第四章 3椭球面上的弧长(大地线)计算

椭球面积
• • • • • 若取L2-L1=2π，B2=π/2，B1=0 可得出北半球的椭球面面积； 再乘以2得到椭球面的总面积。 克氏椭球总面积约为5.1亿km2 梯形图幅的面积，直接代入经纬度计算。
• 对于形状不规则的区域面积可将该区域分割成 若干个规则格网的子块，然后求和。
§4.5 大地线的概念与计算
第四章 Ⅲ椭球面上的弧长计算
——子午线弧长计算公式 ——由子午线弧长求大地纬度 ——平行圈弧长计算公式 ——椭球面梯形图幅面积的计算 ——大地线的概念与克莱劳方程
上一讲应掌握的内容
1、椭球面上法截线有关概念
法截线 子午圈(线) 2、子午线曲率半径
在赤道上M小于a，M随纬度增加而增加
卯酉圈 (线)
曲率
1 1 sin B cos 2 B 2 2
2
3 1 1 sin B cos 2 B cos 4 B 8 2 8
4
子午线弧长计算公式推导（方法1）
子午圈曲率半径公式可变为：
M a0 a2 cos2B a4 cos4B a6 cos6B a8 cos8B
m2 3m4 5m6 35m8 a0 m0 2 b 16 128 m m 15m6 7m8 a2 2 4 2 2 32 16 m4 3m6 7m8 a4 8 16 32 m m a6 6 8 32 16 m a8 8 128
如果以B＝90°代入，则得子午椭圆在一个象限内的 弧长约为10 002 137m。旋转椭球的子午圈的整个弧 长约为40 008 549.995m。即一象限子午线弧长约为 10 000km，地球周长约为40 000km。 为求子午线上两个纬度B１及Ｂ２间的弧长，只需按 上式分别算出相应的X１及X２，而后取差：
子午线弧长计算公式推导(方法2)
X1 2 a(1 e ) (1 e2 sin 2 B)3/ 2 dB
2 B1 B2
将被积函数按二项式作级数展开，有：
3 15 (1 e 2 sin 2 B) 3/ 2 1 e2 sin 2 B e4 sin 4 B 2 8 35 315 8 8 693 10 10 e6 sin 6 B e sin B e sin B 16 128 256
代入上式，积分得：
X 1 2 a(1 e2 )[ A(arcB2 arcB1 ) B(sin B2 cos B2 sin B1 cos B1 ) C (sin 3 B2 cos B2 sin 3 B1 cos B1 ) D(sin 5 B2 cos B2 sin 5 B1 cos B1 ) E (sin 7 B2 cos B2 sin 7 B1 cos B1 ) F (sin 9 B2 cos B2 sin 9 B1 cos B1 ) G(sin11 B2 cos B2 sin11 B1 cos B1 ) ]
1 e
2
2
sin B
2
2
B+dB MdB
d
NcosBdL B
1 e
2
sin B
2
dBdL
L
上式利用二项式展开并积分，得：
P b L2 L1 (1 e2 sin 2 B) 2 cos B d B
2 B1 B2
L+dL
2 3 4 =b 2 L2 L1 sin B e2 sin 3 B e 4 sin 5 B e6 sin 7 B 3 5 7 B1
§4.4 椭球面上的弧长计算
在高斯投影计算和弧度测量计算中， 往往用到子午线弧长和平行圈弧长
一、子午线弧长计算公式
dx MdB
X MdB
0 B
X (m0 m2 sin 2 B m4 sin 4 B m6 sin 6 B m8 sin8 B)dB
0
B
为了便于积分通常将正弦的幂函数展开为余弦的倍数函数。 如：
二、大地线的定义与性质
定义1：椭球面上两点间的最短程曲线叫大地线（测地线）。 定义2：大地线是主法线与曲面法线处处重合的曲线。 大地线的性质： 1、曲面上连接任何两点的最短弧线必为大地线； 2、大地线上任何点的密切平面就是该点的法截面； 3、大地线的测地曲率等于0； 4、大地线位于相对法截线之间，并靠近 正法截线，它与正法截线间的夹角 1 5、在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线为 依据。在地面上测得的方向、距离等，应当归算成相应大地 线的方向、距离。 长度差异可忽略（40km以内）， 但方向差异需改化。
两点间的最短距离，在平面上是两点间的直线，在球面 上是两点间的大圆弧，那么在椭球面上又是怎样的一条 线呢? 它应是大地线。
一、相对法截弧
法截弧：由椭球面上A点的法线与B点所确定的法截面与 椭球面相割得到的曲线称为A到B的法截弧。 相对法截弧： A到B的法截弧与B到A的法截弧。 互为正反法截弧
On a Q1na sin B1 On b Q2 nb sin B2
子午线弧长和平行圈弧长变化的比较
四、椭球面梯形图幅面积的计算
只要求出经纬格网的面积，就可度量出椭球面的整个面积 或局部区域的面积。
d MN cos BdBdL
a 2 1 e2 cos BdBdL
P d
D
B2 L2
B1 L1

a 1 e cos B
2 2
曲率半径
a(1 e2 ) c M 3 3 W V
3、卯酉线曲率半径
在赤道上N等于a，N随纬度增加而增加
a c N W V
MN RA N cos 2 A M sin 2 A
4、任意法截弧的曲率半径
主曲率半径M及N分别是 RA的极小值和极大值。R0＝M，R90＝N
5、平均曲率半径
Ｘ1 2＝Ｘ２－Ｘ１，该Δ Ｘ即为所求的弧长。
子午线弧长计算（续）
• 对于400km以下的子午线弧长计算公式 （精确到：0.001m ）
X1 2 X1 2 e2 M m B(1 cos 2 Bm B 2 ) 8 M m B
写
若弧长＜45km,仅取△B一次项，即可精确到：0.001m 当弧长甚短(例如X≤45km，计算精度到0.001m)，可 视子午弧为圆弧，而圆的半径为该圆弧上平均纬度 点的子午圈的曲率半径Mm
B1 f X / a0
Bif1 ( X F ( Bif ) / a0
• 直接解法：
对于75国际椭球：
（弧度） X / 6367452. 133
B f 2.518828475 103 sin 2 3.701007 106 sin 4 7.447 109 sin 6
三、平行圈弧长公式
任一平行圈都是半径相等的圆， 纬度为B的平行圈的半径为：
rB N cos B a cos B 1 e2 sin 2 B
平行圈上经差L L2 L1的一段弧长 : S1 2 N cos BL a cos B( L2 L1 ) l N cos B b1l 1 e2 sin 2 B
对于75国际椭球，子午线弧长的具体计算公式为：
X 111133.005B 32009.858sin B cos B 133.960sin 3 B cos B 0.698sin 5 B cos B
二、由子午弧长求大地纬度 由子午弧长求大地纬度可以采用迭代解法和直接解法 • 迭代解法:
X a(1 e2 )( AarcB B sin B cos B C sin 3 B cos B D sin 5 B cos B E sin 7 B cos B F sin 9 B cos B G sin11 B cos B)
写
子午线弧长计算公式（2）系数
3 45 175 6 11025 8 43659 10 693693 12 式中：A 1 e 2 e 4 e e e e 4 64 256 16384 65536 1048576 3 2 45 4 175 6 11025 8 43659 10 693693 12 B e e e e e e 4 64 256 16384 65536 1048576 15 4 175 6 3675 8 14553 10 231231 12 C e e e e e 32 384 8192 32768 524288 35 6 735 8 14553 10 231231 12 D e e e e 96 2048 40960 655360 G 1001 12 e 4096
3 2
N a(1 e2 sin 2 B)

1 2
M m0 m2 sin 2 B m4 sin 4 B m6 sin 6 B m8 sin8 B
N n0 n2 sin 2 B n4 sin 4 B n6 sin6 B n8 sin8 B
不同的椭球元素对应不同的系数 写在黑板
（不是地球平均半径）
a R 2 W
c N 1 e 2 V V
2
MN
6、椭球面上几种曲率半径的关系
N RM
N90 R90 M90 c
主曲率半径的计算公式
子午圈曲率半径M及卯酉圈曲率半径N，是两个互相垂直 的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统称为主曲率半 径。
M a(1 e2 )(1 e2 sin 2 B)
积分，整理得： a6 a8 a2 a4 X a0 B sin 2 B sin 4 B sin 6 B sin 8B 2 4 6 8
板书
子午线弧长计算 对于75国际椭球，子午线弧长的具体计算公式为：
X 111133.005B 16038.528sin 2B 16.833sin 4B 0.022sin 6B