数的整除性
专题02 数的整除性(含答案)
解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．
【例3】已知整数 能被198整除，求 ， 的值．
(江苏省竞赛试题)
解题思想：198=2×9×11，整数 能被9，11整除，运用整除的相关特性建立 ， 的等式，求出 ， 的值．
【例4】已知 ， ， 都是整数，当代数式7 ＋2 ＋3 的值能被13整除时，那么代数式5 ＋7 －22 的值是否一定能被13整除，为什么？
⑵若 =13， =2 012，从 经过1 999步到 ．不妨设向右跳了 步，向左跳了 步，则 ，解得 可见，它一直向右跳，没有向左跳．
⑶设 同时满足两个条件：① =0；② ＋ ＋ ＋…＋ =0．由于 =0，故从原点出发，经过( －1)步到达 ，假定这( －1)步中，向右跳了 步，向左跳了 步，于是 = － ， ＋ = －1，则 ＋ ＋ ＋…＋ =0＋( )＋( )＋…( )=2( ＋ ＋…＋ )－[( )＋( )＋…＋( )]=2( ＋ ＋…＋ )－ ．由于 ＋ ＋ ＋…＋ =0，所以 ( －1)=4( ＋ ＋…＋ )．即4| ( －1)．
且a＋b＋c＞14．设＋86＝222n考虑到是三位数，依次取n＝1，2，3，4.分别得出的可能值为136，358，580，802，又因为a＋b＋c＞14．故＝358．
8．设N为所求的三位“拷贝数”，它的各位数字分别为a，b，c(a，b，c不全相等)．将其数码重新排列后，设其中最大数为，则最小数为．故N＝－＝(1a－c)．
①若 | ， | ，则 | ；
②若 | ， | ，则 |( ± )；
③若 | ， | ，则[ ， ]| ；
④若 | ， | ，且 与 互质，则 | ；
⑤若 | ，且 与 互质，则 | ．特别地，若质数 | ，则必有 | 或 | ．
1.数的整除性
数的整除性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c整除。
性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
能被11整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。
例1在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？234，789，7756，8865，3728，8064。
例2从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。
例3六位数是6的倍数，这样的六位数有多少个？例4要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？1、能被3整除的最小三位数是（），能被5整除的最大三位数是（）2，又能被3整除，而且还是5的倍数的最小三位数是（）3、在自然数中，（）既不是质也不是合。
既是奇数又是质数的最小的数是（），（）既是质数又是合数。
4、用三个一位质数组成能同时被3和5整除的三位数，最大的是（），最小的数是（）。
4、自然数a除以自然数b，商是15，那么a和b的最大公约数是（）。
5、三个质数的最小公倍数是42，这三个质数是（）。
6、100以内同时能被3和7整除的最大奇数是（），最大偶数是（）。
1．6539724能被4，8，9，24，36，72中的哪几个数整除？2．个位数是5，且能被9整除的三位数共有多少个？3．一些四位数，百位上的数字都是3，十位上的数字都是6，并且它们既能被2整除又能被3整除。
数的整除性质技巧
数的整除性质技巧1.数的整除性质：1)若a整除b，b整除c，则a整除c。
（传递性）2)若a整除b且a整除c，则a整除b+c。
3)若a和b是正整数，且a整除b，那么a≤b。
4) 若a整除b，且c是任意整数，则a整除bc。
2.奇偶性质：1)若数a的个位数是偶数，则a整除22)若一个数是奇数，那么它的倍数一定是奇数。
3)若一个数是偶数，那么它的倍数一定是偶数。
3.除法性质：1) 若b整除a，且c是任意整数，则b整除ac。
2)若b整除a且b≠0，那么a除以b的商和余数唯一确定。
4.数位和性质：1)若数a的数位和是n，则a整除n。
2)若数a的数位和是9的倍数，那么a也是9的倍数。
3)若数a的数位和是3的倍数，那么a也是3的倍数。
5.数和运算性质：1)若a整除c且b整除c，则a+b整除c。
2)若a整除c且b整除c，则a-b整除c。
3)若a和b都整除c，则a+b也整除c。
4) 若a整除c且b整除c，则ax + by也整除c，其中x和y是任意整数。
6.乘法性质：1)若数a整除c且数b整除c，则a×b整除c。
2) 若数a整除bc且a和b互质，那么a整除c。
3)若数a整除b且数b整除a，则a和b的最大公约数等于其中的较小数。
7.倍数性质：1)若a整除b，并且b是a的倍数，那么a整除b的任意倍数。
2)一个数是另一个数的倍数时，它们的公倍数一定也是这个数的倍数。
8.整除和余数的关系：1)如果数a是数b的整数倍，那么a和b的余数相同。
2)如果数a和b除以数c的余数相同，那么a-b是c的倍数。
以上是一些常用的数的整除性质技巧，通过灵活运用这些技巧可以在解题过程中减少计算量，提高解题效率。
在实际运用中，我们可以根据题目的要求和条件选择相应的技巧，以求解问题。
同时，深入理解这些性质背后的原理，能够更好地理解数的整除关系，为数的整除性质的使用提供更大的帮助。
五年级奥数竞赛之数的整除性
五年级奥数竞赛之数的整除性数的整除性整除的基本性质:性质1 如果a、b都能被m整除，那么它们的和a，b与差a,b都能被m整除。
它可记为:若m/a，m/b，则m/(a?b)。
m能同时整除a、b，即m既是a的约数，又是b的约数，则称m是a、b的公约数。
如果两个数只有唯一的公约数1，则称这两个数互质。
例如1与12，4与5，5与9，3与25等。
性质2 如果a/m，b/m，且a和b互质，那么a和b的乘积也能整除m，即(a×b)/m。
例如:3/72，4/72，且3和4互质，那么3与4的乘积12/72。
性质2中，“两数互质”这一条件是必不可少的。
6/72，8/72，但6与8的乘积48不能整除72，这就是因为6与8不互质。
根据性质2，我们常常可有如下解题思路:要使m被a×b整除，而a与b互质，就可以分别考虑m被a整除与m被b整除。
性质3 (传递性)如果c/b，且b/a，那么c/a。
特别是若b/a，m为整数，则有b/(a×m)。
1、形如1993 1993…1993 520，且能被11整除的最小数是。
n个19932、所有数字都是2且能被66…6整除的最小自然数是多少,3、500名士兵排成一列横队，第一次从左到右1，2，3，4，5(1至5)名报数;第二次反过来从右到左1，2，3，4，5，6(1至6)报数，既报1又报6的士兵有多少名,4、一个六位数的各位数字都不相同。
最左边一个数字是3，且此六位数能被11整除。
这样的六位数中的最小的数是。
5、已知一个两位数恰好是它的两个数字之和的六倍，求这个两位数是 ,6、已知a、b、c、d是各不相同的数字，a，b，c,18，b，c，d,23，四位数badc被5除余3，求四位数abcd是。
7、用1,6六个数字组成一个六位数abcdef其中不同字母代表1,6中的数字，要求ab是2的倍数，abc是3的倍数，abcd能被5整除，zbcdef是6的倍数，求这样的六位数有个，各是。
数的整除性质
数的整除性质数的整除性质是数学中一个非常基础且重要的概念。
整除是指一个数能够被另一个数整除，即能够整除的数叫做除数，能够被整除的数叫做被除数。
在数的整除性质中，有一些基本的定理和规律，我们一起来探讨。
一、整除的定义在数学中，如果存在整数a和b，使得b乘以a得到的结果等于一个整数c，那么我们就说b能够整除c。
这个定义可以用符号表示为：b|c，读作“b整除c”。
例如，4能够整除12，我们可以表示为4|12。
二、整除的性质1. 传递性：如果a能够整除b，b能够整除c，那么a一定能够整除c。
例如，如果2能够整除4，4能够整除8，那么2一定能够整除8。
2. 自身整除：任何一个数都能够整除自身。
例如，5能够整除5。
3. 1整除任何数：1能够整除任何一个数。
例如，1能够整除8。
4. 零的整除性：任何一个数都能够整除0。
例如，任何数都能够整除0。
5. 任何一个数都能够整除1：任何一个数都能够被1整除。
例如，任何数都能够被1整除。
6. 如果a能够整除b，那么a能够整除b的倍数。
例如，如果3能够整除6，那么3一定能够整除6的倍数12。
7. 如果a能够整除b，那么b能够整除a的因数。
例如，如果2能够整除4，那么4一定能够整除2的因数。
三、整除和最大公因数最大公因数是指两个或多个整数中最大的能够整除这些整数的数。
最大公因数可以通过求解数的因数来得到。
例如，求解12和15的最大公因数，我们可以找到12的因数：1、2、3、4、6、12，15的因数：1、3、5、15，他们的公因数有1和3，其中最大的公因数是3。
最大公因数有以下的性质：1. 最大公因数是两个数的公因数中最大的一个。
2. 如果最大公因数为1，那么这两个数互质。
3. 如果最大公因数为a，那么这两个数的倍数中最大的一个为a。
四、整除与质数质数是指大于1的正整数，除了1和本身，没有其他的因数。
质数和整除有着密切的关系。
1. 质数只能被1和自身整除。
2. 任何一个数都可以被质数整除。
数的整除性质与应用
数的整除性质与应用数的整除性质是数学中的重要概念之一，它描述了一个数能够整除另一个数的性质。
在日常生活和数学应用中，我们经常用到数的整除性质来解决问题。
本文将对数的整除性质进行详细介绍，并探讨它在实际应用中的作用。
一、整数的除法定义与整除性质在数学中，我们将一个整数a除以另一个非零的整数b，如果能够得到一个整数q，使得a = bq，我们就称a能够被b整除，或者说b能够整除a，记作b|a。
整除性质主要包括以下几个方面：1. 传递性: 如果a能够被b整除，b能够被c整除，那么a也能够被c整除。
2. 常数倍数性质: 如果a能够被b整除，那么对于任意非零常数k，ka也能够被kb整除。
3. 相等性: 一个数能够被自身整除，即对于任意非零整数a，a能够被a整除。
4. 整除的基本性质: 如果a能够被b整除，那么a的所有倍数也能够被b整除。
二、整除的应用数的整除性质在实际应用中起着重要的作用，以下是一些常见的应用场景：1. 分数化简在分数的运算中，我们经常需要对分数进行化简。
利用整除性质可以帮助我们快速找到最大公约数，从而将分数化简为最简形式。
例如，对于分数12/18，我们可以通过求12和18的最大公约数来进行化简。
由于18能够整除12，所以12/18可化简为2/3。
2. 整数的因数与倍数在数的因数和倍数问题中，整除性质是一个重要的工具。
我们可以利用整除性质判断一个数是否是另一个数的因数，或者判断两个数是否互为倍数。
例如，判断一个数是否是另一个数的因数时，我们只需要通过整除性质将这两个数相除，如果余数为0，则该数是另一个数的因数。
3. 素数与合数素数是指只有1和自身两个因数的数，而合数是指除了1和自身之外还有其他因数的数。
利用整除性质，我们可以判断一个数是否为素数。
例如，判断一个数n是否为素数时，我们只需要将n与2到√n之间的所有整数相除，如果都无法整除，则n为素数。
因为如果n能够被大于√n的数整除，那么一定能够被小于√n的数整除。
数字的整除性
数字的整除性数字的整除性是数学中一个非常基础而重要的概念。
整除性是指一个数能够被另一个数整除，即没有余数。
在这篇文章中，我们将探讨数字的整除性及其相关性质。
了解整除性的概念和性质对于数学学习和解决实际问题都具有重要意义。
1. 整除性的定义整除性是数学中的基本概念之一。
对于两个整数a和b，如果存在一个整数c使得a = b * c，我们就称a能够被b整除，也可以表达为b是a的因数，而a是b的倍数。
例如，4能够被2整除，因为4 = 2 * 2。
2. 整除性的性质整除性具有一些重要的性质，这些性质为我们解决实际问题提供了方便。
2.1 传递性：如果a能够被b整除，而b能够被c整除，则a能够被c整除。
例如，如果4能够被2整除，2能够被1整除，那么4也能够被1整除。
2.2 唯一性：如果a能够被b整除，而a也能够被c整除，且b和c互质（最大公约数为1），则b能够被c整除。
例如，如果4能够被2整除，4也能够被3整除，而2和3互质，那么2能够被3整除。
2.3 整除与因数的关系：如果a能够被b整除，则b一定是a的因数。
例如，如果6能够被2整除，那么2是6的因数。
3. 整除的运用整除性在数学中广泛运用，并可以帮助我们解决实际问题。
3.1 判断整除性：通过判断一个数是否能够被另一个数整除，我们可以得出一些结论。
例如，如果一个数字的个位数为0、2、4、6、8中的任意一个，那么这个数一定能够被2整除。
3.2 最大公约数：整除性可以用来求解两个或多个数的最大公约数。
最大公约数是指两个或多个数中同时整除这些数的最大正整数。
例如，求解12和18的最大公约数，可以通过12能够被6整除，18能够被6整除，所以6是它们的最大公约数。
3.3 最小公倍数：整除性也可以用来求解两个或多个数的最小公倍数。
最小公倍数是指能够同时整除这些数的最小正整数。
例如，求解4和6的最小公倍数，可以通过4能够被2整除，6能够被2整除，所以2是它们的最小公倍数。
数的整除性质技巧
数的整除性质技巧1.末尾数字的整除性质：当一个数能被2整除时，它的末尾数字必定是0、2、4、6、8中的一位。
当一个数能被5整除时，它的末尾数字必须是0或5当一个数能被10整除时，它的末尾数字必须是0。
2.数字的整除性质：一个数能被3整除的条件是，该数的各个位上的数字之和能被3整除。
一个数能被9整除的条件是，该数的各个位上的数字之和能被9整除。
3.数的因数乘积性质：如果一个数能分解成两个整数的乘积，那么这两个整数一定是这个数的因数，并且这个数能同时被这两个因数整除。
例如，120可以分解成2和60的乘积，所以2和60是120的因数，并且120能同时被2和60整除。
4.数的因数关系性质：如果一个数能被另一个数整除，并且这两个数都是另一个数的因数，那么这两个数的倍数也是该数的因数。
例如，12能被3整除，而3是12的因数，那么6、9、15等都是12的因数。
5.因数的奇偶性质：如果一个数能整除另一个数，那么这个数的因数中也有整除关系。
例如，6能被2整除，2是6的因数，而2能被1整除，所以1也是6的因数，即6能整除16.数的整除性质的逆运算：如果一个数能被另一个数整除，那么这个被除数乘上一个整数得到的结果也能被另一个数整除。
例如，如果12能被3整除，那么12×2=24也能被3整除。
7.两个数的公因数性质：如果两个数有公因数，并且其中一个数能整除另一个数，那么这个因数也就同时是这两个数的公因数。
例如，6和9有公因数3，并且9能整除6，所以3是6和9的公因数。
8.最大公因数和最小公倍数的性质：两个数的最大公因数和最小公倍数可以通过两个数的乘积除以最大公因数来计算。
例如，72和90的最大公因数是18，最小公倍数是360，因为72×90/18=360。
通过掌握数的整除性质技巧，可以在解题过程中更加快速和准确地计算数的整除关系，从而提高解题效率。
同时，数的整除性质技巧也有助于理解数的因数与倍数之间的关系，进一步深化对数学概念的理解和运用。
小学数学中的数的整除性和能整除的规则
小学数学中的数的整除性和能整除的规则在小学数学中，数的整除性和能整除的规则是一个重要的概念。
理解数的整除性和能整除的规则对于学生建立起数学思维，提高解决问题的能力具有重要意义。
本文将从整除性的定义、整除性的判断方法和能整除的规则三个方面来介绍小学数学中与整除性相关的知识。
一、整除性的定义整除性是指一个数能够被另一个数整除，即没有余数。
例如，2能够整除4，因为4÷2=2，没有余数；而3不能整除5，因为5÷3=1余2。
在数学中，如果一个数能够被另一个数整除，我们称之为后者是前者的倍数，前者是后者的约数。
二、整除性的判断方法在判断一个数能否被另一个数整除时，有以下几种常用的方法。
1. 直接整除法：将被除数除以除数，若没有余数则能整除。
例如，判断36能否被9整除，可以进行36÷9=4，没有余数，所以36能被9整除。
2. 因数分解法：将被除数和除数进行因数分解，若除数的因数都是被除数的因数，则能整除。
例如，判断180能否被12整除，可以将180和12同时进行因数分解，得到180=2×2×3×3×5，12=2×2×3，由于12的因数都是180的因数，所以180能被12整除。
3. 整除规则：对于特定的除数，有一些整除规则可以帮助我们判断被除数是否能够整除。
例如，能被2整除的数一定是偶数，能被3整除的数各位上的数字和能被3整除，能被5整除的数个位数是0或5等。
三、能整除的规则在小学数学中，有一些常见的能整除的规则。
1. 2的整除规则：能被2整除的数一定是偶数。
偶数的个位数字一定是0、2、4、6或8，因为偶数是由2相加得到的，而2乘以这些数字都能得到偶数。
2. 3的整除规则：能被3整除的数各位上的数字和能被3整除。
例如，36的各位数字和为3+6=9，而9能被3整除，所以36能被3整除。
3. 4的整除规则：能被4整除的数的个位和十位数字组成的两位数能被4整除。
数的整除性质
数的整除性质数学中，整除是一个非常常见且重要的概念。
它指的是当一个数能够被另一个数整除时，我们就说前者是后者的倍数，后者是前者的约数。
在数的整除性质中，有一些基本的规律和性质。
本文将通过讨论这些性质来帮助读者更好地理解整除的概念和运用。
1. 整除的定义首先，我们需要明确整除的定义。
当一个数a能够被另一个数b整除，即a÷b的结果是整数时，我们说a能被b整除，记作b|a。
例如，4能被2整除，我们可以表示为2|4。
2. 余数和整除的关系在讨论整除性质之前，我们需要先了解余数和整除的关系。
如果一个数a能够被另一个数b整除，那么a与b的余数一定是0。
换句话说，如果a÷b的余数不等于0，那么a一定不能被b整除。
3. 奇偶性和整除接下来，我们来讨论奇偶性和整除的关系。
我们知道，如果一个数能够被2整除，那么它一定是偶数。
换句话说，能被2整除的数都是偶数。
而不能被2整除的数都是奇数。
这是因为如果一个数能被2整除，那么它一定能被2整除的倍数所整除。
4. 整除性质之间的关系在整除的性质中，有一些性质之间存在着一定的关系。
例如，如果一个数能够被另一个数整除，那么它一定能被后者的倍数所整除。
也就是说，如果b|a且c是b的倍数，那么c也能整除a。
这是因为如果b 能整除a，那么b的倍数也能整除a。
5. 相邻相邻数的整除性质是指在数轴上相邻的两个数之间可能存在的整除关系。
我们可以发现，如果一个数能够被邻近的两个整数整除，那么它一定能被它们的最大公约数所整除。
例如，如果一个数能够被3和5整除，那么它一定能被它们的最大公约数15所整除。
这个性质可以用来简化我们对数的整除性质的判断。
总结起来，整除是数学中一个重要的概念，它在很多数学问题中都扮演着重要的角色。
通过了解整除的定义，以及与余数、奇偶性、倍数和相邻数的关系，我们可以更好地理解整除性质，并运用它们解决各种数学问题。
数的整除性质对我们的日常生活也有一定的影响。
整除数的性质和规律
整除数的性质和规律一、整除性质1：如果数a、b都能被c整除，则(a+b)与(a-b)也能被c整除；2：如果数a能被数b整除，c为整数，则积ac也能被数b整除；3：如果数a能被数b整除，b又能被c整除，则a也能被数c整除；4：如果数a能同时被数b、c整除，且b，c互质，则a一定能被b和c的积整除；5：如果数a能被c整除，b不能被c整除，则(a+b)与(a-b)不能被c整除。
二、整除规律⑴、能被1整除的数：任何数都能被1整除。
⑵、能被2整除的数：末位是0,2,4,6或8的数,都能被2整除。
⑶、能被5整除的数一个整数的末位是0或5,则这个整数能被5整除个位上是0的数，既能被2整除，又能被5整除，而且还能被10整除。
⑷、能被3或9整除的数：一个数只要各数位数字的和是3或9的倍数，就一定能被3或9整除。
例如：判断3576，2549能不能被3整除3576：∵3＋5+7＋6=21（21是3的倍数）∴3576能被3整除。
2549：∵2＋5＋4＋9=20（20不是3的倍数）∴2549不能被3整除。
检验：2549÷3=849 (2)又如：判4212、5282能不能被9整除4212：∵4+2+1+2=9（9是9的倍数）∴4212能被9整除。
5282：∵5+2+8+2=17（17不是9的倍数）∴5282不能被9整除。
用上述方法不但能判断一个数能不能被3或9整除，而且还能判断不能整除时，余数是多少。
如：判断7485能不能被9整除7+4+8+5=24→2+4=6各位数字继续相加从结果看出：把7485的各位数字相加，最后所得的和是6不是9，所以7485这个数不能被9整除。
最后得出的6，就是7485除以9的余数。
即：7485÷9=831 (6)能被9整除的数，一定能被3整除。
能被3整除的数，却不一定能被9整除。
⑸、能被6整除的数既能被2整除，又能被3整除，也就是能被6整除的数。
①.首先看这个数是不是偶数，凡是偶数都能被2整除。
数的整除性及性质
数的整除性及性质数的整除性是指一个整数能够被另一个整数整除，即没有余数的除法运算。
整除性是数学中的一个重要概念，它有一些基本的性质。
性质1：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它也能够被这个整数的因子整除。
性质2：如果一个整数能够被两个整数整除，那么它也能够被这两个整数的公倍数整除。
性质3：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的倍数也能够被这个整数整除。
性质4：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数也能够被这个整数整除。
性质5：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数倍也能够被这个整数整除。
性质6：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数加减这个整数也能够被这个整数整除。
性质7：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数乘以这个整数也能够被这个整数整除。
性质8：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数除以这个整数也能够被这个整数整除。
性质9：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数次方也能够被这个整数整除。
性质10：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的倒数也能够被这个整数整除。
性质11：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数的倒数也能够被这个整数整除。
性质12：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数倍数的倒数也能够被这个整数整除。
性质13：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数加减这个整数的倒数也能够被这个整数整除。
性质14：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数乘以这个整数的倒数也能够被这个整数整除。
性质15：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数除以这个整数的倒数也能够被这个整数整除。
性质16：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数次方的倒数也能够被这个整数整除。
性质17：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数的次方也能够被这个整数整除。
五年级奥数—数的整除性(一)
数的整除性（一）数的整除性质主要有：（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。
（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。
（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（4）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（5）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
（7）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（8）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！（9）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（10）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
第26讲数的整除性
第26讲数的整除性第26讲数的整除性我们知道，如果整数a除以不为零的整数b，所得的商为整数，而余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a。
如果a能被b整除，则b是a的约数，a 是b的倍数。
前面我们学习了一些数的整除特征，下面是有关数的整除性质：(1)如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数就能被丙数整除。
例如，30能被6整除．6能被3整除，则30能被3整除。
(2)如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
例如，60能被5整除，40能被5整除，它们的和60+40=100及差60－40=20都能被5整除。
(3)如果一个数能被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。
例如，3和4是两两互质的数，24能分别被3和4整除，所以，24能被3和4的乘积整除。
(4)几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除．那么乘积也能被这个数整除。
例如：26能被13整除，26×29×38的积也能被13整除。
灵活运用以上整除性质，可以解决许多有关整除方面的问题。
总结与提示数的整除性质是数论的基本问题之一，在数学的多个领域都有着广泛的应用，这部分内容理论性强．内容抽象，题型丰富，方法多样，呈现出较强的解题技巧性。
解题时，要在认真理解题意的基础上，运用有关数的整除概念，理解题目思路，通过推理计算，找到问题的答案。
思考与练习1．有一个四位数3AA1，它能被9整除。
A所代表的数字是多少?2．在2008后面填上三个数字，组成一个七位数，使它分别能被3，4，5整除，这个七位数最大是多少?3．173□是一个四位数，王老师说：“我在这个数的□内中分别填入3个数字，所得到的3个四位数依次能被7，11，6整除。
”王老师填入的3个数字的和是多少?4．已知87654321□□这个十位数能被36整除，那么这个数个位上的数最小是多少?5．用0，1，3，5，7这五个数字中的四个，可以组成许多能被11整除的四位数．其中最小的一个四位数是多少?6．小敏在一张纸上写了一个五位数3A6B5，其中第2个数码和第4个数码看不清了，只知道这个五位数既是3的倍数，又是25的倍数。
深入理解数的整除性
深入理解数的整除性数的整除性是数学中一个重要的概念，它涉及到数的除法运算和整数的性质。
了解和理解数的整除性对于解决许多数学问题以及应用于实际生活中的计算和推理都至关重要。
本文将深入探讨数的整除性的概念、性质以及应用。
一、数的整除性的概念数的整除性指的是一个数能够被另一个数整除，即余数为零。
具体而言，如果有整数a和b，且b不等于零，那么a能够被b整除，记作a能够整除b，可以表示为b|a。
例如，6能够被3整除，可以表示为3|6。
二、数的整除性的性质1. 任何数都能被1整除：对于任何整数a，有1|a。
2. 任何数都能被自身整除：对于任何整数a，有a|a。
3. 如果a能够整除b，而b能够整除c，则a能够整除c：如果a|b 且b|c，那么a|c。
这是因为如果a能够整除b，意味着a是b的约数，而b能够整除c，意味着b是c的约数，那么a也是c的约数，即a能够整除c。
4. 如果a能够整除b且b能够整除a，则a与b的绝对值相等：如果a|b且b|a，那么|a|=|b|。
这是因为整除的定义要求余数为零，而如果a能够整除b且b能够整除a，意味着a和b的余数都为零，所以它们的绝对值相等。
5. 如果a能够整除b且b不等于0，则|a|小于等于|b|：如果a|b且b≠0，那么|a|≤|b|。
这是因为整除的定义要求余数为零，而b不等于0意味着b无限制地向左或向右扩大，所以|a|≤|b|。
6. 两个数的公约数的绝对值一定是它们的最大公约数的绝对值：如果d是a和b的公约数，那么|d|是a和b的最大公约数。
这是因为公约数是能够整除a和b的数，而最大公约数是所有公约数中绝对值最大的那个数。
三、数的整除性的应用1. 素数判定：利用整除性的性质，可以很容易地判断一个数是否为素数。
如果一个数只能被1和自身整除，即它的约数只有两个，那么它就是素数。
例如，判断17是否为素数，我们可以依次尝试用2、3、4、5、6、7、8、9、10等数去整除17，发现除了1和17本身之外，没有其他数能够整除17，所以17是素数。
数的整除性与素数判定
数的整除性与素数判定数学中，整除性和素数判定是两个重要的概念。
它们在数论和其他数学领域中有着广泛的应用和重要性。
本文将深入探讨数的整除性和素数判定的定义、性质以及应用。
一、数的整除性整除性是指一个数能够整除另一个数，也就是两个数相除的结果是整数。
在数学中，我们用符号“|”表示整除关系。
例如，如果整数a能够整除整数b，我们可以表示为a | b。
1. 整除性的定义和性质在数学中，如果一个整数a能够被整数b整除，那么我们可以说b 是a的一个因数，a是b的一个倍数。
换句话说，如果a | b，那么a是b的一个因数，b是a的一个倍数。
数的整除性有以下性质：- 对于任何整数a，a | a，即任何数都能整除自身。
- 对于任何整数a，1 | a，即任何整数都能被1整除。
- 对于任何整数a，a | 0，即0能够被任何整数整除。
2. 整除性的应用整除性在数学中有着广泛的应用。
它常用于简化分数、求最大公约数和最小公倍数。
在代数运算和方程求解中，整除性也起着重要的作用。
例如，当我们在化简分数时，可以利用整除性来进行约分操作，从而得到最简分数。
二、素数判定素数是指只能被1和自身整除的正整数，也称为质数。
素数判定是指判断一个给定的正整数是否是素数的过程。
素数判定在密码学和计算机科学中有着重要的应用。
1. 素数的定义和性质正整数p是素数的必要条件是，其除了1和自身外没有其他因数。
换句话说，正整数p如果只能被1和p整除，那么p是素数。
素数的性质如下：- 素数必须大于1。
1不是素数，因为它只有一个因数。
- 素数不能表示为其他两个较小整数的乘积。
- 素数的个数是无穷的。
2. 素数判定方法常见的素数判定方法有以下几种：- 试除法：从2开始，依次将待判定的数与2至其平方根范围内的整数相除，如果能整除，则该数不是素数；反之，该数是素数。
- 费马素性测试：利用费马小定理进行素数判定。
- 米勒-拉宾素性测试：基于费马素性测试的一种改进算法，用于判定更大的数是否是素数。
数的整除性
&&&教育1对1辅导讲义【基础知识】数的整除性（一）数的整除性质主要有：（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。
（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。
灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。
例1 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。
分析与解：分别由能被9，25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数。
因为9，25，8两两互质，由整除的性质（3）知，七位数能被 9×25×8=1800整除，所以七位数的个位，十位都是0；再由能被9整除的数的特征，推知首位数应填4。
这个七位数是4735800。
例2由2000个1组成的数111…11能否被41和271这两个质数整除？分析与解：因为41×271=11111，所以由每5个1组成的数11111能被41和271整除。
按“11111”把2000个1每五位分成一节， 2000÷5=400，就有400节，因为2000个1组成的数11…11能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根据整除的性质（1）可知，由2000个1组成的数111…11能被41和271整除。
例3 现有四个数：76550，76551，76552，76554。
能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12整除？分析与解：根据有关整除的性质，先把12分成两数之积：12=12×1=6×2=3×4。
课题：数的整除性【知识讲解】数的整除性（一）数的整除性质主要有：（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
数的整除特性
数的整除特性刘哲4（6）数学充满了乐趣，充满了神奇，也充满了无穷的奥秘。
下面我们一起来探讨一下2～13这些数字的整除特性。
1.末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除。
或者说所有的偶数都能被2整除。
2.各个数位上数字之和能被3（9）整除的整数必能被3（9）整除。
例如：345，3＋4＋5＝12，12能被3整除，即345就能被3整除。
12不能被9整除，所以345也不能被9整除。
3.末两位数字组成的两位数能被4整除的整数必能被4整除。
例如：1234512，末两位是12，能被4整除，所以1234512就能被4整除。
4.末位数字为0或5的整数必能被5整除。
5.一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除。
例如：123123，末三位数是123，末三位数以前的数字是123，123－123＝0，0能被7、11、13整除，所以123123就能被7（11或13）整除。
6.末三位数字组成的三位数能被8整除的整数必能被8整除。
例如：167912328，末三位是328，能被8整除，所以167912328就能被8整除。
7.末位数字为零的整数必能被10整除。
8.另外,一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差如果是11的倍数，那么这个整数也是11的倍数。
（一个整数的个位、百位、万位、…称为奇数位，十位、千位、百万位……称为偶数位。
）例如：4242，奇数位是44,偶数位是22，44－22＝22，22可以被11整除，所以4242可以被11整除。
9.至于6和12的整除特性,通过以上的原则判断即可各位数之和能被3整除的偶数能被6整除;各位数之和能被3整除且末两位数字组成的两位数能被4整除的整数能被12整除。
数的整除性与倍数的应用
数的整除性与倍数的应用在数学中，整除和倍数是两个基本的概念，它们在解决实际问题和推导数学定理中起着重要的作用。
本文将讨论数的整除性与倍数的应用，并探讨其在代数、几何和实际问题中的应用。
一、整除的定义和性质首先，我们来了解什么是整除。
对于两个整数a和b，如果存在整数q使得a=q*b，那么我们说a能被b整除，记作b|a。
例如，4能被2整除，即2|4。
整除运算具有以下性质：1. 任何整数a都能被1整除，即1|a。
2. 任何整数a都能被自身整除，即a|a。
3. 如果a能被b整除，且b能被c整除，那么a能被c整除，即若b|a且c|b，则c|a。
4. 如果a能被b整除，那么a的倍数也能被b整除，即若b|a，则b|ka（其中k为任意整数）。
整除关系是一种重要的数学关系，它在代数和数论中有广泛的应用。
通过研究整除性质，可以解决一类特殊的方程和证明数学定理。
二、倍数的定义和性质接下来，我们来了解倍数的概念。
对于两个整数a和b，如果存在整数q使得a=q*b，那么我们说a是b的倍数，记作b的倍数。
例如，8是4的倍数。
倍数的运算具有以下性质：1. 任何整数a都是1的倍数，即1是任何整数的倍数。
2. 0是任何整数的倍数，即0是任何整数的倍数。
3. 任何整数a都是自身的倍数，即a是a的倍数。
4. 如果a是b的倍数，且b是c的倍数，那么a是c的倍数，即若a 是b的倍数且b是c的倍数，则a是c的倍数。
5. 如果a是b的倍数，那么a也是b的因数的倍数。
例如，6是3的倍数，而3是2的倍数，因此6也是2的倍数。
倍数关系与整除关系密切相关，它们之间有着重要的联系和应用。
三、数的整除性与因数分解数的整除性和因数分解是解决实际问题和推导数学定理的重要方法之一。
在代数和数论中，经常需要对数进行因数分解，以便更好地理解和处理数学问题。
1. 整除性与方程求解整除性在方程求解中发挥着重要的作用。
例如，我们需要求解一个关于整数的一元方程，可以利用整除的性质来进行推导。
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• 数的整除性 更相减损术： 一．更相减损术： 九章算术》 《九章算术》方田 约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之数， 约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少 减多，更相减损，求其等也，以等数约之。 减多，更相减损，求其等也，以等数约之。 98 实例： 实例：约分 182 49 (可半者半之 → 91 可半者半之) 可半者半之 (不可半者，副置分母、子之数)→91 49 不可半者，副置分母、子之数 不可半者 (以少减多，更相减损)→ 42 49 → 42 7 → 35 7 →‥‥‥ 14 7 以少减多，更相减损 ‥‥‥→ 以少减多 ‥‥‥ (求其等也 求其等也)→ 7 7 求其等也 (以等数法之比较： 求多个数的最大公约数的方法之比较： 析因子法 1008 = 2·2·2·2·3·3·7 1260 = 2·2·3·3·5·7 882 = 2·3·3·7·7 1134 = 2·3·3·3·3·7 （1008，1260，882，1134）= 2·3·3·7 = 126 ， ， ， ） 欧几里得算法
更相减损法 1008 1260 882 “可半者半之” 504 可半者半之” 630 441 可半者半之 “以少减多” 以少减多” - 441 - 567 - 7×63 以少减多 × “更相减损” 更相减损” 63 63 63 更相减损 “求其等也” 求其等也” 2×63 求其等也 × （1008，1260，882，1134）= 126 ， ， ， ） 1134 567 -504 63
49 ÷ 7 91 ÷ 7
→
7 13
二．欧几里得算法： 欧几里得算法： 原本》 《原本》第7卷 命题 1 ： 卷 设有不等二数，从大数中连续减去小数，直至余数小于小数， 设有不等二数，从大数中连续减去小数，直至余数小于小数，再 从小数中连续减去余数，直至余数小于该余数，如此继续， 从小数中连续减去余数，直至余数小于该余数，如此继续，若余数总 是量不尽其前一个数， 则该二数互素。 是量不尽其前一个数，直至最后的余数为 1 ，则该二数互素。 原本》 《原本》第7卷 命题 2 ： 卷 已知两个不互素的数，求它们的最大公约数。 已知两个不互素的数，求它们的最大公约数。
约分术曰：可半者半之，不可半者， • 数的整除性 副置分母子之数，以少减多，更相减损， 求其等也，以等数约之。 一．更相减损术 《原本》第7卷 命题 1 ： 设有不等二数，从大数中连续减 二．欧几里得算法 去小数，直至余数小于小数，再从小数中 连续减去余数，直至余数小于该余数，如 三．求多个数的最大公约数 此继续，若余数总是量不尽其前一个数， 直至最后的余数为 1 ，则该二数互素。