《名校学案》高中数学人教A(选修2-2)课件：第一章导数及其应用阶段复习课.
高中数学选修2-2几个常见函数的导数课件
Δx
Δx
x(x +Δx)Δx
=
-
x2
+
1 xΔx
∴y' = lim Δy = lim(- 1 )= - 1
δx→0Δx δx→0 x2 + xΔx
x2
新知探究
探究
画出函数y = 1 的图像， x
根据图像，描述它的变化情 况，并求出曲线在点（1，1） 处的切线方程.
新知探究
结合函数图像及其导数
y'
新知探究
x 3. 函数y=f(x)= 2 的导数
证明：
∵ Δy = f(x + Δx) - f(x) = (x + Δx)2 - x2
Δx
Δx
Δx
= x2 + 2x× Δx +(Δx)2 - x2 Δx
= 2x + Δx
∴y' lim Δy lim(2x + Δx) = 2x. x0 Δx x0
x
（3）求极限 y lim y . x0 x
课前导入
我们知道，导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬 时速度.那么，对于函数y=f(x)，如何求它的导数呢？ 上节内容，我们讲述了导数的定义，可以根据定义求导数. 这节课我们求几个常见函数的导数.
课前导入
本节知识结构
Δx
Δx
Δx
=
1
x + Δx + x
∴y' = lim Δy = lim
1
=1
δx→0 Δx δx→0 x + Δx + x 2 x
新知探究
知识拓展
公式2:( x n ) nx n1 (n. Q)
人教A版高中数学选修2-2ppt课件：第一章 导数及其应用 C模拟高考PPT
答案
5.已知f(x)=x3-3x,过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,则实数m的取值范围是( )
A.(-1,1)
B.(-2,3)
C.(-1,2)
D.(-3,-2)
答案
5.D 【解析】 设切点为(t,t3-3t),f '(x)=3x2-3,则切线方程为y=(3t2-3)(x-t)+t3-3t,整理得y=(3t2-3)x-2t3.把A(1,m)代入 整理,得2t3-3t2+m+3=0 ①.因为过点A可作三条切线,所以①有三个解.记g(t)=2t3-3t2+m+3,则g'(t)=6t2-6t=6t(t-1),所 以当t=0时,极大值g(0)=m+3,当t=1时,极小值g(1)=m+2.要使g(t)有三个零点,只需m+3>0且m+2<0,即-3<m<-2.
3.[2017山东卷文·10,5分]若函数exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具
有M性质.下列函数中具有M性质的是 ( )
A.f(x)=2-x
B.f(x)=x2C.f(x)=3-xD.f(x)=cos x
答案
4.[2017全国卷Ⅱ理·11,5分]若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则 f(x)的极小值为 ( )
答案
6.[2019北京卷理·13,5分]设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=
取值范围是
.
;若f(x)是R上的增函数,则a的
答案
7.[2019全国Ⅰ卷文·13,5分]曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为
数学选修2-2人教A讲义：第一章导数及其应用1.5.3
2?21x3 dx＝3×
7－ 2×15＝－
3
4
1 2.
反思与感悟 若函数 f(x)的奇偶性已经明确，且 f( x)在[－ a ，a ]上连续，则
a
(1)若函数 f(x)为奇函数，则 ?－af( x)dx＝ 0. (2)若函数 f(x)为偶函数，则 ?a－af( x)dx＝ 2?a0f(x)dx.
2x－ 1，－ 1≤ x<0，
示由直线 x＝a， x＝ b，y＝ 0 和曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分
?baf (x)dx
的几何意义．
注意： f (x)<0( 图象在 x 轴的下方 )时， ?baf( x)dx<0，－ ?baf(x)dx 等于曲边梯形的面积．
知识点三 定积分的性质
思考 你能根据定积分的几何意义解释
Sn
＝
lim
n→∞
13－ 3 2 2n
＝
13 2.
反思与感悟 利用定义求定积分的步骤
跟踪训练 1 利用定积分的定义计算 ?32(x＋ 2)dx.
考点 定积分的概念
题点 定积分的概念
解 令 f(x)＝ x＋ 2.
将区间 [2,3] 平均分为 n 个小区间，每个小区间的长度为
Δxi
＝
1 n
，
i－ 1
i
[xi－1， xi]＝ 2＋ n ， 2＋ n ， i＝ 1,2，… ， n.
1.5.3 定积分的概念
学习目标 1.了解定积分的概念， 会用定义求定积分 .2.理解定积分的几何意义 .3.掌握定积分 的基本性质．
知识点一 定积分的概念 思考 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选修2-2
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选 修2-2
1.3.2 函数的极值与导数
目标定位
重点难点
1.了解函数在某点取得极值的必要条 重点：求函数极值的
件和充分条件 方法和步骤
2.理解极大值和极小值的概念 难点：函数极值的概
3.掌握求可导函数极大值和极小值的 念的理解
设f(x)在x0处连续且f′(x0)＝0，判别f(x0)是极大(小)值的方 法：
(1)若在x0两侧f′(x)符号相同，则x0不是f(x)的极值点； (2)若在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)是极 大值；
(3)若在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)是极 小值．
解得ab＝＝4－，11 或ab＝＝3－. 3， 故a＋b＝－7或a＋b＝0.
【错因分析】可导函数在一点的导数值为0是函数在这 一点取得极值的必要条件，而非充分条件，本题忽略了对所得 两组解进行检验，从而出现了错误．
【正解】(接错解)当a＝4，b＝－11时， f(x)＝x3＋4x2－11x＋16， 得f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)． 当x∈－131，1时，f′(x)＜0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.
(3) 如 果 f′(x) 在 点 x0 的 左 右 两 侧 符 号 不 变 ， 则 f(x0) _不__是__极__值___．
1．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则( )
A．0<b<1
B．b<0
C．b>0 【答案】A
D．b<12
2．已知函数y＝x3－3x＋2，则( ) A．y无极小值，也无极大值 B．y有极小值0，但无极大值 C．y有极小值0，极大值4 D．y有极大值4，但无极小值 【答案】C
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.1.3
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1.1.3 导数的几何意义
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
自主学习 新知突破
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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合作探究 课堂互动
[思路点拨]
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
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数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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求曲线上某点(x0，y0)处切线方程的步骤： 求出f′x0即切线斜率 ↓ 写出切线的点斜式方程 ↓ 化简切线方程
时，割线 PQ 逼近点 P 的切线 l，从而割线的斜率逼近切线 l 的
斜率．因此，函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 l 的斜率 k， 即
k＝ lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝f′(x0)．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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1 ． 设 f′(x0) ＝ 0 ， 则 曲 线 y ＝ f(x) 在 点 (x0 ， f(x0)) 处 的 切 线
()
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴相交
解析： 在点(x0，f(x0))处切线斜率为0的直线与x轴平行或 重合，故选B.
答案： B
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.4
第一章 导数及其应用
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解析： y′＝－x2＋81， ∴当 x>9 时，y′<0，当 x∈(0,9)时，y′>0， ∴函数 y＝－13x3＋81x－234 在(0,9)上递增，在(9，＋∞)上 递减． 故当 x＝9 时，y 有最大值．
答案： C
数学 选修2-2
C(x)＝
k 3x＋5
(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8
万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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1．4 生活中的优化问题举例
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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解析： (1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消 耗费用为C(x)＝3x＋k 5，
再由C(0)＝8，得k＝40， 因此C(x)＝3x4＋0 5. 而建造费用为C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×3x4＋0 5＋6x ＝38x＋005＋6x(0≤x≤10)．
人教版数学高二A版选修2-2学案 第一章 导数及其应用
1.5.3 定积分的概念学习目标1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质．知识点一 定积分的概念思考 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答案 两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．梳理 一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1n b －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃb a f (x )d x ，即ʃba f (x )d x ＝lim n →∞∑i ＝1n b －an f (ξi )，这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．知识点二 定积分的几何意义思考1 根据定积分的定义求得ʃ21(x ＋1)d x 的值是多少？ 答案 ʃ21(x ＋1)d x ＝52. 思考2 ʃ21(x ＋1)d x 的值与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，f (x )＝x ＋1围成的梯形面积有何关系？ 答案 相等．梳理 从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分ʃb a f (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分ʃb a f (x )d x 的几何意义．注意：f (x )<0(图象在x 轴的下方)时，ʃb a f (x )d x <0，－ʃb a f (x )d x 等于曲边梯形的面积．知识点三 定积分的性质思考你能根据定积分的几何意义解释ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x(其中a<c<b)吗？答案直线x＝c把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积S1，S2之和，即S＝S1＋S2.梳理(1)ʃb a kf(x)d x＝kʃb a f(x)d x(k为常数)．(2)ʃb a[f1(x)±f2(x)]d x＝ʃb a f1(x)d x±ʃb a f2(x)d x.(3)ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x(其中a<c<b)．1．ʃb a f(x)d x＝ʃb a f(t)d t.(√)2．ʃb a f(x)d x的值一定是一个正数．(×)3．ʃb a⎣⎡⎦⎤x3＋⎝⎛⎭⎫12x d x＝ʃb a x3d x＋ʃb a⎝⎛⎭⎫12x d x.(√)类型一利用定积分的定义求定积分例1利用定积分的定义，计算ʃ21(3x＋2)d x的值．考点定积分的概念题点定积分的概念解令f(x)＝3x＋2.(1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[1,2]等分成n个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n＋i－1n，n＋in(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝n＋in－n＋i－1n＝1n.(2)近似代替、求和取ξi＝n＋i－1n(i＝1,2，…，n)，则S n＝∑i＝1nf⎝⎛⎭⎪⎫n＋i－1n·Δx＝∑i＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(n＋i－1)n＋2·1n＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(i －1)n 2＋5n ＝3n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5 ＝32×n 2－n n 2＋5＝132－32n. (3)取极限ʃ21(3x ＋2)d x ＝lim n →∞ S n＝lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫132－32n ＝132. 反思与感悟 利用定义求定积分的步骤跟踪训练1 利用定积分的定义计算ʃ32(x ＋2)d x . 考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 解 令f (x )＝x ＋2.将区间[2,3]平均分为n 个小区间，每个小区间的长度为Δx i ＝1n，[x i －1，x i ]＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋i －1n ，2＋i n ，i ＝1,2，…，n .取ξi ＝x i ＝2＋i n ，则f (ξi )＝2＋i n ＋2＝4＋in .则∑ni ＝1f (ξi )Δx i＝∑ni ＝1 ⎝⎛⎭⎫4＋i n ·1n＝∑ni ＝1 ⎝⎛⎭⎫4n ＋i n 2＝n ·4n ＋1＋2＋…＋n n 2＝4＋n ＋12n.∴ʃ32(x ＋2)d x ＝lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫4＋n ＋12n ＝92. 类型二 利用定积分的性质求定积分例2 已知ʃ10x 3d x ＝14，ʃ21x 3d x ＝154，ʃ21x 2d x ＝73，ʃ42x 2d x ＝563，求下列各式的值． (1)ʃ20(3x 3)d x ； (2)ʃ41(6x 2)d x ； (3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x .考点 定积分性质的应用 题点 定积分性质的应用解 (1)ʃ20(3x 3)d x ＝3ʃ20x 3d x ＝3()ʃ10x 3d x ＋ʃ21x 3d x＝3×⎝⎛⎭⎫14＋154＝12.(2)ʃ41(6x 2)d x ＝6ʃ41x 2d x ＝6()ʃ21x 2d x ＋ʃ42x 2d x＝6×⎝⎛⎭⎫73＋563＝126.(3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x ＝ʃ21(3x 2)d x －ʃ21(2x 3)d x＝3ʃ21x 2d x －2ʃ21x 3d x ＝3×73－2×154＝－12. 反思与感悟 若函数f (x )的奇偶性已经明确，且f (x )在[－a ，a ]上连续，则 (1)若函数f (x )为奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0.(2)若函数f (x )为偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x .跟踪训练2 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，－1≤x <0，e －x ，0≤x ≤1，且ʃ0－1(2x －1)d x ＝－2，ʃ10e －x d x ＝1－e －1，求ʃ1－1f (x )d x . 考点 定积分性质的应用 题点 定积分性质的应用解 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1f (x )d x ＋ʃ10f (x )d x ＝ʃ0－1(2x －1)d x ＋ʃ10e －x d x ＝－2＋1－e －1＝－(e －1＋1)．类型三 利用定积分的几何意义求定积分 例3 用定积分的几何意义求下列各式的值．(1)ʃ1－14－x 2d x ； (2)π2π-2sin d x x ⎰.考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用 解 (1)由y ＝4－x 2得x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图象如图所示．ʃ1－14－x 2d x 等于圆心角为60°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和，S 弓形CED ＝12×π3×22－12×2×3＝2π3－3，S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝23，∴ʃ1－14－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3. (2)∵函数y ＝sin x 在x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是奇函数， ∴π2π-2sin d x x ⎰＝0.跟踪训练3 求定积分：ʃ20(4－(x －2)2－x )d x .考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用 解 ʃ204－(x －2)2d x 表示圆心在(2,0)，半径等于2的圆的面积的14，即ʃ204－(x －2)2d x ＝14×π×22＝π.ʃ20x d x 表示底和高都为2的直角三角形的面积， 即ʃ20x d x ＝12×22＝2. ∴原式＝ʃ204－(x －2)2d x －ʃ20x d x＝π－2.1．下列结论中成立的个数是( )①ʃ10x 3d x ＝∑i ＝1n i 3n 3·1n ；②ʃ10x 3d x ＝lim n →∞∑i ＝1n (i －1)3n 3·1n ； ③ʃ10x 3d x ＝lim n →∞∑i ＝1ni 3n 3·1n . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 答案 C解析 ②③成立．2．关于定积分a ＝ʃ2－1(－2)d x 的叙述正确的是( ) A ．被积函数为y ＝2，a ＝6 B ．被积函数为y ＝－2，a ＝6 C ．被积函数为y ＝－2，a ＝－6 D ．被积函数为y ＝2，a ＝－6 考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分的几何意义 答案 C解析 由定积分的概念可知， ʃ2－1(－2)d x 中的被积函数为y ＝－2，由定积分的几何意义知，ʃ2－1(－2)d x 等于由直线x ＝－1，x ＝2，y ＝0，y ＝－2所围成的图形的面积的相反数，∴ʃ2－1(－2)d x ＝－2×3＝－6. 3．已知定积分ʃ60f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则ʃ6－6f (x )d x 等于( )A ．0B ．16C ．12D ．8考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 B解析 ʃ6－6f (x )d x ＝2ʃ60f (x )d x ＝16. 4．由函数y ＝－x 的图象，直线x ＝1，x ＝0，y ＝0所围成的图形的面积可表示为( ) A ．ʃ10(－x )d xB ．ʃ10|－x |d xC ．ʃ0－1x d xD ．－ʃ10x d x考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分的几何意义 答案 B解析 由定积分的几何意义可知，所求图形的面积为 S ＝ʃ10|－x |d x .5．计算ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x . 考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用 解 如图所示，由定积分的几何意义得ʃ3－39－x 2d x ＝π×322＝9π2， ʃ3－3x 3d x ＝0，由定积分性质得ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x ＝ʃ3－39－x 2d x －ʃ3－3x 3d x ＝9π2.1．定积分ʃb a f (x )d x是一个和式 i ＝1n b －anf (ξi )的极限，是一个常数．2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分．对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．一、选择题1．根据定积分的定义，ʃ20x 2d x 等于( )A.∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫i －1n 2·1n B ．lim n →∞ ∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫i －1n 2·1n C.∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫2i n 2·2n D ．lim n →∞ ∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫2i n 2·2n 考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 答案 D 解析根据定积分的定义，ʃ20x 2d x ＝lim n →∞∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫2i n 2·2n .2．下列定积分的值等于1的是( ) A ．ʃ101d x B ．ʃ10(x ＋1)d x C ．ʃ1012d x D ．ʃ10x d x考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 A解析 D 项，ʃ10x d x ＝12，C 项，ʃ1012d x ＝12， B 项，ʃ10(x ＋1)d x ＝32，A 项，ʃ101d x ＝1，故选A. 3．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0B ．若f (x )是连续的偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d xC ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则ʃb a f (x )d x >0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且ʃb a f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 D解析 A 项，因为f (x )是奇函数，图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 项正确；B 项，因为f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，故y 轴两侧的图象都在x 轴上方或下方且面积相等，故B 项正确；由定积分的几何意义知，C 项显然正确；D 项，f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大． 4．与定积分3π2x ⎰相等的是( )A.3π20sin d x x ⎰B.3π2sin d x x ⎰C ．ʃπ0sin x d x －3π2πsin d x x ⎰D.π3π22π02sin d sin d x x x x +⎰⎰考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 C解析 当x ∈[0，π]时，sin x ≥0； 当x ∈⎝⎛⎦⎤π，3π2时，sin x <0. ∴由定积分的性质可得，3π2sin d x x ⎰＝ʃπ0|sin x |d x ＋3π2πsin d x x ⎰＝ʃπ0sin x d x ＋()3π2πsin d x x -⎰＝ʃπ0sin x d x －3π2πsin d x x ⎰.5．下列各阴影部分的面积S 不可以用S ＝ʃb a [f (x )－g (x )]d x 求出的是( )考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分的几何意义答案 B解析 定积分S ＝ʃb a [f (x )－g (x )]d x 的几何意义是求函数f (x )与g (x )之间的阴影部分的面积，必须注意f (x )的图象要在g (x )的图象上方．对照各选项可知，B 项中f (x )的图象不全在g (x )的图象上方，故选B.6．由直线y ＝x ，y ＝－x ＋1及x 轴围成的平面图形的面积为( ) A ．ʃ10[(1－y )－y ]d y B ．()121d x x x -+-⎡⎤⎣⎦⎰ C ．()112102d 1d x x x x +-+⎰⎰D ．ʃ10[x －(－x ＋1)]d x考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分的几何意义 答案 C解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝12，故A ⎝⎛⎭⎫12，12.由图知阴影部分的面积可表示为()112102d 1d x x x x +-+⎰⎰.7．设a ＝ʃ1013x d x ，b ＝ʃ10x 2d x ，c ＝ʃ10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．a ＝b >cD ．c >a >b考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用答案A解析根据定积分的几何意义，易知ʃ10x3d x<ʃ10x2d x<ʃ1013x d x，即a>b>c，故选A.8．若ʃa－a|56x|d x≤2 016，则正数a的最大值为() A．6 B．56C．36 D．2 016考点定积分几何意义的应用题点定积分几何意义的应用答案A解析由ʃa－a|56x|d x＝56ʃa－a|x|d x≤2 016，得ʃa－a|x|d x≤36，∵ʃa－a|x|d x＝a2，∴a2≤36，即0<a≤6.故正数a的最大值为6.二、填空题9．若ʃ1012f(x)d x＝1，ʃ0－13f(x)d x＝2，则ʃ1－1f(x)d x＝________.考点定积分性质的应用题点定积分性质的应用答案8 3解析∵ʃ1012f(x)d x＝12ʃ10f(x)d x＝1，∴ʃ10f(x)d x＝2.又ʃ0－13f(x)d x＝3ʃ0－1f(x)d x＝2，∴ʃ0－1f(x)d x＝2 3.∴ʃ1－1f(x)d x＝ʃ0－1f(x)d x＋ʃ10f(x)d x＝23＋2＝83.10．如图所示的阴影部分的面积用定积分表示为________．考点定积分的几何意义及性质题点 定积分的几何意义答案 ʃ2－4x 22d x 11．定积分ʃ10(2＋1－x 2)d x ＝________.考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 2＋π4解析 原式＝ʃ102d x ＋ʃ101－x 2d x .因为ʃ102d x ＝2，ʃ101－x 2d x ＝π4， 所以ʃ10(2＋1－x 2)d x ＝2＋π4. 12．已知f (x )是一次函数，其图象过点(3,4)且ʃ10f (x )d x ＝1，则f (x )的解析式为________． 考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 f (x )＝65x ＋25解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵f (x )图象过(3,4)点，∴3a ＋b ＝4.又ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax ＋b )d x ＝a ʃ10x d x ＋ʃ10b d x ＝12a ＋b ＝1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝4，12a ＋b ＝1， 得⎩⎨⎧ a ＝65，b ＝25.∴f (x )＝65x ＋25.三、解答题 13．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ∈[0，2)，4－x ，x ∈[2，3)，52－x 2，x ∈[3，5]，求f (x )在区间[0,5]上的定积分．考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用解 如图画出函数f (x )的图象．由定积分的几何意义得ʃ20x d x ＝12×2×2＝2， ʃ32(4－x )d x ＝12×(1＋2)×1＝32， ʃ53⎝⎛⎭⎫52－x 2d x ＝12×2×1＝1. 所以ʃ50f (x )d x ＝ʃ20x d x ＋ʃ32(4－x )d x ＋ʃ53⎝⎛⎭⎫52－x 2d x ＝2＋32＋1＝92. 四、探究与拓展14．若定积分ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m 等于( ) A ．－1B ．0C ．1D ．2 考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 A解析 根据定积分的几何意义知，定积分ʃm －2－x 2－2x d x 的值就是函数y ＝－x 2－2x 的图象与x 轴及直线x ＝－2，x ＝m 所围成的图形的面积．y ＝－x 2－2x 是一个以(－1,0)为圆心，1为半径的半圆，其面积等于π2，而ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，所以m ＝－1. 15.如图所示，抛物线y ＝12x 2将圆x 2＋y 2≤8分成两部分，现在向圆上均匀投点，这些点落在圆中阴影部分的概率为14＋16π， 求ʃ20⎝⎛⎭⎫8－x 2－12x 2d x . 考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝8，y ＝12x 2， 得x ＝±2.∴阴影部分的面积为ʃ2－2⎝⎛⎭⎫8－x 2－12x 2d x . ∵圆的面积为8π， ∴由几何概型可得阴影部分的面积是8π·⎝⎛⎭⎫14＋16π＝2π＋43. 由定积分的几何意义得，ʃ20⎝⎛⎭⎫8－x 2－12x 2d x ＝12ʃ2－2⎝⎛⎭⎫8－x 2－12x 2d x ＝π＋23.。
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.6
＝(0－1)－[0－(－1)]
＝－1－1＝－2.
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第一章 导数及其应用
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合作探究 课堂互动
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(3)∵(ex－sin x)′＝ex－cos x，
0
∴ －π
(ex－cos
x)dx＝(ex－sin
x)|
0 －π
＝(e0－sin 0)－[e－π－sin(－π)]
＝1－e－π.
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求简单的定积分关键注意两点： (1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被 积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形 后再求解； (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
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定积分的应用
已知 f(x)＝21x＋＋x12，，xx∈∈[2－，24，]，2]，
3
求
使
k
f(x)dx
＝
430恒成立的 k 值．
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[思路点拨]
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0
(3)
(ex－cos x)dx.
－π
[思路点拨] 先求被积函数的原函数，然后利用微积分基
本定理求解．
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(1)∵x3＋12x2－x′＝3x2＋x－1，
人教版数学高二A版选修2-2学案 第一章 导数及其应用 1.2 第1课时
§1.2 导数的计算第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式学习目标 1.能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝x 的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．知识点一 几个常用函数的导数原函数 导函数 f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x f ′(x )＝1 f (x )＝x 2 f ′(x )＝2x f (x )＝1xf ′(x )＝－1x 2f (x )＝xf ′(x )＝12x知识点二 基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln a (a >0)f (x )＝e x f ′(x )＝e xf (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln a(a >0且a ≠1)f (x )＝ln xf ′(x )＝1x1．若y ＝2，则y ′＝12×2＝1.( × )2．若f ′(x )＝sin x ，则f (x )＝cos x ．( × ) 3．f (x )＝1x 3，则f ′(x )＝－3x4.( √ )类型一 利用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数．(1)y ＝sin π6；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫12x ；(3)y ＝lg x ；(4)y ＝x 2x ；(5)y ＝2cos 2x 2－1. 考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 解 (1)y ′＝0.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 12＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2. (3)y ′＝1x ln 10.(4)∵y ＝x 2x＝32x ，∴y ′＝(32x )′＝3212x ＝32x .(5)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .反思与感悟 (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．如y ＝1x 4可以写成y ＝x －4，y ＝5x 3可以写成y ＝35x 等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝1x 3，则f ′(－3)等于( )A ．81B ．243C ．－243D ．－127(2)已知f (x )＝ln x 且f ′(x 0)＝1x 20，则x 0＝ .考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 答案 (1)D (2)1 解析 (1)因为f (x )＝x －3， 所以f ′(x )＝－3x －4＝－3x 4，所以f ′(－3)＝－3(－3)4＝－127.(2)因为f (x )＝ln x (x >0)， 所以f ′(x )＝1x，所以f ′(x 0)＝1x 0＝1x 20，所以x 0＝1.类型二 利用导数公式研究切线问题 命题角度1 求切线方程或切线斜率例2 已知曲线y ＝f (x )＝x ，y ＝g (x )＝1x ，过两条曲线交点作两条曲线的切线，求两切线与x轴所围成的三角形面积． 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝1x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，得两曲线的交点坐标为(1,1)．两条曲线切线的斜率分别为f ′(1)＝12，g ′(1)＝－1.易得两切线方程分别为y －1＝12(x －1)，y －1＝－(x －1)，即y ＝12x ＋12与y ＝－x ＋2.其与x 轴的交点坐标分别为(－1,0)，(2,0)，所以两切线与x 轴所围成的三角形面积为12×1×|2－(－1)|＝32.反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用切点处的导数是切线的斜率、切点在切线上及切点在曲线上这三个条件联立方程解决．跟踪训练2 已知y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的一条切线，则k ＝ . 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 答案 1e解析 设切点坐标为(x 0，y 0)， 由题意得0=|x x y'＝1x 0＝k ，①又y 0＝kx 0，② 而且y 0＝ln x 0，③由①②③可得x 0＝e ，y 0＝1，则k ＝1e .命题角度2 求切点坐标问题例3 求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离． 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用解 设切点坐标为(x 0，x 20)，依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短．∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12，∴切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14，∴所求的最短距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P (x 0，y 0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．跟踪训练3 已知直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，O 是坐标原点，试求与直线l 平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大． 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用解 由于直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，∴|AB |为定值，要使△ABP 的面积最大，只要点P 到AB 的距离最大，设P (x 0，y 0)为切点，过点P 与AB 平行的直线斜率k ＝y ′＝2x 0，∴k ＝2x 0＝2，∴x 0＝1，y 0 ＝1. 故可得P (1,1)，∴切线方程为2x －y －1＝0.故P (1,1)点即为所求弧AOB 上的点，使△ABP 的面积最大.1．下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x )′＝3x log 3e ；②(log 2x )′＝1x ln 2；③1(ln x )′＝x ；④若y ＝1x 2，则=3|x y'＝－227.A ．1B ．2C ．3D ．4考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 答案 C解析 ①中(3x )′＝3x ln 3，②③④均正确． 2．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．不确定考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 常数、幂函数的导数 答案 B解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，∵f ′(x 0)＝3x 20＝1， ∴x 0＝±33.故斜率等于1的切线有2条． 3．已知f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，若f ′(x )－g ′(x )＝1，则x ＝ . 考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 指数函数、对数函数的导数 答案 1解析 f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝1x ，f ′(x )－g ′(x )＝1，即2x －1x ＝1，解得x ＝1或－12.因为x >0，所以x ＝1.4．过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 ． 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 答案 (1，e) e解析 设切点坐标为(x 0，y 0)， 切线的斜率为0=|x x y'＝0e x， 则0e x ＝y 0－0x 0－0，①又y 0＝0e x，② 由①②可得x 0＝1，∴切点坐标为(1，e)，切线的斜率为e.5．求过曲线y ＝sin x 上一点P ⎝⎛⎭⎫π6，12且与在该点处的切线垂直的直线方程． 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用解 曲线y ＝sin x 在点P ⎝⎛⎭⎫π6，12处切线的斜率 k ＝π=6|x y'＝cos π6＝32， 则与切线垂直的直线的斜率为－233，∴所求直线方程为y －12＝－233⎝⎛⎭⎫x －π6， 即123x ＋18y －23π－9＝0.1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.一、选择题1．下列各式中正确的个数是( )①(x 7)′＝7x 6；②(x －1)′＝x －2；③⎝⎛⎭⎫1x ′＝－12x －32；④(5x 2)′＝25x －35；⑤(cos x )′＝－sin x ；⑥(cos 2)′＝－sin 2. A ．3 B ．4 C ．5 D ．6考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 答案 B解析 ∵②(x －1)′＝－x －2； ⑥(cos 2)′＝0. ∴②⑥不正确，故选B.2．已知函数f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5D ．－5考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 常数、幂函数的导数 答案 A解析 ∵f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4， ∴a ＝4.3．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( ) A.12523 B.110523C.25523 D.110523 考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 常数、幂函数的导数 答案 B解析 ∵s ′＝15t －45.∴当t ＝4时，s ′＝15·1544＝110523.4．正弦曲线y ＝sin x 上切线的斜率等于12的点为( )A.⎝⎛⎭⎫π3，32 B.⎝⎛⎭⎫－π3，－32或⎝⎛⎭⎫π3，32C.⎝⎛⎭⎫2k π＋π3，32(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎫2k π＋π3，32或⎝⎛⎭⎫2k π－π3，－32(k ∈Z )考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 答案 D解析 设斜率等于12的切线与曲线的切点为P (x 0，y 0)，∵0=|x x y'＝cos x 0＝12，∴x 0＝2k π＋π3或2k π－π3，∴y 0＝32或－32. 5．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为( )A ．2B ．ln 2＋1C ．ln 2－1D ．ln 2考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 答案 C解析 ∵y ＝ln x 的导数y ′＝1x，∴令1x ＝12，得x ＝2，∴切点坐标为(2，ln 2)．代入直线y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1.6．下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是( ) A ．f (x )＝e x B ．f (x )＝x 3 C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝sin x考点 导数公式的综合应用题点 导数公式的综合应用 答案 D解析 若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1.因为A 项中，(e x )′＝e x >0，B 项中，(x 3)′＝3x 2≥0，C 项中，x >0，即(ln x )′＝1x >0，所以不会使切线斜率之积为－1，故选D.7．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 的值为( ) A.1n B.1n ＋1 C.n n ＋1D ．1考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 答案 B解析 对y ＝x n ＋1(n ∈N *)求导得y ′＝(n ＋1)·x n . 令x ＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k ＝n ＋1， ∴在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x n －1)． 令y ＝0，得x n ＝nn ＋1，∴x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×n n ＋1＝1n ＋1，故选B.二、填空题 8．若曲线y ＝12x -在点(a ，12a-)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝ .考点 几个常用函数的导数 题点 几个常用函数导数的应用 答案 64 解析 ∵y ＝12x-，∴y ′＝－1232x -，∴曲线在点(a ，12a-)处的切线斜率k ＝－1232a -，∴切线方程为y －12a -＝－1232a -(x －a )． 令x ＝0，得y ＝3212a -；令y ＝0，得x ＝3a ， ∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12·3a ·3212a -＝9412a ＝18， ∴a ＝64.9．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x >0)在点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为 ．考点 导数公式的综合应用题点 导数公式的综合应用答案 (1,1)解析 y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率为k 1＝e 0＝1.设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2 (x >0)， 曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线的斜率为k 2＝－1m 2 (m >0)．因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1， 所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．10．若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是 ．考点 导数公式的综合应用题点 导数公式的综合应用答案 4解析 ∵y ′＝12x ，∴切线方程为y －a ＝12a(x －a )， 令x ＝0，得y ＝a 2，令y ＝0，得x ＝－a ， 由题意知12·a 2·a ＝2，∴a ＝4. 11．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 017(x )＝ . 考点 正弦、余弦函数的导数题点 正弦、余弦函数的运算法则答案 cos x解析 由已知f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，…依次类推可得，f 2 017(x )＝f 1(x )＝cos x .12．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角α的取值范围是 ．考点 导数公式的综合应用题点 导数公式的综合应用答案 ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1，∴α∈⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 三、解答题13．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．考点 导数公式的综合应用题点 导数公式的综合应用解 如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ，所以0e x ＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为22. 四、探究与拓展14．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是 ．考点 导数公式的综合应用题点 导数公式的综合应用答案 21解析 ∵y ′＝2x ，∴y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )．又该切线与x 轴的交点坐标为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是首项为a 1＝16，公比为q ＝12的等比数列， ∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.15．求证：双曲线xy ＝a 2(a ≠0)上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数． 考点 导数公式的综合应用题点 导数公式的综合应用证明 设P (x 0，y 0)为双曲线xy ＝a 2上任一点．∵y ′＝⎝⎛⎭⎫a 2x ′＝－a 2x 2. ∴过点P 的切线方程为y －y 0＝－a 2x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝2a 2x 0；令y ＝0，得x ＝2x 0. 则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12·⎪⎪⎪⎪2a 2x 0·|2x 0|＝2a 2. 即双曲线xy ＝a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a 2.。
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.5.3
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第一章 导数及其应用
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答案： (1)D
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1．了解定积分的概念，理解定积分的几何意义． 2．掌握定积分的基本性质．
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[问题1] 直线x＝1，x＝2，y＝0和函数f(x)＝1＋x围成 的图形的面积是多少？
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1.5.3 定积分的概念
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第一章 导数及其应用
高中数学人教A版选修2-2第一章1.2导数的计算课件
,求y
x=3
3、求
y
x x2
3 3
在点x
3处的导数
1. y x2 的导数 sin x
解：y '
(x2 )'
sin x x2 sin2 x
(sin
x)'
2x sin x x2 sin2 x
cos
x
2、已知y
=
1 x2
,求y
x=3
解： y (x2 ) 2x21 2x3
y
x3
2 (3)3
2
3
1.2 导数的计算
第二课时
复习回顾:
基本初等函数的导数公式表：
函数 y=c y=xn (n是有理数） y=sinx y=cosx y=ax y=ex y=logax
y=lnx
导数
y 0 y nxn1 y cos x y sin x y a x ln a y ex
y 1 x ln a
y 1 x
导数的运算法则：
1.f(x) g(x) f (x) g(x)
2.f(x) g(x) f (x)g(x) f(x)g(x)
3.
f(x) g(x)
f
(x)g(xg)(x)f(2x)g(x（) g(x)
0）
课后练习
1、求y x2 的导数 sin x
2、已知y
=
1 x2
y
x x2
3 3
在点x
3处的导数
1. y x2 的导数 sin x
解：y '
(x2 )'
sin x x2 sin2 x
(sin
x)'
2x sin x x2 sin2 x
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.2.1、2(1)
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求简单函数的导函数有两种基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导 ，可以简化运算过程、降低运算难 度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调 整，再选择合适的求导公式．
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第一章 导数及其应用
A．(0,0)
B．(0,1)
C．(1,0)
D．以上都不是
解析： (x3)′＝3x2，若切线平行或重合于x轴则切线斜率k
＝0，即3x2＝0得x＝0，
∴y＝0，即切点为(0,0)．故选A.
答案： A
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第一章 导数及其应用
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3．函数f(x)＝sin x，则f′(6π)＝________. 解析： f′(x)＝cos x，所以f′(6π)＝1. 答案： 1
6分 8分
10 分 12 分
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第一章 导数及其应用
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1.求过点P的切线方程时应注意，P点在曲线 上还是在曲线外，两种情况的解法是不同的．
2．解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系： 一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线 的方程；三是切线的斜率是曲线在此切点处的导数值．
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第一章 导数及其应用
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(1)y′＝－3x－4.(2)y′＝3xln 3.
(4)y′＝xln1 5.(5)y＝sin x，y′＝cos x. (6)y′＝0.(7)y′＝1x.(8)y′＝ex.
高二数学人教A版选修2-2课件：第一章 导数及其应用 整合
专题二
专题一 导数应用中常见的数学思想 1.分类讨论 分类讨论是基本逻辑方法之一,也是一种数学思想,在近几年的高考中,都把分类讨论思想列为重要的思想 方法来考查. 当我们面临的数学问题不能以统一形式解决,或因为一种形式无法进行概括,不分类就不能再进行下去,这 时,分类讨论就顺理成章了,分类要遵循“不重不漏”的原则,然后对于每一类情况都要给出问题的解答.分类讨 论的一般步骤如下:(1)确定标准;(2)恰当分类;(3)逐类讨论;(4)归纳总结.本章中的题型,如:求单调区间,求参数 范围,求极值、最值以及恒成立问题有时都要用到该思想方法.
讨论-2������与 1 的大小关系.
专题一
专题二
解:(1)f'(x)=x(ax+2)eax.
①当 a=0 时,令 f'(x)=0,得 x=0.
若 x>0,则 f'(x)>0,从而 f(x)在(0,+∞)上单调递增;
若 x<0,则 f'(x)<0,从而 f(x)在(-∞,0)上单调递减.
②当 a<0 时,令 f'(x)=0,得 x(ax+2)=0,故 x=0 或 x=-2. ������
专题一
专题二
(3)(方法一)f(x)≥k(x-1),即(x-1)(x2+x-5)≥k(x-1),因为x>1,所以k≤x2+x-5在(1,+∞)上恒成立.令g(x)=x2+x-5,因 为g(x)在(1,+∞)上是增函数,所以g(x)>g(1)=-3.所以k的取值范围是k≤-3.
(方法二)直线y=k(x-1)过定点(1,0),且f(1)=0,曲线f(x)在点(1,0)处切线斜率f'(1)=-3,由(2)中草图知要使 x∈(1,+∞)时,f(x)≥k(x-1)恒成立需k≤-3.
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.4
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最 少？最少为多少升？
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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分析 写出函数 写出定 [思路点拨] 题意 ―→ 关系式 ―→ 义域
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令 V′(x)＝0，得 x＝0(舍去)或 x＝1. 当 0<x<1 时，V′(x)>0； 当 1<x<32时，V′(x)<0，故在 x＝1 处 V(x)取得极大值，并 且这个极大值就是 V(x)的最大值， 从而 Vmax＝V(1)＝9×12－6×13＝3 m3，此时长方体的长为 2 m，高为 1.5 m. 即当长方体的长为 2 m、宽为 1 m、高为 1.5 m 时，体积最 大，最大体积为 3 m3.
解析： 设长方体的宽为 x m，长为 2x m， 则高为 h＝18－412x＝4.5－3x0<x<32. 故长方体的体积为 V(x)＝2x2(4.5－3x)＝9x2－6x30<x<32， 从而 V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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令h′(x)＝0，得x＝80， 当x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数； 当x∈(80,120]时，h′(x)>0，h(x)是增函数． ∴当x＝80时，h(x)取到极小值h(80)＝11.25. ∵h(x)在(0,120]上只有一个极值， ∴它是最小值． 答：当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙 地耗油最少，最少为11.25升．