专题一 几何证明之三角形中的存在性问题 2020年中考数学冲刺难点突破 几何证明问题(解析版)

2020年中考数学冲刺难点突破几何证明问题

专题一几何证明之三角形中的存在性问题

1、如图，如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），将线段AB平移至线段CD，

使点A的对应点C在x轴的正半轴上，点D在第一象限．

（1）若点C的坐标（k，0），求点D的坐标（用含k的式子表示）；

（2）连接BD、BC，若三角形BCD的面积为5，求k的值；

（3）如图2，分别作∠ABC和∠ADC的平分线，它们交于点P，请写出∠A、和∠P和∠BCD之间的一个等量关系，并说明理由．

解：（1）∵点A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），C（k，0），将线段AB平移至线段CD，∴点B向上平移一个单位，向右平移（k+4）个单位到点D，

∴D（k+2，2）；

（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，

∵A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），C（k，0），D（k+2，2），∴BE＝1，CE＝k+2，DF＝2，EF＝k+4，CF＝2，

∵S四边形BEFD＝S△BEC+S△DCF+S△BCD，

∴＝+，

解得：k＝2．

（3）∠BPD＝∠BCD+∠A；理由如下：

过点P作PE∥AB，如图2所示：

∴∠PBA＝∠EPB，

∵线段AB平移至线段CD，

∴AB∥CD，

∴PE∥CD，∠ADC＝∠A，∠ABC＝∠BCD，

∴∠EPD＝∠PDC，

∴∠BPD＝∠PBA+∠PDC，

∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，

∴∠PBA＝∠ABC，∠PDC＝∠ADC，

∴∠BPD＝∠ABC+∠ADC＝∠BCD+∠A．

2、在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），

得到△A'B'C．

（1）如图1，当AB∥CB'时，设A'B'与CB相交于点D，求证△A'CD是等边三角形；

（2）如图2，设AC中点为E，A'B'中点为P，AC＝a，连接EP．在旋转过程中，线段EP的长度是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值并说明此时旋转角θ的度数，如果不存在，请说明理由．

（1）证明：∵AB∥CB'，

∴∠BCB'＝∠ABC＝30°，

∵将△ABC绕顶点C顺时针旋转，

∴∠ACA'＝30°．

又∵∠ACB＝90°，

∴∠A'CD＝60°．

又∵∠CA'B'＝∠CAB＝60°，

∴△A'CD是等边三角形．

（2）当θ＝120°时，EP的长度最大，EP的最大值为a．

解：如图，连接CP，当△ABC旋转到E、C、P三点共线时，EP最长，

此时θ＝∠ACA′＝120°，

∵∠B′＝30°，∠A′CB′＝90°，

∴A′C＝AC＝A′B′＝a，

∵AC中点为E，A′B′中点为P，∠A′CB′＝90°

∴CP＝A′B′＝a，EC＝a，

∴EP＝EC+CP＝a+a＝a．

3、如图，等腰△ABC中，BA＝BC，AO＝3CO＝6．动点F在BA上以每分钟5个单位长度的速度从B点出发向

A点移动，过F作FE∥BC交AC边于E点，连结FO、EO．设F点移动的时间为t．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）计算：当△EFO面积最大时，t的值；

（3）在（2）的条件下，边BC上是否还存在一个点D，使得△EFD≌△FEO？若存在，请直接写出D点的坐标；若不存在，试说明理由．

解：（1）∵CO＝2，

∴C（2，0）．

又∵AO＝3OC＝6，

∴A（0，6），

可设BO＝x，且x＞0；

则：BC2＝（2+x）2，AB2＝AO2+OB2＝36+x2；

又∵BC＝AB，

∴（2+x）2＝36+x2，故：x＝8，

∴B（﹣8，0）；

（2）过F点作FK⊥BC于K，

可设F点移动的时间为t，且0＜t＜2，

则：BF＝5t，TO＝FK＝3t；

∴AT＝6﹣3t，

又∵FE∥BC，

∴△AFE∽△ABC，

而AO⊥BC交EF于T，则：＝，

∴＝，

即：EF＝10﹣5t，

故：S△EFO＝EF×TO＝（10﹣5t）×3t，

即：S△EFO＝﹣（t﹣2）t＝，

∴当t＝1时，△EFO的面积达到最大值；

（3）在（2）的基础上，E、F分别是AC、AB的中点，

若使D为BC的中点时，＝＝＝，

又∵＝＝，

∴FO＝ED，EO＝FD，EF＝FE，

∴△EFD≌△FEO（SSS），

∵C（2，0），B（﹣8，0）

∴D（﹣3，0）．

故：存在满足条件的D点，其坐标为（﹣3，0）．

4、如图，在平面直角坐标系xOy中，A（a，0），B（0，b），C（c，0）．且满足：+（c+1）2+（b+2c）

2＝0．

（1）求证：△ABC是直角三角形；

（2）在y轴上是否存在点P，使得△ABP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在y轴上是否存在点D，使得∠BCD＝45°？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）证明：∵+（c+1）2+（b+2c）2＝0，≥0，（c+1）2≥0，（b+2c）2≥0，∴a﹣4＝0，c+1＝0，b+2c＝0，

解得，a＝4，b＝2，c＝﹣1，

∴BC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，AC2＝25，

∴BC2+AB2＝AC2．

∴△ABC是直角三角形；

（2）解：AB＝＝2，