f ( x 0 ) 0 ,则 曲线 y f ( x ) 在点( x 0 , f ( x 0 ) )处的法线( ) (A)与 x 轴相平行; ( B)与 x 轴垂直; (C)与 y 轴相垂直; ( D)与 x 轴即不平行也不垂直:
2
2
2x 1 x
2
] sec x ;
4 、 6 x tan( 10 3 x ) ; 5、 6、
x y x y

1
3 ( 2 y 1 )( 2 x 1 )
x
2
x
.
四 、 1 、 a g ( 0 ) ;

导数与微分习题及答案

导数与微分习题及答案

导数与微分习题及答案导数与微分习题及答案在数学学科中,导数与微分是非常重要的概念。

它们不仅在数学分析中有广泛的应用,还在物理、经济学等领域中起着重要的作用。

本文将为大家提供一些导数与微分的习题,并附上详细的答案,希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一内容。

1. 习题一:求函数 f(x) = x^2 + 3x - 2 在点 x = 2 处的导数。

解答:根据导数的定义,我们有f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h。

代入函数 f(x) = x^2 + 3x - 2 和 x = 2,得到f'(2) = lim(h→0) [(2+h)^2 + 3(2+h) - 2 - (2^2 + 3(2) - 2)] / h。

化简后得到f'(2) = lim(h→0) [4h + h^2 + 6h] / h = lim(h→0) (h^2 + 10h) / h = lim(h→0) (h + 10) = 10。

因此,函数 f(x) = x^2 + 3x - 2 在点 x = 2 处的导数为 10。

2. 习题二:求函数 g(x) = 2sin(x) + cos(x) 在点x = π/4 处的导数。

解答:同样地,我们可以利用导数的定义来求解。

根据定义,g'(x) = lim(h→0) [g(x+h) - g(x)] / h。

代入函数 g(x) = 2sin(x) + cos(x) 和x = π/4,得到g'(π/4) = lim(h→0) [2sin(π/4+h) + cos(π/4+h) - (2sin(π/4) + cos(π/4))] / h。

化简后得到g'(π/4) = lim(h→0) [2(sin(π/4)cos(h) + cos(π/4)sin(h)) + (cos(π/4)cos(h) -sin(π/4)sin(h))] / h。

导数与微分(含答案)

导数与微分(含答案)

第二单元 导数与微分一、基本题1、设()23f '=,则()()232limh f h f h h→--+=2、()cos x y e -=,则()0y '=3、3sin y x =,则dy =4、y =1|x dy ==5、()3ln f x x x =,则()1f ''=6、设()62ln 3x y e =+,则()8y =7、设()23sin 7n y x e -=+,则()n y =8、设210cos 2x y e x x =++,则()10y = ;()12y =9、设()()22f x x y ef e =+,则dy dx=10、曲线2x y e -=+在点0x =处的切线方程为 法线方程为 11、()()()()()123......10f x x x x x x =----,则()1f '= 12、()22,43f x y x xy y =-+,则()()1,1,limh f y h f y h→+-=13、ln 2y z x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则()1,0z x ∂=∂ ;()1,0y f '=14、()zu xy =,则du = 15、2ln xz y=,则12x y dz ===16、yz x=在点()2,1处当0.1x ∆=,0.2y ∆=时的z ∆= ;dz = 17、设233z x xy y =-+,则22z x∂=∂ ;22z y ∂=∂ ;2zy x ∂=∂∂18、22,x z f x y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则x f '= ;y f '=19、一元函数可微、可导、连续、极限之间关系:可微可导是连续的 条件; 连续是极限存在的 条件 极限存在是连续的 条件; 连续是可微可导的 条件20、多元函数可微、可导(偏导数存在)、连续之间关系:(1)(),f x y 在点(),x y 处可微分是在该点连续的 条件; (),f x y 在点(),x y 处连续是在该点可微分的 条件(2)(),f x y 在点(),x y 处两偏导数存在是在该点处可微分的 条件; (),f x y 在点(),x y 处可微分是在该点处两偏导数存在的 条件 (3)(),f x y 在点(),x y 处两偏导数存在且连续是在该点处可微分的 条件(4)(),f x y 在点(),x y 处两二阶混合偏导22,z zx y y x∂∂∂∂∂∂连续 是该两混合偏导相等的 条件二、计算题1、xaaa x e y e e x =++ ()0,1a a >≠,求y ' 2、()3ln 32cos 2sin 332x x y e x x +=+-+,求(0)y '3、()2sin 2x y x =,求y ' 4、sin x y x =y '5、y =y ' 6、设ln tan x y arc t ⎧⎪=⎨=⎪⎩,求dy dx7、设sin cos t tx e ty e t⎧=⎨=⎩,求0t dy =8、设()ln(2)111x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩,求()2f '-,()f x '9、设函数()22111x f x x ax b x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩在点1x =处可导,求,a b10、设()2135f x x x -=++,求()f x '11、设()3sin 2sin 3cos24f x x x =+-,求()f x '12、设()2cos 2z x x y =-,求22z x∂∂;22z y ∂∂;2zx y ∂∂∂13、设(),,sin u v z e u xy v x y +===+,求zx ∂∂;z y∂∂ 14、设()223x z x y =-,求zx ∂∂;z y∂∂ 15、设()2,cos 2,ln 32x y z e x t y t -===+,求dz dt16、函数()y y x =由方程:()1cos x y e e xy -+=所确定的隐函数,求0x dy dx=17、设方程22220x z y z y ++=确定函数(),z z x y =,求zx ∂∂;z y∂∂ 18、设函数(),z z x y =由方程22xy z e z e -+-=所确定,求212x y dz==-19、设()22,y z xf xy g x y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,求z x ∂∂;z y ∂∂三、证明题1、设()2arcsin 3y z xy x =+,证明:220z zx xy y x y ∂∂-+=∂∂ 2、设()2sin 2323x y z x y z +-=+-,证明:1z zx y∂∂+=∂∂导数与微分答案二、基本题1、设()23f '=,则()()232limh f h f h h →--+=()4212f '-=-2、设()12f '=-,则()()11limh f f h h→-+=()12f '-=3、()cos x y e -=,则()0y '=sin14、3sin y x =,则233cos dy x x dx =5、()3ln f x x x =,则()15f ''=6、设()62ln 3x y e =+,则()824x y e =7、设()2sin 7n y x -=,则()49sin 7ny x =-8、设210cos 2x y e x x =++,则()10102101021022cos 21010!22cos 210!2x x y e x e x π⎛⎫=++⋅+=-+ ⎪⎝⎭ ;()12122121221222cos 21222cos 22x x y e x e x π⎛⎫=++⋅=+ ⎪⎝⎭9、设()()22f x x y e f e =+,则()()()222222f x x x dy xe f x xf e e dx''=⋅+⋅10、曲线2x y e -=+在点0x =处的切线方程为3y x =- 法线方程为3y x =+11、()()()()()123......10f x x x x x x =----,则()19!f '=-()()()()()123......10f x x x x x x =----⇒⎡⎤⎣⎦()()()()()()()()()123......10123......10f x x x x x x x x x x x '''=----+----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()()()()()23......10123......10x x x x x x x x x '=---+----⇒⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()11121311009!f '=⋅-⋅-⋅⋅⋅-+=-12、一元函数可微、可导、连续、极限之间关系:可微可导是连续的 充分 条件; 连续是极限存在的 充分 条件 极限存在是连续的 必要 条件; 连续是可微可导的必要 条件 13、()212y x x x x =-+-不可导点2x =-14、ln 2y z x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则()1,01z x ∂=∂ ;()11,02y f '=15、()22,43f x y x xy y =-+,则()()()01,1,lim1,46y h f y h f y f y y h→+-'==-+16、2lnxz y=,则1212x y dz dx dy ===-17、设233z x xy y =-+,则222z x∂=∂ ;226z y y ∂=∂ ;23zy x ∂=-∂∂ 18、()z u xy =,则()()()()11ln z z zdu yz xy dx xz xy dy xy xy dz --=++19、yz x =在点()2,1处当0.1x ∆=,0.2y ∆=时的()()2.1,1.22,10.0714z f f ∆=-= 21110.10.20.07542y dz dx dy dz x x =-+⇒=-⋅+⋅=20、22,x z f x y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则1212x f f xf y '''=+ ;1222y xf f yf y '''=--21、(1)(),f x y 在点(),x y 处可微分是在该点连续的 充分 条件; (),f x y 在点(),x y 处连续是在该点可微分的 必要 条件(2)(),f x y 在点(),x y 处两偏导数存在是在该点处可微分的 必要 条件; (),f x y 在点(),x y 处可微分是在该点处两偏导数存在的 充分 条件 (3)(),f x y 在点(),x y 处两偏导数存在且连续是在该点处可微分的 充分条件(4)(),f x y 在点(),x y 处两二阶混合偏导22,z zx y y x∂∂∂∂∂∂连续是该两混合偏导相等的 充分 条件22、曲线2cos 2sin 3x t y t z t=⎧⎪=⎨⎪=⎩上对应于6t π=处的切线方程213z x π-==- , 法平面方程:()1302x y z π⎛⎫--+-+-= ⎪⎝⎭23、曲面27z e z xy -+=在点()2,3,0处的切平面方程()()()322310032120x y z x y z -+---=⇒+--= , 法线方程 :230231x y z ---==-二、计算题1、x a aa x e y e e x =++ ()0,1a a >≠,求y '【解】:()()111ln x a a x a a a x x a a e a x x a a e y e a e x e x e a a e ax e x ---'''=⋅+⋅+=⋅+⋅+2、()3ln 32cos 2sin 332xx y e x x +=+-+,求y ' 【解】:()()()33213323ln 32323cos 22sin 2032x xx x x y e x e x x ⋅⋅+-++'=-+-+ ()()33233ln 323cos 22sin 232x x x e x e x x -+=-++3、sin x y x =y ' 【解】:()1sin sin ln 223xx xy xex x ==++⇒()()1s i n l n22s i n 1c o s l n 3232x x x y e x x x x x x -⎛⎫'=⋅+++⋅+ ⎪⎝⎭4、()2sin 2x y x =,求y ' 【解】:()222lnsin 2lnsin 22cos 2sin 22ln sin 22sin 2x x xxxx y x e y e x x x x ⎛⎫'==⇒=+⋅⋅⎪⎝⎭ ()2l n s i n 222l n s i n 22c ot 2xx e x xx x =+⋅5、y =y ' 【解】:1)()()()()()21ln ln 1ln 13ln 5ln 1ln 212y x x x x x =+--++--+ 2)等式两边同时对x 求导()()212135211221221x y y x x xx x --'=-++-⇒+--+ ()()2213511122121x y y x xx x x ⎡⎤'=++--⎢⎥+--+⎣⎦()()2213511122121x x xx x x ⎡⎤=++--⎢⎥+--+⎣⎦6、函数()y y x =由方程:()1cos x y e e xy -+=所确定的隐函数,求0x dydx =【解】:1)0x =时0y =2)()()()1cos sin x y x y e e xy e e y xy y xy ''''-+=⇒-⋅=-⋅+⎡⎤⎣⎦ ()0,0sin sin 01sin sin x x x y yy e y xy e y xyy y e x xy e x xy==++''=⇒==--7、求由方程:()()cos sin xyy x =所确定的函数()y y x =的导数dydx【解】:1)等式两边同时取对数()()ln cos ln sin x y y x = 2)等式两边同时对x 求导数:()()sin cos ln cos ln sin cos sin y xy x y y x y y x-''+⋅⋅=+⋅⇒ ()()ln cos cot ln sin tan y y xdy dx x x y -=+8、设ln tan x y arc t⎧⎪=⎨=⎪⎩,求dy dx【解】:1)()()2222121ln 12tan 1tan 1t t t x t x t x y arc t y arc t y t ⎧'=⎧⎪⎧+=+⎪⎪⎪=⇒⎨⎨⎨=⎪⎪⎪⎩=⎩'=⎪+⎩2)1t t y dy dx x t'==' 9、设2323sin 10y x t t e t y ⎧=++⎨-+=⎩,求t dy dx =【解】:1)0t =时,1y =2) 6262cos sin cos 01sin t t y y yt t t y x t x t e t e y t e t y y e t '=+⎧'=+⎧⎪⇒⇒⎨⎨⋅''⋅+⋅-='=⎩⎪-⎩3)0,1cos cos 1sin 1sin 62622y y y yt t t y t e te ty dy dy e e t e t dx x t dxt ===⋅⋅'--==⇒=='++ 10、设()ln 111x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩,求()2f ',()f x '【解】:1)()()()2212ln 2x x f f x x =='''===2)()()11ln x f x x f x x'>⇒=⇒=, ()()111x f x x f x '<⇒=-⇒= 1x =为分段点,且()1=ln1=0f ()()()111101lim lim 111x x f x f x f x x ---→→---'===--, ()()()()()()11111ln 01lim lim lim 11111111x x x f x f x x f f f f x x ++++-+→→→--''''====⇒=⇒=-- ()1111x f x xx ⎧>⎪'=⎨⎪≤⎩11、设函数()22111x f x x ax b x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩在点1x =处可导,求,a b【解】:1)可导必连续,故()()()()211112lim lim 1lim lim 11x x x x f x f x f ax b x -+-+→→→→==⇒=+=+ 即11a b b a +=⇒-=-2)因为可导,故()()()()()()111111lim lim 11x x f x f f x f f f x x -+-+→→--''=⇒=-- ()()()()221111211111lim lim lim lim 11111x x x x x x ax b ax a x a x x x x x -+-+→→→→--++--+=⇒==----+ 1,2a b =-=12、设()2135f x x x -=++,求()f x '【解】:1)()()()()()()22135131521325f x x x f x x x f x x x '-=++⇒=++++⇒=++=+ 13、设()3sin 2sin 3cos24f x x x =+-,求()f x '【解】:()()()3232sin 2sin 312sin 4261f x x x f x x x =+--⇒=-- ()2612f x x x '⇒=-14、设()2cos 2z x x y =-,求22z x∂∂;22z y ∂∂;2zx y ∂∂∂【解】:1)()()()()22222322cos 22sin 26sin 24cos 2z z x y x x y x x y x x y x x∂∂=---⇒=----∂∂2)()()22222sin 24cos 2z z x x y x x y y y ∂∂=-⇒=--∂∂3)()()22222sin 24cos 2zx y x x y x y∂=-+-∂∂15、设(),,sin u v z e u xy v x y +===+,求zx ∂∂;z y∂∂ 【解】:()()()()()sin u v u v x x u v z z u z ve xy e x y x u x v x++∂∂∂∂∂''''=⋅+⋅=⋅+⋅+∂∂∂∂∂()()()sin cos cos xy x y u v u v ye e x y y x y e ++++=+⋅+=++⎡⎤⎣⎦()()()()()sin u v u v y y u v z z u z ve xy e x y y u y v y++∂∂∂∂∂''''=⋅+⋅=⋅+⋅+∂∂∂∂∂()()()sin cos cos xy x y u v u v xe e x y x x y e++++=+⋅+=++⎡⎤⎣⎦16、设()223x z x y =-,求zx ∂∂;z y∂∂ 【解】:()()22ln 2323x x x y z x y e-=-=()()22ln 2322ln 2323x x y z x e x x y x x y -⎛⎫∂=⋅-+ ⎪∂-⎝⎭()212323x z x x y y -∂=--∂ ,17、设()2,cos 2,ln 32x y z e x t y t -===+,求dzdt【解】:()()()22cos2ln 32cos2ln 326ln 322sin 232t t t t t dz z ee t dt t -+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+⎛⎫=⇒=⋅-- ⎪+⎝⎭ 18、设方程22220x z y z y ++=确定函数(),z z x y =,求zx ∂∂;z y∂∂ 【解】:1)()222,,2F x y z x z y z y =++2222,41,4x y z F xz F yz F x y z '''==+=+2)2224x z F z xz x F x y z '∂=-=-'∂+, 222414y z F z yz y F x y z '∂+=-=-'∂+19、设方程()222sin xy e y x y +=+确定函数()y y x =,求dy dx【解1】:()()()()()()22222s i n 2c o s 22x y x y e y x y e y x y y x y x y '''''+=+⇒⋅++=+⋅+()()22222cos 22cos xyxy x x y ye y xe y y x y +-'⇒=+-+ 【解2】:1)()()222,sin xy F x y e y x y =+-+ ()()22222cos ,22cos xy xy x y F ye x x y F xe y y x y ''=-+=+-+2)()()()()222222222cos 2cos 2cos 2cos xy xy x xy xy y ye x x y x x y ye F dy dx F xe y x y xe y x y -++-'=-=-='-+-+ 20、设函数(),z z x y =由方程22xy z e z e -+-=所确定,求212x y dz ==-【解】:1)(),,22xy z F x y z e z e -=+--, 12,12x y z ==-⇒= ,,2xy xy z x y z F ye F xe F e --'''=-=-=- 12,,12224xy x z x y z z F z ye z e x F e xe -==-='∂∂=-=⇒='∂-∂-, 12,,12222xy y z x y z z F z xe z e y F e y e -==-='∂∂=-=⇒='∂-∂- 2)2122242x y e e dzdx dy e e==-=+-- 21、设()22,y z xf xy g x y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,求z x ∂∂;z y ∂∂ 【解】:1)()()1222z y f xy xyf xy xg g x x ∂'''=++-∂2)()21212z x f xy yg g y x∂'''=++∂三、证明题1、设()2arcsin 3y z xy x =+,证明:220z z x xy y x y∂∂-+=∂∂ 2、设()2sin 2323x y z x y z +-=+-,证明:1z z x y ∂∂+=∂∂ 设()(),,2sin 2323F x y z x y z x y z =+---+。

导数与微分练习题及习题详细解答

导数与微分练习题及习题详细解答

第二章 导数与微分练习题及习题详细解答练习题2.11.已知质点作直线运动的方程为23s t =+,求该质点在5t =时的瞬时速度.解 由引例2.1可知,质点在任意时刻的瞬时速度d 2d sv t t==.代入5t =,得10v =. 2.求曲线cos y x =在点π(6处的切线方程和法线方程. 解 由导数的几何意义知,曲线cos y x =在π(6点切线的斜率 ππ661(cos )(sin )2x x k x x =='==-=-,所以,切线方程为1π()226y x -=--,即612π=0x y +-.法线方程为π2()6y x =-,即1262π=0x y -+. 3.讨论函数32,0()31,013,1x f x x x x x ⎧≤⎪=+<≤⎨⎪+>⎩在0x =和1=x 处的连续性与可导性.解 在0x =处,0lim ()lim 22x x f x --→→==,0lim ()lim (31)1x x f x x ++→→=+=, 由于0lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠,所以不连续,根据可导与连续的关系知,也不可导. 在1x =处,11lim ()lim(31)4x x f x x --→→=+=,311lim ()lim(3)4x x f x x ++→→=+=,(1)4f =, 所以连续.又00(1)(1)3(1)lim lim 3x x f x f xf x x---∆→∆→+∆-∆'===∆∆, 2300(1)(1)33()()(1)lim lim 3x x f x f x x x f x x+++∆→∆→+∆-∆+∆+∆'===∆∆,所以可导.4.已知函数()f x 在点0x 处可导,且0()f x A '=,求下列极限:000(5)()(1)limx f x x f x x ∆→-∆-∆; 000(2)()(2)lim h f x h f x h →+-解 (1)000000(5)()(5)()55()55limlim x x f x x f x f x x f x f x A x x ∆→∆→-∆--∆-'=-=-=-∆-∆;(2)000000(2)()(2)()22()22limlim h h f x h f x f x h f x f x A h h →→+-+-'===.5.求抛物线2y x =上平行于直线43y x =-+的切线方程.解 由于切线平行于43y x =-+,所以斜率为4k =-.又2k y x '==,所以2x =-.对应于抛物线上的点为(2,4)-,所以切线方程为44(2)y x -=-+,即440x y ++=.练习题2.21.求下列函数的导数:(1)100(21)y x =-; (2)22e xxy +=;(3)sin(3π)y x =+; (4)2cos y x =; (5)2e sin x y x =; (6)2ln(1)y x =+; (7)tan 2y x =; (8)cot 3y x =; (9)arctan(31)y x =+; (10)arcsin(41)y x =+. 解 (1)9999100(21)(21)200(21)y x x x ''=--=-; (2)22222e (2)e (41)xxxxy x x x ++''=+=+;(3)cos(3π)(3π)3cos(3π)y x x x ''=+⋅+=+; (4)2cos (cos )2sin cos sin 2y x x x x x ''=⋅=-=-;(5)22222(e )sin e (sin )2e sin e cos e (2sin cos )xxxxxy x x x x x x '''=+=+=+; (6)22212(1)11x y x x x''=⋅+=++; (7)22sec 2(2)2sec 2y x x x ''=⋅=; (8)22csc 3(3)3csc 3y x x x ''=-⋅=-;(9)2213(31)1(31)1(31)y x x x ''=⋅+=++++;(10)(41)y x ''=+=2.设y =d d y x .解对于y =[]1ln ln(1)ln(2)ln(3)ln(4)3y x x x x =+++-+-+ 两边对x 求导,得111111()31234y y x x x x '=+--++++ 所以1111()1234y x x x x '=+--++++ 3.求曲线31x ty t =+⎧⎨=⎩上,点(1,0)处的切线方程. 解 点(1,0)对应参数t 的值为0. 设k 为曲线上对应(1,0)点的切线斜率,则32000d ()30d (1)1t t t y t t k x t ==='===='+,于是,所求切线方程为0y =,即x 轴.4.求由方程3330y x xy --=所确定的隐函数的导数d d y x. 解 方程两边对x 求导,可得22333()0y y x y xy ''--+=由上式解出y ',便得隐函数的导数为22x yy y x+'=-(20y x -≠). 练习题2.31.求下列函数的微分:(1)22sin 34y x x x =+-+; (2)2ln y x x x =-; (3)2(arccos )1y x =-; (4)arctan y x x =; (5)ln tan 2x y =; (6)sin ln 57xy x x x x=++-; (7)1cos 2xy -=; (8)3(e e )x x y -=+.解 (1)22d (sin 34)d (2sin 23)d y x x x x x x x '=+-+=+-; (2)2d (ln )d (ln 12)d y x x x x x x x '=-=+-; (3)2d ((arccos )1)d y x x x '=-=;(4)2d (arctan )d (arctan )d 1xy x x x x x x '==++; (5)2111d (ln tan )d sec d d csc d 222sin tan 2x x y x x x x x x x '==⋅⋅==;(6)2sin cos sin d (ln 57)d (ln 6)d x x x xy x x x x x x x x-'=++-=++; (7)11cos cos d (2)d 2ln 2sec tan d xxy x x x x --'==-⋅;(8)32d (e e )d 3(e e )(e e )d x x x x x xy x x ---'⎡⎤=+=+-⎣⎦. 2.填空. (1)23d d()x x =(2)21d d()1x x =+ (3)2cos2d d()x x = (4)21d d()x x= 解 (1)3x C +; (2)arctan x C +; (3)sin 2x C +; (4)1C x-+. 3解=()f x =064x =,1x ∆=.因为000()()()f x x f x f x x '+∆≈+∆,()f x ''==所以1188.062516=≈=+=.4.半径为10m 的圆盘,当半径改变1cm 时,其面积大约改变多少?解 圆盘面积函数为2S πR =,并取0R 10m =,R 1cm 0.01m ∆==.因为 S 2πR '= 所以面积改变量2S dS 2πR R 2π100.010.2π0.628m ∆≈=⋅∆=⨯⨯=≈.习题二1.如果函数()f x 在点0x 可导,求:(1)000()()limh f x h f x h →--; (2)000()()lim h f x h f x h hαβ→+--.解 (1)0000000()()()()limlim ()h h f x h f x f x h f x f x h h →-→----'=-=--; (2)00000000()()()()()()lim lim h h f x h f x h f x h f x f x f x h h hαβαβ→→+--+-+--=0000000()()()()limlim ()()h h f x h f x f x h f x f x h hαβαβαβαβ→→+---'=+=+-2.求函数3y x =在点(2,8)处的切线方程和法线方程. 解 由导数的几何意义,得3222()312x x k x x =='===切,112k =-法. 所以,切线方程为812(2)y x -=-即12160x y --=.法线方程为18(2)12y x -=--即12980x y +-=.3.设2, 1(), 1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩,试确定,a b 的值,使()f x 在1x =处可导.解 若()f x 在1x =处可导,则必在1x =处连续.1lim ()1x f x -→=,1lim ()x f x a b +→=+, 11lim ()lim ()x x f x f x -+→→=,即1a b +=. 又2111()(1)1(1)limlim lim(1)211x x x f x f x f x x x ----→→→--'===+=--, 111()(1)1(1)(1)lim lim lim 111x x x f x f ax b a x f a x x x ++-+→→→-+--'====--- 所以 2a =,1b =-. 4.求下列各函数的导数:(1)231251y x x x =-++; (2)2sin y x x =; (3)1cos y x x =+; (4)1ln 1ln xy x-=+.解 (1)23413(251)45y x x x x x''=-++=++;(2)22(sin )2sin cos y x x x x x x ''==+; (3)221(cos )sin 1()cos (cos )(cos )x x x y x x x x x x '+-''==-=+++;(4)21ln (1ln )(1ln )(1ln )(1ln )()1ln (1ln )x x x x x y x x ''--+--+''==++ 2211(1ln )(1ln )2(1ln )(1ln )x x x x x x x -+--==-++ . 5.求下列函数的导数:(1)36()y x x =-; (2)y =;(3)2sin (21)y x =-; (4)21sin y x x=; (5)ln1xy x=-; (6)[]ln ln(ln )y x =; (7)ln(y x =; (8)arcsin 2x y x =+解 (1)3533526()()6()(31)y x x x x x x x ''=--=--;(2)322(1)y x -'==-; (3)2sin(21)cos(21)(21)2sin(42)y x x x x ''=-⋅-⋅-=-; (4)22221111111()sin(sin )2sin cos ()2sin cos y x x x x x x x x x x x x'''=+=+⋅-=-; (5)lnln ln(1)1x y x x x ==---,∴1111(1)y x x x x -'=-=--; (6)[]{}[]1ln ln(ln )ln(ln )(ln )ln ln(ln )y x x x x x x ''''=⋅⋅=;(7)((1y x ''==+=;(8)1arcsin22x y '=++arcsin arcsin 22x x=+=.6.若以310cm /s 的速率给一个球形气球充气,那么当气球半径为2cm 时,它的表面积增加的有多快?解 设气球的体积为V ,半径为R ,表面积为S ,则34π3V R =,24πS R =. d d d d d d V V R t R t =⋅,d d d d d d S S Rt R t =⋅, 2d d d d dV 12d 8πd d d d dt 4πd S S V R V R t R t V R R t ∴=⋅⋅=⋅⋅=, 将3d 10cm /s d V t =,2cm R =代入得,2d 10cm /s d St=.7.求下列函数的高阶导数:(1)2sin 2y x x =,求y '''; (2)y =5x y =''. 解 (1)Q 22sin 22cos2y x x x x '=+,22sin 24cos24cos24sin 2y x x x x x x x ''=++-22sin 28cos 24sin 2x x x x x =+-,∴24cos28cos216sin 28sin 28cos2y x x x x x x x x '''=+---212cos 224sin 28cos 2x x x x x =--.(2)Q 2y '==y ''==23222(24)(16)x x x -=-,∴5x y =''1027=. 8.求由下列方程所确定的隐函数的导数: (1)3330y x xy +-=; (2)arctan ln yx=. 解 (1)方程两边对x 求导,得22333()0y y x y xy ''+-+=,从中解出y ',得22y x y y x-'=-. (2)方程两边对x 求导,得2222112221()xy y x yy y x x y x''-+⋅=⋅++, 从中解出y ',得x yy x y+'=-. 9.用对数求导法求下列各函数的导数:(1)y =; (2)cos (sin )x y x = (s i n 0)x >.解 (1)方程两边取对数,得11ln ln(23)ln(6)ln(1)43y x x x =++--+,两边对x 求导,得1211234(6)3(1)y y x x x '=+-+-+, 即211[234(6)3(1)y x x x '=+-+-+ (2)方程两边取对数,得cos ln ln(sin )cos lnsin x y x x x ==⋅两边对x 求导,得11sin ln sin cos cos sin y x x x x y x'=-⋅+⋅⋅ sin lnsin cos cot x x x x =-⋅+⋅,即cos (sin )(sin lnsin cos cot )x y x x x x x '=-⋅+⋅.10.求由下列各参数方程所确定的函数()y y x =的导数:(1)33cos sin x a t y b t ⎧=⎪⎨=⎪⎩; (2)e cos e sin tt x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩,求π2d d t y x =. 解 (1)22d d 3sin cos d tan d d 3cos sin d yy b t t bt t x x a t t a t===--;(2)Q d d e (sin cos )sin cos d d d e (cos sin )cos sin d t t yy t t t tt x x t t t t t++===--, ∴π2d d t y x =π2sin cos 101cos sin 01t t tt t=++===---. 11.求下列函数的微分: (1)ln sin2x y =; (2)1arctan 1x y x+=-; (3)e 0x yxy -=; (4)24ln y y x +=.解 (1)111d (lnsin )d (cos )d cot d 22222sin 2x x xy x x x x '==⋅⋅=; (2)2221(1)(1)1d d d 1(1)11()1x x y x x x x x x-++=⋅=+-++- (3)方程两边同时取微分,得d(e )d()0x yxy -=,2d de (d d )0x yy x x yy x x y y-⋅-+=, 整理得22d d xy y y x x xy-=+.(4)方程两边同时取微分,得312d d 4d y y y x x y+=, 整理得324d d 21x yy x y =+.12.利用微分求近似值:(1)sin3030︒'; (2解 (1)设()sin f x x =,则0π306x ︒==,π30360x '∆==,()cos f x x '=.11 / 11 000sin3030()()()f x x f x f x x ︒''=+∆≈+∆πππsincos 0.507666360=+⋅≈ (2)设()f x =064x =,1x ∆=,561()6f x x -'=.000()()()f x x f x f x x '=+∆≈+∆5611(64)12 2.00526192-⋅=+≈ 13.已知单摆的振动周期2T =2980cm/s g =,l 为摆长(单位为cm ),设原摆长为20cm ,为使周期T 增大0.05s ,摆长约需加长多少?解由2T =224πgT l =,02T =0.05s T ∆=,22πgT l '=. 所以027d 0.050.050.05 2.23cm 2ππgT l l l T '∆≈=⋅∆=⋅===≈, 即摆长约需加长2.23cm .。

导数与微分测试题

导数与微分测试题
从而, 从而,f ′(1) = 2 .
由于 f ( x + 5) = f (5) , 所以 f (6) = f (1) = 0 , f ′(6) = f ′(1) = 2 .
故所求切线方程为 y = 2( x − 6) .
测 验题
(第一、二章 ) 第一、
每题3分 一、填空题 (每题 分,共12分) 每题 分
f (1 + sin x ) − 3 f (1 − sin x ) 即 lim x →0 sin x
f (1 − sin x ) − f (1) f (1 + sin x ) − f (1) = lim +3 x →0 sin x − sin x
= f ′(1) + 3 f ′(1) = 4 f ′(1) = 8 .
二、设曲线 y = x n 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴的交点 为 (ξ n ,0), 求 lim f (ξ n ).
n→ ∞
1 c 满足关系式: 三、设 f ( x ) 满足关系式:af ( x ) + bf ( ) = (| a |≠| b |) . x x 求 f ′( x ) . x −1 ( x + 1)2 ; | x |≤ 1 四、设 f ( x ) = 4 | x |> 1 | x | −1 .
易知 , f ( x ) 在 | x |= 1 处连续 . 在 x = −1 处 , f ( x ) − f ( −1) − x −1 = −1 , ′ (−1) = lim− f− − = lim− x → −1 x → −1 x − ( −1) x +1
f +′ (−1) = lim f ( x ) − f ( −1) − x → −1+ x − ( −1)

导数与微分测试题及答案

导数与微分测试题及答案

导数与微分测试题(一)一、选择题(每小题4分,共20分)1、设函数10()102x x f x x ≠⎪=⎨⎪=⎪⎩ 在0x =处( )A 、不连续;B 、连续但不可导;C 、二阶可导;D 、仅一阶可导; 2、若抛物线2y ax =与曲线ln y x =相切,则a 等于( ) A 、1; B 、12; C 、12e; D 、2e ; 3、设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导,且0()2f x '=,则0()f x 等于( ) A 、1; B 、2e ; C 、2e; D 、e ; 4、设函数()f x 在点x a =处可导,则0()()limx f a x f a x x→+--等于( )A 、0;B 、()f a ';C 、2()f a ';D 、(2)f a ';5、设函数()f x 可微,则当0x ∆→时,y dy ∆-与x ∆相比是( ) A 、等价无穷小; B 、同阶非等价无穷小; C 、低阶无穷小; D 、高阶无穷小; 二、填空题(每小题4分,共20分) 1、设函数()f x x x =,则(0)f '=______; 2、 设函数()xf x xe =,则(0)f ''=______;3、 设函数()f x 在0x 处可导,且0()f x =0,0()f x '=1,则01lim ()n nf x n→∞+=______; 4、 曲线228y x x =-+上点______处的切线平行于x 轴,点______处的切线与x 轴正向的交角为4π。

5、 d ______ = xe dx - 三、解答题1、(7分)设函数()()(),()f x x a x x ϕϕ=-在x a =处连续,求()f a '; 2、(7分)设函数()aaxa x a f x x a a =++,求()f x '; 3、(8分)求曲线 sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩ 在 6t π= 处的切线方程和法线方程;4、(7分)求由方程 1sin 02x y y -+=所确定的隐函数y 的二阶导数22d y dx5、(7分)设函数1212()()()n aaan y x a x a x a =---L ,求 y '6、(10分)设函数212()12x x f x ax b x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩,适当选择,a b 的值,使得()f x 在12x =处可导 7(7分)若22()()y f x xf y x +=,其中 ()f x 为可微函数,求dy 8、(7分)设函数()f x 在[,]a b 上连续,且满足()()0,()()0f a f b f a f b +-''==•>,证明:()f x 在(,)a b 内至少存在一点c ,使得 ()0f c =导数与微分测试题及答案(一)一、1-5 CCBCD二、1. 0; 2. 2; 3. 1; 4.(1,7)、329(,)24; 5. x e --; 三、1. 解:()()()()()limlim ()x a x a f x f a x a x f a a x a x aϕϕ→→--'===--;2. 解:112()ln ln aa xa a a x x a f x a x ax a a a a a --'=++;3. 解:当6t π=时,曲线上的点为 11(,)22;切线的斜率6662sin 22cos t t t dydy t dt k dx dx t dt πππ===-====-, 所以,切线方程 112()22y x -=--, 即 4230x y +-=;法线方程 111()222y x -=- , 即 2410x y -+=;4. 解:方程的两边对x 求121cos 022cos dy dy dy y dx dx dx y-+=⇒=- 继续求导 222324sin sin (2cos )(cos 2)d y dy y y dx y dx y =-=-- 5. 解:两边取对数 1122ln ln()ln()ln()n n y a x a a x a a x a =-+-++-L 方程的两边对x 求导12121n na a a y y x a x a x a '=+++---L ,则 121112()(())()in na n i i i i n i a a a a y y x a x a x a x a x a =='=+++=-----∑∏L6. 解:因为 可导一定连续,则211221111(0)lim(),(0)lim 2224x x f ax b a b f x →→+=+=+-==所以1111,2442a b b a +==- 由可导知11122211111()144242()lim lim lim 1112222x x x ax b ax a a x f a x x x +→→→+-+---'====---212114()lim1122x x f x -→-'==- 所以 11,4a b ==- 即当11,4a b ==-时,函数()f x 在12x =处可导。

导数与微分习题及答案

导数与微分习题及答案

第二章导数与微分(A)1 .设函数y 二f x ,当自变量x 由x 0改变到x 0 * e x 时,相应函数的改变量 y =()A. f x 0 : =x B . fx^_x C . f x 0 : =x f x 0D . f x 0 x2. 设f(x )在 x 处可,则曲区弋ix °)= () A. - f x oB . f -X 。

C . f x oD . 2f x o3 .函数f x 在点x 0连续,是f x 在点x 0可导的( )A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.设函数y = f u 是可导的,且u =x 2,则dy=()dxA. f x 2B . xf x 2C . 2xf x 2D . x 2f x 25. 若函数f x 在点a 连续,则f x 在点a () A .左导数存在;B .右导数存在;C .左右导数都存在D .有定义6 . f(x)=x-2在点x=2处的导数是() A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y =2x 3 -5x 2 • 4x -5在点2,-1处切线斜率等于()A . 8B . 12C . -6D . 68. 设y=e f 卜且f(x 二阶可导,则y"=() A . e f (x ) B . e f *)f "(x ) C . e f (x )〔f "(x f "(x jD . e f (x X 【f *(x 9 + f*(x 》e axx < 09. 若f"〔b+sin2x, x,0在x=°处可导'则a,b的值应为()717118.210. 若函数f x 在点X o 处有导数,而函数 g x 在点X o 处没有导数,则 F X 二 f X g X , G X A f X — g X 在 x ° 处()A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .恰有一个有导数D .至少一个有导数11. 函数fx 与g X 在X o 处都没有导数,则Fx 二fx^gx , G x i= f x -g x 在 X o 处()A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .至少一个有导数D .至多一个有导数12. 已知F x 二f !g x 1,在x 二X 。

高等数学题库第02章(导数与微分)

高等数学题库第02章(导数与微分)

第二章 导数与微分习题一一、选择题1.设)(x f 在a x =处可导,则=+--→hh a f h a f h )()(lim( )A.)(2'a fB. )('a fC. )(2'a f -D.0 2.设0)0(=f ,则下述所论极限存在,则=→xx f x )(lim( ) A. )0(f B. )0('f C. )('x f D.03.函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000,1arctan )(x x xx x f ,,则)(x f 在点0=x 处( ) A.间断 B.连续,但不可导 C.可导 D.可导且2)0('π=f4.在3=x 处可导,则常数a 和b 的一组值为( )A.6和9B.-6和-9C.6和-9D.-6和95.已知)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ,且!3)('=k f ,则=k ( ) A.4 B.3 C.2 D.16. 设)(x f 是偶函数,且在0=x 处可导,则)0('f =( ) A.1 B.-1 C.0 D.以上都不对7.设曲线21x e y -=与直线1-=x 的焦点为p ,则曲线在点p 处的切线方程是( ) A.022=+-y x B. 012=++y x C. 032=-+y x D. 032=+-y x8. 已知曲线L 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==2sin cos ty tx ,则曲线L 上3π=t 出法线方程是( ) A. 0142=+-y x B. 0124=--y x C. 0342=-+y x D. 0324=-+y x 二.填空题1.设函数)()()(22x g a x x f -=,其中)(x g 在点a x =处连续=)('a f .2.设函数)(x f 在()+∞∞-,可导,)1()1()(22x f x f x F -+-=,则=)1('F .3.设x x x f +=sin )(ln ,则=)('x f .4.设)0(1>=x xy x ,则='y . 5.设x z x y ∙=2,则=dy .6.设π<<x 0,则=∙+)cot 1(x x d )(cot x d7.已知)(2)(x fa x =ϕ,且)(2)('x x ϕϕ=,则=)('x f .8.)(2b x f y +=,则=''y .9.设)(x y y =由y y x =+)(ϕ确定,若)('y ϕ存在且1)('≠y ϕ,则=dxdy. 三.下列各题中均假定)(0'x f 存在,按照导数定义,求出下列各题中的A 值( ) (1)=∆-∆-→∆x x f x x f x )()(lim 000A(2)=→xx f x )(limA 设存在且)0(,0)0('f f = (3)=-+→hx f h x f h )()3(lim000A(4)=--+→hh x f h x f h )()2(lim000A四.设函数()⎩⎨⎧>+≤+=2212x b x x ax x f 在2=x 处可导,求常数a 和b 的值.五.设函数()⎩⎨⎧≥-<=0202x bx x ae x f x 在点0=x 处可导,求常数a 和b 的值.习题二一、选择题1. 2)('=a f ,则=--+→xx a f x a f x )()(lim0( ) A.2 B.-2 C.4 D.-42.设函数)(x f 和)(x g 在0=x 处可导,0)0()0(==g f ,且0)0('≠g ,则=→)()(limx g x f x ( )A.)0()0(''g fB. )()(''x g x f C. )0()0('g f D. )()('x g x f3.下列函数中,在0=x 处既连续又可导的是( ) A.x xx f =)( B. ⎩⎨⎧≤>-=0sin 0,1)(x x x x x f , C. ⎩⎨⎧≥+<=0)1ln(0,)(x x x x x f , D.x y sin =4.满足)()()('''b f a f b a f +=+的函数)(x f =( ) A.2x B.3x C.x e D.x ln5.设)100()4)(3)(2)(1()(++-+-=x x x x x x x f ,则=)1('f ( ) A.!101 B.100!101-C. !100-D. 99!100 6.设a 是实数,函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-∙-=101,11c o s )1(1)(x x x x x f a ,则)(x f 在1=x 处可导时,必有( )A.1-≤aB.01<<-aC.10<≤aD.1≥a7.若)(x f 的一阶导数与二阶导数都存在,且均不等于零,其反函数为)(y x ϕ=,则=)(''y ϕ( )A.)(1''x f B.[]2''')()(x f x f C. []2''')()(x f x f - D. []3''')()(x f x f - 二.填空题1.若对任意实数x ,函数)(x f 满足)()(x f x f -=-,且0)(0'≠=-k x f , 则=)(0'x f .2.已知)(x f e y =,其中f 二阶可导,则=''y .3.设xx x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛11,则=)('x f .4.设抛物线2ax y =与曲线x y ln =相切,则a = .5.设)1ln(2-+=x x y ,则='y .6.设曲线ax x y +=3与曲线c bx y +=2在点()0,1-处相切,其中c b a ,,为常数, 则a = ,b = , c = . 三.求下列函数的一阶导数:1.2ln 222+-=a x x y2.211xx y -+=3.21ln xxy += 4.x x y 2ln +=5.()x x y 32cos 3sin ∙=6.x y arcsin ln 3=7.x x y 2sec arctan ∙=8.xxx y tan 1sin +=9.()22sin sin xxy = 10.xx y ln 2=11.()x x y ln arcsin = 12.()x x y cos cos -=习题三一、选择题1.下列函数中,在0=x 处不可导的是( ) A.x y sin = B. x y cos = C.2ln =y D.x y =2. 下列函数中,在0=x 处可导的是( )A. x y ln =B. x y cos =C. x y sin =D. ⎩⎨⎧≥<=00,2x x x x y ,3.若函数⎩⎨⎧≥-<=0,0,)(2x bx a x e x f x 在0=x 处可导,则b a 、的值必为( )A.1-==b aB. 2,1=-=b aC. 2,1-==b aD. 2==b a4.设函数)(x f 在1=x 处可导,且21)1()31(lim=∆-∆-→∆x f x f x ,则=)1('f ( )A.31B. 61C. 61- D. 31- 5.曲线x e x y +=在0=x 处的切线方程是( )A.012=+-y xB. 022=+-y xC. 01=+-y xD. 02=+-y x 6.曲线1213123+++=bx x x y 在点(0,1)处的切线与x 轴交点的坐标是( ) A.(-1,0) B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,61 C.(1,0) D. ⎪⎭⎫⎝⎛0,617.设xey 2sin =,则=dy ( )A.)(sin 2x d e xB. )(sin 2sin 2x d e x C. )(sin 2sin 2sin x xd e x∙ D. )(sin 2sin x d e x8.若函数)(x f y =有21)(0'=x f ,则当0→∆x 时,)(x f 在点0x 处的微分是( ) A.与x ∆等价的无穷小量 B.与x ∆同阶,但不等价的无穷小量 C.比x ∆高阶的无穷小量 D. 比x ∆低阶的无穷小量 二.填空题1设函数)(x f 在2=x 处可导,且2)1('=f ,则=+-+→h nh f mh f h )2()2(lim0 。

第2章 导数与微分(题库)(1)

第2章 导数与微分(题库)(1)

第2章 导数与微分本章知识点1. 函数()f x 在点0x x =导数()0f x '= . 左导数()0f x -'= ;右导数()0f x +'= . 2. 导数存在的判别定理: .3. 导数几何意义:函数()f x 在点()()00,x f x 处的切线斜率k = . 切线方程为: ;法线方程为 .4. 函数()f x 在点0x x =处可导是连续的_____________条件;可微是可导的_____________条件;连续是可微的_____________条件.5. 复合函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦的导数d d yx = . 6. 隐函数(),0F x y =的求导步骤为:将y 视为函数()y x ,⑴在(),0F x y =_________________________;⑵利用“解方程”的思想,_________________________.7. 对数求导法适用形式: ;求导方法: .8. 由参数方程()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩确定得函数()y y x =的导数d d y x = .9. 函数()y f x =的微分计算公式为d y = . 10. 导数运算法则(和、差、积、商):()()f x g x '±=⎡⎤⎣⎦ ; ()()f x g x '⋅=⎡⎤⎣⎦ ;()()f x g x '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.2.1 导数概念A 组1. 函数()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 连续的( )条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 2. ()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 可微的( )条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 3. 设()0f x '存在,则()()0003limh f x h f x h→+-=( ).A. ()0f x 'B. ()03f x 'C. ()03f x '-D. 3 4. 如果函数()f x 在点x 处可导,则()f x '=( ).A. ()()0limx f x x f x x ∆→-∆-∆ B. ()()0lim 2x f x x f x x ∆→-∆-∆C. ()()0limx f x x f x x ∆→-∆--∆ D. ()()0lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆5. 设()322,13,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩,则()f x 在1x =处( ).A. 左、右导数都存在B. 左导数存在,但右导数不存在C. 左导数不存在,但右导数存在D. 左.右导数都不存在6. 已知()03f x '=,则()()000limx f x x f x x∆→-∆-=∆______________________.7. 曲线x y cos =在点⎪⎭⎫⎝⎛02,π处的切线方程为______________________. 8. 曲线e x y =在()0,1处的切线方程为______________________.9. 曲线x y 1=在点1,22⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为______________________. 10. 曲线x y 1=在点1,22⎛⎫⎪⎝⎭处的法线方程为______________________. 11. 曲线2sin 2x x y +=上横坐标为0=x 的点处的切线方程为________________.12. 曲线2sin 2x x y +=上横坐标为0=x 的点处的法线方程为________________.B 组13. 设函数()2,1,, 1.x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩为了使函数()f x 在1=x 处连续且可导,b a 、应取什么值?2.2 函数的求导法则A 组1. 设x y -=2,则='y ( ).A. x -2B. x --2C. 2ln 2x --D. 2ln 2x -2. 设xxy ln =,则='y . 3. 设x y 2sin =,则='y .4. 设22x a y -=,则='y .5. 设2)(arcsin x y =,则='y .6. 设xy 1cos ln =,则='y .7. 设xxy -+=11arctan ,则='y .8. 已知物体的运动规律为()3m s t =,则该物体在()2s t =时的加速度=a __________2m /s .2.3 高阶导数A 组1. 函数x x y ln 22+=的二阶导数=''y ____________________.2. 函数21e x y -=的二阶导数=''y ____________________.3. 函数x y tan =的二阶导数=''y ____________________.4. 函数x x y cos =的二阶导数=''y ____________________.5. 求函数x a y =的n 阶导数=)(n y ____________________.6. 函数e x y =的n 阶导数=)(n y ____________________.7. 函数x y sin =的n 阶导数=)(n y ____________________.2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数A 组1. 由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==32bty atx 确定的函数()y y x =的导数d d y x =________________. 2. 由参数方程⎩⎨⎧-==tt t y t x cos sin cos ln 确定的函数()y y x =的导数d d yx =_____________.3. 参数方程1ee ttx y t -⎧=+⎪⎨=+⎪⎩所确定的函数()y y x =的导数d d y x =________________. 4. 参数方程e sin e cos tt x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩所确定的函数()y y x =的导数4d d t y x π==_______________. 5. 设函数()y y x =是由方程 0922=+-xy y 所确定的隐函数,求d d yx.6. 设函数()y y x =是由方程 0333=-+axy y x 所确定的隐函数,求d d y x.7. 设函数()y y x =是由方程 2sin e 0x y xy +-=所确定的隐函数,求d d y x.8. 求由方程()e e sin x y xy -=所确定的隐函数()y y x =的导数xy d d .9. 求由方程0e =--y y x 所确定的隐函数()y y x =的导数xy d d .10. 求由方程1e y y x =-所确定的隐函数()y y x =的导数d d y x.11. 设函数()y y x = 是由方程 1e x y xy ++=所确定的隐函数,求0d d x y x=.12. 求由方程22e cos()y xy x y +=+所确定的函数()y y x =的导数d d yx.13. 求由方程e cos()0x y xy ++=所确定的隐函数()y y x =的导数d d y x.14. 求曲线2eettx y -⎧=⎪⎨=⎪⎩在0=t 相应的点处的切线方程及法线方程.15. 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=321ty tx 在2=t 相应的点处的切线方程及法线方程.B 组16. 设函数()y y x =由方程122=-y x 所确定的隐函数,求22d d yx.17. 求由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==t y t x 122所确定的函数()y y x =的导数221d d t y x =.18. 求参数方程()()()x f t y tf t f t '=⎧⎪⎨'=-⎪⎩所确定的函数()y y x =的二阶函数导数22d d y x ,其中()f t ''存在且不为零.19. 求由参数方程⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos 所确定的函数()y y x =的二阶导数22d d yx .20. 求由参数方程3e2ettx y -⎧=⎪⎨=⎪⎩所确定的函数()y y x =的二阶导数22d d y x .21. 用对数求导法求函数xx x y ⎪⎭⎫⎝⎛+=1的导数d d y x .第2章 导数与微分(题库) 第 页 共计11页 11 2.5函数的微分A 组1. 设3e x y =,则=y d ____________________. 2. 函数x x y 2sin =的微分=y d __________ .3. 设x y sin ln =,则=y d ____________________.4. 设e cos x y x =,则=y d ____________________.5. 函数x y ln ln = 则=y d ____ __________ .6. 设)1(ln 2x y -=,则=y d ____________________.7. 设函数22e x y x =,则=y d ______________ .B 组8. 利用微分计算三角函数的近似计算:sin 29.。

导数和微分练习题(答案版)

导数和微分练习题(答案版)

1. 13arctan )1()(2+--=x x x x f ,求f’(1) 2. 设1lim )()1()1(2+++=--∞>-x n x n n e b ax e x x f 是区间),(+∞-∞内是可导函数,试确定常数a,b 3. 设f(x)是周期为2的周期函数,且在点x=1处连续,22cos ]3)(ln[lim 1=+>-xx f x π,求曲线y=f(x)在(-1,f(-1))处的切线方程。

4. 设函数在),(+∞-∞内有定义,对任意的x,y 都有)()()(x f e y f e y x f y x +=+,e f =)0(',求f (x )的表达式5. 设函数0,)(;0,)()(==≠-=-x a x f x x e x x f xϕ,其中的)(x ϕ具有二阶导数,且1)0(',1)0(-==ϕϕ1) 确定常数a 的值,使得f (x )在x=0时连续2) 求f’(x);3) 讨论f’(x)在区间),(+∞-∞内的连续性6. 设函数)()()(x g x f x F =,如果f(x)在x 0点可导,g (x )在x 0点连续不可导,证明:F(x)在x 0点可导⇔f(x 0)=07. 设曲线y=f(x)与曲线y e y x =-++)14tan(π在(1,0)处有公切线. 1)求公切线方程2)计算极限)1(lim +∞>-n n nf n 8. 设f(x)是周期为3的连续函数,在点x=0的某一邻域内恒有x x x f x f 2tan 6)tan 1(2)tan 1(+=--+,已知f(x)在点x=1处可导,求曲线y=f(x)在点(10.f(10))处的切线方程。

9. 设函数f(x)在x ≤x 0时具有二阶导数,00200,)()()(;),()(x x c x x b x x a x F x x x f x F >+-+-=≤=,试确定常数a ,b ,c ,使得F(x)在x 0处二阶可导。

导数与微分习题及答案

导数与微分习题及答案

第二章 导数与微分(A)1.设函数()x f y =,当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时,相应函数的改变量=∆y ( )A .()x x f ∆+0B .()x x f ∆+0C .()()00x f x x f -∆+D .()x x f ∆0 2.设()x f 在0x 处可,则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim( )A .()0x f '-B .()0x f -'C .()0x f 'D .()02x f ' 3.函数()x f 在点0x 连续,是()x f 在点0x 可导的 ( ) A .必要不充分条件 B .充分不必要条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 4.设函数()u f y =是可导的,且2x u =,则=dxdy( ) A .()2x f ' B .()2x f x ' C .()22x f x ' D .()22x f x 5.若函数()x f 在点a 连续,则()x f 在点a ( )A .左导数存在;B .右导数存在;C .左右导数都存在D .有定义 6.()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A .1 B .0 C .-1 D .不存在7.曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A .8 B .12 C .-6 D .68.设()x f e y =且()x f 二阶可导,则=''y ( )A .()x f e B .()()x f e x f '' C .()()()[]x f x f e x f ''' D .()()[](){}x f x f e x f ''+'29.若()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导,则a ,b 的值应为( )A .2=a ,1=bB . 1=a ,2=bC .2-=a ,1=bD .2=a ,1-=b10.若函数()x f 在点0x 处有导数,而函数()x g 在点0x 处没有导数,则()()()x g x f x F +=,()()()x g x f x G -=在0x 处( )A .一定都没有导数B .一定都有导数C .恰有一个有导数D .至少一个有导数11.函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数,则()()()x g x f x F +=,()()()x g x f x G -=在0x 处( )A .一定都没有导数B .一定都有导数C .至少一个有导数D .至多一个有导数 12.已知()()[]x g f x F =,在0x x =处可导,则( ) A .()x f ,()x g 都必须可导 B .()x f 必须可导C .()x g 必须可导D .()x f 和()x g 都不一定可导13.xarctg y 1=,则='y ( )A .211x +-B .211x + C .221x x +- D . 221x x +14.设()x f 在点a x =处为二阶可导,则()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( )A .()2a f '' B .()a f '' C .()a f ''2 D .()a f ''- 15.设()x f 在()b a ,内连续,且()b a x ,0∈,则在点0x 处( )A .()x f 的极限存在,且可导B .()x f 的极限存在,但不一定可导C .()x f 的极限不存在D .()x f 的极限不一定存在 16.设()x f 在点a x =处可导,则()()=--→hh a f a f n 0lim。

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导数与微分测试题(一)
一、选择题(每小题4分,共20分)
1、
设函数10
()10
2
x x f x x ≠⎪=⎨⎪=⎪⎩ 在0x =处( )
A 、不连续;
B 、连续但不可导;
C 、二阶可导;
D 、仅一阶可导; 2、若抛物线2
y ax =与曲线ln y x =相切,则a 等于( ) A 、1; B 、
12; C 、12e
; D 、2e ; 3、设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导,且0()2f x '=,则0()f x 等于( )
A 、1;
B 、
2e ; C 、2
e
; D 、e ; 4、设函数()f x 在点x a =处可导,则0()()
lim x f a x f a x x
→+--等于( )
A 、0;
B 、()f a ';
C 、2()f a ';
D 、(2)f a ';
5、设函数()f x 可微,则当0x ∆→时,y dy ∆-与x ∆相比是( ) A 、等价无穷小; B 、同阶非等价无穷小;
C 、低阶无穷小;
D 、高阶无穷小; 二、填空题(每小题4分,共20分) 1、设函数()f x x x =,则(0)f '=______; 2、 设函数()x
f x xe =,则(0)f ''=______;
3、 设函数()f x 在0x 处可导,且0()f x =0,0()f x '=1,则
01
lim ()n nf x n
→∞+=______; 4、 曲线2
28y x x =-+上点______处的切线平行于x 轴,点______处的
切线与x 轴正向的交角为
4
π。

5、 d ______ = x
e dx - 三、解答题
1、(7分)设函数()()()
,()f x x a x x ϕϕ=-在x a =处连续,
求()f a '; 2、(7分)设函数()a
a
x
a x a f x x a a =++,求()f x '; 3、(8分)求曲线 sin cos 2x t y t
=⎧⎨
=⎩ 在 6t π
= 处的切线方程和法线方程;
4、(7分)求由方程 1
sin 02
x y y -+=所确定的隐函数y 的二阶导数22d y dx
5、(7分)设函数12
12()()
()n a a
a n y x a x a x a =---,求 y '
6、(10分)设函数2
1
2
()12
x x f x ax b x ⎧≤
⎪⎪
=⎨
⎪+>
⎪⎩
,适当选择,a b 的值,使得()f x 在1
2
x =
处可导 7(7分)若2
2
()()y f x xf y x +=,其中 ()f x 为可微函数,求dy 8、(7分)设函数()f x 在[,]a b 上连续,且满足
()()0,()()0f a f b f a f b +-''==•>,证明:()f x 在(,)a b 内至少存在一点c ,使得 ()0f c =
导数与微分测试题及答案(一)
一、1-5 CCBCD
二、1. 0; 2. 2; 3. 1; 4.(1,7)、329
(,
)24
; 5. x e --; 三、1. 解:()()()()
()lim
lim ()x a x a f x f a x a x f a a x a x a
ϕϕ→→--'===--;
2. 解:1
12()ln ln a
a x
a a a x x a f x a x ax a a a a a --'=++;
3. 解:当6
t π=
时,曲线上的点为 11(,)22

切线的斜率666
2sin 22cos t t t dy
dy t dt k dx dx t dt πππ===-====-, 所以,切线方程 11
2()22y x -=--, 即 4230x y +-=;
法线方程 111
()222
y x -=- , 即 2410x y -+=;
4. 解:方程的两边对x 求12
1cos 022cos dy dy dy y dx dx dx y
-
+=⇒=- 继续求导 2223
24sin sin (2cos )(cos 2)
d y dy y
y dx y dx y =-=-- 5. 解:两边取对数 1122ln ln()ln()ln()n n y a x a a x a a x a =-+-++-
方程的两边对x 求导
1212
1
n
n
a a a y y x a x a x a '=+++
---,则 1211
12()(())()i
n n
a n i i i i n i a a a a
y y x a x a x a x a x a =='=++
+=-----∑∏ 6. 解:因为 可导一定连续,则
2112
2
11
11
(0)lim(),
(0)lim 2224x x f ax b a b f x →

+=+=+-==
所以
1111
,2442
a b b a +==- 由可导知
1
112
22
11111
()
1
44242()lim lim lim 1112222
x x x ax b ax a a x f a x x x +→→→
+-
+---'====---
212
1
14()lim
11
22x x f x -→-
'==- 所以 11,4a b ==- 即当11,4a b ==-时,函数()f x 在1
2
x =处可导。

7. 解:两边微分得2
2()()()()2yf x dy y f x dx f y dx xf y dy xdx ''+++=即
22()()
2()()
x y f x f y dy dx yf x xf y '--='+
8. 证明:因为 ()()0f a f b +-''•>,不妨设 ()0,()0f a f b +-''>>
()()()
()lim
lim 0x a
x a f x f a f x f a x a
x a +→+→+-'==>--,则存在 10δ>, 当 11(,)x a a δ∈+时,
11()
0f x x a
>-,又因为1x a >,所以 1()0f x > 同理可知 存在 20δ>,当 22(,)x b b δ∈-时,
22()
0f x x b
>-,又因为2x b <,所以 2()0f x <,取适当小的12,δδ,使得 12a b δδ+<-,则 12x x <,因为()f x 在[,]a b 上连续,则()f x 在12[,]x x 上连续,且1()0f x >,2()0f x <由零点存在定理知 至少存在一点c ,使得
()0f c =,证毕。

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