积化和差、和差化积记忆口诀及相关练习题

合集下载

和差化积公式八个口诀

和差化积公式八个口诀
拿起笔来，写下来！口诀一：积前导平方差，积后导平方和。

口诀二：积前导加减同差，积后导加减异差。

口诀三：和差化积往下推，差和化积往上求。

口诀四：积差式因式分，和差式通分式。

口诀五：平方差公式翻倍用，平方和公式负号记。

口诀六：一加一减同除二，二加一减同除三。

口诀七：二次项系数难求解，配方法不忘记。

口诀八：根式平方看正负，二次项系数看大小。

这八个口诀是和差化积公式的重要方法，记住它们，运用它们，可以更好地应对数学考试。

三角函数和差积公式的记忆口诀

三角函数和差积公式的记忆口诀三角函数和差积公式的记忆口诀一、两角和与差的正余弦公式记忆正弦异名加一起，sin(a+b)=sinacosb+cosasinb余弦同名加减异，cos(a+b)=cosacosb-sinasinb前面是a后面b二、积化和差与和差化积公式记忆积化和差公式：sinα?cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] 前正后余正弦加cosα?sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] 前余后正正弦差cosα?cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] 余余得值余弦加sinα?sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 全正变号余弦差和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 正弦加正弦正弦在前面sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 正弦减正弦余弦在前面cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 余弦加余弦全都是余弦cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 余弦减余弦变号改正弦记忆数学知识点的诀窍1归类记忆法就是根据识记材料的性质、特征及其内在联系，进行归纳分类，以便帮助学生记忆大量的知识。

比如，学完计量单位后，可以把学过的所有内容归纳为五类：长度单位;面积单位;体积和容积单位;重量单位;时间单位。

这样归类，能够把纷纭复杂的事物系统化、条理化，易于记忆。

2歌诀记忆法就是把要记忆的数学知识编成歌谣、口诀或顺口溜，从而便于记忆。

比如，量角的方法，就可编出这样几句歌诀：“量角器放角上，中心对准顶点，零线对着一边，另一边看度数。

”再如，小数点位置移动引起数的大小变化，“小数点请你跟我走，走路先要找准‘左’和‘右’;横撇带口是个you，扩大向you走走走;横撇加个zuo，缩小向zuo走走走;十倍走一步百倍两步走，数位不够找‘0’拉拉钩。

积化和差以及和差化积最简记忆口诀

忆罢了。
三、总结公式 “ sin 和差前后积， cos 和差 cos 负 sin ” 1）首先关注 sin sin 即“ sin 和差”，口诀一“ sin 和差前后积”的形象记忆其实是
sin 和差
|| 前后积
我们认为“sin”是比较“主要的”，所谓的“前后”就是，sin 和 cos 相乘时，sin 在前还是在后，如下
|| cos -sin 其中关于 cos+cos 其公式中，函数名全是 cos

cos cos =2 cos
cos
2
2
cos 和 — cos
而关于 cos-cos 其公式中，变换后函数名全是 sin 加多一个负号
cos cos = 2 sin sin

sin
cos
2
2
为前积
对应 sin 和

cos
sin
2
2
为后积
对应 sin 差
由口诀“ sin 和差前后积”迅速写出：
sin + sin = sin cos sin 和 — 前积
sin sin = cos sin
2
2
cos 差 — 负 sin
由口诀“ cos 和差 cos 负 sin ”迅速写出：
cos cos = cos cos
cos 和 — cos
cos cos = sin sin
cos 差 — 负 sin
再填入内容可得：
cos cos =2 cos cos

cos

积化和差公式记忆方法

积化和差公式记忆方法
1. 理解积化和差公式的用途：积化和差公式是一种用于将乘法运算转化为加法运算的公式，可以帮助简化复杂的乘法运算。

2. 掌握积化和差公式的基本形式：(a+b)(a-b) = a² - b²。

这是最常用的积化和差公式，可用于将一个完全平方差分解为两个完全平方之差。

3. 理解公式中的符号含义：a和b分别代表两个数，可以是变量，也可以是实数。

4. 利用几何解释记忆公式：将(a+b)和(a-b)分别看作一个正方形的边长，那么
(a+b)(a-b)即代表这两个正方形的面积之差。

5. 使用数字示例演练积化和差公式：选择一组数字，代入公式中进行演算，观察运算结果。

6. 找到公式中的模式：观察多个例子的运算结果，寻找规律和模式，这有助于记忆和理解公式。

7. 利用联想进行记忆：将积化和差公式与其他公式或概念进行联想，例如与平方差公式、勾股定理等关联起来，可以帮助记忆。

8. 创造自己的记忆方法：根据个人的学习习惯和喜好创造记忆方法，例如制作记忆卡片、编写小押韵等。

9. 多做练习题：通过大量的练习题，加深对积化和差公式的记忆和理解。

10. 讨论和解答问题：与他人讨论并解答关于积化和差公式的问题，可以加深对公式的理解和记忆。

积化和差公式八个口诀

积化和差公式八个口诀
积化和差公式的口诀：
1. 正弦加正弦，正加正；余弦加余弦，余加余；符号看象限，同号异名一加一。

2. 正弦加余弦，正减余；余弦加正弦，余减正；符号看象限，同名相减一减一。

3. 正弦的平方与余弦的平方和，正加余；正弦的平方与正弦的乘积，一乘一。

4. 余弦的平方与正弦的乘积，一乘一；余弦的平方与余弦的乘积，正加正。

5. 余弦与半角的正弦之差，余减正；半角的余弦与余弦的乘积，正减正。

6. 半角的正弦与余弦之差，正减余；半角的正弦与正弦的乘积，一乘一。

7. 余弦与半角余弦之和，余加余；余弦与半角正弦之差，余减正。

8. 正弦、余弦、正切和余切的和与差，互为倒数。

以上信息仅供参考，如果您还有疑问，建议咨询专业人士。

高三C专题(和差化积与积化和差公式2星)

专题：和差化积与积化和差公式 ★★教学目标掌握积化和差与和差化积公式的基本运用，利用公式进行简单的三角式的变形【方法基础、运用简单，注重公式的直接应用】知识梳理5 min.【理解公式推导的关键是会用和角与差角的三角比公式，因为积化和差公式都是从它们推导得到的.课前在知识梳理前进行检查.】 1. 积化和差公式1sin cos [sin()sin()].2αβαβαβ=++-1cos sin [sin()sin()].2αβαβαβ=+--1cos cos [cos()cos()].2αβαβαβ=++-1sin sin [cos()cos()].2αβαβαβ=-+--2. 和差化积公式sin sin 2sincos.22αβαβαβ+-+=sin sin 2cos sin .22αβαβαβ+--=cos cos 2cos cos .22αβαβαβ+-+=cos cos 2sin sin .22αβαβαβ+--=-口诀一：伞加伞，伞在前；伞减伞，鱼在前；鱼加鱼，两条鱼；鱼减鱼，负两把伞.口诀二：帅加帅 = 帅哥；帅减帅 = 哥帅；姑加姑 = 姑姑；哥减哥 = 负嫂嫂.【上述公式有必要的情况下，可以在课堂上进行推导，详细过程请查看课本.】典例精讲32 min.例1．（★★）函数()sin sin 32f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是_________，最小值是_________. 解：()sin sin sin cos 323f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由积化和差公式，得 113sin cos sin(2)sin sin(2)3233234x x x x ππππ⎛⎫⎡⎤+=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 因此()f x 的最小正周期是π，最小值是3142-. 【本题方法不唯一，也可以利用和角公式展开三角比后，利用半角公式及辅助角公式合并，求得结果.】例2．（★★）求证：333sin3sin cos3cos cos 2θθθθθ+=.()()22=sin sin 3sin cos cos3cos θθθθθθ+证明：左边()()()()()2222222311sin cos 2cos 4cos cos 4cos 22211cos 2sin cos cos 4cos sin 22111cos 2cos 4cos 2cos 21cos 42221cos 22cos 2cos 22θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ=-+⋅+=++⋅-=+=+=⋅==右边所以，原等式成立.例3．（★★）求证：()()22cos cos =sin sin αβαβαβ--+-. 证明：（方法一）22cos cos αβ-()()=cos cos cos -cos αβαβ+--=2cos cos -2sin sin 2222αβαβαβαβ++⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭-2sin cos 2sin cos 2222αβαβαβαβ++-⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()sin sin αβαβ=-+-所以，原等式成立.（方法二）由2cos 2=2cos 1αα-，得2cos 21cos =2αα+.代入原式的左边，得22cos cos αβ-cos 21cos 2122αβ++=-cos 2cos 22αβ-=()()sin sin .αβαβ=-+- 课堂检测1. （★★）函数sin()cos 6y x x π=-的最小值等于_____________.解：34-2. （★★）函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为 . 解：()sin()cos()cos cos()266f x x x x x πππ=+-=-由积化和差公式，得 113cos cos()cos cos(2)cos(2)6266264x x x x ππππ⎡⎤-=++=++⎢⎥⎣⎦因此()f x 的最大值是1324+. 3. （★★）求证下列式子：()()22cos cos =cos sin αβαβαβ+--；证明：()()()()cos cos =cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+--+ ()()()2222222222222222222222coscos sin sin cos 1sin 1cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin αβαβαβαβααββαβααββαβαβ=-=---=---=--+=--4. （★★）求证：sin sin tan cot sin sin 22αβαβαβαβ++-=⋅-证明：sin sin sin sin αβαβ+-2sincos222cos sin22αβαβαβαβ+-=+-sincos22cos sin 22αβαβαβαβ+-=+-g tan cot 22αβαβ+-=g 回顾总结：3 min.默写积化和差公式与和差化积公式.（详见知识梳理）。

积化和差公式口诀

积化和差公式口诀积化和差公式，是数学中的基本公式之一，用于计算两个数的积、和、差，是学习数学的必备技能之一。

本文将为读者介绍积化和差公式的口诀，帮助大家更好地掌握这一知识点。

一、积化和差公式的定义积化和差公式是指：对于任意两个实数 a 和 b，有如下公式： a×b = (a+b)×(a-b)+a2-b2其中 a2 和 b2 分别表示 a 和 b 的平方。

二、积化和差公式的口诀为了帮助大家更好地记忆积化和差公式，我们可以使用下面的口诀：一正一负积化和差，平方相减最后加。

这个口诀的意思是：当两个数一正一负时，可以将它们的积化成它们的和与差的平方相减，最后再加上它们的平方。

三、积化和差公式的应用积化和差公式在数学中应用广泛，主要用于解决以下问题：1. 计算两个数的积当我们需要计算两个数的积时，可以直接使用积化和差公式。

例如，计算 3×4 的积，可以使用公式：3×4 = (3+4)×(3-4)+32-42 = -12. 计算两个数的和当我们需要计算两个数的和时，可以使用积化和差公式的反向思维。

例如，计算 3+4 的和，可以使用公式：3+4 = (3×4+32-42)÷(3-4) = -13. 计算两个数的差当我们需要计算两个数的差时，可以同样使用积化和差公式的反向思维。

例如，计算 3-4 的差，可以使用公式：3-4 = (3×4+32-42)÷(3+4) = -1/7四、积化和差公式的练习为了更好地掌握积化和差公式，我们可以进行一些练习。

下面是一些练习题：1. 计算 2×(-3) 的积。

答案：2×(-3) = (2-3)×(2+3)+22-32 = -62. 计算 5+(-7) 的和。

答案：5+(-7) = (5×(-7)+52-(-72))÷(5-(-7)) = -1/63. 计算 8-(-6) 的差。

积化和差记忆顺口溜

积化和差记忆顺口溜积化和差是我们在数学中常见的四则运算。

当我们学习数学的时候，经常要进行加法、减法、乘法和除法的计算。

为了帮助我们更好地记住这些运算规则，有一个有趣的顺口溜叫积化和差，可以帮助我们快速记忆四则运算的规则。

积化和差，快乐背诵，记住规则不费心。

加法求和进一步，减法求差顺着走。

乘法求积势如虹，除法求商别犹豫。

积和差，数学好帮手，不论大小都能应付。

首先来看加法，加法是求两个数的和。

积化和差顺着走，说明在加法中，我们将两个数按照顺序求和，不论从哪个数开始都可以，结果都是一样的。

举个例子，2加3等于5，或者3加2等于5，结果都是一样的。

所以，积化和差告诉我们，在加法中两个数的顺序可以任意变换。

接下来是减法，减法是求两个数的差。

积化和差顺着走，说明在减法中，我们求得的差距是按照我们计算的顺序来定的。

同样举个例子，6减2等于4，或者2减6等于-4，结果的差距也是按照计算的顺序来决定的。

所以，积化和差告诉我们，在减法中两个数的顺序会影响最终的结果。

然后是乘法，乘法是求两个数的积。

乘法求积势如虹，说明在乘法中，两个数相乘的结果是不会随着顺序的变化而改变的。

例如，2乘以3等于6，或者3乘以2也等于6，结果是一样的。

所以，积化和差提醒我们，在乘法中两个数的顺序不会影响最后的结果。

最后是除法，除法是求两个数的商。

除法求商别犹豫，说明在除法中，被除数和除数的顺序是有要求的。

例如，6除以2等于3，但是2除以6则等于1/3，结果是不同的。

所以，积化和差告诉我们，在除法中被除数和除数的顺序决定了最终的结果。

综上所述，积化和差记忆顺口溜是帮助我们记忆四则运算规则的一种简单方法。

通过这个顺口溜，我们可以快速记住加法求和、减法求差、乘法求积和除法求商的规则。

而且，积化和差还提醒我们加法和乘法的顺序不影响结果，减法和除法的顺序则会影响到最终的答案。

通过不断地背诵和运用，我们能够更好地掌握四则运算，提高自己的数学能力。

让我们一起来背记这个积化和差的顺口溜，让数学变得更简单有趣吧！。

和差化积和积化和差公式记忆口诀

和差化积和积化和差公式记忆口诀《有趣的和差化积公式记忆口诀》小朋友们，今天我要给你们讲讲一个超级有趣的数学知识——和差化积公式记忆口诀！你们知道吗，数学就像一个大大的魔法世界，里面有很多神奇的公式和口诀。

和差化积公式就是其中一个很厉害的魔法咒语哦！这个口诀是“正加正，正在前；正减正，余在前；余加余，余并肩；余减余，负正弦”。

听起来是不是有点像绕口令呀？比如说，当我们要计算sinα + sinβ 的时候，就可以用这个口诀。

我们先看看α和β哪个大，如果α大，那就是“正加正，正在前”，结果就是 2s in[(α + β)/2]cos[(α β)/2]。

是不是觉得有点难理解？没关系，多做几道题，多想想这个口诀，你就会发现它真的很好用！数学的世界充满了惊喜和乐趣，让我们一起探索吧！《我学会了和差化积公式记忆口诀》亲爱的小伙伴们，我最近学会了一个超棒的数学技巧，那就是和差化积公式记忆口诀！老师教我们的时候，我一开始还有点迷糊呢。

但是后来，我发现只要记住这个口诀，做题就变得容易多啦！口诀是这样的：“正加正，正在前；正减正，余在前；余加余，余并肩；余减余，负正弦”。

我给你们举个例子吧。

比如说计算sin70° + sin50°，按照口诀“正加正，正在前”，就能很快算出结果啦。

学会这个口诀后，我做数学作业的速度都变快了，而且还觉得很有意思。

小伙伴们，你们也快来试试吧！《神奇的和差化积公式记忆口诀》小朋友们，今天我要给你们介绍一个神奇的东西——和差化积公式记忆口诀！在数学的海洋里，有很多难题等着我们去解决，而这个口诀就像是一把神奇的钥匙，可以打开很多难题的大门。

这个口诀是“正加正，正在前；正减正，余在前；余加余，余并肩；余减余，负正弦”。

比如说，有一道题让我们求sin80° sin20°，这时候口诀就派上用场啦，“正减正，余在前”，很快就能得出答案。

有了这个口诀，数学变得不再那么难，反而变得有趣起来了。

（甘志国）记住积化和差、和差化积公式等于做十道难题!

记住积化和差、和差化积公式等于做十道难题！甘志国(该文已发表河北理科教学研究，2012(3)：26-28)三角函数中的积化和差、和差化积公式分别是：三角函数中的积化和差、和差化积公式分别是：ïïþïïýü--+=--++=--+=-++=)cos()cos(sin sin 2)cos()cos(cos cos 2)sin()sin(sin cos 2)sin()sin(cos sin 2b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ①ïïïïþïïïïýü-+-=--+=+-+=--+=+2sin 2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin j q j q j q j q j q j q j q j q j q j q j q j q ②在上世纪的高中数学教科书(人教版，下同)它们是以公式的形式给出的，并且运用广泛，高考时也运用较多(并要求熟记这些公式)；但到了上世纪九十年代后期，它们虽然也是教科书上的公式，但在高考时不要求记忆这些公式(在高考试卷的开头总是给出它们)，只要会套用它们就行了；到了新千年，它们在教科书中仅以例题、练习题的形式给出(比如，普通高中课程标准实验教科书《数学4·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版)(下简称《数学4》)第140页的例2及第142页练习的第2,3题)，高考时也可以不用它们来解题(所以高考试卷上也没给出这些公式). 但笔者要说明的是：但笔者要说明的是：(1)记住这两组公式是很容易的——运用整体记忆法：只须按顺序记住其框架——记住这两组公式是很容易的——运用整体记忆法：只须按顺序记住其框架——ïïþïïýü-=-+=-=+=cos#cos@sin sin 2cos#cos@cos cos 2sin#sin@sin cos 2sin#sin@cos sin 2b a b a b a b a其中“@”表示“)(b a +”，“#”表示“)-(b a ”. ïïþïïýü*-=-*=+*=-*=+sin&sin 2cos cos cos&cos 2cos cos sin&cos 2sin sin cos&sin 2sin sin j q j q j q j q 其中“*”表示“2j q +”，“&”表示“2jq -”. (2)证明这两组公式是很容易的：对于①，只须用学生熟知的和差角公式把右边展开；jq j q +jq jq p 3p 333333-333233333p 333pp p p p p p p p ，púùp p p 33332qp p p 333323÷öp p ú22,-1)p图1 p p)pp pp2=cos2p8，22330，问：当522中，由正弦定理，得sin sin OM OP OPM OMP =ÐÐ，所以()sin 45sin 45OP a °=°+. ()sin 45sin 75OP a °=°+12=´()()1sin 454sin 45sin 75OP a a °=´°+°+)602cos(30cos 2)1202cos(30cos 2)45(sin )75(sin 22°-+°=°+-°=°+°+--=a a a a 43．+(2所以所求j 的值为Î+=(2ppj). 评注若用和差化积公式②的第二个公式可得更简洁的解法：若用和差化积公式②的第二个公式可得更简洁的解法：函数)s i n ()(j +=是偶函数0)s i n ()s i n (=+-+-Ûj j 恒成立0)s i n (c o s 2=-Ûj 恒成立Î+=Û=Û(20cos pp j j ) 所以所求j 的值为Î+=(2ppj). 例 (莫斯科大学数学力学系入学考试试题2009年第5(I)5(I)题也即口试第一题题也即口试第一题题也即口试第一题))叙述并证明正弦和差化积公式、余弦和差化积公式. 例 (2011年华约自主招生试题第11题)已知D 不是直角三角形. (1)证明：tan +tan +tan =tan tan tan ；(2)若tan +tan3tan -1=tan，且s i n 2,s i n 2,s i n 2的倒数成等差数列，求-o c os s2的值. 解答例10的第(2)问就要用到积化和差、和差化积公式，答案为1或64. 例 (2013年华约自主招生试题第2题)已知51cos cos ,31sinsin =-=+，求)sin(),(cos -+的值. 求例11中)sin(-的值就要用到和差化积公式，本题的答案为1715,225208-. 所以从一定程度上来说：记住积化和差、和差化积公式等于做十道难题！所以从一定程度上来说：记住积化和差、和差化积公式等于做十道难题！。

和差化积速记口诀

和差化积速记口诀以下是为您生成的十个和差化积速记口诀：口诀一：一和一差正弦存，余弦和差变相乘。

正弦之和化余弦，正弦之差化负乘。

余弦之和化余弦，余弦之差化正乘。

和差公式要记清，做题方能快又准。

口诀二：一正一负有区分，和差化积不犯晕。

正弦之和用余弦，符号跟着前面奔。

正弦之差也余弦，负号记得要紧跟。

余弦之和仍余弦，余弦之差要当心。

口诀三：一加一减细思量，和差化积有妙方。

正弦之和如余弦，正负要看最初样。

正弦之差同余弦，符号千万别遗忘。

余弦之和还是它，余弦之差别紧张。

口诀四：一和一差有规律，和差化积心有底。

正弦相加变余弦，正弦相减负到底。

余弦相加仍余弦，余弦相减要注意。

记住口诀多练习，数学成绩提上去。

口诀五：一正一负要辨明，和差化积分得清。

正弦和时余弦现，正弦差时负号添。

余弦和时仍余弦，余弦差时正号连。

轻松记忆不犯难，解题思路如涌泉。

口诀六：一加一减有诀窍，和差化积不难搞。

正弦之和余弦化，正负跟着前面跑。

正弦之差也余弦，负号千万不能少。

余弦之和不变样，余弦之差要记牢。

口诀七：一和一差仔细瞧，和差化积要记牢。

正弦相加变余弦，正弦相减负号飘。

余弦相加仍余弦，余弦相减正号标。

理解透彻运用好，数学天地任逍遥。

口诀八：一正一负别混淆，和差化积记得妙。

正弦之和化余弦，正弦之差负号绕。

余弦之和是余弦，余弦之差正号抱。

掌握规律多动脑，成绩优秀人人傲。

口诀九：一加一减要理清，和差化积思路明。

正弦和化余弦正，正弦差化余弦负。

余弦和仍为余弦，余弦差是正无误。

反复练习熟于心，数学难题都让步。

口诀十：一和一差巧分辨，和差化积不再难。

正弦相加余弦来，正弦相减负号在。

余弦相加仍余弦，余弦相减正号摆。

轻松学会乐开怀，知识海洋畅行快。

三角函数和差化积与积化和差公式(附证明和记忆方法)

三角函数和差化积与积化和差公式(附证明和记忆方法)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1和差化积和积化和差公式正弦、余弦的和差化积 2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-⋅+=+ 2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-⋅+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-⋅+=+2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-⋅+-=- 【注意右式前的负号】使用同名三角函数的和差无论乘积项中的三角函数是否同名，化为和差形式时，都应是同名三角函数的和差。

这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。

使用哪种三角函数的和差仍然要根据证明记忆。

注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。

所以反过来，同名三角函数的乘积，化作余弦的和差；异名三角函数的乘积，化作正弦的和差。

是和还是差这是积化和差公式的使用中最容易出错的一项。

规律为：“小角”β以cosβ的形式出现时，乘积化为和；反之，则乘积化为差。

由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。

如果β的形式是cosβ，那么若把β替换为-β，结果应当是一样的，也就是含α+β和α-β的两项调换位置对结果没有影响，从而结果的形式应当是和；另一种情况可以类似说明。

正弦-正弦积公式中的顺序相反/负号这是一个特殊情况，完全可以死记下来。

当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如[0,π]内余弦函数的单调性。

因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以cos(α+β)不大于cos(α-β)。

但是这时对应的α和β在[0,π]的范围内，其正弦的乘积应大于等于0，所以要么反过来把cos(α-β)放到cos(α+β)前面，要么就在式子的最前面加上负号。

积化和差公式和差化积口诀

积化和差公式和差化积口诀数学中有许多公式和口诀，其中积化和差公式和差化积口诀是非常重要的。

这两个概念在代数中经常被使用，因此学生们需要掌握这些概念，以便在数学学习中更好地应用它们。

积化和差公式积化和差公式是指将两个数的积转化为它们的和或差的公式。

这个公式可以用于简化代数表达式，使其更容易计算。

积化和差公式的表达式如下：(a+b)(a-b)=a²-b²这个公式的意思是，当你有两个数a和b时，你可以将它们的积(a+b)乘以(a-b)，然后得到a²-b²。

这个公式可以用于简化代数表达式，例如：(3+2)(3-2)=3²-2²=9-4=5这个公式也可以用于解决一些数学问题，例如：如果a+b=10，a-b=4，那么a²-b²=？我们可以使用积化和差公式来解决这个问题。

首先，我们需要将(a+b)(a-b)转化为a²-b²，然后将a+b和a-b代入公式中，得到：a²-b²=(a+b)(a-b)=(10)(4)=40因此，a²-b²=40。

差化积口诀差化积口诀是指将两个数的差转化为它们的积的口诀。

这个口诀可以用于简化代数表达式，使其更容易计算。

差化积口诀的表达式如下：a²-b²=(a+b)(a-b)这个口诀的意思是，当你有两个数a和b时，你可以将它们的差(a-b)乘以(a+b)，然后得到a²-b²。

这个口诀可以用于简化代数表达式，例如：4²-3²=(4+3)(4-3)=7这个口诀也可以用于解决一些数学问题，例如：如果a-b=5，a+b=13，那么a²-b²=？我们可以使用差化积口诀来解决这个问题。

首先，我们需要将a²-b²转化为(a+b)(a-b)，然后将a+b和a-b代入公式中，得到：a²-b²=(a+b)(a-b)=(13)(5)=65因此，a²-b²=65。

三角函数和差化积与积化和差公式(附证明和记忆方法)

和差化积和积化和差公式之阿布丰王创作正弦、余弦的和差化积2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-⋅+-=- 【注意右式前的负号】也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：cos(α-β)-cos(α+β)=1/2[(cosα·cosβ+sinα·sinβ)-(cosα·cosβ-sinα·sinβ)]=2sinα·sinβ故最后需要除以2。

使用同名三角函数的和差无论乘积项中的三角函数是否同名，化为和差形式时，都应是同名三角函数的和差。

这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都分歧，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。

使用哪种三角函数的和差仍然要根据证明记忆。

注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。

所以反过来，同名三角函数的乘积，化作余弦的和差；异名三角函数的乘积，化作正弦的和差。

是和还是差？这是积化和差公式的使用中最容易出错的一项。

规律为：“小角”β以cosβ的形式出现时，乘积化为和；反之，则乘积化为差。

由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。

正弦-正弦积公式中的顺序相反/负号这是一个特殊情况，完全可以死记下来。

当然，也有其他方法可以帮忙这种情况的判定，如[0,π]内余弦函数的单调性。

因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以cos(α+β)不大于cos(α-β)。

但是这时对应的α和β在[0,π]的范围内，其正弦的乘积应大于等于0，所以要么反过来把cos(α-β)放到cos(α+β)前面，要么就在式子的最前面加上负号。

三角函数和差化积记忆方法与巧记口诀

三角函数和差化积记忆方法与巧记口诀和差化积记忆口诀1：正和正在先,sinα+sinβ=2sinα+β/2·cosα-β/2正差正后迁,sinα-sinβ=2cosα+β/2·sinα-β/2余和一色余,cosα+cosβ=2cosα+β/2·cosα-β/2余差翻了天,cosα-cosβ=-2sinα+β/2·sinα-β/2前提是角度α+β/2在前,α-β/2在后的标准形式和差化积记忆口诀2：正加正,正在前：sinα+sinβ=2sinα+β/2·cosα-β/2余加余,余并肩：cosα+cosβ=2cosα+β/2·cosα-β/2正减正,余在前：sinα-sinβ=2cosα+β/2·sinα-β/2余减余,负正弦,cosα-cosβ=-2sinα+β/2·sinα-β/2和差化积：有相关的口诀正加正,正在前,余加余,余并肩正减正,余在前,余减余,负正弦反之亦然注意事项在应用和差化积时,必须是一次同名三角函数方可实行;若是异名,必须用化为同名；若是高次函数,必须用降幂公式降为一次口诀正加正,正在前,余加余,余并肩正减正,余在前,余减余,负正弦反之亦然;生动的口诀3：和差化积帅+帅=帅哥1帅-帅=哥帅哥+哥=哥哥哥-哥=负嫂嫂反之亦然;语文老师教的口诀4：口口之和仍口口cosα+cosβ=2cosα+β/2·cosα-β/2赛赛之和赛口留sinα+sinβ=2sinα+β/2·cosα-β/2口口之差负赛赛cosα-cosβ=-2sinα+β/2·sinα-β/2赛赛之差口赛收sinα-sinβ=2cosα+β/2·sinα-β/2前提是角度α+β/2在前,α-β/2在后的标准形式：语文老师教的口诀5：正弦加正弦,正弦在前面,sinα+sinβ=2sinα+β/2·cosα-β/2正弦减正弦,余弦在前面,sinα-sinβ=2cosα+β/2·sinα-β/2余弦加余弦,余弦全部见,cosα+cosβ=2cosα+β/2·cosα-β/2余弦减余弦,余弦负不想见,cosα-cosβ=-2sinα+β/2·sinα-β/2记忆方法和差化积公式的形式比较复杂,记忆中以下几个方面是难点,下面指出了各自的简单记忆方法;如何只记两个公式甚至一个我们可以只记上面四个公式的第一个和第三个;而第二个公式中的-si nβ=sinβ+π,也就是sinα-sinβ=sinα+sinβ+π,这就可以用第一个公式解决;同理第四个公式中,cosα-cosβ=cosα+cosβ+π,这就可以用第三个公式解决;如果对诱导公式足够熟悉,可以在运算时把cos全部转化为sin,那样就只记住第一个公式就行了;用的时候想得起一两个就行了;结果乘以2这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断;sin和cos的值域都是-1,1,其积的值域也应该是-1,1,而和差的值域却是-2,2,因此乘以2是必须的;也可以通过其证明来记忆,因为展开两角和差公式后,未抵消的两项相同而造成有系数2,如：cosα-β-cosα+β=cosαcosβ+sinαsinβ-cosαcosβ-sinαsinβ=2sinαsinβ故最后需要乘以2;只有同名三角函数能和差化积无论是还是余弦函数,都只有同名三角函数的和差能够化为乘积;这一点主要是根据证明记忆,因为如果不是同名三角函数,两角和差公式展开后乘积项的形式都不同,就不会出现相抵消和相同的项,也就无法下去了;乘积项中的角要除以2在和差化积公式的证明中,必须先把α和β表示成两角和差的形式,才能够展开;熟知要使两个角的和、差分别等于α和β,这两个角应该是α+β/2和α-β/2,也就是乘积项中角的形式;注意和差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”,但位置不同；而只有和差化积公式中有“乘以2”;使用哪两种三角函数的积这一点较好的记忆方法是拆分成两点,一是是否同名乘积,二是“半差角”α-β/2的三角函数名;是否同名乘积,仍然要根据证明记忆;注意两角和差公式中,余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积,正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积;所以,余弦的和差化作同名三角函数的乘积；正弦的和差化作异名三角函数的乘积;α-β/2的三角函数名规律为：和化为积时,以cosα-β/2的形式出现；反之,以sinα-β/2的形式出现;由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的;如果要使和化为积,那么α和β调换位置对结果没有影响,也就是若把α-β/2替换为β-α/2,结果应当是一样的,从而α-β/2的形式是cosα-β/2；另一种情况可以类似说明;余弦-余弦差公式中的顺序相反/负号这是一个特殊情况,完全可以死记下来;当然,也有其他方法可以帮助这种情况的判定,如0,π内余弦函数的单调性;因为这个区间内余弦函数是单调减的,所以当α大于β时,cosα小于cosβ;但是这时对应的α+β/2和α-β/2在0,π的范围内,其正弦的乘积应大于0,所以要么反过来把cosβ放到cosα前面,要么就在式子的最前面加上负号;。