Z变换

Z[x(t)] Z[x*(t)] X (z) x(kT)zk k 0 x(0)z0 x(T )z1 x(2T )z2
求Z变换的一般步骤为
1) 先求采样信号x* (t) 的Laplace变换 X * (s) ，即

X * (s) x(kT)ekTs k 0

U (z) u(k)z k 1 k 0
故 X (z)
1
1 1
z 2 3z 2 z 1 z 2
又 Z[x(k 1)] zX (z) zx(0) zX (z)
注意 x(0)=0
Z[x(k 1)] z z z 1 z 2
例求
X (z)
0.5z
(z 1)( z 0.5)
的逆变换。
解 先将 X(z)/z 展开成部分分式
X (z)
0.5
1 1
z (z 1)( z 0.5) z 1 z 0.5
所以
X (z) z z z 1 z 0.5
查z变换表
0.693 t
x(t) 1(t) e T
Z[1k ] z ; Z[2k ] z
z 1
z2
x(k 1) 1 2k (k 0,1,2,
故
x(k) 1 2k1 (k 1,2,3
10.4 脉冲传递函数
1. 脉冲传递函数的定义与求解
离散控制系统的瞬态过程，其通用差分方程为
ao xo (k) a1xo (k 1) an1xo (k n 1) an xo (k n) bo xi (k) b1xi (k 1) bm1xi (k m 1) bm xi (k m)
Z[x2 (t)] X 2 (z)
则
Z[a1x1 (t) a2 x2 (t)] a1 X1 (z) a2 X 2 (z)
2.初值定理
设函数x(t)的z变换为X(z)，并有极限 lim X (z) 存在 z
则 x(0) lim X (z) z
3. 终值定理 x() lim[X (z)(z 1)]
G(z) 称为脉冲传递函数。脉冲传递函数的求法如下
1. 求出系统的传递函数G(s);
2. 求出脉冲响应函数
xo (t), {xo (t) L1[G(s)]}
3. 计算

G(z) xo (kT)z k k 0
或求出系统传递函数G(s)后，将G(s)展开成部分分式之和， 查Laplace变换与Z变换对应表，即可得到系统的脉冲传递 函数。
两端取Z变换得
(ao a1z 1 a2 z 2 an1z n1 an z n ) X o (z) (bo b1z 1 b2 z 2 bm1z m1 bm z m ) X i (z)
故离散控制系统的传递函数为
G(z) X o (z) bo b1 z 1 b2 z 2 bm1 z m1 bm z m X i (z) ao a1 z 1 a2 z 2 an1 z n1 an z n
例 10-22 求下列差分方程的解
x(k 2) 3x(k 1) 2x(k) u(k)
式中
x(k) 0 (k 0)
u(k
)

0 1
解 k 1 时代入方程得 x(1) 0
k 0 k 0
对差分方程进行Z变换，并考虑初始条件得
(z 2 3z 2)X (z) U (z)
G(z)

X o (z) Xi (z)

Z[G1 (s)G2 (s)] G1G2 (z)
G1G2 (z) 表示 G1(s)G2 (s) 先乘积后进行z变换。
两个线性环节相串联的开环系统，且环节之间无理想 开关隔开时，开环系统的脉冲传递函数等于两个环节 传递函数先乘积后再进行Z变换。 显然，当有n个环节相串联，且环节之间无理想开关隔 开时，此时系统开环脉冲传递函数等于n个环节传递函 数先乘积后再进行Z变换，即
2) 将 z eTs代入 X *(s)得Z[x(t)]。
例1. 试求单位阶跃函数的z变换。
解：

Z[1(t)] 1(kT)zk 1 z1 z2
z
k 0
z 1
例2. 求函数 X (s) 1 s(s 1)
的z变换 .
解: X (s) 1 1 1 s(s 1) s s 1
的脉冲传递函数， X o (z) G1 (z)G2 (z) X i (z)
所以串联环节的脉冲传递函数为
G(z)

X o (z) Xi (z)
G1 (z)G2 (z)
被理想开关隔断的两个串联环节的开环系统，其脉冲传递 函数等于两个串联环节各自的脉冲传递函数的乘积。
这个结论可以推广到有n个理想开关隔开的n个环节串联的开 环系统，这时，整个系统的开环脉冲传递函数等于每个环节 的脉冲传递函数的乘积， 即
2j S
等号右边的积分可按留数定理来确定，其中S表示包围
X (z)z k 1全部极点的封闭曲线，即
x(kT) 1 X (z)z k1dz
2j S
X (z)z k 1 极点处的留数
10.2.2 幂级数法求Z逆变换
X(z)一般可以表示为 两个有理多项式之比
X (z)

bo zm ao zn
G 2 (z)
xi (t) Xi (s)
xi*(t) G 1 (s) x01(t) Xi (z)
x*01(t) X01(z)
G 2 (s)
xo* (t) Xo (s)
X o1 (z) G1 (z) X i (z)
X o (z) G2 (z) X o1 (z)
G1 (z), G2 (z) 分别为线性环节 G1 (s) 和 G2 (s)
例 已知某系统的传递函数为 求系统的脉冲传递函数。
G(s) 10 s(s 10)
解： 将G(s)展开成部分分式之和得
G(s) 1 1 s s 10
查表得
z
zቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
G(z)
z 1 z e10T
2.串联开环系统的脉冲传递函数
a. 串联环节之间有理想开关
G(z) G 1 (z)
z 1
4 . 实数位移定理
设x(t)的Z变换为X(z)，则
滞后定理
Z[x(t kT)] zk X (z)
超前定理
k 1
Z[x(t kT)] zk [ X (z) x(mT )zm ] m0
5. 复数位移定理
设 x(t)的Z变换为X(z)，则
Z[x(t)e at ] X (ze aT )
b1zm1 a1zn1
bm an
(n m)
对X(z)直接做长除法，用分母去除分子，并将商按z-1 的幂次排列

X (z) Co C1z 1 C2 z 2 Cn z n Cn z n n0
上式的z反变换为
x*(t) Co (t) C1 (t T ) C2 (t 2T ) Cn (t nT )
x(t)
x* (t)
x(t)
T x* (t)
0 1T 2T 3T 4T t
0 1T 2T 3T 4T t
采样器的功能是将连续信号转换成发生在采样瞬时刻 0，T，2T，3T，…的一连串脉冲信号，
保持器：能够将采样信号转换成连续信号，这个连续信 号近似地重现采样器上的信号.
最简单的零阶保持器，它能将采样信号转变成在两个连 续采样瞬时之间保持常量的信号。
x* (t) 0.5 (t T ) 0.75 (t 2T ) 0.875 (t 3T ) 0.9375 (t 4T )
10.2.3 部分分式展开法
将z变换函数X(z)展开成部分分式之和，然后查z变换
表，求相应的x*(t)。
考虑到z变换表中，X(z)在其分子上普遍有因子z，所 以应将 X(z)/z 展开成部分分式，然后将所得结果的每一 项都乘以z，即得X(z)的部分分式。

x*(t) x* (t) x(t) T (t) x(t) (t kT) k
在控制系统和工程实际应用中t<0时信号都为零 即 x(t) 0 ( t < 0 )
因此

x* (t) x(t) (t kT) k 0 x(0) (t) x(T ) (t T ) x(2T ) (t 2T )
查z变换表， 1 s
的z变换为
z z 1
1 s 1 的z变换为
z z eT
X (z) Z[x(t)] z z
z 1 z eT
z(1 eT )
(z 1)(z eT )
10.1.3 留数定理求Z变换
10.1.4 Z变换的性质
1. 线性定理
设 Z[x1(t)] X1(z)
x(kT) (t kT)

x(kT) (t kT) k 0
10.1.2 根据定义求Z变换
z变换的定义


x*(t) x(t) (t KT ) x(kT) (t KT )
k 0
k 0
进行Laplace变换

X * (s) L[x* (t)] x(kT)ekTs k 0
10.2 Z逆变换
确定离散控制系统时间响应要进行Z逆变换 z逆变换记
Z 1[ X (z)] x*(t)
显然，z逆变换求出的是采样信号x*(t)，而不 是连续信号x(t).
10.2.1 逆变换公式
已知Z变换为X(z)，则可以证明在t=kT瞬时的采样函数值 x(kT)，可以用下式来确定。
x(kT) 1 X (z)z k1dz
第10章 离散控制系统
10.1 Z变换 10.2 Z逆变换 10.3 Z变换求差分方程 10.4 脉冲传递函数 10.5 有零阶保持器的开环脉冲传 递函数 10.6 闭环脉冲传递函数 10.7 脉冲系统的稳定性分析
10.1 Z变换
10.1.1 采样器和保持器
普通的采样器每间隔T秒钟开关闭合一次，使输入信 号通过一次，即采样一次。
xo(t)
保持器
0 1T 2T 3T 4T t
-3T -2T -T
图示为理想的单位脉冲序列 T (t)
0 T 2T 3T t

T (t) (t kT) k
采样器可以看成是一个调制器，输入量作为调制信号， 而单位脉冲串可以作为载波信号
调制过程可以表示为
T(t)
x(t) 调制器
G(z) G1 (z)G2 (z) Gn (z)
b. 串联环节之间没有理想开关
G(z) = G 1G 2 (z)
xi (t) Xi (s)
xi*(t) G 1 (s) Xi (z)
x01(t)
G 2 (s)
xo*(t) Xo (s)
设 G(s) G1 (s)G2 (s) 则开环脉冲传递函数为
令 z esT 并将X*(s)改写成X(z)，则

X (z)

X *(s) 1 s ln z

X
*
(
1 T
ln
z)

x(kT)z k
T
k 0
称X(z)为 x* (t) 的z变换， 并以 Z[x* (t)] 表示 x* (t) 的z变换
因为在z变换中只考虑瞬时的信号，所以x(t)的z变换 与x*(t)的z 变换结果相同，即
故
x*
(t)

[1(t)

0.693 t
eT
] T
(t)
0.5 (t T ) 0.75 (t 2T ) 0.875 (t 3T ) 0.9375 (t 4T )
10.3 Z变换求差分方程
对于一个控制系统的差分方程，首先利用Z变换，将差 分方程变换为以z为自变量，X(z)为因变量的代数方程， 解出X(z)后再进行Z逆变换，即可得到x(k)的值。
Cn(n=0，1，2…..）即为x(t)在采样时刻 t=nT 时的值 x(nT).
例10-18 求 X (z)
0.5z
的逆变换。
(z 1)( z 0.5)
解 X (z)
0.5z

0.5z
(z 1)( z 0.5) z 2 1.5z 0.5
利用综合除法得
X (z) 0.5z 1 0.75 z 2 0.875 z 3 0.9375 z 4