Z变换
06第六讲 Z变换的性质
Y(z)的收敛域为X(z)、H(z)收敛域的公共部分。 若有极点被
抵消，收敛域可扩大。
证 Y ( z ) Z [ x( n) h(n)]
n
[ x(n) h(h)]z n
n
n m
x ( m) h ( n m) z
第2章 Z变换 2. 序列的移位
Z[ x(n m)] z m X ( z)
Rx | z | Rx
(1-80)
位移m可以为正（右移）也可以为负（左移）。 证
Z [ x(n m)]
n
x(n m) z n z m
k
x( k ) z k z m X ( z )
证
Z [ x (n)]
*
n
x ( n) z
*
n
n *
[ x(n)(z )
* n *
]
* n * * x(n)(z ) X ( z ) n
Rx | z | Rx
第2章 Z变换 6. 翻褶序列
1 Z[ x(n)] X z
9. 序列卷积（卷积定理）
若
y ( n ) x ( n ) h ( n)
则
m
x(m)h(n m)
Y ( z ) Z [ y(n)] X ( z ) H ( z ) max[Rx , Rh ] | z | min[Rx , Rh ]
(1-88)
第2章 Z变换
V平面收敛域为
(1-90)
|z| |z| max Rx , | v | min Rx , Ry Ry
信号与系统 z变换
信号与系统 z变换信号与系统是电子信息学科中的一门重要课程，其中的z变换是信号与系统分析的一种重要工具。
本文将介绍信号与系统中的z变换原理及应用。
一、z变换原理z变换是一种离散域的数学变换，它将离散时间序列转换为复平面上的函数。
在信号与系统中，我们常常需要对信号进行分析和处理，而z变换提供了一种方便且有效的方式。
它将离散时间序列变换为z域函数，从而可以对信号进行频域分析。
z变换的定义是：X(z) = ∑[x(n)·z^(-n)]，其中x(n)为离散时间序列，z为复变量。
通过z变换，我们可以将离散时间序列的差分方程转化为代数方程，从而简化信号与系统的分析和计算。
此外，z变换还具有线性性质和时移性质，使得我们可以方便地进行信号的加权叠加和时间偏移操作。
二、z变换的应用1. 系统的频域分析：z变换将离散时间序列转换为z域函数，可以方便地进行频域分析。
通过计算系统的传递函数在z域中的值，我们可以得到系统的频率响应，从而了解系统对不同频率信号的响应特性。
2. 系统的稳定性判断：通过z变换，可以将系统的差分方程转化为代数方程。
我们可以通过分析代数方程的根的位置，判断系统的稳定性。
如果差分方程的根都在单位圆内，说明系统是稳定的。
3. 离散时间系统的滤波设计：z变换为我们提供了一种方便的方法来设计离散时间系统的滤波器。
通过在z域中对滤波器的传递函数进行分析和调整，我们可以设计出满足特定需求的滤波器。
4. 信号的采样与重构：在数字信号处理中，我们常常需要对连续时间信号进行采样和重构。
通过z变换，我们可以将连续时间信号转换为离散时间信号，并在z域中进行处理。
然后再通过z逆变换将离散时间信号重构为连续时间信号。
5. 离散时间系统的时域分析：z变换不仅可以进行频域分析，还可以进行时域分析。
通过z变换，我们可以将离散时间系统的差分方程转换为代数方程，并通过对代数方程的分析，得到系统的时域特性。
z变换是信号与系统分析中非常重要的工具。
第六章 Z变换
6.3 z变换的反变换
2π j , 柯西公式： ∫ z dz = C 0,
n
m = −1 m ≠ −1
6.3 z变换的Βιβλιοθήκη 变换6.3 z变换的反变换
6.3 (1)幂级数展开法
6.3 (1)幂级数展开法
6.3 (1)幂级数展开法
例2 、 x[ n] = u[ n]
X ( z) = ∑ z
n =0
+∞
−n
1 = , z >1 −1 1− z
+∞ 1 X (ω ) = + π ∑ δ (ω − 2kπ ) − jω 1− e k = −∞
例3、
x[n] = − a u[− n − 1]
n
−1 n −n
a z X ( z) = − ∑ a z = − ∑ a z = − −1 1− a z n = −∞ n =1 1 = ,z <a −1 1 − az
第6章 Z变换 章 变换
引言
x(n) = z
n
LTI
y(n) = H(z)z
n
h(n)
H (z) =
jω
n = −∞
∑
+∞
h(n ) z −n ,
H ( z ) 为 h ( n )的 z 变换 .
z = re , 当r＝1时，即为h( n)的傅立叶变换。
z变换是离散时间傅里叶变换的推广，在连续时 变换是离散时间傅里叶变换的推广， 变换是离散时间傅里叶变换的推广 间域内与拉氏变换相对应。 间域内与拉氏变换相对应。
(3) ZT[δ (n +1)] = ∑δ (n +1)z + ∑δ (n +1)z
n=0
z变换
半径和以|z2|为半径的两个圆之间的环状区域。
(5) 不同序列的双边Z变换可能相同，即序列与其双边Z变换不是 一一对应的。序列的双边Z变换连同收敛域一起与序列才是一 一对应的。
第 4 章 Z变换
ZT的ROC及其零极点
(1) ROC不包含任何极点； (2) 右边序列ZT的ROC 是以模最大的有限极点的模为半径的圆 外区域（不包括圆周）。
z
1
z
1
α<|z|<∞
f (k ) F ( z )
f (0) lim F ( z )
第 4 章 Z变换
4.3 Z 逆 变 换
4.3.1 双边Z逆变换的定义
1 k 1 f (k ) F ( z ) z dz C 2j
第 4 章 Z变换
4.3.2 双边Z逆变换的计算
(k m) z
k
z
m
第 4 章 Z变换 (3) f (k ) u (k ).
F ( z)
(4) f (k ) u(k 1).
k
u (k ) z
k
z z 1
k
|z|>1
F ( z)
k
[u(k 1)]z a u (k ) z
第 4 章 Z变换 3. 序列乘ak(Z域尺度变换)
若f (k ) F ( z), a z , 则
z a f (k ) F a
k
aa z a
a0
式中，a为常数（实数、虚数、复数），
第 4 章 Z变换 4. 序列域卷积 若
f1 (k ) F1 ( z ) f 2 (k ) F2 ( z )
z变换公式
z变换公式在信号处理领域中，z变换是一种将离散时间序列转换为复频域的工具。
它在数字信号处理、控制系统分析和通信工程等领域中广泛应用。
本文将详细介绍z变换的概念、特性以及常见的z变换公式。
一、z变换的概念z变换是对离散时间信号进行频域分析的一种方法。
它类似于傅里叶变换，但傅里叶变换只适用于连续时间信号，而z变换适用于离散时间信号。
通过将离散时间序列表示为z的幂级数形式，可以将离散时间信号在复频域中进行表示和分析。
z变换的定义如下：X(z) = Z{x(n)} = ∑[ x(n) * z^(-n)] （1）其中，x(n)是离散时间序列，X(z)是x(n)的z变换。
二、z变换的特性与傅里叶变换类似，z变换也具有线性性、时移性、共轭性和卷积性质。
下面对每个特性进行详细讨论。
1. 线性性z变换具有线性性质，即对于任意常数a和b以及离散时间序列x1(n)和x2(n)，有以下公式成立：Z{a * x1(n) + b * x2(n)} = a * X1(z) + b * X2(z) （2）其中，X1(z)和X2(z)分别是x1(n)和x2(n)的z变换。
2. 时移性z变换具有时移性质，即对于离散时间序列x(n - k)，其z变换为Z{x(n - k)} = z^(-k) * X(z)。
3. 共轭性z变换具有共轭性质，即如果x(n)的z变换为X(z)，则x*(-n)的z 变换为X*(1/z*)，其中，*表示共轭。
4. 卷积性质z变换具有卷积性质，即对于离散时间序列x1(n)和x2(n)的卷积序列y(n) = x1(n) * x2(n)，其z变换为Y(z) = X1(z) * X2(z)，其中，*表示乘法运算。
三、常见的z变换公式根据z变换的定义和特性，可以得到一些常见的z变换公式，下面将逐个进行介绍。
1. 常数序列对于常数序列x(n) = C，其z变换为X(z) = C * (1 - z^(-1)) / (1 - z^(-1))。
第三章 Z变换
n
x[n] re
j n
可见，x[n]的z变换：指数序列r-n乘以x[n]后的傅立叶变换。 当︱z︱=1，即 r = 1时，z变换就是傅立叶变换。 z变换是傅立叶变换的推广，傅立叶变换是z变换的特例；
z平面： z 1 称为单位圆 傅立叶变换是z平面单位圆上的z变换 傅立叶变换的周期性解释
1 x [ n ] u[n] 通过比较可直接得到其反变换： 2
n
特点：简单求解
3.3.2 部分分式展开法 对于任意有理函数形式的X(z) -------- 主要方法 通常的X(z)表示形式： （z-1多项式之比）
或： M个零点（分子z的M次多项式） N个极点（分母z的N次多项式） z =0 的多重极点或零点 相同的有限值零点和极点数（包括z = 0，不包括z = ∞）
n
jn x [ n ] e
ejωz，傅立叶变换X (ejω)z变换X(z) 将复变量z表示成极坐标形式：z = rejω z变换可以写成：
X ( z ) X ( re ) 或 X ( re )
j n n -jn x [ n ] r e j
为方便部分分式展开，可将X(z)表示为：
ck -------- M个非零零点； dk -------- N个非零极点； 若M ＜ N，且极点都是一阶的，则可以进行部分分式展开：
式中系数Ak求法：
例子：
1 1 极点：z ， z 2 4
（一阶）
零点：z =0 （二阶） 右边序列 部分分式展开：
z变换的收敛域： （region of convergence, ROC） 对给定的序列x[n]， 所有满足下列不等式的z值
n
常见序列的z变换
常见序列的z变换什么是z变换？z变换是一种数学工具，用于分析和处理离散时间信号和系统。
它可以将离散时间信号从时域（时间）转换到z域（复平面），从而方便地进行频域分析和系统设计。
z变换在数字信号处理、控制系统和通信系统等领域中广泛应用。
z变换的定义对于一个离散时间序列x[n]，其z变换X(z)定义为：X(z)=∑x∞n=−∞[n]z−n其中，z是一个复数，x[n]是离散时间序列的值。
常见序列的z变换1. 单位序列单位序列u[n]是一个从n=0开始的离散时间序列，其值为1。
其z变换为：U(z)=∑u∞n=0[n]z−n=∑z−n∞n=0根据几何级数的公式，可以得到：U(z)=11−z−12. 单位阶跃序列单位阶跃序列u s[n]是一个从n=0开始的离散时间序列，其值在n≥0时为1，n< 0时为0。
其z变换为：U s(z)=∑u s∞n=0[n]z−n=∑z−n∞n=0根据几何级数的公式，可以得到：U s(z)=11−z−13. 指数序列指数序列x[n]=a n是一个常数a的离散时间序列。
其z变换为：X(z)=∑a n∞n=−∞z−n=∑(az−1)n∞n=−∞根据几何级数的公式，可以得到：X(z)=11−az−1,|az−1|<14. 正弦序列正弦序列x[n]=Asin(ωn+ϕ)是一个频率为ω、振幅为A、相位为ϕ的离散时间序列。
其z变换为：X(z)=∑A∞n=−∞sin(ωn+ϕ)z−n根据正弦函数的性质，可以将其拆分为实部和虚部的和：X(z)=∑A∞n=−∞sin(ωn+ϕ)z−n=∑A∞n=−∞sin(ωn)cos(ϕ)z−n+∑A∞n=−∞cos(ωn)sin(ϕ)z−n利用欧拉公式，可以将正弦函数转换为指数函数：X(z)=∑A∞n=−∞sin(ωn)cos(ϕ)z−n+∑A∞n=−∞cos(ωn)sin(ϕ)z−n=12j∑A∞n=−∞(e jωn−e−jωn)cos(ϕ)z−n+12j∑A∞n=−∞(e jωn+e−jωn)sin(ϕ)z−n=12j∑A∞n=−∞(e jωn cos(ϕ)−e−jωn cos(ϕ))z−n+12j∑A∞n=−∞(e jωn sin(ϕ)+e−jωn sin(ϕ))z−n根据欧拉公式的性质，可以得到：X(z)=12j∑A∞n=−∞(e jωn cos(ϕ)−e−jωn cos(ϕ))z−n+12j∑A∞n=−∞(e jωn sin(ϕ)+e−jωn sin(ϕ))z−n=12j∑A∞n=−∞(cos(ϕ)(z−1)n−cos(ϕ)(z−1)−n)+12j∑A∞n=−∞(sin(ϕ)(z−1)n+sin(ϕ)(z−1)−n)整理得到：X(z)=Acos(ϕ)2j∑((z−1)n−(z−1)−n)∞n=−∞+Asin(ϕ)2j∑((z−1)n+(z−1)−n)∞n=−∞利用几何级数的公式，可以得到：X(z)=Acos(ϕ)2j11−z−1+Asin(ϕ)2jz−11−z−15. 脉冲序列脉冲序列x[n]=δ[n]是一个在n=0时取值为1，其他时刻取值为0的离散时间序列。
Z变换公式——精选推荐
Z变换公式——精选推荐Z变换是一种常用的数学工具，用于分析离散时间信号和系统。
它是傅里叶变换在离散时间域上的推广，可以将离散时间域上的信号或系统转换为复平面上的Z域。
Z变换广泛应用于信号处理、控制系统和通信系统等领域。
在Z变换的计算中，有一些重要的公式被广泛应用。
下面是一些精选的Z变换公式：1.Z平移定理如果序列x(n)的Z变换为X(z)，那么对于任意整数k，x(n-k)的Z变换为z^(-k)X(z)。
这个公式可以表示离散时间序列的平移操作。
2.反转定理如果序列x(n)的Z变换为X(z)，那么序列x(-n)的Z变换为X(1/z)。
这个公式表示序列的反转操作对应于Z平面上对称的操作。
3.Z域的卷积定理对于两个序列x1(n)和x2(n)，它们的卷积操作x(n)=x1(n)*x2(n)的Z变换为X(z)=X1(z)X2(z)，其中X1(z)和X2(z)分别是x1(n)和x2(n)的Z变换。
这个公式使得计算卷积操作变得更加简单，只需要对序列的Z变换进行乘法运算。
4.Z域的时移定理如果序列经过时移操作x(n-k)，那么它的Z变换为Z^(-k)X(z)，其中X(z)是原序列的Z变换。
这个公式表示时移操作对应于Z域上的将序列乘以一个Z的幂次的操作。
5.Z域的初始值定理如果一个序列x(n)的Z变换为X(z)，那么序列的初始值x(0)等于X(1)。
这个公式是根据定义得到的，表示序列在n=0时的值等于Z变换在z=1时的值。
6.Z域的终值定理如果一个序列x(n)的Z变换为X(z)，并且序列是因果的，即x(n)=0，当n小于0时，那么序列的终值x(infinity)等于lim_(z->1) [(1-z^-1)X(z)]。
这个公式表示因果序列在无穷远处的值等于计算X(z)关于z=1的泰勒级数截断的结果。
7.Z域的加法定理对于两个序列x1(n)和x2(n)，它们的和序列x(n)=x1(n)+x2(n)的Z变换为X(z)=X1(z)+X2(z)，其中X1(z)和X2(z)分别是x1(n)和x2(n)的Z变换。
第二章Z变换
左边序列的n Z 变 换的收敛域n 一 定位于最内n 部 1 极点的内部，
其收敛域为：
0 z Rx
左边序列 的收敛域
4.双边序列
双边序列可看作左边序列和右边序列之和，其Z变换为：
1
X (z ) x (n )z nx (n )z n x (n )z n
n
n 0
n
双边序列 的收敛域
X(ej)1a1ej
za
此时，ROC包括了单位圆。
例2: x(n)anu(n1)
1
X(z) anzn anzn
n
n1
1aa1z1z 11az1
za
例3. x(n)(1)nu(n)2nu(n1)
2
X (z) (1)n zn 1 2n zn
n0 2
n
1
1 1
z 1
1
1 2 z 1
2
ROC: 1 z 2 2
定包括 z 点。
因果序列的收敛域为： Rx z
例1．考虑一系统，其中 H(z)11 1z112 1z1
判断其是否为因果系统？
2
z2
解： 因为H(z)的ROC是最外边极点的圆的外边，所以它的 单位脉冲响应h(n)是右边序列。为了确定是否是因果的， 我们可以利用因果性所要求的其它条件来检验。
把H(z)表示成两个多项式之比
数形式 的反变X换( z。)
3. 留数法：
由留数定理有：
x (n )1 2j
cX (z)zn 1 d zR e s[X (z)zn 1 ,zi] i
x ( n ) 等 于 X ( z ) Z n 1 在 围 线 积 分 C 内 所 有 极 点 Z i 上 的 留 数 的 总 和
第三章--Z变换(数字信号处理)
综合以上二步可得 x(n) anu(n)
例 3.7已知 换x(n)。
第三章 序列的Z变换
X (z)
1 a2 (1 az)(1 az1) ,
a
1，
求其反变
解： 该例题没有给定收敛域， 为求出唯一旳原序 列x(n)， 必须先拟定收敛域。 分析X(z)， 得到其极点 分布如图3.5所示。 图中有二个极点z=a和z=a-1， 这么 收敛域有三种选法， 它们是
n n1
设x(n)为有界序列， 因为是有限项求和， 除0与∞
两点是否收敛与n1、 n2取值情况有关外， 整个z平面均 收敛。 假如n1<0， 则收敛域不涉及∞点； 如n2>0， 则 收敛域不涉及z=0点； 假如是因果序列， 收敛域涉及
z=∞点。 详细有限长序列旳收敛域表达如下：
第三章 序列的Z变换
第三章 序列的Z变换
n 0, x(n) Re s[F (z), a] Re s[F (z), a1]
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a
)
za
(1 a2 )zn a(z a)(z a1) (z
a1)
z a 1
an (an ) an an
最终将x(n)表达成
nn1
nn1
n0
第一项为有限长序列， 设n1≤-1， 其收敛域为0≤|z|＜ ∞。 第二项为因果序列， 其收敛域为Rx-<|z|≤∞， Rx是第二项最小旳收敛半径。 将两收敛域相与， 其收 敛域为Rx- <|z|<∞。 假如x(n)是因果序列， 收敛域定为Rx- <|z|≤∞。 推论：如序列x(n)旳Z变换旳收敛域包括∞点，则x(n) 是因果序列
信号与系统第六章Z变换
差分方程的稳定性分析
01
稳定性定义
02
稳定性判据
如果一个离散时间系统在输入信号的 作用下，其输出信号不会无限增长， 则称该系统是稳定的。
对于差分方程，可以通过判断其极点 位置和类型来分析系统的稳定性。如 果所有极点都位于复平面的左半部分 ，则系统是稳定的；否则，系统是不 稳定的。
03
稳定性分析的意义
反转性质在通信和控制系统设计中非常有用，因为它允 许我们通过改变信号的方向来改变系统的性能。
卷积性质
卷积性质描述了z变换的卷积特性。如 果两个信号在时间上相乘，那么它们 的z变换就是它们的卷积。
卷积性质在信号处理中非常重要，因 为它允许我们通过将两个信号相乘来 得到一个新的信号。
复共轭性质
复共轭性质描述了z变换的复共轭特性。如果一个信号是实数，那么其z变换就是其复共轭的离散化表 示。
信号与系统第六章z 变换
目录
CONTENTS
• 引言 • z变换的收敛域 • z变换的性质和应用 • z变换与离散时间系统 • z变换与差分方程 • z变换与信号处理
01
引言
背景介绍
ห้องสมุดไป่ตู้
信号与系统是通信、电子、控制等领 域的重要基础课程，其中第六章z变换 是信号与系统中的重要章节之一。
z变换是离散时间信号处理中的一种数 学工具，用于分析离散时间信号和系 统的性质和行为。
离散信号的z变换
离散信号的z变换是将离散时间序列通过z变 换转换为复数序列，用于分析离散时间系统 的特性。
系统的频率响应和极点零点分析
01
系统的频率响应
02
系统的极点和零点
03
系统稳定性分析
通过z变换分析系统的频率响应， 了解系统在不同频率下的性能表 现。
z变换公式
z变换公式什么是z变换z变换是一种离散信号处理中常用的数学工具，用于描述数字信号在复平面上的变换。
它通过将离散时间序列转换为连续时间函数，可以对离散信号进行频域分析和滤波等操作。
z变换的定义如下：假设x[n]是一个离散时间序列，其中n为整数，z为复平面上的变量。
那么x[n]的z变换X(z)定义为：X(z) = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] * z^(-n)其中，∑表示求和，x[n]表示离散时间序列的值，z^(-n)表示z的幂次方。
z变换的性质z变换具有多种性质，这些性质对于分析和操作离散信号非常有用。
以下是一些常见的z变换性质：如果x1[n]和x2[n]是两个离散时间序列，a和b是常数，那么有：a * x1[n] +b * x2[n] 的z变换为 a * X1(z) + b * X2(z)其中，X1(z)和X2(z)分别为x1[n]和x2[n]的z变换。
位移性质如果x[n]的z变换为X(z)，那么x[n - n0]的z变换为 z^(-n0) * X(z)。
这个性质表示，对离散时间序列进行向右或向左位移，相当于在z变换域中乘以一个因子 z^(-n0)。
延迟性质如果x[n]的z变换为X(z)，那么x[n - 1]的z变换为 z^(-1) * X(z)。
这个性质表示，对离散时间序列进行一阶延迟，相当于在z 变换域中乘以一个因子 z^(-1)。
如果x[n]的z变换为X(z)，那么a^n * x[n]的z变换为X(z/a)。
这个性质表示，对离散时间序列进行放缩操作，相当于在z 变换域中对变换函数进行放缩。
z变换的逆变换类似于傅里叶变换，z变换也有逆变换，可以将频域函数逆变换回时域函数。
如果X(z)是一个z变换，那么其逆变换x[n]可以通过下面的公式计算：x[n] = (1/2πj) * ∮(C) X(z) * z^(n-1) * dz其中，∮(C)表示沿着包围复平面单位圆的逆时针方向进行积分，j表示虚数单位。
z变换通俗理解
z变换通俗理解（最新版）目录1.引言2.什么是 z 变换3.z 变换的作用和意义4.z 变换的通俗理解5.结论正文1.引言在信号与系统领域，z 变换是一种重要的数学工具，它能帮助我们分析和处理数字信号。
对于初学者来说，z 变换可能显得有些抽象和难以理解。
本文将从通俗的角度出发，介绍 z 变换的概念、作用和意义，希望能帮助大家更好地掌握这一知识点。
2.什么是 z 变换z 变换是一种数学变换方法，它将时间域（或空间域）的信号转换到频率域。
具体来说，z 变换是将一个离散信号（或线性时不变系统）的离散时间域表示转换为复频域表示。
这种变换可以让我们更直观地分析信号的频率特性，从而更好地理解和处理信号。
3.z 变换的作用和意义z 变换在信号与系统领域具有广泛的应用。
首先，通过 z 变换，我们可以将复杂的时间域问题简化为简单的频域问题，从而降低问题的复杂度。
其次，z 变换可以让我们更直观地分析信号的稳定性和系统的稳定性。
此外，z 变换还可以用于数字信号处理、控制系统设计等领域。
4.z 变换的通俗理解要通俗地理解 z 变换，我们可以从以下几个方面来考虑：（1）将时间域信号转换为频域信号：z 变换实际上是将一个时间域信号（离散信号）转换为频域信号的过程。
这样做的好处是，我们可以更直观地看到信号在不同频率上的成分，从而更好地分析信号的特性。
（2）简化问题：通过 z 变换，我们可以将复杂的时间域问题转化为简单的频域问题。
例如，在信号与系统中，我们常用 z 变换来分析系统的稳定性。
通过 z 变换，我们可以将系统的稳定性问题简化为判断系统的极点是否在单位圆内。
（3）可视化：z 变换还可以帮助我们可视化信号的频率特性。
通过绘制 z 平面上的频率响应，我们可以直观地看到信号的频率成分以及它们的相对大小。
5.结论总的来说，z 变换是一种重要的数学工具，它能帮助我们更好地分析和处理信号。
通过将时间域信号转换为频域信号，z 变换可以让我们更直观地了解信号的特性，从而更好地理解和处理信号。
z变换通俗理解
z变换通俗理解摘要：1.Z 变换的定义与背景2.Z 变换的性质3.Z 变换的应用领域4.Z 变换与其他变换的关系5.Z 变换的局限性及发展前景正文：Z 变换是一种在控制工程、信号处理等领域广泛应用的数学变换方法。
它可以将时域信号转换为频域信号，从而更好地分析和处理信号。
1.Z 变换的定义与背景Z 变换是一种拉普拉斯变换的广义形式，用于解决离散时间信号的处理问题。
Z 变换的基本思想是将离散时间信号转换为一个复变量函数，使得该函数在复平面上具有解析性。
2.Z 变换的性质Z 变换具有以下几个重要性质：（1）线性性：Z 变换满足线性组合的性质；（2）可逆性：存在逆Z 变换，可以将频域信号转换回时域信号；（3）移位性：Z 变换结果与原始信号的移位关系；（4）尺度变换性：Z 变换结果与原始信号的尺度变换关系。
3.Z 变换的应用领域Z 变换在控制工程、信号处理、通信系统等领域具有广泛应用。
例如，在控制系统稳定性分析、数字滤波器设计、信号调制与解调等方面，Z 变换都是重要的分析工具。
4.Z 变换与其他变换的关系Z 变换与傅里叶变换、拉普拉斯变换等数学变换方法有密切关系。
Z 变换可以看作是离散时间信号的拉普拉斯变换，而傅里叶变换则是连续时间信号的拉普拉斯变换。
在一定条件下，Z 变换可以转换为傅里叶变换或拉普拉斯变换。
5.Z 变换的局限性及发展前景尽管Z 变换在许多领域具有广泛应用，但它仍然存在一些局限性，如对于非线性系统、非平稳信号的处理能力较弱。
为了解决这些问题，研究者们不断提出新的变换方法，如W 变换、H 变换等。
常见信号的z变换
常见信号的z变换
什么是傅里叶变换？傅里叶变换（Fourier transform）是数学中
一种函数转换的工具，它可以将复杂的信号变换为较低复杂度的信号，从而更容易理解和分析。
z变换（Z-transform）是从傅里叶变换演化
而来的数学方法，它可用于在时域和频域之间互换信号，并且可用来
对多种常见信号进行深入分析。
z变换可用于分析常见信号的波形，比如正弦波、方波、三角波、
锯齿波等。
z变换可以根据这些波形的特性，求出傅里叶变换的系数，
这些系数就是描述该信号的能量谱的振幅的参数。
例如，正弦波具有
一个高频组成部分，而z变换可以求出这个波形的频率及其相应的振幅。
z变换还可以用来测量和滤波信号，它可以用来处理各种不同的信号，例如步进响应、单位冲击响应等，也可以通过修改系数来改变信
号的响应曲线。
由于z变换的抽象性和灵活性，因此它可以应用于很
多数字信号处理（DSP）领域中，如通信、调制解调、数据信号的处理、语音识别等。
另外，z变换还可以用于时变信号的处理，例如声音信号的处理，
这是因为z变换可以在时域和频域之间进行变换，并且可以通过它来
分析周期性和非周期性信号，从而更好地分析和处理接收到的信号。
总而言之，z变换可以用于对多种常见信号的深入分析，它使得对常见
信号的处理变得更加简单快捷。
第八章z变换
Z变换的收敛域
级 数 收 敛 的 充 分 条 件 ：
x(n)z-n
n=-
(1)比值判定法：设一个正项级数an , n=- 令其lni m aann+1 则当1时，级数收敛； 当1时，级数发散。
则 X ( z ) Z 1 x (n )=1 X ( z ) zn 1 d z 2j C
其 中 C是 包 围X(z)zn-1所 有 极 点 的 逆 时 针 闭 合 路 线
二、求逆Z变换方法
逆Z变换
1 ) 围 线 积 分 法 ： 借 助 复 变 函 数 的 留 数 定 理
X ( z ) Z 1 x ( n ) =R e s X ( z ) z n 1
二、 典型序列的Z变换
(n)
1 单 位 样 值 序 列 ( n )Z 1
1
2 单 位 阶 跃 序 列 u (n )Z z , z1
z1
0
n
u (n)
1
3 斜 变 序 列 n u (n )Z zz12 , z1 0
n
典型序列的Z变换
4 单 边 指 数 序 列 a n u ( n ) Z z
则 该 级 数 收 敛 .其 中 R x10,R x2< . 可 见 ,
双 边 序 列 的 收 敛 域 是 以 半 径 为 R x 1 和 R x 2 之 间 的 圆 环 部 分 .
作业
P103 8-1，8-2，8-3，8-12
第四节 逆z变换
一、逆Z变换
逆Z变换定义：
Z变换
收敛域
x(n) = anu(n) + bnu(−n) 对双边序列
根据右边序列的结论，要求
z > a
Z的 虚轴 |a| |b|
根据左边序列的结论，要求
z < b
Z的 实轴
收敛域
故当 a < z < b 时收敛
9.5 逆Z变换
1、长除法
z X ( z) = 例：求 ( z −1)2 的逆变换 x(n)
1 z [1 − ( ) N ] z = z −1
N →∞ N →∞
，
等比无穷序列要收敛，要求后项与前项的比值的 模必须小于 1，即要求 | z |> 1 ，有：
X (z) = z z −1
3) 斜线信号： x ( n ) = nu ( n ) ， 根据： n = 0 结果）
z −1 求导： 将等式两边分别对
nx (n ) 的 Z 变换为 − z
d [ X ( z )] dz
4、初值定理
若 x (n ) 的 Z 变换为 X ( z ) 则：
x ( 0 ) = lim X ( z )
z→∞
5、终值定理
若 x (n ) 的 Z 变换为 X ( z ) 则：
lim x ( n ) = lim [( z − 1) X ( z )]
n = −∞
x(n) z − n ∑
3、典型序列的Z变换
1）离散冲激信号： δ (n )
X ( z ) = ∑ δ (n) z −n = 1
n=0 ∞
2）阶跃信号： u (n )
X ( z ) = ∑ z −n
n=0 ∞
，采用等比序列求和公式
X (z) =
∑ u (n) z
z 变换 通俗解释
z 变换通俗解释
Z 变换是一种数学变换，用于将离散时间信号从时域（时间域）转换到Z 域（复频域）。
它在信号处理、控制系统和通信系统等领域中具有广泛的应用。
下面是一个通俗的解释：
想象你有一个离散的信号，就像一系列按时间顺序排列的数字。
这些数字可以代表电压、电流、压力或任何其他可以被测量或采样的物理量。
Z 变换的目标是找到一种方法，将这个离散时间信号表示为另一种形式，以便更容易分析和处理。
Z 域是一个复平面，其中Z 是一个复数。
复数由实数部分和虚数部分组成，可以表示为Z = x + jy，其中x 是实数部分，y 是虚数部分。
通过Z 变换，每个时间点上的信号值都被转换为Z 域中的一个复数。
这个复数的实部和虚部分别代表了信号在该时间点的某些特性。
Z 变换的一个重要好处是，它允许我们对信号进行数学操作和分析，而不仅仅局限于时间域。
在Z 域中，我们可以使用各种数学工具和技巧来处理信号，例如滤波、卷积、频率分析等。
通过将信号从时域转换到Z 域，我们可以更轻松地研究信号的频率内容、系统的稳定性以及其他与信号处理相关的特性。
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10.1 Z变换 10.2 Z逆变换 10.3 Z变换求差分方程 10.4 脉冲传递函数 10.5 有零阶保持器的开环脉冲传 递函数 10.6 闭环脉冲传递函数 10.7 脉冲系统的稳定性分析
10.1 Z变换
10.1.1 采样器和保持器
普通的采样器每间隔T秒钟开关闭合一次，使输入信 号通过一次，即采样一次。
x*(t) x* (t) x(t) T (t) x(t) (t kT) k
在控制系统和工程实际应用中t<0时信号都为零 即 x(t) 0 ( t < 0 )
因此
x* (t) x(t) (t kT) k 0 x(0) (t) x(T ) (t T ) x(2T ) (t 2T )
10.2 Z逆变换
确定离散控制系统时间响应要进行Z逆变换 z逆变换记
Z 1[ X (z)] x*(t)
显然，z逆变换求出的是采样信号x*(t)，而不 是连续信号x(t).
10.2.1 逆变换公式
已知Z变换为X(z)，则可以证明在t=kT瞬时的采样函数值 x(kT)，可以用下式来确定。
x(kT) 1 X (z)z k1dz
x(t)
x* (t)
x(t)
T x* (t)
0 1T 2T 3T 4T t
0 1T 2T 3T 4T t
采样器的功能是将连续信号转换成发生在采样瞬时刻 0，T，2T，3T，…的一连串脉冲信号，
保持器：能够将采样信号转换成连续信号，这个连续信 号近似地重现采样器上的信号.
最简单的零阶保持器，它能将采样信号转变成在两个连 续采样瞬时之间保持常量的信号。
2j S
等号右边的积分可按留数定理来确定，其中S表示包围
X (z)z k 1全部极点的封闭曲线，即
x(kT) 1 X (z)z k1dz
2j S
X (z)z k 1 极点处的留数
10.2.2 幂级数法求Z逆变换
X(z)一般可以表示为 两个有理多项式之比
X (z)
bo zm ao zn
G(z) G1 (z)G2 (z) Gn (z)
b. 串联环节之间没有理想开关
G(z) = G 1G 2 (z)
xi (t(s) Xi (z)
x01(t)
G 2 (s)
xo*(t) Xo (s)
设 G(s) G1 (s)G2 (s) 则开环脉冲传递函数为
x* (t) 0.5 (t T ) 0.75 (t 2T ) 0.875 (t 3T ) 0.9375 (t 4T )
10.2.3 部分分式展开法
将z变换函数X(z)展开成部分分式之和，然后查z变换
表，求相应的x*(t)。
考虑到z变换表中，X(z)在其分子上普遍有因子z，所 以应将 X(z)/z 展开成部分分式，然后将所得结果的每一 项都乘以z，即得X(z)的部分分式。
例 已知某系统的传递函数为 求系统的脉冲传递函数。
G(s) 10 s(s 10)
解： 将G(s)展开成部分分式之和得
G(s) 1 1 s s 10
查表得
z
z
G(z)
z 1 z e10T
2.串联开环系统的脉冲传递函数
a. 串联环节之间有理想开关
G(z) G 1 (z)
xo(t)
保持器
0 1T 2T 3T 4T t
-3T -2T -T
图示为理想的单位脉冲序列 T (t)
0 T 2T 3T t
T (t) (t kT) k
采样器可以看成是一个调制器，输入量作为调制信号， 而单位脉冲串可以作为载波信号
调制过程可以表示为
T(t)
x(t) 调制器
例求
X (z)
0.5z
(z 1)( z 0.5)
的逆变换。
解 先将 X(z)/z 展开成部分分式
X (z)
0.5
1 1
z (z 1)( z 0.5) z 1 z 0.5
所以
X (z) z z z 1 z 0.5
查z变换表
0.693 t
x(t) 1(t) e T
b1zm1 a1zn1
bm an
(n m)
对X(z)直接做长除法，用分母去除分子，并将商按z-1 的幂次排列
X (z) Co C1z 1 C2 z 2 Cn z n Cn z n n0
上式的z反变换为
x*(t) Co (t) C1 (t T ) C2 (t 2T ) Cn (t nT )
两端取Z变换得
(ao a1z 1 a2 z 2 an1z n1 an z n ) X o (z) (bo b1z 1 b2 z 2 bm1z m1 bm z m ) X i (z)
故离散控制系统的传递函数为
G(z) X o (z) bo b1 z 1 b2 z 2 bm1 z m1 bm z m X i (z) ao a1 z 1 a2 z 2 an1 z n1 an z n
Z[x2 (t)] X 2 (z)
则
Z[a1x1 (t) a2 x2 (t)] a1 X1 (z) a2 X 2 (z)
2.初值定理
设函数x(t)的z变换为X(z)，并有极限 lim X (z) 存在 z
则 x(0) lim X (z) z
3. 终值定理 x() lim[X (z)(z 1)]
查z变换表， 1 s
的z变换为
z z 1
1 s 1 的z变换为
z z eT
X (z) Z[x(t)] z z
z 1 z eT
z(1 eT )
(z 1)(z eT )
10.1.3 留数定理求Z变换
10.1.4 Z变换的性质
1. 线性定理
设 Z[x1(t)] X1(z)
例 10-22 求下列差分方程的解
x(k 2) 3x(k 1) 2x(k) u(k)
式中
x(k) 0 (k 0)
u(k
)
0 1
解 k 1 时代入方程得 x(1) 0
k 0 k 0
对差分方程进行Z变换，并考虑初始条件得
(z 2 3z 2)X (z) U (z)
Z[x(t)] Z[x*(t)] X (z) x(kT)zk k 0 x(0)z0 x(T )z1 x(2T )z2
求Z变换的一般步骤为
1) 先求采样信号x* (t) 的Laplace变换 X * (s) ，即
X * (s) x(kT)ekTs k 0
G(z)
X o (z) Xi (z)
Z[G1 (s)G2 (s)] G1G2 (z)
G1G2 (z) 表示 G1(s)G2 (s) 先乘积后进行z变换。
两个线性环节相串联的开环系统，且环节之间无理想 开关隔开时，开环系统的脉冲传递函数等于两个环节 传递函数先乘积后再进行Z变换。 显然，当有n个环节相串联，且环节之间无理想开关隔 开时，此时系统开环脉冲传递函数等于n个环节传递函 数先乘积后再进行Z变换，即
U (z) u(k)z k 1 k 0
故 X (z)
1
1 1
z 2 3z 2 z 1 z 2
又 Z[x(k 1)] zX (z) zx(0) zX (z)
注意 x(0)=0
Z[x(k 1)] z z z 1 z 2
令 z esT 并将X*(s)改写成X(z)，则
X (z)
X *(s) 1 s ln z
X
*
(
1 T
ln
z)
x(kT)z k
T
k 0
称X(z)为 x* (t) 的z变换， 并以 Z[x* (t)] 表示 x* (t) 的z变换
因为在z变换中只考虑瞬时的信号，所以x(t)的z变换 与x*(t)的z 变换结果相同，即
G 2 (z)
xi (t) Xi (s)
xi*(t) G 1 (s) x01(t) Xi (z)
x*01(t) X01(z)
G 2 (s)
xo* (t) Xo (s)
X o1 (z) G1 (z) X i (z)
X o (z) G2 (z) X o1 (z)
G1 (z), G2 (z) 分别为线性环节 G1 (s) 和 G2 (s)
G(z) 称为脉冲传递函数。脉冲传递函数的求法如下
1. 求出系统的传递函数G(s);
2. 求出脉冲响应函数
xo (t), {xo (t) L1[G(s)]}
3. 计算
G(z) xo (kT)z k k 0
或求出系统传递函数G(s)后，将G(s)展开成部分分式之和， 查Laplace变换与Z变换对应表，即可得到系统的脉冲传递 函数。
Cn(n=0，1，2…..）即为x(t)在采样时刻 t=nT 时的值 x(nT).
例10-18 求 X (z)
0.5z
的逆变换。
(z 1)( z 0.5)
解 X (z)
0.5z
0.5z
(z 1)( z 0.5) z 2 1.5z 0.5
利用综合除法得
X (z) 0.5z 1 0.75 z 2 0.875 z 3 0.9375 z 4
Z[1k ] z ; Z[2k ] z
z 1
z2
x(k 1) 1 2k (k 0,1,2,