高数2-8微分在近似计算中的应用

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高数啊高数2章小结

小结内容概述
核心概念
包括极限、连续、导数等基本概念的定义、性质和计算方法
。
重要定理
介绍并证明与第二章内容相关的重要定理，如夹逼定理、中值定理等。
解题方法
总结第二章中常见的解题方法和技巧，如求极限的方法、判断连续性的方法、求导数的方法等。
应用示例
通过具体例题演示第二章知识的应用，加深学习者对知识点
积分的应用
利用积分求解平面图形的面积、体积等问题。
04 学习方法总结与分享
有效记忆和理解知识点方法
归纳总结法
将每个章节的知识点进行归纳总结，形成知识网络，有助于整体
把握和记忆。
对比分析法
对于相似或易混淆的知识点，进行对比分析，明确它们的区别和联系，加深理解。
图文结合法
利用图表、图像等直观工具辅助记忆和理解，使抽象知识更加具体化、形象化。
的理解和掌握。
02 第二章核心知识点回顾
函数与极限
01
02
03
函数的概念与性质
包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等基本性质。
极限的概念与性质
了解极限的定义、性质以及计算方法，如极限的四则运算法则、夹逼定理等。
无穷小与无穷大
理解无穷小与无穷大的概念，掌握它们之间的关系以及无穷小的比较方法。
注意计算过程
计算过程中要保持清晰、有条理，避免因为计算错误导致整个题目失分。
及时回顾和总结
做完题目后要及时回顾和总结，分析错误原因，避免再犯同样的错误。
05 后续章节预习提示
第三章主要内容概述
多元函数的基本概念
包括多元函数的定义、极限、连续等基本概念，以及偏导数、全微分等重要概念。

完整版高数一知识点

完整版高数一知识点一、导数与微分高等数学中，导数是一种表示函数变化率的工具。

它是研究函数在某一点上的局部性质和变化趋势的基本概念。

导数可以通过极限的概念进行定义，表示函数在某一点上的瞬时变化率。

导函数的计算方法包括：1. 基本函数的导数公式：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。

2. 四则运算法则：求导的四则运算法则包括加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。

3. 复合函数的求导：使用链式法则求解复合函数的导数。

微分是导数的应用之一，用于研究函数的近似变化。

微分的计算方法包括：1. 微分的定义：微分可以通过导数来进行计算，表示函数在某一点上的变化量。

2. 微分的近似计算：使用微分近似计算可以帮助我们在没有具体数值的情况下估计函数的变化。

二、不定积分与定积分不定积分是求解函数原函数的过程，也被称为反导数。

不定积分可以表示函数的面积、函数的平均值等。

计算不定积分的方法包括：1. 基本积分公式：根据一些基本函数的导数公式，可以得到相应的不定积分公式。

2. 积分的线性性质：积分具有线性性质，即函数的线性组合的积分等于各组成函数的积分之和。

3. 特殊函数的积分：对于一些特殊的函数，可以通过一些特殊的方法进行积分。

定积分是求解函数在某一区间上的面积的过程，也被称为积分。

定积分可以表示弧长、质量、体积等物理量。

计算定积分的方法包括：1. 定积分的定义：定积分可以通过分割区间，计算分割点上函数值与区间长度的乘积之和来进行计算。

2. 积分的性质：定积分具有一些性质，例如积分的线性性质、积分的区间可加性等。

3. 牛顿-莱布尼茨公式：牛顿-莱布尼茨公式给出了定积分与不定积分之间的关系。

三、常微分方程常微分方程是研究函数的导数与自变量之间关系的方程。

它是高等数学中一个重要的分支，应用广泛。

常微分方程的求解方法包括：1. 可分离变量法：对于可分离变量的常微分方程，可以通过分离变量并积分的方法进行求解。

有关高数的知识点总结高一

有关高数的知识点总结高一高数（即高等数学）是大学必修的一门重要课程，它对于培养学生的逻辑思维能力和数学建模能力具有重要意义。

而在高中阶段，学生们也开始接触和学习高数。

接下来，我将对高一学生需要了解的高数知识点进行总结。

一、导数与微分导数是高数中的重要概念，它描述的是一个函数在某一点上的变化率。

在高中阶段，我们主要学习了常用函数（如多项式函数、指数函数、对数函数等）的导数求法，以及导数的几何意义。

微分是导数的一个重要应用，它用于计算函数在某一点上的近似变化量。

在高中阶段，我们主要学习了一阶导数和二阶导数的概念，以及利用微分求极值和拐点的方法。

二、函数与极限函数是高数中的另一个重要概念，它描述了变量之间的关系。

在高中阶段，我们学习了多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等各种基本函数的性质和图像。

极限是高数中的核心概念之一，它用于研究无穷小量和无穷大量的性质。

在高中阶段，我们主要学习了极限的定义、性质以及常用的极限计算方法（如极限的四则运算、夹逼准则等）。

三、曲线与积分曲线是高数中的一个重要概念，它是由函数的图像所描述的几何图形。

在高中阶段，我们学习了曲线的方程、性质以及相关的几何意义。

积分是导数的逆运算，它描述的是曲线下的面积或者函数的累积变化量。

在高中阶段，我们主要学习了不定积分和定积分的概念，并通过反常积分了解了积分的一些特殊性质。

四、微分方程与数列微分方程是高数中的一个重要内容，它描述了函数之间的关系以及变化规律。

在高中阶段，我们学习了常微分方程的基本概念、解法和应用，如一阶线性微分方程、二阶常系数齐次线性微分方程等。

数列是数学中的一个重要概念，它是由一些按照一定规律排列的数所组成的序列。

在高中阶段，我们主要学习了数列的概念、性质以及常用数列的求和公式。

以上只是高一阶段高数知识点的一个概述，每个知识点都有其具体的定义、性质和应用。

而在高一的学习过程中，我们更应该注重理解和掌握概念的本质，培养数学思维和解决问题的能力。

大一高数知识点全总结

大一高数知识点全总结一、导数与微分大一高数的第一个重点知识点是导数与微分。

导数是研究函数变化率的工具，表示函数在某一点处的切线斜率。

微分则是导数的另一种表达方式，它是建立在导数的基础上，用于在某一点附近对函数进行线性逼近。

在学习导数与微分时，需要注意以下几个重要的概念和公式：1. 导数的定义：导数可以用函数的极限表示，即 f'(x) =lim(Δx→0) (f(x+Δx)-f(x))/Δx，其中 f'(x) 表示函数 f(x) 在点 x 处的导数。

2. 常见函数求导法则：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的导数可以利用一些基本的求导法则确定。

3. 高阶导数：函数的导数也可以再次求导，得到的导数称为高阶导数。

4. 微分的定义：函数 y = f(x) 在点 x 处的微分可以表示为 dy = f'(x)dx。

5. 微分的应用：微分可以用来进行近似计算，比如在物理上的位移、速度和加速度等问题中的应用。

二、极限与连续极限与连续是大一高数的第二个重点知识点。

极限是数列、函数趋近于某个确定值的概念，连续则是函数在某一区间内无断点的特性。

在学习极限与连续时，需要注意以下几个重要的概念和定理：1. 数列极限的定义：对于一个数列 {an}，若存在常数 A，使得当 n 趋于无穷时，an 与 A 的差值无限接近，则称数列 {an} 的极限为 A。

2. 函数极限的定义：对于一个函数 f(x)，若存在常数 A，使得当 x 趋于某个值 x0 时，f(x) 与 A 的差值无限接近，则称函数 f(x) 的极限为 A。

3. 极限的性质与四则运算：极限具有唯一性和有界性，并且可利用四则运算法则求解。

4. 无穷小量与无穷大量：无穷小量是指当 x 趋于某个值时，其极限为 0 的量；无穷大量是指当 x 趋于某个值时，其绝对值无限增大的量。

5. 连续函数的定义与性质：函数在某一点 x0 处连续，意味着函数在 x0 处的极限等于函数在 x0 处的取值，并且连续函数的四则运算结果仍然是连续函数。

第十四讲微分的近似计算

第十四讲微分的近似计算微分是数学分析中的重要概念之一，它描述了函数在其中一点的变化率。

在实际应用中，我们常常需要对函数进行近似计算。

本文将介绍微分的近似计算方法，包括线性逼近、泰勒展开和拉格朗日中值定理等。

首先，我们来看线性逼近方法。

线性逼近是一种简单且直观的计算方法，它基于线性近似的原理。

对于一个在$x=a$处可导的函数$f(x)$，我们可以使用线性逼近来近似计算$f(x)$在$x=a+h$处的值。

根据导数的定义，我们有$f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$。

将$h$取得很小，我们可以将$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$近似为$f'(a)$，得到$f(a+h) \approx f(a)+hf'(a)$。

这个近似值称为函数$f(x)$在$x=a+h$处的线性逼近值。

接下来是泰勒展开方法。

泰勒展开是一种比线性逼近更精确的近似计算方法，它基于多项式的原理。

对于一个在$x=a$处可导的函数$f(x)$，泰勒展开可以将函数$f(x)$在$x=a$处的值展开为无穷级数的形式。

具体而言，泰勒展开可以近似表示为$f(x) \approx f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+..+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+..$，其中$f^{(n)}(a)$表示函数$f(x)$在$x=a$处的$n$阶导数。

这种展开形式可以近似计算$f(x)$在$x=a+h$处的值。

最后是拉格朗日中值定理方法。

拉格朗日中值定理是微积分中的一种重要定理，它给出了函数在其中一区间内的平均变化率与极值点处的变化率之间的关系。

对于一个在$x=a$和$x=b$之间连续且可导的函数$f(x)$，拉格朗日中值定理可以得到$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，其中$c\in (a,b)$。

大学数学常微分方程的解法与应用

大学数学常微分方程的解法与应用数学在科学研究和工程应用中起着重要的作用，而微分方程则是数学中的一大分支。

大学数学常微分方程是数学专业必修课程之一，它研究的是未知函数的导数与自变量之间的关系。

本文将介绍常微分方程的解法及其在实际问题中的应用。

一、常微分方程的解法1. 分离变量法分离变量法是常微分方程求解中最常用的方法之一。

它适用于形如dy/dx = f(x)g(y)的一阶常微分方程。

具体步骤如下：（1）将方程中的含有y和x的项分别放在一边，得到dy/g(y) =f(x)dx。

（2）对方程两边同时积分，得到∫dy/g(y) = ∫f(x)dx。

（3）对积分后的表达式进行求解，得到y的解析表达式。

以一个简单的例子来说明分离变量法的应用。

考虑方程dy/dx = x/y，我们可以将方程改写为ydy = xdx，然后对方程两边同时积分，得到∫ydy = ∫xdx，最后求解得到y^2 = x^2 + C。

2. 常系数齐次线性微分方程的解法常系数齐次线性微分方程指的是形如dy/dx + ay = 0的一阶微分方程，其中a为常数。

对于这类微分方程，我们可以使用特征方程法来求解。

具体步骤如下：（1）将方程改写为dy/y = -adx。

（2）对方程两边同时积分，得到∫dy/y = ∫-adx。

（3）求解积分后的表达式，得到y的解析表达式。

例如，考虑方程dy/dx + 2y = 0，我们可以将方程改写为dy/y = -2dx，然后对方程两边同时积分，得到∫dy/y = -2∫dx，最后求解得到y = Ce^(-2x)，其中C为常数。

二、常微分方程的应用1. 物理学中的应用常微分方程在物理学中有着广泛的应用。

例如，牛顿第二定律F=ma可以通过微分方程来描述。

考虑一个质点在平面上运动，其速度为v(t)，则根据牛顿第二定律，我们可以得到质点的运动方程mdv/dt = F，其中m为质量，F为合力。

这个方程可以化简为一阶微分方程，进而求解得到速度随时间的变化规律。

高等数学 2-8微分在近似计算中的应用

章节题目
第八节微分在近似计算中的应用
内容提要
计算函数增量的近似值
计算函数的近似值
误差估计
重点分析
计算函数的近似值
难点分析
计算函数的近似值
习题布置
：4、5（1）、8（1）、12
备注
教学内容
一、计算函数增量的近似值
例1
解：
二、计算函数的近似值
例1
解：
常用近似Байду номын сангаас式
证明：
例2
解：
三、误差估计
由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差.
定义：
问题:在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得?
办法:将误差确定在某一个范围内.
通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差.
例3
解：
四、小结
近似计算的基本公式

微分的近似计算

微分的近似计算微分是微积分中的一种运算，用来描述函数在某一点上的变化率。

计算微分的方法有很多，其中一种常用的方法是利用导数的定义公式，即使用极限来计算函数的变化率。

对于一个实函数f(x)，如果在其定义域内存在一点a，使得当x无限靠近a时，函数值f(x)也无限靠近一个实数L，那么称L为函数f 在点a处的极限，并记为：lim┬(x→a)⁡〖f(x)=L.〗利用函数的极限和导数的定义，可以计算函数在某一点的微分。

设函数f(x)在点a处存在导数，则f(x)的微分可用下式近似计算：Δy=dy=f'(a)dx.这个式子表明，如果函数f(x)在点a处可导，则自变量的微小变化dx引起因变量的微小变化dy，即Δy=f'(a)dx。

这意味着函数在点a附近的变化可以使用导数来近似表示。

在实际应用中，计算微分可以通过以下几种方法：1.使用导数的定义公式计算微分：根据函数的极限定义，可以通过求导数来计算函数在某一点的微分。

例如，对于函数f(x)=x^2，求其在点a处的微分，可以通过求导得到f'(x)=2x，然后将x=a代入，即可得到微分。

2.使用导函数的性质计算微分：对于一些常见的函数，可以利用已知的导函数性质来计算微分。

例如，对于幂函数f(x)=x^n，其导数为f'(x)=nx^(n-1)，可以利用该导数性质来计算函数的微分。

3.使用微分的近似计算：当函数在某一点无法直接求导时，可以利用微分的近似计算方法来估计函数在该点的微分。

这种方法常用于数值计算和数值模拟中。

例如，利用切线的斜率来近似计算函数的微分。

微分的近似计算还包括以下几种方法：a.利用切线的斜率：在点a处，函数f(x)的切线斜率为f'(a)，可以使用该斜率来近似计算函数的微分。

首先，选择一个小的增量h，然后计算函数在点a+h处的值和点a处的值的差，即Δy=f(a+h)-f(a)。

根据直角三角形的斜率公式，切线的斜率等于Δy/Δx，其中Δx=h，所以Δy=f'(a)h。

微积分在近似运算中的应用

例3 正方形边长为2.41 0.005米, 求出它的面积 ,
并估计绝对误差与相对误差.
解设正方形边长为 x , 面积为y, 则 y x .
2
当x 2.41时,
y (2.41) 2 5.8081(m 2 ).
x 2.41
y
x 2.41
2x
4.82.
边长的绝对误差为 x 0.005,
一、计算函数增量的近似值
若y f ( x )在点x0处的导数f ( x0 ) 0, 且 x 很小时,
y
x x0
dy
x x0
f ( x0 ) x .
, 半径伸长了例1 半径10厘米的金属圆片加热后 0.05厘米,问面积增大了多少 ?
2 设 A r , r 10厘米, r 0.05厘米. 解
二、利用微分计算当 x 由45 变到 4510 时，函数 y cos x 的增量的近似值(1 0.017453弧度).
,ห้องสมุดไป่ตู้
练习题
三、已知单摆的振动周期T 2
l ，其中g 980 厘 g
米/秒 2， l 为摆长（单位为厘米），设原摆长为 20 T 增大 0.05 秒，摆长约需加长多厘米，为使周期少？
1 (1) 1 x 1 x; ( 2) sin x x ( x为弧度); n ( 3) tan x x ( x为弧度); (4) e x 1 x; (5) ln(1 x ) x . 1 1 1 n 证明 (1) 设 f ( x ) n 1 x , f ( x ) (1 x ) , n 1 f (0) 1, f (0) . n x f ( x ) f ( 0) f ( 0) x 1 . n

微分的运算法则_微分在近似计算中的应用

3 3
1 0.02 3
y dy
1 1.02 1 0.02 （3）套y dy 3
3
1.02 1.0067
练习
插入视频中间
运用微分计算 9998 的近似值可得，9998 99.99.
A. √
B. ×
参考答案：A
第五节小结
一.函数的微分
微分的定义、公式、几何意义
我们发现 y = f (u) , 当 u 为中间变量时的微分形式与 u 为自变量时的微分的形式相同 , 均为 dy = f (u) du , 这种性质称为函数的微分形式不变性 .
例1
已知函数y ln(2 x )，求dy.
方法一
3
解
利用dy ydx可得 :
3
3 dy ln(2 x ) dx 3 (2 x ) 3 6 x dx dx x 2x 2x
所以, 球的体积增量大约为62.8 厘米。
立方
例3
求3 1.02的近似值
解
y
3
x
x 0.02
（1）设函数
x0 1
y f ( x0 x) f ( x0 ) f (1.02) f (1) （2）算y与dy
3 1.02 3 1
dy
1 1 2 3 yx 3 x x 3 2 x 3 x
二.微分的运算法则
1.微分基本公式
导数的基本公式
1 (x ) x
微分的基本公式
dx x 1dx
da x a x ln adx
1 d loga x dx x ln a
(a x ) a x ln a
1 (log a x) x ln a

2.5函数的微分及其在近似计算中的应用

2.5 函数微分及其在近似计算中的应用
例2.5.10 要在一个半径为10cm的球的外侧, 镀上一层厚度为0.1cm的铜，估计要用多少克铜 ?(已知铜的密度为8.9( g / cm3 ), 取 3.14).
解设球半径为R，体积为V
4 3 则球体的体积函数为 V R ,V 4R 2 , 3
(6) arcsin x x (7) arctan x x
2.5 函数微分及其在近似计算中的应用
证：
n
1 1 x 1 x n
1 n n
1 n (1)设f ( x) 1 x ，则f ( x) (1 x) n

1 n n (1 x)
n 1
,
f (0) 1 0 1, f (0)
(1) d (C ) 0(C为常数； )
(2)d ( xu ) uxu 1 dx;
1 (5)d (loga x) dx; x ln a (8)d (cos x) sin x dx;
(4)d (e ) e dx;
x
x
(3)d (a x ) a x ln a dx; 1 (6)d (ln x) dx; x (9)d (tan x) sec 2 dx;
1 1 x
2
dx; (14)d (arccos x)
dx;
1 (15)d (arctan x) dx; 2 1 x
1 (16)d (arc cot x) dx. 2 1 x
2.5 函数微分及其在近似计算中的应用
2.微分的四则运算法则设u和v都是x的可微函数, 则
(2) cos t dt
1

高数第三章微分中值定理

增量y的精确表达式 .
拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 微分中值定理
22
拉格朗日中值定理又称有限增量定理.
推论1 如果函数 f ( x ) 在区间 I 上的导数恒为零,
那末 f ( x ) 在区间 I 上是一个常数.
推论2 如果在区间 I 上 f ( x ) g( x ),
那末在区间 I 上
如果函数 f (x) 满足
(2) 在开区间 (a, b)内可导;
则在 (a, b)内至少存在一点 ( a < < b), 使得
f (b) f (a ) f ' ( ). ba
19
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有一点 C , 在该点处的切线平行于弦 AB.
y
C
y f ( x)
使
f (1 ) f ( 2 ) f ( 3 ) 0
( x ) e x 2ax b 连续、可导 f 对 f ( x ) 在[1 , 2 ],[ 2 , 3 ] 用罗尔定理得
17
1 1 2 2 3 f (1 ) f (2 ) 0 ( x ) e x 2a 连续、可导 f 使
重点
微分中值定理 Taylor公式
L， Hospital法则
求函数的极值和最值
5
难点
中值定理 L， Hospital法则的运用
利用中值定理证明不等式
基本要求
①正确理解和掌握R、L、C、T定理及它们之间的关系
②熟练运用L—法则求未定式的极限
③掌握函数展开成Taylor公式的方法，熟记 x e , sin x , cos x , ln(1 x ), (1 x ) 的Taylor公式

微分在近似计算中的应用

所以 sinx ≈sin0+ cos0 · x=x
所以 ln(1+x ) ≈x
由于 (ln(1+ x)) = 1/(1+x) 由于 (e x) =e x
所以 e x ≈ x
总结
1.微分的近似计算的方法就是利用函数曲线在某点的附近的近似直线（切线）来计算函数近似值的方法
2.如果函数在某点函数值及其导数值容易计算时，就可以利用微分近似计算公式来计算函数在该点附 .
解设 f (x) = arctan x , 所以 f (x ) =(arctan x)=1/(1+x2)
设 x0=1, x=0.05 ，所以 f (1 ) =arctan 1= /4
由得
f (1 ) =1/(1+12) = 1/2
f (x0+x ) ≈f (x0)+ f (x0)· x f (1.05 ) ≈f (1)+ f (1)· 0.05

4
0.025
当 |x| << 1 时，由近似公式 f (x0+x ) ≈f (x0)+ f (x0)· x
即当 x0=0 ,|x| = |x| << 1 时，
f (x ) ≈f (0)+ f (0)· x 如当 x0=0 ,|x| = |x| << 1 时，
由于 (sin x) =cos x
微分在近似计算中的应用
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什么是瞬时速度？
怎样计算函数值呢？计算近似值也是需要的。
切线方程： y=f (x0)+f (x0)(x-x0)
y = f(x) y0
x0
微分在近似计算中的应用 !

微分在近似计算与误差估计中的应用

微分在近似计算与误差估计中的应用一、预备知识1．利用一元函数的微分进行近似计算和误差估计若一元函数y＝f(x)在点x0可微，则当|Δx|很小时，有f(x0＋Δx)－f(x0)≈f′(x0)Δx要计算f(x)的值，可找一个邻近于x的x0，使f(x0)与f′(x0)易于计算，然后用x代换(1)式中的x0＋Δx，求得f(x)的近似值为f(x0)＋f′(x0)Δx，其中Δx＝x－x0．2．利用全微分进行近似计算与误差估计若二元函数z＝f(x，y)在点(x0，y0)可微，则Δz＝dz＋o(ρ)＝f′x(x0，y0)Δx＋f′y(x0，y0)Δy＋0(ρ)Δz≈dz＝f′x(x0，y0)Δx＋f′y(x0，y0)Δy或f(x0＋Δx，y0＋Δy)≈f(x0，y0)＋f′x(x0，y0)Δx＋f′x(x0，y0)Δy(3)若三元函数u＝f(x，y，z)在点(x0，y0，z0)可微，则Δu≈du＝f′x(x0，y0，z0)Δx＋f′y(x0，y0，z0)Δy＋f′x(x0，y0，z0)Δz或f(x0＋Δx，y0＋Δy，z0＋Δz)≈f(x0，y0，z0)＋3．绝对误差、相对误差在实际工作中，某个量的精确值往往是无法知道的，于是绝对误差和相对误差也就无法求得．但是根据测量仪器的精度等因素，有时能够确定误差在某一个范围内，如果某个量的精确值是A，测得它的近似值是a，又知道它的误差不超过δA，即|A－a|≤δA二、应用例题例1求sin29°的近似值．例2证明：近似公式利用上面公式，则例3为了计算出球的体积准确到1％，问度量球半径R时，所产生的相对误差应不超过多少？所以度量球半径R时，所产生的相对误差不得超过0.33％．例4证明：根据正切对数表所求得的角度，比用具有同样多位小数正弦对数表求得的角度更为精确．证明设y1(x)＝lntanx，y2(x)＝lnsinx，则若对数表具有n位，则一般来说，根据正切对数表所求得的角度，比用具有同样多位小数的正弦对数表求得的角度更为精确．例5求1.083.96的近似值．解设f(x，y)＝x y，令x0＝1，y0＝4，Δx＝0.08，Δy＝－0.04，由公式(3)，有1.083.96＝f(x0＋Δx，y0＋Δy)≈f(1，4)＋f′x(1，4)³0.08＋f′y(1，4)³(－0.04)＝1＋4³0.08＋1³ln1³(－0.04)＝1＋0.32＝1.32例6现测得某三角形两边及其夹角分别为a＝12.50，b＝8.30，C＝30°．测量a，b的误差为±0.01，C的误差为±0.1°，求用公式计算三角形面积时，所产生的绝对误差与相对误差．解依题意测量a，b，C绝对误差限分别为|Δa|＝0.01，|Δb|由公式(4)，有将各数据代入上式得S的绝对误差为|ΔS|≈0.13．及从而，S的相对误差为求方程的近似解，可分两步进行：第一步是确定根的大致范围，即确定一个区间[a，b]，使所求的根是位于这个区间内的唯一实根，称为根的隔离，并称此区间[a，b]为隔离区间．第二步是以根的隔离区间的端点作为根的初始近似值，逐步提高根的近似值的精确度，直至得到满足精确度要求的近似解为止．1．二分法设函数f(x)在区间[a，b]上连续，f(a)²f(b)＜0，且方程f(x)＝0在(a，b)内仅有一个实根ξ，于是[a，b]即为这个根的一个隔离区间．例7用二分法求方程x3＋1.1x2＋0.9x－1.4＝0的实根的近似值，精确到10-3(即误差不超过10-3)．解设f(x)＝x3＋1.1x2＋0.9x－1.4，x∈R显然，f(x)在R上连续，可导，且f′(x)＝3x2＋2.2x＋0.9上严格递增，方程f(x)＝0仅有一个实根．由f(0)＝－1.4＜0与f(1)＝1.6＞0知，方程f(x)＝0的根在[0，1]内，取a＝0，b＝1，则[0，1]即是一个隔离区间．经计算，有ξ1＝0.5，f(ξ1)＝－0.55＜0，取a1＝0.5，b1＝1；ξ2＝0.75，f(ξ2)＝0.32＞0，取a2＝0.5，b2＝0.75；ξ3＝0.625，f(ξ3)＝－0.16＜0，取a3＝0.625，b3＝0.75；ξ4＝0.687，f(ξ4)＝0.062＞0，取a4＝0.625，b4＝0.687；ξ5＝0.656，f(ξ5)＝－0.054＜0，取a5＝0.656，b5＝0.687；ξ6＝0.672，f(ξ6)＝0.005＞0，取a6＝0.656，b6＝0.672；ξ7＝0.664，f(ξ7)＝－0.025＜0，取a7＝0.664，b7＝0.672；ξ8＝0.668，f(ξ8)＝－0.010＜0，取a8＝0.668，b8＝0.672；ξ9＝0.672，f(ξ9)＝－0.002＜0，取a9＝0.670，b9＝0.672；ξ10＝0.671，f(ξ10)＝0.001＞0，取a10＝0.670，b10＝0.671．于是，0.670＜ξ＜0.671．要用0.670作为根的不足近似值，或用0.671作为根过剩近似值，其误差都小于10-3．设f(x)在[a，b]上存在二阶导数，f(a)²f(b)＜0，且f′(x)与f″(x)在[a，b]上保持定号，则方程f(x)＝0在(a，b)内有且仅有一个实根ξ．[a，b]即为根的一个隔离区间，由f′(x)与f″(x)的正、负号之间有不同的组合，曲线y=f(x)在[a，b]上图形只有如图所示的四种不同的情形．2．弦位法标作为方程根的近似值，这种方法称为弦位法．如果f′(x)与f″(x)同号，令x0＝a，以点A(x0，f(x0))为已知点的弦AB方程为令y＝0，求得这弦与x轴的交点横坐标x1是如果f′(x)与f″(x)异号，令x0＝b，用同样方法，求得弦与x轴的交点横坐标x1是由图可见，弦AB与x轴的交点的横坐标x1比a(情形(a)，(d))或比b(情形(b)，(c))更接近方程根ξ．用同样方法，从新区间[x1，b]或[a，x1)出发，可得比x1更接近ξ的x2，如此继续下去，一般地，从区间[xn-1，b]或[a，xn-1]出发，得根的近似值为当n→∞时，xn→ξ，其中满足(3)近似根数列，有a＜x1＜x2＜…＜xn＜…＜ξ，满足(4)式的近似根数列，有ξ＜…＜xn＜xn-1＜…＜x2＜x1＜b．在区间[xn，ξ]或[ξ，xn]上应用拉格朗日定理，有f(xn)＝f(xn)－f(ξ)＝(xn－ξ)f′(c)(在xn与ξ构成区间内)这样，由(5)式就可判定近似根xn与ξ近似程度．例8用弦切法求方程x3－2x2－4x－7＝0的实根的近似值，精确到10-2．f′(x)＝3x3－4x－4＞0，令x1＝3.52，由(1)式，有同法可得显然f(x i)＜0，i＝1，2，3，所以x0＜x1＜x2＜x3＜ξ．由误差估计公式，有于是，以3.63作为根的近似值，其误差小于10-2．例9用弦切法求方程x－0.1sinx－2＝0的实根近似值，精确到10-3．解f(x)＝x－0.1sinx－2，x∈Rf′(x)＝1－0.1cosx＞0由f(2)＝－0.1sin2＝－0.1³0.9093＝－0.0904＜0，f(2.1)＝0.1³(1－sin2.1)＝0.1³0.1368＝0.00137＞0，f″(x)＝－0.1sinx＞0与f′(x)同号，令x1＝2，由(1)式，有从而f(x1)＝0.0868－0.1 sin 2.0868≈－0.0002＜0于是，方程的根ξ∈(2.0868，2.0870)．其误差不超过10-3．3．切线法如图，用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出方程实根的近似值，这种方法称为切线法．在曲线弧的端点纵坐标与f″(x)同号的曲线端点处作曲线的切线，如图，情形(a)，(d)作点B处(情形(b)，(c)作点A处)的曲线切线．令x0＝b(x0＝a)，则点B(x0，f(x0)(A(x0，f(x0))处曲线切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)令y＝0，求得这切线与x轴交点横坐标x1是由图可见，端点B处(A处)的曲线切线与x轴交点的横坐标x1比b(情形(a)，(d))或a(情形(b)，(c))更接近方程根ξ．再在点(x1，f(x1)作切线，可得根的近似值x2，如此继续下去，一般地，在点(xn-1f(xn-1)作切线，得根的近似值为例10用切线法求方程x3＋1.1x2＋0.9x－1.4＝0的实根的近似值，精确到10-3．f′(x)＝3x2＋2.2x＋0.9＞0f″(x)＝6x＋2.2＞0．由f(0)＜0，f(1)＞0，则f″(x)与f(1)同号，令x0＝1，由(6)式，有同法可得出现此种情形，不能再继续算下去．显然，f(x i)(i＝1，2，…)与f″(x)同号，即f(0.671)＞0，经计算知f(0.670)＜0，于是，有0.670＜ξ＜0.671以0.670或0.671作为根的近似值，其误差都小于10-3．。

利用微积分近似计算

利用微积分近似计算
微积分近似是一种通过对函数进行概括性处理,来获得函数大致行为的数学计算方法。

一般来说，它是对给定的函数进行加权积分，从而以较小的误差获得函数值及其对应结果的数学工具。

一、定义
微积分近似是用概括性法则来处理函数，而不是数学精确地计算函数值。

其基本思想是采用一定的重点将函数f(x)划分成一些近似误差较小的分段，根据各段函数值近似计算出整体函数f(x)对应的值。

二、基本方法
1、函数复化法：函数复化法是微积分近似的一个基本方法。

该方法的核心思想是根据分段的方式，将连续的函数f(x)分解成几段连续的子函数，根据分段的位置将这些子函数复合，并利用求和公式误差小的叠加起来，近似计算出整个函数的值。

2、切线法：切线法是微积分近似的另一种基本方法。

该方法依据边界条件，将整个函数分解成若干分段函数，然后在每一段，它可以通过求每一段函数的切线分段相加或分段相减，近似计算出整个函数的值。

三、优缺点
优点：微积分近似的计算简单，可以有效的减少计算误差，是一种快速又准确的计算方法。

缺点：微积分近似中分段的数量会影响准确性，分段太少会增大误差，而分段多了不容易确定分段函数。

另外，微积分近似也不能用于函数的解析解。

§2.5 微分及其在近似计算中的应用

(1) (2)
x0∆x
x0
(1) : ∆x的性数且 ∆A的要分线函 , 为主部 ; (2) : ∆x的阶穷 ,当∆x很时忽 . 高无小小可略
再例如, 再例如设函数 y = x 3在点 x0处的改变量
为∆x时, 求函数的改变量 ∆y .
3 ∆y = ( x 0 + ∆x ) 3 − x 0
⇒ ydx + xdy = ln adx + ln bdy
ln a − y ⇒ dy = ⋅ dx x − ln b dy ln a − y ⇒ = dx x − ln b
解二两边取对数得
xy = x ln a + y ln b
dy ln a − y ⇒ = dx x − ln b
求导，两边对 x 求导，有
2 = 3 x 0 ⋅ ∆x + 3 x 0 ⋅ ( ∆x ) 2 + ( ∆x ) 3 .
(1)
(2)
∆ 高无小当 ∆x 很小时 , (2)是 x的阶穷 o(∆x),
2 ∴∆y ≈ 3x0 ⋅ ∆x.
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数改变量的主要部分改变量的主要部分)是否问题:这个线性函数(改变量的主要部分是否所有函数的改变量都有?它是什么如何求? 它是什么?如何求所有函数的改变量都有它是什么如何求
例4
设y =e
−ax
sinbx, 求 . dy
解 dy = e − ax ⋅ cos bxd (bx ) + sin bx ⋅ e − ax d ( − ax )
= e − ax ⋅ cos bx ⋅ bdx + sin bx ⋅ e − ax ⋅ ( − a )dx = e − ax (b cos bx − a sin bx )dx .