现代控制理论总复习定稿版
现代控制理论总复习
2 1 2 1 3 1
1 0 0
0 3 2 0 1 0
1 3 0
0 0 1
第二章
一、基本概念 1）线性定常连续系统非齐次状态方程的解分为 零输入的状态转移和零状态的状态转移；系统的输 出响应由零输入响应和零状态响应两部分组成。
3. 可逆性
(t, t0 ) (t0 , t )
1
例 已知系统状态方程,试确定该系统在输入作用分别为单位脉 冲函数、单位阶跃输入及单位斜坡函数时的状态响应。
能观标准Ⅱ型
a0 x1 c0 a1 x2 c1 a2 x3 c2 u an 1 xn cn 1 x1 x 2 1 bn u xn 1 xn
p21 1 p2 p22 0 p23 0
3 p3 Ap3
p31 4 p 1 32 p33 1
1 0 1
2 p31 2 p32 3 p33
2 s 2 11s 6 W ( s) 3 s 8s 2 17 s 10
2）能观标准Ⅱ型
x1 0 x2 0 x3 10 y 6 11 1 0 17 x1 2 x2 x3 0 x1 0 1 x2 0 u 8 x3 1
能控标准Ⅰ型
x1 0 0 10 x1 6 x2 1 0 17 x2 11 u x3 0 1 8 x3 2 x1 y 0 0 1 x2 x3
(完整word版)现代控制理论复习题库
一、选择题1.下面关于建模和模型说法错误的是( C )。
A．无论是何种系统，其模型均可用来提示规律或因果关系。
B．建模实际上是通过数据、图表、数学表达式、程序、逻辑关系或各种方式的组合表示状态变量、输入变量、输出变量、参数之间的关系。
C．为设计控制器为目的建立模型只需要简练就可以了。
D．工程系统模型建模有两种途径，一是机理建模，二是系统辨识。
2.系统()3()10()++=的类型是( B ) 。
y t y t u tA．集中参数、线性、动态系统。
B．集中参数、非线性、动态系统。
C．非集中参数、线性、动态系统。
D．集中参数、非线性、静态系统。
3.下面关于控制与控制系统说法错误的是( B )。
A．反馈闭环控制可以在一定程度上克服不确定性。
B．反馈闭环控制不可能克服系统参数摄动。
C．反馈闭环控制可在一定程度上克服外界扰动的影响。
D．控制系统在达到控制目的的同时，强调稳、快、准、鲁棒、资源少省。
x Pz说法错误的是( D )。
4.下面关于线性非奇异变换=A．非奇异变换阵P是同一个线性空间两组不同基之间的过渡矩阵。
B．对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的特征值。
C．对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的传递函数。
D．对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的状态空间描述。
5.下面关于稳定线性系统的响应说法正确的是( A )。
A．线性系统的响应包含两部分，一部是零状态响应，一部分是零输入响应。
B．线性系统的零状态响应是稳态响应的一部分。
C．线性系统暂态响应是零输入响应的一部分。
D．离零点最近的极点在输出响应中所表征的运动模态权值越大。
6.下面关于连续线性时不变系统的能控性与能观性说法正确的是( A ) 。
A．能控且能观的状态空间描述一定对应着某些传递函数阵的最小实现。
B．能控性是指存在受限控制使系统由任意初态转移到零状态的能力。
C．能观性表征的是状态反映输出的能力。
D．对控制输入的确定性扰动影响线性系统的能控性，不影响能观性。
现代控制理论复习大纲
《现代控制理论》课程回顾第一部分 系统数学模型的建立1．系统数学模型的种类：A 、输入输出描述：输入输出微分方程、输入输出差分方程：)()()()()()()()()(1)2(2)1(11)2(2)1(1)(t u b t ub t u b t u b t y a t ya t y a t y a t y n n n n n n n n n ++++=+++++------][]1[]2[]1[][]1[]2[]1[][121121n k u b n k b k u b k u b n k y a n k a k y a k y a k y n n n n -++-++-+-=-++-++-+-+--传递函数(s 域)、脉冲传递函数(z 域)nn n n nn n n n a s a s a s a s b s b s b s b s u s y s g +++++++++==------1221112211)(ˆ)(ˆ)(ˆ n n n n n n n n n a z a z a z a z b z b z b z b z uz yz g +++++++++==------1221112211)(ˆ)(ˆ)(ˆ 传递矩阵(s 域)、脉冲传递矩阵(z 域))(ˆ)()(ˆ:)(s s s s u G yG = )(ˆ)()(ˆ:)(z z z z u G yG = 脉冲响应函数、脉冲相应矩阵：（因果、t 0时刻松弛）⎰⎰⎰⎰ττ-τ=τττ-=τττ-=τττ-=∞-∞+∞-tt tt td t u g d u t g d u t g d u t g t y 0)()()()()()()()()(⎰⎰⎰⎰ττ-τ=τττ-=τττ-=τττ-=∞-∞+∞-tt t t t d t d t d t d t t 0)()()()()()()()()(u G u G u G u G yB 、状态空间描述基本概念：状态、状态变量、状态向量、状态空间、状态轨线、状态方程、输出方程、动态方程（状态空间表达式、状态空间方程、状态方程）线性系统的结构图2．线性系统动态方程的建立A 、由系统机理出发建立系统的状态空间表达式这是最基本的方法实践中这也是主要的甚至是唯一的方法。
《现代控制理论》复习提纲()
现代控制理论复习提纲第一章：绪论（1）现代控制理论的根本内容包括：系统辨识、线性系统理论、最优控制、自适应控制、最优滤波（2）现代控制理论与经典控制理论的区别第二章：控制系统的状态空间描述1.状态空间的根本概念；系统、系统变量的组成、外部描述和内部描述、状态变量、状态向量、状态空间、状态方程、状态空间表达式、输出方程2.状态变量图概念、绘制步骤；3.由系统微分方程建立状态空间表达式的建立；第三章：线性控制系统的动态分析1.状态转移矩阵的性质及其计算方法〔1〕状态转移矩阵的根本定义；〔2〕几个特殊的矩阵指数；〔3〕状态转移矩阵的根本性质〔以课本上的5个为主〕；〔4〕状态转移矩阵的计算方法掌握：方法一：定义法方法二：拉普拉斯变换法例题2-2第四章：线性系统的能控性和能观测性（1）状态能控性的概念状态能控、系统能控、系统不完全能控、状态能达（2）线性定常连续系统的状态能控性判别包括;格拉姆矩阵判据、秩判据、约当标准型判据、PBH判据掌握秩判据、PBH判据的计算（3）状态能观测性的概念状态能观测、系统能观测、系统不能观测（4）线性定常连续系统的状态能观测性判别包括;格拉姆矩阵判据、秩判据、约当标准型判据、PBH判据掌握秩判据、PBH判据的计算（5）能控标准型和能观测标准型只有状态完全能控的系统才能变换成能控标准型，掌握能控标准I型和II型的只有状态完全能观测的系统才能变换成能控标准型，掌握能观测标准I型和II 型的计算方法第五章：控制系统的稳定性分析〔1〕平衡状态〔2〕李雅普诺夫稳定性定义：李雅普诺夫意义下的稳定概念、渐进稳定概念、大范围稳定概念、不稳定性概念（3）线性定常连续系统的稳定性分析例4-6第六章线性系统的综合（1）状态反应与输出反应（2）反应控制对能控性与观测性的影响复习题1. 、和统称为系统变量。
2. 系统的状态空间描述由和组成，又称为系统的动态方程。
3. 状态变量图是由、和构成的图形。
4. 计算1001A-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的矩阵指数Ate__________。
现代控制理论复习
现代控制理论复习（*为重点）第一章一、*线性定常连续系统如何建立状态空间表达式：状态方程，输出方程1.*实际系统，运动方程状态方程：状态变量的一阶导数构成的方程组输出方程：状态变量的个数与独立储能元件有关2.*模拟结构图，方框图状态变量从右往左设，每个积分器的输出为一个状态变量，输入为状态变量的导数。
3.*传递函数，微分方程（有无数种）典型的状态空间表达式（为了研究方便）：能控标准型（两种），能观标准型（两种），约旦标准型。
其中任意两种状态空间表达式都是状态变量线性变换的关系。
1）能控标准I型：A：友矩阵b：（0,0,1）c:（b0,b1,b2）d：（传递函数分子分母阶次相同时有）2）能观标准I型：A：b:（长除法）c：根据对偶原理写出：能控标准II型/能观标准II型3）约旦标准型模拟结构图并联形式无重根，有重根*如何变换成约旦阵(对角阵)？如何构成线性变换阵T？1.无重根1）代数余子式（参考）2）定义（特征值,特征矢量）：T=(p1,p2…)2.有重根广义特征矢量：T=（p1,p2…）*状态空间表达式求传递函数W(s)=公式二、*非线性系统线性化处理给平衡状态进行线性化处理三、线性定常离散系统：G(z) G H*求传递函数G(z)=四、时变系统，传递函数阵不考第二章*线性定常系统方程求解一、状态转移矩阵的性质二、*四种方法求状态转移矩阵：1．定义法（展开）：开放形式2．*拉式反变换3．*对角阵/对角化4．凯莱哈密顿定理三、离散系统定义，*z反变换*线性定常连续系统离散化直接离散，近似离散时变，非线性系统不考第三章判定系统的能控性：1.模拟结构图2.对角阵/约旦阵（A,B）3.*能控判定阵M4.*能控标准型5.部分传递函数(sI-A)^(-1)B无零极点对消判定系统的能观性1.模拟结构图2.对角阵/约旦阵（A,C）3.*能观判定阵N4.*能观标准型5.部分传递函数C(sI-A)^(-1)无零极点对消线性定常系统的对偶关系*能控能观分解1.能控判定阵的秩→判断有几个变量能控→使线性变换阵非奇异的(n-m)个列矢量2.能观判定阵的秩→同上3.如果一个状态空间表达式能控则能变换成能控标准型（*能控II 简单）4.如果一个状态空间表达式能观则能变换成能观标准型（*能观I 简单）*最小实现所有状态变量既能控又能观如何寻找？1.能控能观分解→能控能观2. （了解）传递函数→能控（观）标准型→按能观（控）性分解→找出能控能观第四章现代控制理论：平衡状态稳定性（平衡点可能不止一个）第一法（间接法）线性定常系统→看特征值→左半平面→稳定非线性系统线性化→看特征值→左半平面，右半平面，虚轴特征值和闭环极点在传递函数无零极点对消时是相同的第二法（直接法）李雅普诺夫稳定，渐进稳定，大范围渐进稳定，不稳定李雅普诺夫函数（能量函数）V判断初始状态要有能量（V>0）V通常取二次型形式比较简单渐进稳定：V>0，对V求导，求得后：1）V的导数小于02）V的导数小于等于0→判断在x不为0时，V的导数恒不为零3）判断是否大范围渐进稳定如何求平衡状态？x的导数=A*x=0 (不管b*x)李雅普诺夫方法在线性定常连续系统渐进稳定依据第五章三种反馈控制方式，相应性能，对能控能观的影响，改善系统性能极点任意配置：原系统完全能控→状态反馈任意极点配置输出反馈不能实现任意极点配置（特别是单输入输出）原系统完全能观→输出到x导数端反馈实现任意极点配置系统镇定（特征值均在左半平面）状态反馈：不能控子系统渐进稳定输出到x导数端反馈：不能观子系统渐进稳定输出反馈：解耦问题（能解耦标准形不考）*状态解耦，积分型解耦系统状态观测器状态重构状态观测器的输入？输出？能构建的条件：完全能观或不能观子系统渐进稳定如果完全能观：可以通过G调节x的估计值接近x的速度全维状态观测器：可实现极点配置降维状态观测器（不考）习题1.状态空间表达式求传递函数（或传递函数阵）零极点对消，说明该系统（不）能控（不）能观。
现代控制理论复习资料
一卷一、选择题：1.非奇异状态变换不改变系统的：A.极点B.控制矩阵C.系统矩阵D.输出矩阵 2.两个系统()()12,W s W s 并联后，系统的传递函数为： A.()()()()1121W s W s I W s -+ B.()()12W s W s C.()()21W s W s D.()()12W s W s ± 3.()0,t t Φ为线性时变系统的状态转移矩阵，则：A.()()00,t t t t Φ=Φ-B.()()()211020,,,t t t t t t ΦΦ=ΦC.()()()211020,,t t t t t t ΦΦ=Φ-D.()()()211021,,,t t t t t t ΦΦ=Φ 4.线性系统,x Ax Bu y Cx =+=的完全能观性：A.与u 有关B.与B 有关C.与B 和u 都无关D.与B 和u 都有关5.()()1W s C sI A b -=-，一个单输入单输出系统(),,A B C 完全能控能观的充分必要条件是：A.()()1W s C sI A b -=-的分子分母不能相消B.()W s 只有稳定的零极点相消C.()W s 只有不稳定的零极点相消D.与()W s 零极点相消没关系 6.若系统x Ax =是渐近稳定的，则： A.存在()0V x >使()0V x >B.不一定存在二次型Lyapunov 函数C.一定存在二次型Lyapunov 函数()V x 使()V x 正定，()V x 负定D.存在()0V x < 使 ()0V x <7.若传递函数()W s 的分母的根都在左半复平面，则： A.()W s 的所有实现都是稳定的系统 B.最小实现可能是稳定的也可能是不稳定的系统 C.()W s 的所有实现都是不稳定的系统 D.()W s 的实现不一定是稳定的系统 8.若使系统的闭环极点能任意配置，则：A.(),,A b c 完全能控B.(),,A b c 完全能观C.(),,A b c 反馈能镇定D.(),,A b c 必须同时能控能观 9.被控系统(),,A B C 的状态反馈：A.不改变极点B.不改变零点C.极点和零点都改变D.极点和零点都不改变 10.若()1111,,A B C ∑=与()2222,,A B C ∑=互为对偶的，则：A.若1∑能观，则2∑能观B.若1∑能控，则2∑能控C.1∑与2∑的特征根相同D.1∑与2∑的传递函数矩阵相同二、计算题 1.已知系统[]001110310130102x x uy x-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=- 判断系统是否是完全能控的，若不完全能控，将系统进行能控性结构分解，并判断这个系统是否可反馈镇定.2.已知系统[]10100111x x u y x⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=- ① 设计状态观测器使其极点为-3,-2.② 取反馈控制律为()[]12ˆcos 11ˆxu t x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，求整个闭环系统方程.三、证明题1.对线性时不变系统,n x Ax Bu x R =+∈，若1,,...n M b Ab A b -⎡⎤=⎣⎦且rankM n =试证明系统是完全能控的.2.试证明系统 31211221x x x x x x x ⎧=-+⎨=--⎩的平衡点()0,0是渐近稳定的.一卷答案一、选择题：1.A,2.D,3.B,4.C,5.A,6.C,7.D,8.A,9.B, 10.C.二．计算题 1. 解：1)2101113012M bAbA b -⎡⎤⎢⎥⎡⎤==-⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，()23rank M =< 系统是不完全能控的。
自控控制原理现代控制理论复习要点
2023 WORK SUMMARY
自控控制原理现代控 制理论复习要点
REPORTING
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目录
• 自控控制原理概述 • 现代控制理论基础知识 • 自控控制系统分析方法 • 自控控制系统设计方法 • 现代控制理论的应用实例
自控控制系统的分类
开环控制系统
开环控制系统是指没有反馈环节的系 统，控制器根据设定值直接控制执行 器，受控对象的输出不反馈到控制器。
闭环控制系统
闭环控制系统是指具有反馈环节的系统， 控制器根据设定值和实际值的偏差进行调 节，受控对象的输出通过传感器反馈到控 制器，形成一个闭环的反馈回路。
PART 02
PART 03
自控控制系统分析方法
时域分析法
定义
时域分析法是一种通过在时间域内对控制系统进行直接分析 的方法。
特点
时域分析法能够提供系统在各种输入下的准确响应，包括超 调和调节时间等性能指标。
应用
适用于系统的稳定性和动态性能分析，以及系统设计和优化 。
频域分析法
定义
频域分析法是一种通过将控制系统转换为频率域进行分析的方法。
PID控制器
01
通过调整比例、积分和微分系数，实现对系统的控制性能的优
化。
状态反馈控制器
02
通过将系统的状态反馈到控制器中，实现对系统的全面控制。
观测器
03
通过观测器对系统的状态进行估计，再利用估计的状态对系统
进行控制。
PART 05
现代控制理论的应用实例
航天器姿态控制系统
航天器姿态控制系统是现代控制理论的重要应用领域之一，通过控制航天器的姿态，实现精确的轨道 控制和导航。
现代控制理论基础总复习
P 的符号性质
完全一致
V(x) xTP x的符号性质
希尔维斯特判据
21
李雅普诺夫第二法的主要结论：
V ( x ) 对所有 x 都具有连续的一阶偏导数；
V ( x ) 是正定的；
dV ( x) 分别满足下列条件： V ( x) dt
1 若V ( x ) 为半负定，则平衡状态 x e 为李雅普 诺夫意义下稳定。 这一条称为稳定判据。
18
李雅普诺夫第一法的三条主要结论；
如果系统的Jacobi矩阵 A 的所有特征值都具有 则原非线性系统在平衡状态 x 负实部，
e
是渐近
稳定的，而且系统的稳定性与R ( x ) 无关。 如果Jacobi矩阵 A 至少有一个特征值具有正实部， 则原非线性系统平衡状态
x
e
是不稳定的。
如果Jacobi矩阵 A 至少有一个特征值具有零实部，
9
第九章 线性定常系统状态空间综合法
知识要点
状态反馈闭环系统的概念、传递函数矩阵的结构；
u K x v
W () s C s I A B K K B
输出反馈闭环系统的概念、传递函数矩阵的结构；
1
u H yv
W ( s ) C s I A B H C H B
0
11
对于完全能控的单输入单输出系统
, ,c Ab
0
不能采用输出线性反馈来实现闭环系统极点的任意配置。 系统镇定问题的概念；
系统极点配置问题与镇定问题的联系和区别；
,B ,C A ，采用状态反馈能镇定的 对于系统 0
充分必要条件是： 其不能控子系统渐近稳定。
12
系统
,B ,C A
现代控制理论复习知识点
第二章复习要点
2、状态转移矩阵(续) -α系数的求法：特征值互异；特征值有重复 3、线性定常非齐次方程的解 (自由运动+受迫运动) x’=Ax+Bu x(t)=？ 4、离散时间系统状态方程的解 x(k+1) = G x(k) + H u(k) x(k)=? Gk难求，转化为： Gk=T Λk T-1 Z变换法：x(k)= Z-1[ (ZI-G)-1 ( Zx(0) + Hu(z) ) ]
第二章复习要点
1.线性定常齐次状态方程的解 (自由运动) X’=AX x(t)=Φ(t-t0) x(t0) =eA(t-t0)x(t0), tt0 Φ(t) =eAt：状态转移矩阵 2、状态转移矩阵 性质； 计算： 特殊的状态转移矩阵： A=Λ ？ A=J ？ 利用特殊的状态转移矩阵： eAt=Te ΛtT-1 ; eAt=Te Jt T-1 拉式变换：eAt = L-1 [(SI-A)-1] 凯莱哈密顿定理： eAt = α0I +α1A+… +αnAn-1
第三章复习要点
4、对偶 5、能控、能观性分解 能控性分解：不完全能控，A21=0，Rc=？ 能观性分解：不完全能观，A12=0，Ro=？ 能控能观性分解： 既不完全能控，也不完全能观； A=?，B=?, C=(C1, 0, C2, 0) 两阶段法：先能控分解，后能观分解，此方法不一定保证所有情况都能分解。
标准型及转化 (单输入单输出，系统能控，系统能控) 标准型： 能控标准I型 A (I在右上角)，B=(0, … 0, 1)T，C 能控标准II型 A (I在左下角), B=(1, 0, … 0)T ，C 能观标准I型 A (I在右上角) ，B，C=(1, 0, …, 0) 能观标准II型 A(I在左下角)，B，C= (0, …, 0 1) 直接写出传递函数： 能控I，能观II 转化 能控标准I型(I在右上角) ：Tc1 =? 能控标准II型(I在左下角)：Tc2 =M 能观标准I型(I在右上角) : To1-1 =N 能观标准II型(I在左下角): To2-1 =?
现代控制理论复习
➢课程结构与内容
• 第2章 控制系统状态空间表达式的解
✓ 2.1 线性定常齐次状态方程的解 ✓ 2.2 矩阵指数函数—状态转移矩阵 ✓ 2.3 线性定常系统非齐次方程的解
eAt 的求法
(1)定义法: eAt I At 1 A2t2 1 A3t3
分离定理: 若被控系统（Ａ，Ｂ，Ｃ）可控可观测， 用状态观测器估值形成的状态反馈，其系统的极点配 置和观测器设计可以分别进行．
K阵的求法
（2）直接求状态反馈K:
①验证原系统的能控性。
②定义反馈增益矩阵K, 求闭环系统特征多项式。
K k1 k2
kn
f () I ( A BK ) n an1 n1 a1 a0
1.基本概念（状态、状态变量、状态空间表达式等） 2.模拟结构图 3.状态空间表达式的建立
方框图——状态空间表达式 物理系统——状态空间表达式 传递函数——状态空间表达式（实现）
4.状态变量的线性变换 将状态方程化为对角标准型 将状态方程化为约当标准型 线性变换后系统特征值、传递函数保持不变
5.由状态空间表达式求传递函数
p11
设实对称矩阵
P
p21
pn1
p12 p22
pn2
p1n
p2n
,
pnn
pij p ji
Δi (i 1,2,, n) 为其各阶顺序主子行列式：
pp
Δ1
p11
，
Δ2
11
p
12
p
21
22
，… ， Δn P
(1) 实对称矩阵P为正定的充要条件是P的各阶主
《现代控制理论》复习资料
《现代控制理论》复习资料《现代控制理论》复习资料题型一：已知系统传函，求①能控标准型、能观标准型②约旦标准型例题：P155 3-4、3-9解题步骤：1）根据传函→能控能观标准型传函：0122111012211)(a s a s a s a s s s s s W n n n n n n n n n +++++++++=--------- ββββ① 根据传函有无零极点对消判断是否能观能控② 写出能控标准Ⅰ型(以三阶为例)---=210100010a a a A=100b ][210βββ=c③ 写出能观标准Ⅱ型(以三阶为例)---=210100100a a a A =210βββb ]100[=c2）根据能控标准型→约旦标准型① 求λi ，Pi0||=-A I λ，求得λiλi 互异时，λiPi=APiλi 有重根时，λ1P 1-AP 1=0λ2P 2-AP 2=-P 1λ3P 3-AP 3=-P 2② 求T,T -1T=(P 1，P 2...P n )③ 求T -1AT,T -1B,CTBu T ATz T Z 11--?+=Du CTz y +=题型二：已知状态空间表达式，求①画模拟结构图②判断能控性、能观性③系统传函例题：P56 1-7解题步骤：1）状态空间表达式→模拟结构图P152）状态空间表达式→判断能控、能观性见题型四3）状态空间表达式→传函方法一：根据模拟结构图直接写出传函 (见P23 图)方法二：① 先求1)()(---A sI A sI 、② D b A sI C s W +-=-1)()(题型三：已知状态空间表达式，①求At e t =)(φ②u(t),求x(t)例题：P69 例2-8 P87 例2-6,2-4解题步骤：1)求)(t φ方法一：化为约旦标准型1-=T Te e At At① 求λi ，Pi② 求T,T -1③ 1-=T Te e At At方法二：拉氏反变换])[(11---=A sI L e At① 求1)()(---A sI A sI 、② ])[(11---=A sI L e At方法三：用凯莱-哈密顿定理① 求λi② 求αi (t)③ 两个特征值：I t A t e At )()(01αα+=三个特征值：I t A t A t e At )()()(012ααα++=2)求x(t)τττφφd Bu t x t t x t)()()0()()(0?-+=题型四：已知状态空间表达式(含参数)，判断能控性、能观性(三阶) 例题：P154 3-1解题步骤：方法一：化为约旦表达式A 的特征值互异部分，B 中各行不全为0，则能控；C 中各列不全为0，则能观；A 的特征值相同部分，B 中每个约旦块最后一行不全为0，则能控；C 中每个约旦块第一行不全为0 ，则能观。
现代控制理论基础总复习
第二章线性系统的数学描述数学模型可以有许多不同的形式，较常见的有三种：第一种是：把系统的输入量和输出量之间的关系用数学方式表达出来，称之为输入输出描述，或外部描述；第二种是：不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且还可以描述系统的内部特性，称之为状态空间描述或内部描述；第三种是：用比较直观的方块图（结构图）和信号流图模型进行描述。
910 2.1 线性系统的时域数学模型()(1)(2)121()()()()()n n n n n c t a c t a c t a c t a c t ---+++++()(1)(2)0121()()()()()m m m m m b r t b r t b r t b r t b r t ---=+++++ (2.1) 式中，()r t 和()c t 分别是系统的输入信号和输出信号，()()n c t 为()c t 对时间t 的n 阶导数；i a (1,2,)i n =和j b (0,1,)j m =是由系统的结构参数决定的系数。
2.2 传递函数11m n b s a s --++++++11 式中1011()m m m m M s b s b s b s b --=++++1011()nn n n N s a s a s a s a --=++++()M s 和()N s 分别称为传递函数()G s 的分子多项式和分母多项式。
2.5 线性系统的状态空间描述A Buy C du =+⎧⎨=+⎩x x x(2.3) 2.5.2 状态空间表达式与传递函数的关系1()()G s C sI A B D -=-+(2.4)12 2.5.3 状态空间表达式的建立情形一： 线性微分方程中不含输入的导数项，传递函数没有零点()(1)11n n n n y a y a y a y u --++++= (2.5)情形二 线性微分方程含有输入的导数(不超过3阶)，传递函数有零点 ()(1)()(1)11011n n n n n n n n y a y a y a y b u b u b u b u ----++++=++++ (2.6) 1011111()()n n n nn n n nb s b s b s b Y s U s s a s a s a ----++++=++++(2.7)13 Chp.9 状态空间系统响应、可控性与可观性9.1 线性定常系统的响应已知线性定常连续系统状态方程的一般形式为0()()(), (0)t A t B t =+=x x u x x(2.8) 状态变量的初始值为0x ，控制作用为()t u 。
现代控制理论复习提纲
1 2 2 1 33 1 k k Φ (t ) = e = I + At + A t + A t + K + A t + K 2! 3! k!
At
基本性质： 1. Ф（0）＝I
2. Φ (t ) = Ae At = AΦ (t ) = Φ (t ) A
⋅
可交换 可交换
3.
4.
Φ(t1 ± t2 ) = Φ(t1 ) • Φ(±t2 ) = Φ(±t2 ) • Φ(t1 )
输出可控性判据 输出可控的充分必要条件是，输出可控性矩阵的秩 等于输出变量的维数q，即
rankS
S 0 = CB
0
=q
L CA
n −1
[
CAB
B
D]Βιβλιοθήκη 线性定常系统的可观测性判据
秩判据 线性定常系统完全可观测的充分必要条件是，
C CA =n rank M n −1 C A
Φ −1 (t ) = Φ (−t ) Φ −1 (−t ) = Φ (t )
５.
x(t2 ) = Φ (t2 − t1 ) x(t1 )
６. ７.
Φ (t2 − t0 ) = Φ (t2 − t1 ) ⋅ Φ (t1 − t0 ) [Φ (t )]k = Φ (kt )
非齐次状态方程的解 状态方程
根据系统微分方程建立状态空间表达式
1）输入不含导数项的n阶线性系统 LTI SISOΣ
y
(n)
+ a n −1 y
( n − 1)
+ L + a1 y
(1)
+ a0 y = β 0u
状态变量
x1 = y
现代控制理论总结
2 根据传递函数（微分方程）建立状态空间表达式
考虑单入单出的线性定常系统：
相应的传递函数为：
G(s)
bmsm bm1sm1 sn an1sn1
b1s b0 a1s a0
相应的微分方程为：
c13
(s 1)
n i4
ci
s i
状态变量选取:
x1(s)
(s
1
1)3
U
(s)
(s
1
1)
(s
1
1)2
U
(s)
(s
1
1)
x2 (s)
x2
(s)
(s
1
1)2
U (s)
(s
1
1)
(s
1
1)
U
(s)
(s
1
x Ax bu y cx
x px
x Ax bu y cx
P变换， 变换矩阵： p p1 p2
pn
这里
A p1Ap
b p1b
y cx cpx cx c cp
对系统作线性非奇异变换，其特征值不变。
化A阵为对角阵
a) A阵具有不相同的实数特征值，即λi
1
xn1
0
an1 xn 1
y 0 1
x1
x2
n1
现代控制理论复习总纲
现代控制理论复习总纲判断题部分 5题×2＝10一、（10分，每小题1分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在括号里打√，反之打×。
1、具有对角标准形状态空间描述的系统可以看成是由多个一阶环节串联组成的系统。
(× ) 2、传递函数的状态空间实现不唯一的一个主要原因是状态变量选取不唯一。
(√ ) 3、状态变量是用于完全描述系统动态行为的一组变量，因此都具有物理意义。
( × ) 4、输出变量是状态变量的部分信息，因此一个系统状态能控意味着系统输出能控。
(× ) 5、等价的状态空间模型具有相同的传递函数。
(√ )6、若传递函数存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控的。
(× )7、若线性系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则它是大范围渐近稳定的。
( √ )8、若一线性定常系统的平衡状态是渐近稳定的，则从系统的任意一个状态出发的状态轨迹随着时间的推移都将收敛到该平衡状态。
(√ )9、状态反馈控制可改变系统的稳定性、动态性能，但不改变系统的能控性和能观性。
(× ) 10、如果一个系统的李雅普诺夫函数确实不存在，那么我们就可以断定该系统是不稳定的。
(× ) 11.描述系统的状态方程不是唯一的。
√12.用独立变量描述的系统状态向量的维数不是唯一的。
×13.对单输入单输出系统，如果1()C sI A B --存在零极点对消，则系统一定不可控或者不可观测。
√ 14.对多输入多数出系统，如果1()sI A B --存在零极点对消，则系统一定不可控。
× 15.李雅普诺夫直接法的四个判定定理中所述的条件都是充分条件。
√16.李雅普诺夫函数是正定函数，李雅普诺夫稳定性是关于系统平衡状态的稳定性。
√ 17.线性定常系统经过非奇异线性变换后，系统的可控性不变。
√ 18.用状态反馈进行系统极点配置可能会改变系统的可观测性。
现代控制理论总复习
显然其秩为2。而系统的状态变量维数n=3,所以 状态不完全能控。
[推论]若A为约旦型(对角线规范形视为其特例)，则系 统能控的充要条件是 （1）B中对应于互异的特征值的各行，没有一行的元 素全为零。
（2）B中与每个约旦块最后一行相对应的各行，没有 一行的元素全为零。
例 判断下列系统的能控性
2 0 1 (1)、A , B 0 0 1
解 (1) 首先求出矩阵指数函数eAt,其计算过程为
sI A s 2 3s 2 ( s 1)( s 2) ( sI A)1 s 3 1 adj( sI A) 1 sI A ( s 1)( s 2) 2 s 1 1 1 2 s 1 s 2 s 1 s 2 1 2 2 2 s 1 s 2 s 1 s 2
xx
)
系统的状态空间描述 2
具体要求 1 熟练掌握根据以下给定形式，建立状态空间 表达式 结构图、传递函数、微分方程
特别注意: 1 分子分母的阶次相等时: 2 多输入多 2 s2 s2
由模拟图写状态方程
d u 3 2
47
下列的系统是完全能观测的吗
1 0 (1) x x, y 0 1x 0 2
2 1 0 0 2 1 x, y1 0 1 3 x ( 2) x y 0 1 4 0 0 2 2
(1)
36
（1）解
e At
e 2 t 0 0
0 e 2 t 0
0 0 e 2t
（2）解
e 2t At e 0 0 0 e 3t 0 0 3t te e3t
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2．多输入系统
多输入系统，其状态方程为 Ax Bu x
(15)
M ( B, AB, A2 B,, An1B)
式中，B为nr阶矩阵；u为r维列矢量。 其能控的充分必要条件M的秩为n.
安徽理工大学电气系
定常系统能观性的判别 方法一 系统矩阵A为对角线型的情况下，系统能观的充要条件是出 矩阵C中没有全为零的列。
b21 b22 如果 b b 行线性无关，则状态能控 41 42 安徽理工大学电气系
单输入系统，从系统的传递函数阵判断系统的能控性 u-x 间的传递函数阵为：
Wux (s) (sI A) 1 b
(Page-44，45)
状态完全能控的充分必要条件是Wux(s)没有零点和极点重 合现象。否则被相消的极点就是不能控的模式，系统为不 能控系统。
无零极点相约，故能控且能观测。可以化为能控标准型。 所以：
0 6, 1 11, 2 6 0 5, 1 4, 2 1
1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 , 2 6 11 6 0 Bc 2 0 1
安徽理工大学电气系
直接通过 A和C构造N 矩阵 定常系统能观性的判别 方法二
系统能观的充要条件 rankN=n
C CA N n 1 CA
判断好系统的能控和能观性之后 求解系统的能控标准型和能观标准型 1．能控标准 I型 若线性定常单输入系统： (1)
(12) 安徽理工大学电气系
例：写出以下传递函数的能控标准II型。
s2 4s 5 G ( s) 3 s 6 s 2 11s 6
解：
s2 4s 5 ( s 2)2 1 G( s) 3 2 s 6 s 11s 6 ( s 3)( s 2)( s 1)
(16) (17) (18)
取变换阵
： (19)
y(t ) x1 (t )
解：
1 0 0 A , b , c 1 0 1 2 1
s2 2 ( s 1 ) ( sI A) 1 1 2 ( s 1 ) 1 ( s 1) 2 s ( s 1) 2
有： 系统的状态空间表达式才可能导出能观标准型。 状态空间表达式的能观标准型也有两种形式，能观标准 型和能 观标准 型，它们分别与能控标准 1．能观标准 型 若线性定常系统： (13)
是能观的，则存在非奇异变换：
型和能控标准
型相对偶。
(14)
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使其状态空间表达式(13)化成：
(15) 其中
系统的能控性；另一种方法是直接根据状态方程的 A 阵和 B 阵，确定
(1)
或
(2)
式中 安徽理工大学电气系
安徽理工大学电气系
•系统的能控性，取决于状态方程中的系统矩阵A和控制矩阵b。 •在A为对角阵的情况下，如果b的元素有为0的，则系统是不完 全能控的 •在A为约旦标准矩阵时，只有当b中相应于约旦块的最后一行的 元素为零时，系统是不完全能控的。 •不能控的状态，在结构图中表现为存在与u(t)无关的孤立块。
s 1 (sI A) 1 s 2
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Φ(t ) L
1
sI A
1
(1 t )e t t te
t
te t t (1 t )e
y(t ) cx(t ) cΦ(t )x(0) c Φ( )bu(t )d
是能控的，则存在线性非奇异变换：
(2)
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(3) 使其状态空间表达式(1)化成能控标准1型： (4)
0 其中 0 1 A Tc AT 1 c1 0 a 0
1 0 0
0 0 0
a1 an 2
0 0 1 an 1
控标准II型为：
0 Ac 2 0 0
Cc 2 [ 0
1 2 ] 5 4 1
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套路总结
• 先根据M或零极点判别系统的能控性
• 计算系统的Tc1和Tc2
• 计算
A
b
C
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单输出系统的能观标准型
与变换为能控标准型的条件相似，只有当系统是状态完全能观时，即
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例 将下列状态空间表达式变换成能控标准 I 型
1 2 0 2 3 1 1 X 1 u X y 0 0 1 X 解：方法一，（ 1）判别系统的能控性 0 2 0 1
2 4 16 系统能控，可以化为能控标准型。 2 rankM rank b Ab A b rank 1 6 8 3 1 2 12
1 2
0 1 0 0 还可以直接写出系统的传递函数： 0 0 1 X 0 u X y 3 2 1 X 2 9 0 1
2 s 2 1s 0 s 2 2s 3 W ( s) 3 3 2 s 2 s 1s 0 s 9s 2
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直接从A与B判别系统的能控性
1．单输入系统 线性连续定常单输入系统 Ax bu x
(13)
其能控的充分必要条件是由A，b构成的能控性矩阵
M (b, Ab, A2b,, An1b)
(14)
满秩，即rankM=n. 否则，当rankM<n时，系统为不能控的 。
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(5)
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称形如式(4)的状态空间表达式为能控标准I型。 其中
ai (i 0,1,, n 1) 为特征多项式：
I A n an1n1 a1 a0
的各项系数。
i (i 0,1,, n 1)
是cTc1相乘的结果，即
0 c ( An 1b an 1 An 2 b a1b) n 2 c ( Ab an 1b) n 1 cb
所以标准型实现的第一步是判断能控和能观性，下面看一下怎么 判断能控和能观性。
线性定常系统的能控性判别
线性定常系统能控性判别准则有两种形式，一种是先将系统进行 状态变换，把状态方程化为约旦标准型 其能控性。 具有约旦标准型（或者变换为约旦标准型）系统的能控性判别 1．单输入系统 具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为： ，再根据 阵，确定
0
(1 t )e e d
t 0
t
(1 t )e de 1
t 0
t
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套路总结：
• 1.先写出系统矩阵A, 控制矩阵B, 输出矩阵C • 2.求解状态转移矩阵：a.由定义求解（难以得到解析式，不推荐）
•
• •
b.变换系统矩阵为对角阵、约旦阵 Page-62（推荐）
（速成版----为考试量身打造）
安徽理工大学电信学院
1.线性定常系统非齐次方程的解
线性定常系统非齐次方程解的组成：
自由运动+强制运动
当初始时刻
初始状态
时，其解为： （2）
式中，
。
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当初始时刻为 ，初始状态为 式中，
。
时，其解为：
证明过程: 1.积分法，详见Page-69 2.拉氏变换法:
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注意：如果在约旦标准阵中出现两个以上同一特征值有关
的约旦块，对单输入系统，系统是不能控的；对多输入系统
，则要考察T-1B中，与那些相同特征值对应的约旦块的最后
一行元素所形成的矢量是否线性无关，如果线性无关，系统 才是能控的。
含义：
1 1 0 1 对于： x 0 0 1 1 0 1 x1 b11 x b 2 21 x3 b31 x4 b41 b12 b22 u b32 b42
2 C CTc1 C A b
பைடு நூலகம்
0 b 0 1
0 0 1
1 0 Ab b 2 1 1 2
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16 4 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 8 6 1 12 2 1 9 0 1 1 0 0 3 I 4）得到系统的能控标准 型为： （ 2 1 0 1 0 2 1 0 12 9 0 1
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（2）A的特征多项式
I A 3 9 2
0 2, 1 9, 2 0 （3）计算 可直接写出 A, b , C ：
A, b C
1 0 0 1 0 0 需通过计算得到 0 0 1 A 0 0 1 0 1 2 2 9 0
上式左乘
，得： （5 ）
注意式（5）等式右边第二项，其中：
两个拉氏变换函数的乘积是一个卷积的拉氏变换，即
以此代入式（5），并取拉氏反变换，即得
：
x(t ) L1 (sI A)1 x(0) L1 (sI A)1 BU(s)
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三种常见的激励及其对应的解（Page-70）
若第i列全为零，则状态变量xi(t)为不能观的。 在系统矩阵为约旦标准型矩阵的情况下，系统能观的充分必 要条件是输出矩阵C中，对应每个约旦块开头的一列（首列 ）的元素不全为零。
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注意： 约旦阵J中没有两个约旦块与同一特征值有关，如果有两个 约旦块与同一个特征值有关，则每个约旦块开头的一列（ 首列）线性无关；