现代控制理论总复习定稿版

即当
1.脉冲响应
时解为：
2.阶跃响应
即当
时解为：
3.斜坡响应
即当
时解为：
例：已知系统状态空间表达式，求 y(t )
1 (t ) x2 (t ) x x1 (0) 1 , u (t ) 1 2 (t ) x1 (t ) 2 x2 (t ) u (t ) x2 (0) 0 x
2 C CTc1 C A b
0 b 0 1
0 0 1
1 0 Ab b 2 1 1 2
安徽理工大学电气系
16 4 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 8 6 1 12 2 1 9 0 1 1 0 0 3 I 4）得到系统的能控标准 型为： （ 2 1 0 1 0 2 1 0 12 9 0 1
s 1 (sI A) 1 s 2
安徽理工大学电气系
Φ(t ) L
1
sI A
1
(1 t )e t t te
t
te t t (1 t )e
y(t ) cx(t ) cΦ(t )x(0) c Φ( )bu(t )d
有： 系统的状态空间表达式才可能导出能观标准型。 状态空间表达式的能观标准型也有两种形式，能观标准 型和能 观标准 型，它们分别与能控标准 1．能观标准 型 若线性定常系统： (13)
是能观的，则存在非奇异变换：
型和能控标准
型相对偶。
(14)
安徽理工大学电气系
使其状态空间表达式(13)化成：
(15) 其中
b21 b22 如果 b b 行线性无关，则状态能控 41 42 安徽理工大学电气系
单输入系统，从系统的传递函数阵判断系统的能控性 u-x 间的传递函数阵为：
Wux (s) (sI A) 1 b
(Page-44，45)
状态完全能控的充分必要条件是Wux(s)没有零点和极点重 合现象。否则被相消的极点就是不能控的模式，系统为不 能控系统。
上式左乘
，得： （5 ）
注意式（5）等式右边第二项，Fra Baidu bibliotek中：
两个拉氏变换函数的乘积是一个卷积的拉氏变换，即
以此代入式（5），并取拉氏反变换，即得
：
x(t ) L1 (sI A)1 x(0) L1 (sI A)1 BU(s)
安徽理工大学电气系




三种常见的激励及其对应的解（Page-70）
所以标准型实现的第一步是判断能控和能观性，下面看一下怎么 判断能控和能观性。
线性定常系统的能控性判别
线性定常系统能控性判别准则有两种形式，一种是先将系统进行 状态变换，把状态方程化为约旦标准型 其能控性。 具有约旦标准型（或者变换为约旦标准型）系统的能控性判别 1．单输入系统 具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为： ，再根据 阵，确定
安徽理工大学电气系
直接通过 A和C构造N 矩阵 定常系统能观性的判别 方法二
系统能观的充要条件 rankN=n
C CA N n 1 CA
判断好系统的能控和能观性之后 求解系统的能控标准型和能观标准型 1．能控标准 I型 若线性定常单输入系统： (1)
是能控的，则存在线性非奇异变换：
(2)
安徽理工大学电气系
(3) 使其状态空间表达式(1)化成能控标准1型： (4)
0 其中 0 1 A Tc AT 1 c1 0 a 0
1 0 0

0 0 0
a1 an 2
0 0 1 an 1
2．多输入系统
多输入系统，其状态方程为 Ax Bu x
(15)
M ( B, AB, A2 B,, An1B)
式中，B为nr阶矩阵；u为r维列矢量。 其能控的充分必要条件M的秩为n.
安徽理工大学电气系
定常系统能观性的判别 方法一 系统矩阵A为对角线型的情况下，系统能观的充要条件是出 矩阵C中没有全为零的列。
1 2
0 1 0 0 还可以直接写出系统的传递函数： 0 0 1 X 0 u X y 3 2 1 X 2 9 0 1
2 s 2 1s 0 s 2 2s 3 W ( s) 3 3 2 s 2 s 1s 0 s 9s 2
安徽理工大学电气系
（2）A的特征多项式
I A 3 9 2
0 2, 1 9, 2 0 （3）计算 可直接写出 A, b , C ：
A, b C
1 0 0 1 0 0 需通过计算得到 0 0 1 A 0 0 1 0 1 2 2 9 0
无零极点相约，故能控且能观测。可以化为能控标准型。 所以：
0 6, 1 11, 2 6 0 5, 1 4, 2 1
1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 , 2 6 11 6 0 Bc 2 0 1
y(t ) x1 (t )
解：
1 0 0 A , b , c 1 0 1 2 1
s2 2 ( s 1 ) ( sI A) 1 1 2 ( s 1 ) 1 ( s 1) 2 s ( s 1) 2
安徽理工大学电气系
直接从A与B判别系统的能控性
1．单输入系统 线性连续定常单输入系统 Ax bu x
(13)
其能控的充分必要条件是由A，b构成的能控性矩阵
M (b, Ab, A2b,, An1b)
(14)
满秩，即rankM=n. 否则，当rankM<n时，系统为不能控的 。
安徽理工大学电气系
现代控制理论
modern control theory
Professor：李振璧 Assistant：邓伟锋
安徽理工大学电信学院
本次课程内容简要：
1.线性定长系统非齐次方程的解 2.能控标准型和能观标准型的实现 3.按照能控性、能观性分解 4.李雅普诺夫方法判断系统的稳定性 5.状态观测器的设计
方式：知识回顾+例题演练
(16) (17) (18)
取变换阵
： (19)
0
(1 t )e e d
t 0
t
(1 t )e de 1
t 0
t
安徽理工大学电气系
套路总结：
• 1.先写出系统矩阵A, 控制矩阵B, 输出矩阵C • 2.求解状态转移矩阵：a.由定义求解（难以得到解析式，不推荐）
•
• •
b.变换系统矩阵为对角阵、约旦阵 Page-62（推荐）
安徽理工大学电气系
注意：如果在约旦标准阵中出现两个以上同一特征值有关
的约旦块，对单输入系统，系统是不能控的；对多输入系统
，则要考察T-1B中，与那些相同特征值对应的约旦块的最后
一行元素所形成的矢量是否线性无关，如果线性无关，系统 才是能控的。
含义：
1 1 0 1 对于： x 0 0 1 1 0 1 x1 b11 x b 2 21 x3 b31 x4 b41 b12 b22 u b32 b42
(12) 安徽理工大学电气系
例：写出以下传递函数的能控标准II型。
s2 4s 5 G ( s) 3 s 6 s 2 11s 6
解：
s2 4s 5 ( s 2)2 1 G( s) 3 2 s 6 s 11s 6 ( s 3)( s 2)( s 1)
安徽理工大学电气系
例 将下列状态空间表达式变换成能控标准 I 型
1 2 0 2 3 1 1 X 1 u X y 0 0 1 X 解：方法一，（ 1）判别系统的能控性 0 2 0 1
2 4 16 系统能控，可以化为能控标准型。 2 rankM rank b Ab A b rank 1 6 8 3 1 2 12
(5)
安徽理工大学电气系
称形如式(4)的状态空间表达式为能控标准I型。 其中
ai (i 0,1,, n 1) 为特征多项式：
I A n an1n1 a1 a0
的各项系数。
i (i 0,1,, n 1)

是cTc1相乘的结果，即
0 c ( An 1b an 1 An 2 b a1b) n 2 c ( Ab an 1b) n 1 cb
安徽理工大学电气系
2.能控标准
型 (6)
若线性定常单输入系统： 是能控的，则存在线性非奇异变换： (7) 相应的状态空间表达式(6)转换成： (8) 其中
(9) 安徽理工大学电气系
(10)
并称形如式(8)的状态空间表达式为能控标准 式(9)中的 型。 是系统特征多项式：
(11)
的各项系数，亦即系统的不变量。 式(11)中的是 相乘的结果，即：
控标准II型为：
0 Ac 2 0 0
Cc 2 [ 0
1 2 ] 5 4 1
安徽理工大学电气系
套路总结
• 先根据M或零极点判别系统的能控性
• 计算系统的Tc1和Tc2
• 计算
A
b
C
安徽理工大学电气系
单输出系统的能观标准型
与变换为能控标准型的条件相似，只有当系统是状态完全能观时，即
（速成版----为考试量身打造）
安徽理工大学电信学院
1.线性定常系统非齐次方程的解
线性定常系统非齐次方程解的组成：
自由运动+强制运动
当初始时刻
初始状态
时，其解为： （2）
式中，
。
安徽理工大学电气系
当初始时刻为 ，初始状态为 式中，
。
时，其解为：
证明过程: 1.积分法，详见Page-69 2.拉氏变换法:
系统的能控性；另一种方法是直接根据状态方程的 A 阵和 B 阵，确定
(1)
或
(2)
式中 安徽理工大学电气系
安徽理工大学电气系
•系统的能控性，取决于状态方程中的系统矩阵A和控制矩阵b。 •在A为对角阵的情况下，如果b的元素有为0的，则系统是不完 全能控的 •在A为约旦标准矩阵时，只有当b中相应于约旦块的最后一行的 元素为零时，系统是不完全能控的。 •不能控的状态，在结构图中表现为存在与u(t)无关的孤立块。
若第i列全为零，则状态变量xi(t)为不能观的。 在系统矩阵为约旦标准型矩阵的情况下，系统能观的充分必 要条件是输出矩阵C中，对应每个约旦块开头的一列（首列 ）的元素不全为零。
安徽理工大学电气系
注意： 约旦阵J中没有两个约旦块与同一特征值有关，如果有两个 约旦块与同一个特征值有关，则每个约旦块开头的一列（ 首列）线性无关；
c.拉氏反变换法（掌握拉氏反变换公式） （推荐） d.凯莱-哈密顿定理（Page-66）
• 3.观察激励是否为冲击、阶跃或者斜坡函数，如果是这三类函数，则求解 可以直接套用公式。（Page-70）
• 4.由以上求解结果通过输出方程，求解输出量。
2.能控（观）标准型的实现
• 对于一个单输入单输出的系统，一旦给出系统的传递函数，便可以直接写 出其能控标准型实现和能观标准型实现。 • 只有系统是完全能控（完全能观）才能化成能控（能观）标准型。