第01讲-集合(讲义版)

第01讲集合一、考情分析1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.二、知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素A⊆B 真子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素BA⊂≠空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B 若全集为U，则集合A 的补集为∁U A图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}4.集合的运算性质(1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A . (2)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A . (3)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U ，∁U (∁U A )＝A . [方法技巧]1.若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有2n －1个.2.子集的传递性：A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C .3.A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B .4.∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B ).三、 经典例题考点一 集合的基本概念【例1-1】（2020·全国高三一模（文））已知集合{}2220A x x ax a =++≤，若A 中只有一个元素，则实数a 的值为（ ） A ．0 B ．0或2- C ．0或2 D ．2【答案】C【解析】若A 中只有一个元素，则只有一个实数满足2220x ax a ++≤， 即抛物线222y x ax a =++与x 轴只有一个交点，∴2480a a =-=△，∴0a =或2. 故选：C【例1-2】（2020·海南省海南中学高三月考）若S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S 的非空真子集个数是（ ） A ．62 B ．32C ．64D ．30【答案】D【解析】因为“我和我的祖国”中的所有字组成的集合S 一共有5个元素， 所以S 的非空真子集个数是52230-=个. 故选：D规律方法 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.考点二 集合间的基本关系【例2-1】（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高三二模）已知集合|03x A x Z x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A 真子集的个数为（ ） A ．3 B ．4C ．7D ．8【答案】C【解析】由|03x A x Z x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，得{}|30{2,1,0}A x Z x =∈-<≤=-- 所以集合A 的真子集个数为3217-=个. 故选：C【例2-2】（2020·全国高三月考（文））已知集合{|6A x x =<且}*N x ∈，则A 的非空真子集的个数为( ) A ．30 B ．31 C ．62 D ．63【答案】A【解析】因为集合{|6A x x =<且}{}*N1,2,3,4,5x ∈=，所以A 的非空真子集的个数为52230-= . 故选：A【例2-3】（2020·北京牛栏山一中高三月考）已知集合A ={-2，3，1}，集合B ={3，m ²}.若B ⊆A ，则实数m 的取值集合为（ ）A ．{1}B ．C ．{1，-1}D ．【答案】C【解析】集合A ={-2，3，1}，集合B ={3，m ²}.若B ⊆A 则21m =或22m =-，解得1m =± 故选：C规律方法 1.若B ⊆A ，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论.2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图，化抽象为直观进行求解.考点三 集合的运算【例3-1】（2020·全国高三一模（文））已知集合{}|15A x x =-≤≤，{}2|23B x x x =->，则A B =（ ） A ．5}|3{x x <≤ B ．{|15}x x -≤≤ C ．{|1x x <-或3}x > D ．R【答案】A【解析】由题意|| 1 B x x =<-或3}x >，所以{|35}A B x x =<≤.故选：A【例3-2】（2020·安徽省六安一中高一月考）已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()RA B =（ ）A ．{}13x x -≤< B ．{}19x x -≤≤ C ．{}13x x -<≤ D ．{}19x x -<<【答案】C【解析】解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >； 解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.{}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤，因此，(){}13RA B x x ⋂=-<≤，故选：C.规律方法 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.2.注意数形结合思想的应用.(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图求解.(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.(3)集合的新定义问题：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口. [思维升华]1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn 图.这是数形结合思想的又一体现. [易错防范]1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.4.Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.四、 课时作业1．（2020·全国高三月考（理））已知集合{}2|4M x x =，{2,1,0,1,2}N =--，则（ ）A ．M N ⋂=∅B ．N M ⊆C ．{1,0,1}M N ⋂=-D ．MN =R2．（2020·内蒙古自治区高三二模（文））已知集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<则AB =（ ）A ．{|0}x x <B ．1|2x xC ．1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D ．{|1}x x >-3．（2020·全国高三月考（文））若用列举法表示集合26(,)|3x y A x y x y +=⎧⎧⎫=⎨⎨⎬-=⎩⎭⎩，则下列表示正确的是（ ）A ．{3,0}x y ==B ．{(3,0)}C ．{3,0}D ．{0,3}4．（2020·四川省高三二模（文））已知集合|2A x y x ⎧==⎨⎬-⎩⎭，{2,1,0,1,2,3}B =--，则()A B =R （ ）A ．{2,1,0,1,2}--B ．{0,1,2,3}C ．{1,2,3}D ．{2,3}5．（2020·辽宁省高三开学考试（理））设集合{}2320M x x x =++>，集合1=42xN x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则MN =（ ） A ．{}2x x ≥-B ．{}1x x >-C ．{}2x x ≤-D ．R6．（2020·福建省高三月考（文））已知集合{|1}A x y x ==+，{|lg(1)}B y y x ==-，则A B =（ ）A ．[1,)-+∞B ．(1,)+∞C ．[0,)+∞D ．R7．（2020·宜宾市叙州区第二中学校高三月考（文））设函数2()lg(1)1f x x =-+的定义域为A ，2()()1g x x a =--的定义域为B ，A B ⊆，则a 的取值范围是________．8．（2020·江苏省泰州中学高三月考）已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则AB =______9．（2020·北京牛栏山一中高三月考）对于集合{}22,,M a a x y x Z y Z ==-∈∈，给出如下三个结论： ①如果{}21,B b b n n N ==+∈，那么B M ⊆； ②若{}2,C c c n n N ==∈，对于c C ∀∈，则有c M ∈； ③如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M ∈. ④如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M +∈ 其中，正确结论的序号是__________.10．（2020·北京人大附中昌平学校高三二模）集合{}(,),0A x y x y a a =+=>，{}(,)1B x y xy x y =+=+，若A B 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为________①a 的值可以为2； ②a； ③a的值可以为2+11．（2020·全国高三一模（理））已知集合|⎧⎪==⎨⎪⎩A x y ，集合{|12}=-+B x x a . （1）求集合A ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.12．（2020·全国高三其他（文））已知集合(){}2|log 33A x x =+≤，{}|213B x m x m =-<≤+. （1）若3m =，则A B ；（2）若AB B =，求实数m 的取值范围.。