四边形与证明(经典难题)

第八部分图形与证明

知识点的把握

新的课程标准对图形与证明提出了如下要求：

1.了解证明的含义.

(1)理解证明的必要性;(2)通过具体的例子，了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和结论;(3)结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立;(4)通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的;(5)通过实例，体会反证法的含义;(6)掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据.

2.掌握以下基本事实，作为证明的依据.(1)一条直线截两条平行直线所得的同位角相等;(2)两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行; (3)若两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边，或三边)分别相等，则这两个三角形全等;(4)全等三角形的对应边、对应角分别相等.

3.利用2中的基本事实证明下列命题.

(1)平行线的性质定理(内错角相等、同旁内角互补)和判定定理(内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行);(2)三角形的内角和定理及推论(三角形的外角等于不相邻的两内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角);(3)直角三角形全等的判定定理;(4)角平分线性质定理及逆定理；三角形的三条角平分线交于一点(内心);(5)垂直平分线性质定理及逆定理；三角形的三边的垂直平分线交于一点(外心);(6)三角形中位线定理;(7)等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理;(8)平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理.

4.通过对欧几里得《原本》的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值.

命题方向

经过对近几年各地的中考试题来看，直接考查本章知识的试题约占10%，普遍由圆结合其他的知识点进行考查.在主客观题中均有出现，往往是综合运用方程、函数、三角形、相似形等知识解决与圆有关的中考压轴题.除了考查几何图形的性质和应用外，还常常与应用问题、实际问题结合，对学生的探究能力和创新思维能力进行综合考查.

纵观近三年的中考命题，可以预见：用几何图形的性质、判定考查学生的逻辑推理的能力、分析和解决问题的能力、以及创新意识和实际能力.因此，考查分类讨论思想、数形结合思想以及运用观察、想象、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括、类比等数学方法.

考试重点

一、几何图形的性质定理、判定定理的应用

本考点为基本图形的性质定理和判定定理的应用，我们要明确的基础知识有：平行线的性质定理和判定定理、三角形的内角和定理及推论、直角三角形全等的判定定理、角平分线性质定理及逆定理、垂直平分线性质定理及逆定理、三角形中位线定理、等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理.

中考过程中，几何证明是必考的范围.其中是以基本图形的性质和判定定理为主.结合各方面的知识点，考虑辅助线的做法，运用综合分析法来找出条件和结论之间的关系，提高学生的解题能力、分析能力、研究探索能力.对于几何证明的题目应首先从基本知识入手，关注辅助线的做法，总结方法，积累经验，在看图和识图方面不断创新，不断提高.

【例1】已知：如图8-1，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G.

(1)求证：△ADE≌△CBF；

(2)若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论.

图8-1 图8-2

分析：结合图形可以看出△ADE与△CBF全等的条件只差AE=CF，从而可以证明.证明：(1)如图8-2，∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠1=∠C，AD=CB，AB=CD.

∵点E、F分别是AB、CD的中点，

∴AE=AB，CF=CD.

∴AE=CF.

∴△ADE≌△CBF.

(2)当四边形BEDF是菱形时，

四边形 AGBD是矩形.如图8-2.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC.

∵AG∥BD，

∴四边形 AGBD是平行四边形.

∵四边形 BEDF是菱形，

∴DE=BE.

∵AE=BE，

∴AE=BE=DE.

∴∠1=∠2，∠3=∠4.

∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

∴2∠2+2∠3=180°.

∴∠2+∠3=90°.

即∠ADB=90°.

∴四边形AGBD是矩形.

【例2】已知:在⊙O中，CD平分∠ACB，弦AB、CD相交于点E，连结AD、BD.

图8-3

(1)写出图8-3中3对相似的三角形；

(2)找出图8-3中相等的线段，并说出理由.

解析：由图可以看出:

△ACE∽△DBE，△AED∽△BEC，△ADE∽△CDA.

同时还可以看到AD=BD.

证明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴AD=BD.

【例3】已知：在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q.

(1)求四边形AQMP的周长；

(2)写出图8-4中的两对相似三角形(不需证明)；

图8-4

(3)M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.

分析：结合图形的有关性质，可以证明四边形AQMP为矩形，故其周长为2a.

解：(1)∵PM∥AB，QM∥AC

∴四边形AQMP为平行四边形

且∠1=∠C，∠2=∠B，

又∵AB=AC=a.

∴∠B=∠C，

∴∠1=∠B=∠C=∠2.

∴QB=QM，PM=PC.

∴四边形AQMP的周长为：

AQ+QM+MP+PA=AP+QB+PC+PA=AB+AC=2a；

(2)△ABC∽△QBM∽△PMC；(三对中写出任意两对即可)

(3)如图8-5当M为底边BC的中点时，四边形AQMP为菱形.理由：当M为BC中点时.

图8-5

∵PM∥AB.QM∥AC.

∴PM=AB=.

QM=AC=.