数的整除性

三．求多个数的最大公约数的方法之比较： 求多个数的最大公约数的方法之比较： 析因子法 1008 = 2·2·2·2·3·3·7 1260 = 2·2·3·3·5·7 882 = 2·3·3·7·ห้องสมุดไป่ตู้ 1134 = 2·3·3·3·3·7 （1008，1260，882，1134）= 2·3·3·7 = 126 ， ， ， ） 欧几里得算法
49 ÷ 7 91 ÷ 7
→
7 13
二．欧几里得算法： 欧几里得算法： 原本》 《原本》第7卷 命题 1 ： 卷 设有不等二数，从大数中连续减去小数，直至余数小于小数， 设有不等二数，从大数中连续减去小数，直至余数小于小数，再 从小数中连续减去余数，直至余数小于该余数，如此继续， 从小数中连续减去余数，直至余数小于该余数，如此继续，若余数总 是量不尽其前一个数， 则该二数互素。 是量不尽其前一个数，直至最后的余数为 1 ，则该二数互素。 原本》 《原本》第7卷 命题 2 ： 卷 已知两个不互素的数，求它们的最大公约数。 已知两个不互素的数，求它们的最大公约数。
更相减损法 1008 1260 882 “可半者半之” 504 可半者半之” 630 441 可半者半之 “以少减多” 以少减多” - 441 - 567 - 7×63 以少减多 × “更相减损” 更相减损” 63 63 63 更相减损 “求其等也” 求其等也” 2×63 求其等也 × （1008，1260，882，1134）= 126 ， ， ， ） 1134 567 -504 63
约分术曰：可半者半之，不可半者， • 数的整除性 副置分母子之数，以少减多，更相减损， 求其等也，以等数约之。 一．更相减损术 《原本》第7卷 命题 1 ： 设有不等二数，从大数中连续减 二．欧几里得算法 去小数，直至余数小于小数，再从小数中 连续减去余数，直至余数小于该余数，如 三．求多个数的最大公约数 此继续，若余数总是量不尽其前一个数， 直至最后的余数为 1 ，则该二数互素。
• 数的整除性 更相减损术： 一．更相减损术： 九章算术》 《九章算术》方田 约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之数， 约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少 减多，更相减损，求其等也，以等数约之。 减多，更相减损，求其等也，以等数约之。 98 实例： 实例：约分 182 49 (可半者半之 → 91 可半者半之) 可半者半之 (不可半者，副置分母、子之数)→91 49 不可半者，副置分母、子之数 不可半者 (以少减多，更相减损)→ 42 49 → 42 7 → 35 7 →‥‥‥ 14 7 以少减多，更相减损 ‥‥‥→ 以少减多 ‥‥‥ (求其等也 求其等也)→ 7 7 求其等也 (以等数约之 以等数约之)→ 以等数约之