2015第十五届中环杯四年级决赛详解

9801。
至此，我们得到 9 个满足条件的四位数，按照个位数的数字将其分为三组：
2209,2809,9409
我
、 2704,2304,9604 、 2501,2401,9801 。根据第二句 B、 C 说的话，
们知道 A、 B、 C 三人帽子上的数的个位数都相同。根据第三句 A 说的话，我们知道
这三个数就是 2704,2304,9604 ，所以这三个数的和为 2704 2304 9604 14612 。
A
C
【解答】容易知道，从 A B ，一共有C48 种走法，同理，从C D ，一共有C48 种走
法，所有两人走的路径一共有C8
4
C
种。接下来我们只要将相交的情况减掉，剩下
8
的就是答案了。
如下图，两条路径的第一个交点为 E ，我们把这两条路径看为： A E D 与 C E B （原先应该是 A E B 与C E D ）。注意：如上右图，如果没有相 交，我们不能这样看待两条路径，只有产生相交点之后，才能这样看待这两条路 径。
【答案】11
【解答】如下图所示， a b c d 40
X Y c b 40
abcdXY
c b 80 ，
a b X 30 abcdX Y
c d Y 30
60 ，我们推出 c b 20 。将 c b 20 代入
X Y c b 40 X Y 20 。由于 X 9 ，所以 Y 11 。
7. 如图，一只蚂蚁在网格上爬行，每爬一步就是指从一个点爬到其相邻的点（由一条虚 线段连接的两个点称为相邻的点）。这只蚂蚁一共要爬四步，如果它从点 A 开始爬， 不同的爬行路线有 m 种；如果它从点 B 开始爬，不同的爬行路线有 n 种。则 n m ________.
【答案】 288
【解答】根据已知条件，容易推出这个等差数列的通项公式为
aa
n
1
3n n 1d
7
即可。容易知道，当 n
60 3 n
20 n 20
。为了使得其为 3 的倍数，只要使得
为整数
7
7
1 、 8 、15 、
、
2010
时满足要求，一共有
2010 7
1
1
288
项满足要求。
6. 老师将一些数填入下图的圆圈内（每个圆圈内能且只能填一个数），左右两个闭合回 路的三个数之和均为 30，上下两个闭合回路的四个数之和均为 40。若圆圈 X 内填的 数为 9，则圆圈Y 内填的数为
A
B
【答案】3 【解答】我们发现，无论从点 A 出发还是从点 B 出发，接下来都是走到形如C 点的 位置（下图中的六个红点），根据对称性，每个红点所对应的走法是相同的。点 A 走到红点有两种方法，点 B 走到红点有六种方法，所以 n m 6 2 3 。 【说明】对称计数
A C
B
8. 小明看到一辆拖拉机拉着一条绳子在路上缓慢地行驶着，小明准备去测量一下绳子的 长度。如果小明沿着拖拉机开的方向行走，从绳子的一端走到另一端，一共走了140 步；如果小明行走的方向与拖拉机开的方向相反，从绳子的一端走到另一端，一共走 了 20 步。拖拉机与小明的速度保持恒定，小明每步可以走1 米。那么绳子的长度为 米。
CD
100
1111k 100 ，此时 AB 10 ~ 16 ，所以
AB 1
CD 100
16 1
99
时1111k 100 已经大于
100 3383。当k 3 时，此
3383 了，所以 k 2 。而对于 k 2 的情况，我们前面已经讨论过了，所以不存在
ABCD 1729 。
综上所述，本题要求的最小值就是1729 。
我们推出 S AOB S 。利用 BF DO ，我们推出 S DOC S BCF 。结合 S AOB S DOC ，我
CBE
们有 S CBE S ，所以 S CBE S BCG S BCF S BCG
BCF
CGE
S BFG S ，所以 CGE 的面积也
是 2015。
14. A 、 B 、C 三人到 D 老师家里玩， D 老师给每人发了一顶帽子，并在每个人，的帽4 1子00上
AB 1
12.11 ，所以
3
（2）当
AB 1
时
AB
考虑到
1 18
CD 100 2322 时，2322 2 3 43 ，所以 2322 18 129 ，此 ABCD 1729 。
CD 100 129
接下来我们要证明1729 已经是最小值了，假设它不是最小值，还存在 ABCD 1729 ，
满足 AB 1
2
（4）当 f 8 时， 20ef f
64
条件的数为4 82 2304 或9 82
160e ，为了使得十位数为 0 ，则 e 9604 ；
4 或 9 ，此时满足
2
（5）当 f 9 时， 20ef f 180e 81 ，为了使得十位数为 0 ，则 e 4 或 9 ，此时满足
条件的数为4 92
2
2401 或 99
数就是5 12
2
2501 、 52
2704 、5 32
2809 ；
2
（2）当 f 5 时， 20ef f
100e 25 ，十位数部分不可能为 0 ；
（3）当 f 7 时， 20ef
2
f
140e
49 ，为了使得十位数为 0 ，则 e
4 或 9 ，此时满足
条件的数为4 72
2209
或
2
97
9409 ；
●
A
根据前面的推导， 20 棵树中的前16 棵树里最多包含了 8 棵枫树，所以枫树总数最多 8 4 12 ，我们可以如下进行种植：
●●●●
●●●●
●●●●
10. 如图， ABC 为等腰直角三角形， E 为 BC 边上一点，满足 BE 3CE ， D、 A、 F 三点在
一条直线上。设 DBE 中 BE 边上高的长度为 h 1 ， FEC 中 EC 边上高的长度为 h 2 ，我们
2. 将长、宽、高分别为 3 厘米、4 厘米、5 厘米的长方体积木，叠成最小的正方体，最 少要积木______块
【答案】3600
【解答】容易知道正方体的边长至少为 3,4,5
60 60
60
3 4 5 3600块
60 厘米，所以需要积木
3. 在 5、8、15、18、25、28、 、2008、2015 中，有________个数的数码之和为偶数 （138 的数码之和为1 3 8 12 ）
第 15 届中环杯决赛试题解析（四年级） 一、填空题 A （本大题共 8 小题，每题 6 分，共 48 分）： 1. 计算： 69 4.6 16.2 23 ________.
【答案】690
【解答】 69 4.6 16.2 23 23 3 4.6 16.2
23 23 13.8 16.2 23 30 690
有 3h h 3 厘米。 DBE 与 FEC 的面积之和为 6 平方厘米，则 ABC 的面积为
1
2
________平方厘米。
F
A
D
B
E
C
【答案】 64
【解答】由于 BE 3 CE
3
1
BE BC , CE BC 。而
4
4
1
1
S
S
BE h CE h
DBE
FEC 2
1
1 3 BC
2 h
1
2
1 BC
h
1
2
24
来自百度文库
【答案】202
【解答】每两个数一对： 5,8 、 15,18 、 、 2005,2008 ，每对里面有且仅有一个 数的数码之和为偶数，一共有 2008 8 10 1 201对，而最后一个数的数码之和为 2 0 1 5 8 ，为偶数，所以答案就是 201 1 202
4. 如图，在长方形 ABCD 中， AED 与 BFC 都是等腰直角三角形， 形 ABCD 的面积为________.
EF AD 2 。则长方
A
B
E
F
D
C
【答案】8
【解答】可以如下图进行切割，由于 EF AD
2AG ，整个长方形的面积是小正方形
面积的 8 倍。由于一个小正方形的面积为 1，所以长方形的面积为 8
A
B
G
E
F
D
C
5. 一个等差数列的首项为 9 ，第 8 项为12 ，那么这个数列的前 2015 项中，有________项 是 3 的倍数。
【说明】逻辑推理结合位值原理，并没有考到任何完全平方数的性质
积极参与数学，积极参与数学，积极参与数学，积极参与数学，积极参与数学，积极参与 数 学，积极参与数学，积极参与数学，积极参与数学，积极参与数学，积极参与数学，积 极参 与数学，积极参与数学，积极参与数学，积极参与数学，积极参与数学，积极参与数 学，积 极参与数学，积极参与数学，积极参与数学，
写了一个四位数。已知这三个四位数都是完全平方数（比如 4
2
2 ， 100
2
10
、都
是某个数的平方，这样的数称为完全平方数），并且这三个四位数的十位数都是 0 ， 个
位数都不是 0 。每个小朋友只能看见别人帽子上的数。这三个小朋友非常聪明而且 诚实，
发生了如下的对话：
A 说：“ B 、C 帽子上数的个位数相同。”
100 100
，从而推出
AB 1 100
CD 1211
100AB CD AB CD
AB 1
CD
100
100 mod1111 ，所以 AB 1
CD
、 2322 、 3433 、
1211 1211
（1）当 AB 1
CD
100
1211 CD
时，此时
100 100
AB 11 ，所以 AB 11 或10 ，但是这两个数显然不是1211 的因数；
【答案】 35
【解答】由于第一次走了140 步、第二次走了 20 步，所以第一次花的时间是第二次
花的时间的 7 倍，所以这个过程中拖拉机开的路程也是 7 倍关系。设第一次拖拉机
开了 7S 米，第二次拖拉机开了 S 米，并且设绳子的长度为 x 米，得到方程组
x 7S S 20 x
140 x 35
。
S 15
12. 如下左图，甲要从 A 走到 B ，每次只能向上或者向右走一格；乙要从C 走到 D ，每次 也只能向上或者向右走一格。将两人走的路径标出来，如果两条路径不相交（没有公 共点），那么就称这两个人走了“中环路”（下右图就是一条“ 中环路” ）。那么， “中环路”一共有______种。
B
D
B
D
A
C
【答案】1750
2
2
10e f
0 f 0 ，两边对100 取
a 的十位数部分为 0 。显然 20ef
2
，也就是说 20ef
的十位数部分肯定为偶数，所以 f2 的十位数也必须为偶数，满足条件的 f 1、 2 、
3、5、7、8、9。
2
（1）当 f 1 、 2 、 3 时，为了使 20ef f 的十位数部分为 0 ，则 e 5 ，此时这三个
B 、C 同时说：“听了 A 的话，我知道自己的数是多少了。”
A 说：“听了 B 、C 的话，我也知道自己的数是多少了，我的这个数的个位数是一 个 偶数。”
求： A 、 B 、C 帽子上的数之和。
【答案】14612
【解答】假设 cb0a 余，从而推出 20ef
2
2
ef
100e 20ef f
2
f a mod100 f
24
1 BC 3 h
h
8
1
2
3h h 3
12
将
1
1
代入，得 BC
16 。所以 S
ABC
2
BC
2
16 64 平方厘米
S DBE S FEC 6
11. 已知一个四位数 ABCD 满足： ABCD 为
4
4
AB CD 是1111 的倍数，则 ABCD 的最小值
【答案】1729
【解答】 ABCD AB CD
反过来，对于 A E D 与C E B 的任意两条路径来说，它们必然会产生公共 点。利用对应原理，我们将相交的两条路径与“ A E D 与C E B 的路径” 对 应起来了，所以相交的情况一共有 14
C0
C 4 种。 6
B
D
E
A
C
综上所述，最后的答案就是 8
4
4
4
CC
CC
8
10
6
4900
三、动手动脑题（本大题共 2 小题，每题 10 分，共 20 分）：
二、填空题 B （本大题共 4 小题，每题 8 分，共 32 分）：
9. 一个园艺匠准备种植一排共 20 棵树，一共有两种树可供选择：枫树或者梧桐树。任两
棵枫树之间（不包括这两棵枫树）的树的数量不能等于 3 。那么这 20 棵树中，枫树最
多有
棵。
【答案】12
【解答】在任意连续的八棵树中，一旦种下一棵枫树，那么相当于另一个位置只能 种 梧桐树。我们用下图进行说明，用●表示枫树，用表示 梧桐树，一旦第二个位 置种 了枫树，那么位置 A 必须种植梧桐树。无论枫树出现在哪个位置，总有一个位 置与其 对应，只能种植梧桐树，所以八棵连续的树中最多只有四棵枫树
3150 1750。
13. 如图， ABCD 是一个梯形，其对角线的交点为O 。延长 AC 至点 E ，满足CE AO 。延 长 DB 至点 F ，满足 BF DO 。若 BFG 的面积为 2015 平方厘米，求： CGE 的面积。
A
D
O
B F
C
G
?
E
【答案】2015
【解答】由于 ABCD 是一个梯形，利用等积变换我们有 S AOB S DOC 。利用CE AO ，