三矢量的混合积.ppt

r Z3k ,
定理1.9.4
(arbrcr )
X1 X2
Y1 Y2
Z1 Z2
X 3 Y3 Z3
证明:
因为ar
r b
Y1 Y2
Z1
r i
Z1
Z2
Z2
X1
r j
X1
X2
X2
Y1
r k
Y2
所以,（ar
br） cv
Y1 Y2
Z1 Z2
X3
Leabharlann BaiduZ1 Z2
X1 X2
Y3
X1 X2
Y1 Y2
Z3
X 3 Y3 Z3
X1 Y1 Z1
X1 Y1 Z1 X 2 Y2 Z2
X 2 Y2 Z2
X 3 Y3 Z3
推论 三个矢量 ar , br , cv 共面的充要条件为
X1 Y1 Z1 X 2 Y2 Z2 0 X 3 Y3 Z3
思考：在仿射坐标系下以上二式成立否？
例2. 已知四面体ABCD的顶点坐标A(0, 0, 0), B(6, 0, 6),
y2 y1 y3 y1 y4 y1
z2 z1 z3 z1 z4 z1
式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.
例4
已知 (arbrcr ) 2 ，
计算[(a
b)
(b
c)]
(c
av且av bv
v b）
再证明(ar充brcr分) 性0“. 证”毕，.即已(arbrcr ) 0，求证:
知三个矢量共面.
首先,若
矢量ar与br共线，即
av
v b
0，结论显然成立.
以下设
av
v b
0.
由而垂又直(ar,barvcr所)bv以0三av及,矢av定量b义v a,得、bv（,ba所v、以bvc）,共矢cv面量 0
br）cv （ar
br） cv
a
ar
r b
b
2.定义
定义 1.9.1 设已知三个矢量 ar
、br
、cr
，数量
(
ar
r b
)
cr
称为这三个矢量的混合积，记为 (ar,br,cr)或(arbrcr) .
关于混合积的说明：
（1）矢量混合积的几何意义：
向(ar量brcr的) 混(合a积b) c是这样
a
即它们的符号也相同. 证毕. av
v b
v b
cv
cv
av
推论
(ar
r b)
cr
ar
r (b
cr )
因为
(ar
r b
)
cr
(arbrcr )
(brcrar )
ar
r (b
cr
)
例1
设三向量
ar ,
r b
, cr
满足
证明:试cr作由证数a三rar性矢积brbr量，ab得rbr、bcrcr(、arcbrccrrc共r)ar面ar(b0r0c,r,cr
1.9 三矢量的混合积
1.复习(数性积和矢性积)
数性积
av
v b
av
v b
cos
(av,
v b)
是一个数量.
矢量a
与 b的
矢性积为
ar
r b
是一个矢量.
|
ar
r b
||
ar
||
r b
|
sin
(其中 为a与b的夹角)
方向既垂直于
a，又垂直于
b
，且符合右手
系{a,b, ar
r b
}.
现在（考ar虑：br）（ cvar
b
c
的示一以个向数量a，、它b的、绝c对为值棱表的
a
b
平行六面体的体积.
(av
v b)
cv
av
v b
cv
cos
(av
v b,
cv)
3. 混合积的几何意义
| [abc] || a b c |
|
av
v b|
|
射影avbvcv |
S
h
V
ab
a
b
c
右手系时，(avbvcv) V a
b
h
c
b
S=|a b|
(arbrcr )共, (面brcr. ar只),证(cr明arb第r )一的组绝.对第值二都组等可于以以类似ar ,考br虑, cr. 为
棱(又因的因为平为轮行换(六a不rb面r改cr体)变,的(左br体cr右ar积手),,系(c即r)ar它br )们c的v具绝有对相值a同v相的等左.右手系bv,
AC 、 AD为棱的平行六面体的体积的六分之一.
V 1 [AB AC AD] 6
AB { x2 x1, y2 y1, z2 z1}
AC { x3 x1, y3 y1, z3 z1}
AD { x4 x1, y4 y1, z4 z1}
V
1 6
x2 x3
x1 x1
x4 x1
uuuv
B
AD {2，1，3}，
所以
606 V 1 4 3 0 1
6
2 1 3
例 3 已知空间内不在一平面上的四点
A( x1 , y1 , z1 )、B( x2 , y2 , z2 )、C ( x3 , y3 , z3 ) 、 D( x4 , y4 , z4 ), 求四面体的体积. 解 由立体几何知，四面体的体积等于以向量AB 、
a
左手系时，(avbvcv) V
c
3. 混合积的几何意义
| [abc] || a b c |
|
av
v b|
|
射影avbvcv
|
S
h
V
因此，三矢 a, b, c共面 其混合积 (abc) = 0
ab
h
c
b
a
定对当理值av1等.,9bv于.1, cv以三构av个,成b不v,右c共v手面为系的棱时矢的混量平合行av积,六bv为,面cv正体的数的混;体当合积积av,,的并bv,绝且cv
构成左手系时混合积为负数, 也就是有
(avbvcv) V , 1.
定理1.9.2 三向量a、b、c共面 (arbrcr ) 0.
证因共明为面:，三先 量求向证证量明a(必ar、br要bcr )性、c“0共.面”，，所即以已知av三个bv 矢cv，av,
v b,
cv
（因为由定义可知：av
v b
即
av,
v b,
av
v b
cv
cv都与av
v b
证毕.
三向量a、b、c共面 (arbrcr ) 0.
4.混合积的性质
定理1.9.3 (arbrcr ) (brcrar ) (crarbr ) (brarcr ) (crbrar ) (arcrbr )
证明: 三个矢量共面时,结论显然成立. 以下设它们不
C(4, 3, 0), D(2, -1, 3), 求它的体积.
uuuv uuuv uuuv
D
解: 它的体积等于以 AB, AC, AD
为棱的平行六面体体积的六分之一
即，V
1
uuuv uuuv uuuv (AB, AC, AD)
C
uuuv 6 而，AB {6，06}，
uuuv AC
A
{4，3，0}，
两边与
) (crarcr
)
所以, (arbrcr ) 0，即三矢量 a、b 、c共面.
5.矢量混合积在直角坐标系下的分量表示
•
设直角坐标系
{O;
v i,
v j,
v k},
ar
r X1i
r Y1 j
r Z1k ,
v rr r b X 2i Y2 j Z2k ,
cv
r X 3i
Y3
r j